北师大版八年级数学下基础知识练习

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第5节直角三角形的性质与判定例1：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，∴2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，故选：A．练习：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A﹣∠B＝50°，∴2∠A＝140°，∴∠A＝70°，故选：B．作业：1．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，∴x+3x＝90，解得x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故选：A．例2：在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，故选：C．练习：在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；③由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C得到：5∠C＝180°，则∠C＝36°，则∠A ＝∠B＝72°＜90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；综上所述，是直角三角形的是①④，共2个．故选：B．作业：2. 在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B＝，∠C＝，则x++＝180°，解得x＝，∴∠A＝，，，∴△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，故选：B．例3：在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18练习：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（）A．175B．600C．25D．625解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，则S＝25+400＝625，故选：D．作业：3. 已知△ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则△ABC的面积为（）A．15cm2B．30cm2C．45cm2D．60cm2解：∵a+b＝17，∴（a+b）2＝289，∴2ab＝289﹣（a2+b2）＝289﹣c2＝289﹣169＝120∴ab＝30，故选：B．例4：如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．练习：如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，∴BD＝＝＝6，∵BC＝8，CD＝2，∴62+（2）2＝82，∴△BDC是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC．作业：4. 如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由．解：（1）∵∠A＝90°，∴BC＝＝＝15；（2）△BCD是直角三角形，理由：∵BC2＝152＝225，BD2＝82＝64，CD2＝172＝289，∴BC2+BD2＝CD2＝289，∴△BCD是直角三角形．例5：如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．练习：如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．（1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形；（2）求△ACD中AD边上的高．解：（1）证明：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵CD＝12，AD＝13，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，则S△ACD＝AD×CH＝AC×CD，∴×13×CH＝×5×12，∴CH＝．作业：5.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求BC边上的高．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BC2＝12+82＝65，AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．（2）设BC边上的高为h．则有•AC•AB＝•BC•h，∵AC＝，AB＝2，BC＝，∴h＝．例6：写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题．该逆命题是命题（填“真”或“假”）．解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；假练习：“两直线平行内错角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，∴其逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，是真命题；故答案为：真．作业：6．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是，该逆命题是命题．（“真”、“假”）．解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．。

北师大版八年级下册数学课本答案参考第一章：有理数1. 基础知识有理数是整数和分数的统称，它包括正数、负数和零。

有理数的加、减、乘、除运算规则和整数的运算规则相同。

2. 课后练习答案1) 解方程2x - 1 = 7得 x = 4。

2) 有理数的加法运算：(-3) + (-5) = -8。

3) 约分分数$\frac{8}{12}$得到$\frac{2}{3}$。

4) 相反数的性质：若$a$是有理数，那么$-(-a) = a$。

5) 解方程$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，得到$x =\frac{2}{3}$。

6) 有理数的乘法运算：$(-\frac{3}{4}) \times (\frac{8}{9}) = -\frac{2}{3}$。

7) 加法交换律：若$a$和$b$是有理数，则$a + b = b + a$。

8) 解方程$\frac{2}{3}x + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}$，得到$x = -\frac{5}{2}$。

