矩阵的秩 学年论文

辅导篇浅析矩阵的秩罗雪梅　孟艳双　郑艳琳(山东科技大学　济南　250031)1.引言线性代数的特点之一是其概念多、定理多,从而题目所涉及到的类型也多,给初学者带来很多困难。

本文以矩阵的秩为例,通过分析矩阵的秩在线性代数中的诸多作用,逐步加深对这一概念本质的理解,进而真正掌握矩阵的秩并能灵活地运用它解决各种有关问题。

定义1　矩阵A 中非零子式的最高阶数叫做矩阵A 的秩,记作R (A )。

从定义上看,一个矩阵的秩,就是一个数,但这个数在线性代数中的作用非同一般。

2.矩阵的秩在讨论方阵中的作用对于一个方阵A ,判断A 是否可逆及A 可逆时的一些特性,是线性代数中的重点之一。

矩阵的秩在此起着重要的作用。

定理1　设A ,B ,C 均为n 阶方阵,则有:(1)A 可逆 R (A )=n |A |≠0;(2)R (A )+R (B )-n ≤R (AB )≤min(R (A ),R (B ))(3)当R (A )=n 时,R (B A )=R (B A )=R (B );(4)当R (A )=n 时,若AB =C ,则B =A -1C ;若AB =O ,则B =O ;(5)若n ≥2,则A 的伴随矩阵A *的秩与A 的秩有如下关系:R (A *)=n 当R (A )=n1　当R (A )=n -10　当R (A )≤n -2 下面仅证(5)(其他结论一般教科书上都有):证明1)当R (A )=n 时,A 可逆,从而|A |≠0,由A A *=|A |I 两边取行列式得|A A *|=|A |·|A *|=|A |n ,因为|A |≠0,所以|A *|=|A |n -1≠0,故R (A *)=n 。

2)当R (A )=n -1时,A 中至少有一个n -1阶子式不为零,即A *中至少有一个元素不为零,所以R (A *)≥1;另由R (A )=n -1知|A |=0,从而A A *=|A |I =O ,由定理1知:R (A )+R (A *)≤n ,从而R (A )=n -1时R (A *)≤1,故R (A *)=1。

山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。

通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。

论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。

第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。

第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。

在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。

最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。

本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。

【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。

目录摘要 (1)Abstract (1)前言 (1)1.矩阵的秩的概念 (1)2.秩的求法[]1 (2)2.1子式判别法 (2)2.2初等变换法 (2)3．矩阵的秩的应用 (2)3.1方程组与矩阵的秩 (2)3.1.1判断齐次线性方程组有非零解[]3 (2)3.1.2判断非齐次线性方程组的解 (3)3.1.3线性方程组有解 (3)3.2矩阵运算与矩阵的秩 (4)3.2.1加法 (4)3.2.2 乘法 (4)3.3可逆矩阵与矩阵的秩 (4)结束语 (5)参考文献 (5)浅谈矩阵的秩摘 要: 矩阵的秩，是矩阵最重要的数字特征之一。

矩阵的很多性质可以通过矩阵的秩来刻画。

基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质，求法及其应用。

关键词: 矩阵的秩；线性方程组；初等变换，可逆矩阵Matrix rankAbstract: Matrix rank, it is one of the most important characteristics of digital matrix. Many properties of matrix rank of the matrix to depict. Based on the matrix rank in higher algebra, the importance of system in this paper summarizes the basic properties of the rank of matrix, the calculation methods and their applications.Keywords : matrix rank; System of linear equations; Elementary transformation, reversible matrix.前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，也是应用数学研究的一个重要工具。

矩阵及其秩在高等代数中的应用玲毓师高等专科学校数学教育摘要：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。

