数学一轮复习第十章10.6几何概型学案理含解析

第三节几何概型2019考纲考题考情1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)。

几种常见的几何概型1．与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关。

2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题。

3．与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题。

一、走进教材1．(必修3P 142A 组T 3改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s ，黄灯的时间为5 s ，绿灯的时间为40 s ，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析 设事件A 表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A 对应30 s 的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度。

根据几何概型的概率公式可得，事件A 发生的概率P (A )＝3075＝25。

故选B 。

答案 B2．(必修3P 140练习T 1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘为( )解析 如题干选项中的各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A)＝38，P (B)＝28＝14，P (C)＝26＝13，P (D)＝13。

故选A 。

答案 A 二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。

正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。

在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4解析 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，正方形的面积为4，圆的面积为π，根据对称性关系，黑色部分的面积是圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π2。

第6节几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.知识梳理1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.[常用结论与微点提醒]1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关.2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B ). 答案 A3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710B.58C.38D.310解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.答案 B4.(2018·莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是( ) A.π8B.π4C.12D.34解析 任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴). 故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.答案 B5.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，因为S 正＝1，所以 S 阴＝0.18.答案0.18考点一 与长度(角度)有关的几何概型【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.34(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.解析 (1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧DB ′︵交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在B ′D ︵上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在B ′C ′︵上发生”. 又在Rt △ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝l B ′C ′︵l B ′D︵＝π6·1π2·1＝13.答案 (1)B (2)13规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.2.(1)例1第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比. 【训练1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.(2)(2018·西安调研)在区间[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.解析 (1)由6＋x －x 2≥0，得－2≤x ≤3，即D ＝[－2，3]. 故所求事件的概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.(2)直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3. 则|5k －0|k 2＋（－1）2＜3，解得－34＜k ＜34.故所求事件的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.答案 (1)59 (2)34考点二 与面积有关的几何概型(多维探究) 命题角度1 与平面图形面积相关的几何概型【例2－1】(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4解析 设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4. 又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. 答案 B命题角度2 与线性规划的交汇问题【例2－2】 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≤－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.答案 78规律方法 1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.2.解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nmC.4mnD.2mn(2)(2018·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14B.34C.13D.23解析 (1)如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知P ＝S 扇形S 正方形＝14πR2R 2＝π4，又P ＝m n ，所以π4＝m n ，故π＝4m n . (2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域(即△ABC )，其面积为 4.事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3.所以事件A 发生的概率是34.答案 (1)C (2)B考点三 与体积有关的几何概型【例3】 (1)(2018·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18B.16C.127D.38(2)已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78B.34C.12D.14解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)由题意知，当点P 在三棱锥的中截面A ′B ′C ′以下时，满足V P －ABC <12V S －ABC ，又V 锥S －A ′B ′C ′＝12×14V 锥S －ABC ＝18V 锥S －ABC .∴事件“V P －ABC <12V S －ABC ”的概率P ＝V 台体A ′B ′C ′－ABC V 锥S －ABC ＝V 锥S －ABC －V 锥S －A ′B ′C ′V 锥S －ABC ＝78.答案 (1)C (2)A规律方法 1.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 2.本题易忽视基本事件的等可能性，错用“长度”度量，误求P ＝12.【训练3】 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.解析 设四棱锥M －ABCD 的高为h ，由于S 正方形ABCD ＝1，V 正方体＝1，且h 3S 正方形ABCD <16.∴h <12，则点M 在正方体的下半部分，故所求事件的概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.答案 12基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( ) A.4B.3C.2D.1解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.答案 B2.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为()A.112B.512C.13D.15解析 根据几何概型公式，小于3 km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P ＝5π12π＝512.答案 B3.(2018·潍坊一中质检)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14解析 由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， 解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A.答案 A4.(2018·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为()A.117B.217C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.答案 B5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.13B.23C.34D.14解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型， 则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13. 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23.答案 B6.(2018·西安调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1e B.1－1eC.e1＋eD.11＋e解析 当0≤x <1时，恒有f (x )＝e x<e ，不满足题意. 当1≤x ≤e 时，f (x )＝ln x ＋e.由ln x ＋e≥e，得1≤x ≤e. ∴所求事件的概率P ＝e －1e ＝1－1e .答案 B7.已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( ) A.12B.13C.23D.34解析 由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，故所求概率为12.答案 A8.(2018·福州调研)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12解析 因为四边形ABCD 为矩形，B (1，0)且点C 和点D 分别在直线y ＝x ＋1和y ＝－12x ＋1上，所以C (1，2)，D (－2，2)，E (0，1)，则A (－2，0). 因此S 矩形ABCD ＝6，S 阴影＝12×1·|CD |＝32.由几何概型，所求事件的概率P ＝326＝14.答案 B 二、填空题9.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3. 答案 310.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析 因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD V 长方体＝16.答案 1611.(2018·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为________.解析 由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A (4，2)，S 正方形＝16，S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34. 答案 3412.在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________.解析 设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两负根为x 1，x 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4（3p －2）>0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p <1或p >2.又因为p ∈[0，5]，得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(2，5]， 故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋（5－2）5＝23. 答案 23能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2018·西北工大附中调研)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析 由|z |≤1得(x －1)2＋y 2≤1，由题意作图如图所示，则满足条件的区域为图中阴影部分，∴y ≥x 的概率为π4－12π＝14－12π.答案 D14.在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12B.23C.34D.14解析 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∵a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0， ∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.答案 C15.已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________.解析 依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )>128得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，故所求的概率等于8－412＝13.答案 1316.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.答案1316。

