E
Qr
4 0 r 3
.
(r a)
(1.11)
若r<a,则球面所围电荷为
4
3
r3
4 3
r3
Q
4 a3
/
3
Qr 3 a3
应用高斯定理得
E S
dS
4r
2E
Qr3
0a3
由此得，
Qr
E 40a3 .
(r a)
(1.12)
现在计算电场的散度。当r>a时E应取(1.11)式，在这个
区域 r≠0，由直接计算可得
例：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度， 并由此直接计算电场强度的散度。
解：作半径为r的球(与电荷球体同心)。由对称性，在球面上 各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当r>a时，球面 所围的总电荷为Q，由高斯定理得
E dS 4r 2E QFra Baidu bibliotek
S
0
因而，
E
Q
4 0 r 2
写成矢量式得
高斯定理是讨论闭合曲面上电场强度E的通量。在点电荷 场中，设 S 表示包围着点电荷 Q 的一个闭合面，dS 为S 上的定向面元，以外法线方向为正。
1Q
E dS S
S
4 0
r3
r dS
S
1
4
0
Qr
cos
r3
dS
1 Q cos S 4 0 r 2 dS
dS
θE
r dS Q d
S
1 QdS
1
1
E dS
r r3
0,
(r 0)
因而，
Qr
E 40 r3 0. (r a)
当r<a时E 应取(1.12)式，由直接计算得
E
Q
4 0 a3
r r3
1.电场：电荷周围的空间存在着一种特殊的物质，称为电场。 两个电荷之间的相互作用力本质上是电荷激发的电场对另一 个电荷施加作用力。
2.电场强度：我们用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义 电荷在点 x 上的电场强度 E 。
E F/q
(1.2)
由库仑定律，一个静止电荷Q所激发的电场强度为
E
Qr
4 0 r 3
第一节 电荷和电场
一、库仑定律（Coulomb’s law )
库仑定律是静电现象的基本实验定律。是描写真空
中两个静止的点电荷 Q 和 Q’ 之间相互作用力的定律。 其中 Q 受到的作用力为:
F
QQ
4 0 r 3
r
(1.1)
z
q' r
x
q
式中 r x x
x
表示q’ 到q的径矢。
o
y
x
注意: 库仑定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大
E dl 0 (1.9) L
即： LE dl S E(x) dS 0
则由面积元的任意性得 E( x) 0 (1.10)
这就证明了静电场的无旋性。实践证明，无旋性只在静电场 的情况下成立。
小结：
（1.8）和(1.10)给出了静电场的散度和旋度，它们表示电荷 激发电场以及电场内部联系的规律性，是静电场的基本规 律。它们反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从 正电荷发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通 过；在静电情形下电场没有旋涡状结构。
穿入的情况。从物理上说, 因为E是由封闭面S内、外所有电
荷激发的场强的矢量和。
讨论： a.当区域内有多个点电荷时
E S
dS
1
0
Qi
i
b.当区域内电荷连续分布时
(1.6’)
E dS 1 dV
S
0 V
(1.7)
——这就是高斯定理的积分形式。
结论：闭合面的E通量与V 外的电荷分布无关。
注意积分区域 S 和V 的对应关系。
第一章 电磁现象的普遍规律
Universal Law of Electromagnetic Phenomenon
主要内容：
本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些 假设总结出麦克斯韦方程。
本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。
主要内容： 讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程； 找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系； 引入电磁场能量、能流并讨论电磁能量的传输。
S
S 4 0
r2
Qd Q d
S 4 0
4 0 S
所以： E dS Q
S
0
如果点电荷 Q 在 S 面外，则
(1.6)
SE dS 0
需要说明的是，当封闭曲面S内的总电荷Q=0时， E dS 0 S
但不能由此得出S面上各点的场强 E 0 的结论。从数学上
说， E dS 0 是总通量为零，有可能是场线既有穿出又有 S
2.电场的散度（divergence of electrostatic field)
将高斯公式: E dS EdV 代入（1.7）式得：
S
V
EdV 1 dV
V
0 V
当积分区域无限缩小，直至只包围一点时，上式等价于：
EdV 1 dV
所以
E
(
x
)
0
(
x
)
(1.8)
这就是高斯定理的微分形式。0 它是电场的一个微分方程。
上式指出：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止
于负电荷。在没有电荷的地方，电场线是连续的。
式（1.8）还反映了电荷对电场作用的局域性质：空间某点 邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而和其他地 点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的场，而远处 的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。
四、静电场的旋度
(1.3)
3. 电场具有叠加性。即多个电 荷所激发的电场等于每个电荷 所激发的电场的矢量和。
a.电荷不连续分布时，总电场 强度是:
E Qiri
i 40ri3
(1.4)
b.电荷连续分布在某一区域内时， P点电场强度为
E
( x)r 4 0 r 3
dV
(1.5)
三、高斯定理和电场的散度
1.高斯定理（Gauss’ theorem)
要确定一个矢量场，还需要给出其旋度。
计算一个点电荷Q所激发的电场E对任一闭合回路L的 环量，由库仑定理得
E dl Q r dl
L
4 0 L r 3
设dl与r的夹角为θ，上式最终 为
E dl Q
L
4 0
dr L r2
Q d 1
4 0 L r
右边被积函数是一个全微分。 沿L回路积分为零。所以：
小和方向。有如下两种物理解释: 1. 两电荷之间的作用力是超距作用，即一个电荷把
作用力直接施加于另一电荷上； 2. 相互作用是通过电场来传递的，而不是直接的超
距作用。
结论：
a.静电时，两种描述是等价的。 b.在运动电荷时，特别是在电荷发生迅变时，实践
证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。
二、电场和电场强度 Electric Field and its intensity
