2019-2020学年高中数学 3.3.1几何概型学案 新人教A版必修3 .doc

几何概型（导学案）一、【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2. 掌握几何概型中概率的计算公式；3. 会进行简单的几何概率计算．二、【重点难点】重点 理解几何概型的概念及基本特点，掌握其概率的计算公式 难点理解几何概型的概念及基本特点三、【学习新知】【A 级】问题1：取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？【A 级】问题2：．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。

从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？【B 级】问题3：那么, 怎么求解?① 第一个问题中，记事件A =“剪得两段的长都不小于1m ”．把绳子 三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳的，于是事件A 发生的概率()P A =．②第二个问题中，记事件B =“射中黄心”为，由于中靶心随机地落在面2211224cm π⨯⨯的大圆内，而当中靶点落在面积为22112.24cm π⨯⨯的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率()P B ==阅读书135页至136页完成下列问题1.几何概型的概念：2.几何概型的基本特点：3.几何概型的概率公式：在区域D 中随机地取一点, 记事件A =＂该点落在其内部一个区域d 内＂，则事件A 发生的概率()P A =四、【合作探究】【B 级】问题4：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

【B 级】问题5：在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少：五、【达标自测】1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是. A.21 B.31 C.41 D.不确定 2. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A.101 B.91 C.111 D.81 3. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.2511 B.2491 C.2501 D.25214. 如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.5. 如下图，在一个边长为a 、b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31a 与21a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.6．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.7. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.1的正方形ABCD，8. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为2向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.9在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC 的长的概率.六、【归纳总结】1．知识：概念及基本特点；掌握几何概型中概率的计算公式2．数学思想方法：数形结合3．能力：学生通过动手操作，进行模拟活动，使学生相信结果的随机性和规律性几何概型（导学案）（参考答案）问题1：13问题2：0.01五、【达标自测】1.B2.C3.C4.495.5126.137.168.12。

2019-2020学年高中数学《3.3 几何概型（1）》教案 新人教A 版必修3一、教材分析 1、教材的地位和作用《几何概型》是高中数学新教材第三册第三章的第三节。

这部分是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，是学生在掌握古典概型的基础上，来学习的另一等可能概型，对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。

2、重点与难点教学重点：用公式计算几何概型的概率。

教学难点：准确确定试验全部结果所构成的区域和事件A 对应的构成区域。

二、目标分析在让学生经历“学数学、做数学、用数学”的新课标理念指导下， 本节课的教学目标确定为：(1)知识与技能:①通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的定义、特点,掌握几何概型的概率公式：②会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判断某种概型是古典概型还是几何概型；会进行简单的几何概型的概率计算，培养学生从有限向无限探究的意识。

（2）过程与方法:①探究法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。

②通过探究，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

（3）情感态度与价值观:培养学生积极思考，理论联系实际，严谨勤学的学习习惯。

三、教学过程:1.知识回顾古典概型的特点及其概率公式：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P)((1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数2.课前练习 (赌博游戏)：甲乙两赌徒掷色子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？学生分析：色子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，因而可以利用古典概型； 学生求解：1;6p =甲16p =乙。

