安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷 数学理试题 Word版含答案

合肥六中2014冲刺高考最后一卷理科数学试题一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合{|0},{|lg 0}1xA xB x x x=<=≥-,则集合{|1}x x ≤等于 A.A B B.A B C.()U A B ð D.()U A B ð 2.已知复数z 满足(1)(12)2(z i i i -+=为虚数单位,则z 的虚部是A.25iB.25C.35D.953.执行如图所示的程序框图,若输入919a =,则输出的k 的值是A.9B.10C.11D.124.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线221412x y -=的焦点相同, 且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么,该椭圆的离心率等于A.35 B.45 C.54 D.345.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 A.108cm 3B.100 cm 3C.92 cm 3D.84 cm 36.函数2||1()x x f x e-=的图象大致是7.设某班级二模测试后的数学成绩服从正态分布,其密度函数是2(80)200(),x f x x R --=∈,则下列的估计不正确．．．的是 A.该班级的平均成绩是80分 B.分数在120以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C.该班级数学成绩标准差是10分 D.分数在110以上的人数与分数在50分以下的人数相同 8.已知圆221:(1)2C x y +-=,直线1:3l y x =,将l 绕原点按逆时针方向旋转(θθ为锐角)第一次与圆C 相切,则tan θ的值是A.12B.13C.34D.359.若函数()f x 对任意x R ∈满足1()1(1)f x f x +=+,且(0,1)x ∈时,(),()f x xg x mx m ==--在(1,0)(0,1)-上有两个零点,则实数m 的取值范围是A.(1,1)-B.1(0,)2C.(0,1)D.(1,2]-10.如图,正三棱锥A BCD -放置在平面α上,,AD kCD O =是底面BCD ∆的中心,E 是CD 的中点,下列说法中,错误的是A.k >B.当1AD CD ==时,将三棱锥绕直线AO 旋转一周所形成的几何C.动点P 在截面ABE 上运动,且到点B 的距离与到点侧面ACD 的距离相等,则点P 在抛物线弧上D.当12k CD ==时,将该三棱锥绕棱CD 转动,则三棱锥在平面α上投影面积的最大值是2二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填写在答题卡的相应位置上.11.10(1)[(1)1]x x x ++-的展开式中,含7x 项的系数是12.设(0,)2x π∈,且21(3)sin cos 3cos 0x x x λ+-+≥恒成立,则实数λ的取值范围是13.如图所示,三棱锥A BCD -中,,E F 分别是棱,AD BC 的中点, 在三棱锥的6条棱及EF 所在的7条直线中,任取2条直线,则这两条直线是异面直线的概率是14.,A B 是椭圆的右顶点及上顶点,由椭圆弧221(0,0)4x y x y +=≥≥ 及线段AB 构成的区域为,P Ω是区域Ω上的任意一点(包括边界),设OP OA OB λμ=+,则动点(,)M λμ所形成区域'Ω的面积是15.定义在R 上的奇函数()f x 当(0,)x ∈+∞是,()0f x >且2()'()0f x xf x +>,有下列命题:①()f x 在R 上是增函数; ②当12x x >时,221122()()x f x x f x >; ③当120x x >>时,221221()()x x f x f x >; ④当120x x +>时,221122()()0x f x x f x +>⑤当12x x >时,221221()()x f x x f x >.则其中正确的命题是 (写出你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)如图,在ABC ∆中,D 是BC 上的点,2,C D DAB BAD ∠∠=∠∆的面积与CAD ∆的面积相等,且sin B C =.(Ⅰ)求BAC ∠; (Ⅱ)求::a b c .17(本小题满分12分)如图,多面体ABCPQ 中,PA ⊥平面,,ABC PA AB ABC =∆是等腰直角三角形,90,BAC ∠=,QBC ∆是等边三角形,M 是BC 的中点,二面角Q BC A --的正切值为(Ⅰ)证明://PQ 平面ABC ;(Ⅱ)在线段QM 上是否存在一点N ,使得PN ⊥平面QBC ,如果存在,请求出N 点的位置,如果不存在,请说明理由.,18(本小题满分12分)已知椭圆22122:1(0)x y E a b a b+=>>,椭圆2E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的(0,1)λλ>≠.(Ⅰ)求椭圆2E 的方程;并证明椭圆12,E E 的离心率相同;(Ⅱ)当2λ=时,设,M N 是椭圆1E 上的两个点,,OM ON 的斜率分别是,OM ON k k ,且22(OM ONb k k O a⋅=-是坐标原点),若OMPN 是平行四边形,证明:点P 在椭圆2E 上.19(本小题满分13分)已知函数())(0)x f x e x ϕϕπ=+<<且是函数()f x 的一个极值点,'()f x 是函数()f x 的导函数. (Ⅰ)求ϕ的值;(Ⅱ)设()'()g x f x =,求函数()g x 的单调递增区间;(Ⅲ)证明:当0x >时,|'()|x f x <.20(本小题满分13分)在研究 2.5PM (霾的主要成分)形成原因时,某研究人员研究了 2.5PM 与燃烧排放的223,,,CO NO CO O 等物质的相关关系,下图是 2.5PM 与3,CO O 相关性的散点图, (Ⅰ)根据三点图,请你就3,CO O 对 2.5PM 的影响关系作出初步评价;(Ⅱ)以1003为单位,在上述左图中取三个点,如下表所示,求y关于x 的回归方程,并估计当CO 的排放量为200/g m 时, 2.5PM 的值(用最小二乘法求回归方程的系数是(1221,)niii nii x y nx yb a y bx xnx ==⋅-⋅==--∑∑(Ⅲ)雾霾对交通影响较大,某市交通部门发现,在一个月内,当CO 排放量(单位: 3/g m μ)分别是60,120,180时,某路口的交通流量(单位:万辆)依次是800,600,200,在一个月内,CO 排放量是60,120,180的概率依次是,,p q r ,且1,343p q r ≤≤,求该路口一个月的交通流量期望值的最大值.21(本小题满分13分)设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意*n N ∈,都有24410n n S a n --+=且212a a >>. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设12n n a b +=,求证:131321122424221n nb bb b b b b b b b b b -+++<参考答案：1.C2.B3.C4. B.5.B6.C7.B8.A9.B 10.D 11．165 12.(,7]-∞ 13.13 14.142π- 15.②③④ 16．135BAC ∠=::a b c = 17.13MN MQ =18.（略）19.23πϕ=20.（1）CO 与 2.5PM 有正相关关系，而3O 与 2.5PM 没关系（2）9191,,284284b a y x ===+， 544 （3）()800600200200(32)200E X p q r p q =++=++18,321p q ==时，552.38（万辆）21.21n a n =-。

2022-2021学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0相互垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=03．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简洁命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 27．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q ：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．假如，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解8．已知抛物线y=x2﹣1上的肯定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为．13．在一个棱长为6的正四周体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d （P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P，l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD相互垂直．①求四边形ABCD 面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD ∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE 折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE ；（2）能否在边AB 上找到一点P 使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于其次象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．2022-2021学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0相互垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用直线与直线垂直，两直线中x、y的系数积之和为0的性质求解．解答：解：∵两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0相互垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=1或a=0．故选：C．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要留意直线与直线垂直的性质的合理运用．2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由与l1垂直的直线l2平分该圆，得到l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），由此能求出直线l2的方程．解答：解：∵圆C：x2+2x+y=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，∴l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），∴l2的方程为：y=﹣（x+1），整理，得x+y+1=0．故选：D．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意圆的性质的合理运用．3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，结合圆柱和圆台的相关面积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，圆台的上底面半径，即圆柱的底面半径为：，圆台的下底面半径为，圆柱的高为1，圆台的高为2，故圆台的母线长为：=，该几何体的表面积相当于圆台的表面积与圆柱侧面积的和，故S=+=π，故选：A．