矩阵的秩及应用_国慧

案例教学法在矩阵的秩的教学中的应用
案例教学法是一种以实际案例为基础，通过让学生进行实际操作和解决问题的方式进行教学的方法。

矩阵的秩作为线性代数中的重要概念和应用，在教学过程中可以采用案例教学法来提高学生对该概念的理解和运用能力。

一、案例选择
在选择案例时，可以选取一些与学生生活和学习经验有关的实际问题。

一个矩阵的秩可以表示矩阵的行或列向量组的线性相关性，可以通过选取一些具有实际意义的向量组进行案例教学。

如一个班级的学生在考试中的成绩可以用一个向量表示，其中每个向量为学生的成绩。

通过解决这个案例，学生可以更好地理解和运用矩阵的秩的概念。

二、案例分析
在案例分析阶段，要引导学生通过具体问题的分析和解决来理解和运用矩阵的秩的概念。

在上述案例中，首先可以让学生根据班级学生的成绩向量组，通过构造矩阵来表示，并求出该矩阵的秩。

通过计算秩的过程，学生可以理解秩的定义和计算方法。

三、案例解决
四、案例讨论
在案例讨论阶段，可以引导学生通过对案例的讨论和分析，深化对矩阵的秩的理解。

学生可以进一步讨论秩与向量组的线性相关性之间的关系，以及秩与矩阵的行列式之间的关系等。

通过讨论，学生可以发现矩阵的秩在线性代数中的应用，并学会将秩应用到实际问题的求解中。

五、案例拓展
在案例拓展阶段，可以引导学生通过拓展案例，进一步应用和巩固矩阵的秩的知识。

可以选择一些与学生专业和兴趣相关的案例，让学生通过解决这些案例来巩固和应用所学的知识。

可以选取一个图像处理的案例，通过构造图像矩阵并计算矩阵的秩，来进行图像的压缩和恢复等操作。

对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用摘 要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用.关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremelyin the Application of Linear AlgebraAbstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank0 前言矩阵的理论是线性代数的理论基础。

而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念首先给出矩阵秩的几个等价定义定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。

宝鸡文理学院本科学年论文论文题目：矩阵秩及其应用学生姓名：李前学生学号：201190014020专业名称：数学与应用数学指导老师：杨建宏数学系2013年11月28日目录【摘要】 (1)【关键字】 (1)一、矩阵的秩的有关概念 (1)二、矩阵中的相关定理及命题 (2)三、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较 (4)四、矩阵运算中矩阵的秩的关系 (6)五、矩阵秩的应用 (10)【参考文献】 (15)浅谈矩阵的秩及其应用李前（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）【摘要】 本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。

【关键字】 矩阵秩； 线性方程组； 非零子式的最高级数； 初等变换1、矩阵秩的相关概念，定理及命题为了介绍矩阵的秩，首先介绍k 级子式的概念定义[1] 在m n ⨯阶矩阵A 中任意选定矩阵的k 行和k 列,将位于这些所选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序组成的一个新的行列式,称为矩阵的的一个k 级子式。

定义[2] 设m nA F ⨯∈所含的非零子式的最高阶数为r ,则称r 为矩阵A 的秩,记为rankA .当0A =时,A 不含任何非零子式,定义矩阵A 的秩为0，记为0rankA =.矩阵的秩可分为行秩和列秩。

所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量,那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的,这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样,将每一列看成一个向量,那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。

简单地说,矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。

显然，m n ⨯阶矩阵A 的非零子式的最高阶数比,m n 中的任何一个都小，可记为 {}min ,rankA m n ≤.若m n ≤,当rankA m =时称A 为行满秩,同样，若n m ≤，当rankA n=时称A 为列满秩；如果m n =,并且当rankA 达到最大值n 时，称A 为满秩方阵。

案例教学法在矩阵的秩的教学中的应用矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，而案例教学法是一种能够将抽象概念与实际问题相结合的教学方法。

