高中人教A版数学必修3学案：3.3.1-几何概型-3.3.2-均匀随机数的产生-【含答案】

3.3.2均匀随机数的产生（1）产生两组0～1之间的均匀随机数，X RAND =，Y RAND =；（2）数出0.5Y X >-的个数1N ，计算()1n N f A N=（N 代表每组均匀随机数的个数）。

教师展示频率分布折线图 方法2：（计算）以横坐标X 表示报纸送到时间,以纵坐标Y 表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件。

根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A 发生,所以11117222()18P A -⨯⨯==。

设计意图：及时练习巩固 和提升，让学生感受频率的随机性和相对稳定性，同时用计算验证随机模拟的可靠性。

方法1：（试验模拟）随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即≈圆的面积落在圆中的豆子数正方形的面积落在正方形中的豆子数，假设正方形的边长为2,则224ππ==⨯圆的面积正方形的面积.由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4，这样就得到了π的近似值。

方法2：（计算机模拟）（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数 1a RAND =,1b RAND =。

（2）经过平移和伸缩变换, 12(0.5)a a =-, 12(0.5)b b =-； （3）数出落在圆 221x y +=内的点 (),a b 的个数 1N ,计算14N Nπ=（N 代表落在正方形中的点(),a b 的个数）。

对于不同的建系方法，不同选取长度单位的方法予以肯定。

拓展：若把圆变成椭圆，如何估计椭圆的面积？ 若把圆变成更加不规则图形，如何计算不规则图形面积？ 设计意图：通过思考，层层深入，逐步得到解题方法，不仅锻炼学生灵活处理问题能力，也锻炼了学生积极思考的能力。

3.3 几何概型3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生一、教学目标：1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．3、 例题分析：课本例题略例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。

3.3.2 均匀随机数的产生（教案）课标要求1．了解均匀随机数的产生方法与意义．2．会用模拟试验求几何概型的概率．3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．重点难点1．会利用模拟试验估计概率．(重点)2．会设计简单的模拟试验的设计方案．(难点)自学导引1.均匀随机数定义：如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2.均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．并统计试验结果．(2) 计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换x＝x1]想一想：概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件也一定是必然事件吗？提示：如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事件．均匀随机数的产生：(1)用计算器产生0～1之间的均匀随机数过程如图所示：(2)用计算机产生均匀随机数的过程如下：S cilab 中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数，每调用一次rand()函数，就产生一个随机数，如果要产生a～b之间的随机数，则使用变换rand()*(b－a)＋a得到例题1：取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？[思路探索] 利用计算器产生随机数的方法或利用随机模拟的方法解决．(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数，a1＝RAND；(2)经过伸缩变换，a＝a1*3;(3)统计出［1，2］内随机数的个数N1和［0，3］内随机数的个数N；(4)计算频率f n(A)= 即为概率P(A)的近似值.规律方法用模拟试验求概率近似值的步骤如下：1.确定求均匀随机数的实数区间[a，b]；2.用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数；3.用伸缩变换转化到[a，b]内的随机数；4.确定试验次数N和事件A发生次数N，求得频率得出概率的近似值变式1：在长为4，宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆．(1)随机撒一把豆子，计算豆子落入半圆的概率．(2)利用计算机模拟的方法估计π值例题2：如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．变式2：在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．变式3：利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．思路分析：在坐标系内画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方面积之比，从而求得阴影部分的近似值．。

