有关线性代数矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用毕业论文

线数考研第一章 前 言 (1)第二章 几种矩阵的判定和应用 (2)2.1逆矩阵 (2)2.1.1n 阶矩阵可逆的定义 (2)2.1.2逆矩阵的性质 (2)2.1.3矩阵可逆的条件 (2)2.1.4求逆矩阵的方法 (2)2.1.5求逆矩阵的例子 (3)2.2伴随矩阵 (6)2.2.1伴随矩阵的定义 (6)2.2.2伴随矩阵的性质 (6)2.2.3有关伴随矩阵的例子 (6)2.3对角矩阵 (7)2.3.1可对角化矩阵的定义 (7)2.3.2对角化矩阵判定条件和方法 (7)2.3.3有关可对角化矩阵的例子 (8)2.4正交矩阵 (12)2.4.1正交矩阵的定义 (12)2.4.2正交矩阵的性质 (12)2.4.3正交矩阵的例子 (12)2.5实对称矩阵 (14)2.5.1实对称矩阵的定义 (14)2.5.2实对称矩阵的性质 (14)2.5.3实对称矩阵()nn ij a A ⨯=正交相似于对角矩阵的计算方法： ............ 14 2.5.4有关实对称矩阵的例子 (14)2.6正定矩阵 (17)2.6.1正定矩阵的定义 (17)2.6.2正定矩阵的判定条件 (17)2.6.3正定矩阵的性质 (17)2.6.4正定矩阵的判定方法 (17)2.6.5有关正定矩阵的例题 (18)第三章 矩阵与矩阵之间的关系和应用 (22)3.1矩阵合同 (22)3.1.1合同矩阵的定义 (22)3.1.2合同矩阵的性质和有关结论 (22)3.1.3矩阵合同的判定和证明 (22)3.1.4有关合同矩阵的例题 (22)3.2矩阵相似 (25)3.2.1相似矩阵的定义 (25)3.2.2相似矩阵的性质 (25)3.2.3相似矩阵的判定方法 (25)3.2.4有关相似矩阵的例子 (25)3.3矩阵等价 (27)3.3.1矩阵等价的定义 (27)3.3.2矩阵等价的定理和性质 (27)3.3.3有关矩阵等价的例子 (27)结束语 ..................................................................... 30 致谢 ....................................................... 错误！未定义书签。

关于矩阵和行列式线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式 矩阵 空间向量和线性方程组。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。

利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。

矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。

行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。

如下例：4321表示的是一个2阶行列式；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321则表示是一个2×2的矩阵。

而且4321可以通过计算求得其值为-2；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321只能表示一个数表，不能求出值。

行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。

由n 2个数组成的n 行n 列行列式为n 阶行列式；由m 行n 列组成的数表为m ×n 矩阵。

只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。

如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531 是一个3×4的矩阵；而620816732531这样的行列式是不存在的，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531无法求其行列式。

而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。

如下：（1）记D=nnn n nn a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212222111211，D T =nnn nn n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212221212111，则称D T 为D 的转置行列式，并有D= D T ，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A 的转置矩阵A T 是指把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，则A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n a a a a a a a a a 2n 12221212111，但有（A T ）T=A 。

