用面积法求解几何问题

如何用面积法解决平面形问题面积法是一种解决平面形问题的常用方法，通过计算形状的面积来求解各种几何问题。

本文将介绍面积法的基本原理，并通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

一、面积法的基本原理在平面几何中，面积是一个重要的概念。

面积法利用几何形状的面积性质来解决问题。

首先，我们需要熟悉各种常见几何形状的面积公式，如矩形的面积为长乘以宽，三角形的面积为底边乘以高再除以2等等。

其次，我们可以通过分割和组合的方法来求解复杂形状的面积。

二、如何用面积法解决问题下面通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

例一：矩形问题问题描述：一个矩形的长是8cm，宽是5cm，求其面积和周长。

解决思路：根据矩形的定义，我们知道矩形的面积为长乘以宽，周长为长两边加宽两边的和。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出矩形的面积和周长。

解决步骤：面积 = 长 ×宽 = 8cm × 5cm = 40cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (8cm + 5cm) = 26cm例二：三角形问题问题描述：一个底边是10cm，高是6cm的等腰三角形，求其面积。

解决思路：根据三角形的定义，我们知道三角形的面积为底边乘以高再除以2。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出三角形的面积。

解决步骤：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 = 10cm × 6cm ÷ 2 = 30cm²例三：复杂形状问题问题描述：如图所示，一个形状由一个正方形和一个等腰梯形组成，已知正方形的边长为4cm，梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求整个形状的面积。

解决思路：将形状分割为正方形和梯形两个部分，分别求解它们的面积，然后将两个面积相加即可得到整个形状的面积。

解决步骤：正方形面积 = 边长的平方 = 4cm × 4cm = 16cm²梯形面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2 = (6cm + 10cm) × 8cm ÷ 2 = 64cm²整个形状的面积 = 正方形面积 + 梯形面积 = 16cm² + 64cm² = 80cm²通过以上几个例子，我们可以看到面积法在解决平面形问题中的灵活性和简便性。

等面积法例题初二数学（原创版）目录1.等面积法的概念2.等面积法的应用3.初二数学中常见的等面积题目类型4.解决等面积题目的步骤和技巧5.例题解析正文一、等面积法的概念等面积法是一种求解几何问题的方法，主要是通过将复杂的几何问题转化为简单的面积问题，从而简化问题。

等面积法在初二数学中是一个重要的知识点，对于提高学生的几何解题能力有重要作用。

二、等面积法的应用等面积法在初二数学中的应用非常广泛，例如在求解三角形、四边形、圆等几何图形的面积时，都可以运用等面积法。

此外，等面积法还可以用于解决一些复杂的几何组合问题，如求解两个三角形面积之和等于一个矩形面积的问题等。

三、初二数学中常见的等面积题目类型初二数学中常见的等面积题目类型主要包括以下几种：1.已知两个图形的面积，求它们的形状和大小；2.已知一个图形的面积和一个边长，求其他边的长度；3.已知两个图形的边长，求它们的面积和形状；4.求解两个图形面积之和等于一个矩形面积的问题。

四、解决等面积题目的步骤和技巧解决等面积题目一般可以分为以下几个步骤：1.观察题目，找出已知条件和需要求解的问题；2.根据已知条件，运用等面积法将问题转化为面积问题；3.利用相关的几何公式，求解面积问题；4.根据求解的结果，得出结论。

在解决等面积题目时，可以运用一些技巧，如：1.利用相似三角形的面积比等于相似比的平方；2.利用两个三角形共边时，它们的面积和等于共边边上的高的比；3.利用矩形的面积等于长乘以宽。

五、例题解析例题：已知一个矩形的长为 8cm，宽为 6cm，求一个与它等面积的三角形的高。

解：根据等面积法，可知该三角形的面积等于矩形的面积，即S=8*6=48。

由于三角形的面积等于底乘以高的一半，所以可以得出：48=底*高/2，解得高=48*2/底。

由于题目没有给出三角形的底，因此需要进一步求解。

可以利用相似三角形的性质，设该三角形的底为 x，那么根据相似比的平方等于面积比，可得出：x/8=高/6，解得 x=48/5。

学会用“面积法”解证几何题楚雄育才学校 刘宪敏在初中几何课教学中，常常会遇到一些与直角形有关的证明题或计算题，在解决此类问题时，若我们能够利用“面积”这一中介来求解，往往会达到异象不到的效果，下面举几个例子来说明。

