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01章 电磁现象的普遍规律

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[理学]第一章 电磁现象的普遍规律

[理学]第一章 电磁现象的普遍规律

E ds dV
S 0 V
1
V
( E
1
0
)dV 0
f ds fdV
S V
1 E 0
0
E ds EdV
S V
V
EdV dV
0 V
1
0 1 严格说来： E(x) (x) 0

瞬间作用。 局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有 关，而和其他地点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的
dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元
是面元dS与球面元dS0间的夹角
闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
dl dl0 2π d cos r r l l l

弧度
0
闭合曲面对面内一点所张的立体角
dS0 d 2 4π r S S
球面度
(2)静电场的散度（divergence of electrostatic field)
z
1 qq F r 3 4 0 r
x
q’
x
o
r
x
q y
r x x
同理，q’受到q的作用力:
注意:
F F 1. 库仑定律只是从现象上给出两电 荷之间作用力的大小和方向。
2. 静止电荷对静止电荷的作用力
可有如下两种物理解释: 1. 两电荷之间的作用力是超距作用，即一个 电荷把作用力直接施加于另一电荷上。(错误) 2. 相互作用是通过电场来传递的，而不 是直接的超距作用。(正确)
本章主要内容
电荷和电场 电流和磁场
麦克斯韦方程组

13(1)第一章_电磁现象的普遍规律

13(1)第一章_电磁现象的普遍规律


L1
I1dl1 r12 r12 3
0 J1 ( x)dV1 r12 0 dB1 ( x ) = ;B1 ( x ) = 3 4 r12 4
电流区域（闭合导体）V1产生的磁感强度B1——
年伽里略去世，牛顿出生。
麦克斯韦方程组积分、微分形式

S
D dS q0
B E dl t dS C S B dS 0 D H dl I 0 t dS C S
动方程，它在电动力学中占有重要的地位。
电荷守恒定律： 一个封闭系统的总电荷不随时间改变，这是电磁 现象的基本定律之一。实验表明，电荷不仅在一般的 物理过程﹑化学反应过程和原子核反应过程中守恒； 而且在基本粒子转化过程中也是守恒的。
洛伦兹力公式：
麦克斯韦方程组给出了电磁场运动变化的规律，
包括电荷电流对电磁场的作用。而电磁场对电荷电流
•若全空间电荷守恒，则S为无穷远界面，其上无电流流出流入：
J 0 dS 0
d J 0 dS dt dV 0
0 t
对任意变化 电流均成立
•若是稳恒电流，则要求电流不随时间 变化，进一步要求电荷分布不随时间 变化，即—— 上式表示稳定电流线是闭合的，稳恒 电流即直流电，只能通过闭合回路。 要维持电流稳恒，必须在电路中存在 非静电力，如原子力、化学力、磁力 及光子力，把电荷源源不断通过内部 从B 送往A，保持UAB不变。
但需补充的是，媒质中会出现怎样的宏观电荷电流，
以及如何确定它们。
在电磁场作用下，静止媒质中一般会发生3种过程： 极化﹑磁化和传导，其都会使媒质中出现宏观电流。在 电动力学中，处理有媒质的电磁问题时﹐需将麦克斯韦

电磁现象的普遍规律

电磁现象的普遍规律
S
Q
ε0
证毕
2. 多个点电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在多个点电荷时， 在封闭曲面内，存在多个点电荷时，封闭曲面的电通量
r r r r ∫∫ E • dS = ∫∫ (∑ Ei ) • dS
S S i
r r Q 1 = ∑ ∫∫ Ei • dS = ∑ i =
i S i
ε0
ε0
∑Q
i
i
3.连续分布电荷的高斯公式 连续分布电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为ρ(r), 封闭曲面的电通量为： 封闭曲面的电通量为：
求散度 当r<=a时， 时
r r Qr Q r r r E= = ( xex + yey + zez ) 3 3 4πε 0 a 4πε 0 a
r ∂Ex ∂E y ∂Ez 3Q ρ ∇•E = + + = = 3 ∂x ∂y ∂z 4πε 0 a ε0
当r>a时， 时
r r Q r ∇•E = ∇• 3 = 0 4πε 0 r
r
r r r r r ρ (r ′)(r − r ′) E (r ) = ∫ r r 3 dV ′ 4πε 0 r − r ′
2.高斯定理和电场的散度 高斯定理和电场的散度
一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。 一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。
r r Q ∫∫ E • dS =
r r r 1 lim ∫∫ E • dS = V ⋅ ∇ • E = ρ (r )V
V →0 S
ε0
r ρ (r ) ∇•E =
ε0
高斯定理的微分形式
对于电力线来说，正电荷点相当于源点， 对于电力线来说，正电荷点相当于源点，负电荷 相当于漏点。只有电荷才激发电场。 相当于漏点。只有电荷才激发电场。