它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。

矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。

通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。

关键词：矩阵；秩；变换；可逆1 引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。

高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的积的表示。

这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。

2矩阵的基本理论定义2.1 矩阵是一简化了的表格,一般地111212122212n n m m mn a a a a a a⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列,共n m ⨯个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表示.通常我们用大写黑体字母,,A B C表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用m n A ⨯或()ijm na ⨯表示.矩阵既然是一表,就不能像行列式那样算出一个数来.定义2.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0.定义2.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义2.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得,AB BA I ==那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1A -来表示.定义2.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即10001001I ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11⨯矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =.定义2.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为TA ,即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ ,112111222212m m T nnmn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若方阵A 满足TA A =,则称A 为对称矩阵.定义2.7n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A .定义2.8 设有n 阶方阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的行列式A 有2n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A *⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称A *为矩阵A 的伴随矩阵定义2.9 利用线性方程组的系数和常数项可以排成此表111211212222123n nm m m mnm a a a b a a a b aa a ab ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则此表称为线性方程组的增广矩阵.定义2.10 在一个s 行t 列矩阵中,任取k 行k 列(,)k s k t ≤≤.位于这些行列交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k 阶子式. 定义2.11 向量组12{,,}n ααα的一个部分向量组12{,,}i i ir ααα叫作一个极大线性无关部分组(简称极大无关组)()i 12,,,i i ir ααα线性无关；()ii 每一,1,,,j j n α=都可以由12,,,i i ir ααα,线性表示. 定义2.12 设F 是一个数域,F 上n 元二次齐次多项式22212111222121213131,1(,,,)222n nn n n n n n q x x x a x a x a x a x x a x x a x x --=+++++++叫作F 上一个n 元二次型.定义2.13 R 上一个n 元二次型12(,,,)n q x x x 可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数.如果对于变量12,,,n x x x 的每一组不全为零的值,函数值12(,,,)n q x x x 都是正数,那么就称12(,,,)n q x x x 是一个正定二次型.3 秩的基本理论定义3.1 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个这个矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为这个矩阵的秩为零.性质（1） ()0r A =,当且仅当A 是零矩阵. （2） ()r A n =,当且仅当0A ≠.（3） 设A 是m n ⨯矩阵,则()min(,)r A m n ≤. （4） (),()0,r A r kA ⎧=⎨⎩0k k ≠=（5） ()()A O A O r r r A r B BC B O B ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.矩阵可以进行加法、减法、数乘、阶乘、伴随等一系列运算.而矩阵经过运算后所得到的新矩阵的秩往往也与原矩阵的秩有一定的关系.定理3.1 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和,即：设,A B 均为m n ⨯矩阵,则()()()r A B r A r B +≤+推论3.1.1两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差,即：设,A B 均为m n ⨯矩阵,则()()()r A B r A r B -≥-推论3.1.2设12,,k A A A 均为m n ⨯矩阵,且12()()()1k r A r A r A ====,则12()k r A A A k +++≤定理3.2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,则()min{(),()}r AB r A r B ≤定理3.3 设A 是m n ⨯矩阵,p 是m 阶可逆矩阵,Q 是n 阶可逆矩阵,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===推论3.3.1设A 是m n ⨯矩阵,则()r A r =,当且仅当存在m 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q ,使得000I A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭.定理3.4 设,A B 均为n 阶方阵。

对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用摘 要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用.关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremelyin the Application of Linear AlgebraAbstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank0 前言矩阵的理论是线性代数的理论基础。

而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念首先给出矩阵秩的几个等价定义定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。