例1、在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是AB 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，求证：2242ba ab DE +=。

【分析】：1、如图（1）所示，此题的常规解法是证明Rt △ABM ∽Rt △DEA ，从而得出ADAMDE AB =，又22BM AB AM +=代入上述比例式即可得出证明结果。

2、考虑到此题有一些Rt △，因此，我们还可以这样来分析，如图（2所示），连结DM ，易证Rt △ABM ≌Rt △DCM ，由此利用“面积”来证明（∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM ），证明过程如下：证明：如图（2）所示，连结DM ∵M 是BC 的中点 ∴BM=CM∠B=∠C=900⇒Rt △ABM ≌Rt △DMCA EB CDAEDAB=AC又∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM即：a b DE AM ab ∙⨯⨯+∙=2121221∴AM •DE=ab又∵244222222b a b a BM AB AM +=+=+=∴2242ba ab DE +=.说明：在解证与矩形有关的问题时，可将其分解成几个直角三角形，从中利用“面积”来解题。

例2、在Rt △ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则Rt △ABC 的内切圆半径为： 。

解法一：（运用切线长定理） 如图（3）所示，设⊙0切AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，AE=AD=x ；BD=BF=y ，于是：x=a-R ，y=b-R ，c=x+y=a-R+b-R ，∴R=2cb a -+ ① 解法二：（用面积法）如图（4）所示，连结OA 、OB 、OC 则有：S △ABC =S △AOC +S △COB+S △BOAEC FAECF即：cR bR aR ab 21212121++=， ∴cb a abR ++=②若作进一步引申，把①与②联立即得：cb a abc b a ++=-+2 化简得：a 2+b 2=c 2（此为著名的勾股定理）。

直角三角形面积的计算方法直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角度是90度。

计算直角三角形的面积是解决许多几何问题的基础之一。

本文将介绍两种计算直角三角形面积的方法：一种是使用直角三角形的两条直角边长，另一种是使用直角三角形的斜边长和高。

方法一：使用直角三角形的两条直角边长直角三角形的两条直角边分别称为邻边和对边。

假设直角三角形的邻边长度为a，对边长度为b，那么直角三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = (1/2) * a * b这个公式的原理是，直角三角形的面积等于直角边的乘积的一半。

例如，如果直角三角形的邻边长度为4，对边长度为3，那么它的面积可以计算为：S = (1/2) * 4 * 3 = 6所以该直角三角形的面积为6平方单位。

方法二：使用直角三角形的斜边长和高直角三角形的斜边即为直角三角形的斜边长。

假设直角三角形的斜边长度为c，高为h，那么直角三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = (1/2) * c * h这个公式的原理是，直角三角形的面积等于斜边长乘以高的一半。

例如，如果直角三角形的斜边长度为5，高为2，那么它的面积可以计算为：S = (1/2) * 5 * 2 = 5所以该直角三角形的面积为5平方单位。

通过上述两种方法，我们可以计算直角三角形的面积。

需要注意的是，计算面积时要确保所使用的边长或高是与直角三角形对应的边长或高。

除了计算直角三角形的面积，我们还可以利用直角三角形的面积来解决其他几何问题。

例如，我们可以利用直角三角形面积的计算方法来求解直角三角形的边长。

假设已知直角三角形的面积S和其中一条直角边的长度a，我们可以使用以下公式来计算另一条直角边的长度b：b = (2 * S) / a同样地，如果我们已知直角三角形的面积S和斜边的长度c，我们可以使用以下公式来计算高h的长度：h = (2 * S) / c这些公式可以帮助我们在解决几何问题时更方便地计算直角三角形的边长和高。