第一章电磁现象的普遍规律

第一章电磁现象的普遍规律
43
习题：第45页, 1，3，4，7，8，9，11，12，14
44
E
B
H
t
Jf
D t
D f
B 0
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
21
法向分量的跃变
由于柱体的厚度d趋于零，只需要考虑集中分布在界面处的面电荷
D2n
D1n
Qf S
f
P2n P1n P
E2n
E1n
D2n
D1n (P2n
0
P1n )
f
P 0
22
同理
B2n B1n 0
引入电位移矢量D和磁场强度H
D 0E P,
H
B
M
0
介质中微分形式的麦氏方程就表述为
18
E
B
H
t
Jf
D t
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
D f , B 0
P e0E, M M H
B 0(H M ) 0(1 M )H 0r H H
D 0E P 0(1 e )E 0r E E 19
这种不变性称为规范不变性．
(1)库仑规范 A 0
1
(2)洛仑兹规范 A c2 t 0
31
例 1：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度， 并由此直接计算电场的散度。（第10页）
32
33
例2：电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点 的磁场强度，并由此计算磁场的旋度． （第18页）
E dS
1
dV
S
0 V
SB dS 0
微分形式
E
B
B
t
0 J
0 0
E t

第一章：电磁现象的普遍规律.

第一章：电磁现象的普遍规律.
n (E2 E1) 0
45

总结边值关系：
n


(E2

E1 )

0

n
(
H
2

H1)


f
n


(D2

D1)


f
n (B2 B1) 0
场方程在边界 面上的体现！
46
3、磁化强度矢量 M的切向边值关系：
n

(M2

M1)
一、电荷守恒定律：
1、电流： 电流强度：I dq
电流密度：
J

dt dI
n
dS

dI JdS JdS cos J dS

I SJ dS
12
2、电荷守恒定律 (实验定律）
I


SJ
dS


d dt
V
dV
VS


由高斯散度定理： J dS JdV
毕萨定律： dB
0 4
Idl

r
r3


由Idl JdSdl JdV
dB
0 4

J r r3
dV
17
积分形式： 由微分形式对整个载流导体积分

B( x, y,z)

0 4


V
J (x, y,z) r3
r
dV
18
三、磁场的旋度和散度
28
麦克斯韦方程组的几点推论： 1、电磁场可相互激发； 2、预言电磁波的存在； 3、电磁场可脱离场源而存在。

电磁现象的普遍规律

电磁现象的普遍规律

第一章 电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F为()'3''41r r rr Q Q F --=πε（1.1.1）式中0ε是真空介电常数。

（2）电场强度E静止的点电荷'Q 在真空中所产生的电场强度E为()'3''41r r rr QE--=πε（1.1.2）（3）电场的叠加原理N个分立的点电荷在r处产生的场强为()'13'0'4iNi iir r r r Q E--=∑=πε （1.1.3）体积V 内的体电荷分布()'rρ所产生的场强为()()'3'''41r r rr dVr E V--=⎰ρπε（1.1.4）式中'r 为源点的坐标，r为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑ii Q 除以0ε。

用公式表示为∑⎰=⋅iiSQS d E 01ε （分离电荷情形） （1.1.5）或⎰⎰=⋅VSdV S d E ρε01（电荷连续分布情形）（1.1.6） 其中V 为S 所包住的体积，Sd为S 上的面元，其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式⎰⎰⋅∇=⋅VSdV E S d E（1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为ρε01=⋅∇E3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为0=⋅⎰Ll d E（1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLS d E l d E从（1.1.8）式得出静电场的旋度为0=⨯∇E（1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。

对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有⎰⎰-=⋅VSdV dtd S d J ρ （1.2.1）或0=∂∂+⋅∇tJ ρ（1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。

