辽宁省大连理工大学附属高中数学：新人教B版必修三 3.3.1几何概型 学案

人教版高中必修3(B版)3.3.1几何概型教学设计
一、教学目的
1.理解几何概型的概念和性质。

2.掌握分段讨论和间断函数的求解方法。

3.能够解决常见的几何问题，如角平分线、垂心、垂线等问题。

4.培养学生的逻辑思维和推理能力。

二、教学重点
1.了解几何概型的性质。

2.学会运用几何概型的思想解决几何问题。

三、教学难点
1.掌握分段讨论和间断函数的求解方法。

2.学会几何问题中常用的一些策略和方法。

四、教学资源
1.人教版高中数学(B版)教材。

2.电脑和投影仪。

3.黑板、彩色粉笔。

五、教学过程设计
1. 导入环节
引导学生回忆上一节学习的内容，如线段平分线、角平分线等概念，以及它们的性质和应用。

2. 理论讲解
1.讲解几何概型的概念和性质。

2.介绍分段讨论和间断函数的求解方法。

3.讲解如何运用几何概型的思想解决几何问题。

3. 练习环节
1.给学生提供一些几何问题，引导他们通过分析和运用几何概型的思想
来解决问题。

2.带着学生复习之前学过的几何知识，解决一些常见问题。

4. 总结反思
让学生回顾本节课学到的内容，提出问题、分享经验，帮助大家理解几何概型和解题思路。

同时告诉学生，几何问题虽然看似简单，但需要不断地练习和思考。

六、教学评价
1.在练习环节中观察学生的解题方法和策略，以及对几何概型的掌握程
度。

2.根据课堂互动、讨论和回答问题的表现，对学生进行评价。

3.希望学生课后主动做一些练习，加深对几何概型的理解和应用。

§3.3.1 几何概型教学设计教学内容：人教版《数学必修3》第三章第三节几何概型。

学情分析：学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。

现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型的目的。

教学目标知识与技能目标１．初步体会几何概型及其基本特点；2．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3．让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；过程与方法目标1．通过游戏、案例分析，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力；2．经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识；情感、态度与价值观目标通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。

教学重点：初步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题教学难点：将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度。

教学过程：一、复习引入古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.小试牛刀1、从区间[-10,10]上任取一个整数,求取到大于1小于5的数的概率. 思考：那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢? (设计意图：通过古典概型的特点以及概率公式的应用巩固，为后面的对比学习奠定基础，同时也引出的新的概率模型，增强学生的好奇心。

）（师生互动：学生回答并完成练习，师生共同总结）二、创设情景，引入新课探究实验11. 取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？探究实验22.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?()AP A包含基本事件的个数公式：基本事件的总数探究实验33、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中,始终保持与正方体的6各面的距离都大于1,则称其为“安全飞行”,求蜜蜂安全飞行的概率.由以上3个实验回答：（1）实验中的基本事件是什么:（2）每个基本事件发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？（设计意图：通过实验操作，让学生能直观感受几何概型的基本事件覆盖的区域）（师生互动：学生观察并回答问题，教师及时修正和确认答案）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等．思考：在几何概型中，如何求得某事件A的概率？在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:学生活动（分组讨论）求几何概型概率问题的步骤：1、判断实验的概率模型是否满足几何概型的两个特征；2、2、利用作图法描述基本事件对应的区域；3、3、把随机事件A转化为与之对应的区域d；4、4、利用几何概型概率公式计算。

高中数学必修三：3.3.1几何概型☆学习目标：1. 了解几何概型的概念及基本特点；2. 掌握几何概型中概率的计算公式；3. 会进行简单的几何概率计算．☻知识情境：1. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件，就称作基本事件. 基本事件的两个特点: 10.任何两个基本事件是 的；20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 .2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件 ；20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同．具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n 个等可能的基本事件，而事件A 恰包含其中的m 个基本事件，则事件A 的概率P(A)定义为：()P A == 。