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简洁命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题考点：命题的真假推断与应用．专题：阅读型；简易规律．分析：由命题的否定的形式，即可推断A；运用充分必要条件的定义，即可推断B；运用复合命题的真假和真值表，即可推断C；运用原命题和逆否命题互为等价命题，即可推断D．解答：解：对于A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1＜0”，则A错误；对于B．实数x＞y不能推出x2＞y2，反之，也不能推出，则为既不充分也不必要条件，则B错误；对于C．设p，q为简洁命题，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，￢p，￢q均为真命题，￢p∧￢q”为真命题，则C错误；对于D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为”“若α=0，则cosα=1”为真命题，则D正确．故选D．点评：本题考查命题的否定、充分必要条件的推断、复合命题的真假以及四种命题的关系，考查推断推理力量，属于基础题和易错题．5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：依据垂直于同始终线的两平面平行，推断①是否正确；依据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来推断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，推断③的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，推断④是否正确．解答：解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则 a与c相交；b与d相交，依据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选C点评：本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 2考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，设出正三棱柱的高，然后通过解三角形求得答案．解答：解：如图，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，连接EF，EH，FH，EG，FG，设正三棱柱的高为2h，又底面边长为2，则，．在三角形EHF中，由余弦定理可得：EF2=EH2+FH2﹣2EH•FH•cos120°，则，解得：h=．∴正三棱柱的高为．故选：D．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了异面直线所成角的概念，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．7．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q ：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．假如，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（） A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必定一真一假，解答：解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q ：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必定一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．点评：本题考查了简易规律的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类争辩思想方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．8．已知抛物线y=x2﹣1上的肯定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）考点：抛物线的简洁性质．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得斜率之积为﹣1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，留意检验t=﹣1的状况，即可求得Q点的横坐标的取值范围．解答：解：设P（t，t2﹣1），Q（s，s2﹣1）∵BP⊥PQ，∴•=﹣1，即t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必需有△=（s﹣1）2+4（s﹣1）≥0．即s2+2s﹣3≥0，解得s≤﹣3或s≥1．由t=﹣1，代入t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，可得t=，此时P，B重合，则有s ≠．∴Q点的横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞）．故选C．点评：本题重点考查取值范围问题，解题的关键是利用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简洁性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种状况进行争辩，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的推断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种状况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e ＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e ≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简洁几何性质等学问，属于基础题．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简洁性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由点H 在椭圆上，知H（3cosθ，2sin θ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．解答：解：∵点H 在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P （，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ 面积取最小值．点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本学问点，解题时要认真审题，留意等价转化思想的合理运用．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象力量，计算力量．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为+3 ．考点：双曲线的简洁性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|﹣|MD|=2a=4．于是|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，再利用|BD|≥|CD|﹣r即可．解答：解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|﹣|MD|=2a=4．∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，又B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，则圆的圆心为C（，0），半径为1，故|BD|≥|CD|﹣1=﹣1=﹣1，从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．故答案为：+3．点评：娴熟把握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．13．在一个棱长为6的正四周体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；转化思想．分析：在一个棱长为6的正四周体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四周体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．解答：解：设球的半径为r，由正四周体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：点评：本题是中档题，考查正四周体的内接球的学问，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象力量，转化思想，计算力量．14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是32π．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：先依据圆的标准方程求出圆心和半径，然后争辩圆心的轨迹，依据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．解答：解：（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，则圆心为（2cosα，2sinα）半径为4∴圆心为以（0，0）为圆心，半径为2的圆上动点∴满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积即36π﹣4π=32π故答案为：32π点评：本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d （P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P， l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有①③④．考点：集合的表示法．专题：综合题；集合．分析：①依据所给的是一条线段，点到线段的距离不肯定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观看过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．③④依据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．解答：解：①点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，故①正确；②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π，故②错误；③A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，依据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴，故③正确．④A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：y=0，l2：x=0，则到线段l1，l 2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由方程组，得顶点A（﹣1，0），从而AC所在的直线方程为y=﹣（x+1），BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），进而求出顶点C的坐标为（5，﹣6）和点A到直线BC 的距离，由此能求出△ABC的面积．解答：解：由方程组，解得顶点A（﹣1，0）．