第一章 电磁现象的普遍规律

本章要点概述1.1麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式以电荷守恒定律、库仑定律、安培定律、毕奥一萨伐尔定律和法拉第定律为主要实验基础的麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式,集中地反映了电磁相互作用的普遍规律,是电动力学最主要的理论基础.电荷守恒定律电荷守恒是物理和化学过程都遵从的基本规律,其微分形式(1.1)称为电流连续性方程.其中电荷体密度ρ表示单位体积内的净电量,电流密度矢量J 的方向表示电流的流向,其数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量.在稳恒情形下，(1.1)式变为,即稳恒电流(直流电流)是无源的,其流线是连续、闭合的曲线.库仑定律与静电场库仑定律是关于静电力的实验定律——两个静止点电荷的互作用力与它们的电量乘积(1.2)是电荷在电场中受到的作用力, 是所在点的电场强度.在国际单位制中,孤立的点电荷在其周围空间任一点激发的电场强度为(1.3)是真空电容率.电场遵从叠加原理,若体积V 内电荷密度函数为,则任一点的电场强度,是所有电荷元在该点的电场强度之矢量和,即(1.4)r是电荷分布点到场点的矢径,是两者的距离,积分遍及全部电荷分布区域V .从(1.4)式可导出静电场两个微分方程，(1.5)散度方程表示电荷只直接激发它附近的电场,其积分形式是电场的高斯定理；旋度方程表示静电场是无旋场,线始发于正电荷并终止于负电荷,即线无涡旋状结构,这方程的积分形式表示静电场是保守力场.安培定律、毕奥一萨伐尔定律与静磁场安培定律是关于稳恒电流之间互作用力的实验定律.电流之间的互作用实质上通过电流的磁场传递,稳恒电流中一个电流元(或)在磁场中受到的力为(1.6)是电流元所在处的磁感应强度.毕奥一萨伐尔定律是稳恒电流激发磁场的规律,若体积V 内电流密度函数为,则任一点χ的磁感应强度为(1.7)为真空磁导率,r是电流分布点到场点的矢径,r 是两者的距离,积分遍及全部电流分布区域V ,这意味着磁场也遵从叠加原理.从(1.7)式可导出静磁场两个微分方程，(1.8)旋度方程表示电流只直接激发它附近的磁场,线在电流分布点周围形成涡旋状结构,其积分形式为安培环路定理；散度方程及其积分形式表明静磁场的线总是连续的,即磁通有连续性.由于迄今仍未找到自由磁荷(磁单极)存在的可靠证据,电荷是电磁场唯一的激发源,因此方程对于时变磁场也成立.法拉第定律与感应电场法拉第定律的物理本质是随时间变化的磁场激发电场,感应电场强度沿任意闭合回路L 的积分,正比于通过该回路所围面积S 的磁通量之时变率:(1.9)其微分形式(1.10)表示变化磁场激发的电场是有旋场,线呈涡旋状结构,这一性质与电荷直接激发的电场有明显差别.麦克斯韦方程组麦克斯韦将上述实验定律推广到普遍情形,并引入位移电流假设,得出一组描述电磁现象普遍规律的方程.这组方程现在写成，，(1.11)在的旋度方程中,就是“位移电流密度”,其实质是随时间变化的电场激发磁场.在激发源之外的真空中,这组方程表现为，，(1.12)它揭示了变化的电场与磁场互相激发转化的规律,这是时变电磁场可以脱离作为激发源的电荷电流,并以波的形式独立运动的原因.从这组方程可以导出和的齐次波动方程.电磁波在真空中的传播速度为(1.13)若将,代入(1.12)中的散度和旋度方程,将给出的散度和旋度方程,这表明,变化的电场与磁场本质上存在着对称性和统一性.洛伦兹力公式洛伦兹将库仑定律和安培定律推广到普遍情形，给出带电粒子在电磁场中受力的规律(1.14)q是粒子的电量,ν是其运动速度.电荷系统在电磁场中受到的力密度为(1.15)为电流密度.电磁场对电荷系统作的功率密度为(1.16)这表明磁场并不直接对电荷做功.麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式所描写的电磁相互作用理论,是一个线性理论,而且是局域作用理论——即电荷电流只与其所在处的和直接发生作用.1.2 电磁场的能量和动量经典理论把电磁场描述成连续分布的物质,它以波的形式运动.设想体积V 内存在电荷,电磁场通过V 的界面S 向V 内运动,由麦克斯韦方程组(1.11)和洛伦兹力公式(1.15),可以导出电磁场与电荷系统相互作用的能量守恒表达式(1.17)和动量守恒表达式(1.18)相应的微分形式为(1.19)(1.20)电磁场的能量密度,能流密度S ,动量密度g 和动量流密度张量分别是(1.21)(1.22)(1.23)(1.24)(1.21)式表明,电磁场的能量密度与和的平方成正比.