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浅谈矩阵的秩及其应用作者：***来源：《科学导报·学术》2020年第16期摘 ;要：矩阵的秩是线性代数中的重要的概念之一，并且又有着极其广泛的应用。
然而，在学习线性代数中，对于理解矩阵的秩的概念，性质以及掌握矩阵秩的求法和应用，感觉有些吃力。
特别是对于普通高校文科的学生，以及民办高校的学生，更不知如何更有效正确理解和掌握。
本文对如何有效的正确的理解矩阵的秩和性质，通常怎样求矩阵的秩，都有那些常见的方法，以及矩阵的秩在线性代数中都有哪些常见的应用等问题，进行梳理，归纳和总结。
为同学们在学习有关矩阵的秩的知识时，提供思路和方法。
如有不适当之处恳请老师和同学以及读者给予批评指正。
关键词：矩阵的秩;满秩矩阵;极大无关组;初等变换四.矩阵的秩的应用1.在向量组的线性相关性中的应用：对于给定的一组“具体”的向量组，首先将向量组写成矩阵，然后求出矩阵的秩，如果，则向量组线性无关，如果，则向量组 ;线性相关.2.在向量组线性表示中的应用：其一是对于给定的向量能被向量组组线性表示的充分必要条件是 ;其二是对于给定的两个向量组线性表示与，根据性质5，向量组可以被向量组线性表示的充分必要条件是。
2.在求解线性方程组中的应用：对于线性方程组，如果，则由唯一解;如果，则有无穷多解;如果，则无解。
而对于齐次线性方程组，则当有非零解;否则，只有零解。
3.在判定矩阵是否可逆中的应用：对于给定的一个阶方阵，判定方阵是否可逆？除了根据它的行列式是否为零外，还可以根据方阵的秩来确定。
即，如果，则可逆，同时，我们还知道，它是方阵可逆的充分必要条件。
4.在求矩阵特征值中的作用：对于可以对角化的方阵，它的秩就是的非零特征值的个数。
所以，为降秩矩阵的充分必要条件是它有零特征值。
另外，的秩不小于的非零特征值的个数。
由此可很方便的求出的非零特征值的个数或判断特征值是否有零及其重数。
5.判断二次型的正定性：设二次型，其中，则有正（负）定的充分必要条件是的正（负）惯性指数与的秩都等于 ; 为半正（负）定的充分必要条件是的正（负）惯性指数与的秩相等且小于。
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
矩阵秩的不等式及其应用矩阵秩的不等式及其应用矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域。
矩阵秩是矩阵理论中很重要的一个概念。
矩阵秩不仅仅是一个数值，还具有深刻的物理意义。
下面我们将探讨矩阵秩的不等式及其应用。
一、矩阵秩的定义矩阵是一个M行N列的矩形数组，其中包含M×N个实数元素。
矩阵秩是由它的行和列所组成的线性空间的维数。
一个矩阵的秩指矩阵的行、列向量组的维数中的最小值。
二、矩阵秩的不等式对于任何一个矩阵A，其行秩等于其列秩。
即rank(A)=rank(AT)。
我们可以利用这个性质得到以下的矩阵秩不等式：对于任何两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(A-B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))rank(AB) ≤ rank(A)这些不等式给我们提供了方便快捷的工具来计算矩阵秩。
三、矩阵秩的应用矩阵秩在各个领域都有广泛的应用。
在工程中，它可以用于建立模型和解法，广泛应用于控制工程、数字信号处理、材料科学等。
例如，在控制工程中，我们可以利用矩阵秩的不等式来确定控制系统的稳定性。
一个控制系统是稳定的，当且仅当系统矩阵的秩等于系统状态的维数。
如果系统的任何一个状态可以被表示为系统矩阵中的一个线性组合，那么系统就是不稳定的。
此外，在统计学中，我们也可以利用矩阵秩来确定数据的维度。
数据的维数等于其协方差矩阵的秩。
一个协方差矩阵有多少个非零特征值就代表数据有多少维。
总之，矩阵秩是一个非常重要的概念，可以帮助我们解决很多实际问题。
矩阵秩的不等式为我们提供了更便捷的计算方式。
我们应该在学习中深入理解矩阵秩，并灵活运用其相关知识。
矩阵秩的求解方法及应用探索
矩阵秩是描述矩阵中线性无关行（列）的数量，它是矩阵变换空间的
维数。
矩阵秩的求解方法：
1. 初等变换法：将矩阵按照行（列）块排列，用初等变换（换行，
换列，倍乘列，加减乘列）把矩阵变为 diagonal matrix ，然后统计主
对角线中非零元素的个数。
2. 分解法：将一个矩阵A分解为前向和后向的乘积，分别用Q和R
表示，即A=QR，其中Q为m×n的正交矩阵，R为上三角矩阵，则 r=min （m，n），因此A的秩也就是R的秩，即r．。
矩阵秩的应用：
1.线性方程组的解法：矩阵秩可以用来判断一个线性方程组是否有解，如果群中方程数大于未知数，而该矩阵的秩小于未知数数目，则该线性方
程组无解。
2.图像重建：矩阵秩可以用来重建图像，可以通过将图像表示成一个
矩阵的形式，然后求出矩阵的秩，并运用一定的程序将矩阵重建为原图像。
3.数据挖掘：矩阵秩可以用来分析一组数据中最具代表性的变量，可
以将一组变量分解成一个矩阵，然后求出矩阵的秩，进而挖掘出最具代表
性的几个变量。
矩阵秩的研究与应用.doc矩阵秩是线性代数中的重要概念，它描述了矩阵所代表的线性方程组中线性无关的方程个数，也可以理解为矩阵列向量的线性无关个数。
在实际应用中，矩阵秩有着广泛的应用，例如解线性方程组、求解线性变换的性质、压缩数据、识别图像等方面。
1. 解线性方程组线性方程组的求解是矩阵秩应用最为广泛的领域之一。
一个m×n的矩阵A表示一个有m个方程、n个未知数的线性方程组，如果这个矩阵的秩rank(A)等于n，则方程组有唯一解；如果rank(A)<n，方程组有无穷多解；如果rank(A)<m，方程组无解。
例如线性方程组2x + 3y + z = -1x - y + 2z = 73x - y + kz = 0其增广矩阵为$$\begin{bmatrix}2 &3 & 1 & -1 \\1 & -1 &2 & 7 \\3 & -1 & k & 0 \\\end{bmatrix}$$对其进行行变换，得到$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 7-k \\0 & 1 & 0 & -4 \\0 & 0 & 1 & 3k-3 \\\end{bmatrix}$$可以看出，当k≠1时，方程组有唯一解；当k=1时，方程组有无穷多解。