在矩阵的秩的教学中，可以采用案例教学法来增强学生的兴趣和理解能力，使其达到事半功倍的效果。

首先，针对矩阵的秩这一概念，可以通过实际问题来介绍和解释。

比如，可以让学生思考一个有20个观测数据的问题，然后设计一个矩阵A，其中每一行对应一个观测数据，每一列对应一个自变量，以此来阐述线性代数的应用问题。

在这个问题中，不同的自变量对观测数据的影响不同，而矩阵A可以用来表达自变量与观测数据之间的关系。

然后，可以引入矩阵的秩这一概念，来进一步解释矩阵中不同变量的相互独立性和相关性。

其次，可以通过具体的案例来帮助学生更好地理解矩阵的秩的计算方式和意义。

比如，可以给定一个3×3的矩阵，要求学生计算它的秩。

然后，可以给予学生一些提示，如矩阵的行可以看成向量，矩阵的秩等于线性无关的行向量数量。

让学生自己计算，并解释计算过程和结果的意义，这样就可以让学生通过实际操作来理解矩阵的秩的定义和计算方法，以及对问题的解决能力有提高。

最后，也可以通过一些具体场景来帮助学生更好地理解矩阵的秩的实际应用。

比如，在数据科学领域中，矩阵的秩可以用来解决数据挖掘和机器学习中存在的问题，如矩阵奇异性等。

然后，引入一些真实的数据案例来说明，如何利用矩阵的秩来实现数据分析和预测的应用。

通过这种方式，学生可以更加深刻地理解和应用该概念。

总之，案例教学法可以有效地帮助学生理解和应用矩阵的秩这一概念，通过实际问题和具体场景，让学生深入了解矩阵的秩的意义和应用，从而提高他们的学习兴趣和学习效果。

矩阵的秩及其应用嘿，朋友！想象一下你走进了一个充满神秘数字和符号的奇妙世界，那里有一个叫矩阵的家伙，而矩阵还有一个很重要的属性，叫做秩。

这秩啊，就像是矩阵的“身份证号码”，能告诉我们很多关于它的秘密。

先来说说矩阵是啥吧。

比如说，你和你的小伙伴们一起参加一场团队游戏，每个人的得分记录下来，排成一个整齐的数字表格，这就有点像矩阵啦。

那矩阵的秩又是什么呢？咱们来打个比方。

把矩阵想象成一个班级，里面的数字就是同学们。

秩呢，就好比是这个班级里真正能“挑大梁”、发挥关键作用的同学的数量。

如果秩比较大，那就意味着这个班级里能干实事的同学多；要是秩比较小，可能就得好好想想办法，提升一下团队实力了。

在日常生活中，矩阵的秩也有大用处呢！比如说，建筑师在设计大楼的时候，各种结构的数据就可以组成矩阵。

通过分析矩阵的秩，就能知道这个设计是不是稳定可靠，能不能经受住风吹雨打。

这就好像是给大楼做了一次全面的“体检”，是不是很神奇？再想想，工程师们设计电路的时候，那些复杂的电流、电压等参数，也能组成矩阵。

矩阵的秩就能帮助他们判断电路是不是能正常工作，会不会出现短路或者其他故障。

这秩就像是电路世界里的“侦探”，能找出隐藏的问题。

还记得你为了减肥制定的运动计划吗？每天跑步的时间、做瑜伽的时长、跳绳的次数等等，这些也能组成一个矩阵。

而矩阵的秩能告诉你这个计划是不是合理，能不能有效地帮你甩掉赘肉。

我曾经有个朋友，他特别喜欢摄影。

每次拍照，他都会研究光线、角度、焦距等各种参数，这些参数组成的矩阵，通过分析秩，他就能知道怎么拍出更完美的照片。

这秩就像是他摄影路上的“引路人”，指引他走向艺术的高峰。

在学习数学的时候，矩阵的秩更是帮了大忙。

它能帮助我们判断方程组有没有解，有几个解。

这就像是在数学的迷宫里找到了一把万能钥匙，能打开各种难题的大门。

你说，这矩阵的秩是不是特别神奇？它就像一个隐藏在数字世界里的小精灵，虽然有时候不太容易被发现，但一旦被我们抓住，就能发挥出巨大的作用。

学科分类号0701 本科生毕业论文题目：矩阵的秩及其应用Rank of Matrix and Its Application学生姓名：学号：系别：数学与应用数学专业：数学与应用数学指导教师：起止日期：2013.12-2014.52014年 5 月 10 日怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。

除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。

对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。

本声明的法律结果由作者承担。

本科毕业论文（设计）作者签名：年月日目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1 前言 (1)2 矩阵的秩的定义及性质 (2)2.1 矩阵的秩的定义 (2)2.2 矩阵秩的性质 (2)2.3关于矩阵的秩的某些不等式、等式及其应用 (3)3 矩阵的秩在代数中的应用 (5)3.1 解线性方程组 (5)3.2 讨论向量组的相关性 (9)3.3 讨论零特征值的代数重数 (11)3.4判断二次型的正定 (12)4 矩阵的秩在几何中的应用 (13)4.1 判断平面与平面的位置关系 (13)4.2 判断平面与直线的位置关系 (14)4.3 判断直线与直线的位置关系 (15)参考文献 (17)致谢 (18)摘要矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，它是矩阵的一个数量特征，矩阵的秩有着广泛的应用。

