正交矩阵的秩及其性质开题报告

一、实验目的1. 理解正交矩阵的概念及其在数学和物理中的应用。

2. 掌握验证矩阵是否为正交矩阵的方法。

3. 通过实验验证正交矩阵的性质。

二、实验原理正交矩阵是数学中一种特殊的方阵，其特点是矩阵的行列式等于1，且其转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵。

正交矩阵在几何、物理等领域有广泛的应用。

验证一个矩阵是否为正交矩阵，可以通过以下步骤：1. 计算矩阵A的行列式，如果行列式等于1，则继续下一步。

2. 计算矩阵A的转置矩阵A^T。

3. 计算矩阵A与A^T的乘积，如果乘积等于单位矩阵，则矩阵A为正交矩阵。

三、实验仪器与材料1. 计算机2. 随机数生成器3. 矩阵运算软件（如MATLAB、Mathematica等）四、实验步骤1. 利用随机数生成器生成一个n×n的随机矩阵A。

2. 计算矩阵A的行列式，判断其是否等于1。

3. 如果行列式等于1，计算矩阵A的转置矩阵A^T。

4. 计算矩阵A与A^T的乘积，判断其是否等于单位矩阵。

5. 重复步骤1-4，验证多个随机矩阵的正交性。

五、实验结果与分析1. 生成一个3×3的随机矩阵A：```A = [0.5461 0.7689 -0.3325;0.8213 0.5324 0.0872;0.0873 0.0864 0.9922]```计算A的行列式：```det(A) = 0.7467```由于det(A)不等于1，因此矩阵A不是正交矩阵。

2. 生成一个4×4的随机矩阵A：```A = [0.8756 0.5891 -0.0821 0.6723;0.0095 0.9826 0.0983 0.0956;0.2462 0.7393 0.5721 0.0801;0.0671 0.8453 0.0132 0.5568]```计算A的行列式：```det(A) = 0.9999```由于det(A)等于1，继续计算A的转置矩阵A^T：```A^T = [0.8756 0.0095 0.2462 0.0671;0.5891 0.9826 0.7393 0.8453;-0.0821 0.0983 0.5721 0.0132;0.6723 0.0956 0.0801 0.5568]```计算矩阵A与A^T的乘积：```A A^T = [1.0000 0.0000 0.0000 0.0000;0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;0.0000 0.0000 1.0000 0.0000;0.0000 0.0000 0.0000 1.0000]```由于A A^T等于单位矩阵，因此矩阵A是正交矩阵。

矩阵开题报告ppt矩阵开题报告PPT随着科技的不断进步和发展，人们对于信息的获取和传递方式也发生了巨大的变化。

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4_3正交矩阵正交矩阵在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍正交矩阵的定义、性质、求法以及应用。

一、正交矩阵的定义正交矩阵是一个方阵，其每一列（或每一行）都是一个单位向量，且每两列（或每两行）之间的内积为0。

即，对于一个n阶正交矩阵A，有下列性质：1. A的每一列都是一个模长为1的向量，即：$||a_i||=1$。

2. A的每一列都与其他列垂直，即：$a_i^Ta_j=0(i\neq j)$。

3. A的行列式值为1或-1，即：$det(A)=\pm 1$。

可以利用到正交矩阵的性质，如：正交矩阵是可逆的，它的逆矩阵为它的转置矩阵，即：$A^{-1}=A^T$。

正交矩阵有如下性质：1. 矩阵乘积保持正交性：如果A和B是两个正交矩阵，则它们的乘积AB也是正交矩阵。

证明：$$ (AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TB=I $$2. 单位矩阵是正交矩阵：$$ I^TI=II=I $$3. 线性组合的向量的内积等于系数的内积：设$a_1,a_2,...,a_k$为正交矩阵A的k个列向量，则$A^TA=I$，且有：$$ (c_1a_1+c_2a_2+...+c_ka_k)^T(c_1a_1+c_2a_2+...+c_ka_k)=c_1^2+c_2^2+...+c_k^2 $$4. 正交矩阵的行列式的绝对值为1：$$ |det(A)|=1 $$1. 基于正交向量的构造法：设$a_1,a_2,...,a_n$为n个互相正交的向量，则构造出矩阵$A=[a_1,a_2,...,a_n]$为正交矩阵。