0 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性．定义 1.1 设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得Ax x λ=则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量． 定义1.2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211，称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，求解T 的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步：1) 在线性空间V 中取一组基12,,,nξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;2) 求出A 的特征多项式E Aλ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换/A 的全部特征值;3) 对于A 的每个特征值,j λ求其次线性方程组()0jI A X λ-=的一组基础解系：12,,,.t ηηη于是A 的属于jλ的全部特征值组成的集合是}{1122,0,1,2,,t t i i k k k k K k i t ηηη+++∈≠=例1 设V 是数域K 上3维线性空间，T 是V 上的一个线性变换，它在在V 的一个基1α，2α，3α下的矩阵A 是222214241A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭，求A 的全部特征值与特征向量. 解: 因为特征多项式为2222214(3)(6)241I A λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=+-=-+ ⎪⎪+⎝⎭所以A 的全部特征值3（二重），-6．对于特征值3，解齐次线性方程组(3)0I A X -=，12312312322024402440x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩得到一个基础解系：210-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A 的属于3的两个线性无关的特征向量就是1122ζαα=-+，2132ζαα=+ 而A 的属于3的全部特征向量就是 .{}11221212,,,0k k k k K k k ζζ+∈且不全为对于特征值-6代入, 求出(6)0I A X --=的一个基础解系：122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.因此, A 的属于特征值-6的一个线性无关的特征向量就是312322ζααα=+-，而A 的属于特征值-6的全部特征向量是{}3,0k k K k ζ∈≠且.例2 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,求T 的特征值和特征向量. 解 ：1012201221100001000100001000010000100001n n n n I A λλλλααααλαλαλαλαλαλα-------=-+--=--+令01221000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+下面用数学归纳法求解()2n D n ≥当2n =时，22101.1D λαλαλαλα==++-+假设对于上述形式的1n -阶行列式，有012-132000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+n-1n-2n-210=+++λαλαλα，对于n 阶行列式，把它第1行展开，得12102112111210121210000100010010(1)001000100101()(1)(1).n n n n n n n n n n n n D xλαλαλλαλαλαλλλλαλαλααλαλαλαλα+----+----=---+----+-=+++++--=++++根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数2n ≥都成立. 故121210.n n n I A λλαλαλαλα---=++++即为T 的特征多项式.设12,,n λλλ 是I A λ-的全部复根. 对于1i n ≤≤，有111122201111,n n n n i i i i i i i ii i i n i A λλλλλλλλλλααλαλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此12'(1,,,,)n i i i λλλ-(1i n ≤≤)是A 的属于特征值i λ的一个特征向量. 由于()()11,2,,110,2,3,,n i n I A n λ--⎛⎫-=-≠⎪⎝⎭而i I A λ-=，因此()1i rank I A n λ-=-. 从而齐次线性方程组()0i I A X λ-=的解空间的维数为(1)1n n --=. 于是A 的属于特征值i λ的所有特征向量组成的集合是{}21'(1,,,,)|,0.n i i i k k C k λλλ-∈≠从而T 的属于特征值i λ的全部特征向量是{}21'123()|,0.n i i i k k C k αλαλαλ-++++∈≠(1i n ≤≤)例2 在空间[]nP x （n>1)中(P 为实数域), 求微分运算D'()()f x f x ∂= 的 特征多项式，并证明：D 在任何一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 证：在[]nP x 中取一组基()211,,,,2!1!n x x x n --微分运算D 在此基下的矩阵为.0000100001000010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=DD 的特征多项式是.01000010001n D E λλλλλ=---=-从而D 的特征多项式为nλ. 因此D 的特征值为210n λλλ====.又D 的对应特征值0的奇次线性方程组()0A X -=的系数矩阵的秩为n-1,从而基础解系只含一个向量.它小于[]nP x 的维数n(n>1),故D 不可能同任何对角矩阵相似.所以微分运算D 在任何基下的矩阵都不可能是对角形. 2矩阵特征值与特征向量的五个应用2.1特征值与特征向量判断线性变换可对角化的应用定义2.1.1如果V 中存在一个基，使得线性变换A 在这个基下的的矩阵是对角矩阵，那么A 可对角化.由于线性变换A 在V 的不同基下的矩阵是相似的，因此线性变换A 可对角化当且仅当A 在V 的基下的矩阵A 可对角.定理2.1.1域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量12,,,nξξξ，此时A 在基12,,,nξξξ下的矩阵A 为1000,00n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中i λ是i ξ所属的特征值（即i i i A ξλξ=），1,2,,.i n = 矩阵A 称为线性变换A 的标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的标准形是有A 唯一决定的.推论2.1.1 域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当V 中存在由A的特征向量组成的一个基.定义2.1.2设A 是域F 上线性空间V 上的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，令 {}00|,defV A V λααλαα==∈ .易验证V λ 是V 的一个子空间，称0V λ是A 的属于特征值0λ的特征子空间. 0V λ中全部非零向量就是A 的属于特征值0λ的全部特征向量. 由于()00000().V A I A Ker I A λααλαλααλ∈⇔=⇔-=⇔∈-因此 00().V Ker I A λλ=-即线性变换A 的属于特征值0λ的特征子空间等于线性变换0I A λ- 的核.设V 是域F 上n 维线性空间，V 上线性变换A 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵为A,λ是A 的一个特征值. 设σ是V 到nF 的一个同构映射，它把V 中向量对应于它在基12,,,nααα下的坐标，则()0V λσ等于n 元齐次线性方程组()00I A X λ-=的解空间，即矩阵A 的属于特征值0λ的特征子空间. 于是()()00dim V n rank I A λλ=-- .定理2.1.2设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，则A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔V 中存在由A 的特征向量组成的一个基⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 12,s V V V V λλλ⇔=⊕⊕⊕其中12,,,sλλλ 是A 的所有不同的特征值.例 3 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,称它是Frobennis 矩阵. 求T 的特征多项式和属于特征值i λ的全部特征向量(1,2,3,,)i n =；T 是否可对角化？令122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭情形112,,n λλλ两两不等. 此时0.p ≠从而P 的列向量组线性无关. 于是A 有n 个线性无关的特征向量，因此A 可对角化.此时{}112,,n p AP diag λλλ-=从而T 可对角化.情形 212,,n λλλ中有相等的. 此时0.p = 从而P 线性相关. 这时A 没有n 个线性无关的特征向量，因此A 不可对角化, 从而T 不可对角化.例4 设T 是数域K 上n 维线性空间V 上的对合变换（即T 满足2T I =），(1)证明T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)判断T 是否可对角化；若可以对角化，请写出它的标准形. 解：设T 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵是A ，由2T I =，可得2A I =. 