第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型学习目标1.通过本节内容的学习,了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.2.通过对照前面学过的知识,自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知量的方案,培养实际操作能力.3.通过学习,体会试验结果的随机性与规律性,培养科学思维方法,提高对自然界的认知水平.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:前面我们都学过哪些求概率的方法?学生思考后给出:.问题2:下面事件的概率能否用古典概型的方法求解?[情境一]教师取一根长度为60厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,使得剪出的两段的长都不小于绳子长度13(记为事件A),求此事件发生的概率.师生共同探究:此试验中,从每一个位置剪断都是一个试验结果,剪断位置可以是绳子上任一点,试验的可能结果为,发现不是,不可以用古典概型的方法求解.探索:如图所示,把绳子三等分,于是当剪断位置在中间一段时,事件A发生,于是P(A)=中间绳子长度整条绳子长度=13.教师:这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型,简称几何概型.[情境二]教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频,拿出如图所示的两个转盘,规定当指针指向B区域时顾客中奖.问题3:在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少?学生思考并回答,可见在图(1)中,顾客中奖的概率为,图(2)中顾客中奖的概率为.[情境三]问题4:一只苍蝇在一棱长为60cm的正方体笼子里飞.苍蝇距笼边大于10cm的概率是多少?问题5:同学们观察对比,找出三个情境的共同点与不同点.问题6:同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型?二、信息交流,揭示规律在问题情境的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念:,简称为几何概型.问题7:古典概型与几何概型的区别和联系是什么?引导学生通过对前面三个情境的总结,得到在几何概型中,事件A发生的概率的计算公式为三、运用规律,解决问题【例1】在500mL的水中有一只草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.【例2】取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.【例3】某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.归纳总结:怎样求几何概型的概率?对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解,具体分以下四个步骤:(1)(2)(3)(4)四、变式训练,深化提高1.在区间[1,3]上任意取一个数,则这个数不小于1.5的概率是多少?2.在高产小麦种子100mL中混入了一粒带锈病的种子,从中随机取出3mL,求含有带锈病种子的概率是多少?3.在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投镖,投镖击中线上或没有投中木板时都不算,可重投,问:(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?五、反思小结,观点提炼布置作业1.必做题课本P142习题3.3A组第1,2题.2.选做题(1)在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.(2)平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.(3)两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:用做试验或计算机模拟试验等方法得到事件发生的频率来估计概率;用古典概型的公式计算事件发生的概率.问题2:无限个古典概型问题3:123 5二、信息交流,揭示规律如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型问题7:P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)三、运用规律,解决问题【例1】解:取出2mL水,其中“发现草履虫”这一事件记为A,则P(A)=取出水的体积所有水的体积=2500=0.004.答:发现草履虫的概率是0.004.【例2】解:记“豆子落入圆内”为事件A,则P(A)=圆的面积正方形的面积=πa24a2=π4.答:豆子落入圆内的概率为π4.【例3】解:记“等待的时间不多于10分钟”为事件A,则P(A)=1060=16.答:等待的时间不多于10分钟的概率为16.归纳总结(1)利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解;(2)把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω;(3)把随机事件A转化为与之对应的区域A;(4)利用几何概型概率公式计算.四、变式训练,深化提高1.P=[1.5,3]的长度[1,3]的长度=3-1.53-1=1.52=0.75.2.P (A )=取出的小麦种子的体积所有小麦种子的体积=3100=0.03. 3.(1)P 1=大圆的面积正方形的面积=36π256=9π64.(2)P 2=中圆的面积-小圆的面积正方形的面积=16π-4π256=3π64.(3)P 3=1-大圆的面积正方形的面积=1-9π64.五、反思小结,观点提炼1.几何概型的概念及基本特点.2.几何概型中概率的计算公式;一般地,在几何区域Ω中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域A 内”为事件A ,则事件A 的概率计算公式为P (A )=μA μΩ.其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA 表示区域A 的几何度量.3.背景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.4.区域Ω内随机取点是指:该点落在区域Ω内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比,而与其形状位置无关.布置作业 2.选做题:(1)解:在AB 上截取AC'=AC.于是 P (AM<AC )=P (AM<AC')=AC 'AB=AC AB=√22. 答:AM 小于AC 的概率为√22.(2)解:把“硬币不与任一条平行线相碰”记为事件A ,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ,垂足为M ,如图所示,这样线段OM 长度(记作OM )的取值范围就是[0,a ],只有当r<OM ≤a 时硬币才不与平行线相碰,所以,所求事件A 的概率P (A )=(r ,a ]的长度[0,a ]的长度=a -r a.(3)解:设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω:{(x ,y )|0≤x ≤60,0≤y ≤60},画成图为一正方形(如图).以x ,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20,而能会面的点的区域用阴影标出,所求概率P=阴影的面积正方形的面积=602-402602=59.。