矩阵及秩的应用论文矩阵及秩是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个学科领域。

在本文中，我将介绍几篇应用矩阵及秩的论文，并讨论它们在不同领域中的应用。

第一篇论文是《基于矩阵分解的推荐系统》。

推荐系统是现代互联网应用中的重要组成部分，用于给用户推荐个性化的内容。

该论文通过应用矩阵分解的方法，将用户-物品评分矩阵分解为两个低秩矩阵，从而实现对用户兴趣和物品特征的建模。

矩阵的秩较低意味着模型具有较好的泛化能力，能够在数据稀疏的情况下有效地进行预测，提高推荐准确度。

第二篇论文是《利用秩约束的图像修复方法》。

图像修复在计算机视觉领域中具有重要意义，用于修复受损的图像。

该论文利用矩阵的秩约束，将问题转化为一个低秩矩阵恢复问题。

通过求解最小秩恢复问题，可以在保持图像结构信息的前提下，还原受损的图像内容。

实验结果表明，该方法在图像修复任务中具有较好的效果。

第三篇论文是《基于矩阵分析的脑电信号分类方法》。

脑电信号是在脑部神经元活动产生的电流作用下测得的电生理信号，用于研究脑部功能和神经相关性。

该论文应用矩阵分析方法，将脑电信号分解为若干个矩阵成分，并利用矩阵的秩特性提取脑电信号的特征。

基于这些特征，可以实现对脑电信号的分类和识别，辅助脑部疾病的诊断和治疗。

第四篇论文是《基于大规模矩阵分解的社交网络分析方法》。

社交网络是人们之间相互联系和交互的网络结构，具有复杂的拓扑结构和丰富的节点属性。

该论文利用矩阵分解方法，将社交网络转化为低秩矩阵的表示，从而揭示其隐藏的结构和关系。

通过矩阵的秩特性，可以实现社交网络的社区发现、节点分类和链接预测等任务，为社交网络分析提供了有力的工具。

以上这些论文只是矩阵及秩应用的冰山一角，实际上，矩阵及秩在数据挖掘、图像处理、模式识别等许多领域都有重要应用。

矩阵的秩在这些应用中起到了关键的作用，它能够帮助我们理解和描述数据的结构、关系和特征，从而实现对数据的分析和处理。

随着技术的不断发展和研究的深入，矩阵及秩的应用还将不断扩展和拓展，为各个学科领域的研究和应用带来新的突破和进展。

百度文库-让每个人平等地提升自我3 矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。

矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。

而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。

它反映矩阵固有特性的一个重要概念。

矩阵一旦确定秩也就确定了。

它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。

本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。

后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。

这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。

[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。

百度文库-让每个人平等地提升自我4 矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。

更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。

矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。

如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。

理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。

矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。

几类与矩阵的秩有关的问题研究Study on several issue in relation to rank of matrix专业: ***作者:***指导老师: ***学院二○一一年摘要本文主要研究了有关矩阵的秩的几个问题, 包括向量组线性相关性、线性方程组、矩阵的秩有关运算、二次型等问题, 同时利用其相关性质和结论解决了硕士研究生考试中的一些问题.关键词: 矩阵的秩; 向量组线性相关性; 线性方程组; 二次型.AbstractThis paper mainly study some problem connected with rank of matrix such as linear relativity of vector set、linear equation set、arithmetic of rank of matrix and quadratic form. in the meantime, a number of question derived from Postgraduate Examination are answered.Keywords: rank of matrix; linear relativity of vector set; linear equation set; quadratic form.目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 向量组线性相关性 (1)2 线性方程组 (3)3 矩阵的秩有关运算 (6)3.1 加法 (6)3.2 减法 (6)3.3 乘法 (7)4 二次型 (8)5 结束语 (15)参考文献 (16)0 引言高等代数课程是本专业基础课, 线性代数占有很大比重, 矩阵作为线性代数的重要工具, 把线性代数各章节贯串成为一个整体. 而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终, 其有关理论是高等代数课程中极重要的内容, 在判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解以及有多少解、求矩阵的特征值等方面都有着广泛的应用. 