3.3.2均匀随机数的产生学习目标 1.了解均匀随机数的意义，会利用计算器(计算机)产生均匀随机数；2.理解用模拟方法估计概率的实质，会用模拟方法估计概率；3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.知识点一均匀随机数的意义思考回忆一下在古典概型中我们是如何利用整数值随机数来模拟古典概型的？能不能用它来模拟几何概型？答案我们用整数值随机数对应古典概型中的基本事件，通过大量产生随机数来代替试验，通过统计产生的随机数中代表事件A发生的那些数的个数，进而计算频率来估计事件A发生的概率.因为几何概型的基本事件无限多，代表总的基本事件以及事件A包含的基本事件是连续的区域，所以不能用整数值随机数来模拟几何概型.要想用随机数对应几何概型中的基本事件，也需要用连续的.一般地，在取值区间[a，b]上的任何一个实数出现的可能性都是相等的.我们把这样的随机数叫均匀随机数.知识点二均匀随机数的产生1.计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数.2.Excel软件产生[0,1]的均匀随机数的函数为“rand ()”.3.[a，b]上均匀随机数的产生.利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.知识点三用模拟方法估计概率思考我们已经有了几何概型概率公式，为什么还要估计概率？答案原因有两个：一个是几何概型涉及的区域不规则，难以度量；另一个是用计算机产生随机数样本容量可以很大，而且统计结果方便快捷，可操作性强.用模拟方法估计概率的步骤：①把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围；②用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数； ③统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题.类型一 均匀随机数的产生例1 取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？解 设“剪得两段的长都不小于2 m ”为事件A .(1)利用计算器或计算机产生n 个0～1之间的均匀随机数，x ＝RAND. (2)作伸缩变换：y ＝x *(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数. (3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m . (4)概率P (A )的近似值为mn.反思与感悟 均匀随机数的产生都是以[0,1]上的均匀随机数为基础，通过平移和伸缩变换得到目标区间上的随机数.跟踪训练1 如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，用计算机随机模拟这个试验，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率.解 用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过伸缩平移变换，a ＝(a 1－0.5)*4，b ＝(b 1－0.5)*4得到两组[－2,2]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数N ，落在阴影部分的次数N 1.(4)计算频率f n (A )＝N 1N就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值.类型二 随机模拟方法例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A ，你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件A 发生的概率吗？ 解 方法一 (随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P (A )＝父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数.方法二 用计算机产生随机数模拟试验.X 是0～1之间的均匀随机数，Y 也是0～1之间的均匀随机数.如果Y ＋7>X ＋6.5，即Y >X －0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.在计算机上做M 次试验，统计一下Y >X －0.5的Y 的个数，如果为N ，则所求概率为N /M .反思与感悟 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大.用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.跟踪训练2 在下图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值.类型三 用模拟法估计面积例3 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积.解 以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积. 例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698， 所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396. 反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率.跟踪训练3 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积.解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；(2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1*4-3，b =b 1*3，得到一组［-3，1］，一组［0，3］上的均匀随机数；(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1（满足条件b<2-2a -a 2的点（a ,b ）个数）； (4)计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分面积为S .由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S12.即S 12≈N 1N. 所以S ≈12N 1N即为阴影部分面积的近似值.1.用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( ) A.只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率 答案 C2.关于用Excel 软件产生均匀随机数，下列说法错误的是( ) A.只能产生[0,1]区间上的随机数 B.产生均匀随机数的函数是RAND C.产生的均匀随机数是伪随机数D.用Excel 软件不但能产生大量均匀随机数，还方便统计结果. 