斯库顿定理的证明方法面积法斯库顿定理是一个与三角形有关的数学定理，它在几何学和三角学中具有重要的应用。

它是根据它的发现者约翰·斯库顿的名字命名的。

斯库顿定理表明，一个三角形的面积可以通过它的三条边的长度来计算得到。

在这篇文章中，我将详细介绍斯库顿定理的证明方法之一——面积法，并探讨它在几何学中的重要性。

1. 什么是斯库顿定理？斯库顿定理是一个关于三角形面积的数学定理。

它可以被描述为：一个三角形的面积等于以它的三条边为底的三角形的高的乘积的一半。

这可以用如下公式来表示：面积 = （底）× （高） / 2其中，底是指三角形的一条边的长度，高是从这条边到对应顶点的垂直距离。

2. 斯库顿定理的证明方法之一：面积法面积法是斯库顿定理的一种常见的证明方法。

它基于三角形的面积公式，即面积等于以底为底的三角形的高的乘积的一半。

下面我将通过一个具体的例子来演示如何使用面积法证明斯库顿定理。

假设我们有一个三角形ABC，它的三条边分别为AB、BC和CA，对应的高分别为h1、h2和h3。

我们可以将三角形ABC划分为三个小三角形：以AB为底的三角形、以BC为底的三角形和以CA为底的三角形。

根据面积公式，这三个小三角形的面积分别为：面积1 = （AB）× （h1） / 2面积2 = （BC）× （h2） / 2面积3 = （CA）× （h3） / 2而整个三角形ABC的面积可以表示为这三个小三角形面积的和，即：面积ABC = 面积1 + 面积2 + 面积3= （AB×h1 + BC×h2 + CA×h3） / 2根据三角形高的性质，我们可以得出结论：h1 = 2×（面积ABC / AB）h2 = 2×（面积ABC / BC）h3 = 2×（面积ABC / CA）将这些结果代入面积公式中，我们可以得到：面积ABC = （AB×（2×面积ABC / AB）+ BC×（2×面积ABC / BC）+ CA×（2×面积ABC / CA）） / 2化简上述表达式，可以得到斯库顿定理的形式：面积ABC = （AB×BC×CA） / 4R其中，R表示三角形ABC的外接圆半径。

初中几何模型与解法：等面积法教学目标1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积知识导图知识梳理方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：(1)面积计算公式(2)对于公式⑤的证明（如右图）：S= S△ABD+S△CBD===* (3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.+= 又∵ ABC = AC AB∴该直角三角形斜边AB 上的高CD= 导学一 ： 等面积法在直角三角形的应用知识点讲解 1在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。

如图：基本公式: ①勾股定理:②等面积法：证明②：即： ,例题1. 如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB 上的高CD ?【参考答案】=2. 如图，在Rt ABC (BC AC ) ,∠C=90°，当斜边AB =10cm ，斜边AB 上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC 和BC 的长度?【参考答案】解：设AC =x, BC =y, ( y由勾股定理：= =100 又∵ ABC = ACAB ∴ x y=48 再由. 得到解得： 答：AC= 6，BC = 8同步练习1.如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24, BC=7，作 ABC 的三个内角的角平分线交于点P，再过点P 依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E, 作PF⊥AC于F .(1)求证： PD = PE = PF ;(2)求出： PD的值.【参考答案】（1）证明∵AP 平分∠CAB，且PD ⊥ AB,PF ⊥ AC∴PD=PF 同理，PD =PE综上，PD=PE=PF（2）解：C 、 =5 设： PD=PE=PF=dABC = AC= 84 sp; ABC&en= APB BPC CPA84 = + +d =3, PD=32. 如图，△ABC的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）B 、D 、A 、【参考答案】C解：∵S △ABC ＝3×4− ×2×3− ×2×1− ×2×4＝4∵BC＝＝ ，∴BC边长的高＝＝ 故选：C ．导学二 ： 等面积法在等腰三角形的应用知识点讲解 1在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来 探索出线段之间的数量关系！例题1.如图,在△ABC中, AB=AC, AC 边上的高BD=10cm.（1）如图1,求AB 边上高CE 的长；（2）如图2,若点P 为BC 边上任意一点, PM⊥AB 于点M, PN⊥AC 于点N,求PM+PN 的值；（3）如图3,若点P 为BC 延长线上任意一点,PM⊥AB 于M,PN⊥AC 于点N,在①PM+PN ；②PM PN 中有一个是定值,判断出来并求值.【参考答案】(1)由S△ABC= ×AB×CE = ×AC×BD∵AB=AC, BD=10 ∴CE=10(2)如图，连接AP由S△ABP+S△ACP=S△ABC×AB ×PM + ×AC ×PD = ×AC×BD∵AB=AC， BD=10∴PM +PN =10(3) 如图，连接APPM−PN 是定值理由如下：连接AP,由S△ABP−S△ACP= S△ABC×AB ×PM −× AC ×PD = ×AC×BD∵AB =AC ，BD =10∴PM−PN =102.已知等边△ABC和内部一点P，设点P 到△ABC三边的AB、 BC 、 AC 的距离分别是h1，h2，h3，△ABC 的高为h，问h1、h2、h3 与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由。