从(1.22)和(1.23)两式可看出,电磁场的能流密度S 与动量密度g 不仅空间取向一致,而且数值上也紧密关联,即 .事实上,真空中电磁波的能量和动量都以光速c沿着波的传播方向转移.从(1.18)式看到,电磁场动量流密度张量与作用在单位面积上的力有相同的量纲,因此也称之为电磁场应力张量,其表达式(1.24)中的是(1.21)式表示的电磁场能量密度,为单位张量. 的分量(1.25)表示单位时间通过垂直于坐标系轴的单位面积上电磁场动量流的分量,即作用在单位面积上的电磁场应力,当电磁场作用于宏观物体时,它描写物体表面受到的电磁场应力,包括法向应力和切向应力,例如静电场对导体表面施加的法向张力,磁场对磁性体表面的压力(磁压),电磁波对物体表面的辐射压力(光压).1.3 介质中的场方程与介质的电磁性质电磁场作用于介质,是场与介质内大量微观带电粒子相互作用相互制约的过程.经典电磁理论对介质极化与磁化的描述,并未涉及其中的微观动力学机制,仅以两个唯象模型——分子电偶极矩和分子电流磁矩为基础.介质极化强度和磁化强度分别定义为，(1.26)表示介质内任意一个小体积,和分别表示这体积内总的分子电偶极矩和分子磁矩.介质内束缚(极化)电荷体密度和磁化电流密度分别由下述两式描述，(1.27)当电磁场随时间变化时,将引起介质分子内束缚电荷的振动而形成极化电流.由电流连续性方程(1.1)和(1.27)的第一式,得极化电流密度(1.28)一般地,介质内电荷体密度电流密度 ,,是自由电荷密度,是传导电流密度.为使不容易被实验直接测量的,和不出现在麦克斯韦方程组中,定义辅助场量——电位移矢量和磁场强度:，(1.29)即、和有相同的量纲,、和有相同的量纲.将(1.27)、(1.28)和(1.29)代入(1.11),得介质中的麦克斯韦方程组，，(1.30)这组方程虽然形式上与真空中的麦氏方程组(1.11)相似,但它出现四个场量,,和，即使给定和的分布函数,以及一定的初条件和边界条件,从这组方程也无法解出电磁场,因而它不是完备的.原因是介质内与,与的关系没有给定,这些关系需由实验测量.在各向同性的线性介质内,实验给出，(1.31)，(1.32)介质的极化率和相对电容率均为无量纲的比例系数,是介质的电容率.介质的磁化率和相对磁导率也是无量纲的比例系数,是介质的磁导率.在电磁场作用下,导体内大量自由电子漂移运动的宏观效应使它显示出导电性.各种介质的导电性能由实验测定.线性均匀导体的导电规律由欧姆定律(1.33)描述,是导体的电导率.电磁场还使导体分子中的束缚电荷极化和磁化,因此导体也有其电容率和磁导率.各向异性介质,例如晶体,即使作用电磁场的强度相同,若和的方向不同,其极化与磁化的取向也不同,极化率和磁化率表现为张量.铁磁质和的关系是非线性而且是非单值的,需由实验测定磁化曲线和磁滞回线才能确定两者的函数关系.非线性介质的极化与磁化效应,不仅与场强和的一次幂有关,与场强的二次幂甚至高次幂也有关.从介质中的场方程(1.30),以及自由电荷受到的力密度,可以导出如同(1.19)那样的能量关系式(1.34)这里是场对介质内自由电荷作的功率密度,这部分能量通常转化成介质的热损耗.介质中的能流密度S 和能量密度的时变率分别为(1.35)(1.36)将,代入(1.36)式,得线性均匀介质内的电磁能量密度(1.37)由和的定义(1.29),上式为(1.38)右方第一项是介质内电磁场的能量密度,第二项是极化能量密度,第三项是磁化能量密度.1.4 电磁场的边值关系微分形式的麦氏方程组(1.30)适用于连续的介质内部.由于不同介质有不同的电磁性质,介质分界面上一般会出现面电荷和面电流分布,使得界面两边的场量发生跃变,因而微分形式的麦氏方程组在界面上不再适用.将这组方程的积分形式，，(1.39)应用于两种介质的分界面上,可得到电磁场的边值关系，，(1.40)是从介质1指向介质2的法向单位矢量, 为界面上的自由电荷面密度,为传导电流面密度.第一式表示界面两边的法向分量跃变由界面上的引起,第二、三式分别表示界面两边的切向分量和的法向分量连续,第四式表示界面两边的切向分量跃变由界面上的引起.将(1.27)两式相应的积分形式，，( 1.41)应用到界面上,可得界面两边极化强度与磁化强度的跃变关系，(1.42)是界面束缚(极化)电荷面密度,是磁化电流面密度.将电流连续性方程(1.1)的积分形式应用于界面,可得边值关系(1.43)σ是界面上包括自由电荷与极化电荷的面密度.电流稳恒时,(1.43)式成为 .。