☻问题情境：试验１．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．问题：对于试验１：剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２：射中黄心的概率为多少？3.分析：试验１中,从每一位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳上的任意一点．试验2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,点可以是靶面直径为122cm 的圆内的任一点．在这两个问题中，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂,但是基本事件有无限多个，显然不能用古典概型的方法求解．那么, 怎么求解?①考虑第一个问题，记事件A =＂剪得两段的长都不小于1m ＂．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的 ，于是事件A 发生的概率()P A =． ②第二个问题，记事件B =＂射中黄心＂为， 由于中靶心随机地落在面积为2211224cm π⨯⨯的大圆内，而当中靶点落在面积为22112.24cm π⨯⨯的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率()P B ==．☆新知生成：1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．3.几何概型的概率公式：在区域D 中随机地取一点, 记事件A =＂该点落在其内部一个区域d 内＂，则事件A 发生的概率()d P A D =的测度的测度 = A 构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)． 说明：（１）D 的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段,平面图形,立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．（３） 区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？参考答案:1. 随机事件的概念（1）必然事件：每一次试验都一定出现的事件，叫必然事件；（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件，叫不可能事件；（3）随机事件:随机试验的每一结果或随机现象的每一种表现叫的随机事件,简称为事件.2.基本事件的概念: 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，就称作基本事件.基本事件的两个特点:10.任何两个基本事件是互斥的；20.任何一个事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.古典概型有两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；20.各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A 考虑第一个问题，记＂剪得两段的长都不小于1m ＂为事件A ．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13， 于是事件A 发生的概率1()3P A =． 第二个问题，记＂射中黄心＂为事件B ,因中靶心随机地落在面积为2211224cm π⨯⨯的大圆内，而当中靶点落在面积为22112.24cm π⨯⨯的黄心内时，事件B 发生， 于是事件B 发生的概率22112.24()0.0111224P B ππ⨯⨯==⨯⨯． 例1 分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。

随机数的含义与应用几何概型.理解几何概型的定义及特点.(重点).掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难点).与长度、角度有关的几何概型问题.(易混点)[基础·初探]教材整理几何概型阅读教材，完成下列问题..定义如果把事件理解为区域Ω的某一子区域(如图--所示)，的概率只与子区域的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.图--.几何概型的概率公式在几何概型中，事件的概率定义为：()＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μ表示子区域的几何度量..判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.( )()在射击中，运动员击中靶心的概率在()内.( )()几何概型的基本事件有无数多个.( )【答案】()√()×()√.在区间[－]上随机取一个数，则≤的概率为.【解析】∵区间[－]的长度为，由≤得∈[－]，而区间[－]的长度为，取每个值为随机的，∴在[－]上取一个数，≤的概率＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]某汽车站每隔有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过的概率.【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的之内到达车站，等车时间会超过.【尝试解答】设上一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻到达，则线段的长度为，设是线段上的点，且＝，＝，如图所示.记“等车时间超过”为事件，则当乘客到达车站的时刻落在线段上(不含端。

3．3．1几何概型一．学习要点：几何概型的概念及其概率公式二．学习过程：● 几何概型概念：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。

满足以上条件的试验称为几何概型。

●几何概型的概率公式：在几何概型中，事件A 的概率定义为：()P A Ω=其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示子区域A 的几何度量。

即概念解读：（1）几何概型的概率公式中的几何量，有些书上把它叫做“测度”，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，当区域分别是线段、角、平面图形、立体图形时，相应的“测度”分别表示长度、角度、面积、体积等；（2）当试验的全部结果构成的区域一定时，A 的概率只与构成事件A 的区域的“测度”有关，而与A 的位置和形状无关；（3）对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率，关键在于将问题几何化，即可根据问题的情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个区域，且是可度量的．●几何概型的特点：✓ 无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；✓ 等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。

●几何概型的概率求解过程：适当选择观察角度,确定几何度量的种类：长度，面积，体积；把基本事件空间转化为与之对应的区域；把事件A 转化为与之对应的区域；如果事件A 对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维； 利用概率公式计算。

●典型例题：与“长度”有关的几何概型：例1某汽车站每隔一小时往北京发一班汽车，某人要去北京，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

注意：（1）如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率计算公式为；（2）将每个基本事件理解为在某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可能用几何概型来求解；（3）处理此类问题，判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察角度。

3.3.1几何概型
一、【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】
重点：几何概型的概念及应用；
难点：几何概型的应用.
三、【学习目标】
1、了解并掌握几何概型的概念及其应用，与古典概型相区别；
2、了解几何概型的两个特点：无限性、等可能性；
四、自主学习
1、几何概型的定义及其算法；
2、几何概型的两大特点：
例1、在500ml水中有一个草履虫，现从中随机抽取2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.
例2、取一根长为4米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少？
五、合作探究
1、设为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与连结，求弦长超过半径的概率？
2、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.
3、平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径为的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.
4、在面积为的的边上任取一点，求的面积小于的概率
六、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：
七、当堂检测（见大屏幕）。