9) 解方程$-0.4x - 0.1 = -0.3$，得到$x = 1$。

10) 解方程$2x - 3 = -5x + 2$，得到$x = \frac{5}{7}$。

第二章：代数式与变量1. 基础知识代数式是由常数、变量和运算符号组成的表达式，例如$x + y$就是一个代数式。

变量是代表数的符号，可以代表不同的数值。

在代数式中，变量参与运算，可以得到具体的数值。

2. 课后练习答案1) 代数式$3x^2 - 2x + 5y$的系数是3、-2、5。

2) 代数式$7x - 3y$的和是$8x - y$。

3) 代数式$(3a + 4b)(2a - 5b)$展开后为$6a^2 - 7ab - 20b^2$。

4) 代数式$2x^2 + 3xy - 4y^2$的最高次项是$2x^2$。

5) 代数式$6a - (2b - 3a)$化简得$9a - 2b$。

第一章三角形的证明一、单选题1．已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为：（）A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°2．等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是()A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm 3．如图所示，V ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15︒，则∠2的度数为（）A．15︒B．30°C．30°D．60︒4．下列各组线段能构成直角三角形的是（）A．1,2,3B．7,12,13C．5,8,10D．15,20,255．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．76．如图，在V ABC中，∠A=90︒,∠C=30︒,PQ垂直平分BC，与AC交于点P,下列结论正确的是（）． ∠ △°A ． PC < 2P AB ． PC > 2P AC ． AB < 2P AD ． AB > 2P A7．在联欢会上，有 A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 ∆ABC 的（）A ．三边中垂线的交点C ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点D ．三边上高的交点8 如图所示，Rt△ABC 中， C 90° △AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于点 E .当∠B 30时，图中一定不相等的线段有()△A ．AC △AE BEC ．△CD DEB ．AD △BDD ．AC △BD9．如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 A B 、AC于 D 和 E ，再分别以点 D 、E 为圆心，大于二分之一 DE 为半径作弧，两弧交于点 F ，连接AF 并延长交 BC 于点 G ，GH ⊥AC 于 H ，GH ＝2，则△ABG 的面积为（ ）A．4B．5C．9D．1010．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二、填空题11．如图，已知在∆ABC中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________．（只需填上一个正确的条件）12．如图是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90︒,AB=26米，BC=24米．则这块菜地的面积是_____．13．如图，在V ABC中，AC=BC，分别以点A和点C为圆心，大于1AC长为半径画2弧，两弧相交于点M、N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B=70︒，则∠BAD的度数是_____度．14．如图，∆ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠EBC=∠C；③AE=AF；④FG//AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是______．三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．（1）若∠BAD＝△45°，求证：ACD为等腰三角形；（△2）若ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．16．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120︒，求∠BDC的度数．17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．（1）求OB的长度；（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？△18．如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、△OC，若OBC的周长为13cm，求OA的长．19．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.(1)求证：MN＝BM＋NC；(2)△求AMN的周长．答案1．D 2．D 3．D 4．D 5．D 6.C.△， ，△， △﹣ △， △﹣ ﹣ △，△， △，△， △﹣ ﹣ △﹣ ﹣ 7．A8．D9．B10．C11．AD ⊥BC12．96△△△13．3014．①③④15．（1） AB=AC B=30°B= C=30°BAC=180°30°﹣30°=120°， BAD=45°CAD= BAC BAD=120° 45°=75°△， ADC= B+ BAD=75° ADC= CADAC=CD△即 ACD 为等腰三角形；（2）有两种情况： △当 ADC=90°△时，B=30°BAD= ADC B=90° 30°=60°；△当 CAD=90°△时， BAD= BAC CAD=120° 90°=30°；△即 BAD 的度数是 60°或 30°．⎨∠BAO = ∠CAD16．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°∵AO=OD ，∴△AOD 是等边三角形∴ ∠BAC = 60︒ ， AB = AC∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC=∠OAD ，∴∠BAO+△OAC=△OAC+△CAD△∴∠BAO= CAD在△BAO 和△CAD 中⎧ AO = AD ⎪⎪ ⎩AB = AC∴ ∆ABO ≌ ∆ACD∴ ∠AOB = ∠ADC = 120︒△ ∠BDC = ∠ADC - ∠ADO = 60︒17.（1）解：在 Rt ∆AOB 中，由勾股定理OB 2 = AB 2 - AO 2= 2.52 - 2.4 2= 0.49∴ OB = 0.49 = 0.7（2）设梯子的 A 端下移到 D ， OC = 0.7 + 0.8 = 1.5∴在Rt∆OCD中，由勾股定理∴OD2=CD2-DC2=2.52-1.52=4∴OD=4=2∴顶端A下移了：2.4=2=0.4m18.解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（△2）∵OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．19.解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，由SAS△可证BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，由SAS△可证DMN≌△DMF，∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN(2)由(1)知MN＝MB＋CN，∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6。