几_何_概_型[知识能否忆起]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A(0,0)，B(4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|PA|＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|PA|＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2．(2018·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2 B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05. 答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 答案：161.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．典题导入[例1] (2018·湖南高考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c|5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 516本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN.”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD.则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P(A)＝π×232π×23＝12.由题悟法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1)(2018·福建四校联考)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB≥90°的概率为________． 解析：(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P ＝2π32π＝13.＝12，且点M 在BD (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD 上时，满足∠AMB≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14.答案：(1)13 (2)14典题导入[例2] (1)(2018·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y≥0，＞表示平面区域M ，若点P(x ，y)在所给的平面区域M 内，则点P 落在M的内切圆内的概率为( )A.2－4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π[自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC.不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a)r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a.所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S ＝(3－22)π.[答案] (1)A(2)B由题悟法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2．(2018·湖南联考)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为( )A.14 B.12 C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|PA|≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.典题导入[例3] (1)(2018·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C由题悟法与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3．(2018·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PMBN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231．(2018·北京模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( )A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.2．(2018·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x)cm,0<x<12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x(12－x)<32⇒0<x<4或8<x<12，故所求概率为812＝23.3．(2018·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0， 即(a ＋2b)(a －2b)＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点4．(2018·北京西城二模)已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f(x)≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f(x)≥0得⎩⎪⎨⎪⎧，，有－1≤k≤1，所以所求概率为1－－1－－＝23. 5．(2018·盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长率P ＝15.为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概6．(2018·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7．(2018·郑州模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，y≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128．(2018·孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h ＋＋＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)， 故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39.(2018·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P(A)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率． 解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈B}，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y)．(1)求以(x ，y)为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y)为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y|2≤22即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12．(2018·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y)． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个； 由a·b＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个． 故满足a·b＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}； 满足a·b＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x≤1得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12.由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，因此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233．(2018·晋中模拟)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD×AB，S 矩形ABCD ＝AD×AB，所以P(A)＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________． 解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0，∵a ，b ∈[0,1]，∴a≥b. ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123．(2018·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y)，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4. 为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x)3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964.。

学案59 几何概型导学目标： 了解几何概型的意义．自主梳理 1．几何概型设D 是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式：P(A)＝d 的测度D 的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________； (2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________． 2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于____________．3. 如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________．4．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为________．5．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．探究点一 与长度有关的几何概型例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1 在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2 如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC 的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想 例 (14分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．【答题模板】解 (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a >b .当a >b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率为P (A )＝612＝12.[7分](2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.[9分]设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分]由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分]【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏． 2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量.课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1． ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．2．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是__________________________________________________________________．3．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤12f －1≤3的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7. 如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案59 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测 1.14解析 ∵AM 2∈[36,81]，∴AM∈[6,9]，∴P＝9－612＝312＝14.2.12解析 这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABES 矩形ABCD＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.3．13解析 当∠A′OA＝π3时，AA′＝OA ，∴P＝23π2π＝13.4．23解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23. 5．1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P＝34＋116＝1316.课堂活动区例1 解题导引解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．解包含两个间谍谈话录音的部分在30 s和40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间，即0到23min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0到23min时间段内按错键．P(A)＝2330＝145.变式迁移112解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.例2 解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A的角度试验的全部结果所构成区域的角度.解在AB上取AC′＝AC，连结CC′，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设A＝{在∠ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，则μΩ＝90°，μA＝67.5°，P(A)＝μAμΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2 解不一样，这时M点可取遍AC′(长度与AC相等)上的点，故此事件的概率应为AC′长度AB长度＝22.例3 解题导引解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域．解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y|≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13212＝89. 变式迁移3 解 设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ， 则0≤x≤24,0≤y≤24且y －x≥4或y －x≤－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤24，0≤y≤24，y －x≥4或y －x≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P(A)＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝μA μΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析 由于△ABC、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE||AB|＝34.3．78解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b≤4,0≤c≤4的区域的面积为4×4＝16， 由⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤12f －1≤3， 得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－b ＋c≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析 根据题意易知输出数对(x ，y)的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＋y≤1，－1≤x－y≤1所表示的平面区域面积的比，即P(A)＝π×122＝π4.9．解 (1)设CM ＝x ，则0<x<a(不妨设BC ＝a)．若∠CAM<30°，则0<x<33a ，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a 的角度区间0，a 的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°. 若∠CAM<30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间0°，30°的长度区间0°，45°的长度＝23.(14分)10．解设事件A ＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A 发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥y，y ＋6≥x，0≤x≤24，0≤y≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分)∴P(A)＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288.所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分)11．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b≥0，即a 2≥4b.因为事件“a 2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b”的概率为P ＝1225.(7分)(2)∵a，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f(1)＝－1＋a －b>0，∴a－b>1，此为几何概型，所以事件“f(1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。

