等腰三角形(第1课时)人教版

• 学习重点： 探索并证明等腰三角形性质．
探索并证明等腰三角形的性质
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并 剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
B
A
D
C
探索并证明等腰三角形的性质
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这 个等腰三角形有什么特征吗？
探索并证明等腰三角形的性质
∴ ∠B =∠C．
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
你还有其他方法证明性质1吗？ 可以作底边的高线或顶角的角平分线.
A
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC
例 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴ ∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD（等边对等角）
设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而 ∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
路是什么？ （3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形
呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B =
∠C． A
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD，
AD =AD，

学生讨论问题（2） 时，教师要引导学生依 据自己发现的结论进行 大胆猜想，重点关注学 生能否从轴对称图形的 概念出发折纸判断，关 注学生能否用规范清晰 的数学语言说出自己的 猜想，关注学生在活动 中的参与意识．
通过学生观察， 教 师的引导， 归纳出等腰 三角形的两条性质， 形 成感性认识， 重视知识 形成过程， 培养学生自 主探究的学习方法．
激发学生思考， 设 置悬念， 激活学习所必 需的先前经验， 唤起学 生的学习需要， 激发学 生的学习兴趣， 为下面 教学活动拉开序幕。
问题 教师发出指令引导 学生操作。学生动手操 14.3-1)，再把它展开，得到一个什 作，观察。 么图形？ 并剪下阴影部分(如教科书图 给学生提供参与 学生讨论问题（2） 数学活动的时间与空 2、上述过程中得到的△ABC 时，教师通过画图介绍 间， 提高学生学习数学 有什么特点？ 腰、底、顶角、底角。 的兴趣和参与程度， 同 时为学生观察等腰三 角形性质创设探索的 学生回答问题（3） 情境。 3、除了以上方法，还可以怎样 时，教师让学生各抒己 剪出一个等腰三角形？ 见的基础上介绍自己的 想法（例如把长方形的 长与宽折叠，沿折痕剪 开） 。 1、把一张长方形的纸片对折，
3、相互交流，你和别人的结论 是否一致？你能猜猜等腰三角形 有什么性质吗？说说你的猜想． 问题 教师引导学生把性 边对等角）画出相应的图形，并用 质 1 转换成数学符号语 有助于规范学生 符号语言写出已知和求证吗？ 言. 对性质的符号表述， 使 学生能更好的把握重 点， 更轻易地把性质运 2、证明两个角相等有什么方 教 师 启 发 学 生 利 用 用于解题过程中。 同时 法？如何构造全等三角形？ 等腰三角形的对称性添 为下面的性质运用做 加辅助线，并且鼓励学 好准备。 3、类比性质 1 的证明过程，你 生使用不同的辅助线完 成证明. 可以证明性质 2 吗？ 1、 你可以根据猜想的性质 1 等 （

问答法类比法探究法
说学法
三
实验法探究法讨论法
说教学过程
四
（一）回顾与引入（二）猜想与证明（三）应用与提高（四）心得与体会（五）作业与巩固
你们的三角形都是如何剪成的？
对折长方形纸片，剪下靠近对称轴一个角再展开。
先画一个等腰三角形，再剪下来。
教师提问
（一）回顾与引入
一学生回答
另一学生回答
1、回顾等腰三角形的定义
图1
图2
（三）应用与提高
例 ： 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数
（三）应用与提高
练习2：如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在AC、AB上，BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数。
（三）应用与提高
练习3 填空：如图⑴∵AB=AC，AD⊥BC∴∠＿=∠＿，＿=＿； ⑵∵AB=AC，BD=DC∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；⑶∵AB=AC，AD平分∠BAC∴＿⊥＿，＿=＿
重合的线段
重合的角
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
猜想2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
①已知：AB =AC，AD平分∠BAC 求证：②已知： AB =AC，AD平分BC 求证：③已知： AB =AC，AD⊥BC 求证：
WHAT MAKES USDIFFERENT?
85%
《等腰三角形的性质》是人教版数学的八年级上册第十三章第三节第一小节《等腰三角形》的第一课时，本节课的主要内容就是研究等腰三角形的两个性质。
1、教学内容
“
2、教材的地位和作用

感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.

∴△ACF≌△AБайду номын сангаасE(SAS). ∴BE=CF.
【想一想】 等腰三角形底角的平分线、腰上的中线和腰上的高互相重合吗? 提示：不一定重合.
【微点拨】证明两条线段相等的思路
1.当两条线段在两个三角形中时，考虑两个三角形全等.
2.当两条线段在一个三角形中时，考虑三角形是不是等腰三角
形的两腰或者应用等腰三角形三线合一的性质来证明 .
顶角平分线 、 (2)“三线合一”：等腰三角形的___________
底边上的中线 、底边上的高 _____________ ___________相互重合. (3)轴对称图形：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是
顶角平分线(底边高或中线)所在的直线 ___________________________________.
【方法一点通】 等腰三角形的性质在证明中的应用 1.在证明边或角相等时，常考虑利用三角形全等，等腰三角形 的两个底角相等常常是隐含条件，注意挖掘和应用 . 2.利用等腰三角形三线合一的性质，不仅能够证明相关的线段 或角相等，还可以证明有关的线与线之间的关系 .
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.( × )
2.等腰三角形的底边长为3cm，腰长为1cm，则周长为
5cm.( × )
3.有一个角是60°的等腰三角形，其他两个内角也是
60°.( √ ) 4.等腰三角形的底角都是锐角.( √ ) 5.钝角三角形不可能是等腰三角形.( × )
【互动探究】如上题图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°， 边AB的垂直平分线交边AC于点E，求∠EBC的度数. 【解析】∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB， ∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∵∠A=50°，∴∠ABC=65°，又因 为DE垂直且平分AB，∴∠ABE=∠A=50°，∴∠EBC=65°50°=15°.