即A 是数域K 上的对合矩阵，设0λ是对合矩阵A 的一个特征值，则有0,α≠使0.A αλα=从而2200.A A αλαλα== 由于2A I =，因此20αλα=，即20(1)0.λα-=由于0,α≠因此2010.λ-= 即01.λ=± 当A I =时，1是A 的特征值，-1不是；当A I =-时，-1是A 的特征值，1不是； 当A I ≠±时，0.I A ±≠由于()()rank I A rank I A n -++=因此 ()().rank I A n rank I A n -=-+< 从而0.I A -=从而1是A 的一个特征值.同理可证，-1是A 的一个特征值.(1)从而，T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)设().rank I A r +=由于()()rank I A rank I A n -++=，因此().rank I A n r -=- 属于特征值1的特征子空间1W 的维数为1dim ()();W n rank I A n n r r =--=--=属于特征值-1的特征子空间1W -的维数为1dim ()();W n rank I A n rank I A n r -=---=-+=-由于11dim dim (),W W r n r n -+=+-=因此A 可对角化.A 的相似标准形为{},.r n r diag I I --从而T 可对角化，且它的相似标准形为0,0rn r I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭其中().r rank I A =+2.2 特征值与特征向量在确定可对角化矩阵的应用当矩阵A 可对角化时，可根据A 的特征值和特征向量来确定它的元素.例 5 设3阶方阵A 的特征值1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量分别是1231222,2,1.211ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求A .分析：此题给了3阶矩阵A 的3个不相同的特征值及其对应的特征向量，那么矩阵A 可对角化，显然可用A 的特征值和特征向量来确定它的元素.解：由i ξ是方阵A 对应于特征值i λ 的特征向量，于是i i i A ξλξ=()1,2,3.i =令()123122221212P ξξξ-⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭， ,PA PD =其中100000,001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由上式可得：11021012,3220A PDP --⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ 即为所求.2.3特征值与特征向量在n 阶矩阵的高次幂的求解中的应用当n 阶矩阵A 可对角化时，即矩阵A 可与对角阵相似时，可应用矩阵的特征值与特征向量计算其高次幂()k A k N *∈，且比较简单.当n 阶矩阵A 满足下面的四个条件之一时，即可对角化,即1.A PDP -=n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量. n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值.n 阶矩阵A 的每个特征值的几何重数等于其代数重数. A 为是对称矩阵. 对于(){}11212,,,,,,,,n n A PDP P D diag ξξξλλλ-===其中12,,,nλλλ是A 的n 个互不相等的特征值，i ξ是A 的属于特征值i λ的特征向量()1,2,,.i n =例6 已知矩阵122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求k A （其中k N *∈）. 分析：矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因为矩阵A 为实对称矩阵，故可对角化. 可按上面讨论的方法求之.解 因为,T A A =所以矩阵A 为实对称矩阵，故A 可对角化为D .()()212221251221I A λλλλλλ----=---=-+---故A 的特征值为1231,5,λλλ==-=当1λ=-时，解齐次线性方程()0,I A X --=求出一个基础解系：12111,001ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当5λ=时，可求()50A X λ-=的一个基础解系：311,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 令111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1001,1,5010005D diag -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪⎪⎝⎭ 则()11,1,5P AP D diag -==--则1A PDP -=于是()()()()()()()()1111111111111()()1001112111101010121301100511121515151152153k kkkkk k k k k k k k k k k A PP APP PP APP PP APP P P AP P AP PAP P -------------==⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-+-+=-+-+-()()()()111151515215k kk k k k k k---⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭2.4 特征值与特征向量在求一些特殊数列通项公式的应用由一些特殊数列的递推公式，构造关系矩阵A ，并列出递推关系，当关系矩阵A 可对角化时，可利用A 的特征值与特征向量求解这些数列的通项公式.例7 斐波那契（Fibonacci ）数列是0,1,1,2,3,5,8,13,它满足下列递推公式：21,n n n ααα++=+ 0,1,2,n=以及初始条件010, 1.αα== 求Fibonacci 数列的通项公式，并且求1lim.nn n αα→∞+解 由2111,,n n n n n ααααα++++=+⎧⎨=⎩ 可得21111.,10n n n n αααα+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令11,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,0,1,2,n n n D n αα+⎛⎫== ⎪⎝⎭上式可写成1,n n D AD +=又由1001,0D αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0,.n n D A D n N *=∈于是求Fibonacci 数列的通项公式就只要去计算nA .可利用A 的相似标准形来求简化nA 的计算.211111122I A λλλλλλλ⎛⎫⎛---==--=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是A的特征值为12λλ==从而A 可对角化.对于特征值1λ，解奇次线性方程组()10,I A X λ-=求出一个基础解系：11,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值2λ，可求出()20I A X λ-=的一个基础解系：22,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则1120,0P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭从而12121121211212112010011101.1nn nn n n n n A P P λλλλλλλλλλλλλλ-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎝-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎭由于110n n n A αα+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此))2121211110.n nn n n n nλαλλλλλ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即为Fibonacci 数列的通项公式. 于是211211112212111lim lim lim112nn nnnn nn n nnλλαλλαλλλλλλλ++→∞→∞→∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭==例8已知()11,1,2i ii i ib cc b c--=⎧⎪⎨=+⎪⎩其中2,3,.i =设11,b c已知，求,.n nb c解由题可得1101,2,3,1122i ii ib bic c--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令01,1122B⎛⎫⎪=⎪⎝⎭则111,n nnb bBc c-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面求1n B-.()111.11222I Bλλλλλ-⎛⎫-==-+⎪--⎝⎭因此B的全部特征值是11,.2-从而B可对角化.