第六节 几何概型[考纲传真] (教师用书独具)1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第181页)[基础知识填充]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A [P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]，则f (x )为增函数的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45C [f (x )＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，∴f (x )在[1,4]上是增函数．∴f (x )为增函数的概率为P ＝4－14－(－1)＝35.]4．(2017·全国卷Ⅰ)如图10­6­1，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()图10­6­1A ．14B ．π8C ．12D ．π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B ．]5．如图10­6­2所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10­6­20.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.](对应学生用书第181页)(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13 B ．12 C ．23D ．34(2)如图10­6­3所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．图10­6­3(1)B (2)13 [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B ．(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，若射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率]A ＝与角度有关的几何概型作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根的概率为( )A ．23 B ．12 C ．38D ．13(2)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． (1)C (2)59[(1)因为方程x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，4a －3>0，4a 2－4(4a －3)≥0，解得34<a ≤1或a ≥3，所以所求概率P ＝1－34＋(5－3)5－(－1)＝38，故选C ．(2)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5， ∴P ＝59.]◎角度1 与平面图形面积有关的几何概型(2018·成都二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到同学须等待，15分钟后还未见面便离开．则两位同学能够见面的概率是( )【导学号：79140362】A ．1136B ．14C ．12D ．34D [从下午5：30开始计时，设两位同学到达的时刻分别为x ，y 分钟，则x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30，0≤y ≤30，如图中正方形OABC 所示，若两位同学能够见面，则x ，y 应满足|x －y |≤15，如图中阴影部分(含边界)所示，所以所求概率P ＝30×30－2×12×15×1530×30＝34，故选D ．]◎角度2 与线性规划交汇的问题(2017·广州综合测试)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( ) A ．14 B ．12 C ．23 D ．34A[依题意作出图像如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.] ◎角度3 与定积分交汇的问题(2018·郑州第二次质量预测)在区间[1，e]上任取实数a ，在区间[0,2]上任取实数b ，使函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点的概率是( )A ．12(e －1)B ．14(e －1)C ．18(e －1)D ．116(e －1)A [函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点，即方程ax 2＋x ＋14b ＝0有两个不等的实数根，则Δ＝1－ab >0，b <1a.所有试验结果为Ω＝{(a ，b )|1≤a ≤e,0≤b ≤2}，面积为2(e－1)，使函数f (x )有两个相异零点的事件为Ω1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪b <1a ，1≤a ≤e，0≤b ≤2，面积为⎠⎛1e 1ad a ＝ln a|e1＝1－0＝1，则所求概率为P(A)＝12(e －1)，故选A ．]x ＝RAND (0,1)，y ＝RAND (0,1)，则x 2＋y 2<1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8(2)如图10­6­4，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．图10­6­4(1)A (2)512 [(1)由几何概型的概率计算公式知，所求概率P ＝14×π×121×1＝π4，故选A ．(2)由题意知，阴影部分的面积S ＝⎠⎛12(4－x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.]在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．1－π12 [如图，与点O 距离不大于1的点的轨迹是一个半球，其体积V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝23－2π323＝1－π12.]关键是计算问题的总体积总空间以及事件的体积事件空间，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.跟踪训练] 所示，点是AB 一只蝴蝶在几何体ADF ­BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为( )【导学号：79140363】图10­6­5A ．34B ．23C ．13D ．12D [由题图可知V F ­AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.]。

