用面积法求解几何问题

面积法在几何解题中的应用
面积法不但可探索各种图形面积的等量关系，而且还可求解某些线段的长度、证明两
角相等以及比例式等多种类型的题目．下面举例加以说明，
一、利用面积法求解垂线段的长度
例1 如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝2，则DE＋DF＝_______．
解连结AD，由等边三角形的面积公式，得
二、利用面积法证明两角相等
例2 如图2，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE．连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连结PC．
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
1
(3)求证：∠APC＝∠BPC．
三、利用面积法得到线段成比例
例3 如图3，在△ABC中．CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于_______．
2
四、利用面积法证明两线平行
例4 如图4(1)，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
∴四边形CGHD为平行四边形，
∴AB∥CD．
利用上述预备知识，我们来证明以下的性质．
例5 如图5，点M、N在反比例函数y＝k
x
（k>0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，
3。

如何用面积法解决平面形问题面积法是一种解决平面形问题的常用方法，通过计算形状的面积来求解各种几何问题。

本文将介绍面积法的基本原理，并通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

一、面积法的基本原理在平面几何中，面积是一个重要的概念。

面积法利用几何形状的面积性质来解决问题。

首先，我们需要熟悉各种常见几何形状的面积公式，如矩形的面积为长乘以宽，三角形的面积为底边乘以高再除以2等等。

其次，我们可以通过分割和组合的方法来求解复杂形状的面积。

二、如何用面积法解决问题下面通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

例一：矩形问题问题描述：一个矩形的长是8cm，宽是5cm，求其面积和周长。

解决思路：根据矩形的定义，我们知道矩形的面积为长乘以宽，周长为长两边加宽两边的和。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出矩形的面积和周长。

解决步骤：面积 = 长 ×宽 = 8cm × 5cm = 40cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (8cm + 5cm) = 26cm例二：三角形问题问题描述：一个底边是10cm，高是6cm的等腰三角形，求其面积。

解决思路：根据三角形的定义，我们知道三角形的面积为底边乘以高再除以2。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出三角形的面积。

解决步骤：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 = 10cm × 6cm ÷ 2 = 30cm²例三：复杂形状问题问题描述：如图所示，一个形状由一个正方形和一个等腰梯形组成，已知正方形的边长为4cm，梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求整个形状的面积。

解决思路：将形状分割为正方形和梯形两个部分，分别求解它们的面积，然后将两个面积相加即可得到整个形状的面积。

解决步骤：正方形面积 = 边长的平方 = 4cm × 4cm = 16cm²梯形面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2 = (6cm + 10cm) × 8cm ÷ 2 = 64cm²整个形状的面积 = 正方形面积 + 梯形面积 = 16cm² + 64cm² = 80cm²通过以上几个例子，我们可以看到面积法在解决平面形问题中的灵活性和简便性。