对于特征值1，解奇次线性方程组()0,I B X-=得到它的一个基础解系：11,1ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值1,2-解齐次线性方程组10,2I B X ⎛⎫--= ⎪⎝⎭得到它的一个基础解系：22.1ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则110.102P BP -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭ 从而1111122111010210121211111130211122213111222n n n n n n n n B P P ---------⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此22111111111112,3232111112.3232n n n n n n b b c c b c ----⎧⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎪⎛⎫⎛⎫=--++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩2.5特征值与特征向量行列式计算中的应用用矩阵的特征值和特征向量计算三对角形的方法如下:设00000000000n a b c a b c a D a b ca =按第一行展开，得：12,n n n D aD cbD --=- 3,4,n =上式可写成21,n n n D aD cbD ++=- n N +∈由于2111,,n n n n n D aD cbD D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111,,,10n n n n n n D D a cb d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中2211D a cb d D a ⎛⎫-⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 这样求nD 的问题就转化为nd 的问题，因而转化为求1,n A -即存在可逆矩阵P 使得 1P AP D -=（对角形），就可以算出1.n A -由201a cbI A a cb λλλλλ--==-+=-得A 的特征值12λλ==1) 若24a cb ≠① 若240,a cb -<则A 有两个不相等的复特征值12,,λλ在复数域上对应于12,λλ的特征向量分别为12,.ξξ取()12,P ξξ=则P 可逆 于是就有11111200n n n AP P λλ----⎛⎫=⎪⎝⎭所以111n n n n D d A d D+-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而可求出nD .如果A 限制在实数域上，A 有复特征值，这时A 不可对角化.② 若240,a cb ->则A 有两个不同的特征值，则A 可对角化，按在复数域上的情况可求出nD2) 若24,a cb =这时A 有重根.若A 有两个线性无关的特征向量，则A 可对角化；若A 只有一个特征向量，这时可利用相似变换，把A 化若当标准形1100λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可以算出1n A -，即可求出n D .例9 计算n 阶行列式：950004950004900.9500049n D =解：按第一行展开，得：12920,n n n D D D --=-()3,4,n =上式可写成21920,n n n D D D ++=-()n N +∈ 由2111920,,n n n n n D D D D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111920,,,10n n n n n n D D d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中211619D d D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于()()2920920451I A λλλλλλλ--==-+=---因此A 的特征值是124, 5.λλ==对于特征值14,λ=解其次线性方程组()40,I A X -=求出一个基础解系：14,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值25,λ=解其次线性方程组()50,I A X -=求出一个基础解系：25,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭令45,11P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则140,05P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 从而14005A P P-⎛⎫= ⎪⎝⎭111111111400545154011140554 5.4 4.554 5.4 4.5n n n n n n n n n n n n A P P---------⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--= ⎪--⎝⎭由于11619n n n D A D +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()11111161545.44.5549n n n n n n n D ----++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭例10 计算n 阶行列式：2120000121200012120000000210022n D ------=.解：将nD 按第一列展开得：1231232(2)22,n n n n n n n D D D D D D D ------=--+=+- ()4,5,6,n =上式可写成32122,n n n n D D D D +++=+-()n N *∈ 根据321221122,,,n n n n n n n n D D D D D D D D +++++++=+-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令323121*********,,100,5,0102n n n n n n n n D D D D D A D D D D ααα++++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得1,n n A αα+=11,n n A αα-=由于()()()2121011201I A λλλλλλλ---=-=-+-- 因此A 的特征值是1231,1, 2.λλλ==-= 对于特征值11,λ= 解其次线性方程组()0,I A X -=得到一个基础解系;111,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 同理，分别可求231, 2.λλ=-=的一个特征向量23141,2,11ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令114112,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1100010002P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 于是1100010002A P P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭从而()()()()11111111111000100021001143361112010132611100220211233611121326202112n n n n n n n n n n n A P P -------+--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭于是()()()1121111123361011121325,62022112n n n n n n n n n D D D -+++--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭从而()()()()()121013123 3.16 2.12562112263n n n nn n n n D -+⎛⎫ ⎪=-+-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-++3.小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4版) [M] . 北京:高等教育出版社,2003.[3] 奚传志. 矩阵的特征值与特征向量在行列式计算中的应用枣庄师专学报，1992年2期[4] 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法[J]. 高等数学研究.[5] 谢国瑞. 线性代数及应用[M]. 北京:高等教育出版社,1999.[6] 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展[J]. 南京航空航天大学学报,1995.[7] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社.[8]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的研究.菏泽学院.计算机与信息工程系.山东菏泽（274015）[9] 朱凤娟．特征值与特征向量逆问题的研究[J]．滨州学院学报2007.6 .[10] [英]S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法[M] .北京：化学工业出版社.1984.126-137.[11]丘维声，高等代数（第二版）下册.北京：高等教育出版社[12] tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) [M].Prentice Hall/Pearson，1998.[13] Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.[14]丘维声，高等代数（第二版）上册.北京：高等教育出版社[15] 熊全淹，线性代数[M].北京；高等教育出版社，1987.4.[16]丘维声，高等代数学习指导（下册）.北京：清华大学出版社，2009[17]杨子胥，高等代数习题解（下册）.济南:科学技术出版社，2009[18]丘维声，高等代数学习指导（上册）.北京：清华大学出版社，2009致谢本学位论文是在我的指导老师张宝环老师的亲切关怀与细心指导下完成的.由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周到的地方，从论文的选题、资料的搜集到论文的撰写编排整个过程中，张老师始终都给予了悉心的指导和不懈的支持，并为我指点迷津，帮助我开拓思路，精心点拨，热忱鼓励.张老师的一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人,给我以终生受益无穷之道.感谢老师们对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究.在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.同时我要感谢同组的同学们，是我们相互的鼓励和支持才使得做论文的过程充满着快乐和感动.在此，我对所有帮助我的老师和同学们表达我衷心的感谢!。