本文探讨了矩阵秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与Frobenius不等式及等式成立的条件和应用，此外文章重点介绍了矩阵的秩在矩阵运算、矩阵可逆、向量组的线性相关以及零特征值代数重数的关系等问题中的作用，从而得到了矩阵的秩在线性代数、解析几何以及概率论等方面的应用．关键词不变性；不等式；线性方程组；齐次线性方程组；代数重数.Rank of Matrix and Its ApplicationAbstractThe rank of a matrix is almost throughout the matrix theory, it is a quantity characteristic matrix, rank of matrix has a wide range of applications. This paper discusses the invariance of matrix rank, the rank of a matrix is established with inequality and equality conditions and applications, furthermore the article focuses on the rank of matrix valued algebraic multiplicity relations and other issues in the role of the linear correlation matrix multiplication, matrix, vector group and zero characteristic, which has been applied in the rank of a matrix linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.Key wordsInvariance;inequalities;linear equations; homogeneous linear equations;algebraic multiplicity.1 前言矩阵的现代概念是在19世纪逐渐形成的.1801年德国数学家高斯(.F Gauss ，18551777-）把一个线性变换的全部系数作为一个整体．1844年,德国数学家爱森斯坦)18521823,.(-n Eissenstei F 讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850年,英国数学家西尔维斯特)(18971841,-Sylvester Joseph James 首先使用了矩阵一词．1858年,英国数学家凯莱)18951821,.(-Gayley A 发表《关于矩阵理论的研究报告》．他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等．并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m n ⨯矩阵只能用n k ⨯矩阵去右乘．1854年，法国数学家埃米尔特)19011822,.(-HermitemC 使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝乌斯)18171849,..(-m FroheniousG F 发表．1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念．矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具．而矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用．不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是十分必要的.本课题的目的在于讨论和总结两个矩阵和的秩及两个矩阵积的秩，矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，关于他们的秩可以用相关矩阵秩的不等式表示，进一步给出有条件的等式表示，本文利用矩阵的秩的几个结论，讲述矩阵的秩在线性代数，解析几何以及向量中的利用.现如今，矩阵理论在许多领域都有很广泛地应用, 例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用. 在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系. 在控制论中, 矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的, 或可观察的. 此外, 矩阵的秩也可用来判定向量组的线性相关性、两个向量组之间的等价、求向量组的极大无关组、向量组的线性表示、求齐次线性方程组的基础解系、求解非齐次线性方程组等等.分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用.但国内一些专家对其研究主要是在证明和计算等方面.但在分块矩阵的推广方面很少有研究，难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具.2 矩阵的秩的定义及性质2.1 矩阵的秩的定义定义1 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.定义 2所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.2.2 矩阵秩的性质(1) ()0r A =，当且仅当A 是零矩阵;(2) ()r A n =, 当且仅当0≠A ;(3) 设A 是m n ⨯矩阵, 则()()min ,r A m n ≤;(4)()()()r A B r A r B ±≤+;(5)()()A O A O r r r A r B BC B O B ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (6) 设,A B 分别为n m ⨯与m s ⨯矩阵, 则()min{r(A),r(B),,,}r AB n m s ≤;(7) 转置矩阵的秩相等，即()()T rank A rank A =;(8) 初等变换不改变矩阵的秩; (9) ()(),00,0rank A k rank kA k ⎧≠=⎨=⎩；， (10) 对于任意一个n 阶矩阵A ，以下三种说法等价;1.矩阵A 可逆；2.()rank A n =；3.det 0A ≠.(11) 矩阵的行秩、列秩、秩相等;(12) 设A 为m n ⨯阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶矩阵，则()()()()rank PAQ rank AQ rank PA rank A ===;(13) ()()A O rank rank A rank B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; (14) ()()A O rank rank A rank B C B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭;(15) ()()(){}min ,rank A B rank A rank B ⨯≤．特别地，若A 可逆，则()()rank A B rank B ⨯=．2.3关于矩阵的秩的某些不等式、等式及其应用定理 1]1[（Sylvester 不等式）设A 为s n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则()()()rank AB rank A rank B n ≥+-.推论1 若矩阵A 与B 为n n ⨯矩阵，且0AB =，()()rank A rank B n +≤.定理2]1[ ()Frobenious 不等式 设A B C 、、依次为m n ⨯、n s ⨯、s t ⨯型矩阵，则()()()().rank ABC rank AB rank BC rank B ≥+-性质1 设矩阵A B 、为n 阶矩阵，则()()()n n n rank AB I rank A I rank B I -=-=-.