答案 B3.将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( ) A.a ＝a 1*7 B.a ＝a 1*7+3 C.a =a 1*7-3 D.a ＝a 1*4答案 C解析 根据伸缩和平移变换a ＝a 1*[4-(-3)]+(-3)= a 1*7-34.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A.m >n B.m <nC.m ＝nD.m 是n 的近似值 答案 D解析 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.5.设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12对应变换成的均匀随机数是( )A.0B.2C.4D.5 答案 C1.在区间[a ，b ]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.一、选择题1.用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x ，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是( ) A.y ＝3x －1 B.y ＝3x ＋1 C.y ＝4x ＋1 D.y ＝4x －1答案 D解析 将区间[0,1]伸长为原来的4倍，再向左平移一个单位得区间[－1,3]，所以需要经过的线性变换是y ＝4x －1.2.与均匀随机数特点不符的是( ) A.它是[0,1]内的任何一个实数 B.它是一个随机数C.出现的每一个实数都是等可能的D.是随机数的平均数 答案 D解析 A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.3.质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为( ) A.14 B.13C.12D.以上都不对 答案 C解析 区间[0,2]的长度为2，记“质点落在区间[0,1]上”为事件A ，则事件A 的区间长度为1，则P (A )＝12.4.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，海豚离岸边不超过2 m 的概率为(注：海豚所占区域忽略不计)( ) A.1150 B.2125 C.2375 D.1300 答案 C解析 记“海豚离岸边不超过 2 m ”为事件A ，则事件A 为“海豚离岸边超过2 m ”.且P (A )＝(20－4)×(30－4)20×30＝5275.∴P (A )＝1－P (A )＝2375.5.在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 B解析 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.6.向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.14B.2536C.25144 D.1 答案 C解析 直线6x －3y －4＝0与直线x ＝1交于点⎝⎛⎭⎫1，23，与直线y ＝－1交于点⎝⎛⎭⎫16，－1，易知阴影部分面积为12×56×53＝2536.∴P ＝S 阴影S 正方形＝25364＝25144.7.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积约为()A.43B.83 C.23 D.无法计算答案 B解析 ∵S 阴影S 正方形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.8.如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm 、4 cm 、6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}， 事件C ＝{投中大圆之外}.(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数. (3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数).则概率P (A )，P (B )，P (C )的近似值分别是( ) A.N 1N ，N 2N ，N －N 1N B.N 2N ，N 1N ，N －N 2N C.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2N D.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N 答案 A解析 P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N .二、填空题9.在区间[－1,1]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2<14的概率为________.答案π16解析 当x ，y ∈[－1,1]时，点(x ，y )构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x 2＋y 2<14的点(x ，y )构成的区域是一个半径为12的圆的内部，其面积等于π4，所以所求概率P ＝π44＝π16.10.方程x 2＋x ＋n ＝0 (n ∈(0,1))有实根的概率为________. 答案 14解析 方程有实根，则Δ＝12－4n ≥0，即n ≤14，又n ∈(0,1)，∴方程有实根的概率为P ＝14－01－0＝14.11.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________. 答案 13解析 由3a －1<0得a <13.由几何概型概率公式得P ＝13.12.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________.答案 33解析 据题意可知，黄豆落在阴影部分的概率约为5501 000＝1120 ，其概率可用阴影部分的面积与矩形面积的比来度量，即1120＝S 阴影S 矩形＝S 阴影12×5⇒S 阴影＝33.三、解答题13.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1所围成的部分)的面积.解 (1)利用计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换得到一组[－1,1]区间上的均匀随机数和一组[0,2]区间上的均匀随机数；(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b <2a 的点(a ，b )的个数)； (4)计算频率N 1N ，即落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影面积为S ，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4.所以N 1N ≈S 4，所以S ≈4N 1N ，即为阴影部分面积的近似值.。