第一章 电磁现象的普遍规律(1-2)


适用求解对称性很高情况下的静电场
a.空间中有多个电荷
1 Ε dS Q i ε0 i
b.电荷连续分布于空间中
1 Ε dS ε0 V dV
x 1 1 r E rdV 3 V r x dS 3 dV 4 S E dS 40 V 0 S r 1 r 1 r x x x dV dV 3 3 V V 4 0 r 4 r
S J dS V t dV
• • 应用高斯定理， ------电荷守恒定律的积分形式
• 得微分形式
J 0 t
J 0 t
J 0
⑴ 反映空间某点电流与电荷之间的关系，电流线一般不闭合 ⑵ 若空间各点电荷与时间无关，则为稳恒电流。
B 1 rB ez 0 B er z r r
(2).当r<a
B 0 J
0 J
结论：磁场的旋度只存在于 有电流分布的导线内部，而 在周围空间中磁场是无旋的。 作业：复习课上例题
方向：沿着该点的电流方向
导电的微观理论
J v
两者关系：
I dI J dS
S S
dS
J
dI J dS cos
dI J cos dS J dS
2、电荷守恒定律
• 封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统， 单位时间流出电荷总量等于V内电量的减小率
三. 静电场的旋度
1. 环路定理

1
L
E dl 0
静电场对任意闭合回路的环量为零。
r x 3 dl L E dl 4 0 V dV L r

第一章 电磁现象的普遍规律

荷的地方，既无电场线发出，又无电场线终止。 但可以有电场线连续通过该处，即电场线不会在 没有电荷的地方中断。
三、高斯定理与静电场的散度
(3)注意电场散度的局域性 电场中某点的电场强度的散度，只与该点的电荷
密度有关，即散度只存在于有电荷分布的区域内。 (4)高斯定理的微分形式及积分形式在非稳恒情况下 也成立。
§1 电荷和电场
库仑定律 电场 高斯定理和静电场的散度 静电场的环路定理和旋度 小结
一、库仑定律
1、库仑定律的内容 在真空中，静止点电荷Q对
另一个静止点电荷Q′的作用力 F为
F
1
4 0
QQ r3
r
一、库仑定律
F
1
4 0
QQ r2
e
r
其中F 是Q′受到的力。r 是由Q指向Q′的矢量，r是
B 0
(2.12)
(1)静磁场是有旋无源场 磁场的散度方程和旋度方程各自从一个侧面反映
了静磁场的性质
三、磁场
B 0 ，说明B 的散度处处为零，磁场为
无源场。这说明不存在自由磁荷（磁单极），磁感 线总是闭合的。
B 0J ，说明磁场是涡旋场，稳恒电流激
发了静磁场。 （2）安培环路定理相当于静磁场的旋度方程
二、电荷守恒定律的数学表达式
（2）若
t
0 ，即电荷的体密度在减小，J 表 0示
该点有散发通量之正源。有电流线散发，即有电流
线从内向外穿出。
d dt
V
dV
0
表示在全空间的总电荷守恒。
二、电荷守恒定律的数学表达式
在稳恒电流场中，一切物理量不随时间变化，因 而 0 ，因此得
t
J 0
二、电荷守恒定律的数学表达式