3．3几何概型〔1〕人教版：必修3 牛亚竹一、教学目标：1、理解几何概型的概念，能识别几何摡型并会用其概率公式求解；2、经历从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，体会数学建模的一般方法；通过问题求解，领会将实际问题或一般数学问题转化为几何问题的解题策略；3、在实际问题数学化的过程中感受数学与现实世界的联系；在探索交流活动中感受合作的乐趣，提高学习的兴趣。

二、教学重点与难点：教学重点：几何摡型概念的建构。

教学难点：从实际背景中观察、推断、归纳出几何概型概率计算公式。

三、教学方法与教学手段：本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜测〞为主的教学方法；以导向性问题解决作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。

四、教学过程复习：1古典概型〔1〕所有可能出现的根本领件只有有限个有限性〔2〕每个根本领件出现的可能性相等〔等可能性〕我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型2古典概型的概率公式请问：一、在0至9中，任意取出一整数，那么该整数小于3的概率二、在0至9中，任意取出一实数，那么该整数小于3的概率三、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出升,求小杯水中含有这个细菌的概率四、〔转盘游戏〕：图中有两个转盘甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否那么乙获胜在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少设计意图：这些问题都来自于日常生活中，学生们会跃跃欲试，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生不知不觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会被极大的调动起来。

思考：⑴问题二、三、四概率的求法与一、一样吗？假设不一样,请问是什么原因导致的？⑵如何求问题二、三、四的概率？提示：可以借助几何图形的长度、面积等分析概率；⑶有什么方法确保所求的概率是正确的？提示：对转盘游戏进行模拟试验，确保所求的概率是正确的。

分析如下：一、在0至9中，任意取出一整数，那么该整数小于3的概率1分析：0至9中的整数是有限个，且每个整数取到都是等可能的，因此可以利用古典概型。

人教B版数学必修三3.3.1《几何概型》说课稿一、课标及教材分析本节课是人教B版必修3中的第三章第三节《随机数的含义与应用》第一节第一课时的内容。

本课主要学习几何概型的概念及概率计算公式。

其内容安排在古典概型之后，是对古典概型内容的进一步拓展，有利于学生对概率知识的学习和理解。

在课程标准中指出：“随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法”，概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备知识。

可见概率知识对学生的重要性。

二、学情分析在本节课前，学生已经学习了事件与概率、概率加法公式和古典概型，具备一定的解决概率问题的知识和方法。

但理科学生还没学习排列组合，方法一般是列举。

因概率知识贴近实际生活，学生的学习兴趣比较浓。

三、教学目标及重难点分析1.知识与技能目标：（1）体会几何概型的意义、特点，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

（2）了解几何概型的概率公式并能应用其进行简单的计算；2.过程与方法目标：结合实际生活中实例，学生自主发现现实生活中跟古典概型有关但却无法解决的问题引入课题，师生共同对提出的问题探究，运用类比、归纳、概括的方法经历概念产生与发展的过程，感知用图形解决概率问题的方法。

3.情感态度与价值观目标：学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、概括、归纳相结合，使学生的由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力得到培养，在解决问题的过程中，自身的数学核心素养得到提升。

教学重点：几何概型的概念及应用。

教学难点：在应用几何概型的概率计算公式过程中，构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

四、教法学法特点分析1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题探究式”教学方法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入。