一、知识梳理１．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．２．几何概型的概率公式P（A）＝错误!常用结论在几何概型中，如果A是确定事件，（１）若A是不可能事件，则P（A）＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P（A）＝0不能推出A是不可能事件．（２）若A是必然事件，则P（A）＝１肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是１，但它不是必然事件，因此由P（A）＝１不能推出A是必然事件．二、教材衍化１．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）解析：选Ａ．因为P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，P（D）＝错误!，所以P（A）>P（C）＝P（D）>P（B）．２．在线段[0，３]上任投一点，则此点坐标小于１的概率为________．解析：坐标小于１的区间为[0，１），长度为１，[0，３]的区间长度为３，故所求概率为错误!.答案：错误!３．设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于２的概率为________．解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为４，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于２的区域．易知该阴影部分的面积为４—π.因此满足条件的概率是错误!.答案：１—错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（）（２）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（）（３）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（４）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!选用的几何测度不准确导致出错.在区间[—２，４]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为错误!，则m＝________．解析：由|x|≤m，得—m≤x≤m.当0<m≤２时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝２．５，矛盾，舍去．当２<m<４时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝３．答案：３与长度（角度）有关的几何概型（师生共研）记函数f（x）＝错误!的定义域为D，在区间[—４，５]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．【解析】由6＋x—x２≥0，解得—２≤x≤３，则D＝[—２，３]，则所求概率为错误!＝错误!.【答案】错误!错误!与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域（长度或角度）．１．从区间[—２，２]中随机选取一个实数a，则函数f（x）＝４x—a·２x＋１＋１有零点的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．令t＝２x，函数有零点就等价于方程t２—２at＋１＝0有正根，进而可得错误!⇒a≥１，又a∈[—２，２]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[１，２]，故P＝错误!，选Ａ．２．如图，扇形AOB的圆心角为１２0°，点P在弦AB上，且AP＝错误!AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为________．解析：设OA＝３，则AB＝３错误!，所以AP＝错误!，由余弦定理可求得OP＝错误!，∠AOP＝３0°，所以扇形AOC的面积为错误!，扇形AOB的面积为３π，从而所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!与面积有关的几何概型（多维探究）角度一与平面图形面积有关的几何概型（１）（２0２0·黑龙江齐齐哈尔一模）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为３，宽为１；第二部分为圆环部分，大圆半径为３，小圆半径为２；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C.错误!Ｄ．错误!（２）（２0２0·辽宁五校联考）古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x＝２交抛物线y２＝４x于A，B两点．点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）图标第一部分的面积为8×３×１＝２４，图标第二部分的面积为π×（３２—２２）＝５π，图标第三部分的面积为π×２２＝４π，故此点取自图标第三部分的概率为错误!.故选Ｂ．（２）在抛物线y２＝４x中，取x＝２，可得y＝±２错误!，所以S矩形ABCD＝8错误!，由阿基米德理论可得弓形面积为错误!×错误!×４错误!×２＝错误!，则阴影部分的面积为8错误!—错误!＝错误!.由概率比为面积比可得，点位于阴影部分的概率为错误!＝错误!.故选Ｂ．【答案】（１）B （２）B角度二与线性规划交汇命题的几何概型（２0２0·陕西咸阳模拟）已知集合错误!表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于１的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】因为集合错误!表示的平面区域为Ω，所以作出平面区域Ω为如图所示的△AOB.直线x＋y＝0与直线x—y＝0垂直，故∠AOB＝错误!.联立错误!得点A（１，—１），联立错误!得点B（３，３）．OA＝错误!＝错误!，OB＝错误!＝３错误!，在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于１的区域是如图所示的半径为１的错误!圆，即扇形OCD，所以由几何概型得点到坐标原点的距离不大于１的概率P＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．【答案】B角度三与定积分交汇命题的几何概型（２0２0·洛阳第一次联考）如图，圆O：x２＋y２＝π２内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】由题意知圆O的面积为π３，正弦曲线y＝sin x，x∈[—π，π]与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S＝２错误!sin x d x＝—２cos x错误!＝４，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝错误!，故选Ｂ．【答案】B角度四与随机模拟相关的几何概型从区间[0，１]随机抽取２n个数x１，x２，…，x n，y１，y２，…，y n，构成n个数对（x１，y），（x２，y２），…，（x n，y n），其中两数的平方和小于１的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的１圆周率π的近似值为（）Ａ．错误!B．错误!Ｃ．错误!D．错误!【解析】设由错误!构成的正方形的面积为S，x错误!＋y错误!＜１构成的图形的面积为S′，所以错误!＝错误!＝错误!，所以π＝错误!，故选Ｃ．【答案】C错误!求与面积有关的几何概型的概率的方法（１）确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；（２）分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率计算公式求解．１．（２0２0·江西八校联考）小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为２的正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．如图，连接OB，OA，可得△OBM与△OAN全等，所以S四边形MONB＝S△AOB＝错误!×２×１＝１，即正方形ABCD和OPQR重叠的面积为１．又正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形面积为４＋４—１＝7，故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是错误!，故选Ｄ．２．（一题多解）如图，线段MN是半径为２的圆O的一条弦，且MN的长为２，在圆O内，将线段MN绕点N按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将新线段NM绕新点M按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动，…点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）Ａ．４π—6错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．π—错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．法一：依题意，得阴影部分的面积S＝6×[错误!（π×２２）—错误!×２×２×错误!]＝４π—6错误!，所求概率P＝错误!＝１—错误!，故选Ｂ．法二：依题意得阴影部分的面积S＝π×２２—6×错误!×２×２×错误!＝４π—6错误!，所求概率P ＝错误!＝１—错误!，故选Ｂ．与体积有关的几何概型（师生共研）已知正三棱锥S­ABC的底面边长为４，高为３，在正三棱锥内任取一点P，使得V P­ABC<错误! V S­ABC的概率是（）Ａ．错误!B．错误!Ｃ．错误!D．错误!【解析】由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足V P­ABC<错误!V S­ABC，故使得V P­ABC<错误! V S­ABC的概率：P＝错误!＝错误!.【答案】B错误!与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．１．（２0２0·山西太原五中模拟）已知四棱锥P­ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝２．现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥P­ABCD内部的概率为________．解析：把四棱锥P­ABCD扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R，即２错误!＝２R，R＝错误!，则四棱锥的体积为错误!×２×２×２＝错误!，球的体积为错误!×π（错误!）３＝４错误!π，则该点取自四棱锥P­ABCD内部的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为________．解析：因为V F­AMCD＝错误!×S四边形AMCD×DF＝错误!a３，V ADF­BCE＝错误!a３，所以它飞入几何体F­AMCD内的概率为错误!＝错误!.答案：错误![基础题组练]１．（２0２0·江西九江模拟）星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有１，１0两路．