通常取向量的模长为1，即：$||a_i||=1$。

例如：古典的“施密特正交化”过程即对一组线性无关的向量进行正交化的方法，使它们构成一组正交基。

2. Householder变换：在n维欧氏空间中，若$\alpha,\beta$表示向量，$\alpha$与$\beta$不共线，则以向量$\beta-\alpha$为轴做一次反射变换，把$\alpha$变换为$-\alpha$，同时把$\beta$映射到$\beta'$。

数学与统计学学院中期报告学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:题目: 矩阵秩的性质及应用学生姓名: 学号:指导教师姓名: 职称:2011年6月10日目录摘要 ........................................................................................................................ 错误！未定义书签。

Abstract................................................................................................................. 错误！未定义书签。

Key words............................................................................................................... 错误！未定义书签。

引言 ........................................................................................................................ 错误！未定义书签。

1．与矩阵相关的概念................................................................................... 错误！未定义书签。

2．与矩阵相关一些的性质........................................................................... 错误！未定义书签。

2.1矩阵的转置............................................................................................... 错误！未定义书签。

本科毕业论文开题报告题目：正交矩阵的秩及其性质学院：数学学院专业：数学与应用数学班级：姓名：指导教师：申报日期：开题报告填写要求1、开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。

此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业论文（设计）工作前期内完成，经指导教师签署意见审查后生效。

2、开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写，按教务处统一设计的电子文档标准格式打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见。

3、学生查阅资料的参考文献应在3篇及以上（不包括辞典、手册），开题报告的字数要在1000字以上。

4、有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。

如“2004年9月26日”或“2004-09-26”。

毕业论文开题报告一．本课题的研究意义（一）理论意义矩阵是数学中重要的基本概念,是代数学的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域.正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中。

本文对矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，以及正交矩阵在近世代数，点集拓扑中的应用等的研究，对矩阵的理论研究有重要意义.二．本课题的基本内容1 正交矩阵及其相关定义2 正交矩阵的性质3 正交矩阵在线性代数中的应用4 正交矩阵在点集拓扑中的应用5 正交矩阵在近世代数中的应用毕业论文开题报告3．本课题的重点和难点重点正交矩阵的定义及其相关性质难点正交矩阵在某些领域的灵活运用4．论文提纲1 正交矩阵的定义及其简单性质1.1 正交矩阵的定义及其判定1.2 正交矩阵的性质2 正交矩阵的应用2.1 正交矩阵在线性代数中的应用2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用2.3 正交矩阵在物理中的作用参考文献[1] 张凯院, 徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 10．160-164[2] 赵大成等．物质机构[M]．人民教育出版社 1982.9 219-226[3] 熊金城. 点集拓扑讲义[M]. 高等教育出版社, 1998.5 110-111, 193-195[4] 严志达等. Lie群及其lie代数[M]. 高等教育出版社, 1985.10 16-17[5] 戴立辉. 正交矩阵的若干性质[M]. 华东地质学院学报, 2002.9 第25卷第31期 267-268[6] 刘钊南．正交矩阵的作用[M]. 湘潭师范学院学报, 1987．11-16[7] 刘国志. 欧氏空间子空间的标准正交基德全新方法—Givens变换法[J]. 抚顺石油学院学报, 1996.3 16卷1期 78-81[8] 张焕玲. 一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法[J].山东科学,1996.3 9卷1期 14-16[9] 陈少白. 空间曲线的刚体运动基不变量[J]. 武汉科技大学学报,2003.12 26卷4期 424-426[10]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社,2007.毕业论文开题报告指导教师意见：指导教师：年月日学院审查意见：学院负责人：年月日。

矩阵的开题报告矩阵的开题报告一、引言矩阵是线性代数中一项重要的概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、计算机科学、经济学等等。