利用引导发现和类比归纳相结合，概括出几何概型的概念及其概率公式。

人教版高中必修3(B版)3.3.1几何概型课程设计一、课程背景几何概型是高中数学必修课程的重要内容之一，也是初中数学学习中重要的过渡环节。

在高中课程中，几何概型的学习不仅有利于学生形成立体思维，还有助于他们理解和掌握解决实际问题的几何方法。

本课程主要是以建立学生对几何概型基本概念和方法的认识为主要目的，同时也要在实际问题中应用所学几何知识并使学生形成科学的思维方法和逻辑思维能力。

二、教材分析本课程所使用的教材为人教版高中必修3(B版)。

该教材对几何概型的教学内容进行了比较详细的描述，包括基本概念、基本定理、平面几何、空间几何等内容。

在本课程的教学过程中，将会结合教材中的内容，进行教学和辅导。

三、课程目标本课程的主要目标是：1.让学生掌握几何概型的基本概念和术语。

2.让学生掌握几何概型的基本定理和证明方法。

3.培养学生观察、分析、解决几何问题的能力。

4.培养学生科学的思维方法和逻辑思维能力。

四、课程内容和教学方法本课程的主要内容包括：几何概型的基本概念和术语、基本定理和证明方法、平面几何与空间几何等内容。

在教学过程中，将会采用以下教学方法：1.讲解法。

通过讲解教材内容，引导学生理解概念和定理，并且让学生能够掌握证明方法。

2.实例法。

通过实际问题引出几何概型的相关知识，让学生在解决实际问题的过程中掌握几何知识。

3.讨论法。

通过讨论教材上的例题或是学生提出的问题，让学生积极参与，提高他们的思维能力和分析能力。

4.实验法。

通过实验让学生在实践中感性认识几何知识，提高他们的实际操作能力。

五、课程评估本课程的评估方式主要包括课堂测试、作业评定、实验报告、考试等。

其中，考试是本课程的重要评估方式，在考试中将会设置选择题、填空题、解答题等不同考试题型，从而全面考察学生掌握几何概型的情况。

除了考试，本课程也将充分重视学生的学习兴趣、思维习惯、合作精神等方面的培养，从而全面评估学生的学习成绩。

六、教学资源本课程的教学资源主要包括教师教学PPT、教材、讲义、练习册、作业、实验器材等。

几何概型习题课【三维目标】一、知识与技能1理解几何概型的概念，掌握几何概型的计算公式；2正确将几何概型问题转化为相应的几何图形，用图形的几何度量进行解决问题。

二、过程与方法1通过对几何概型四个测度的探究，培养学生的观察力及归纳推理能力；2通过对长度型与角度型，面积型和体积型的区分，培养学生思维的深刻性和灵活性。

三、情感态度与价值观通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析的能力，积极思维，追求新知的创新意【重点难点】1、重点：理解几何概型的概念，掌握其计算公式；区分几何概型的四种测度，能够准确解决几何概型问题是教学重点。

2、难点：区分几何概型的四种测度，特别是是长度和角度的区别是教学难点。

【教学过程】引例：如图，△ABC，AB=1，AC=√3，BC=2（1）在BC边上任取一点D，求AD>1的概率（2）过A的∠BAC内任取一条射线AD，交BC于D，求AD>1的概率贝特朗悖论：在一个给定的圆内所有弦中任选一条弦，求该弦长度长于圆内接正三角形边长的概率。

例1：分别在区间[0,5]和[0,3]内任取一个实数,依次记为m 和n,则m>n 的概率为_________基本事件空间{m,n|0n}则概率为例2：某校早8：00上课，设A,B 两人在早上7：30~7：50随机到校，则A 比B 至少早5分钟到校的概率为______ 基本事件空间{m,n|01691-m -n, m1-m -n>nn1-m -n>m所以A={m,n|0<m<,0<n<,<mn<1}则概率为41四、【作业布置】五、【课堂小结】1几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P A＝错误!六、【教学后记】。

1基本情况授课对象本节课教授的是绥中一高中学生，基础较弱，普遍比较惧怕数学，不喜欢呆板的运算和证明。

但思维比较灵活，经激发后也有一定的思辨能力。

教材分析本节课是在讲授了几何概型的基本概念以后，进一步对几何概型中D测度和d测度的确认方法进行讨论。

几何概型是新课改以后新加入的内容，是与以往教材安排上的最大的不同之处。

这充分体现了新课改强调的数学与实际生活的紧密关系，是学生思维从有限到无限的自然延伸。

同时它在概率论中有非常重要的作用本节课有利于学生动手试验、合作探究能力的提升，有助于提高学生发现问题、解决问题的能力，有助于增强学生数学知识在实际问题中的应用。

但是执教过几何概型这部分内容的教师，却有这样的感受：“几何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，主要是对题目的理解上出现问题。

教学目标：（1）指导学生如何明辨题意，使学生能够较为清楚的辨认几何概型类型问题中的测度。

（2）培养学生数形结合的能力，能够较为熟练的掌握几何概型中的图像与具体数据之间的联系。

（3）培养学生的阅读能力，通过仔细辨析题目中间每句话，以至于每个字的含义，提升学生理解分析题目的能力。

（4）通过本节课数形结合，比较辨析的方法，希望能使学生认识到数学学习并不是完全呆板的，体会到学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣。

教学重点：通过对具体问题的讨论分析，增强学生理解几何概型问题的能力。

教学难点：在几何概型中把实验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，并且从中理解如何利用几何概型的知识把实际问题转化为各种几何概率问题，并且通过具体事例比较学会对测度的确定。

