2019-2020学年安徽省合肥168中学高三(下)第六次测试数学试卷(理科)

合肥一六八中学2019-2020学年期末考试高二理科数学试题一、选择题1.设集合{1,2,3}M =，{}2|230N x Z x x =∈--<，则M N ⋃=（ ）A. {}1,2,3B. {}1,0,1,2,3-C. {}0,1,2,3D. {}1,2【答案】C 【解析】 【分析】解二次不等式求得集合N ，再求并集即可.【详解】由2230x x --<解得()1,3x ∈-，又x ∈Z ， 故{}0,1,2N =， 故{}0,1,2,3M N ⋃=. 故选：C .【点睛】本题考查并集的求解，涉及一元二次不等式的求解. 2.抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）A. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭C. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，得出p值，结合开口方向即可得焦点坐标.【详解】由于抛物线的方程为22y x =，即212x y =， 可得抛物线开口向上，14p =， 可得抛物线22y x =的焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选D.【点睛】本题主要考查了求抛物线的焦点坐标，将抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.3.光线沿直线21y x =+射到直线y x =上, 被y x =反射后的光线所在的直线方程为 A. 112y x =- B. 1122y x =- C. 1122y x =+ D. 112y x =+ 【答案】B 【解析】考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题．分析：先求出y=2x+11与y=x 的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X 轴的交点（1，0），然后两点确定直线．解答：解：直线y=2x+1与y=x 的交点为（-1，-1），又直线y=2x+1与y 轴的交点（0，1）被y=x 反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：---y 010=---x 111即 y=12x-12故选B ．点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 4.给出下列命题：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行； ④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行. 其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由空间三条直线构成等腰三角形可判断①;由空间直线的位置关系可判断②;由线面平行的定义可判断③由线线平行的公理4可判断④.【详解】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形， 可得这两条直线不一定互相平行，故①错;在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错; 若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错; 在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对. 故选：A【点睛】本题考查了空间中直线平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题.5.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A.2 B.2C.D.【答案】D 【解析】由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =.因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为22r =，即d ===m m =，故选D . 6.下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++>； ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题；③设a r ，b r是非零向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的必要不充分条件；④3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】的【分析】①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；②原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可; ②利用向量的平行四边形法则，转化为平行四边形的对角线的关系，判断即可；②计算直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的等价条件为0,3m =，即可. 【详解】对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++≥,故①不正确； 命题“已知x ，y R ∈，，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题为：“已知x ，y R ∈，，若2x =且=1y ，则3x y +=”为真命题，故②正确；设a r ，b r是非零向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的既不充分也不必要条件，故②不正确；直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直，则0,3m =，故②不正确. 故选：A【点睛】本题考查了命题的否定，逆否命题，充要条件等知识点，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7.《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.下图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD BC ==，则当点E 在下列四个位置：P A 中点、PB 中点、PC 中点、PD 中点时分别形成的四面体E BCD -中，鳖臑有（ ）个.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定以及性质，对点所在的位置进行逐一分析即可. 【详解】设2PD = ①当点E 在P A 中点时：,2BE EC BC ===，不满足勾股定理，即此时EBC ∆不为直角三角形，不满足题意；②当点E 在PB 中点时：DE BE EC ===2BD DC BC ===，由勾股定理，此时,,DEB EBC DEC ∆∆∆均不是直角三角形，不满足题意； ③当点E 在PC 中点时：因为,DE EC DE BC ⊥⊥，故DE ⊥面BEC ，则DE BE ⊥，故,DEC DEB ∆∆均为直角三角形， 又,,BC CD BC PD ⊥⊥故BC ⊥面PDC ，则BC CE ⊥，故,BEC DCB ∆∆均为直角三角形， 满足题意；④当点E 在PD 中点时：因为PD ⊥面ABCD ，故,PD DB PD DC ⊥⊥，故,DEC DEB ∆∆均为直角三角形， 又BC ⊥DC ，BC ⊥DP ，故BC ⊥面PDC ，则BC CE ⊥，故,BEC DCB ∆∆均为直角三角形 满足题意.综上所述，当点E 在PC 中点或PD 中点时，满足题意. 故选：C .【点睛】本题考查由线线垂直，线面垂直的判定和性质，属综合基础题.8.