第一章电磁现象的普遍规律


∇⋅B = 0 (1.1.23) 这个结果显示，恒定磁场是无散场，这与静电场不相同。从 恒定磁场的无散特性可以推断，它的场线必定是闭合的，由 此导致恒定磁场的旋度必定与静电场的不相同。事实上，利 用安培环路定理和斯托克斯公式就可以导出恒定磁场的旋 度满足的微分方程。安培环路定理说，静磁场对任意闭合曲 线的环路积分只与曲线所围的总电流有关：
如果导线的截面很小， 而所研究的范围又较广， 那 图 1.1.6 导线 么， 导线截面的大小可以忽略， 对导线截面积分近 似地不涉及源的位置。在这种情况下，单独对截面积分后， 就可以将上述磁感应强度积分表达式中的 jdτ ′ 用 Idl 代 替，并只对导线的长度积分：
静止的带电粒子会产生电场， 运动的带电粒子还会产生 磁场。不随时间改变的电场和磁场叫做静电场和静磁场，静 磁场也称恒定磁场。静电场和恒定磁场遵从四条重要规律：
L
∫ E ⋅ dr = −磁场强度两个辅助物理量， 麦克斯韦方程 组的其中两个方程可以改写成如下形式：
L
∫ B ⋅ dr = μ ∫∫ ⎢ j + ε ⎣
0 S
0
∂E ⎤ ⋅ dσ ∂t ⎥ ⎦
(1.2.1)
∫∫ D ⋅ dσ = ∫∫∫ ρ dτ
0 S V
∫∫ E ⋅ dS = ε
Q
0
，
∫ E ⋅ dr = 0
0
∫∫ B ⋅ dS = 0 ， ∫ B ⋅ dr = μ I
积分形式的规律反映了带电粒子对电磁场的作用的整体关 系。对应的局域关系则由它们的微分形式给出：
B (r ) =
μ0 4π
∫∫∫
j ( r ′ ) dS n dl × ( r − r ′ ) r − r′
E (r ) =
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利用高斯公式，我们有 r r r r r r ∂ρ ( r ) ∫∫∫ ∂t dv = − ∫∫ J ( r ) ⋅ ds = − ∫∫∫ ∇ ⋅ J ( r )dv D D ∂D r r r ⎤ ⎡ ∂ρ ( r ) 即 ∫∫∫ ⎢ ∂t + ∇ ⋅ J ( r )⎥dv = 0 ⎦ D ⎣ 由于区域 D的任意性，我们有 r r r ∂ρ ( r ) + ∇ ⋅ J (r ) = 0 ∂t 上式为电荷守恒的微分 形式。 r ∂ρ 推论 ：对于恒定电流，一切 物理量不随时间而变， 因此， = 0，从而， ∇ ⋅ J = 0 ∂t 2， 安培( Ampere )定律，毕奥 − 萨伐尔( Biot − Savart )定律 一方面，电流受到磁场 的作用力 r r r d F = Id l × B 另一方面，恒定电流会 激发静磁场 r r r r r J ( x′) × r µ0 dv ′ B( x ) = 4π ∫∫∫ r3 D′ r r r r r 其中 x为场点， x ′为源点， r = x − x ′， D′为电流分布区域。
r Qr 4πε 0 r 3
r r Q r ∇×E = ∇× 3 = 0 r 4πε 0
由电场的叠加原理，对 于一般的电荷分布和静 电场，我们有 r ∇×E = 0 ( 2) 根据斯托克斯公式，对 于一般的环路 C，总有 r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫∫ ∇ × E ⋅ ds = 0
C S
( c )电荷连续分布
r r 假设电荷连续分布，在 r 点处的电荷密度为 ρ ( r )，那么在区域 D内的总电荷为 r Q = ∫∫∫ ρ ( r )dv
D
类似于前面的分析，我 们有 r r ∫∫ E ⋅ ds = Q / ε 0 =
∂D
∫∫∫ ρ ( r ) / ε 0dv
D
r
另一方面，根据高斯公 式，我们有 r r r ∫∫ E ⋅ ds = ∫∫∫ ∇ ⋅ Edv
S S
于是通过曲面 S的电流强度为
dQ = I= dt
r r r J ( r ) ⋅ ds ∫∫
S
一般地，在时间间隔 dt，通过区域表面 ∂D流进区域 D的电量为 r r r dQ = − dt ∫∫ J ( r ) ⋅ ds
∂D