性质2 若A B 、是n 阶矩阵，则()()()rank AB A B rank A rank B ++≤+.定理3]1[ 设()()[],,n n A P f x g x P x ⨯∈∈，则()()()()rank f A rank g A +=()()()()rank d A rank m A +，其中：()()()(),d x f x g x =，()m x 为()f x 与()g x 的最大公因式.定理4]2[ 设()()()()()(),,,1,n n f x g x F x f x g x A F ⨯∈=∈，则()()()()()()()rank f A rank g A rank f A g A n +=+.推论2 设()()[]()()(),,,,1,n n A F f x g x P x f x g x ⨯∈∈=则 ()()()()()()0rank f A rank g A n f A g A +=⇔=.推论3 设()()[],,n n i j A F f x g x P x ⨯∈∈，且()()(),1i j f x g x =，1,1i m j t ≤≤≤≤，则()()()()1111m t m t i j i j i j i j rank f A rank g A n rank f A g A ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.例1 设A 为n 阶矩阵，且2A A =，证明：()()rank A rank A E n +-=,E 为 n 阶矩阵.证明 令()f x x =，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，而2A A =,则20A A -=，所以应用定理4，可得到()()()()()()()()()rank A rank A E rank f A rank g A n rank f A g A +-=+=+()()()20n rank A A E n rank A A n n =+-=+-=+=. 例2 设A 为n 阶矩阵，且2A E =,证明()()rank A E rank A E n ++-=.证明 令()1f x x =+，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理4，可得到()()()()()rank A E rank A E n rank A E A E ++-=++-()2n rank A E =+- ()0n rank O n =+=+n =.例3 设n n A F ⨯∈，n 为正整数，则对任意的正整数l k ，,有：()()()1kl m rank A rank A E n +-=，如果1m A A +=; ()()12(2)kl m m rank A E rank A A A E n ---+++++=,如果m A E =. 证明(1)令()l f x x =，()()1km g x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理4， ()()(())(())l m k rank A rank A E rank f A rank g A +-=+(()())(())111(()())1(())().l m k n rank f A g A n rank A A E l m m k n rank A A A A E l m k n rank A O A E n rank O n =+=+--+-=+---=+-=+= (2)令()()()12(1),1kl m m f x x g x x x x -+=-=++++，则()()(,)1f x g x =应用定理4，可到()()12kl m m rank A E rank A A A E ---+++++L ()()()()rank f x rank g x =+()()()()()()12k l m m n rank f A g A n rankA E A A A E --=+=+-++++ ()()()()()111212k l m m m m n rank A E A E A A A E A A A E ---+-+=+--++++++++))())())(()((12121211-------+++⋅++++-+++--+=k m m m m m m l E A A A E A A A A A A A E A E A rank n()()()()1112k l m m m n rank A E A E A A A E ---+=+--++++()n rank O n =+=以上三道例题如果用零化多项式的知识去解非常繁琐，但用S ylvester 不等式来就非常简单且易懂.矩阵秩的不等式在解题中有很好的应用，本文就不一一说明了. 3 矩阵的秩在代数中的应用3.1 解线性方程组定理1]3[（线性方程组可解的判定方法） 设n 元线性方程组AX B =，其中11121121222212,,n n m m mn m a a a b a a a b A B a a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L M M M M L 设其增广矩阵为11121121222212,n nm m mn m a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M M L 则有(1)方程组AX B =无解当且仅当()()rank A rank A <； (2)方程组AX B =有唯一解当且仅当()()rank A rank A n ==；(3)方程组AX B =有无穷多解当且仅当()()rank A rank A n =<． 例1 当c , d 取何值时, 线性方程组123451234523455123451,323,2263,5433.x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x d ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩无解? 有解? 有解时, 求出一般解.解 对增广矩阵作一系列初等变换：1111111111113211301226301226301226354331012265c c d d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭1111111111110000001226301226300000000002000002c c d d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 从而有：)1当0,c ≠ 或者2d ≠时, ()(),R A R A B ≠ 故方程组无解; )2当0c =, 且2d =时, ()()2R A R A B ==<n =5, 故方程组有无穷多组解, 且解中含有325=-=-r n 个自由变量;)3为求出一般解, 继续对增广矩阵施行初等变换, 并将2,0==d c 代入11111110115201226301226300000300000000000d 2000000⎛⎫⎛----⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 从而有134523452,226 3.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 其中345,,x x x 为自由变量, 它们可以取任意的实数.若令314253,,,x k x k x k ===则11232123314253522263x k k k x k k k x k x k x k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩，，，，， 为所求一般解（其中123,,k k k 为任意实数）. 例2 对于方程组123123123222x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，， 讨论λ取何值时，方程组有解.