人教版 初中解决几何问题有很多方法，在这些方法中很容易被大家忽略的是面积法. 面积法既能解决题目中直接涉及面积的问题，也可解决一些题目中不涉及面积的问题. 在平时的学习、解题过程中，如果有意识的使用面积法.，可以使有些几何图形性质的证明、几何问题的解决等起到事半功倍的作用.对有些几何题，如果单纯用图形的几何性质、全等三角形或相似三角形等知识来解答，会使计算或证明过程很复杂，而用面积法却可以轻松得到解决.下面举例说明.例1 如图1，E 、F 分别为□ABCD 的边CD 、AD 上的点，且AE=CF ，设AE 、CF 交于P ，求证：BP 平分∠APC .证明 连BE 、BF ，∵AE=CF ，∴ 三角形ABE 的面积等于三角形FBC 的面积即ABE FBC S S ∆∆=∴ 点B 到AE 、FC 的距离相等.即点B 到∠APC 的两边P A 、PC 的距离相等，∴ BP 平分∠APC .例2 如图2，已知：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线.求证：AB BD AC CD=. 分析 由于AD 是∠A 的平分线，且在△ABD 与△ADC 中，BD 、DC 边上的高相等，因此可利用三角形面积公式来证明.证明 设△ABC 中BC 边上的高为h ，则12ABD S BD h ∆=⋅， 12ACD S CD h ∆=⋅. 又 过D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则12ABD S AB DE ∆=⋅， 12ACD S AC DF ∆=⋅. 于是 11221122ABD ADC BD h AB DE S S CD h AC DF ∆∆⋅⋅==⋅⋅. ∵ ∠1=∠2， ∴ DE =DF . 故 AB BD AC CD=. .1. 例3 如图3，P 为△ABC 内任意一点，连AP 、BP 、CP 并分别延长交对边于D 、E 、F ，求证：1PD PE PF AD BE CF++=. 分析 本题应用了线段的比转化为面积的比来解决.证明 设P 到BC 、CA 、AB 三边的距离分别为x y z 、、，三边上的高为a b c h h h 、、.显然有BPC a ABC S PD x AD h S ∆∆==， APC b ABCS PE y BE h S ∆∆==， APB c ABCS PF z FC h S ∆∆== 三式相加得1PD PE PF AD BE CF++=. 例4 如图4，矩形ABCD 中，,,AB a BC b ==M 是BC 的中点，DE AM ⊥ 于E . 求证：224DE a b =+证明 连DM ，∵ M 是BC 的中点， ∴1=22AMD ABCD ab S S ∆=矩形，12AMD S AM DE ∆=⋅ ∴ AM DE ab ⋅=又22142AM a b =+ ∴ 224DE a b=+ 例 5 如图5，E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、CD 上，若3,4,5,CEF ABE ADF S S S ∆∆∆===则AEF S ∆= .解析 连AC ，设ACF S x ∆=，ACE S y ∆=. 则45y x +=+ ∴ 1y x =+ ①又 5,3x CD y AB x CF CF +==， ∴ 53x y x += ② 由①、②联立方程组 解得 5, 6.x y ==∴ 35638.AEF S x y ∆=+-=+-=例5 如图6，梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O . 设梯 .2. 形ABCD 的面积为S ，△AOD 的面积为1S ，△AOD 的面积为2S ，△AOD 的面积为3S 12S S 、230x Sx S +=的两根.分析 利用面积之比可以转化为线段之比的办法，可以解决这一问题. 证明 ∵ 1233,.S S DO OC S OB S AO== ∴1223.S S DO OC S OB AO⋅⋅=⋅ ∵//AD BC ， ∴DO AO OB OC =. ∴12231S S S ⋅= ,123.S S S = ① 又∵ 1232S S S S =++ 12122S S S S =++212()S S =，∴12S S S = ② 12S S 、230x Sx S +=的两根.以上几个例子，若用其它方法解答，其过程要繁琐得多.像这样的问题还很多，如果在学习过程中有意采用面积法，既能提高学习、解题效率，又能提高分析问题、解决问题的能力，实现解题能力的全面提高..3.。

学会用“面积法”解证几何题楚雄育才学校 刘宪敏在初中几何课教学中，常常会遇到一些与直角形有关的证明题或计算题，在解决此类问题时，若我们能够利用“面积”这一中介来求解，往往会达到异象不到的效果，下面举几个例子来说明。

例1、在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是AB 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，求证：2242ba ab DE +=。

【分析】：1、如图（1）所示，此题的常规解法是证明Rt △ABM ∽Rt △DEA ，从而得出ADAMDE AB =，又22BM AB AM +=代入上述比例式即可得出证明结果。

2、考虑到此题有一些Rt △，因此，我们还可以这样来分析，如图（2所示），连结DM ，易证Rt △ABM ≌Rt △DCM ，由此利用“面积”来证明（∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM ），证明过程如下：证明：如图（2）所示，连结DM ∵M 是BC 的中点 ∴BM=CM∠B=∠C=900⇒Rt △ABM ≌Rt △DMCA EB CDAEDAB=AC又∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM即：a b DE AM ab ∙⨯⨯+∙=2121221∴AM •DE=ab又∵244222222b a b a BM AB AM +=+=+=∴2242ba ab DE +=.说明：在解证与矩形有关的问题时，可将其分解成几个直角三角形，从中利用“面积”来解题。

例2、在Rt △ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则Rt △ABC 的内切圆半径为： 。

解法一：（运用切线长定理） 如图（3）所示，设⊙0切AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，AE=AD=x ；BD=BF=y ，于是：x=a-R ，y=b-R ，c=x+y=a-R+b-R ，∴R=2cb a -+ ① 解法二：（用面积法）如图（4）所示，连结OA 、OB 、OC 则有：S △ABC =S △AOC +S △COB+S △BOAEC FAECF即：cR bR aR ab 21212121++=， ∴cb a abR ++=②若作进一步引申，把①与②联立即得：cb a abc b a ++=-+2 化简得：a 2+b 2=c 2（此为著名的勾股定理）。

