巧用面积法 妙解几何题

利用面积解决几何问题关于面积，我们并不感到陌生，尤其是面积的计算，证明面积的相等时我们接触最多的。

但利用面积用来解决其他问题往往未能引起大家重视，根据我多年的教学经验总结，有些问题利用面积来解决，能起到意想不到的效果，下面我从三个方面来阐述：一、 利用同一个图形的面积的不同表达式，为计算、证明提供方法和技巧。

例1 已知△ABC 中三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为h a =4，h b =5，h c =3．求a ∶b ∶c ．分析：一个三角形的面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比． 解： 设△ABC 的面积为S ，则所以例2 已知：如图，矩形ABCD 中，E 为AB 的中点， DF ⊥CE 垂足为F ，若AB=4，AD=8，求DF 的长。

分析：本题利用面积解决很方便。

连接DE ，易得：CE=22BC BE =217S △CDE ==21CD ×AD =16 再由S △CDE 另一种形式：S △CDE=21CE ×D F 可得，16=21×217×DF ∴DF=171716例3 已知；菱形的边长为a ，两条对角线长为m ，n 且a 2=mn 。

求菱形中的锐角度数。

分析：如图，菱形ABCD 中，AC=m ，BD=n ，AB=a ，大多数人看到此题往往无从下手，尤其是a 2=mn 不知如何去用，其实只要我们抓住菱形面积的两种不同表达方式来解决此问题就相当简单。

作菱形的一条高AE ，并设AE=h ，则有21mn=ah 又因为a 2=mn ， ∴h=21a 因此∠ABC=30°二、利用图形面积的“分割法”，即一个图形的面积等于它的各部分面积之和，给计算，证明提供方法和技巧。

例4：求证：等腰三角形底边上的任意一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。

已知：△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，BD ⊥AC 垂足D 求证：BD=PE+PF分析：我们知道，本题利用截长法或补短法都可以做，但都没有利用面积来解决更简洁，更方便。

巧用面积法解几何题
用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效，请看以下几例。

一. 利用面积法求线段的长
例1. 如图1，AD是的斜边BC上的高，且，AB＝45，求AD。

解：由勾股定理得：
例2. 如图2，矩形ABCD中AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，，E 是垂足，求证：
证明：连结DM，由勾股定理得：
二. 利用面积法证线段等式
例3. 如图3，AD是的角平分线，求证：
证明：过点D作于E，于F，过点A作于H 由，则有
即
例4. 已知一直角三角形两直角边为a、b，斜边c上的高为h，求证：
证明：
由三角形面积关系有
即
整理后，即得
三. 利用面积法证线段不等式
例5. 如图4，在中已知，BD、CE分别为AC、AB边上的高，求证：
证明：
，即
，即
四. 利用面积法求线段的比
例6. 如图5，已知在中，BD：CD＝2：1，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F，求AF：FC
解：连结CE，设
由AE＝DE，可知
由BD：CD＝2：1，可知
由AE＝DE，
设，则
（1）
（2）
由（1）（2）得：
代入（2）中，得。

智汇好题目转化思想是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎、变换、分解、整合、表征、化简等，转化为已知的、熟悉的、简单的问题，使问题能够顺利解决的一种数学思想。

转化思想的教学常渗透在“图形与几何”领域内容的教学中，但相关题目往往比较简单，对转化思想的运用浮于表面，导致学生对转化思想的理解不够深入。

基于此，笔者设计了一组有关“面积”的题目，引导学生巧借转化方法解决数学与生活中的实际问题，积累图形与几何的学习经验，感受转化思想的巧妙，为其日后运用转化思想打好基础。

【题目】第1题 哪块黑板的面积大教室的两块黑板上分别设计了一些艺术字装饰（如图1），每个艺术字的方块面积都相同，请问，哪块黑板的面积大？把你的思考用画或写的方法表达清楚。

数习学学真爱好我玩学数学使我快乐① ②图1第2题 画出分割图形的过程小傅不知道怎么求这个不规则图形（如图2）的面积，于是打电话求助了几个同学，同学们在电话里只告诉了他算式和答案。