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第6节一元一次不等式组课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．若关于x的一元一次不等式组122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是（）A．1a≥B．1a>C．1a≤-D．1a<-2．若关于x的不等式组()212xa x⎧->⎨-<⎩的解集为x＞a，则a的取值范围是() A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥23．已知关于x 的不等式组255332xxxt x+⎧->-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩恰有5个整数解，则t的取值范围是（）A．﹣6＜t＜112-B．1162t-≤<-C．1162t-<≤-D．1162t-≤<-4．把不等式组21123xx+>-⎧⎨+≤⎩的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A．B．C．D．5．若方程组3133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解x，y满足01x y<+<，则k的取值范围是（）A．10k-<<B．40k-<<C．08k<<D．4k>-6．如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）A．31215xx-≥⎧⎨->⎩B．31526xx->⎧⎨⎩C．35215xx+≥⎧⎨-<⎩D．322313x xxx<+⎧⎪+⎨--⎪⎩7．已知点M（1﹣2m，1﹣m）关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B ．C．D．8．已知关于x的不等式组()()25513322xxxt x+⎧->⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩恰有5个整数解，则t的取值范围是（）A．1992t<<B．1992t≤<C．1992t<≤D．1992t≤≤9．关于x的不等式组12xx m⎧≤-⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的积为2，则m的取值范围为（）A．m＞-3B．m＜-2C．m-3≤＜-2D．m-3＜≤-2 10．不等式组111324(1)2()xxx x a-⎧-<-⎪⎨⎪-≤-⎩有3个整数解，则a的取值范围是（）A．65a-≤<-B．65a-<≤-C．65a-<<-D．65a-≤≤-评卷人得分二、填空题11．不等式组273(1)2342363x xxx+>+⎧⎪+⎨-≤⎪⎩的非负整数解有_____个．12．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是______.13．在平面直角坐标系中，已知点A(7－2m，5－m)在第二象限内，且m为整数，则点A的坐标为_________．14．不等式组2425x a x b +>⎧⎨-<⎩的解集是0＜x ＜2，那么a+b 的值等于_____． 15．关于x 的不等式组，22213x b x b -≥⎧⎨-≤⎩无解，则常数b 的取值范围是__________ 16．关于x 的不等式组1234x m x +⎧⎨-≥-⎩有3个整数解，则m 的取值范围是_____． 17．同时满足332x x ->-和34x x +>的最大整数是_______． 18．若关于x 的不等式组1423x x x m+⎧-≥⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的和是﹣9，则m 的取值范围是_____．19．已知x ＝3是方程2x a -—2＝x—1的解，那么不等式(2—5a )x ＜13的解集是______．20．若数m 使关于x 的不等式组2122274x x x m -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩,有且仅有三个整数解，则m 的取值范围是______．评卷人得分 三、解答题 21．某校计划组织师生共310人参加一次野外研学活动,如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个.（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了20人,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为将所有参加活动的师生装载完成,求租用小客车数量的最大值.22．解下列不等式(组)：(1)4123x x -<-(2)()543113125x x x x ⎧+<+⎪⎨--≥⎪⎩.23．涡阳苏果超市计划购进甲，乙两种商品共100件，这两种商品的进价、售价如表所示:进价(元/件)售价(元/件)甲种商品1015乙种商品2030设其中甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元.(1)写出y与x的函数关系式；(2)该商场计划最多投入1500元用于购进这两种商品共100 件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商场可获得的最大利润是多少元？24．某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A型汽车每辆成本34万元，售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：（1）该公司有哪几种生产方案？（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5％全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）25．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程.（1）在方程320x -=①，210x +=①，()315x x -+=-①中，写出是不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的相伴方程的序号 . （2）写出不等式组213133x x x -<⎧⎨+>-+⎩的一个相伴方程，使得它的根是整数: . （3）若方程1, 2x x ==都是关于x 的不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩的相伴方程,求m 的取值范围.26．阅读下面的材料，回答问题：如果(x-2)(6+2x)＞0，求x 的取值范围. 