2. 求解线性变换的性质线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了一个向量空间中任意两个向量之间的关系。
对于一个n维向量空间V，由线性变换T所产生的变换矩阵A是一个n×n的矩阵，可以用矩阵乘法的形式计算。
矩阵A的秩可以用来判断T的性质。
例如，如果矩阵A的秩为n，则T是一个满秩线性变换，它将V映射为一个n维的向量空间，保留了V的所有维度；如果矩阵A的秩小于n，则T 是一个非满秩线性变换，它将V映射到低维向量空间中。
矩阵秩的性质及应用矩阵秩是矩阵理论中的一个重要概念，它代表的是矩阵中线性无关的向量或行列的最大数量，也可以理解为矩阵的非零行列的最大线性无关的数量。
矩阵秩有很多重要的性质和应用，下面将详细介绍。
一、性质：1. 对于任意的m x n矩阵A，其秩满足以下性质：（1）矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数中的较小者，即rank(A) ≤min(m, n)。
（2）如果矩阵A的秩等于行数或者等于列数，即rank(A) = min(m, n)，那么矩阵A被称为满秩矩阵。
（3）如果矩阵A的秩等于0，即rank(A) = 0，那么矩阵A被称为零矩阵。
（4）两个矩阵相似，它们的秩是相等的，即如果A和B相似，则rank(A) = rank(B)。
（5）对于矩阵A的任意非零子矩阵B，有rank(B) ≤rank(A)。
2. 矩阵的秩与其对应的行列式的性质有关：（1）如果一个n阶方阵A的行列式不等于0，即det(A) ≠0，则rank(A) = n，也就是说该矩阵是满秩矩阵。
（2）如果一个n阶方阵A的行列式等于0，即det(A) = 0，则rank(A) < n，也就是说该矩阵不是满秩矩阵。
二、应用：1. 线性方程组的解：考虑一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以将其表示为矩阵形式Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维列向量。
如果方程组能够有解，则有rank(A) = rank([A, b])，即矩阵A和增广矩阵[A, b]的秩相等。
通过计算矩阵A的秩，可以判断线性方程组是否有解，以及有多少个自由变量。
2. 线性映射的维数问题：考虑一个线性映射T：V →W，其中V和W分别是n维和m维向量空间。
根据线性映射的定义，如果对于V中的任意向量v，总能找到一个唯一的映射结果T(v)在W空间中，那么我们可以把V称为映射T的定义域，把W称为映射T 的值域。
根据线性映射的定义和性质，可知rank(A) = rank(T)，其中A是矩阵表示映射T的矩阵。
矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。
首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。
对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。
关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。
它是矩阵 的一个重要性质。
在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。
1．矩阵的秩及其求法1.1矩阵的秩的定义定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。
定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。
定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。
零矩阵的秩规定为零。
注：由定义可以看出(1)若A 为n m ⨯矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n =(2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。
方法1 按定义例1.2.1 求矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--41311221222832的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式1312122832--=0，43112122232-=0，41312212283--=0，4111222282-=0 所以()2r A =方法2 初等变换法引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用杨敏娜姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学11510102班级学号**********指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
通过对矩阵的秩的探讨，能更好地理解矩阵的有关概念，同时对判别向量组之间的线性相关性，求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系有一定意义。
分析矩阵的秩在线性空间方面的应用，能准确快速地判断空间中直线的位置关系。
另外，在求解一些复杂行列式的值的过程中，将行列式问题转换成矩阵问题，大大简化了计算过程。
深刻地理解矩阵的秩将对今后线性代数方面的学习有很大的帮助。
二、矩阵的秩(一)矩阵的秩的定义介绍矩阵的秩，首先应该了解矩阵的k 阶子式，借助k 阶子式的定义，进一步来了解矩阵秩的概念。
下面对k 阶子式进行简单介绍：1.k 级子式[1]:在一个n 阶行列式D 中任意选取k 行和k 列（k n ≤）。
位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的序次构成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式。