1
2
2.等腰三角形的性质及其应用 【例2如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.
分析:利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质进行证 明.
1
2
证明:连接AD(图略). ∵D为BC的中点,AB=AC, ∴AD平分∠BAC. 又DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF. 点拨:此题解法灵活,也可以直接利用等腰三角形的性质证明 △BDE≌△CDF.另外,作底边上的中线(或顶角的平分线、底边上的 高)是解决与等腰三角形有关问题时常用的辅助线.
相等
(简写成“等边对等角”);
性质2:等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线 、底边
上的高相互重合(简写成“三线合一”).
2.等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上
的高)所在的 直线 就是它的对称轴.
知识梳理 预习自测
1.下列说法正确的是( ). A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍 D.等腰三角形的两个底角相等
.
66°
关闭
答案
1
2
1.等腰三角形的边、角的计算 【例1】 已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,求这 个等腰三角形各角的度数. 分析:应考虑3种情况,即(2x-2)°作顶角或(3x-5)°作顶角或(2x-2)° 和(3x-5)°均不是顶角. 解:若2x-2=3x-5,得x=3. 故三角形的三个内角分别为4°,4°,172°; 若2(2x-2)=180-(3x-5),得x=27. 故三角形的三个内角分别为52°,52°,76°; 若2(3x-5)=180-(2x-2),得x=24. 故三角形的三个内角分别为46°,67°,67°.

(3)结论：∠BAD＝2∠EDC. 理由：∵AE＝AD，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠DCE，∠E＝∠ADE＝∠ADC＋∠EDC. ∵∠B＋∠BAD＋∠ADB＝∠ECD＋∠E＋∠EDC＝180°，∴∠B＋ ∠BAD＋∠ADB＝∠ECD＋∠ADB＋∠EDC＋∠EDC， ∴∠BAD＝2∠EDC
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
(2)若∠BAD＝35°，则∠C的度数为( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD ＝4，则△ABC的周长是__2_0_．
8．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB. (1)求证：∠BAD＝∠BDE； (2)若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
16．(15分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点，E是射 线AC上一点，且AD＝AE.
(212).如5°图 ① ， 若 ∠ BAC ＝ 90° ， D 是 BC 中 点 ， 则 ∠ EDC 的 度 数 为 _________；
(2)如图②，当点D在线段BC上时，若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数； (3)如图③，当点D在线段BC延长线上时，试判断∠BAD和∠EDC的数 量关系，并证明．
13．(易错题)(青海中考)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内 角的度数分别为____5_5_°__，__5_5_°__或__7_0_°__，__4_0_°____________________．
【变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三
角形的底角的度数为___6_3_°__或__2_7_°________．

底边BC上的高AF，得出AF是顶角∠BAC的
平分线，再证AF∥DE即可. 1
1
2
证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AF⊥BC于F，
F
∴AF平分∠BAC，∴∠1＝ ∠BAC.
又∵∠BAC＝∠D＋∠AED，AD＝AE， ∴∠D＝∠AED，∴∠AED＝ 1 ∠BAC.
2 ∴∠1＝∠AED， ∴AF∥DE， ∴DE⊥BC.
20cm或22cm
20 36°或90°
70°或40°
解：设∠A＝x， ∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝x， 又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2x, ∵CD=CB，∴∠B＝∠BDC＝2x， 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA＝2x， 又∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°， ∴∠A＝36°，∠B＝∠BCA＝72°
13.3.1 等腰三角形
（第一课时）
1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的性质. 3.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
重点：等腰三角形的概念和性质及其应用. 难点：等腰三角形的“三线合一”的性质的理解及 其应用.
阅读课本P75-77页内容，了解本节主要内容.
等腰
轴对称 底边上的高（顶角的平分线或底边上的中线） 所在的直线；
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD ＝BC＝AD.求△ABC各角的度数. 解析：根据等腰三角形的性质，两底角相 等，利用三角形内角和定理建立方程. 解：设∠A＝x°，
∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°. 在△ABC中, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,x°+2x°+2x°=180°， ∴x＝36°，∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°.

A
∴ ∠C= ∠B=30°，
∵BD = CD，∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC = 90°.
B
D
C
∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
课堂检测
2.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，
且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝ A∴∠CA，BC＝∠ACB.
求证： ∠B= ∠C.
A
证明：作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边),
BDC
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
探究新知
【想一想】 由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外， 你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流
探究新知
A
画出任意一个等腰三角形的底角平
分线、这个底角所对的腰上的中线和高，
看看它们是否重合？ A
不
E
D
重 合
【思考】
F
B
D
C
为什么不一样？
B
C
巩固练习
明辨是非.
（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.
（ ×）
（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.（ × ）
（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.
质
易错点拨
明确是底角还是顶角必须分类讨论
（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分
线指的是“顶角平分线”
课堂检测
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线 相交所得的锐角为50°，则底角的大小为_7_0_°__或__2_0_°__．