如果电荷不能凭空产生 和消失，流进去的电荷 必然等于区域 D内电量的变化，即 r r ∂ρ ( r ) dQ = d ∫∫∫ ρ ( r )dv = dt ∫∫∫ dv ∂t D D r r r r ∂ρ ( r ) 于是 dv = − ∫∫ J ( r ) ⋅ ds ∫∫∫ ∂t D ∂D 上式即为电荷守恒的积 分形式。
上式表明静电场是无旋 场。
(2)式是基于对静电 场的考察而得出的。实 践表明，对于变化的电 场， (2)式不再适用。
例题 ：电荷 Q 均匀分布于半径为 a 的球体内，求空 间各点的电场强度，并 由此计算电场的散度。 解：考虑半径为 r的与电荷球同心的球面 S 。由于对称 性，在球面 S 上各点的电场必具有相 同强度，并且沿 径向，即 r r E = E ( r )e r 由高斯定理，得 r r ⎧ E ⋅ e r d s = E ( r )4πr 2 = Q / ε 0 r≥a ⎪ ∫∫ S ⎪ 4πr 3 4πr 3 Q r3 Q ⎨ r r 2 r≤a ∫∫ E ⋅ e r ds = E ( r )4πr = 3 ρ / ε 0 = 3 4πa 3 = a 3 ε 0 ⎪ ⎪S ε0 3 ⎩ 于是，有 r r r r Q r Qr Q r ⎧ ∇⋅E = ∇⋅ 3 = 0 r≥a ⎪ E = 4πr 2ε e r = 4πε r 3 4πε 0 r ⎪ 0 0 ⎨r r r r 3Q r3 Q 1 r Qr Q ⎪E = ∇⋅E = ∇⋅r = er = r≤a ⎪ 4πε 0 a 3 4πε 0 a 3 4πε 0 a 3 a 3 ε 0 4πr 2 ⎩
其次 r µ0 2 µ ⎡ r r 1⎤ 2 ∇ A= ∇ ∫∫∫ ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ = 0 r⎦ 4π 4π D′ ⎣ r r r µ0 ⎛ r ⎞ = ∫∫∫ J ( x ′)∇ ⋅ ⎜ − r 3 ⎟dv ′ 4π D′ ⎝ ⎠ r r r µ = − 0 ∫∫∫ J ( x ′ )4πδ ( r )dv ′ 4π D ′ r r r r = − µ 0 ∫∫∫ J ( x ′ )δ ( x − x ′ )dv ′ r r = − µ0 J ( x ) 综上
r r 若空间存在多个点电荷 ，那么由叠加原理，电 场为 E = ∑ E i , 于是 r r ∫∫ E ⋅ ds =
Σ
r r r r E i ⋅ ds = ∑ ∫∫ E i ⋅ ds ∫∫变换 公式，对于任意形状的 闭曲面 Σ，我们有 r r ⎧Q / ε 0 （ Q为 Σ内的总电荷） E ⋅ ds = ⎨ ∫∫ （ Σ 内没有电荷） ⎩0 Σ
r r 由于 B = ∇× A r r 因此 ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ ( ∇ × A) = 0 r r r r 2 ∇ × B = ∇ × ( ∇ × A) = ∇ ( ∇ ⋅ A) − ∇ A 首先 r µ0 µ ⎡ r r 1⎤ ∇⋅ A= ∇ ⋅ ∫∫∫ ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ = 0 4π 4π r⎦ D′ ⎣ r r µ0 1 ′ ) ⋅ ∇ ′ dv ′ J(x =− 4π ∫∫∫ r D′
(1) ( 3) ( 4)
r r 1 J ( x ′ ) ⋅ ∇ dv ′ ∫∫∫ r D′
µ =− 0 4π
=−
µ0 4π µ =− 0 4π
=0
r r ⎫ ⎧ ⎡ r r 1⎤ 1 ∫∫∫ ⎨∇′ ⋅ ⎢ J ( x′) r ⎥ − r ∇′ ⋅ J ( x′)⎬dv′ ⎣ ⎦ ⎭ D′ ⎩ r r r r 1 µ0 ⎡ r r 1⎤ 恒定电流 ∇ ′ ⋅ J ( x ′ ) = 0 ∫∫∫ ∇′ ⋅ ⎢ J ( x′) r ⎥dv′ + 4π ∫∫∫ r ∇′ ⋅ J ( x′)dv′ ⎣ ⎦ D′ D′ r r 1 r r r r 在表面 ∂D′，电流密度 J ( x ′ )处处与 ds 正交 J ( x ′ ) ⋅ ds ∫∫ r ∂D ′
ρ ( x ′ )为电荷的体密度
r