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案______年______月______日____________________部门20xx最新高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．2．归纳总结，核心必记(1)几何概型的定义与特点①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．(2)几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝.[问题思考](1)几何概型有何特点？提示：几何概型的特点有：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型与几何概型有何区别？提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)几何概型的定义：；(2)几何概型的特点：；(3)几何概型的计算公式：.某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻．往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．[思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？提示：无限多个．[思考2] 古典概型和几何概型的异同是什么？名师指津：古典概型和几何概型的异同如表所示：名称古典概型几何概型相同基本事件发生的可能性相等点不同点①基本事件有限个①基本事件无限个②P(A)＝0⇔A为不可能事件②P(A)＝0A为不可能事件③P(B)＝1⇔B为必然事件③P(B)＝1B为必然事件1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？[尝试解答] 如图所示．记“剪得两段绳长都不小于 2 m”为事件 A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率P(A)＝.求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．1．(20xx·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.34解析：选B 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.2．(20xx·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A. B. C. D.π8[尝试解答] 由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝＝，故选B.答案：B解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A．1－ B.－1 C．2－ D.π4解析：选A 由几何概型知所求的概率P＝＝＝1－.3．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1 中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．[尝试解答] 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－.答案：1－π12如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1.(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2.(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3.3．本节课的易错点：不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 与长度有关的几何概型1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A. B. C. D.15解析：选B 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B. C. D.18解析：选 A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得＝，解得m＝3.答案：34．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.题组2 与面积、体积有关的几何概型5.在如图所示的正方形中随机撒入 1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.因此芝麻落入圆内的概率为P＝＝，大约有1 000×≈785(粒)．答案：7856．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9 病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9 病毒的概率是________．解析：水的体积为πR3＝×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝.答案：136π7．(20xx·西安质检)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1­ABC内的概率是________．解析：设正方体的棱长为a，则所求概率P＝VA1­ABCVABCD­A1B1C1D1＝＝.答案：168．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：39．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1 cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm2，故所求概率是.[能力提升综合练]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 利用几何概型的概率公式，得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )A. B. C. D.23解析：选C 因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A. B.C. D.74解析：选D 依题可知，设E，F是CD上的四等分点，则P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋2＝a2，即b2＝a2，故＝.5．(20xx·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.答案：166．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．一只苍蝇在几何体ADF­BCE内自由飞行，求它飞入几何体F­AMCD 内的概率．解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.因为VF­AMCD＝S四边形AMCD×DF＝×(a＋a)·a·a＝a3，VADF­BCE＝a2·a＝a3，所以苍蝇飞入几何体F­AMCD内的概率为＝.7．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设x<y，这时，AB，BC，CD能构成三角形的充要条件是AB＋BC>CD，BC＋CD>AB，CD＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．同样地，当y<x时，当且仅当点(x，y)落在△EHI中，AC，CB，BD 能构成三角形，利用几何概型可知，所求的概率为＝.。