…（2分）又AB的斜率为k AB=1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在的直线方程为y=﹣（x+1）．…（6分）已知BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，故BC的斜率为﹣2，BC 所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）．…（8分）解方程组，得顶点C的坐标为（5，﹣6）．…（10分）∴|BC|=4，点A到直线BC的距离d==，∴．…（12分）点评：本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意直线方程的性质的合理运用．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可得G为AC中点，再由已知可得F是EC中点，连接FG，由三角形中位线性质可得FG ∥AE，再由线面平行的判定得答案；（2）把三棱锥C﹣BGF的体积转化为G﹣BFC的体积，然后通过解三角形求得三棱锥G﹣BFC的底面积和高，则三棱锥的体积可求．解答：（1）证明：如图，由题意可得G是AC的中点，连接FG ，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点，在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD；（2）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，由题可得AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE．∵G是AC的中点，F是CE中点，∴AE∥FG且FG=，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，∴Rt△BCE中，BF=，∴，∴=．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等学问，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象力量、推理论证力量和运算求解力量，是中档题．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD相互垂直．①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）代入M，解方程可得a，由切线的性质，可得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）①运用弦长公式，由四边形的面积公式可得S ABCD =|AC|•|BD|，结合重要不等式，即可得到最大值；②运用弦长公式可得|AC|+|BD|，平方后结合基本不等式，即可得到最大值．解答：解：（1）由条件知点M在圆O上，所以1+a2=4，则a=，由a＞0，则a=，点M为（1，），k OM =，切线的斜率为﹣，此时切线方程为y ﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0；（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|OM|2=3，于是|AC|=2，|BD|=2，①S ABCD =|AC|•|BD|=2•≤4﹣d12+4﹣d22=8﹣3=5，当且仅当d1=d2=时取等号，即四边形ABCD面积的最大值为5；②|AC|+|BD|=2+2，则（|AC|+|BD|）2=4（4﹣d12+4﹣d22+2•）=4（5+2）=4（5+2）由于2d1d2≤d12+d22=3，所以d12d22≤，当且仅当d1=d2=时取等号，所以≤，所以（|AC|+|BD|）2≤4（5+2×）=40，所以|AC|+|BD|≤2，即|AC|+|BD|的最大值为2．点评：本题考查直线和圆相交的性质，主要考查弦长公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，考查运算力量，属于中档题．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．考点：椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出椭圆T的方程，由椭圆定义求得a，则椭圆的离心率可求；（2）由（1）求出椭圆T的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由A，B在椭圆上，把A，B 坐标代入椭圆方程，两式相减得到，同理，，作和后证得答案．解答：（1）解：设椭圆T 的方程为，由题意知：左焦点为F′（﹣2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=，解得：．故椭圆T 的离心率为；（2）证明：由（1）知椭圆T 的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由：，，两式相减，得到（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0．∴，即，同理，．∴，又∵直线OM、ON、OP的斜率之和为0，∴++=0为定值．点评：本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形中位线定理、学校代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，是中档题．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE 折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF 所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）依据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．解答：（1）证明：在直角梯形ABCD中易求得AB=2，AE=，BE=…（2分）∴AE2+BE2=AB2，故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变…（4分）又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴AE⊥面BCE…（6分）（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点∴CF⊥BE又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴CF⊥面ABED，故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A （，，0），C（0，0，），E（0，，0），易求得面ACE 的法向量为=（0，，1）…（8分）假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，所成角的余弦值为，且，（λ∈R），∵B（0，，0），∴=（﹣，，0），故=（﹣λ，λ，0），又=（，，﹣），∴=（（1﹣λ），（2λ﹣1），﹣），又=（0，0，），设面PCF 的法向量为=（x，y，z），∴，即，令x=2λ﹣1得=（2λ﹣1，（λ﹣1），0）…（10分）∴|cos ＜＞|=||==，解得…（12分）因此存在点P且P为线段AB上靠近点B的三等分点时使得平面ACE与平面PCF 所成角的余弦值为．…（13分）点评：本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键．21．椭圆E ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M （﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于其次象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D 点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．考点：椭圆的简洁性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用离心率计算公式、以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线与抛物线C切点为N（x0，ax02）．利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，即可得到a及抛物线C 的标准方程．解答：解：（1）由题意知e==，，即a=b…（1分）又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴b==1，…（2分）∴a=，故椭圆的方程为…（4分）（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x0，ax02）∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax0，∴切线方程为y﹣ax02=2ax0（x﹣x0），∵直线l过点M （﹣，0），∴﹣ax02=2ax0（﹣﹣x0），∵点N在其次象限，∴x0＜0，解得x0=﹣1．∴N（﹣1，a）．∴直线l的方程为y=﹣2ax﹣a…（8分）代入椭圆方程整理得（1+8a2）x2+8a2x+2a2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=﹣，x1x2=…（10分）由=λ，=μ，得λ=，μ=∴λ+μ=+==﹣4，∵a＞0，∴a=∴抛物线的标准方程为x2=y…（13分）点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线与抛物线相切问题、导数的几何意义、向量的运算等基础学问与基本技能，考查了推理力量和计算力量．。

数 学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数y = ）A ．[1，2]B ．[1,2)C ．1(,1]2D ．1[,1]22．“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如右图所示，则(2)y f x =--的图象为 （ ）4．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为，设抛物线上任意一点P 到直线的距离为m ，则||PC m +的最小值为（ ）A ．5 B.41 C.41-2 D.45．2014年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2 所名校录取，则不同的录取方法有（ ）A ．68种B ．84种C ．168种D ．224种 6．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ） A ．5>k B ．5<k C ．5≥k D ．6≤k7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有（ ）A ．201320140,0S S ><且B ．201320140,0S S <>且C ．201320140,0a a ><且D ．201320140,0a a <>且8．已知O,A,M,B 为平面上四点，且(1)OM OB OA λλ=+-，实数(1,2)λ∈，则（ ） A. 点M 在线段AB 上 B. 点B 在线段AM 上 C. 点A 在线段BM 上 D. O,A,M,B 一定共线9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==，且ABC ∆面积,则sin sin a bA B+=+ （ ）ABC．D. 10．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80, 3.43-=-==．