例如 : 118339512104A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭矩阵A 的第一、三行，第二、三列相交处的元素所构成的二阶子式为183104D ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
当然，矩阵的k 阶子式并不是唯一的。
显然,m n ⨯矩阵A 共有k km nC C 个k 阶子式。
2. 矩阵的秩[1] :设()ij m nA a ⨯=有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()R A 或秩A 。
矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，同理，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组 的秩。
矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以一般就统称为矩阵的秩。
(二)矩阵的秩的一般性质及求法1.矩阵的秩的一些简单性质我们通常规定零矩阵的秩即为0。
(1).如()R A r =，则A 中最少有一个r 阶子式0r D ≠，其余1r +阶子式全部为0，且更高阶子式为0,此中r 是A 中非零的子式的最高阶数。
(2).初等矩阵均满秩，任何矩阵乘满秩方阵，秩均不变的。
(3).n n ⨯矩阵的行列式为零的充分必要条件是，矩阵A 的秩小于n 。
(4).由行列式的性质知，()()TR A R A =。
(5).()()()}{,,0min ,R A m R A n R A m n <<<<。
(6).如果n n A ⨯，且0A ≠，则()R A n =。
反之，如()R A n =，则0A ≠所以有，方阵A 可逆的充分必要条件是()R A n =。
此时称矩阵A 是满秩的。
(7).A 可逆时，()()R AB R B =；B 可逆时，()()R AB R A =。
2.具体矩阵的秩的求法(1).根据矩阵的秩的定义,求矩阵的非零阶子式的最高的阶数,即为矩阵的秩。
(2).应用等价矩阵有相同秩的结论,利用矩阵的初等变换，先将一般矩阵简化成阶梯形，那么矩阵的秩即为阶梯矩阵中非零的行数，在初等变换中，可以只进行初等行变换，也可以初等行变换或初等列变换混用来对它进行化简。
例一：对如下的矩阵求它的秩012114210A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求法一：由于01211420210A ==≠-，而A 的最高阶数是三阶，所以()3R A =。
求法二：1012114114012210002A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对它进行初等变换以后, 最后的阶梯矩阵中，非零行数为3，所以该矩阵秩为3,即()3R A =。
注：以上的两种求矩阵秩的方法中，两者各有千秋，运用初等变换的方法求矩阵的秩，一般适用于超过三阶的矩阵，比较快速方便。
因为对于高阶子式来说，其k 级子式的个数较多，计算比较冗长且难度较大。
而对于低阶的矩阵，求k 级子式更直接易理解。
（三）、求抽象矩阵的秩遇到抽象矩阵求秩，用上面的两种方法是不能解决问题的，所以，求抽象矩阵的秩，除了以上介绍矩阵的秩的相关性质外，还需补充一些有关矩阵的秩的有关结果。
结论一：设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，则A 可以表示成r 个秩是1的矩阵的和。
例二 : 证明0()()0A r r A r B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
证明 设(),()R A r R B s ==,那么肯定有可逆的矩阵11,P Q 与可逆的矩阵22,P Q ，使得11121211122212000000rs E E P ABQ P AQ Q P P BQ Q P ----⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简,A B 为等价标准形,故一定有可逆矩阵112200,00P Q P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使成立111122220000000000000000000000r r E P Q P AQ A P Q P BQ B E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，因为左乘及右乘和原来矩阵的秩仍然相等，最终有00000000()()00000000r r E A r r r s r A r B B E ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==+=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭。
结论二：设A 是n 阶方阵（2n ≥），则有当()R A n =，时，*()R A n =当()1R A n =-时，*()1R A =当()1R A n ≤-时，*()0R A =例题三：已知A 是3阶非奇异矩阵,那么**(())r A =解:从结论二得*****3,()3(())1,()20,()2r A r A r A r A ⎧=⎪==⎨⎪<⎩,又从题知A 为3阶不可逆矩阵,所以()2r A ≤,所以*()1r A =或0,故**(())0r A =结论三[3]：,A B 为n 阶方阵且0AB =时，()()r A r B n +≤。
例四：已知123244812Q t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 为3阶非零矩阵,且还有0PQ =成立,则 ( )A. 6t =时,P 的秩必为1B. 6t =时，P 的秩必为2C. 6t ≠时,P 的秩必为1D. 6t ≠时, P 的秩必为2解：因为0P ≠，所以秩()1r P ≥，又由题知道0PQ =，所以()()3r P r Q +≤。
当6t =时，()1,r Q =故可以得1()2r P ≤≤，当6t ≠时，()2r Q =，又可以得1()321r P ≤≤-=，即肯定有()1r P =。