本文就几类与矩阵的秩有关的问题进行研究, 加深对矩阵本身及其相关知识的理解, 更好的掌握这门基础课程.定义 矩阵A ∈m n R ⨯的行向量组或列向量组的秩称为矩阵A 的秩, 记为()r A . 求矩阵的秩主要如下有三种方法:(1) 找出矩阵中非零子式的最高阶数, 该阶数即为矩阵的秩;(2) 标准形法, 求出矩阵的标准形, 主对角线上1的个数即为矩阵的秩;(3) 初等变换法, 对矩阵实施初等行变换, 将其变成行阶梯形矩阵后其中非零行的行数即为矩阵的秩.在这三种方法中, 第三种方法相对另外两种方法更为简便.1 向量组线性相关性设12(,,,),1,2,,i i i is a a a a i n ==.定义1.1 向量组12,,,n ααα线性相关⇔存在不全为零的数12,,n k k k , 使 1122n n k a k a k a ++=0. (1.1)向量组的秩即其极大线性无关组所含向量的个数, 若向量组所含向量个数与其秩相等, 则该向量组线性无关; 若所含向量个数大于秩, 则该向量组线性相关, 用求向量组秩的方法来判断向量组是否线性相关是常用的一种方法. 因矩阵的秩等于矩阵的列(行)秩, 列(行)秩即为列(行)向量组的秩, 向量组的相关性问题可转换为求矩阵的秩问题.设矩阵A =(12,,,n ααα), 则向量组12,,,n ααα线性相关⇔齐次线性方程组0AX =有非零解⇔()r A n <. (令X =()12,,,n x x x ', 则由(1.1)可得出); 同理可得出向量组12,,,n ααα线性无关⇔齐次线性方程组0AX =只有零解⇔()r A n =.若向量组12,,,n ααα线性无关, 那么在每个向量上添加r 分量所得到的s r +维的向量组1,(,,,,)i i is i s r b a a a +=, 1,2,,i n =也线性无关. 因0AX =即111212112122221122000n n n n s s ns n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ (1.2)只有零解, 故1112121121222211221,12,2,000n n n n s s ns n s r s r n s r n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++++=⎧⎪++=⎪⎪⎪⎨++=⎪⎪⎪++=⎪⎩也只有零解, 因此向量组12,,,n b b b 线性无关. 定理: 设12,,r a a a 与12,,s βββ两个向量组, 若向量组12,,r a a a 可由12,,s βββ线性表示, 且r >s , 则向量组12,,r a a a 必线性相关. 推论一: 任意m 个n 维向量组12,,,m a a a (m >n )线性相关. 因每个n 维向量都可以被n 维单位向量组12,,,n εεε线性表示, 又m >n , 由定理可知其线性相关.推论二: 向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示, 那么(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩. 因向量组(Ⅰ)的极大线性无关组12,,r a a a 也可由向量组(Ⅱ)的极大线性无关组12,,s βββ线性表示, 由定理可推出r ≤s , 即向量组(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩.推论三: 等价的向量组有相同的秩. 由推论二可轻易推出.例1. 已知向量1α=(1,0,1)', 2(0,1,1)α'=, 3(1,3,5)α'=不能由向量组1(1,,1)a β'=, 2(1,2,3)β'=, 3(1,3,5)β'=线性表示, 求a 并将123,,βββ由123,,ααα线性表出.解: 由推论一知向量组1231,,,βββα线性相关, 故存在不全为零的常数i k (1,,4i =)使112233410k k k k βββα+++=, 则40k =(否则1α可由123,,βββ线性表示, 与已知矛盾).故123,,βββ线性相关, 因此123|,,|βββ=11123135a =22a -=0, 所以1a =.因为(1231,,,αααβ)=101101311151⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→100201040011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,故112324βααα=+-, 显然2122βαα=+, 33a β=.例2. 设向量组1,,r u u 与向量组1,,s v v 等价, 且1,,r u u 线性无关. (1)说明1,,s v v 不一定线性无关; (2)找出1,,s v v 线性无关的充要条件, 并证明之.解: (1)由题意知向量组1,,r u u 与1,,,0r u u 等价, 但1,,,0r u u 显然线性相关. (2) 1,,s v v 线性无关的充要条件是s r =, 下面来证明: 必要性. 因向量组1,,r u u 的秩为r , 1,,s v v 的秩为s , 由推论三知s r =. 充分性. 根据推论三知向量组1,,s v v 的秩为r , 又s r =, 故1,,s v v 线性无关. 关于向量组线性相关性的问题, 可转化为线性方程组的有关问题, 可根据下面的相关内容来解答.2 线性方程组线性方程组问题是高等代数课程中极其重要的内容, 其常见的问题是方程组是否有解、有解的判定和解的个数以及如何求解.在高等代数课程中, 有一些简单的性质: 齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的行秩()r A 小于未知量个数n , 则它有非零解; 若其系数矩阵为n n ⨯矩阵A , 则其有非零解的充要条件是||A =0; 在非齐次线性方程组AX β=中, 若A 为m n ⨯矩阵, 则有解的充要条件是它的系数矩阵A 与增广矩阵A 有相同的秩r , 当r <n 时它有无穷组解; 当r n =时有唯一解. 若()()r A r A ≠, 则方程组AX β=无解.