3.3.1 几何概型教学设计【课题】 3.3.1 几何概型【教材】普通高中课程标准实验教科书数学3 必修人民教育出版社A版【授课教师】【教材分析】本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节第一课时几何概型，是新课程改革后新增的内容，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类等可能模型，在概率论中占有相当重要的地位. 学好几何概型有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些现象.【学情分析】学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.【教学目标】知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法.情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界.【重点难点】教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率.教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量.【教法学法】本节课教师采用层层设疑、启发引导学生自主探究的教学模式；使用多媒体来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.【教学基本流程】复习回顾↓情景引入↓建立模型↓例题训练↓练习巩固↓课堂总结↓作业布置教学情境设计：升的水,其中含有1个细菌求小杯水中含有这个细菌的概率概算公式：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。

“几何概型”教学设计四川省眉山中学校谢维勇一、教材分析“几何概型”是人教A版高中数学必修3第三章概率第三节的内容，安排在“随机事件的概率”和“古典概型”之后，其上位知识为概率的统计定义和等可能事件定义，下位知识为运用计算机产生均匀随机数估计”几何概型”的概率等内容。

”几何概型”是新课程新增加的内容，介绍”几何概型”主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对”几何概型”的要求仅限于初步体会”几何概型”的意义。

”几何概型”在概率论中占有重要的地位，它将”古典概型”中等可能事件数量从有限推广到无限，更广泛地满足随机模拟的需要，进一步完善了人类对概率模型的认识。

教材中”几何概型”这一节共分两个课时，这里是针对第一节课的教学设计，主要涉及”几何概型”的定义、计算公式及其简单应用。

“几何概型”的课堂教学活动应侧重学生对”几何概型”本质的理解和计算公式的掌握教学的关键是处理好以下几个方面：一是克服”古典概型”思维定势的影响，阐释并引入”几何概型”的意义；二是归纳”几何概型”特征，理解”几何概型”与”古典概型”的本质区别；三是一维、二维到三维”几何概型”中测度的具体内容。

因此，将本节课教学的重难点确定为：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算。

二、教学目标1了解”几何概型”的基本特点及与”古典概型”的异同。

2会依据具体问题选择恰当测度进行简单的”几何概型”计算。

3依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征发展学生直观想象的数学素养4通过”几何概型”概念的建构过程和选择恰当的概率模型进行概率计算发展学生数学建模的数学素养三、教学重难点教学重点：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算教学难点：”几何概型”概念的建构和依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征。

四、教学方法本节课采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，注重启发式教学，多以问题链的形式出现，并结合多媒体辅助教学。

在课堂教学过程中，通过分组讨论、合作交流的形式，使学生体验数学活动中的发现与创造，让学生亲身经历”几何概型”概念的建构过程，从观察到分析再到归纳，感受事物从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，逐渐培养透过现象看本质的思维方法和能力。

数学学科课堂导学案课题：3.3.1几何概型教学目标1、让学生理解几何概型试验的基本特征，并掌握几何概型的特征2、会求简单的几何概型试验的概率教学重点几何概型的特点、几何概型的识别、几何概型的概率公式教学难点建立合理的几何模型求解概率创设情境引入新课问题1：若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？问题2：若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？小组合作探究试验试验1：取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?试验2：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?试验3：有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.新知定义知识归纳请同学们阅读教材P135-136，归纳得出1、几何概型的定义2、几何概型的特点3、几何概型的概率计算公式例题讲解变式提高例1 ：取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

变式：例1中，豆子落在圆外的概率是多少？豆子落在圆周的概率是多少？例2.有一个底面半径为1cm ，高为3cm的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离不大于1的概率是多少？例3：在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？变式：在上一题构造的直角三角形ABC的基础上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时AM<AC的概率有多大？课堂巩固练习1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.2、已知矩形ABCD,AB=8，AD=6，向矩形ABCD内投一粒豆子，落点为P求：(1)∠APB＞ 90°的概率P1;(2)∠APB＜ 90°的概率P2;(3)∠APB = 90°的概率P3;课堂小结1、你是怎么区分古典概型与几何概型？2、若是几何概型，你是怎么样求它的概率？研究性学习：A BC D总结解题策略：材料：“贝特朗问题”法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）于1889年提出的概率悖论，其具体内容是：在半径为1的圆内的随机取一条弦，该弦的长度长于圆的内接正三角形边长3的概率。

