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离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）课题：离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求：① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；② 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线及曲线所表示的意义.教材复习1.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+2.数学期望:则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望3.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平4.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .5.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(6.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 7.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 8.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .9.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.10.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-11.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. 12.正态分布密度函数：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（0σ>）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) ,(2σμN。
离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、知识回顾：1性质：①___________；②___________________2．离散型随机变量的数学期望：E ξ=______________，它反映随机变量取值的平均水平。
3．离散型随机变量的方差：D ξ=______________________，反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度：ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散。
4．随机变量ξ的标准差,记作σξ,σξ=________________。
5．性质：=+)(b aX E _________；=+)(b aX D __________。
6.若X 服从两点分布，则E(X)=___________,D(X)=_______________ 若X ～B(n,p)，则E(X)=___________,D(X)=_______________注意：ηξηξE E E ±=±)( 22)(ξξξE E D -=7．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。
8. ⑴正态分布与正态曲线：若随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E ..3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x e x x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时， 有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0， ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ. 4. “3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.经典例题：1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】 根据正态分布N (μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.【答案】 A2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【解析】 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，正态分布图象的对称轴为x ＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.【答案】 0.83．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定【解析】 根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.4．(2010·广东高考)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)＝( )A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 5【解析】 由正态曲线性质知，其图象关于x ＝3对称， ∴P (x ＞4)＝0.5－12P (2≤x ≤4)＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7.故选B.【答案】 B二、练习巩固：（1）、随机变量X 的分布列如下，回答1—3题1、)1(=x P 的值为（ ）A 0.8B 0.7C 0.5D 0.6 2、)(xE 的值为（ ）A 0.3B -0.3C 0.61D 0.72 3、)(x D 的值为（ ）A 0.3B -0.3C 0.61D 0.72 （2）随机变量X 的分布列如下，回答4—6题4、)41(<≤X P 的值为（ ）A 0.6B 0.7C 0.8D 0.95、X 的期望值与方差值分别为（ ）A 2；1.29B 2.1；1.29C 2；1.9D 2.1；1.9 6、设52+=X Y ，则)(YE 、)(Y D 的值分别为（ ）A 4.2；1.29B 9.2；5.16C 4.2；15.32D 9.2；10.32、 （3）已知某运动员投篮命中率为p =0.6，求解7—9题 7、该运动员进行一次投篮，命中次数为ξ，则)(ξE =（ ） A 0.6 B 0.4 C 0.24 D 0.36 8、该运动员重复投篮5次，命中次数为η，则)(ηD =（ ）A 3B 56.0C 1.2D )5,4,3,2,1,0(4.06.055=-k C k k k9、若一次投篮投中得2分，投不中不得分，该运动员重复投篮5次，所得分数X 的方差为（ ）A 1.2B 2.4C 3.6D 4.810、若随机变量X 服从两点分布，且成功的概率p ＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )A.0.5和0.25B.0.5和0.75C.1和0.25D.1和0.75 11、已知X ～B(n,p),EX ＝8,DX ＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 12、如果X ～B(100,0.2),那么D(4X+3)=____________13、口袋中有大小均匀10个球，其中有7个红球3个白球，任取3个球，其中含有红球个数为X ，则=)(X E 。