解 系数矩阵111111A λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 增广矩阵 112112112B λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若要方程组有解,则需rankA rankB =.221111111101101111011002A λλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2211211211211201100110.1120112200222B λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此可以看出当1λ=时，1rankA rankB ==，方程组有无穷多个解. 当1λ≠,且2λ≠-时，3rankA rankB ==，方程组有唯一解. 当2λ=-时，2rankA =，3rankB =，方程组无解.对于非齐次线性方程组来说，A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵，当rankA rankB =时，若0A ≠,则方程组有唯一解，若0A =,则方程组有无穷多组解；当rankA rankB ≠时，方程组无解.矩阵的秩不仅可以用来判断非齐次线性方程组有无解,而且还可以用来判断线性方程组解的情况，进而确定其通解的结构.以下定理可以根据矩阵的秩判断解的情况.定理2]3[（齐次线性方程组有非零解的判定方法） 一个奇次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n ．例3 求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解.12345123451234512345202075550320.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪+---=⎪⎨+--+=⎪⎪--+-=⎩，，， 解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得121111211112112211110533105331.175550966606900312110552205140------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由11120331009000140---≠，可知()45rank B =<.方程组的基础解系含有一线性无关的解向量，题目所给方程组的同解方程组为123452345232342205330 690540x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪--+=⎪⎨-+=⎪⎪-++=⎩，，，， 可以令2 2x =可推出T 12131,1,,23124η=（，），η是原方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解可以表示为x k η=（k 为任意常数）.例4 讨论齐次线性方程组1234512345123451234520,20,75550,320,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪+---=⎪⎨+--+=⎪⎪--+-=⎩解的情况.解 对上面方程组的系数矩阵做初等行变换，得12111211111755531211--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪---⎝⎭ 12112053310690005140--⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 12112053310690005140--⎛⎫⎪-- ⎪→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 1-211202-3000021-100-2111⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭ , 可知()45R A =<.因此齐次线性方程组有非零解.此时，方程组中四个方程都是有效方程.定理3]3[（齐次线性方程组的解空间的维数）数域F 上一个n 个未知量的齐次线性方程组的一切解作成n F 的一个子空间，称为这个齐次线性方程组的解空间．如果所给的方程组的系数矩阵的秩为r ，那么解空间的维数等于n r -．例5 应用线性方程组的理论证明：若m n ⨯矩阵A 与n p ⨯矩阵B 的积AB O =, 则()rank A ＋()rank B ≤n .证明 若A O =或B O =，结论自然成立.不妨设秩A ＝m n ⨯>0,作齐次线性方程组AX O =，该方程组的解空间的维数为n r -，由AB O =知B 的列向量是AX O =的解向量.因此，()rank B ≤n r -，于是()rank A ＋()rank B ≤n .例6 当λ取不同值时，计算下列齐次线性方程组的通解.12312312330230230.x x x x x x x x x λ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，，(1) 解 方程组的系数矩阵为A ，31123231A λ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,计算系数矩阵的行列式,()3112312312307507574231079004A λλλλ--=-=-=-=---,当4λ=时，0A =，方程组有非零解.314123123123075075231075000A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,方程组的系数矩A 的秩为2，由定理可得方程组的基础解系所含解的个数为1.此时方程组化简为12323230750x x x x x -+=⎧⎨-=⎩ （2）方程组（1）与（2）同解，且解为13233311757.x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，，由于115177Tα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，线性无关，则可以作为方程组的基础解系，X 表示方程组的通解.因此方程组的通解为,X k α= 其中k R ∈.当4λ≠时，0A ≠,方程组只有零解. 3.2 讨论向量组的相关性向量组的线性相关型理论是贯穿线性代数始终的理论主线．由于线性关系是变量比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题来解决．如果称向量组12,,,k u u u 是线性无关的，那么等式10kj j j c u ==∑只有12,,0k c c c =是能成立的．否则称这组向量组是线性相关的．假设这组向量组为1m +阶的列向量．这时用矩阵的形式可以将上述的等式写成10kj j j AC c u ===∑，其中()12,,k A u u u =，()12,,,Tk C c c c =．这时判断向量12,,,k u u u 组线性无关或相关的问题，可以转换成求方程组0AC =是否有非零解的问题来讨论．可以得到：定理1]4[ 一组列向量组线性无关当且仅当矩阵()12,,,k A u u u =的秩等于k ．由此可得到矩阵秩的另一种等价的定义：定义1矩阵()ij m n A a ⨯=的行（列）向量组的极大无关组的个数成为该矩阵的秩． 例7 设A 为n 阶方阵, 12,,,n ααα为n 个线性无关的n 维向量, 证明秩A =n 的充要条件是A 1α, A 2α,, A n α线性无关.证明 令B =()12,,,n ααα, 那么B 0≠.先证明必要性 设秩A =n , 所以A 0≠. 令1122()()()n n k A k A k A O ααα+++=L用1A -左乘（1）式得1122n n k k k O ααα++=L . 所以120n k k k ===L .即 A 1α, A 2α, L , A n α线性无关.