定义{}[]x x x =-，给出如下命题：① 使[]31=+x 成立的x 的取值范围是23x ≤<； ② 函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；③ 23201420132013201320132014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭1007； ④ 设函数(){}()010x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩ ，则函数()1144y f x x =--的不同零点有3个.其中正确的命题有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11．复数3i+41+2i的虚部是__ ___．12．若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰， 则a 的值是__ ___．13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体 的体积为__ ___．14．在ABC ∆中，不等式ABCD 中，ABCDE立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A 21中，不等式1A ++≥__ .15．已知直线的参数方程为,1x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (为参数)，圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线的距离为_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f . (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求实数a 的最小值. 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 2,.(Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n S nn 1是等差数列，并求n S ； （Ⅱ）设233nn S b nn +=512n b ++<18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．(Ⅰ) 若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ； （Ⅱ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．19．（本小题满分12分）某市公租房的房源位于C B A ,,三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中: (Ⅰ)恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列和期望.20．（本小题满分13分）已知函数()xe f x x=的定义域为(0,)+∞.（I ）求函数()f x 在[]1(0)m m m +>，上的最小值；（Ⅱ）对(0,)x ∈+∞任意，不等式2()1xf x x x λ>-+-恒成立，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形.（I ）求椭圆方程；（Ⅱ）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OP OM ∙为定值；（III ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：11．-1； 12．2； 13．23； 14．; 15三、解答题16．解：(Ⅰ)2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+--12cos 21+sin(2)26x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2.要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6x k k Z ππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得1sin(2).62A π+= ()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈，∴5266A ππ+=， ∴.3π=A 在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a . ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.117. 解：(Ⅰ)证明：由)1(2--=n n a n S n n 知，当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ， 即)1()1(122-=---n n S n S n n n ，∴1111=--+-n n S n nS n n ，对2≥n 成立. 又⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∴=+n S n n S 1,11111是首项为1，公差为1的等差数列.1)1(11⋅-+=+n S n n n ，∴12+=n n S n （Ⅱ）)3111(21)3)(1(1323+-+=++=+=n n n n nn S b n n ， ∴)311121151314121(2121+-+++-+⋯+-+-=+⋯⋯++n n n n b b b n =125)312165(21<+-+-n n 18．解: (Ⅰ) 证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ．因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以 侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE// AC 1． 因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ，所以 AC 1∥平面B 1CD ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ．则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 4, 4)，B 1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（0a >，0b >），因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =，即13BD BA =．所以2a =，43b =，4(1,,0)3BD =-，1(3,0,4)CB =, ,4(2,,0)3CD =．平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =．设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =， 由120CB n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 3404203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以 43x =-，2y =，24(,2,1)3n =-.所以 cos 61n n θ=．所以二面角1B CD B --19.解: (Ⅰ)所有可能的申请方式有43种, 恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242∙C 种,从而恰有2人申请A 片区房源的概率为278324224=∙C （Ⅱ）ξ的所有可能值为321，，， 27133)1(4===ξP ,27143)()2(42224341223=+==C C C C C P ξ，943)3(4122413===C C C P ξ， 综上知, ξ的分布列为2765943271422711=⨯+⨯+⨯=ξE .20.（I ）,94，21解：（I ）222,,2c b a c b a +===，22=∴b ，∴椭圆方程为12422=+y x（Ⅱ）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，则),2(),,(011y OM y x OP ==→→, 直线CM ：042y y y x -=-，即00214y x y y +=，代入椭圆4222=+y x 得042121)81(2020220=-+++y x y x y ,8)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x ，882001+=∴y y y ，)88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ，48324888)8(422020202020=++=+++--=⋅∴→→y y y y y y OM OP （定值） （III ）设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥,。

2014新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）2. 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）3. 的值为（）4. 函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（）5.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.6.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π7. 已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（）B8. “”是“数列{a n}为等比数列”的（）9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（）10. 等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD 的长为（）D11.定义域为R 的偶函数f （x ）满足∀x ∈R ，有f （x+2）=f （x ）﹣f （1），且当x ∈[2，3]时，f （x ）=﹣2x 2+12x ﹣18．若函数y=f （x ）﹣log a （x+1）至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ） ，，，12. 设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）B13. 函数22631y x x =++的最小值是14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．15.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=___________________.16. 设不等式组表示的平面区域为M ，不等式组表示的平面区域为N ．在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是________________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且()2Af =，a =，求角A 、B 、C 的大小．18.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm ，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm 以上（包括185cm ）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm 以上（包括190cm ）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a 及乙队中成绩在[160,170）（单位：cm ）内的运动员人数b ；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm 以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X 的分布列及期望．