斯库顿定理的证明方法面积法斯库顿定理是一个与三角形有关的数学定理，它在几何学和三角学中具有重要的应用。

它是根据它的发现者约翰·斯库顿的名字命名的。

斯库顿定理表明，一个三角形的面积可以通过它的三条边的长度来计算得到。

在这篇文章中，我将详细介绍斯库顿定理的证明方法之一——面积法，并探讨它在几何学中的重要性。

1. 什么是斯库顿定理？斯库顿定理是一个关于三角形面积的数学定理。

它可以被描述为：一个三角形的面积等于以它的三条边为底的三角形的高的乘积的一半。

这可以用如下公式来表示：面积 = （底）× （高） / 2其中，底是指三角形的一条边的长度，高是从这条边到对应顶点的垂直距离。

2. 斯库顿定理的证明方法之一：面积法面积法是斯库顿定理的一种常见的证明方法。

它基于三角形的面积公式，即面积等于以底为底的三角形的高的乘积的一半。

下面我将通过一个具体的例子来演示如何使用面积法证明斯库顿定理。

假设我们有一个三角形ABC，它的三条边分别为AB、BC和CA，对应的高分别为h1、h2和h3。

我们可以将三角形ABC划分为三个小三角形：以AB为底的三角形、以BC为底的三角形和以CA为底的三角形。

根据面积公式，这三个小三角形的面积分别为：面积1 = （AB）× （h1） / 2面积2 = （BC）× （h2） / 2面积3 = （CA）× （h3） / 2而整个三角形ABC的面积可以表示为这三个小三角形面积的和，即：面积ABC = 面积1 + 面积2 + 面积3= （AB×h1 + BC×h2 + CA×h3） / 2根据三角形高的性质，我们可以得出结论：h1 = 2×（面积ABC / AB）h2 = 2×（面积ABC / BC）h3 = 2×（面积ABC / CA）将这些结果代入面积公式中，我们可以得到：面积ABC = （AB×（2×面积ABC / AB）+ BC×（2×面积ABC / BC）+ CA×（2×面积ABC / CA）） / 2化简上述表达式，可以得到斯库顿定理的形式：面积ABC = （AB×BC×CA） / 4R其中，R表示三角形ABC的外接圆半径。

初中几何模型与解法：等面积法教学目标1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积知识导图知识梳理方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：(1)面积计算公式(2)对于公式⑤的证明（如右图）：S= S△ABD+S△CBD===* (3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.+= 又∵ ABC = AC AB∴该直角三角形斜边AB 上的高CD= 导学一 ： 等面积法在直角三角形的应用知识点讲解 1在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。

如图：基本公式: ①勾股定理:②等面积法：证明②：即： ,例题1. 如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB 上的高CD ?【参考答案】=2. 如图，在Rt ABC (BC AC ) ,∠C=90°，当斜边AB =10cm ，斜边AB 上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC 和BC 的长度?【参考答案】解：设AC =x, BC =y, ( y由勾股定理：= =100 又∵ ABC = ACAB ∴ x y=48 再由. 得到解得： 答：AC= 6，BC = 8同步练习1.如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24, BC=7，作 ABC 的三个内角的角平分线交于点P，再过点P 依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E, 作PF⊥AC于F .(1)求证： PD = PE = PF ;(2)求出： PD的值.【参考答案】（1）证明∵AP 平分∠CAB，且PD ⊥ AB,PF ⊥ AC∴PD=PF 同理，PD =PE综上，PD=PE=PF（2）解：C 、 =5 设： PD=PE=PF=dABC = AC= 84 sp; ABC&en= APB BPC CPA84 = + +d =3, PD=32. 如图，△ABC的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）B 、D 、A 、【参考答案】C解：∵S △ABC ＝3×4− ×2×3− ×2×1− ×2×4＝4∵BC＝＝ ，∴BC边长的高＝＝ 故选：C ．导学二 ： 等面积法在等腰三角形的应用知识点讲解 1在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来 探索出线段之间的数量关系！例题1.如图,在△ABC中, AB=AC, AC 边上的高BD=10cm.（1）如图1,求AB 边上高CE 的长；（2）如图2,若点P 为BC 边上任意一点, PM⊥AB 于点M, PN⊥AC 于点N,求PM+PN 的值；（3）如图3,若点P 为BC 延长线上任意一点,PM⊥AB 于M,PN⊥AC 于点N,在①PM+PN ；②PM PN 中有一个是定值,判断出来并求值.【参考答案】(1)由S△ABC= ×AB×CE = ×AC×BD∵AB=AC, BD=10 ∴CE=10(2)如图，连接AP由S△ABP+S△ACP=S△ABC×AB ×PM + ×AC ×PD = ×AC×BD∵AB=AC， BD=10∴PM +PN =10(3) 如图，连接APPM−PN 是定值理由如下：连接AP,由S△ABP−S△ACP= S△ABC×AB ×PM −× AC ×PD = ×AC×BD∵AB =AC ，BD =10∴PM−PN =102.已知等边△ABC和内部一点P，设点P 到△ABC三边的AB、 BC 、 AC 的距离分别是h1，h2，h3，△ABC 的高为h，问h1、h2、h3 与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由。