均匀随机数的产生教学设计教案一．教学内容与内容解析1.教学内容：均匀随机数的概念，随机模拟方法及其应用.2.教学分析：《(均匀随机数的产生与应用》（以下简称《随机数》）这节课的主要知识内容是均匀随机数；涉及的数学方法是随机模拟方法,数学思想是从特殊到一般、近似逼近和算法的思想；而教学情景主要是教材P132例2，P133例3，以及增加的探究问题．在内容处理方面，首先要让学生弄清什么是均匀随机数，但仅仅这样是不够的，更重要的是要让学生弄清为什么要学习均匀随机数，为什么要用计算机产生均匀随机数.然而，有了产生均匀随机数的方法，并没有解决用模拟试验来估计随机事件的概率问题.因此，了解随机模拟方法，并用随机模拟方法计算一些随机事件的概率的估计值就成为必要的学习内容，更为重要的是，要引导学生用随机模拟方法去解决更多探究的问题.在利用随机模拟方法解决问题时，对于一次次试验结果的统计是一件非常麻烦的事情，这正好是在技术平台上用算法解决问题的绝好机会，也是对学生进行算法思想熏陶的好时机. 因此，对于《随机数》这节课的设计，我们从具体案例出发，让学生体会学习随机数的必要性.二．教学目标与目标解析学生通过学习《整数型随机数的产生与应用》，对随机数的概念与作用有了一定了解，对运用随机数去进行随机模拟也有了初步认识．本节课，根据内容与内容解析，我们认为教学目标应为：1．明确均匀随机数的概念,会用信息技术工具产生指定范围的均匀随机数；2.通过具体案例理解随机模拟方法，能针对具体的问题设计模拟模型，并通过随机模拟方法得出问题的解的估计值或判断问题的可能解.3.在信息技术环境下，通过算法解决大量重复模拟试验中的数据统计问题，得出问题的解的估计值，并由此进一步体会随机模拟方法、算法思想以及从特殊到一般的数学研究过程.随机模拟是在特殊、具体的环境下实现的试验过程，随着试验次数的增加，会得到具有一定规律性的结果，教学中要引导学生学会观察，并由此得出一般结论（或规律）．均匀随机数的概念与产生方法不是什么难事，也不是主要的教学目标.但通过具体案例理解随机模拟方法，并用算法的思想实现获取解的估计值这个过程是主要的教学目标，即教学重点.三．教学问题诊断分析在计算器上用rand()产生（0,1）之间的随机数不是什么难事，但产生任意区间（a,b）上的随机数涉及线性变换，这是学生不易处理的问题，就是本节课的第一个教学问题.解决这个问题，可以先在计算器上实验，再总结规律．建立怎样的模型来进行模拟试验（如建立怎样的几何概型来估计随机事件的概率），并通过怎样的步骤来进行随机模拟试验，这是第二个教学问题，也是教学难点之一.解决这个问题时可以参考整数值随机数在模拟试验中的运用．在随机模拟试验中，需要用计算机（或计算器）不断重复地产生随机数，并根据随机数进行频数统计，这是一项非常麻烦的事情.如果不研究随机模拟方法中所涉及的算法，那么很难使学生对随机模拟方法有较深刻的理解.同时，要使通过随机模拟方法所得到的问题的解的估计值更精确，就必须使随机模拟试验的次数相当大，这靠人工统计的方法是办不到的.因此，如何通过算法使学生更好地体会随机模拟方法是第三个教学问题，这是教学难点之二.四．教学过程设计【问题１】什么是均匀型随机数？你能用计算器产生(a,b)内的均匀随机数吗？设计意图：使学生获得均匀随机数的概念，并学会用计算器产生(a,b)内的均匀随机数.师生活动：教师提出问题后让学生阅读教材并思考，启发学生认识在(a,b)内产生均匀随机数必须满足条件：(a,b)内的每一个数都能等可能地被取到.让学生在给定a,b的具体值的情况下用计算器进行操作并体会．【问题2】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间是7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？”设计意图：这是几何模型问题，可以计算出精确值，给出这个问题的目的，是让学生体会随机模拟方法，并明确随机模拟方法的基本步骤.师生活动：1.教师引导学生用几何概型求出答案的精确值．2.在TI－nspireCX-CCAS的表格功能下，用随机模拟方法得出答案的估计值.3.在TI－nspireCX-CCAS的程序功能下，用随机模拟方法得出答案的估计值.4.总结用频率估计概率的步骤.5.利用图1中的程序可以获取模拟结果.（图1）（图2）【问题３】在正方形中随机撒一把豆子，计算落在正方形内切圆中的豆子数与正方形内的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．设计意图：使学生体会均匀型随机数应用的广泛性，并在模型建立后，会用算法解决问题.师生活动：1.让学生用几何概型得出撒一粒豆子落在圆内的概率.2.师生一起用随机模拟方法得出概率的估计值.3.由估计值与所得概率近似相等，得出圆周率的估计值．4.利用图2中的程序可以获取模拟结果.【问题４】有1个单位的某种会衰减物质，若把它分成3份，份额分别是a,b,c,经过n年后，剩余量分别为，求n年后，这种物质剩余量的下界．设计意图：让学生体会均匀随机数在问题探究中的作用，并体会从一般到特殊的研究方法.师生活动：1.探究：2.探究：3.探究：4.探究：【问题５】探究：设计意图：推广【问题４】中的结论.师生活动：让学生取不同的非正整数进行探究，并归纳猜测答案．【问题６】探究：设计意图：推广【问题5】中的结论，体会实验、观察、归纳、概括、猜想的数学发现过程.师生活动：让学生取不同的正整数和不同的整数进行探究，在所得到的结论基础上归纳猜测答案．【问题7】探究：的三个内角，则设计意图：让学生进一步体会实验、观察、归纳、概括、猜想的数学发现过程.师生活动：让学生进行探究，在所得到的结论基础上归纳猜测答案．五．教学目标检测设计1.教科书P141，B组第4题．设计意图：让学生巩固随机模拟方法．2.研究无理数e的估计值．设计意图：让学生体会均匀随机数的作用．数学教学的过程，是使学生经历人类文明洗礼，欣赏并遵守自然准则，提升智慧与素质的过程.所以，这个过程应该是美好的，是应该使我们的学生渴望并积极参与的.。