姓名，年级：时间：第三章概率3。

3 几何概型3.3.1 几何概型学习目标1。

通过本节内容的学习，了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用。

2。

通过对照前面学过的知识,自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案,培养实际操作能力.3。

通过学习,体会试验结果的随机性与规律性，培养科学思维方法，提高对自然界的认知水平。

合作学习一、设计问题,创设情境问题1：前面我们都学过哪些求概率的方法?学生思考后给出: .问题2:下面事件的概率能否用古典概型的方法求解？［情境一］教师取一根长度为60厘米的绳子，拉直后在任意位置剪断,使得剪出的两段的长都不小于(记为事件A)，求此事件发生的概率。

绳子长度13师生共同探究：此试验中,从每一个位置剪断都是一个试验结果,剪断位置可以是绳子上任一点,试验的可能结果为,发现不是,不可以用古典概型的方法求解.探索:如图所示，把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段时，事件A发生，于是P（A）中间绳子长度1教师：这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型,简称几何概型。

[情境二]教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频,拿出如图所示的两个转盘,规定当指针指向B 区域时顾客中奖.问题3:在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少？学生思考并回答，可见在图(1)中，顾客中奖的概率为，图(2)中顾客中奖的概率为.［情境三］问题4：一只苍蝇在一棱长为60cm的正方体笼子里飞。

苍蝇距笼边大于10cm的概率是多少？问题5:同学们观察对比,找出三个情境的共同点与不同点。

问题6：同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型?二、信息交流，揭示规律在问题情境的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念:,简称为几何概型.问题7:古典概型与几何概型的区别和联系是什么?引导学生通过对前面三个情境的总结，得到在几何概型中,事件A发生的概率的计算公式为三、运用规律,解决问题【例1】在500mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率。