小傅想弄清楚各种算法分别是怎样列式的。

请大家帮帮他，根据给出的算式，画出分割图形的过程，再说说你是怎样想的。

（1）3×5+2×4；（2）（4+3）×2+（5-2）×3；（3）（3+4）×5-（5-2）×4；（4）2×4+3×（5-2）+3×2。

3542图2第3题 铺地砖小林家储藏室的地面是一个边长为2.4米的巧借转化，妙解问题*——“面积”题目一组陈博文 林怡颖*本文系南京市教育科学“十四五”规划2021年度教师教育综合改革研究专项课题“知行合一：小学生数学实践智慧的培育研究”（编号：LJG\2021\09）的阶段性研究成果。

76智慧教学 2023年12月77The Horizon of Education正方形，他想在暑假时给储藏室铺上地砖，于是购买了长方形的地砖，但之后觉得正方形的地砖更好看，便准备把长方形的地砖锯成正方形。

如何用面积法解决平面形问题面积法是一种解决平面形问题的常用方法，通过计算形状的面积来求解各种几何问题。

本文将介绍面积法的基本原理，并通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

一、面积法的基本原理在平面几何中，面积是一个重要的概念。

面积法利用几何形状的面积性质来解决问题。

首先，我们需要熟悉各种常见几何形状的面积公式，如矩形的面积为长乘以宽，三角形的面积为底边乘以高再除以2等等。

其次，我们可以通过分割和组合的方法来求解复杂形状的面积。

二、如何用面积法解决问题下面通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

例一：矩形问题问题描述：一个矩形的长是8cm，宽是5cm，求其面积和周长。

解决思路：根据矩形的定义，我们知道矩形的面积为长乘以宽，周长为长两边加宽两边的和。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出矩形的面积和周长。

解决步骤：面积 = 长 ×宽 = 8cm × 5cm = 40cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (8cm + 5cm) = 26cm例二：三角形问题问题描述：一个底边是10cm，高是6cm的等腰三角形，求其面积。

解决思路：根据三角形的定义，我们知道三角形的面积为底边乘以高再除以2。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出三角形的面积。

解决步骤：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 = 10cm × 6cm ÷ 2 = 30cm²例三：复杂形状问题问题描述：如图所示，一个形状由一个正方形和一个等腰梯形组成，已知正方形的边长为4cm，梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求整个形状的面积。

解决思路：将形状分割为正方形和梯形两个部分，分别求解它们的面积，然后将两个面积相加即可得到整个形状的面积。

解决步骤：正方形面积 = 边长的平方 = 4cm × 4cm = 16cm²梯形面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2 = (6cm + 10cm) × 8cm ÷ 2 = 64cm²整个形状的面积 = 正方形面积 + 梯形面积 = 16cm² + 64cm² = 80cm²通过以上几个例子，我们可以看到面积法在解决平面形问题中的灵活性和简便性。

巧用面积法解决问题
作者：刘国成
来源：《初中生世界·九年级》2016年第06期
面积法解决几何问题是一种常用的重要方法，巧用面积法解题有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.现就几种类型举例说明，供同学们参考.
一、巧用面积法求线段长
例1 如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8.现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
.
【点评】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定.考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力.在解题中，如遇有多条垂线就可联想到用三角形的面积，巧妙地将三角形的面积分解成几个三角形面积的和或差解题较为简便.
面积法不仅可以巧妙地求出线段的长、证明线段相等、证明线段比相等、求线段和差，而且可以从一点到一个角的两边的距离相等，证明这个点在角平分线上，希望同学们加以体会，细心研究，灵活应用面积法解题.。

初三数学解题秘籍——无处不在的面积法同样的题目，不同的解答方法。

让我们再一次面对熟悉的题目：前面我们用了三种方法解答过此题：第一种是构造正方形的方法：初三数学解题秘籍——轴对称也是一种作辅助线的方法第二种是构造辅助圆的方法：初三数学解题秘籍——无中生有之辅助圆第三种是构造母子三角形的方法：初三数学解题秘籍——母子三角形与射影定理今天我们将和大家一起领略面积法在此题中的运用。

我们在原图的基础上再添加一条辅助线，作BE⊥AC于E，如图：在上面的解法中，我们用两种不同的底和高来求同一个三角形的面积，从而建立等式，求出结论，这种方法就是经典的面积法。