教师课时教案备课人授课时间课题3．3．2均匀随机数的产生课标要求会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率教学目标知识目标（1）通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题（4）理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率技能目标1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.情感态度价值观通过本节的学习，自觉养成动手、动脑的良好习惯,养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.重点掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.难点利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、导入新课1、复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？2、在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.二、新课讲授：提出问题(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的教学过程及方法 (6)［a,b］上均匀随机数的产生.活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.讨论结果：(1)在一个试验中如果a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A.(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.几何概型的概率公式：P（A）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A.(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.(5)a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.(6)［a,b］上均匀随机数的产生：利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随教学过程及方法三、例题讲解：例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter 键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.教学过程及方法解法二：（见教材138页）例 2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.解法1：（见教材139页）解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND （）.（2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=NN14（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.四、课堂练习：教材140页练习：1、2教学小结均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.课后反思。

一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。

2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。

3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

进一步体会算法的基本思想。

4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。

点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。

二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。

需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。

在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

一次美妙的数学实验探究---以几何概型为例教材的地位和作用《几何概型》是高中数学新教材必修3第三章的第三节。

这部分是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，是学生在掌握古典概型的基础上，来学习的另一等可能概型，对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。

本节课是在几何概型解决问题方法的基础上，通过做数学实验，培养学生的动手，动脑能力，弥补学生抽象思维的短板。

教学目标1.发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；在动手实验，观察探索的基础上，归纳出解决一类问题的方法。

2.利用数学实验为结论提供支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的理论与实践相结合的数学意识和应用数学知识解决问题的数学能力。

3.通过本节学习，增强对数学的好奇心和求知欲，在教学过程中，培养学生勇于探索、观察发现意识。

通过模拟实验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好学习习惯。

教学重点1.掌握几何概型的概念与特点；2.运用几何概型概率公式解决问题，尤其对测度（长度、面积、体积等）的理解和应用；3.理解计算机模拟实验的数学原理并能够进行简单应用。