2教学过程21 复习师：前面我们学习了古典概型的概念和特征，以及古典概型计算的公式，我们再来回忆一下。

几何概型中，事件A的计算公式为？（学生一起回答）师：好的，那么今天这节课我们就是接着上一课的内容，来一起看这么一个问题：在0到10这11个整数中任意取一个整数，则该整数小于5的概率是多少？如果问题改为：在0到10实数中任意取一个实数，则该数小于5的概率是多少？请对比题目前后差别活动意图：承前启后，开门见山。

3.3.1 几何概型学习目标1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．【任务一】知识梳理 1．几何概型的概念事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，如图，A 的概率只与子区域A 的____________(长度、面积或体积)成________，而与A 的________和________无关．满足以上条件的试验称为____________． 2．几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A 的概率定义为：______________________，其中，μΩ表示______________，μA 表示__________________． 【任务二】典型例题题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率．变式1 公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min 的概率．题型二 与面积有关的几何概型例2已知正方形ABCD 的边长为2，在正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 满足|P A |≤1的概率是( )A ．π8B ．π8C ．1－π16D ．π16变式2.1水池的容积是20m 3，水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1m 3/h ，它们一昼夜(0～24h)内随机开启，则水池不溢水的概率为( )A ．56B ．2572C ．518D ．13变式2.2甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人半小时，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．题型三 与角度有关的几何概型例3某人从东西走向的河的南岸向东北方向游去，游了100 m 后没有到岸边，随后，他随意选定了一个方向继续游，求这个人游100 m 之内能够到达南岸边的概率．变式3 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．【任务三】课后作业1．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB >90°的概率是 ( )A.π8B.π4C.π16D.π22．在半径为1的半圆内，放置一个边长为12的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为 ( )A.12B.14C.14πD.12π3．在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是 ( )A.13B.17C.310D.7104．如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为________．5．一个游戏盘上有四种颜色：红，黄，蓝，黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为________．6．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 7．在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤lo ≤1”发生的概率为________．8．(2014·重庆)某校早上开始上课，假设该校学生小张与小王在早上～之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5min 到校的概率为________．(用数字作答)1．A[如图，由题意知点P 落在以AB 为直径的半圆内时∠APB >90°，设正方形边长为2，则μΩ＝4，μA ＝π2，∴P (A )＝π24＝π8.]2．D[如图，半圆的面积为π2，正方形的面积为14，所求概率为P ＝S 正方形S 半圆＝12π.]3．C 4.113解析 由题意得，区域D 所对应的面积是大正方形的面积S 大＝13，事件A ＝{飞镖落在阴影部分}对应的区域面积是阴影部分(小正方形)的面积，S 阴＝(13－22－2)2＝1，所以P (A )＝113.5.7136.23解析 由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.解析:∵lo 2≤lo≤lo,y=lo x 为减函数,∴≤x+≤2,0≤x ≤.∴P=.7． [答案]932[解析] 设小张到校时间是－任意时刻x ，小王到校时间是－任意时刻y ，则x 、y ∈[0,20]的任意实数，因为x 在该时间段的任何时刻到校是等可能的，故为几何概型事件“小张比小王至少早到5min ”为事件A ，即y －x ≥5，如图所示Ω和事件对应测度为∴所求概率P (A )＝12×15×1520×20＝932.3.3.1 几何概型学习目标1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．【任务一】知识梳理1．几何概型的概念事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，如图，A 的概率只与子区域A 的____________(长度、面积或体积)成________，而与A 的________和________无关．满足以上条件的试验称为____________． 2．几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A 的概率定义为：______________________，其中，μΩ表示______________，μA 表示__________________．1．几何度量 正比 位置 形状 几何概型2．P(A)＝μAμΩ区域Ω的几何度量 子区域A 的几何度量【任务二】典型例题题型一 与长度或角度有关的几何概型例1 取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率．解 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算．如图，记剪得两段绳子都不小于1m 为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，所以事件A 发生的概率P (A )＝13.变式1 公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min 的概率．解 设A ＝“候车时间不超过3 min ”，x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t ，据题意，乘客必然在(t －5，t ]内来到车站，故Ω＝{x |t －5<x ≤t }，欲乘客候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以A ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝A 的度量Ω的度量＝35＝0.6.答 乘客候车时间不超过3 min 的概率为0.6. 题型二 与面积有关的几何概型例2已知正方形ABCD 的边长为2，在正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 满足|P A |≤1的概率是( )A ．π8B ．π8C ．1－π16D ．π16变式2.1水池的容积是20m 3，水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1m 3/h ，它们一昼夜(0～24h)内随机开启，则水池不溢水的概率为( )A ．56B ．2572C ．518D ．13变式2.2甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人半小时，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．[解析] 如图所示：用x 、y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是|x －y |≤30.在平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形．而事件A “两人能够见面”的可能结果仅是阴影部分所示的区域.由几何概型概率的计算公式，得P (A )＝602－302602＝34.题型三 与面积有关的几何概型例3某人从东西走向的河的南岸向东北方向游去，游了100 m 后没有到岸边，随后，他随意选定了一个方向继续游，求这个人游100 m 之内能够到达南岸边的概率．解如图所示，某人从B 沿北偏东45°方向游了100 m 到达O 点处．由图可知，∠OBA ＝45°，OA ＝OB ＝100 m ，在点O 处只有向阴影方向游100 m 之内才能到达岸边，故所求的概率为P ＝90°360°＝14.变式3 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．[解析]以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．设事件A＝“射线OA落在∠xOT内”．事件A的几何度量是60°，区域Ω的几何度量是360°，所以，由几何概率公式得P(A)＝μAμΩ＝60360＝16.。