每路车都是间隔１0分钟一趟，１路车到站后，过４分钟１0路车到站．不计停车时间，则小张坐１路车回家的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意可知小张下班后坐１路公交车回家的时间段是在１0路车到站与１路车到站之间，共6分钟．设“小张坐１路车回家”为事件A，则P（A）＝错误!＝错误!.故选Ｄ．２．（２0２0·河南洛阳二模）在边长为２的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形３个顶点的距离都不小于１的概率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．１—错误!Ｄ．１—错误!解析：选Ｂ．若点P到三个顶点的距离都不小于１，则分别以A，B，C为圆心作半径为１的圆，则P 的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为错误!×３×错误!×１２＝错误!，△ABC的面积S＝错误!×２２×sin 60°＝错误!，则阴影部分的面积S＝错误!—错误!，则对应的概率P＝错误!＝１—错误!.故选Ｂ．３．如图，在一个棱长为２的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）Ａ．１—错误!B．错误!Ｃ．错误!D．１—错误!解析：选Ａ．鱼缸底面正方形的面积为２２＝４，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是１—错误!，故选Ａ．４．（２0２0·河北衡水联考）在如图所示的几何图形中，四边形ABCD为菱形，C为EF的中点，EC ＝CF＝３，BE＝DF＝４，BE⊥EF，DF⊥EF.若在几何图形中任取一点，则该点取自Rt△BCE的概率为（）Ａ．错误!B．错误!Ｃ．错误!D．错误!解析：选Ｄ．因为EC＝３，BE＝４，BE⊥EC，所以BC＝５．又由题可知BD＝EF＝6，AC＝２BE ＝8，所以S△BCE＝S△DFC＝错误!×３×４＝6，S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝２４．由几何概型概率公式可得，所求概率P＝错误!＝错误!，即该点取自Rt△BCE的概率为错误!.故选Ｄ．５．（２0２0·湖南宁乡一中、攸县一中联考）将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足错误!＝错误!＝错误!≈0．6１8，后人把这个数称为黄金分割，把点C称为线段AB的黄金分割点．图中在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）Ａ．错误!B．错误!—２Ｃ．错误!D．错误!解析：选Ｂ．所求概率为错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—２．故选Ｂ．6．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝错误!，y＝—错误!，y＝x，y＝—x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是错误!.答案：错误!7．已知平面区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤１}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin ２x下方的概率是________．解析：y＝sin２x＝错误!—错误!cos ２x，所以错误!错误!d x＝错误!错误!＝错误!，区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤１}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin２x下方的概率是错误!＝错误!.答案：错误!8．已知O（0，0），A（２，１），B（１，—２），C错误!，动点P（x，y）满足0≤错误!·错误!≤２且0≤错误!·错误!≤２，则点P到点C的距离大于错误!的概率为________．解析：因为O（0，0），A（２，１），B（１，—２），C错误!，动点P（x，y）满足0≤错误!·错误!≤２且0≤错误!·错误!≤２，所以错误!如图，不等式组错误!对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>错误!对应的平面区域为阴影部分．由错误!解得错误!即E错误!，所以|OE|＝错误!＝错误!，所以正方形OEFG的面积为错误!，则阴影部分的面积为错误!—错误!，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为错误!＝１—错误!.答案：１—错误!9．如图所示，圆O的方程为x２＋y２＝４．（１）已知点A的坐标为（２，0），B为圆周上任意一点，求错误!的长度小于π的概率；（２）若N（x，y）为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于错误!的概率．解：（１）圆O的周长为４π，所以错误!的长度小于π的概率为错误!＝错误!.（２）记事件M为N到原点的距离大于错误!，则Ω（M）＝{（x，y）|x２＋y２>２}，Ω＝{（x，y）|x２＋y２≤４}，所以P（M）＝错误!＝错误!.１0．已知向量a＝（２，１），b＝（x，y）．（１）若x∈{—１，0，１，２}，y∈{—１，0，１}，求向量a∥b的概率；（２）若x∈[—１，２]，y∈[—１，１]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：（１）设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝２y.所有基本事件为（—１，—１），（—１，0），（—１，１），（0，—１），（0，0），（0，１），（１，—１），（１，0），（１，１），（２，—１），（２，0），（２，１），共１２个基本事件．其中A＝{（0，0），（２，１）}，包含２个基本事件．则P（A）＝错误!＝错误!，即向量a∥b的概率为错误!.（２）设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即２x＋y<0，且x≠２y.基本事件为错误!所表示的区域，B＝错误!，如图，区域B为图中的阴影部分去掉直线x—２y＝0上的点，所以，P（B）＝错误!＝错误!，即向量a，b的夹角是钝角的概率是错误!.[综合题组练]１．（２0２0·安徽合肥模拟）已知圆C：x２＋y２＝４与y轴负半轴交于点M，圆C与直线l：x—y ＋１＝0相交于A，B两点，那么在圆C内随机取一点，则该点落在△ABM内的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由图可知，由点到直线距离公式得|OC|＝错误!＝错误!，则|AB|＝２错误!＝错误!，同理可得|MD|＝错误!＝错误!，所以S△MAB＝错误!|AB|·|MD|＝错误!，由几何概型知，该点落在△ABM内的概率为错误!＝错误!＝错误!，故选Ａ．２．已知P是△ABC所在平面内一点，错误!＋错误!＋２错误!＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则错误!＋错误!＝错误!，因为错误!＋错误!＋２错误!＝0，所以错误!＋错误!＝—２错误!，得错误!＝—２错误!，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的错误!，所以S△PBC＝错误!S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为错误!＝错误!.３．两位同学约定下午５：３0～6：00在图书馆见面，且他们在５：３0～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若１５分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．解析：如图所示，以５：３0作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{（x，y）||x—y|≤１５}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P（A）＝错误!＝错误!.答案：错误!４．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝３sin 错误!x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为１，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝３sin 错误!x的最小正周期T，又T＝错误!＝１２，所以大圆的面积S＝π·错误!错误!＝３6π，一个小圆的面积S′＝π·１２＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!５．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8．0米（四舍五入，精确到0．１米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前５个小组的频率分别为0．0４，0．１0，0．１４，0．２8，0．３0，第6个小组的频数是7．（１）求进入决赛的人数；（２）经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～１0米之间，乙的成绩均匀分布在9．５～１0．５米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：（１）第6小组的频率为１—（0．0４＋0．１0＋0．１４＋0．２8＋0．３0）＝0．１４，所以总人数为错误!＝５0．由图易知第４，５，6组的学生均进入决赛，人数为（0．２8＋0．３0＋0．１４）×５0＝３6，即进入决赛的人数为３6．（２）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足错误!，设事件A为“甲比乙跳得远”，则x>y，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P（A）＝错误!＝错误!，即甲比乙跳得远的概率为错误!.6．已知关于x的二次函数f（x）＝ax２—４bx＋１．（１）设集合P＝{１，２，３}和Q＝{—１，１，２，３，４}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数的概率；（２）设点（a，b）是区域错误!内的随机点，求函数y＝f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数的概率．解：（１）因为函数f（x）＝ax２—４bx＋１的图象的对称轴为x＝错误!，要使f（x）＝ax２—４bx ＋１在区间[１，＋∞）上为增函数，当且仅当a>0且错误!≤１，即２b≤a.若a＝１，则b＝—１；若a＝２，则b＝—１，１；若a＝３，则b＝—１，１．所以事件包含基本事件的个数是１＋２＋２＝５，因为事件“分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b”的个数是１５．所以所求事件的概率为错误!＝错误!.（２）由（１）知当且仅当２b≤a且a>0时，函数f（x）＝ax２—４bx＋１在区间[１，＋∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为错误!，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分．由错误!得交点坐标C错误!，故所求事件的概率P＝错误!＝错误!＝错误!.。