教学难点1.区分清楚几何概型和古典概型，尤其几何概型中对测度（长度、面积、体积等）的理解和应用；2.会用计算机模拟实验解决几何概型的有关问题（π的近似计算和与函数有关的平面区域的面积估算）。

教学方式本节课在采用师生共同探究、学生独立思考、小组合作实验、学生精彩展示、老师精彩点评五步教学法的基础上充分借助信息技术手段，如PPT，Excel，几何画板等，通过将抽象的几何概率问题转化为自制实验模型，动手操作实验，直观的感受到解决此类问题的一般方法，对于实验中产生的误差较大问题可通过计算机模拟实验完成。

一则增加实验的准确度，二则给学生引进一种全新的解决数学问题的思路和方法。

课题3.3 几何概型（1）教案
一、教学目标
1．知识与技能：使学生理解几何概型的意义，掌握几何概型的计算公式，会求简单几何概型问题的概率。

2．过程与方法：通过求古典概率知识的迁移，运用转化、数形结合思想与方法解决问题。

3．情感态度价值观：通过对几何概型知识探索过程，体会数学思维的特点，感悟几何概型在实际生活的应用。

二、教材分析
1．教学重点：几何概型的概念与计算方法。

2．教学难点：几何概型中几何模型及几何度量。

三、学情分析
学生已有了求古典概型的认知，有几何度量（长度、面积、体积）的技能，以及生活中的经验，容易理解几何概型，但是对问题转化成几何概型的建模、以及分清基本事件的抽象、转化能力还欠缺。

四、教学方法
启发性、探究式引导教学法
五、教学手段
多媒体辅助教学
六、教学流程设计
问题引入------学生探究、活动---交流、归纳----实践与提高---总结与巩固
（师）（生）（生--师）（师--生）（生）
七、教学过程。

基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：
（3）几何概型与古典概型的区别与联系：
三、尝试应用，辨析概念
1.判断下列两个随机试验的概率类型并计算概率
（1）在区间[0,9]内随机取一整数，求所取整数不大于3的概率； 答： 概型，概率是 。

（2）在区间[0,9]内随机取一实数，求所取实数不大于3的概率. 答： 概型，概率是 。

2.ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点. 在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点落在三角形OCD 内的概率是 。

3.在500 ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 A ．0.5 B ．0.4 C ．0.004 D ．不能确定 四、应用举例，巩固新知 例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内事件A 发生。

预设一：将时间转化成长60的线段，研究事件A 位于[50,60]之间的线段的概率； 概率类型 相同点 不同点 古典概型 几何概型
B 古典概型
B 古算公式
B 几古区别与联系 1.A 2.B 3.C
学问种概率类型，再式进行计算。

A 析那型，再式进行计算。

是决他（一题多解）。

湖南省蓝山二中高一数学《3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生》教案新人教A版必修3一、教材分析1、教材的地位和作用《几何概型》是高中数学新教材第三册第三章的第三节。

这部分是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，是学生在掌握古典概型的基础上，来学习的另一等可能概型，对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。

2、重点与难点利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．二、目标分析知识与技能：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

三、教学过程:（一）复习：1.几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？2.在几何概型中，事件A发生的概率计算公式是什么？（二）举例问题1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，（1）那么事件A是哪种类型的事件？（2）怎样求事件A的概率？问题2：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？问题3：你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？问题4：根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的概率为多少？（三）：新授问题5:一个人到单位的时间可能是8:00~9:00之间的任何一个时刻,若设定他到单位的时间为8点过X分种,则X可以是0～60之间的任何一刻,并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？问题6：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）.如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？问题7：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？问题8：利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数，具体如何操作？（四）：应用例1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，事件A的概率是多少？问题9：设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？问题10：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发生的频率，从而估计事件A发生的概率？例2 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值?例3 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积.让学生操作,再演示试验.（五）:小结1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.（六）练习：1 甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.2. 将一长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一三角形的概率是多少？（七）作业：《习案》作业三十五。