解决考研数学线性代数难题的思路数学线性代数作为考研的一门重要科目，常常是考生们的难点之一。

尤其是在解决线性代数难题时，许多考生感到头痛和困惑。

但只要我们掌握了一些解题的思路和方法，线性代数难题也能迎刃而解。

本文将从理清问题、建立逻辑框架、运用适当的定理和技巧等方面，介绍解决考研数学线性代数难题的思路。

一、理清问题在解决考研数学线性代数难题之前，首先要理清题目所问的问题。

有些难题在表达上可能会很复杂，但只要一步一步分析，并找到问题的关键，就能够明确解题思路。

例如，对于一个题目要求证明两个矩阵的相等性，我们可以先逐个比较两个矩阵的对应元素，然后运用相应的性质和定理来推导出它们相等的结论。

理清问题，找到题目的关键性质是解决线性代数难题的第一步。

二、建立逻辑框架在解决考研数学线性代数难题时，我们需要建立一个清晰的逻辑框架，以便有条不紊地进行推导和证明。

一般来说，可以分为以下几个步骤：1. 从已知条件入手，利用已知的性质和限制条件进行推导；2. 运用适当的定理和公式，将已知条件与要求结合起来，逐步推导出所需要的结论；3. 如果题目中存在一些未知量或未知条件，可以尝试假设和推理，然后进行反证或逆否推理，最终得出结论；4. 最后，利用所得的结论对题目进行归纳总结，确保推导的完整性和正确性。

