2.3.1 离散型随机变量的均值

【课题】 2.3.1离散型随机变量的均值【教材】普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3人民教育出版社 A版【教学目标】知识与技能通过实例，让学生理解离散型随机变量均值的概念及线性运算性质，了解其实际含义．会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题；过程与方法通过离散型随机变量均值概念的归纳和应用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，培养观察、归纳、反思的能力,初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过比较使学生认识随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系，明确随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近随机变量的均值；情感态度价值观通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发热爱数学的情感,体会数学的文化价值，提高学生的数学素养.【教学重点和难点】重点：理解离散型随机变量的均值的含义.难点: 利用离散型随机变量的均值来解决实际问题.【教学情景设计】2.3.1离散型随机变量的均值学情分析本节是在《必修3》中学习了样本的平均数和方差的基础上，学习离散型随机变量的均值．离散型随机变量可以看成是刻画某一总体的量，它的均值也就是总体的均值，一般它们是未知的，但都是确定的的常数；样本的平均值是随机变量．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均数越来越接近于总体的平均值．本节重点是用均值解决实际问题，在解决实际问题的过程中使学生理解均值的含义．问题1从平均的角度引入随机变量均值的概念，直观上通过分析1kg混合糖果的组成，学生容易得到合理的价格，即价格是三种糖果价格的加权平均，至此问题已解决．问题2考虑1kg的糖果如何从混合糖果中取出，通过对问题的探讨，就把混合糖的合理价格理解为随机变量X的值的加权平均，这个权就是相应的概率，把这个想法抽象出来，就可以得到随机变量均值的概念．问题3有助于理解随机变量均值的含义，它可以看成是这个随机变量的均值，即随着观察这个随机变量次数的增加，所得观测数据的平均值越来越接近于这个随机变量的均值．2.3.1离散型随机变量的均值效果分析通过创设情境激发学生学习数学的兴趣，引导学生分析问题、解决问题．通过概念的构建，培养学生归纳、概括等合情推理能力．再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题．【课题】 2.3.1离散型随机变量的均值【教材】普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3人民教育出版社 A版教材分析1．这节内容是在前面学习完离散型随机变量的分布列的基础上进行研究的，同时这节内容又为下一节要研究的方差奠定基础.因此在知识上起到了承上启下的作用。

教师学科教案[ 20–20学年度第__学期]任教学科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校§2．3 离散型随机变量的均值与方差§2．3．1 离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机量的均或期望的意，会根据离散型随机量的分布列求出均或期望．过程与方法：理解公式“ E（ aξ +b） =aEξ +b”，以及“若ξ: B（ n,p ）， Eξ =np” . 能熟地用它求相的离散型随机量的均或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和之美, 体数学的文化功能与人文价。