19.等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足12AD CE DB EA == (如图1)．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结11A B AC 、 (如图2)．（Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由．20.在平面直角坐标系xOy 中，从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，点)0,(),0,(a B a A -（a a ,0>为常数），且02=+⋅ON BM AM λ（0≠λ） （1）求曲线C 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形；（2）当0>λ且1≠λ时，将曲线C 绕原点逆时针旋转︒90得到曲线1C ，曲线C 与曲线1C 四个交点按逆时针依次为G F E D ,,,，且点D 在一象限 ①证明：四边形DEFG 为正方形； ②若D F AD ⊥，求λ值． 21. 已知21(),()2f x lnxg x ax bx ==+　(0),()()().a h x f x g x ≠=-　（Ⅰ）当42a b ==，时，求()h x 的极大值点；（Ⅱ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q 两点，过线段PQ 的中点做x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，CD ⊥AB 于点D ， 弦BE 与CD 、AC 分别交于点M 、N ，且MN = MC（1）求证：MN = MB ； （2）求证：OC ⊥MN 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz+i ·z = （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 （A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1（6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21（B ）23（C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2( a + b ).曲线C={ P |OP =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤|PQ | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

2014年安徽省某校高考数学最后一卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知R 是实数集，M ={x|2x <1}，N ={y|y =√x −1+1}，N ∩∁R M =( ) A (1, 2) B [0, 2] C ⌀ D [1, 2] 2. 已知i 为虚数单位，则复数(2+i)(1−i)21−2i 等于（ ）A 2B −2C 2iD −2i 3. 已知下列命题：①命题“∀x >0，x 2−x ≤0”的否定是“∃x ≤0，x 2−x >0”； ②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真； ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题； ④“x ≠3”是“|x|≠3”的充分条件． 其中错误命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 44. 若函数f(x)=2x 2−lnx 在其定义域内的一个子区间(k −1, k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A [1, +∞)B [1, 32) C [1, 2) D [32, 2)5.函数y ={kx +1(−2≤x <0)2sin(ωx +φ),(0≤x ≤8π3)的图象如图，则（ ） A k =12，ω=12，φ=π6B k =12，ω=12，φ=π3C k =−12，ω=2，φ=π6D k =−2，ω=2，φ=π36. 已知某算法的流程图如图所示，若输入x =7，y =6，则输出的有序数对为（ ）A (13, 14)B (12, 13)C (14, 13)D (13, 12)7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y =ax 2上的两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)关于直线y =x +m 对称，且x 1x 2=−12，则m 的值为（ ）A 34 B 32 C 54 D 528.已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD =60∘，PA =PD =2，平面PAD ⊥平面ABCD ，则它的正视图的面积是（ ） A √3 B √32C 3D 3√39. |OA →|＝1，|OB →|=√3，OA →⋅OB →=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30∘，设OC →=mOA →+nOB →(m 、n ∈R)，则mn等于（ ）A 13B 3C √33 D √310. 若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足： ①P ，Q 都在函数f(x)的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P, Q)是函数y ＝f(x)的一对“友好点对”．（注：点对(P, Q)与(Q, P)看作同一对“友好点对”）． 已知函数f(x)={log 2x,x >0−x 2−4x,x ≤0，则该函数的“友好点对”有（ ）A 0对B 1对C 2对D 3对二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卡的相应位置上.11. 学校计划利用周五下午第一，二，三节课举办语文，数学，英语，理科综合4门课程的专题讲座，每科一节课，每节可同时在两个教室安排两个不同的讲座，且数学和理科综合，语文和英语不安排在同一节课进行，则不同的安排方法有________种．12. 若曲线C 1:θ=π6(ρ∈R)与曲线C 2:{x =a +√2cosθy =√2sinθ(θ为参数，a 为常数，a >0)有两个交点A 、B ，且|AB|=2，则实数a 的值为________． 13. 已知(x 2√5x 3)5的展开式中的常数项为T ，f(x)是以T 为周期的偶函数，且当x ∈[0, 1]时，f(x)=x ，若在区间[−1, 3]内，函数g(x)=f(x)−kx −k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．14. 设a >0，b >0且a +2b =1，1a +2b 的最小值为m ，记满足x 2+y 2≤23m 的所有整点（即横坐标，纵坐标均为整数）的坐标为(x i , y i )(i =1, 2,…,n)，则∑|n i=1x i y i |=________． 15. 已知圆C 1：(x −2cosθ)2+(y −2sinθ)2＝1与圆C 2:x 2+y 2＝1，在下列说法中： ①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ=π6时，圆C1被直线l:√3x−y−1=0截得的弦长为√3；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知向量a→=(sinω2x, 12)，b→=(cosω2x, 12)，(ω>0, x≥0)，函数f(x)=a→⋅b→的第n(n∈N∗)个零点记作x n（从左向右依次计数），则所有x n组成数列{x n}．（1）若ω=12，求x2；（2）若函数f (x)的最小正周期为π，求数列{x n}的前100项和S100．17. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB // EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1．(Ⅰ)求证：平面DAF⊥平面CBF；(Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(Ⅲ)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60∘？18. 佛山某中学高三（1）班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．（1）请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；（2）利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X，求X的分布列和数学期望．19. 设数列{a n}为等比数列，数列{b n}满足b n=na1+(n−1)a2+...+2a n−1+a n，n∈N∗，已知b1=m，b2=3m2，其中m≠0．（1）当m=1时，求b n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S n∈[1, 3]，求实数m的取值范围．20. 已知椭圆C1:x24+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r>0)，直线l:y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．（1）求r 的取值范围；（2）求|AB|的最大值，并求此时圆C 2的方程．21. 已知函数f(x)=aln(x +b)，g(x)=ae x −1（其中a ≠0，b >0）且函数f(x)的图象在点A （0, f(0)）处的切线与函数g(x)的图象在点B （0, g(0)）处的切线重合， （1）求实数a 、b 的值；（2）若存在x 0，满足x 0−mg(x0)+1>√x 0，求实数m 的取值范围．（3）若x 2>x 1>0，试探究f(x 2)−f(x 1)与g(x 2−x 1)的大小；并给予证明．2014年安徽省某校高考数学最后一卷（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. A6. A7. B8. C9. B 10. C 11. 24 12. 2 13. (0,14]14. 2015. ①③④16. 解：（1）若ω=12，则向量a →=(sin 14x, 12)，b →=(cos 14x, 12)， 函数f(x)=a →⋅b →=12sin 12x +14．由f(x)=0，可得 sin 12x =−12 (x ≥0)，故有 12x =2kπ+7π6，或 12x =2kπ+11π6．∴ x =4kπ+7π3，或x =4kπ+11π3，k ∈z ．自左向右第一个零点为 x =7π3，第二个零点为x =11π3，即 x 2=11π3．（2）∵ 函数f (x)的最小正周期为π，则ω=2，∴ 函数f(x)=a →⋅b →=(sinx, 12)⋅(cosx, 12)=sinxcosx +14=12sin2x +14． 令f(x)=0，可得 sin2x =−12，∴ 2x =2kπ+7π6，或2x =2kπ+11π6，k ∈z ．即 x =kπ+7π12，或x =kπ+11π12，k ∈z ．∴ S 100=∑(49k=0kπ+7π12)+∑(49k=0kπ+11π12)=∑(49k=02kπ+3π2)=50×49π+50×3π2=2525π．17. （I ）证明：∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴ CB ⊥平面ABEF ．