设A 为n 阶矩阵, 当非齐次线性方程组AX β=有唯一解时, 可用克拉默法则求出该解, 解为: 11,,n n d d x x d d ==, (其中||d A =, i d 为将||A 中第i 列换为β的n 阶行列式).解线性方程组AX β=的一般步骤为: 将增广矩阵A 通过初等变换化为阶梯形矩阵; 然后根据上面性质判断其是否有解, 若有解, 再求出通解(或一般解).有关线性方程组的一些重要结论:一、设齐次方程组0AX =与0BX =, 若0AX =的解都是0BX =的解, 则()r A ≥()r B .证明: 若0AX =只有零解, 则()r A =n ≥()r B ;若0AX =有非零解, 则()r A <n , 设0AX =的基础解系为12(),,,n r A εεε-, 0BX =的基础解系为12(),,,n r B ηηη-, 由题意知12(),,,n r A εεε-可由12(),,,n r B ηηη-线性表示, 由上推论二知n －()r A ≤n －()r B , 即()r A ≥()r B .二、若齐次方程组0AX =与0BX =同解, 则()r A =()r B .证明: 若0AX =只有零解, 则()r A =()r B =n ;若0AX =有非零解, 因0AX =与0BX =同解, 故基础解系所含解的个数相等, 即 n －()r A =n －()r B , 即()r A =()r B . (亦可根据结论一知()r A ≥()r B 且()r A ≤()r B 得出()r A =()r B ).三、设A , B 为n n ⨯矩阵. 若AB =0, 则()r A +()r B ≤n .证明: 因为AB =0, 所以B 的n 个列向量都是0AX =的解, 而0AX =的基础解系所含解的个数为n －()r A , 故()r B ≤n －()r A , 即()r A +()r B ≤n .例1. 已知齐次线性方程组○112312312323023500x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩和○2123212302(1)0x bx cx x b x c x ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩同解, 求,,a b c 的值. 解: 设方程组的系数矩阵分别为,A B , 由结论二知()()r A r B =, 又()3r B <, 故()3r A <, 所以||A =12323511a =2a -=0, 从而a =2. 此时A =123235112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→101011000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.故方程组○1的一个基础解系为(1,1,1)'--. 将其代入方程组○2中得 b =1, c =2或b =0, c =1.当b =1, c =2时, B =112213⎛⎫ ⎪⎝⎭→101011⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故○1与○2同解. 当b =0, c =1时, B =101202⎛⎫ ⎪⎝⎭→101000⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故○1与○2不同解. 综上可知a =2, b =0, c =1为所求.例2. 设齐次线性方程组121200n n ax bx bx bx bx ax +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩ 其中,a b 不为零, 1n >. 讨论,a b 为何值时, 方程组仅有零解、有无穷多组解? 在有无穷多组解时, 求出全部解, 并用基础解系表示.解: 方程组的系数行列式为||A =a b b a =1[(1)]()n a n b a b -+--.当a b ≠且(1)a n b ≠-时, 方程组仅有零解.当a b =时, 原方程组的同解方程组为10n x x ++=, 其基础解系为1(1,1,0,,0)α'=-, 2(1,0,1,,0)α'=-, , 1(1,0,0,,1)n α-'=-. 故方程组的解为1111n n X c c αα--=++(11,,n c c -为任意常数).当(1)a n b =-时, 有A =(1)(1)n b b b n b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭→111100-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 原方程组的同解方程组为12n x x x ===. 其基础解系为(1,,1)β'=. 故方程组的解为X c β=(c 为任意常数).3 矩阵的秩有关运算3.1 加法两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和, 即()r A B +≤()r A +()r B . 证明: 设12,,r a a a , 12,,s βββ分别为.A B 的列向量组的极大线性无关组, 则A +B 的列向量组可由向量组1212,,,,,r s a a a βββ线性表示, 由推论二知()r A B +≤r +s =()r A +()r B .例1. 设A 为n 阶矩阵, 且2A =A , 证明: ()r A +()r A E -=n . 证明: 因为()A A E -=2A -A =0, 由上结论三知()r A +()r A E -≤n . 又有()r A +()r A E -=()r A +()r E A -≥[]()r A E A +-=n . 所以()r A +()r A E -=n .例2. 设A 为n 阶矩阵, 且2A =E , 证明: ()r A E ++()r A E -=n . 证明: 因为()A E +()A E -=2A -E =0, 由上结论三知()r A E ++()r A E -≤n . 又有2A =E , 所以||A =±1, 从而()r A =n .而()r A E ++()r A E -≥[]()()r A E A E ++-=()r A . 即证.3.2 减法两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差, 即()r A B -≥()r A -()r B . 