建立逻辑框架可以帮助我们清晰地分析问题，合理地组织思路，并且避免遗漏和混乱。

三、运用适当的定理和技巧解决考研数学线性代数难题还需要熟练掌握一些常用的定理和技巧。

这些定理和技巧可以帮助我们快速推导和解决问题。

例如，当我们遇到一个线性方程组的问题时，可以利用消元法、伴随矩阵法或克莱姆法则来求解未知数；当问题涉及到矩阵的特征值和特征向量时，可以运用特征多项式和线性变换的性质来求解。

熟练应用这些定理和技巧，能够大大提高解题的效率和准确性。

另外，注意审题和反复演算也是解决数学线性代数难题的重要因素。

仔细阅读题目，理解题意，判断所给信息的重要性和关联性，有助于我们找到正确的解题方法。

矩阵在自己专业中的应用及举例摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。

II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。

III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。

关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。

因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。

在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。

在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。

在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。

在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。

尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。

图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。

这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。

第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M KΛ212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。

线性代数中矩阵理论的应用研究王永静【摘要】线性代数作为一种领域性学科，其研究方向为线性空间及方程组等，具有空间性、实用性和工程性等优点，其预算优势可扩展到无限维度空间.其中矩阵理论作为线性代数中的重要组成部分之一，其在工科领域、技术领域、自然科学领域中被广泛应用.本文对线性代数进行介绍，并分析线性代数的矩阵理论在量纲分析法中的应用，在生物成长动态趋势预期分析中的应用.【关键词】线性代数;矩阵理论;应用研究当前科研水平的不断提升使数学科学领域迅速发展起来.矩阵理论作为线性代数的重要组成部分，其理论内容以线性空间、线性变换、特征向量、矩阵、内机空间为主，在对理论进行研究时，在研究领域的不断扩展下，使其理论性地位得到提升.当前在高端性科研领域中矩阵理论的运算效果具有明显优势，通过维度空间性算法，可使其在数学、物理学、密码学、计算机图形學等学科领域中被广泛应用.一、线性代数定义线性代数的主要研究对象是线性空间、线性变换、有限维的线性方程组等，在泛函分析、抽象代数等被广泛应用，在对其进行解析时以几何解析的方式可使其被完整地表现出来.线性代数中的线性在数学学科中可从一阶导数作为常数函数的层面进行认知，其主要是指函数量和函数量之间的直线比例关系.线性代数理论是数学家对二维直角坐标系和三维直角坐标系的研究，在科学技术的不断突破下，其研究范围已经扩展到无限维度空间.当前线性代数具有空间性、实用性和工程性，空间性是指立体化运算，由量到点，从点到线，以线构面，可在维度空间中进行运算，例如，空间性投影、线性转换等，其转换方式已经脱离传统的符号转换范畴，以线性量之间的转换方式完成其维度空间的运算.实用性是指其应用领域较广，可对基本方程式进行预算，并可通过相应函数量计算物体在空间维度的量值大小，也可对系统力学、电力导向结构等进行维度分析，甚至可对经济均衡形式进行运算.工程化是指对问题进行求解时，可将实际场景和数据场景进行转换，将事物进行数据映射，将问题进行数据化，以运算的方式解决问题，目前此种方式对问题进行解决的理论有高斯消元、奇异值分解和克拉默法则，这些理论与线性代数的本体差异在于功能性表现.二、线性代数的矩阵理论在量纲分析法中的应用量纲分析法作为研究自然科学的分析方式，其在对事物进行分析时，以量为基准，通过寻求量存在的原因与形式，对事物进行数据分析，并找出与事物相关联数量之间的联系.科学家通过量纲分析可对物理学规律现象的方程式计算进行核对，并可对物理现象的预期发展规律进行探索.量纲分析中对物理学中的力学量具有特定的方程公式，质量的量纲式为M、长度的量纲式为L、时间的量纲式为T、速度的量纲式为LT-1、加速度的量纲式为LT-2、力学量纲式为MLT-2、角度量纲式为1（M0L0T0）等，其中基本量为时间、质量和长度，其他为导出量.其量与量之间在相等的情况下，一般遵循一致性原则，通过量性相等的原则可建立相应的线性方程式，并以矩阵理论对其中量的变化进行解决.