第6讲几何概型[考纲解读] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一. 预测2020年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点3．几何概型的概率公式P(A)＝□01构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．概念辨析(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.故选B.(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．答案16解析 根据题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.(4)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 设事件M 为“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16.题型 一 与长度(角度)有关的几何概型1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14答案 A解析不等式－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1可化为log122≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤log1212，即12≤x＋12≤2，解得0≤x≤32，故由几何概型的概率公式得P＝32－02－0＝34.2．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM 小于AC的概率为________．答案34解析当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM＜67.5°时，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.条件探究 1 把举例说明1的条件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1”改为“使函数y＝log124x－3有意义”，试求其概率．解由log12(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈⎝⎛⎦⎥⎤34，1，由几何概型的概率公式，得P＝1－342－0＝18.条件探究2 把举例说明1的条件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1”改为“2≤2x＋12≤4”，试求其概率．解由2≤2x＋12≤4得1≤x＋12≤2，即x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，由几何概型的概率公式，得P＝32－122－0＝12.1．与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．1．已知函数f(x)＝－x3＋3x2，在区间(－2,5)上任取一个实数x0，则f′(x0)≥0的概率为________．答案27解析因为f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，所以由f′(x0)≥0，解得0≤x0≤2.由几何概型的概率计算公式得f′(x0)≥0的概率P＝2－05－－2＝27.2．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE︵，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为.答案13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13. 题型 二 与面积有关的几何概型角度1 与随机模拟相关的几何概型1．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案 C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.角度2 与平面图形面积有关的问题2．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析 不妨取AB ＝AC ＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2，故选A.角度3 与线性规划有关的几何概型3．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825 答案 C解析 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ＜65确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.角度4 与定积分有关的几何概型4．(2015·福建高考)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案5 12解析由题图可知S阴影＝S矩形ABCD－⎠⎛12x2dx＝1×4－x3321＝4－⎝⎛⎭⎪⎫83－13＝53，则所求事件的概率P＝S阴影S矩形ABCD＝534＝512.1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见举例说明1、2.2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见举例说明3.3．与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．见举例说明4.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.故选B.2．(2018·枣庄二模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.316B.38C.14D.18答案C解析 把图中阴影正方形分割后，移成如图所示，观察图形可知此点取自阴影部分的概率是14.3．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22π C.1πD.12π答案 B解析 由题图可知矩形ABCD 的面积为2π，由sin x ＝cos x 得x F ＝π4，故阴影部分的面积为所以点落在阴影区域内的概率P ＝1＋22π.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解 设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .基本事件为⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1所表示的区域，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y ＜0，x ≠2y ，如图，区域B 为图中阴影部分去掉直线x －2y ＝0上的点， 所以，P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.题型 三 与体积有关的几何概型某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( )A.913πB.113π C.913169πD.13169π答案 C解析 由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的对角线，即2r ＝42＋322＋322＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________．答案 12解析 过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M －ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M －ABCD 的体积等于16.只要M 在截面以下即可小于16，当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.。