证明: 因为A =()A B B -+, 故()r A =[]()r A B B -+≤()r A B -+()r B , 即证.3.3 乘法定理3.1 矩阵乘积的秩不超过各因子的秩. 即()r AB ≤min [](),()r A r B . （其中A 为n m ⨯矩阵, B 为m s ⨯矩阵. )证明: 设A 的列向量组为12,,,m A A A , B 的行向量组为12,,,m B B B , AB 的行向量组为12,,,n C C C , 列向量组为12,,,s D D D . 则12,,,n C C C 可由12,,,m B B B 线性表示, 12,,,s D D D 可由12,,,m A A A 线性表示. 由上推论二知()r AB ≤()r A 且()r AB ≤()r B . 即()r AB ≤min [](),()r A r B . (亦可由上结论一证明: 考虑线性方程组0BX =与0ABX =, 因0BX =的解都是0ABX =的解, 故()r B ≥()r AB . 再考虑线性方程组0A X '=与0B A X ''=, 因0A X '=的解都是0B A X ''=的解, 故()r A '≥()r B A '', 即()r A ≥()r AB . 从而得证.)本结论可推广至多个矩阵的情形, 用数学归纳法证明.定理3.2 A 是s n ⨯矩阵, P 是s s ⨯可逆矩阵, Q 是n n ⨯可逆矩阵, 则()r A =()r PA =()r AQ =()r PAQ证明: 由定理 3.1知()r PA ≤()r A . 令B =PA , 则A =1P B -, 由定理 3.1知1()r P B -≤()r B , 即()r A ≤()r PA . 故()r A =()r PA . 同理可证明另两个等式.例1. 设A 为实矩阵, 证明()r AA '=()r A A '=()r A .证明: 考虑线性方程组0AX =与0A AX '=, 由0A AX '=可得()0AX AX '=, 从而0AX =, 即0A AX '=的解都是0AX =的解. 由上结论一知()r A A '≥()r A , 又()r A A '≤()r A . 故()r A A '=()r A . 用A '代替A 即可证明()r AA '=()r A .例2. 设A 为s n ⨯矩阵, B 为n m ⨯矩阵, 证明: ()r AB ≥()r A +()r B -n .证明: 根据定理3.2由0n s EA E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭0n EB A ⎛⎫⎪⎝⎭0nm E B E -⎛⎫ ⎪⎝⎭=00nE AB ⎛⎫⎪-⎝⎭可知0n E B r A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=()n r E +()r AB -=n +()r AB , 又0nE B r A ⎛⎫⎪⎝⎭≥()r A +()r B , 故而 ()r AB ≥()r A +()r B -n . (0n s E A E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、0nm E B E -⎛⎫⎪⎝⎭均可逆.)4 二次型二次型即二次齐次多项式, 它有着十分广泛的应用, 尤其是在解决二次曲线与二次曲面以及证明不等式方面有着显著的作用, 高等代数课程中的核心内容是将二次型化为标准型, 它在物理学、工程学、经济学等领域都有十分重要的作用, 常用的方法有: 配方法、初等变换法、正交变换法, 正定二次型也是要重点掌握的内容.二次型的几种表述: (1) 12(,,,)n f x x x =11nnij i j i j a x x ==∑∑;(2) 12(,,,)n f x x x =2221112222nn n ij i j i ja x a x a x a x x <+++∑;(3) 12(,,,)n f x x x =X AX '. 其中12(,,,)n X x x x '=, ()ij n n A a ⨯=且A A '=称A 为二次型f 的矩阵, 矩阵A 的秩有时就称为二次型f 的秩.定义 4.1 二次型12(,,,)n f x x x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为12(,,,)n f x x x 的标准形.任意二次型总可以经非退化线性变换X CY =化为标准形, 而且还可以经过不同的非退化线性变换化为不同的标准形, 由于经过非退化线性替换, 二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵, 由上定理3.2可知合同的矩阵有相同的秩, 又标准型的矩阵是对角矩阵, 而对角矩阵的秩等于它对角线上不为零的元素个数, 故这些标准形中所含平方项的个数是相同的, 所含平方项的个数就等于二次型的秩.例1. 用非退化线性替换把二次型(,,)f x y z =22244422x y z xy xz ++++化成标准形. 解: 用配方法可得(,,)f x y z =4211()44x y z +++2151()415y z -+25615z .令123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=1114410115001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x y z ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 则所做的非退化线性替换为 x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=14141510115001⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 故该二次型的标准形为(,,)f x y z =22212315564415x x x ++. 