再证明充分性 因为A 1α, A 2α,, A n α线性无关，所以12,,,n A A A ααα=AB 0≠,从而A 0≠, 即 秩A =n .定理2]5[ 如果方阵n n A C ⨯∈的秩为r ，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX O =的解向量组中，必有n r -个是线性无关的．例8 设0r 是非齐次线性方程组β=AX 的特解，r n -ηη ,1是导出组AX O =的基础解系，证明(1) 01,,r r n -ηη 线性无关； (2)β=AX 有1+-r n 个线性无关的解010101,,,r r r r n r n r n =+=+=+---ξηξηξ ；(3) β=AX 的任意解ξ可唯一表示成1111+-+---++=r n r n r n r n k k k ξξξξ，其中111=+--r n k k .证明 （1）设110n r n rk k kr O ξξ--++=.若0k ≠，则0r 可表示成01,,r r n -ηη的线性组合，故0r 是导出组AX O =的解，矛盾.于是0=k ，故0011=++--kr k k r n r n ξξ，10n r k k -⇒===L .（2）因为βξβηξ==-==+=+-010,,,1,Ar A r n i A Ar A r n i i ，即11,,,+--r n r n ξξξ是β=AX 的解.设，即101010()()n r n r n r k r k r k r O ηη---++++++=L11011()n r n r n r n r k k k r k k O ηη--+--⇒++++++=L L而01,,,r r n -ηη 线性无关，则.011====+--r n r n k k k 1111n r n r n r n r k k k O ξξξ---+-+++=（3）设ξ是β=AX 的任意解，则 .110r n r n k k r --+++=ηηξ.)1()()(1111010101+-+------+++=---+++++=⇒r n r n r n r n r n r n r n k k k r k k r k r k ξξξηηξ其中r n r n k k k -+----= 111，则.111=++++--r n r n k k k 3.3 讨论零特征值的代数重数引理1 设n 阶方阵()ij n n A a ⨯=的特征值为12,,,n λλλ，则()1122331nn a a a a trA ++++=;()1232det n A λλλλ=⨯⨯⨯⨯;()30A 是的特征值的充分必要条件是0.A =.例9 设A 是n 阶矩阵，r A R a a a A tr nn =+++=)(,)(2211 且A A =2，证明.)(r A tr =证明 因为A A =2，设0)(0,222=-⇒===⇒≠=ξλλλξξλξξξλξξA A A .由0≠ξ知 20λλ-=，于是1λ=或0.又01V V F n ⊕=，取1V 的基为s ηη ,1，取0V 的基为n s ηη,,1 +， 令),,(1n T ηη =，则sE O AT T OO ⎛⎫=⎪⎝⎭，即~s E O A B T O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由r A R =)(，得 (),.rE O R B r B OO ⎛⎫==⎪⎝⎭而相似矩阵有相同的迹，故r B tr A tr ==)()(.引理2 设i λ是方阵A 的i r 重特征值（称i r 为特征值i λ的代数重数），对应有i s 个线性无关的特征向量（称i s 为特征值i λ的几何重数），则1i i s r ≤≤．定理1]5[ 如果方阵A 的秩为R ，设A 有零特征值，且其重数为r ,则必定有：n r R n -≤<推论1 如果方阵A 仅有一个零特征值，即1r =，则必有A 的秩1R n =-． 推论2 如果方阵A 的秩1R =,A 的n 个特征值为12,,,n λλλ，则必有123,0n trA λλλλ=====例10 设A 为n 阶方阵, A E ≠，且()()5rank A E rank A E n ++-=，求A 的一个特征值.解 因为A E ≠,所以A E O -≠,从而()0rank A E ->，故由()()5rank A E rank A E n ++-=得()5rank A E n +<.所以50A E +=，即-5为A 的一个特征值. 3.4判断二次型的正定设二次型()12,,n f x x x =T x Ax , 其中T A A =, 那么有以下的结论：A 正定⇔f 的正惯性指数与秩都等于n , A 负定⇔f 的负惯性指数与秩都等于n ,A 半正定⇔f 的正惯性指数与秩相等.例11 设A 为n 阶满秩矩阵, 试证明: X (A T A )T X 是一个正定二次型, 这里X =()12,,,n x x x .证明 设A 是满秩矩阵, 令T Y =T A T X , 其中Y =()1,,n y y , 则 T X =()1TT A Y -是非退化线性替换, 且X (A T A )T X =T YY =22212n y y y +++由上式看出, 此二次型的正惯性指数与秩都等于n . 所以X (A T A )T X 是正定二次型.例12 设A 为m 阶实对称矩阵, 且正定. B 为m n ⨯实矩阵. T B 为B 的转置矩阵.试证明：T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是()rank B =n .证明 先证明充分性. 首先()TT T B AB B AB =，1,n x R x O ⨯∀∈≠.由秩B =n , 知Bx O ≠, 而A 为正定矩阵, 故T x ()()()TT B AB x Bx A Bx =>0此即TB AB 为正定矩阵.再证明必要性. 用反证法. 若()rank B <n , 则Bx O =有非零实数解0x 存在, 即0Bx O =,但0x O ≠, 由T B AB 为正定矩阵, 知()T T 000x B AB x <=()()T00Bx A Bx (1)另一方面, 因为00Bx =, 所以()()T00B B =0x A x (2)由于(1),(2)矛盾, 故()rank B =n ,所以T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是()rank B =n . 4 矩阵的秩在几何中的应用 4.1 判断平面与平面的位置关系定理1]6[ 已知平面11111:a x b y c z d π++=与平面22222:a x b y c z d π++=.设线性方程组11112222a xb yc zd a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩，， 的系数矩阵为A 增广矩阵为A ，则：①若()()2rank A rank B ==，平面1π与2π相交于一条直线; ②若()()1rank A rank A ==，平面1π与2π重合； ③若()1rank A =，但()2rank A =，平面1π与2π平行． 定理2]6[ 设空间三个平面的方程分别为：111122223333A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D ++=++=++=，，，系数构成的矩阵为111111122222223333333,A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则：①三平面重合的充要条件为()()1rank A rank A ==; ②三平面平行的充要条件为()()1,2rank A rank A ==，且A 的任意两行不成比例; ③三平面两两相异且有唯一公共点的充要条()()2rank A rank A ==，且A 的任意两行不成比例;④三平面中有两平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是()2,rank A =并且()3rank A =，且A 的任意两行不成比例;⑤两平面重合，且第三平面与它们平行的充要条件是：()1rank A =，()2rank A =，且A 的两行不成比例;⑥三平面有唯一的公共点的充要条件是()3rank A =．