例如，在进行勾股定理证明时，可将直角三角形的斜边边长设置为q，直角边边长分别设置为o和p，设面积为Z，研究两个锐角ε、η与q之间的变量关系.可得出f（Z，q，ε，η）=0，其上述公式具有四个纲量，其中q，ε，η为基本纲量、Z为无纲量，可将量进行量纲矩阵列表，其中列数代表变量型量纲数据.qεηZM1002N0000K0000由矩阵可得出其解线性方程为：100000000y11y21y31=200，可得出y11=2，y21=0，y31=0，可得出关系等式为Z=μq2，μ为确定值，属于无量纲量，依据等式可得出直角三角形的Z与q2成正比.在此基础上，可将直角三角形的斜边设置一个垂直高，将其分成两个相似直角三角形，将两个相似直角三角形的面积分别设置为Z1和Z2，此时直角三角形Z的两个直角边o和p，作为Z1和Z2的斜边，通过相似原理可得出Z1=μo2，Z2=μp2，通过Z=Z1+Z2，可得出μq2=μo2+μp2，进而可推导出q2=o2+p2.当前量纲分析作为一种运算法则，科学家在进行实验运算时，一般以事物价值为衡量标准，当实验价值较高，研究人员一般以运算为主，并对情况进行假设，对事物的发生进行预判，在模型建立下，以实际效果为导向，对假设模型进行最优化选取.三、线性代数的矩阵理论在生物成长动态趋势预期分析中的应用生物种群在发展过程中，如未受到环境的制约和外力性损坏，其动态发展将具备一定的规律.在对规律进行臆测时，可由矩阵方程、矩阵对角、矩阵乘法等知识，可对其进行数学计算，得出矩阵高次幂，以其结果对预期发展状况进行判断，使结果数据化，并可对种群的增长情况进行模拟.当对种群进行研究时，可对其繁衍主体雌性动物进行分析，将雌性动物生长年限设为M，在[0，M]之间可设置相应的年龄组为m，由此可得出其中第a组年龄段为a-1mM，amM，种群在繁衍过程中，存在生育率（平均生育量）和存活率（a阶段到a+1阶段的种群存活的数目与a阶段的种群总体数目相比），设a组年龄段的生育率为ra，存活概率为ha，将种群年龄分布设为：Y（0）=（y（0）1y（0）2y（3）3…y（0）m）T，取tv=vmM，v=1，2，3，…由上述公式可得出Y（v）=（y（v）1y（v）2y（v）3…y（v）m）T.经过时间的不断推移，动物种群的年龄段数目也在不断变化，以平衡原则为主，其年龄段也在改变，上一阶段的幼体成长为本阶段的具有繁殖能力的动物成体，即tv年龄组中的繁殖性动物等于tv-1到tv各年龄段中幼体数目之和，由此可得出公式Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，通過y（v）a+1=qay（v-1）a，a=1，2，3，…，m-1可得出Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，Y（v）2=q1y（v-1）1，Y（v）3=q2y（v-1）2，……Y（v）m=qm-1yv-1m-1，其矩阵乘积为Y（v）=AY（v-1），v=1，2，3，…，m-1，矩阵系数是：A=p1p2…pm-1pmq10…000q2…0000…qm-10 .由此可知，Y（v）=A（v）y（0），v=1，2，3，…m-1，由上述公式可知动物种群年龄分布的初始时刻，其在tv阶段种群量值的分布为Y（v）.此时将M取值为30，并对其进行年龄分组，[0，10]，[11，20]，[21，30]，种群在[0，10]的生育率为0，[11，20]的生育率为4，[21，30]的生育率为3;种群存活率[0，10]阶段为0.5，[11，20]阶段为0.25，[21，30]阶段为0.在三个阶段的雌性数量为2000，2000，4000，求出10年后的种群数量，可得出Y（0）=200020004000，A=0430.50000.250，可得出：A2=20.750021.50.12500，进而推导出Y（2）=20.750021.50.12500200020004000=550010000500 .经过上述公式可对10年后的种群数量进行预算，[0，10]，[11，20]，[21，30]年龄段的数量分别为5500，10000，500.当种群数量的年龄组m趋于无限大时，可对Am进行求解，以可对角化矩阵，在有限的空间维度，进行向量转换，使其具备可对角化的线性映射，在对m→∞进行极限讲解，进而可对种群的总个数进行趋势预判.因此，在对种群数量进行预测时，以科学的计算方法为引导，可对其发展趋势进行严谨性运算，有利于提升对生物领域的认知程度. 三、结语综上所述，本文对线性代数进行介绍，以空间性、实用性和工程性三方面阐述其结构优势.线性代数作为数学领域中的一门学科，其对线性关系可进行空间性算法，在科学技术的不断提升下，使其算法向无限维度层面拓展，有效扩大线性代数的应用范围.矩阵理论通过线性变换、特征向量、矩阵等运算方法，以数据为基准，可将问题进行简化，并对问题的发展通过数据的表现进行预期判断，有效提升运算的科学性和精准性.【参考文献】[1]李东升.简述在线性代数教学中培养学生数学思维意识的一些思考[J].现代交际，2018（16）：158-159.[2]白阿拉坦高娃.《线性代数》教学中矩阵理论在图像处理中的应用[J].科技创新导报，2017（1）：211，213.[3]马中华.卓越师资班线性代数课程矩阵乘法教学方法研究[J].高师理科学刊，2016（7）：66-69.[4]徐薇薇.矩阵的秩在线性代数中的应用[J].民营科技，2015（2）：259，18. -全文完-。