∵ AF ⊂平面ABEF ，∴ AF ⊥CB ，又∵ AB 为圆O 的直径，∴ AF ⊥BF ，∴ AF ⊥平面CBF ． ∵ AF ⊂平面ADF ，∴ 平面DAF ⊥平面CBF ． (II)根据(Ⅰ)的证明，有AF ⊥平面CBF ，∴ FB 为AB 在平面CBF 内的射影，因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角 ∵ AB // EF ，∴ 四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H ． AB ＝2，EF ＝1，则AH =AB−EF 2=12．在Rt △AFB 中，根据射影定理AF 2＝AH ⋅AB ，得AF ＝1． ∴ sin∠ABF =AF AB=12，∴ ∠ABF ＝30∘．∴ 直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30∘．(Ⅲ)设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）． 设AD ＝t(t >0)，则点D 的坐标为(1, 0, t)，则 C(−1, 0, t)，A(1,0,0),B(−1,0,0),F(12,√32,0) ∴ CD →=(2,0,0),FD →=(12,−√32,t)⋯ 设平面DCF 的法向量为n 1→=(x,y,z)，则n 1→⋅CD →=0，n 1→⋅FD →=0，即{2x =0−√32y +tz =0.令z =√3，解得x ＝0，y ＝2t ，∴ n 1→=(0,2t,√3)⋯ 由(I)可知AF⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为n 2→=AF →=(−12,√32,0)， 依题意n 1→与n 2→的夹角为60∘，∴ cos60=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|，即12=√3t√4t 2+3⋅1，解得t=√64因此，当AD 的长为√64时，平面与DFC 平面FCB 所成的锐二面角的大小为60∘．18. （本题满分12分）解：（1）茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小．…（2）排球队中超过170cm的有4人，超过178cm的有3人，篮球队中超过170cm的有5人，超过178cm的有2人，所以X的所有可能取值为0，1，2…P(X=0)=C11C31C41C51=320，P(X=1)=C11C21+C31C31C41C51=1120，P(X=2)=C31C21C41C51=620，…所以X的分布列为X012所以X的数学期望EX=0×320+1×1120+2×620=2320．…19. 解（1）由已知b1=a1，所以a1=m；又b2=2a1+a2，所以2a1+a2=32m，解得a2=−m2；所以数列{a n}的公比q=−12；当m=1时，a n=(−12)n−1，b n=na1+(n−1)a2+...+2a n−1+a n，…①，−12b n=na2+(n−1)a3+⋯+2a n+a n+1，…②，②-①得−32b n=−n+a2+a3+⋯+a n+a n+1，所以−32b n=−n+−12[1−(−12)n]1−(−12)=−n−13[1−(−12)n]，b n=2n3+29−29(−12)n=6n+2+(−2)1−n9．（2）S n=m[1−(−12)n]1−(−12)=2m3⋅[1−(−12)n]，因为1−(−12)n >0，所以由S n ∈[1, 3]得11−(−12)n≤2m 3≤31−(−12)n，注意到，当n 为奇数时，1−(−12)n ∈(1,32]；当n 为偶数时，1−(−12)n ∈[34,1)， 所以1−(−12)n 最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有11−(−12)n≤2m 3≤31−(−12)n，所以43≤2m 3≤2，解得2≤m ≤3，即所求实数m 的取值范围是{m|2≤m ≤3}．20. 解：（1）由{x 24+y 2=1y =kx +m ，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0．由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故△1=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)=0， 从而m 2=1+4k 2①由{x 2+y 2=r 2y =kx +m，得(1+k 2)x 2+2kmx +m 2−r 2=0．由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故△2=4k 2m 2−4(1+k 2)(m 2−r 2)=0， 从而m 2=r 2(1+k 2) ② 由①、②得k 2=r 2−14−r 2．由k 2≥0，得1≤r 2<4，所以r 的取值范围是[1, 2)． （2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由（1）的解答可知 x 1=−4km1+4k 2=−4km ，x 2=−km1+k 2=−kr 2m．|AB|2=(1+k 2)(x 2−x 1)2=(1+k 2)⋅k 2(4−r 2)2m 2=1+k 2m 2⋅k 2⋅(4−r 2)2 =1r 2⋅r 2−14−r 2⋅(4−r 2)2=(r 2−1)(4−r 2)r 2，所以|AB|2=5−(r 2+4r 2)(1≤r <2)． 因为r 2+4r ≥2×2=4，当且仅当r =√2时取等号，所以当r =√2时，|AB|取最大值1，此时C 2的方程为x 2+y 2=2． 21. 解：（1）∵ f(x)=aln(x +b)，g(x)=ae x −1， ∴ f ′(x)=ax+b ，g ′(x)=ae x ，∵ 函数f(x)的图象在点A （0, f(0)）处的切线与函数g(x)的图象在点B （0, g(0)）处的切线重合，∴ f ′(0)=g ′(0)，即ab =a ，解得b =1，(∵ a ≠0)，且f(0)=g(0)，∴ aln1=a−1=0，解得a=1．（2）∵ x0−mg(x0)+1=x0−me x0>√x0，∴ m<x0−e x0⋅√x0，设ℎ(x)=x−e x√x，(x≥0)，则ℎ′(x)=1−e x2√x≤1−√2e x，∵ x≥0，∴ ℎ′(x)≤1−√2<0，∴ ℎ(x)在[0, +∞)上单调递减，∴ ℎ(x)≤ℎ(0)=0．（3）f(x2)−f(x1)=ln x2+1x1+1，g(x2−x1)=e x2−x1−1，令m(x)=ln(x+1)−e x+1，(x>0)，则m′(x)=−1x+1−e x<0，∴ m(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ m(x)<m(0)=0，∴ ln(x+1)<e x−1，ln(x2−x1+1)<e x2−x1−1，又∵ x2+1x1+1−(x2−x1+1)=x1(x1−x2)x1+1<0，∴ ln x2+1x1+1<ln(x2−x1+1)，从而f(x2)−f(x1)<g(x2−x1)．。

安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷 文科数学试题一选择题（50分）1. 若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为A ．0或2B ．2C ．0D ．1或22．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的弹道导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5枚导弹的编号可能是A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,6, 16 ,32 3．“m=-1"是“直线mx+（2m －l ）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5为 A ． 1:2 B ． 1:3 C ． 2:3 D ． 3:4 5.命题‘‘若a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =”的逆否命题是(A)若a ，b ，c 成等比数列，则2b ac ≠ (B)若a ，b ，c 不成等比数列，则2b ac ≠ (C)若2b ac =，则a ，b ，c 成等比数列 (D)若2b ac ≠，则a ，b ，c 不成等比数列6．已知A ，B 是单位圆上的动点，且O ，则OA uu r ·AB uu u r=A ．BC ．32-D ．327．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ） A ．2，－π3 B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π38．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为ABC D 9. 若32()132x a f x x x =-++函数在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设P 是双曲线2214y x -=上除顶点外的任意一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，△12PF F 的内切圆与边12F F 相切于点M ，则12F M MF ⋅=A ．5B ．4C ．2D ．1 二．填空题（25分）11．某一个班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是12.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的i 值为13.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =14. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则实常数=k/分 频率15．给出下列四个命题： （1）“cos α=”是“52,6k k z παπ=+∈”的必要不充分条件； （2）终边在y 轴上的角的集合是{a|a=Z k k ∈π,2|. （3） 函数)32sin(π-=x y 的一个单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-125,12ππ； （4）设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是()'00f =（5）.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个长度单位其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 三．解答题（75分）16. （本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c，且4b . （1）求sinB 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求-cosA cosC 的值. 17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C.18（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 中，t a =1，其前n 项和为n S ，满足12+⋅=n n n a a S（1）如果数列}{n a 为等差数列，求t 的取值，并求出数列}{n a 的通项公式 （2）如果数列}{n a 为单调递增数列，求t 的取值范围。