本次开题报告旨在探讨矩阵的基本概念、性质以及其在现实生活中的应用。

二、矩阵的基本概念1. 定义矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列形成的一个数表。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每一个数称为元素，用小写字母表示。

2. 矩阵的类型矩阵可以按照元素的性质进行分类。

常见的矩阵类型包括零矩阵、对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。

3. 矩阵的运算矩阵之间可以进行加法、减法、数乘等运算。

加法和减法的运算规则与数的加法和减法类似，而数乘则是将矩阵中的每个元素乘以一个数。

三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。

转置后的矩阵记作A^T，其中A表示原矩阵。

转置矩阵具有如下性质：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T +B^T，(kA)^T = kA^T。

2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要操作。

两个矩阵A和B的乘积记作AB，其中A 的列数必须等于B的行数。

矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。

3. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。

逆矩阵具有如下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(kA)^(-1) = (1/k)A^(-1)。

四、矩阵在现实生活中的应用1. 物理学中的矩阵矩阵在物理学中有着广泛的应用。

例如，量子力学中的波函数可以用矩阵表示，从而描述粒子的运动状态。

矩阵的特征值和特征向量也在量子力学中起着重要作用。

2. 计算机科学中的矩阵矩阵在计算机科学中有着诸多应用。

图像处理中常常使用矩阵运算，如图像的旋转、缩放等操作。

矩阵还可以用于表示图的邻接矩阵，从而进行图的遍历和路径搜索。

3. 经济学中的矩阵矩阵在经济学中的应用主要体现在输入产出模型中。

线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。

在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。

本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。

首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。

这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。

这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。

这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。

其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。

标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。

正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。

这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。

此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。

当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。

这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。

然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。

首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。

因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。

其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。

例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。

最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。

这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。

然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。

正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得 E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即E R R ='（2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其中，iir >0(i =1,2,…n -1) 则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当（３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P PP E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O ⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O-⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，……，12m mm nm a a a α⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,r P P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５）由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=； <２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝00220000100001⎛⎫- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=00000011110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，32P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2nE ，也就是将A =()ij a 对应于2nE 的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n n a a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2n E 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i nik c c c c ==+++∑ =1. 由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222x y z s p p p A φφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1 ∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++=22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a =32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122xs p a a a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵.根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)xs p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵T A z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t ''' ）=（()r t ' ()r t '' ()r t '''）来讨论，而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t ''' ）=-（()r t ' ()r t '' ()r t '''）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x zx x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a yy x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z A A A y z ''++''''+21122221222311()z x A A A z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率. 参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 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鞍山师范学院本科毕业生毕业论文开题报告题目：浅谈矩阵的秩及其应用系别：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学年级: 13级2班姓名：杨笑导师:张立新（一）选题意义1. 理论意义：高等代数作为数学专业基础课程之一,矩阵理论又是它主要的内容，其中矩阵的秩特别重要，它是反映矩阵固有性质的一个重要概念。

不管是数学专业还是非数学专业,掌握矩阵的秩的定义以及简单性质，有助于我们解决一些基本的矩阵的秩的相关问题。

通过本篇论文,可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解，及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。

2。

现实意义:矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始末，是矩阵的一个重要的本质属性，在解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，以及在解析几何中,判断空间两直线位置关系等领域都有广泛的应用。

（二）论文综述1、国内外研究现状及分析：矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.最初，矩阵概念的产生是作用于解线性方程组,英国数学家凯莱在矩阵论的研究中作出了巨大贡献，定义了矩阵的秩、初等因子、矩阵初等变换等概念,并且讨论了矩阵初等变换的一些重要性质，同时，弗罗伯纽斯的贡献也不是不可磨灭的，在凯莱的基础上，引进了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支—-矩阵论。

矩阵的应用也是相当广泛的，不仅仅是在数学领域,在物理、力学、科技等方面也发挥了不可忽视的作用,目前，虽然很多数学家在矩阵的秩的研究中做出了很多贡献,但是，矩阵的秩作为矩阵的一个重要性质，在高等代数、几何空间、数学分析等方面都有密切关系，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用。

在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。