离散型随机变量均值(公开课)

《离散型随机变量的均值》教案1.通过实例理解离散型随机变量的均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系．2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．3.体会运用离散型随机变量的均值思想描述和分析某些随机现象的方法，在简单应用中培养学生分析和解决问题的能力．教学重点：离散型随机变量均值的含义及其应用． 教学难点：离散型随机变量均值的含义及其应用．一、新课导入问题1：已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X 表示取得产品中不合格品的件数，求X 的分布列．答案：根据分布列的求法，可以求得X 的分布列如下表：k 012P (X=k )715 715 115问题2：在问题1的条件下，从这10件产品中任取3件，平均会取到几件不合格品？可否根据分布列得到一个数，这个数能“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？探究：由于随机变量X 可能的取值为0，1，2．可否将三者的算术平均“1”“代表”这个随机变量的平均水平呢？为什么？ 探究新知：问题3：设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg ，3个质量是6kg ，5个质量是7kg ，求这12个西瓜的平均质量．分析：西瓜的平均质量应为12个西瓜的总重量除以西瓜的总个数，即54+63+7573=1212⨯⨯⨯ （kg ），也即54637573++=12121212⨯⨯⨯（kg ）． ◆教学目标◆教学重难点◆教学过程显然，西瓜的平均质量不是5kg ，6 kg ，7kg 的算术平均，而是等于各个质量乘相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是5kg ，6kg ，7 kg 的加权平均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例． 引导分析：类比问题3的方法，给出问题2的解决方法． 用随机变量X 三个取值0，1，2的加权平均7710+1+2=0.6151515⨯⨯⨯来代表随机变量X 的平均取值，其中0，1，2的权重分别是X 取这个值时的概率，即在一次抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品．思考1：用上述方法求得随机变量X 的平均取值是否合理？答案：合理，这种取平均值的方法，考虑到了不同变量在总体中的比例份额，变量所占份额越大，对整组数据的平均数影响越大．思考2：抽出的不合格品的平均值是否可以是小数？可以，这个平均值的意义在于告诉我们抽出的不合格品最有可能出现的一个值，作用在于对结果的估计，得到的结果可能是与它接近的一个整数．问题4. 能否将上述求离散型随机变量平均值的方法推广到一般情形？ 1．概念形成设离散型随机变量X 的分布列如下表：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.概念理解（1）均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X 取值的平均水平，是随机变量X 的一个重要特征．（2）均值EX 是随机变量X 取各个值的加权平均，由X 的分布列完全确定． 问题5.随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？答案：随机变量的均值是一个常数，而样本均值是一个随机变量，样本均值随样本的变化而变化，这是两个均值的根本区别，在随机变量均值未知的情况下，通常用随机变量的观测值的平均值估计随机变量的均值．三、应用举例例1 设随机变量X 服从参数为p 的两点分布，求EX ． 解：由均值定义，得EX =0•P （X =0）+1•P （X =1）=0•（1-p ）+1•p =p ．所以，服从参数为p 的两点分布的均值EX =p ． 例2 设X 表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX ． 解：依题意知X 的分布列为()()11234566P X i i ===,,,,, 如下表：根据均值的定义，可知11111171234566666662EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ．例3一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？解：设X 表示取出红球的个数，则X 的取值为0，1，2．()023225C C 10C 10P X === ， ()113225C C 631C 105P X ====，()203225C C 32C 10P X ===． 因此，Ｘ的分布列如下表：根据均值的定义，可知：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=． 总结：求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．例4 根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元． 试比较哪一种方案好．解：用1X ，2X 和3X 分别表示以上3种方案的损失．采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元，即1X =3 800，故E 1X =3 800元． 采用方案2，遇到大洪水时，损失62 000元；没有大洪水时，损失2000元，因此 E 2X =62 000×0.01+2 000×（1-0.01）=2 600（元）；采用方案3，遇到大洪水时，损失60 000元；遇到小洪水时，损失10000元；无洪水时，损失为0元，因此E 3X =60 000×0.01+10 000×0.25=3 100（元）． 由此可见，就平均而言，方案2的损失最小． 思考3：为什么可以通过比较均值作出决策？答案：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，进而做出决策．四、课堂练习则数学期望E （X ）=（ ）． A.13B. 23 C.1 D.22.甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下： 甲得分：乙得分：则甲、乙两人的射击技术相比（ ）．A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较 3. “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为______．4.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A 类问题，记Ｘ为小明的累计得分，求Ｘ的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 参考答案：1.由题意可知：1111232333EX =⨯+⨯+⨯=．故选Ｄ．2.因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好．故选：B ．3.记抽到自己准备的书的学生数为Ｘ，则Ｘ可能值为0，1，2，4 ()1344C 390A 24P X ⨯===，()1444C 281A 24P X ⨯===，()2444C 162A 24P X ⨯===，()44114A 24P X ===， 则98610124124242424EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4.（1）由题可知，Ｘ的所有可能取值为0，20，100．P (X=0)=1-0.8=0.2; P (X=20)=0.8(1-0.6)=0.32; P (X=100)=0.8×0.6=0.48． 所以Ｘ的分布列为（2）由（1）知，E (X )=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100． P (Y =0)=1-0.6=0.4； P (Y =80)=0.6(1-0.8)=0.12； P (Y =100)=0.8×0.6=0.48．所以E (Y )=0×0.4+80×0.12+100×0.48=54.4．． 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B 类问题．五、归纳小结【课堂小结】1. 离散型随机变量均值的概念：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．六、布置作业教材第200页练习第1~3题．。

2．3离散型随机变量的均值与方差2．3．1离散型随机变量的均值教材分析本节课的主要学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的该念，本节课是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面。

学习本节课的内容既是随机变量分布列内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础。

离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点。

学情分析：本节课的核心是理解概念。

在本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备。

本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力，鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难。

教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ~B（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：1课时教具：略教学过程：一、1、情境引入在一次考试后，如果要对比两个班的成绩好坏，我们通常会先比什么？平均数是日常生活中常见的数字特征，我们今天这节课继续来研究平均数的问题。

问题1：如果你期中考试各门成绩为：90、80、77、68、85、92；那你的平均成绩是多少？问题2：如果要统计全班30人的平均分，假设某次数学考试中，得90分的有3人，得85分的有6人，得75分的有12人，得65分的有6人，得60分的有3人，计算全班同学数学成绩的平均成绩。