例1 设有n 个平面0,1,2,,i i i i a x b y c z d i n +++==.11111112222222,n n nn n n n a b c a b c a b c a b c A B a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦d d d 则(1)这n 个平面只有一个公共点()()3;R A R B ⇔== (2)这个n 个平面相交于一条直线()()2R A R B ⇔==.证明 （1）考虑方程组11112222000.n n n n a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，， （*）则由方程组理论可知，这n 个平面只有一个公共点⇔方程组（*）有唯一解()()3R A R B ⇔==.（2）充分性 若()()2R A R B ==，则由线性方程组理论知，方程组（*）有无穷多个解，其基础解系含有321-=个向量11(0)ςς≠全部解为1k ς，因此，这n 个平面相交于一条直线，该直线的方向向量为1ς.必要性 若这n 个平面相交于一条直线，则方程组（*）有无穷多个解，从而()() 3.R A R B =<又因为这n 个平面不重合，()1R B >,故()()2R A R B ==.4.2 判断平面与直线的位置关系定理3]6[ 设空间平面与直线的一般方程为：222211113333,A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D ++=⎧++=⎨++=⎩.系数构成的矩阵为111111122222223333333,.A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则：①直线与平面相交的充要条件为：()()3rank A rank A ==; ②直线与平面没有公共点的充要条件为()()2,3rank A rank A ==; ③直线属于已知平面的充要条件为()()2rank A rank A ==．例2 判断直线l :⎩⎨⎧==+00y z x 与平面π: 10x y z -++=的位置关系.解 将系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111010101A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111100100101B .进行初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101001000001B .则()2,()3,R A R B ==故直线l 平行于平面.π 4.3 判断直线与直线的位置关系定理4]6[ 设空间两直线的一般方程分别为：1111333322224444,A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D ++=++=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩．系数构成的矩阵为1111111222222233333334444444,A B C A B C D A B C AB C D A A A B C A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则：(1) 两直线异面的充要条件为()()3,4rank A rank A ==；(2) 两直线相交的充要条件为()()3rank A rank A ==； (3) 两直线平行的充要条件为()()2,3rank A rank A ==； (4) 两直线重合的充要条件为()()2rank A rank A ==．例3 判断两直线⎩⎨⎧=-++-=--+0720721z y x z y x l 和⎩⎨⎧=--=--+02083632z y x z y x l 的位置关系. 解 将系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=0112836371127121A .⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=112363112121B .进行初等变换得A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000700001500121.A 的秩3R =,B 的秩2S =, 故两直线平行.例4 证明直线1l 和直线2l 平行，其中1l ：2727a b c a b c +-=⎧⎨-++=⎩，2l ：3638,20.a b c x y z +-=⎧⎨--=⎩证 由以上结论来证明.一方面U =121211363211-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭→121121051051000000051000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,所以() 2.r U r == 另一方面，V =1217211736382110--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭→121705120001305114--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭→12170512000130000--⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭，所以()3r V R ==,由定理4可以得出直线1l 和直线2l 平行. 例5 设有空间四个点(,,),1,2,3,4i i i i P x y z i =, 1112223334441111x y z x y z A x y z x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的秩()R A r =，则(1)4r =时，四点异面； (2)3r =时，四点共面；(3)2r =时，四点共线； (4)1r =时，四点重合.证明 因为111112,3,421i r r i x y z A A -=⎡⎤−−−→=⎢⎥⎣⎦A 0，故12()()()1R A R A R A ==+. (1)当4r =时，2()3R A =,向量组121314PP PP PP ，，线性无关，由张成整个三维空间知四点异面；(2)当3r =时，2()2R A =不妨设2A 的前两行线性无关，即向量3121,p p p p 线性无关，于是该向量组可以将14PP 线性表示，故四点共面，但不共线；(3)当2r =时，2()1R A =，与前面类似分析可得121314PP PP PP ，，共线；(4)当1r =时，2()0R A =,即121314=0PP PP PP ，，，四点重合.参考文献[1] 史荣昌,魏丰.矩阵分析[M].北京:北京理工大学出版社,2005.[2]张凯院，徐仲.矩阵论导教·导学·导考 [M].西安:西北工业大学出版社,2004.[3] 许立炜,赵礼峰.矩阵论[M].北京:科学出版社,2011.[4] 史荣昌,魏丰.矩阵分析[M].北京:北京理工大学出版社,2010.[5] 李新，何传江.矩阵理论及其应用[M].重庆:重庆大学出版社,2005.[6] 李剑.矩阵分析与应用习题解答[M].北京:清华大学出版社,2007.[7] 魏丰.矩阵分析学习指导[M].北京:北京理工大学出版社,2005.[8]黄有度，朱士信.矩阵理论及其应用[M].合肥:合肥工业大学出版社,2005.[9] 张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004.[10] 刘慧.矩阵论及应用 [M].北京:化学工业出版社,2003.致谢本论文从选题、开题、撰写到最后定稿一直得到我的导师怀化学院数学与应用数学系邓翠容讲师的悉心指导; 邓老师治学严谨、学识渊博、诲人不倦:她那孜孜不倦的钻研精神，精益求精的工作作风，严谨求实的科研态度，将是我一生学习的榜样．谨在此向邓老师表示深深的感谢!我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。