3， 高斯定理和电场的散度 ( a )单个点电荷 r 单个点电荷 Q引起的电场为 E = Q 4πε 0 r 2 r er = r Qr 。以点电荷为球心，以 R 为 4πε 0 r 3
半径做一个球面。由于 该电场与球面处处垂直 ，电场在上述球面的通 量为 r r r Q Q E ⋅ d s =| E | × 4πR 2 = × 4πR 2 = ∫∫ ε0 4πε 0 R 2 r Q r 另一方面，容易求出 ( r ≠ 0 )。 ∇⋅ 3 = 0 r 4πε 0 于是，由高斯积分变换 公式，对于任意形状的 闭曲面 Σ，我们有 r r ⎧Q / ε 0 （ Q在 Σ内） E ⋅ ds = ⎨ ∫∫ （ Q在 Σ 外） ⎩0 Σ ( b )多个点电荷
教师：欧阳世根 办公地点：理4栋－311室 email：ouyang_shigen@
参考书目： [1] 电动力学，郭硕鸿，高等教育出版社 [2] 电动力学，蔡圣善，朱耘，徐建军，高等教育出版社
第1章 电磁现象的普遍规律
§1.1，电荷和电场
1，库伦(Coulomb)定律：真空中静止的点电荷 Q作用于静止点电荷 Q′的作用力为： r 1 QQ′ r F= er 2 4πε 0 r r r r 其中er = 由Q指向Q′ r 1 ①平方反比率：现代实 验表明，如果库仑力正 比于 δ ，则 r δ = 2 + ( 2.7 ± 3.1) × 10 −16 Phys.Rev.L ett.,Vol .26, Page 721 平方反比率隐含着光子 静质量为零这样一个深 刻的物理意义。 ②两种观点。 观点一：超距作用 观点二：通过“场”传 递相互作用 r r r ′E ，其中 E = F =Q Q 4πε 0 r 2 r er 为电场强度
r r r 引理 ：设 r = x − x ′， r = ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2， r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ ，则 + ez ，∇ ′ = e x + ey + ez + ey ∇ = ex ∂z ∂x ′ ∂y ′ ∂z ′ ∂y ∂x r r r r r r r 1 1 ∇ = −∇ ′ = − 3 ∇ ⋅ 3 = −∇ ′ ⋅ 3 = 4πδ ( r ) r r r r r r ⎧∇ ⋅ B = 0 ⎪ 定理 ：对于静磁场，有 ⎨ r r ⎪∇ × B = µ 0 J ⎩ r r r r r r r µ0 µ r 1 证明： B ( x ) = J ( x ′ ) × 3 dv ′ = − 0 ∫∫∫ J ( x ′ ) × ∇ dv ′ r r 4π ∫∫∫ 4π D′ D′ r r r r ⎡ r r 1⎤ 1 ⎛ 1⎞ r r ⎛ 1⎞ r r 另方面，由于 ∇ × J ( x ′ ) = 0，所以 ∇ × ⎢ J ( x ′ ) ⎥ = ∇ × J ( x ′ ) + ⎜ ∇ ⎟ × J ( x ′ ) = ⎜ ∇ ⎟ × J ( x ′ ) r⎦ r ⎣ ⎝ r⎠ ⎝ r⎠ r r r r µ0 µ µ 1 ⎛ 1⎞ r r ⎡ r r 1⎤ ′ ) × ∇ dv ′ = 0 ∫∫∫ ⎜ ∇ ⎟ × J ( x ′ )dv ′ = 0 ∫∫∫ ∇ × ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ 于是 B ( x ) = − J(x r r⎦ 4π ∫∫∫ 4π D′ ⎝ r ⎠ 4π D′ ⎣ D′ r r 由于 ∇ 是对场点 x进行的微分，而积分是 对源点 x ′进行的，它们的顺序可 以交换，于是 r r r µ µ ⎡ r r 1⎤ ⎡ r r 1⎤ B ( x ) = 0 ∫∫∫ ∇ × ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ = 0 ∇ × ∫∫∫ ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ = ∇ × A (1) r⎦ r⎦ 4π D′ 4π ⎣ D′ ⎣ r µ0 ⎡ r r 1⎤ 其中 A= ( 2) ∫∫∫ ⎢ J ( x′ ) r ⎥ dv ′ 4π D′ ⎣ ⎦