高中人教A版数学（必修3）3.3.1《几何概型》教案一、教学目标知识与技能1.初步体会几何概型的概念；2.会区别古典概型与几何概型；3.会使用几何概型的概率公式计算简单的几何概率.过程与方法1.运用启发式和发现法教学，通过一系列的试验和问题，师生共同探究，让学生体会探索新知的过程，培养其逻辑推理能力；通过实际例子，让学生学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系.2.通过游戏转盘的制作和两次模拟试验，让学生自己动手，培养学生自主学习的能力和创新能力.情感态度与价值观1.通过源于生活的丰富实例和多媒体教学培养学生的学习兴趣；2.通过类题对比与变式练习培养学生严密的逻辑思维习惯.二、教学重点、难点教学重点几何概型的概念教学难点简单的几何概率的计算三、教具与学具准备教具准备用来做游戏的两个转盘、多媒体学具准备两人一枚用来做游戏的同规格的钢针和一张画了一些等距平行线的大纸（钢针的长度等于两平行线间距离的一半）、两人一个用来做游戏的转盘（提前布置，让学生自己制作，为培养学生的创新能力转盘可随意制作）四、教学过程（一）课程引入（通过学生做“布丰投针试验”引入课题）让学生动手把钢针投到纸上，并记录投针的总次数N和针落到纸上与平行线中的某一条相交的次数n，计算针落到纸上与平行线中的某一条相交的频率及频率的倒数，师生共同（把学生分成8组，每做1分钟，每一小组先对实验总次数和针落到纸上与平行线中的某一条相交的总次数n作以汇总并把数据上报给老师，由老师利用多媒体现场完成全班数据的汇总）引导学生去发现问题—针落到纸上与平行线中的某一条相交的频率的倒数越来越接近于圆周率π.告诉学生，这就是简单化了的著名的“布丰投针试验”.向学生简单介绍一下“布丰投针试验”以及历史上几次有名的“布丰投针试验”（见下表），利用学生的好奇心激“布丰投针实验”是第一个用几何形式表达概率问题的例子，它所反映的一种概率模型我们称之为几何概型.“布丰投针试验”为什么能算出圆周率π的近似值呢？它的原理是什么？为了弄清这一问题，我们就来研究一下几何概型，请同学们阅读教材第129页和130页的内容，并拿出转盘，实际操作一下，验证你所得的频率与通过计算得到的概率是否相差不大. （二）新知讲解１.几何概型的概念对于一个随机试验，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.例如：模型1. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，求取出的种子中含有麦诱病的种子的概率.模型2.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断.求剪得两段的长都不小于1m 的概率.上面这两个模型都属于几何概型.２.几何概型的基本特点（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（实验结果在一个区域内均匀分布）.3.几何概型与古典概型的联系与区别（1）联系：几何概型与古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，即满足等可能性.（2）区别：①古典概型中的基本事件有有限个，而几何概型则要求基本事件有无限个；②判断一个试验是否是古典概型即看它是否满足古典概型的两个特征，而对于几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征—能进行几何度量.思考1.随机事件A“从正整数中任取两个数，其和是偶数”是否是几何概型？（尽管这里事件A满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的本质特征—能进行几何度量.故事件A不是几何概型.）4.几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：()AP A构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.思考2.通过对几何概型的学习，不难发现：概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件也不一定是必然事件.试举例说明.（在几何概型中，如果随机事件所在区域的是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.）（三）例与练例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.（分析及解答见教材第130~131页）练习1 在Rt △ABC 中，∠A =30°，在斜边AB 上等可能地取点M ，则AM AC <的概率为（ ）A．2 B ．56 C ．34 D ．16解析：如图，在斜边AB 上取一点D 使得AD AC =.当点M 落在线段AD 上时，有AM AC <.故所求概率为cos302AD AC P AB AB ===︒=故选A. 点评：此处基本事件所“占据”的区域为线段，所求概率即为对应线段的长度之比.值得注意的是若将原题换一种说法则结论迥异.变式1 在Rt △ABC 中，∠A =30°，若过直角顶点C 作射线CM ，交线段AB 于M ，则AM AC <的概率为多少？解析：此时的概率应转化为ACD ∠与ACB ∠的度数之比，即为56.其原因是问题变为射线CM 在内等可能地选取.变式2 在长为10 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率是多少？解析：此题有一个典型错解，即把把所求概率转化成面积比，得出错解4925610025-=. 实则不然，此变式实质应为“长度型”几何概型.在线段AB 上取两点12,P P ，使得125,7.AP AP ==所以122PP =.由于点P 等可能地在线段AB 上取得，当点P 落在线段12PP 上时，所作正方形的面积即介于25与49之间.故所求概率为21105=. （四）作业教材第137页 习题3.3 A 组 1，2，3MAB CD思考题：“布丰投针试验”为什么能算出圆周率π的近似值？拓展题：什么是“贝特朗奇论”（可利用工具书以及电脑等多种手段查找）？通过思考题和拓展题培养学生自己动手解决问题的能力.五、课后反思总体效果不错，基本完成了教学目标.需要注意的是引入时应更简洁些，时间占用的稍多了点.。