均匀随机数的产生教学设计教材分析：本节课是在学生学习了，古典概型与几何概型的基础上，运用计算机进行随机实验的模拟，用以巩固几何概型的内容而设置的。

同时也是学生运用数学到具体实践中的过度，加深学生对几何概型的理解，增强学生学习数学的信心，让枯燥的数学知识，与现在教育手段融合，体现数学的实用性与趣味性。

同时进行蒙特卡洛方法的介绍，渗透计算数学的思想，为学生今后的发展打下基础。

学情分析：本课内容，是在几何概型之后，可以有效的巩固几何概型的理解，使得抽象的理论有了具体的支撑，特别是通过模拟实验的计算机操作，让学生看待数学知识的巨大作用，激发学生热爱数学，培养学生勤于动手、动脑的习惯，其中曲线将平面分成区域的描述，为今后学习线性规划打下基础，蒙特卡罗方法的运用，又与线性回归思想、计算数学思想相联系，为学生今后的数学发展，埋下伏笔。

教学目标:1 知识与技能：几何概型、均匀随机数的理解，Excel软件中rand()函数、frenqunce()函数的运用，学会运用数学的语言表达区域2 过程与方法：在学生面前学习了整数随机数的基础上，加上自主预习，迅速进入到本课程的学习，通过辨析randbetween()函数与rand()函数的区别与联系，展开本节课的学习，在学生自主探究的基础上，教师给予必要的指导，最后由学生实践操作，完成本节课的教学任务。

3 情感态度与价值观：在学生自主的学习中，培养学生的自信心，在学生自主展示中，培养学生参与课堂讨论的意识。

教学重点：均匀随机数的产生、均匀随机数的含义，教学难点：平面区域的数学语言描述，及其在excel软件下的实现，学生能够自主操作excel软件，并计算出相应的结果。

教学过程一课程引入通过片展示原子弹爆炸的场景，引入当时计算离子扩散时候所用的蒙特卡洛方法，激发学生学习数学的兴趣，让学生体会到数学的强大力量。

并介绍蒙特卡洛方法，显示数学的强大生命力。

蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。

《几何概型》教学设计一、教学目标（一）知识与技能1.通过探究学习使学生掌握几何概型的基本特征，明确几何概型与古典概型的区别．2.理解并掌握几何概型的概念．3.掌握几何概型的概率公式，会进行简单的几何概率计算.（二）过程与方法1.让学生通过对随机试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，培养学生观察、类比、联想等逻辑推理能力.2.通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法.（三）情感、态度、价值观1.让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价一些随机现象．2.通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力．二、教学重点与难点教学重点：了解几何概型的基本特点及进行简单的几何概率计算．教学难点：如何在实际背景中找出几何区域及如何确定该区域的“测度”．三、教学方法与教学手段教学方法：“自主、合作、探究”教学法教学手段：电子白板、实物投影、多媒体课件辅助四、教学过程（一）复习回顾问题．古典概型的特点及概率公式分别是什么？你熟悉常见的古典概型？你能举例吗？答：①基本事件发生的等可能性②基本事件只有有限个古典概型的概率公式：[处理方式]多媒体课件展示问题，简洁明了。

（利用电子白板文字展示功能）【设计意图】回顾古典概型的相关知识，为引出下面要学的几何概型作铺垫。

（二）问题情境取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．要求剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题(1)试验中一个基本事件是什么？答：试验：剪在绳子上的每一点都是一个基本事件.问题(2)基本事件有多少个？答：基本事件有无限个.问题(3)每个基本事件发生是否等可能？答：每个基本事件发生都是等可能的.[处理方式]多媒体课件展示，电子白板笔点击答案，这样与学生互动起来，清晰自然。

（利用电子白板文字、图片展示功能，作图功能）在这两个问题中，基本事件有无数多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在，但是显然不是古典概型，那它是什么概型呢？【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型。