第六节几何概型【考纲下载】1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．几何概型有什么特点？提示：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．1．(2014·漳州模拟)在区间[20,80]内随机取一实数a，则实数a属于区间[50,75]的概率是( )A.14B.34C.512D.712解析：选C 显然，该问题属于几何概型，实数a 属于区间[50,75]的概率为75－5080－20＝2560＝512. 2．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110 B.19 C.111 D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成所求事件的区域长度为1 min ，故P ＝110.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 选项A 的概率为38；选项B 的概率为28＝14；选项C 的概率为26＝13；选项D的概率为13，故增加中奖机会的应为A 选项．4．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：劣弧AB 的长度为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，其中长度小于1的概率为132＝23.答案：235．如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为________．解析：由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68， 而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：16.32前沿热点(十七)几何概型与线性规划问题的交汇1．几何概型常常与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度等有关，在高考中经常涉及面积区域的问题，而面积区域的确定又与线性规划有关．因此，高考命题常常在此交汇．2．因为面积经常涉及一个封闭图，解题时一定要注意各边界对应的直线(或曲线)方程，各端点的坐标，求面积时，还要注意对图形的分割等．[典例] (2012·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4[解题指导] 先画出平面区域D ，再找出几何区域的形状，分析其几何概型所对应的量，然后解决问题．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则在区域内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.[答案] D[名师点评] 1.本题有以下创新点：(1)考查方式的创新：由常规方式转换为以线性规划为载体考查几何概型的计算； (2)考查内容的创新：本题将几何概型与线性规划及圆求面积完美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性．2．在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点：(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征； (2)运用几何概型的概率公式时，要注意验证事件是否具备等可能性．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.316 B.38 C.34 D.32解析：选 B 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为12×3×2－12×3×1＝32，则所求概率为322×2＝38.。