2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）(2014•安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=(）A．﹣2 B．﹣2i C．2D．2i考点: 复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析:把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答:解：∵z=1+i，∴，∴+i•==．故选:C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）（2014•安徽)“x＜0"是“ln（x+1）＜0"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题: 计算题;简易逻辑．分析：根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答:解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1)＜0；∵ln（x+1)＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．(5分）(2014•安徽)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（)A．34 B．55 C．78 D．89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件,退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2,x=1,y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3;第三次循环得z=5,x=3，y=5；第四次循环得z=8,x=5，y=8；第五次循环得z=13,x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13,y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55,x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评:本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．（5分）（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A．B．2C．D．2考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题: 坐标系和参数方程．分析：先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解:直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．弦心距d==＜r,∴弦长为2=2=2，故选:D．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．5．（5分）（2014•安徽)x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题: 不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一, 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行,此时a=﹣1,综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．6．（5分）(2014•安徽）设函数f(x）（x∈R）满足f（x+π)=f(x）+sinx．当0≤x＜π时,f（x）=0，则f（）=()A．B．C．0D．﹣考点：抽象函数及其应用;函数的值．专题: 函数的性质及应用．分析:利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．解答：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f(x）+sinx．当0≤x＜π时,f(x）=0，∴f（）=f（)=f（)+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选:A．点评：本题考查抽象函数的应用,函数值的求法，考查计算能力．7．(5分）（2014•安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(）A．21+B．18+C．21 D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．8．（5分）（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（)A．24对B．30对C．48对D．60对考点: 排列、组合及简单计数问题;异面直线及其所成的角．专题: 排列组合．分析:利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结果．解答:解:正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条,同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数,不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．点评：本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键．9．（5分)（2014•安徽）若函数f（x)=｜x+1｜+｜2x+a｜的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8考点: 带绝对值的函数；函数最值的应用．专题：选作题;不等式．分析：分类讨论,利用f（x)=｜x+1|+｜2x+a｜的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．解答:解:＜﹣1时，x＜﹣,f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；﹣≤x≤﹣1，f（x)=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1,f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3,∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去;≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1;x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．点评：本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想,属于中档题．10．(5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，|｜=｜|=1，•=0，点Q满足=(+）,曲线C={P｜=cosθ+sinθ,0≤θ≤2π}，区域Ω=｛P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：不妨令=（1，0）,=（0,1)，则P点的轨迹为单位圆，Ω={P｜(0＜r≤|｜≤R，r＜R｝表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．解答：解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、,||=｜｜=1,•=0,不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，)，=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P｜（0＜r≤｜｜≤R，r＜R}表示的平面区域为:以Q点为圆心,内径为r，外径为R的圆环,若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1,∵｜OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω=｛P|（0＜r≤|｜≤R,r＜R｝表示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析:根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ)，再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答:解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ)+]=sin(2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评:本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．（5分）（2014•安徽)数列｛a n}是等差数列，若a1+1，a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1．考点：等比数列的通项公式．专题: 等差数列与等比数列．分析:设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d,由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列,得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为:1．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．13．(5分)（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，(1+)n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i,a i）（i=0,1，2)的位置如图所示，则a=3．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：求出（1+）n的展开式的通项为,由图知，a0=1，a1=3,a2=4，列出方程组，求出a的值．解答：解：(1+）n的展开式的通项为,由图知,a0=1,a1=3，a2=4，∴，,，，a2﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3．点评：本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．14．(5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B｜，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．考点: 椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．解答:解：由题意,F1（﹣c，0），F2（c,0）,AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c,b2），设B(x，y），则∵|AF1|=3｜F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2,∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．15．(5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量,,两组向量，,,，和，，,,均由2个和3个排列而成,记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④(写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与｜｜无关;③若∥，则S min与|｜无关;④若||＞4||，则S min＞0；⑤若｜|=2||，S min=8|｜2，则与的夹角为．考点：命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析:依题意，可求得S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误;进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2｜｜•｜｜=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．