解：根据题意，得20620x x ->⎧⎨+>⎩或20620x x -<⎧⎨+<⎩，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为x ＞2，第二个不等式组的解集为x ＜-3.故当x ＞2或x ＜-3时，(x-2)(6+2x)＞0.(1)由(x-2)(6+2x)＞0，得出不等式组20620x x ->⎧⎨+>⎩或20620x x -<⎧⎨+<⎩，体现了_____思想； (2)试利用上述方法，求不等式(x-3)(1-x)＜0的解集.27．某超市准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B进价贵30元，A售价120元，B售价80元.已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同.（1）求A、B的进价；（2）超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？（3）在（2）的条件下，该超市决定对A进行降价促销，A台灯每盏降价m（8＜m＜15）元，B不变，超市如何进货获利最大？参考答案：1．A【解析】【分析】先求出不等式组中的每个不等式的解集，然后根据不等式组无解即可得出答案．【详解】解：解不等式122x x ->-，得1x <，解不等式0x a ->，得x a >，①不等式组1220x x x a ->-⎧⎨->⎩无解， ①1a ≥．故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．2．D【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案.【详解】 ()2120x a x ⎧->⎨-<⎩①②， 由①得2x >，由①得x a >，又不等式组的解集是x ＞a ，根据同大取大的求解集的原则，①2a >，当2a =时，也满足不等式的解集为2x >，①2a ≥，故选D.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.3．C【解析】【分析】本题首先求解不等式组的公共解集，继而按照整数解要求求解本题．【详解】①2553x x +->-， ①20x <；①32x t x +->， ①32x t >-；①不等式组的解集是：2032t x <<-．①不等式组恰有5个整数解，①这5个整数解只能为 15，16，17，18，19，故有143215t ≤-<，求解得：1162t -<≤-． 故选：C ．【点睛】本题考查含参不等式组的求解，解题关键在于求解不等式时需将参数当做常量进行运算，其次注意运算仔细即可．4．B【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则逐个判断即可．【详解】解：解不等式2x +1＞-1，得：x ＞-1，解不等式x +2≤3，得：x ≤1，①不等式组的解集为：-1＜x ≤1，故选：B ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．B【解析】【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k 的取值范围．【详解】①0＜x+y ＜1，观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4，两边都除以4得，x+y=44k +， 所以44k +＞0， 解得k ＞-4；44k +＜1， 解得k ＜0．所以-4＜k ＜0．故选B ．【点睛】当给出两个未知数的和的取值范围时，应仔细观察找到题中所给式子与它们和的关系，进而求值．6．C【解析】【分析】数轴上表示的解集是2≤x ＜3，再根据不等式组的求法，先分别求出不等式组中每个不等式的解，即可得到不等式的解集，最后根据所求不等式组的解集是否与题干中的解集进行判断，即可得到答案.【详解】解：数轴上表示的解集是2≤x ＜3， A 、31215x x -≥⎧⎨->⎩①②，①解不等式①得：x≤2，解不等式①得：x＞3，①不等式组无解，故本选项不符合题意；B、31526xx->⎧⎨⎩①②①解不等式①得：x＞2，解不等式①得：x≤3，①不等式组的解集是2＜x≤3，故本选项不符合题意；C、35 215 xx+≥⎧⎨-<⎩①②①解不等式①得：x≥2，解不等式①得：x＜3，①不等式组的解集是2≤x＜3，故本选项符合题意；D、322313x xxx<+⎧⎪⎨+--⎪⎩①②①解不等式①得：x＜2，解不等式①得：x≥3，①不等式组无解，故本选项不符合题意；故选C．【点睛】本题考查数轴和求不等式组的解集，解题的关键是读懂数轴，掌握解不等式组的方法. 7．D【解析】【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标，进而利用第四象限内点的性质得出答案．【详解】解：①点M(1﹣2m，1﹣m)关于x轴的对称点在第四象限，①对称点坐标为：（1﹣2m，m﹣1），则1﹣2m＞0，且m﹣1＜0，解得：m＜12，如图所示：．故选D ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称点的性质以及不等式的解法，正确得出m 的取值范围是解题的关键．8．C【解析】【分析】先求出不等式的解集，再根据x 有5个整数解确定含t 的式子的值的范围，特别要考虑清楚是否包含端点值，这点极易出错.再求出t 的范围即可.【详解】解：由（1）得x<-10,由（2）x>3-2t,,所以3-2t<x<-10, ①x 有5个整数解，即x=-11,-12,-13,-14,-15,①163215t -≤-<-①1992t <≤ 故答案为C ．【点睛】本题考查根据含字母参数的不等式组的解集来求字母参数的取值范围，关键是通过解集确定含字母参数的式子的范围，特别要考虑清楚是否包含端点值，这点极易出错. 9．C【解析】【详解】分析：首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，可表示出整数解，根据所有整数解的积为2就可以确定有哪些整数解，从而求出m 的范围．详解：原不等式组的解集为m ＜x ≤12-．整数解可能为－1，－2，－3…等又因为不等式组的所有整数解的积是2，而2=－1×（－2），由此可以得到-3≤m＜-2．故选C．点睛：本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，要借助数轴做出正确的取舍．10．B【解析】【分析】解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组有3个整数解，可得答案．【详解】解：不等式组11132412xxx x a-⎧--⎪⎨⎪-≤-⎩＜（）（），由13x-﹣12x＜﹣1，解得：x＞4，由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，由关于x的不等式组11132412xxx x a-⎧--⎪⎨⎪-≤-⎩＜（）（）有3个整数解，得：7≤2﹣a＜8，解得：﹣6＜a≤﹣5．