面积法是一种非常重要的方法，在解题中多有运用。

好啦！今天的分享就到这里，我们明天继续！往期推荐初中数学解题秘籍——旋转的魅力（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——旋转与点的坐标（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——表针的旋转（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——二次函数与刹车距离（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——一元二次方程与传染病问题（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——求二次函数解析式的无敌妙招（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——隐藏的秘密初中数学解题秘籍——等量代换用得好，几何解题无烦恼初中数学解题秘籍——无图有偶之“有加必有减”初中数学解题秘籍——只是调整了一下顺序，难度立马降低了初中数学解题秘籍——与圆有关的最值初中数学解题秘籍——经典切线长，方法谁最强初中数学解题秘籍——两个公式，一个秘密初中数学解题秘籍——心中有弧思路宽初三数学解题秘籍——牵线搭桥的圆初三数学解题秘籍——千古不易还是“易”（弧长与扇形的面积）初三数学解题秘籍——“造”的艺术（网格构造法）初三数学解题秘籍——角含半角必旋转初三数学解题秘籍——轴对称也是一种作辅助线的方法初三数学解题秘籍——无中生有之辅助圆初三数学解题秘籍——一类经典习题的两种经典解法（抛物线与三角形的最大面积）初三数学解题秘籍——母子三角形与射影定理。

面积法解题例说面积法是一种有效的解决几何问题的方法。

学习面积法可以帮助我们更好地解决几何问题，其中许多问题的答案都可以通过面积法来确定。

面积法是一种从几何图形的表面积计算其相关参数的方法。

通过面积法，我们可以从几何图形的表面积计算出它的周长、角度等重要参数。

有时，我们可以利用从表面积得到的重要参数来解决更复杂的几何问题。

面积法有许多应用，比如计算无边形的表面积、三角形的表面积和周长、圆形的表面积和周长等。

这些问题的答案可以通过面积法来推导或确定。

例如，求解三角形面积和周长。

首先，我们需要计算出三角形的底边长度。

然后，计算三角形的高，即两个相邻边的中线的距离。

最后，根据三角形的面积公式，可以计算出三角形的表面积。

在计算三角形的周长时，可以把它的三条边加起来，就能得到三角形的周长。

下面又一个类似的例子：求解圆形的表面积和周长。

这里，我们最先需要得到圆形的半径。

然后，根据圆形的面积公式，可以求出圆形的表面积，如πr2。

最后，用圆形的周长公式，2πr，可以计算出圆形的周长。

以上就是面积法的一些实际应用，可以帮助我们轻松解决几何问题。

除此之外，面积法还可以用于解决更复杂的几何问题，比如三角形、矩形等更为复杂的图形。

面积法也可以用于解决其他问题，比如求解图形所包含的物体的体积、求解图形的质心等。

面积法可以帮助我们更快地解决许多工程问题，比如绘制平面图形等。

总结而言，面积法是一种有效的解决几何问题的方法，可以有效地计算出几何图形的表面积、周长、角度等。

同时，面积法还可以用于求解更为复杂的几何图形及其他问题，比如求解图形所包含物体的体积、求解图形的质心等，从而为我们解决许多工程问题提供了便利。

巧用面积法解几何题1、三角形的面积:如图一个三角形的底为a ，高为h ，则面积为S=__________2、平行四边形的面积为___________; 矩形的面积为_____________；3、菱形的面积： _________________ 一. 利用面积法求线段的长（求三角形的高）例题1：如图1，AD 是Rt ABC ∆的斜边BC 上的高，且12=AC ，AB ＝5，求AD 的长。

AB D C图1练习：1、如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，BE ⊥AC 于点E ，求BE 的长。

2、如图，在三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=4，AE 和BD 分别是BC 边与AC 边上的高，求BD 的长。

3、如图，在等腰三角形△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，求AC 边上的高BD 的长。

4. 如图，在等腰直角三角形△ABE 中，∠B=90°，直角边AB=1，EC 是∠AEB 的角平分线，CD ⊥AE 于点D ，求CD 的长。

CA5、如图，已知菱形ABCD 的边长为13cm ，对角线AC 长为10cm ，AE ⊥BC 于点E ，求AE 的长。

6、 如图，AD 是△ABC 的角的平分线。

求证： 。

二、用面积法证线段相等相关知识点： 三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分例题．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。

例1. 已知：如图1，AD 是△ABC 的中线，CF ⊥AD 于F ，BE ⊥AD 交AD 的延长线于E 。

求证：CF=BE 。

三、面积法求线段和1、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC与BD相交于点O，点P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F ，求PE+PF的值。

2、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是BC边上的一个动点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，试证明：无论点D在BC上的任何位置，DE+DF的值都不变。