教学重点：离散型随机量的均或期望的概念教学难点：根据离散型随机量的分布列求出均或期望授课类型：新授课时安排： 1教学过程：一、复习引入：1.离散型随机量的二分布: 在一次随机中，某事件可能生也可能不生，在 n 次独立重复中个事件生的次数ξ 是一个随机量．如果在一次中某事件生的概率是P，那么在 n 次独立重复中个事件恰好生k 次的概率是P n (k) C n k p k q n k，（k＝0,1,2,⋯， n，q 1 p）．于是得到随机量ξ 的概率分布如下：ξ01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0称的随机量ξ 服从二分布，作ξ～ B(n ， p) ，其中n， p 参数，并C n k p k q n k＝b(k；n，p)．二、讲解新课：根据已知随机量的分布列，我可以方便的得出随机量的某些制定的概率，但分布列的用途不止于此，例如：已知某射手射所得数ξ 的分布列如下ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在 n 次射之前，可以根据个分布列估n 次射的平均数．就是我今天要学的离散型随机量的均或期望根据射手射所得数ξ 的分布列，我可以估，在 n 次射中，大有P(4)n0.02n次得 4；P(5)n0.04n次得 5；⋯⋯⋯⋯P(10) n 0.22n次得10．故在 n 次射的数大4 0.02 n5 0.04 n10 0.22n(4 0.02 5 0.0410 0.22) n ，从而，n 次射的平均数4 0.025 0.0410 0.22 8.32 ．是一个由射手射所得数的分布列得到的，只与射数的可能取及其相的概率有关的常数，它反映了射手射的平均水平．于任一射手，若已知其射所得数ξ的分布列，即已知各个P(i ) （i=0，1，2，⋯， 10），我可以同他任意n 次射的平均数:0 P(0) 1 P(1)⋯10 P(10)．1.均或数学期望 :一般地，若离散型随机量ξ 的概率分布ξx1x2⋯x n⋯P p1p⋯pn⋯2称 Ex1 p1 x2 p2⋯x n p n⋯ξ 的均或数学期望，称期望．2.均或数学期望是离散型随机量的一个特征数，它反映了离散型随机量取的平均水平3.平均数、均 :一般地，在有限取离散型随机量ξ的概率分布中，令 p1p2⋯ p n，有p1 p2⋯ p n 11，E( x1x2⋯ x n )，所以ξ 的数学期望又称平均数、n n均4.均或期望的一个性 :若a b (a、b是常数)，ξ 是随机量，η也是随机量，它的分布列ξx1x2⋯x n⋯ηax1b ax2b⋯ax n b⋯P p1p2⋯p n⋯于是 E(ax1b) p1(ax2b) p2⋯(ax n b) p n⋯＝ a( x1 p1x2 p2⋯x n p n⋯)b( p1p2⋯p n⋯)＝ aE b ，由此，我得到了期望的一个性: E(a b) aE b5. 若ξ: B（n,p ）， Eξ=np明如下：∵P(k) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k，∴E0×C n0p0q n＋ 1×C1n p1q n 1＋ 2×C n2p2q n 2＋⋯＋ k×C n k p k q n k＋⋯＋ n ×C n n p n q0．又∵kC n k k n!k)! (k n(n1)!nC n k11，k!(n1)![( n1)( k1)]!∴E np(C n01 p0q n 1＋ C n11 p1q n2＋⋯＋ C n k11 p k 1 q( n 1) (k 1)＋⋯ ＋C n n11 p n 1q 0 )np ( p q) n1np ．故若ξ～ B(n ， p) ，E np．三、讲解范例：例 1.球运在比中每次球命中得 1 分，不中得0 分，已知他命中的概率0.7 ，求他球一次得分的期望解：因 P(1)0.7, P(0) 0.3 ，所以 E10.70 0.30.7例 2.一次元由 20 个构成，每个有 4 个，其中有且有一个是正确答案，每正确答案得 5 分，不作出或不得分，分100 分学生甲任一的概率0.9 ，学生乙在中每都从 4 个中随机地一个，求学生甲和乙在次英元中的成的期望解：学生甲和乙在次英中正确答案的个数分是,，~B （20,0.9 ）,~ B(20,0.25) ,E200.918, E200.25 5由于答对每题得 5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：E(5 ) 5E( ) 5 18 90,E(5 ) 5E( ) 5 5 25例 3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：∵ P(i )1/ 6,i 1,2,,6 ，E11/ 621/ 6 6 1/ 6 =3.5例 4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ 的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ123456P 111111 666666所以E1×1＋2×1＋3×1＋4×1＋5×1＋6×1 666666＝(1 ＋2＋3＋4＋5＋6) ×1＝ 3.5 ．6抛掷骰子所得点数ξ 的数学期望，就是ξ 的所有可能取值的平均值．四、课堂练习：1.口袋中有 5 只球，编号为1，2， 3，4，5，从中任取 3 球，以表示取出球的最大号码，则E（）A． 4；B． 5；C．4.5 ；D． 4.75答案： C2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，求⑴他罚球 1 次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球 2 次的得分η的数学期望；⑶他罚球 3 次的得分ξ的数学期望．3．设有 m升水，其中含有大肠杆菌 n 个．今取水 1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ 的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ 的期望的基本步骤：①理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值；②求ξ 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出 Eξ公式 E（aξ +b） = aEξ +b，以及服从二项分布的随机变量的期望 Eξ =np六、布置作业：练习册七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ 的期望的基本步骤：①理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值；②求ξ 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ +b）= aEξ +b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ =np 。