故选B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的关键．11．4【解析】【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．【详解】解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，解不等式2342363xx+-≤，得：x≤8，则不等式组的解集为x＜4，所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，故答案为4．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12．148 3x<≤【解析】【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：由题意得：36183(36)618xx-≤⎧⎨-->⎩①②，解不等式①，得：8x≤，解不等式①，得：143 x>，则x得取值范围是：148 3x<≤；故答案为148 3x<≤.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．13．(－1，1)【解析】【详解】根据平面直角坐标系的象限特点，第二象限的点的符号为（-，+），所以可得720 50mm-⎧⎨-⎩＜＞，解不等式可得72＜m ＜5，由于m 为整数，所以m=4，代入可得7-2m=-1，5-m=1，即A 点的坐标为（-1，1）.故答案为（-1，1）.14．1【解析】【详解】试题分析：先分别用a 、b 表示出各不等式的解集，然后根据题中已知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a 、b ．24{25x a x b ＞①＜②+-， ①由①得，x ＞4-2a ；由①得，x ＜5+2b ， ①此不等式组的解集为：4-2a ＜x ＜5+2b ， ①不等式组24{25x a x b +-＞＜的解是0＜x ＜2， ①4-2a=0，5+2b =2， 解得a=2，b=-1，①a+b=1考点：解一元一次不等式组．15．b ＞-3【解析】【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式无解可得出b 的取值范围.【详解】22213x b x b -≥⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得：22≥+x b解不等式①得：312+≤b x所以不等式组的解集为31222++≤≤b b x ①此不等式无解，①31222++>b b 解得：3b >-故答案为：3b >-.【点睛】本题考查不等式组无解问题，关键是掌握不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到（无解）.16．01m ≤＜【解析】【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得m 的取值范围可得．【详解】解：解不等式x+1≥m ，得：x≥m ﹣1，解不等式2﹣3x≥﹣4，得：x≤2，①不等式组有3个整数解，①110m ≤﹣＜﹣，即01m ≤＜，故答案为0＜m≤1．【点睛】本题是对不等式知识的考查，熟练掌握不等式知识是解决本题的关键.17．2【解析】【分析】根据题意列出不等式组，求出x 的取值范围，再找出符合条件的x 的整数值即可．【详解】根据题意得33234x x x x -⎧>-⎪⎨⎪+>⎩ 解得：-2<x<3.同时满足x 3x 32->-和3x 4x +>的最大整数是2， 故答案为2【点睛】本题考查的是求不等式组解集的方法，即同大取较大，同小去较小，大小小大中间找，大大小小解不了的原则．18．-5≤m ＜-4.【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为-9即可得出答案.【详解】解：1423x x x m +⎧-≥⎪⎨⎪>⎩①②解不等式①得：x≤-2，①m ＜x≤-2又①不等式组的所有整数解得和为-9，①-4+（-3）+（-2）=-9①-5≤m ＜-4；故答案为-5≤m ＜-4.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，是一道较为抽象的题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m 的不等式组，临界数-5的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍.19．x ＜19 【解析】【详解】先根据x=3是方程2x a --2=x-1的解，代入可求出a=-5，再把a 的值代入所求不等式(2—5a )x ＜13，由不等式的基本性质求出x 的取值范围x ＜19． 故答案为x ＜19.20．114m -<≤-【解析】【分析】先解不等式组，求出解集，再根据“有且仅有三个整数解的条件”确定m 的范围.【详解】解：解不等式组2122274x x x m-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩ 得：437m x +-< 由有且仅有三个整数解即：3,2,1.则：4017m +-< 解得：114m -<≤-【点睛】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于m 的不等式组是解题关键. 21．（1）每辆小客车的乘客座位数是20个,大客车的乘客座位数是35个（2）3【解析】【分析】（1）根据“每辆大客车的乘客座位数-小客车乘客座位数=15；6辆大客车乘客+5辆小客车乘客=310”列出二元一次方程组解之即可.（2）根据题意，设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，利用“大客车乘客+小客车乘客≥310+20”解之即可.【详解】（1）设每辆小客车的乘客座位数是x 个,大客车的乘客座位数是y 个,根据题意,得1556310y x x y -=⎧⎨+=⎩解得2035x y =⎧⎨=⎩ 答:每辆小客车的乘客座位数是20个,大客车的乘客座位数是35个.（2）设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成,则20a+35(11－a)≥310+20,解得a≤323,符合条件的a 的最大整数为3.答:租用小客车数量的最大值为3.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决本题的关键是找到题目中蕴含的数量关系.22．(1)x<-1；(2)x≤-3.【解析】【分析】（1）由移项，合并，系数化为1，即可得到答案；（2）先分别求出每个不等式的解集，然后取解集的公共部分，即可得到不等式组的解集.【详解】解：（1）4123x x -<-，①4231x x -<-+，①22x <-，①1x <-；（2）()543113125x x x x ⎧+<+⎪⎨--≥⎪⎩①②， 解不等式①，得：12x <-； 解不等式①，得：3x ≤-；①不等式组的解集为：3x ≤-.