有关矩阵的秩及其应用在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。

它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变换下的不变量。

矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。

矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。

另外，矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义。

事实上，以上两种对矩阵的秩的定义是等价的。

我们约定用E 表示单位矩阵，分别用)(,,1A r A A ∗−表示矩阵A 的可逆矩阵、伴随矩阵和矩阵A 的秩。

矩阵的秩有以下的几个简单的性质：（1）r (A ) = 0，当且仅当A 是零矩阵；（2）r (A ) = n ，当且仅当 |A |≠0 ；（3）设A 是m ×n 矩阵，则r (A )≤min (m, n )（4） =≠=0,00),()(k k A r kA r （5）)()(B A A r B O O A r B BC O A r +== 矩阵可以进行加法、减法、数乘、乘法、阶乘、伴随等一系列运算。

而矩阵经过运算后所得到新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定的关系。

定理1 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和。

即：设A 、B 均为m ×n 矩阵，则r (A+B )≤ r (A ) + r (B )推论1 两矩阵差的秩的不小于两矩阵秩的差。

即：设A 、B 均为m ×n 矩阵，则r (A – B )≥r (A ) – r (B )推论2 设k A A A ,,,21"均为m ×n 矩阵，且1)()()(21====k A r A r A r "，则k A A A r k ≤+++)(21"证明：由定理1得kA r A r A r A A A r A r A r A A A r A r A A A r k k k k =+++≤+++++≤++++≤+++)()()()()()()()()(21432132121"""""" 定理2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩。

论文提要矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用.高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程.在高等代数中,应用最广泛的表示方法是用矩阵来表示.因此,矩阵在高等代数中的应用就显得极其重要。

对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规范正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的内积的表示.这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述.矩阵及其秩在高等代数中的应用摘 要 ：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系.通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解.关键词：矩阵 秩 变换 可逆1 矩阵的基本理论定义1.1 矩阵是一张简化了的表格,一般地111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列,共n m ⨯个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表示.通常我们用大写黑体字母,,A B C表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用m n A ⨯或()ij m na ⨯表示.矩阵既然是一张表,就不能像行列式那样算出一个数来.定义1.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0.定义1.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义1.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得,AB BA I ==那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1A -来表示. 定义1.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即10001001I ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11⨯矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =.定义1.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为TA ,即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ ,112111222212m m Tnnmn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若方阵A 满足T A A =,则称A 为对称矩阵.定义1.7 n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A .定义1.8 设有n 阶方阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的行列式A 有2n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵112111222212n n nn nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称A *为矩阵A 的伴随矩阵定义1.9 利用线性方程组的系数和常数项可以排成此表111211212222123n nm m m mnm a a a b a a a b aa a ab ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则此表称为线性方程组的增广矩阵.定义1.10 在一个s 行t 列矩阵中,任取k 行k 列(,)k s k t ≤≤.位于这些行列交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k 阶子式.定义 1.11 向量组12{,,}n ααα的一个部分向量组12{,,}i i ir ααα叫作一个极大线性无关部分组(简称极大无关组)()i 12,,,i i ir ααα线性无关；()ii 每一,1,,,j j n α=都可以由12,,,i i ir ααα,线性表示. 定义1.12 设F 是一个数域,F 上n 元二次齐次多项式22212111222121213131,1(,,,)222n nn n n n n n q x x x a x a x a x a x x a x x a x x --=+++++++叫作F 上一个n 元二次型.定义1.13 R 上一个n 元二次型12(,,,)n q x x x 可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数.如果对于变量12,,,n x x x 的每一组不全为零的值,函数值12(,,,)n q x x x 都是正数,那么就称12(,,,)n q x x x 是一个正定二次型.2 秩的基本理论定义 2.1 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个这个矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为这个矩阵的秩为零.性质（1） ()0r A =,当且仅当A 是零矩阵.（2） ()r A n =,当且仅当0A ≠.（3） 设A 是m n ⨯矩阵,则()min(,)r A m n ≤. （4） (),()0,r A r kA ⎧=⎨⎩ 00k k ≠= （5） ()()A O A O r r r A r B BC B O B ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.矩阵可以进行加法、减法、数乘、阶乘、伴随等一系列运算.而矩阵经过运算后所得到的新矩阵的秩往往也与原矩阵的秩有一定的关系.定理2.1 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和,即：设,A B 均为m n ⨯矩阵,则()()()r A B r A r B +≤+推论2.1.1 两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差,即：设,A B 均为m n ⨯矩阵,则()()()r A B r A r B -≥-推论2.1.2 设12,,k A A A 均为m n ⨯矩阵,且12()()()1k r A r A r A ====,则12()k r A A A k +++≤定理2.2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,则()min{(),()}r AB r A r B ≤定理2.3 设A 是m n ⨯矩阵,p 是m 阶可逆矩阵,Q 是n 阶可逆矩阵,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===推论 2.3.1 设A 是m n ⨯矩阵,则()r A r =,当且仅当存在m 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q ,使得000I A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭. 定理2.4 设,A B 均为n 阶方阵。