几何概型教学设计一、教学内容分析1教材的内容及地位“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。

《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。

2教学重点1理解几何概型的定义、特点。

2会用公式计算几何概型概率。

3理解几何概型和古典概型的区别。

3教学难点在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度，通过数学建模解决实际问题。

二、教学目标分析1通过师生共同试验探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别概率模型。

2会利用公式求简单的几何概型的概率问题，体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理。

3会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力，培养学生从有限向无限探究的意识。

三、学生学情分析学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但不会很成熟，学生在学习本节课时容易对几何概型概念理解不清，与古典概型相混淆。

另外，在解决几何概型问题时，几何概型的判别问题应该不大，但几何度量的选择需要特别重视，在教学中，应引导学生发现其中的规律特征，找出正确的几何测度方式去分析解决问题。

另外，授课班级为理科宏志班，但了解到本班数学成绩偏差，因此选题均为中档题，适宜学生自己分析解决，实现学生主体地位。

四、教学策略分析1、教学方法：本节课采用贯穿类比思想，以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式2、学法指导：通过小组合作试验、交流，类比归纳，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

3、板书设计（一）知识回顾：问题1：古典概型的两个特点是什么？问题2：计算公式是什么？古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。

《几何概型》教课方案一、教课目的1.知识与技术目标：（1）经过本部分内容的学习，理解几何概型的意义、特色，掌握几何概型的概率公式；（2）会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型；（3）经过解决详细问题的实例感觉理解几何概型的观点，掌握基本领件等可能性的判断方法，逐渐学会依照详细问题的本质背景剖析问题、解决问题的能力。

感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

2.过程与方法目标：（1）情境引入，经过师生共同对“问题链”的研究，运用察看、类比、思虑、研究、归纳、归纳的方法领会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，领会数学知识与现实世界的联系，培育逻辑推理能力。

（2）经过小组的研究议论，让学生学会分享自己的看法，培育学生的团队合作精神。

3.感情态度与价值观目标：本节课的主要特色是切近生活，领会概率在生活中的重要作用，同时随机试验多，学习时养成好学谨慎的思想习惯。

经过学习，让学生领会生活和学习中与几何概型有关的实例，加强学生解决本质问题的能力；同时，适合地增添学生合作学习沟通的时机，培育学生的合作能力.二、要点、难点1.教课要点：领会几何概型的意义，几何概型的观点和公式的应用，注意理解几何概型与古典概型的差别与联系2.教课难点：在几何概型中把试验的基本领件和随机事件与某一特定的几何地区及其子地区对应，而且从中理解怎样利用几何概型的知识把本质问题转变为各样几何概率问题，从而娴熟应用几何概型的概率公式计算有关事件发生的概率。

三、教课方案情境引入设计企图问题１ : 若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从 A 中任拿出一个数,这个数不大于3问题 1、2 设计意图：复习稳固古的概率是多少？典概型的特色及其概率公式，为变式 1：若 A=(0,9], 则从 A 中任意拿出一个数 , 则这个数不大于 3 的概率是几何概型的引入做好铺垫。

多少？变式 1、2 设计意问题 2:2008 年奥运会时期，某厂商为销售其生产的福娃产品，特举办了一图：次有奖活动 : 顾客任意掷两颗骰子，假如点数之和大于10，可获取一套福娃1．以本质问题引玩具。