解答:解:∵x i，y i(i=1，2，3，4,5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2|｜•|｜=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，与|｜无关，故②正确；③若∥,则S min=S3=4•+，与|｜有关，故③错误;④若||＞4｜|，则S min=S3=4｜|•｜|cosθ+＞﹣4｜｜•|｜+＞﹣+=0，故④正确；⑤若｜|=2｜｜，S min=S3=8｜｜2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．点评：本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．(12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．考点：正弦定理;两角和与差的正弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA,cosA，即可求sin（A+）的值．解答：解：（Ⅰ)∵A=2B，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6,∴a=2;（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=,∴sinA=sin2B=,cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，∴sin（A+）=（sinA+cosA)=．点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局)赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差．专题: 概率与统计．分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求X的分布列；以及均值．解答:解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件,A k表示第k局甲获胜，B k 表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P(B k）=，k=1，2，3，4,5（Ⅰ）P(A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（)2+×(）2+××（)2=．（Ⅱ）X的可能取值为2,3，4，5．P（X=2）=P(A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P(B1A2A3）+P(A1B2B3）=,P(X=4）=P（A1B2A3A4）+P(B1A2B3B4）=,P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5)+P（B1A2B3A4A5)+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5)=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P(X=4)=，故分布列为：X 2 3 4 5PE（X）=2×+3×+4×+5×=．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•安徽）设函数f(x）=1+（1+a)x﹣x2﹣x3,其中a＞0．（Ⅰ)讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ)当x∈［0，1］时,求f(x）取得最大值和最小值时的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析:（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ)利用(Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．解答：解：(Ⅰ)f（x)的定义域为（﹣∞，+∞)，f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=,x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x)在（﹣∞，）和（，+∞)单调递减，在（,）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0,∴x1＜0,x2＞0，①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在［0，1］上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1,由（Ⅰ）知，f(x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1］上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f(0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时,f（x)在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x(p1＞0)和E2：y2=2p2x(p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1,E2分别交于A1、A2两点,l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析:（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程,然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合(Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．解答：（Ⅰ）证明:由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0,设l1：y=k1x，l2：y=k2x．联立，解得．联立，解得．联立,解得．联立，解得．∴,．，∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，又，∴．故．点评:本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示,训练了三角形的相似比与面积比的关系,考查了学生的计算能力，是压轴题．20．（13分）（2014•安徽）如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q．（Ⅰ)证明：Q为BB1的中点;（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;(Ⅲ）若AA1=4，CD=2,梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．考点: 二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角．专题: 综合题;空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA,可得△QBC∽△A1AD,即可证明Q为BB1的中点;（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，V Q﹣ABCD==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ)△ADC中，作AE⊥DC,垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1,DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4,AE=4，可得tan∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．解答：(Ⅰ）证明:∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面QBC∥平面A1D1DA,∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D∴△QBC∽△A1AD，∴=，∴Q为BB1的中点;（Ⅱ)解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2,设BC=a,则AD=2a,∴==，V Q﹣ABCD==ahd,∴V2=,∵V棱柱=ahd，∴V1=ahd,∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）解：在△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，∵BC∥AD，AD=2BC，∴S△ADC=2S△ABC,∵梯形ABCD的面积为6，DC=2,∴S△ADC=4,AE=4，∴tan∠AEA1==1,∴∠AEA1=，∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．点评:本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．(13分)（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ)证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n｝满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．考点：不等式的证明；数列与不等式的综合；分析法和综合法．专题：函数思想；点列、递归数列与数学归纳法．分析:第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x)=（1+x）p﹣(1+px），求导数后利用函数的单调性求解;对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1=a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．解答：证明：（Ⅰ）令f(x）=（1+x）p﹣(1+px），则f′(x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p［（1+x）p﹣1﹣1］．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0,∴（1+x）p﹣1＜（1+x)0=1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f(0）=（1+0）p﹣（1+p×0)=0，即(1+x）p﹣（1+px)＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得(1+x）p﹣1＞(1+x）0=1，∴f′(x）＞0，∴f（x）在[0，+∞)上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴(1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ)先证a n+1＞．∵a n+1=a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加,上式左边=，当且仅当,即时，上式取“=”号，当n=1时,由题设知，∴上式“=”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞c．由前知a n+1＞成立,即从数列｛a n}的第2项开始成立，又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．点评：本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式,利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．。