【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤.23．（1）y=-5x+1000(0≤x≤100),（2）至少要购进50件甲种商品,商场可获得的最大利润是750元.【解析】【分析】（1）根据题意建立函数模型,利用利润=一件的利润×数量即可解题,（2）根据最多投入1500元建立不等式,再根据一次函数的性质求出最值即可.【详解】解：（1）①购进甲，乙两种商品共100件，设其中甲种商品购进x 件，①乙种商品购进（100-x ）件,①y=（15-10）x+(30-20)(100-x)=-5x+1000(0≤x≤100),（2）由题意得,10x+20(100-x)≤1500,解得：x≥50,①至少要购进50件甲种商品,①y=-5x+1000,k=-5＜0,①y 随着x 的减小而增大,①当x=50时,y 最大=750,①若售完这些商品，商场可获得的最大利润是750元.【点睛】本题考查了一次函数的实际应用,不等式的实际应用,函数的性质,中等难度,运用销售问题的等量关系求出一次函数的解析式是解题关键.24．（1）共有三种方案，分别为①A 型号16辆时， B 型号24辆；①A 型号17辆时，B 型号23辆；①A 型号18辆时，B 型号22辆；（2）当16x =时，272W =最大万元；（3）甲钢板4吨，乙钢板8吨；甲钢板10吨，乙钢板3吨两种生产方案．【解析】【分析】（1）设A 型号的轿车为x 辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值；（2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式，然后根据一次函数的性质解答即可； （3）根据（2）中方案求出利润，然后设生产甲钢板m 吨，乙钢板n 吨，列方程求解即可．【详解】（1）设生产A 型号x 辆，则B 型号（40-x ）辆，得：1536≤34x +42(40-x )≤1552，解得1618x ≤≤，x 可以取值16，17，18，共有三种方案，分别为：A 型号16辆时，B 型号24辆，A 型号17辆时，B 型号23辆，A 型号18辆时，B 型号22辆．（2）设总利润W 万元，则W =()5840x x +-=3320x -+30k =-<∴w 随x 的增大而减小当16x =时，272W =最大万元；（3）272 2.5%=6.8⨯(万元)，设生产甲钢板m 吨，乙钢板n 吨，①50006000 6.810000m n +=⨯，化简得：5668m n +=，①当m =4，n =8时，甲钢板4吨，乙钢板8吨；当m =10，n =3时，甲钢板10吨，乙钢板3吨．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题．25．（1）①；（2）1x =；（3）01m ≤<.【解析】【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案.【详解】（1）由不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩得，3 3.54x <<， 由320x -=，解得，x ＝23，故方程①320x -=不是不等式组的相伴方程， 由210x +=，解得，x ＝1-2，故方程①210x +=不是不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的相伴方程，由 ()315x x -+=-，解得 x ＝2，故方程①()315x x -+=- 是不等式25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的相伴方程，故答案为①；（2）由不等式组213133x x x -<⎧⎨+>-+⎩，解得，122x ＜＜ ，则它的相伴方程的解是整数， 相伴方程x=1故答案为1x =；(3)解不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩得2m x m <≤+ 方程12x x ==，都是不等式组的相伴方程 122m m ∴<<≤+01m ∴≤<【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键.26．(1)转化；(2)x >3或x <1【解析】【分析】（1）将一个二次不等式转化为不等式组的形式，该过程体现了转化的数学思想； （2）根据两式相乘，同号得正，异号得负，则转化为30301010x x x x ->-<⎧⎧⎨⎨-<->⎩⎩或 ，再分别解两个不等式组即可.【详解】解：（1）转化；（2）由(x －3)(1－x )＜0，可得3010x x -⎧⎨-⎩＞，＜或3010.x x -⎧⎨-⎩＜，＞ 分别解这两个不等式组，得x ＞３或x ＜１．所以不等式(x －３)(１－x )＜０的解集是x ＞３或x ＜１．【点睛】本题目是一道新型材料题目，考察学生的知识的迁移能力，根据两数相乘，同号得正，异号得负，将二次不等式转化为两个不等式组，解这两个不等式组，即可.27．（1）A 进价80元，B 进价50元；（2）16种；（3）当8<m<10时，A40盏，B60盏，利润最大；当m=10时，A 品牌灯数量在40至55间，利润均为3000；当8<m<10时，A55盏，B45盏，利润最大.【解析】【详解】试题分析：（1）根据：“1040元购进的A 品牌台灯的数量=650元购进的B 品牌台灯数量”相等关系，列方程求解可得；（2）根据：“3400≤A 、B 品牌台灯的总利润≤3550”不等关系，列不等式组，可知数量范围，确定方案数；（3）利用：总利润=A 品牌台灯利润+B 品牌台灯利润，列出函数关系式，结合函数增减性，分类讨论即可．试题解析：（1）设A 品牌台灯进价为x 元/盏，则B 品牌台灯进价为（x-30）元/盏，根据题意得104065030x x -＝， 解得x=80，经检验x=80是原分式方程的解．则A 品牌台灯进价为80元/盏，B 品牌台灯进价为x-30=80-30=50（元/盏），答：A 、B 两种品牌台灯的进价分别是80元/盏，50元/盏．（2）设超市购进A 品牌台灯a 盏，则购进B 品牌台灯有（100-a ）盏，根据题意，有 ()()()()()()12080805010034001208080501003550a a a a ⎧-+--≥⎪⎨-+--≤⎪⎩解得，40≤a≤55．①a 为整数，①该超市有16种进货方案．（3）令超市销售台灯所获总利润记作w ，根据题意，有w=（120-m-80）a+（80-50）（100-a ）=（10-m）a+3000①8‹m‹15①①当8＜m＜10时，即10-m＜0，w随a的增大而减小，故当a=40时，所获总利润w最大，即A品牌台灯40盏、B品牌台灯60盏；①当m=10时，w=3000；故当A品牌台灯数量在40至55间，利润均为3000；①当10＜m＜15时，即10-m＞0，w随a的增大而增大，故当a=55时，所获总利润w最大，即A品牌台灯55盏、B品牌台灯45盏.。