矩阵在线性代数中的应用案例探讨作者：刘昱岑来源：《赢未来》2018年第05期摘要：近年来，随着信息科技的不断发展，社会经济发展速度越来越快，线性代数也开始在各个学科中被广泛应用，其中矩阵的应用领域也逐渐变得广泛。

线性代数一直以来都是数学学科学习中的重点和难点，高中阶段的数学学习，线性代数的学习还很简单。

本文主要是对矩阵在线性代数中的应用案例探讨。

关键词：矩阵；线性代数；应用分析一、线性代数的概念线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

在高中数学学习中，求解线性方程是重要的知识点，主要学习了线性代数的向量概念，向量也是線性代数中一个最基本的概念。

当前，线性代数在数学、物理学和技术学科中都发挥着重要的作用，可见线性代数对于强化知识技能，增益科学智能方面是非常有利的。

矩阵是在线性代数中比较具有研究价值且被研究次数最多的，矩阵能表现出一种规律，一种利用代数理论知识来表现的一种数表变化规律，并且经常利用数表来分析得到结论[1]。

二、矩阵在线性代数中的应用案例分析（一）线性方程组与向量首先，向量是解决线性方程组的一个有力武器。

向量是一个在解析几何和物理中都有的概念，但是在解析几何和物理中的向量概念是不一样的，而且利用向量处理线性方程组是非常有用的[2]。

线性代数中的向量与物理中学习到的向量是不同的。

线性代数中的向量有两个要素，一个是大小另一个是方向。

所以两个向量只要大小和方向一致，那么这两个向量就是相等的，所以向量中只有重合没有平行，不存在相反方向但是相等的向量。

因此，向量最基本的运算就是加法和减法两种。

比如，α-β=α+β这个向量的加法，就是将它们的各个分量分别相加。

另外，由于向量的加法符合平行四边形的运算法则。

所以运算的时候，可以把向量α 和向量β假设为一个平行四边形的两条边，这样向量α+β的计算就是那个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线向量就是α+β所对应的向量。

######学院矩阵的实际应用课程题目：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月1 日矩阵的实际应用摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。

我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。

在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。

在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。

关键词：线性代数矩阵实际应用Abstract: From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.Keywords: linear algebra matrix practical application正文：1、引言数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。

浅谈正交矩阵与酉矩阵矩阵是数学中重要的基本概念,是高等代数的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域.正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置。

对矩阵性质的概括、改进和推广，以及对正交矩阵在数值分析中、矩阵分解中和对方程求解、数理统计中的应用的研究，对矩阵的理论研究有重要意义。

本文列举了正交矩阵与酉矩阵的一些常见的性质与定理，并对其应用进行了一些列举。

首先认识什么是正交矩阵，什么是酉矩阵。

酉矩阵的定义：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix)。

即若n 阶复矩阵A 满足条件：E A A AA H H ==(E 为单位矩阵，H A 表示“矩阵A 的共轭转置矩阵，即TH A A =”)，则此时矩阵A 称为酉矩阵。

此时，容易验证，当矩阵A 、B 为酉矩阵时，则有如下的结论成立：（1）H A A =-1也为酉矩阵（2）1det =A（3）n n T U A ⨯∈,即T A 为酉矩阵（4）AB,BA 也均为酉矩阵正交矩阵的定义：正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵。

如果实数矩阵A 满足E A A AA T T ==（E 为单位矩阵，T A 表示“矩阵A 的转置矩阵”），则n 阶实矩阵 A 称为正交矩阵。

此时，容易验证，当A 、B 为正交矩阵时，则有如下结论成立：（1）n n T E A A ⨯-∈=1，即1-A 、T A 均为正交矩阵（2）1det ±=A（3）AB,BA 也均为正交矩阵正交变换的定义：设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,若A 保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V 都有(A α，A β) = (α，β)，则称A 为V 的正交变换。

毕业论文（设计）题目: 矩阵在解线性方程组中的应用教学院: 理学院专业班级: 数学与应用数学（1）班完成时间:2014年04月25日毕节学院教务处制毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。

尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。

对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。

作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。

作者签名：日期：学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。

本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。

涉密论文按学校规定处理。

作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。