亦可用初等变换法求解, 先写出二次型f 对应的矩阵A , 然后对其作初等变换, 将其化成对角矩阵, 具体解法如下:[,]A E =411100140010104001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭→40110015110104441140014⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭→40010015110104441151001444⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭→4001001510010445641001151515⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所作的非退化线性替换为x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=10011044111515'⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=14141510115001⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 可得标准形为(,,)f x y z =22212315564415x x x ++.正交变换法: 此二次型的矩阵A =411140104, 对应的特征多项式为||E A λ-=2(4)(814)λλλ--+所以A 的特征值为1λ=4, 2λ=4, 3λ=4+由(4)0E A X -=解得特征值1λ对应的特征向量为1α=(0,1,1)'-.由[(4]0E A X -=解得特征值2λ对应的特征向量为2α=1,1)'--.由[(4]0E A X -=解得特征值3λ对应的特征向量为3α='. 由于123,,ααα已经是正交向量组, 因此只需将其单位化, 可得1η=', 2η=11,,)222'--, 3η=11,,)222'. 令矩阵C =123(,,)ηηη=022*******2⎛⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭则C 为正交矩阵. 且C AC '=400040004⎛⎫⎪- ⎪⎝.二次型(,,)f x y z 在正交变换X CY =下的标准形为f=2221234(4(4y y y ++.定义4.2 设二次型12(,,,)n f x x x 的标准形为2221122r r d y d y d y +++, 0i d ≠, 1,2,,i r =.可知二次型f 的秩为r . 则其可进一步作非退化线性替换就变成222211p p r z z z z +++--.称其为实二次型12(,,,)n f x x x 的规范形.在一般的数域内, 二次型的标准形不是唯一的(从上面例题可看出), 与所作的非退化线性替换有关, 但其规范形是唯一的. 在实二次型12(,,,)n f x x x 的规范形中的正平方项的个数p 称为12(,,,)n f x x x 的正惯性指数; 负平方项的个数r p -称为12(,,,)n f x x x 的负惯性指数; 它们的差2p r -称为12(,,,)n f x x x 的符号差.定义4.3 对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c , 若都有12(,,,)n f c c c >0(0≥),则12(,,,)n f x x x 称为正定的(半正定的); 若都有12(,,,)n f c c c <0(0≤), 则12(,,,)n f x x x 称为负定的(半负定的); 若12(,,,)n f x x x 既不半正定也不半负定, 则称是不定二次型.设实二次型12(,,,)n f x x x =X AX ', 其中A 是实对称矩阵, 则下面几个条件都是二次型12(,,,)n f x x x =X AX '为正定二次型的等价条件:(1) 对任意非零实向量C '=12(,,,)n c c c , 都有12(,,,)n f c c c =C AC '>0;(2) 二次型f 的正惯性指数等于n ;(3) 存在实可逆矩阵T , 使T AT '=1n d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 其中0i d >（1,2,,i n =）;(4) 存在实可逆矩阵B , 使A B B '=; (5) 矩阵A 的特征值全为正数; (6) 矩阵A 与单位矩阵E 合同; (7) 矩阵A 的顺序主子式全大于零. 下面简单证明一下:(1)C 为非零向量, 故12,,,n c c c 不全为零, 由定义可知二次型12(,,,)n f x x x =X AX '为正定二次型与12(,,,)n f c c c =C AC '>0等价.(2)设二次型12(,,,)n f x x x 经过非退化线性替换变成标准形2221122n n d y d y d y +++ (4.1)则12(,,,)n f x x x 正定当且仅当(4.1)式正定(非退化线性替换保持正定性不变), 而二次型(4.1)正定当且仅当0i d >, 1,2,,i n =, 即它的正惯性指数为n .(3)设(2)中非退化线性替换为X DY =, 则令T =D 即可.(4)取B=⎫⎪⎪ ⎝1T -即可. (5)⇒设A αλα=, 则0A ααλαα''=>, 故λ0>.⇐矩阵A 的特征值全为正数, 故二次型f 的正惯性指数等于n , 由(2)知f 正定.(6)由(4)及合同概念可得知. (7)先证必要性, 设二次型12(,,,)n f x x x =11n nij i j i j a x x ==∑∑是正定的. 对于每个k ,1k n ≤≤, 令1(,,)k k f x x =11kkij i j i j a x x ==∑∑, 对任意一组不全为零的实数12,,,k c c c , 有1(,,)k k f c c =11k kij i j i j a c c ==∑∑=1(,,,0,,0)k f c c 0>因此1(,,)k k f x x 是正定的. 因正定矩阵的行列式大于零(由(4)可得知), 故k f 的矩阵的行列式1111kk kka a a a >0, 1,2,,k n =.即矩阵A 的顺序主子式全大于零.至于充分性, 可用数学归纳法证明. 例2. 设二次型12(,,,)n f x x x =211(1)2ni i i j i i j nb x x x =≤<≤-+∑∑的矩阵为B , 其中0i b >(1,2,,i n =), 1110ni ib =->∑, 则()X B A A X ''-是正定二次型? 