一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。

2图形的旋转第1课时旋转的认识知识点1旋转的有关概念1．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为．第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE 的位置，那么：（1）旋转中心是点；（2）点B，D的对应点分别是点；（3）线段AB，BD，DA的对应线段分别是；（4）∠B的对应角是；（5）旋转的角度为．知识点2旋转的性质4．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC ＝130°，则AD＝＝cm，DE＝＝cm，∠EAC＝∠＝，∠DAC＝．5．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC.已知AB＝1.5，BC＝4，AC ＝5，则DE的长为（）A．1.5 B．3 C．4 D．5第5题图第6题图6．（2019·湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置．若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°7．（2020·天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DEB．BC＝EFC．∠AEF＝∠DD．AB⊥DF知识点3确定旋转中心8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格线的格点上，将△ABC 绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（0，1）C．（－1，1）D．（1，1）9．（2020·赤峰）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正八边形D．圆及其一条弦10．（2020·齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°11．（2019·内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6第11题图变式图【变式】如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C.连接AA′，若∠1＝27°，则∠B的度数是（）A．84°B．72°C．63°D．54°12．（2020·聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（33＋1）B.33＋1C.3－1D.3＋113．（2019·苏州）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．14．（2019·河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（－3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（－3，10）C．（10，－3）D．（3，－10）错误!第2课时旋转作图知识点旋转作图1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是．第2题图第3题图3．如图，它可以看作“◇”通过连续平移3次得到，也可以看作“◇”绕中心旋转3次，每次旋转度得到．4．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.5．（教材P78做一做变式）如图，△ABC 绕点O 旋转后，顶点A 的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．易错点 旋转方向不确定导致漏解6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，4），将OA 绕坐标原点O 旋转90°到OA′，则点A′的坐标是 ．7．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG 可以看成是将平行四边形ABCD 以A 为中心（ ）A ．顺时针旋转60°得到B ．顺时针旋转120°得到C ．逆时针旋转60°得到D ．逆时针旋转120°得到8．如图，已知Rt △ABC 和三角形外一点P ，按要求完成图形． （1）将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转90°，得△A ′B ′C ′； （2ABC 绕点P 逆时针方向旋转60°，得△A ″B ″C ″.ABC·P9．（2020·江西改编）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′.参考答案：第1课时旋转的认识知识点1旋转的有关概念1．下面生活中的实例，不是旋转的是（A）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为90°．第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE 的位置，那么：（1）旋转中心是点A；（2）点B，D的对应点分别是点C，E；（3）线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段AC，CE，EA；（4）∠B的对应角是∠ACE；（5）旋转的角度为60°．知识点2旋转的性质4．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC ＝130°，则AD＝AB＝5cm，DE＝BC＝8cm，∠EAC＝∠BAD＝30°，∠DAC＝100°．5．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC.已知AB＝1.5，BC＝4，AC ＝5，则DE的长为（A）A．1.5 B．3 C．4 D．5第5题图第6题图6．（2019·湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置．若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（D）A．45°B．40°C．35°D．30°7．（2020·天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（D）A．AC＝DEB．BC＝EFC．∠AEF＝∠DD．AB⊥DF知识点3确定旋转中心8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格线的格点上，将△ABC 绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（C）A．（0，0）B．（0，1）C．（－1，1）D．（1，1）9．（2020·赤峰）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（C）A．等边三角形B．平行四边形C．正八边形D．圆及其一条弦10．（2020·齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为（B）A．15°B．30°C．45°D．60°11．（2019·内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（A）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6第11题图变式图【变式】如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C.连接AA′，若∠1＝27°，则∠B的度数是（B）A．84°B．72°C．63°D．54°12．（2020·聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（D）A．2（33＋1）B.33＋1C.3－1D.3＋113．（2019·苏州）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC ＝65°，∠ACB ＝28°，求∠FGC 的度数．解：（1）证明：∵∠CAF ＝∠BAE ， ∴∠BAC ＝∠EAF.∵线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，∴AC ＝AF.在△ABC 和△AEF 中，⎩⎨⎧AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAF ，AC ＝AF ，∴△ABC ≌△AEF （SAS ）． ∴EF ＝BC.（2）∵AB ＝AE ，∠ABC ＝65°， ∴∠BAE ＝180°－65°×2＝50°. ∴∠FAG ＝∠BAE ＝50°.∵△ABC ≌△AEF ，∴∠F ＝∠C ＝28°. ∴∠FGC ＝∠FAG ＋∠F ＝50°＋28°＝78°.14．（2019·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4），将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（D ）A ．（10，3）B ．（－3，10）C ．（10，－3）D ．（3，－10）错误!模型展示条件：OA绕原点O逆时针旋转90°至OA′.结论：△AOB≌△A′OB′.条件：AB绕点A顺时针旋转90°至AB′.结论：△ABD≌△B′AC.第2课时旋转作图知识点旋转作图1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（C）2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是点B．第2题图第3题图3．如图，它可以看作“◇”通过连续平移3次得到，也可以看作“◇”绕中心旋转3次，每次旋转90度得到．4．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.解：如图所示．5．（教材P78做一做变式）如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．解：如图所示．易错点旋转方向不确定导致漏解6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O旋转90°到OA′，则点A′的坐标是（－4，3）或（4，－3）．02中档题7．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG可以看成是将平行四边形ABCD以A为中心（D）A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到8．如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．（1）将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；（2）将△ABC绕点P逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″.解：（1）△A′B′C′如图所示．（2）△A″B″C″如图所示．9．（2020·江西改编）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′.解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）如图，△AB′C′即为所求．。