第六节几何概型［考纲传真］1 .了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义・抓基础•自主学习林•双基自主测i耳知识梳理1.几何概型的定义如杲每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.几何概型的两个基本特点⑴无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个.（2）等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式构成事件力的区域长度（而积或体积）尸⑺）—试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.学情自测1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“厂，错误的打“X”）（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.（）（2）从区间［1,10］内任取一个数，取到1的概率是需.（）（3）概率为0的事件一定是不可能事件.（）（4）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.（）［答案］（1）V （2）X⑶X⑷丁2.（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球, 若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A B C DA [P(^l) = | , P(B) = l , P(C) = | , P(D) = l ,：・ P(A)>P(C)二 P(D)>P(B)・］3.(2016-全国卷II)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一•名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A-ioc iB ［如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯.AB长度为40 - 15 = 25 ,由几何概型的概率公式知，至少40 ・ 15 5需要等待15秒才出现绿灯的概率为-^― = | ,故选B.J40；亠I 15「A B C4.(2017-唐山检测)如图10・6・1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，冇180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0. 18 ［由题意知,f = _S = 018-T S 正=1 z S阴=0.18.]点，则此点到坐标原点的距离人于2的概率是7T1—扌［如图所示,区域。

一、知识梳理１．几何概型（１）几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．（２）几何概型的两个基本特点２．几何概型的概率公式P（A）＝错误!.二、习题改编１．（必修３P１４２A组T３改编）一个路口的红绿灯，红灯的时间为３0 s，黄灯的时间为５s，绿灯的时间为４0 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为．答案：错误!２．（必修３P１４２A组T２改编）如图是某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖，则顾客中奖的概率是．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（）（２）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（）（３）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（４）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!（１）易混淆几何概型与古典概型；（２）几何概型的测度选择不正确．１．如图，在一边长为２的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子（共m颗）．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗（n<m），则L围成的区域面积（阴影部分）为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!解析：选Ｂ．错误!＝错误!，所以S阴影＝错误!×２２＝错误!.２．记函数f（x）＝错误!的定义域为D.在区间[—４，５]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．解析：由6＋x—x２≥0，解得—２≤x≤３，则D＝[—２，３]，则所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!与长度有关的几何概型（典例迁移）（２0２0·福建五校第二次联考）在区间[0，２]上随机取一个数x，使sin 错误!x≥错误!的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!【解析】当x∈[0，２]时，0≤错误!x≤π，所以sin错误!x≥错误!⇔错误!≤错误!x≤错误!⇔错误!≤x≤错误!.故由几何概型的知识可知所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ａ．【答案】A【迁移探究】（变条件）若将本例中的不等式变为sin x≤错误!，如何求概率？解：结合正弦曲线，在[0，π]上使sin x≤错误!的x∈错误!∪错误!，故所求概率为P＝错误!＝错误!.错误!与长度有关的几何概型（１）如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P（A）＝错误!.（２）与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．１．（２0２0·湖北武汉模拟）某路公交车在6：３0，7：00，7：３0，准时发车，小明同学在6：５0至7：３0之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过１0分钟的概率为．解析：小明同学在6：５0至7：３0之间到达该车站乘车，总时长为４0分钟，公交车在6：３0，7：00，7：３0准时发车，他等车时间不超过１0分钟，则必须在6：５0至7：00或7：２0至7：３0之间到达，时长为２0分钟，则他等车时间不超过１0分钟的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0２0·江西赣州十四县联考）在（0，8）上随机取一个数m，则事件“直线x＋y—１＝0与圆（x—３）２＋（y—４）２＝m２没有公共点”发生的概率为．解析：因为m∈（0，8），直线x＋y—１＝0与圆（x—３）２＋（y—４）２＝m２没有公共点，所以错误!，解得0<m<３错误!，所以所求概率P＝错误!.答案：错误!与面积有关的几何概型（多维探究）角度一与平面图形面积有关的几何概型（１）（２0２0·昆明市诊断测试）如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第２个正方形，依此类推，得到第４个正方形EFGH（图中阴影部分），在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH内的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!（２）（２0２0·江西七校第一次联考）图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!—１ D.２—错误!【解析】（１）设第１个正方形ABCD的边长为２，则第２个正方形的边长为错误!，第３个正方形的边长为１，第４个正方形EFGH的边长为错误!，所以所求概率P＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｃ．（２）设圆的半径为１，则该点取自阴影区域内的概率P＝错误!＝错误!＝错误!—１，故选Ｃ．【答案】（１）C （２）C角度二与线性规划知识交汇命题的几何概型（２0２0·广州综合测试）在平面区域{（x，y）|0≤x≤１，１≤y≤２}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤２x的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!【解析】依题意作出图象如图，则P（y≤２x）＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】A错误!与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．１．（２0２0·郑州市第一次质量预测）已知矩形ABCD中，BC＝２AB＝４，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足错误!·错误!≥0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!解析：选Ｂ．由错误!·错误!≥0，知∠BMC为锐角或直角，则点M所在的区域如图中阴影部分所示，则所求概率P＝１—错误!＝１—错误!＝错误!，故选Ｂ．２．某日，甲、乙两人随机选择早上6：00至7：00的某个时刻到达七星公园进行锻炼，则甲比乙提前到达超过２0分钟的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.．错误!解析：选Ｂ．在平面直角坐标系中，设x，y分别表示乙、甲两人的到达时刻，当x—y>２0时满足题意，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过２0分钟的概率为错误!＝错误!.故选Ｂ．与体积有关的几何概型（师生共研）一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.．错误!【解析】因为V F­AMCD＝错误!×S四边形AMCD×DF＝错误!a３，V ADF­BCE＝错误!a３，所以它飞入几何体F­AMCD内的概率为错误!＝错误!.【答案】D错误!与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．在棱长为２的正方体ABCD­A１B１C１D１中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A１B１C１D１内随机取一点P，则点P到点O的距离大于１的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１—错误!解析：选Ｂ．点P到点O的距离大于１的点位于以O为球心，以１为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于１”为事件M，则P（M）＝错误!＝１—错误!.[基础题组练]１．已知集合A＝错误!，若在集合A内任取一个数a，使得１∈{x|２x２＋ax—a２＞0}的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!解析：选Ｂ．由１0＋３a—a２≥0，解得—２≤a≤５，即A＝[—２，５]．因为１∈{x|２x２＋ax—a ２＞0}，故２＋a—a２＞0，解得—１＜a＜２．由几何概型的知识可得，所求的概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0２0·湖南长沙四县联考）如图，在一个棱长为２的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）Ａ．１—错误!Ｂ．错误!C.错误!Ｄ．１—错误!解析：选Ａ．鱼缸底面正方形的面积为２２＝４，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是１—错误!，故选Ａ．３．（２0２0·安庆二模）中国人民银行发行了２0１8中国戊戌（狗）年金银纪念币一套，如图所示是一枚３克圆形金质纪念币，直径为１8 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用１枚针向纪念币上投掷５00次，其中针尖恰有１５0次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是（）Ａ．错误!mm２Ｂ．错误!mm２Ｃ．错误!mm２Ｄ．错误!mm２解析：选Ｂ．设装饰狗的面积为S mm２.由题意得错误!＝错误!，所以S＝错误!mm２.４．（２0２0·湖南省五市十校联考）一只蚂蚁在三边长分别为6，8，１0的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过１的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!解析：选Ｂ．由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为错误!×6×8＝２４，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于１的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为１的半圆面积，即S＝错误!π×１２＝错误!，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｂ．５．在区间[0，6]上随机取一个数x，则log２x的值介于１到２之间的概率为．解析：由题知１<log２x<２，解得２<x<４，故log２x的值介于１到２之间的概率为错误!＝错误!.答案：错误!6．如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为．解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0２0·西安市八校联考）从集合{（x，y）|x２＋y２≤４，x∈R，y∈R}中任选一个元素（x，y），则满足x＋y≥２的概率为．解析：如图，先画出圆x２＋y２＝４，再画出不等式组错误!对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．（２0２0·洛阳尖子生第二次联考）某港口有一个泊位，现统计了某月１00艘轮船在该泊位的停靠时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足１小时按１小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间２．５３３．５４４．５５５．５6轮船数量１２１２１7２0１５１３8３设该月这１00艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时．（１）求a的值；（２）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．解：（１）a＝错误!×（２．５×１２＋３×１２＋３．５×１7＋４×２0＋４．５×１５＋５×１３＋５．５×8＋6×３）＝４．（２）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则错误!.若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，则|y—x|<４，符合题意的区域如图中阴影部分（不包括x，y轴）所示．记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A，则P（A）＝错误!＝错误!.即两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为错误!.[综合题组练]１．（２0２0·湖南省湘东六校联考）如图，一靶子是由三个全等的三角形和中间的一个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中３DF＝２BF，若向靶子随机投镖，则镖落在小等边三角形内的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!解析：选Ｂ．因为３DF＝２BF，所以不妨设DF＝２，BF＝３，则DC＝３，∠BDC＝１２0°，由余弦定理可得BC＝错误!＝7，所以镖落在小等边三角形内的概率是错误!＝错误!，故选Ｂ．２．（２0２0·甘肃张掖第一次联考）如图，B是AC上一点，分别以AB，BC（AB<BC），AC为直径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D，AC＝6，BD＝２错误!，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!解析：选Ｃ．连接AD，CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BD２＝AB·BC，设AB＝x（0<x<３），则有8＝x（6—x），得x＝２，所以AB＝２，BC＝４，由此可得图中阴影部分的面积等于错误!—错误!＝２π，故概率P＝错误!＝错误!.故选Ｃ．３．（２0２0·广东六校第一次联考）在区间[—π，π]上随机取两个实数a，b，记向量m＝（a，４b），n＝（４a，b），则m·n≥４π２的概率为．解析：在区间[—π，π]上随机取两个实数a，b，则点（a，b）在如图所示的正方形内部及其边界上．因为m·n＝４a２＋４b２≥４π２，所以a２＋b２≥π２，满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，π为半径的圆外部（含边界），且在正方形内（含边界），如图中阴影部分所示，所以m·n≥４π２的概率P＝错误!＝１—错误!.答案：１—错误!４．在平面区域错误!内随机取一点（a，b），则函数f（x）＝ax２—４bx＋１在区间[１，＋∞）上是增函数的概率为．解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB（不包括边界OA，OB），则S△AOB＝错误!×４×４＝8．函数f（x）＝ax２—４bx＋１在区间[１，＋∞）上是增函数，则应满足a>0，且x＝错误!≤１，满足错误!可得对应的平面区域如图中阴影部分（包括边界OC，BC，不包括边界OB），由错误!解得a＝错误!，b＝错误!，所以S△COB＝错误!×４×错误!＝错误!，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!。