还是负定? 还是不定? 其中A 是任意可逆实矩阵.解: 由题意知B =12111111111n b b b -⎛⎫⎪-⎪⎪⎪-⎝⎭, 设k p 为B 的k 阶顺序主子式, 可求得k p =111(1)(1)kkk i ib b b =--∑. 故 ⎩⎨⎧<>为奇数为偶数k k k k ,0p ,0p , 所以B 是负定矩阵. 又A 是可逆实矩阵, 而A A '是实对称矩阵, 由(4)知A A '正定. 故A A '-负定, 由于两负定矩阵之和为负定矩阵. 所以()X B A A X ''-是负定二次型.例3. 设实对称矩阵A 的特征值全大于a , 实对称矩阵的特征值全大于b , 证明:A B +的特征值全大于a b +.证明: 由题意知A aE -的特征值全大于零, 故A aE -正定; 同理可知B bE -也正定, 从而A aE -+(B bE -)=()A B a b E +-+是正定矩阵. 故其特征值全为正数, 即A B +的特征值全大于a b +.高等代数课程中对正定二次型的描述较详细, 但对半正定二次型只提到一条定理, 且未给予证明, 下面对其证明, 定理内容如下:对实二次型12(,,,)n f x x x =X AX '(A 是实对称矩阵), 下列条件等价:(1) 12(,,,)n f x x x 是半正定的;(2) 它的正惯性指数与秩相等;(3) 存在实可逆矩阵C 使C AC '=1n d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 其中0i d ≥, 1,2,,i n =;(4) 存在实矩阵C 使A C C '=; (5) A 的所有主子式都不小于零. 证明: (1)⇔(2)设12(,,,)n f x x x 的规范形为222211p p r z z z z +++--. r 为二次型的秩, 12(,,,)n f x x x 半正定⇔p r =, 即它的正惯性指数与秩相等.(1)⇔(3)与正定二次型的性质(3)证明类似.(1)⇔(4)取C=⎫⎪⎪ ⎝1T -符合条件, 其中T 为(3)中的矩阵C . (1)⇔(5)先证必要性. 取A 的任意一个m 阶主子式所对应的矩阵m A =1111mm m mi i i i i i i i a a a a , 其对应的二次型为s ks k i i i i ax x ∑. 令i x =0(1,,m i i i ≠), 代入,10nij i j i j a x x =≥∑得s k s k i i i i a x x ∑0≥. 故存在非退化矩阵m T 使m m m T A T '=1m d d ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭, 其中0(1,,)i d i m ≥=. 故||0(1,,)m A m n ≥=充分性. 设A 的第m 个顺序主子式对应的矩阵为m A =1111m m mm a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(1,,)m n =作||m m E A λ+=111212122212m mm m mma a a a a a a a a λλλ+++, 由行列式性质有||m m E A λ+=11m m m p p λλ-+++(其中i p 是m A 中一切i 阶主子式的和).由题意知i p ≥0. 故当λ>0时, 有||m m E A λ+0>. 即λ>0时, m m E A λ+是正定矩阵. 若A 不是半正定矩阵, 则存在非零向量C , 使C AC '0<. 令C ACC Cλ'=-', 则λ0>且()0C E A C λ'+=, 与λ>0时, m m E A λ+是正定矩阵矛盾, 故A 是半正定矩阵.例4. 证明: 二次型12(,,,)n f x x x =2211()n ni i i i n x x ==-∑∑是半正定的.证明: 12(,,,)n f x x x 的矩阵为A =1111n n ⎛⎫-⎪⎪ ⎪-⎝⎭--, 可求得||A =0且A 的i 阶主子式为1()0i n i n -->, (1,,1i n =-), 由上证明知是12(,,,)n f x x x 是半正定的. 当12(,,,)n f x x x 是负定(半负定)二次型时, 12(,,,)n f x x x -就是正定(半正定)的.因此有关负定和半负定二次型的性质在此不再叙述.5 结束语与矩阵的秩有关问题是高等代数课程中极为重要的内容, 每年考研试题中不少题会涉及, 上面例题均选自不同学校的历年考研题, 由于矩阵的秩知识面涉及广泛, 欲通过一篇论文对其全面研究是很难的, 本文只对矩阵的秩有关问题作部分研究, 但相信通过本文加深对矩阵的秩及其相关问题的理解, 对更好的掌握高等代数这门课程有一定的帮助.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[2] 李志慧, 李永明. 高等代数中的典型问题与方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008.[3] 刘丁酉. 高等代数习题精解[M]. 北京: 中国科学技术大学出版社, 2006.[4] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央名族大学出版社, 2002.[5] 杨子胥. 高等代数精选题解[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.[6]苏芳, 徐湛, 成礼智. 矩阵的秩在线性代数中的应用[J]. 科技创新导报, NO. 27(2010), 205.[7] 张凯. 齐次线性方程组的解与矩阵的秩[J]. 武钢大学学报, 3(1998), 76-78.[8] 贾美娥. 矩阵的秩与运算的关系[J]. 赤峰学院学报(自然科学版), 26: 9(2010), 3-4.[9] 邵逸民. 试论矩阵运算中秩的不等式问题[J]. 苏州教育学院学报, 20:3(2003), 73-75.[10] 王继成. 半正定二次型的性质及应用[J]. 绥化师专学报, 24: 2(2004), 3-4.[11] David C. 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