第四章 因式分解2 提公因式法基础过关全练知识点1 公因式1.下列各个多项式的各项中,有公因式的是( )A.x 2-9y 2B.x 2-3x +5C.a 3+b 3D.a 3b -ab 2+ab2.(2021河北邢台威县期末)将12m 2n +6mn 用提公因式法分解因式,应提取的公因式是( )A.6mB.m 2nC.6mnD.12mn3.(2022重庆沙坪坝期中)把多项式x 2y 5-xy n z 因式分解时,提取的公因式是xy 5,则n 的值可能为( )A.6B.4C.3D.2知识点2 提公因式法分解因式4.(2022辽宁葫芦岛兴城期末)多项式m 2-4m 分解因式的结果是 ( )A.m (m -4)B.(m +2)(m -2)C.m (m +2)(m -2)D.(m -2)25.(2020陕西西安碑林月考)如果多项式15abc +15ab 2-a 2bc 各项的一个因式是15ab ,那么另一个因式是 ( )A.c -b +5acB.c +b -5acC.15acD.-15ac 6.(2022河北石家庄二模)计算(-2)2 021+(-2)2 022的结果是 ( )A.22 021B.-2C.-22 021D.-17.下列各式成立的是()A.-x-y=-(x-y)B.y-x=x-yC.(x-y)2=(y-x)2D.(x-y)3=(y-x)38.(2022陕西西安碑林期中)把5(a-b)+m(b-a)提公因式后,一个因式是(a-b),则另一个因式是()A.5-mB.5+mC.m-5D.-m-59.(2022山东潍坊潍城一模)将多项式(a-1)2-a+1因式分解,结果正确的是() A.a-1 B.(a-1)(a-2)C.(a-1)2D.(a+1)(a-1)10.【新独家原创】村委会计划在半山腰打一口井,既能方便植树造林改变环境,也能方便居民用水,他们计划造一个长方形水槽便于存水,如图,长和宽分别为a、b的长方形水槽的周长为68,面积为280,则a2b+ab2的值为.11.若9a2(x-y)+3a(x-y)2=m(3a+x-y),则m=.12.因式分解:4(x-y)3-6(y-x)2=.13.把下列各式因式分解:(1)-18m2n+27mn2-9mn;(2)2x m y n+1-4x m+1y n-1;(3)6a(a-b)2-3(a-b);(4)a(x-2)(x+2)-a(2-x)2;(5)3(m-n)3-6m(n-m)2.能力提升全练14.(2022四川眉山中考,13,)分解因式:2x2-8x=.15.(2022山西省实验中学期中,21,)分解因式:6m-3m2=.16.(2022重庆南开中学期中,14,)若mn=3,n-m=2,则mn2-m2n=.17.(2022辽宁本溪期中,13,)计算:4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=.18.(2022辽宁本溪期中,21,)因式分解:(1)-24x3+12x2-28x;(2)6(m-n)3-12(m-n)2.19.(2022江西萍乡湘东期中,15,)因式分解:(1)a(m-n)+b(n-m);(2)(a-3)2+2a-6.素养探究全练20.【应用意识】阅读理解:把多项式am+an+bm+bn分解因式.解法一:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).解法二:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(1)分解因式:m2x-3m+mnx-3n;(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,且a3-a2b+5ac-5bc=0,试判断△ABC的形状.答案全解全析基础过关全练1.D D 选项中,各项的公因式是ab.2.C 12m 2n +6mn 中,各项的公因式是6mn.故选C .3.A 把多项式x 2y 5-xy n z 因式分解时,提取的公因式是xy 5,则n ≥5,故选A .4.A m 2-4m =m (m -4),故选A .5.B 15abc +15ab 2-a 2bc =15ab (c +b -5ac ), 故另一个因式为c +b -5ac.故选B.6.A (-2)2 021+(-2)2 022=(-2)2 021×(1-2)=22 021.故选A .7.C -(x -y )=-x +y ,故A 不成立;y -x =-(x -y ),故B 不成立;(x -y )2=[-(y -x )]2=(y -x )2,故C 成立;(x -y )3=[-(y -x )]3=-(y -x )3,故D 不成立.故选C .8.A 原式=5(a -b )-m (a -b )=(a -b )(5-m ),∴另一个因式是5-m ,故选A .9.B (a -1)2-a +1=(a -1)2-(a -1)=(a -1)(a -1-1)=(a -1)(a -2).故选B .10.答案 9 520解析 由已知得2(a +b )=68,ab =280,∴a +b =34,∴a 2b +ab 2=ab (a +b )=280×34=9 520.11.答案3a(x-y)解析∵9a2(x-y)+3a(x-y)2=3a(x-y)(3a+x-y)=m(3a+x-y),∴m=3a(x-y).12.答案2(x-y)2(2x-2y-3)解析4(x-y)3-6(y-x)2=4(x-y)3-6(x-y)2=2(x-y)2(2x-2y-3).13.解析(1)-18m2n+27mn2-9mn=-9mn(2m-3n+1).(2)2x m y n+1-4x m+1y n-1=2x m y n-1(y2-2x).(3)6a(a-b)2-3(a-b)=3(a-b)[2a(a-b)-1]=3(a-b)(2a2-2ab-1).(4)a(x-2)(x+2)-a(2-x)2=a(x-2)(x+2)-a(x-2)2=a(x-2)[(x+2)-(x-2)]=4a(x-2).(5)3(m-n)3-6m(n-m)2=3(m-n)3-6m(m-n)2=3(m-n)2(m-n-2m)=3(m-n)2(-m-n)=-3(m-n)2(m+n).能力提升全练14.答案2x(x-4)解析直接提取公因式2x.15.答案3m(2-m)解析6m-3m2=3m(2-m).16.答案 6解析∵mn=3,n-m=2,∴mn2-m2n=mn(n-m)=3×2=6.17.答案 2 022解析4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=202.2×(4.3+7.6-1.9)=202.2×10=2 022.18.解析(1)原式=-4x(6x2-3x+7).(2)原式=6(m-n)2(m-n-2).19.解析(1)原式=a(m-n)-b(m-n)=(a-b)(m-n).(2)原式=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)=(a-3)(a-1).素养探究全练20.解析(1)原式=m(mx-3)+n(mx-3)=(mx-3)(m+n).(2)∵a3-a2b+5ac-5bc=0,∴a2(a-b)+5c(a-b)=0,∴(a-b)(a2+5c)=0,∵a,b,c为△ABC的三边长,∴a2+5c≠0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.。