课 题：3.3.1 几何概型教学目标：1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.教学方法：讲授法课时安排：1课时教学过程：一、导入新课：1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二、新课讲授：提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P （反,正）=P （反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件A 发生的概率P(A)=31. 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）,简称几何概型. 几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A .(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.三、例题讲解：例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.分析：见教材136页解：（略）变式训练1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.2、 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.四、课堂小结：几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.五、课后作业：课本习题3.3A组1、2、3.板书设计课后反思：。

3．3.1 几何概型1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．几何概型有何特点？[提示]①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．2．古典概型与几何概型有何区别？[提示]古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．3．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( )(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．( )(3)几何概型的基本事件有无数多个．( )(4)从区间[－1,1]上取一个数，求取到1的概率属于几何概型．( )[答案](1)√(2)×(3)√(4)×题型一与长度、角度有关的几何概型【典例1】(1)如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10 m的概率是多少？(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条直线CM ，与线段AB 交于点M .求AM <AC 的概率.[思路导引] (1)在A 、B 之间每一位置处安装路灯C ，D 都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关；(2)过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条直线CM ，与线段AB 交于点M . 基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与角度有关．[解] (1)记E ：“A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于10 m”，把AB 三等分，由于中间长度为30×13＝10 (m)，∴P (E )＝1030＝13.(2)在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }， 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°， ∴P (A )＝67.5°90°＝34.(1)与长度有关的几何概型问题综述①如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.②将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．(2)与角度有关的几何概型的求法①当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．②与角度有关的几何概型的概率计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.③解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．④对于一个具体问题，能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的每一点，使得全体结果构成一个可度量的区域．⑤如果试验结果涉及的区域可用角表示，则可以判定需利用与角度有关的几何概型概率的计算公式解决．对于此类题，往往角的始边是固定的，只要考虑终边位置的情况即可．[针对训练1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． (2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.(2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[答案] (1)23 (2)13题型二与面积有关的几何概型问题【典例2】 (1)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2) 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12[解析] (1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B.(2)易知点C 的坐标为(1,2)，点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积为6，阴影部分的面积为32，故所求概率为14.[答案] (1)B(2)B(1)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 ①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； ③套用公式，从而求得随机事件的概率．[针对训练2] 如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4[解析] 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－14×π×12×22×1＝1－π4.[答案] A题型三与体积有关的几何概型的问题【典例3】 一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M 是AB 的中点，一只蜻蜓在几何体ADF —BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F —AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.12D.13[解析] 由三视图可知DA ，DC ，DF 两两垂直，且DA ＝DC ＝DF ＝a ， ∴V F —AMCD ＝13S 梯形AMCD ·DF ＝14a 3.又V ADF —BCE ＝12a 3，∴蜻蜓飞入几何体F —AMCD 内的概率为P ＝V F —AMCD V ADF －BCE ＝12. [答案] C体积型几何概型问题解法探秘(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A 占的体积．其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的体积试验的全部结果构成的体积. (2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．[针对训练3] (1)一只蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，那么蝴蝶“安全飞行”的概率为( )A.110B.25C.π45D.45－π45(2)一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为( )A ．5B ．10C ．15D ．20[解析] (1)长方体的体积为5×4×3＝60，蝴蝶“安全飞行”区域的体积为3×2×1＝6.根据几何概型的概率计算公式，可得蝴蝶“安全飞行”的概率为160＝110.(2)阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5.[答案] (1)A (2)A课堂归纳小结1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．将一条5米长的绳子随机地切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45[解析] 由题意，只要在距离两端分别至少为1米处剪断，满足题意的位置有3米，由几何概型公式得到所求概率为5－25＝35，故选C.[答案] C2．如图，正方形ABCD 的内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点的连线对称，在正方形内随机取一点，则此点取自灰色部分的概率是( )A.π8B.12C.8－π8D ．4[解析] 设正方形的边长为2，根据几何概型概率计算公式，此点取自灰色部分的概率P ＝12π×122×2＝π8.故选A.[答案] A3．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6π B.32π C.3π D.233π[解析] 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝ 43πR 3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. [答案] D4．函数f (x )＝2x(x <0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23[解析] 函数f (x )＝2x(x <0)的值域为D ＝(0,1)，长度为1，区间(－1,2)的长度为3，所以概率为13.5．如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14[解析] 如图，当AA ′的长度等于半径长度时∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P ＝2π32π＝13.故选C.[答案] C课后作业(二十一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1．已知函数f (x )＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x ，则使不等式f (x )>2成立的概率为( )A.14B.13C.12D.23[解析] 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f (x )>2可得x >1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f (x )>2成立的概率为14.2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 s ．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 s 才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310[解析] 记“至少需要等待15 s 才出现绿灯”为事件A ，则P (A )＝40－1540＝58.[答案] B3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，则取到的点P 到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8[解析] 如图所示，设取到的点P 到O 的距离大于1为事件M ，则点P 应在阴影部分内，阴影部分的面积为2×1－12×π×12＝2－π2，所以P (M )＝2－π22＝1－π4.[答案] B4．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )A.310 B.15 C.25 D.45[解析] 在线段AB 上任取一点P ，事件“正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间”等价于事件“5＜|AP |＜7”，则所求概率为7－510＝15.[答案] B5．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )[解析] A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为13.[答案] A6．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．[解析] 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.[答案] 597．水池的容积是20 m 3，水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1 m 3/h ，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．[解析] 如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A ，B 两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是12×20×20，所以所求的概率P ＝12×20×2024×24＝2572.[答案]25728．已知方程x 2＋3x ＋p4＋1＝0，若p 在[0,10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．[解析] 因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0,10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫p4＋1≥0，得p ≤5，所以对应区间[0,5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.[答案] 129．已知点M (x ，y )满足|x |≤1，|y |≤1.求点M 落在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率．[解] 如图所示，区域Ω为图中的正方形，正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为14π，则点M 落在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率为14π4＝π16.10．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？[解] (1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π81.应试能力等级练(时间20分钟)11．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1[解析] x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x－y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.[答案] B12．在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．A.34B.23C.35D.15[解析] 若直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，则有圆心到直线的距离d ＝|5k |k 2＋1<3，即－34<k <34，所以所求概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.[答案] A13．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．[解析] 如图，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，S △PBC ＝12|PB |·h .又因为S △PBC >14S △ABC ，所以|PB |>14|AB |，故△PBC 的面积大于S 4的概率是34.[答案] 3414．已知0<a <1，分别在区间(0，a )和(0,4－a )内任取一个数，而取出的两数之和小于1的概率为316，则a 的值为________．[解析] 设所取的两个数分别为x ，y ，由题知所有基本事件构成的集合为Ω＝{(x ，y )|0<x <a,0<y <4－a,0<a <1}，其对应区域为矩形，面积为S (Ω)＝a (4－a )，而事件A ＝{(x ，y )∈Ω|x ＋y <1}，其对应区域面积为S (A )＝12(1＋1－a )a ，由几何概型的概率计算公式知316＝12(1＋1－a )a a (4－a )，即a (5a －4)＝0，解得a ＝45.[答案] 4515.如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．[解] (1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ， 易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP－S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。