方程所表示的曲线是 ( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：由题意得方程()22140x y x y +-+-=，得10x y +-=或，且，所以方程()22140x y x y +-+-=所表示的曲线为选项D ，故选D ．考点：曲线与方程．9.已知P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，若12PF F △的面积为9，则此双曲线的实轴长为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率求得34b a =，再根据12PF F △的面积为9，得到128||||1P PF F =，在12PF F △中，由勾股定理和双曲线的定义知，b=3,即得解.【详解】双曲线的离心率是5344c b a a ==∴=又12120PF PF PF PF ⋅=∴⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r12PF F ∴△的面积12121||||9||||182S P P PF F PF F ==∴= 在12PF F △中，由勾股定理可得：222221212124||+||=(||+||)2||||436c PF PF PF PF PF PF a =-=-3,4b a ∴==故双曲线的实轴长为：8 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的性质综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10.若抛物线22y px =的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且23AFB π∠=，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为'M ，则'MM AB的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 转化：11|'|(||||)(||||)22MM AG BH AF BF =+=+，利用余弦定理：||AB =. 【详解】如图所示，由题意得(1,0)F ，111(||||)(||||)(||||)'22=||||AG BH AF BF AF BF MM AB AB AB +++==11(||||)(||||)AF BF AF BF ++==1(||||)AF BF +≤1(||||)3AF BF +== 当且仅当：||||AF BF =时，'MM AB有最大值3. 故选：C【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.11.已知点P 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>下支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的上、下焦点，M 是12PF F △的内心，且121213MPF MPF MF F S S S =+V V V ，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C. 3D.1【答案】C 【解析】【分析】设12PF F △的内切圆的半径为r ，121213MPF MPF MF F S S S =+V V V ，即 12121111||||+||2232PF r PF r F F r ⨯=，故得解.【详解】设c =12PF F △的内切圆的半径为r ，则21212||||,||2c PF PF a F F -==12121212111||,||,||222F F MPF MPF M S PF r S PF r S F F r ===V V V 由于121213MPF MPF MF F S S S =+V V V 故12121111||||+||2232PF r PF r F F r ⨯= 因此：3ce a== 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.12.在Rt ABC V 中，已知D 是斜边AB 上任意一点（如图①），沿直线CD 将ABC V 折成直二面角B CD A --（如图②）．若折叠后,A B 两点间的距离为d ，则下列说法正确的是（ ）A. 当CD 为Rt ABC V 的中线时，d 取得最小值B. 当CD 为Rt ABC V 的角平分线时，d 取得最小值C. 当CD 为Rt ABC V 的高线时，d 取得最小值D. 当D 在Rt ABC V 的斜边AB 上移动时，d 为定值 【答案】B 【解析】 试题分析：如图设,,BC a AC b ACD θ==∠=，则022BCD ππθθ⎛⎫∠=-<< ⎪⎝⎭, 过A 作CD 的垂线AG ，过B 作CD 的延长线的垂线BH ，所以AG sin b θ=，cos CG b θ=,BH cos a θ=,CH sin a θ=,sin cos HG CH CG a b θθ=-=-； 直线AG BH 和是异面直线，所成角为90︒；线段HG 是公垂线段，所以AB d ==== =当=4πθ时，即当CD 为Rt ABC V 的角平分线时，d 取得最小值.故选B.考点：平面与平面之间的位置关系；两条异面直线上两点间的距离.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，则双曲线C 的离心率为______.【解析】 【分析】由双曲线的图象关于原点对称，可知点()2,1-，()2,1-在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程可求得a ，进而可求出离心率.的【详解】三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，又双曲线的图象关于原点对称，所以()2,3-不在双曲线上，点()2,1-，()2,1-在双曲线上，则()24110a a -=>，解得a =1b =2==.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题.14.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．【答案】【解析】【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C 面⊥，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅， 故44PD OD ==，从而43PO PD OD =-=-=． 记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-==考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图乙．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PMPA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有11cos 2PM PP MPP =⋅==12PE PA PM a =-=- 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为1PAB P EF S S ∆∆-22(()4a a =--=-又a =1PAB PEF S S ∆∆-==．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为考点：(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．15.在圆2210210x y x y +--+=内，过点()2,1有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差5311,d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么n 的取值集合为________.【答案】{}8,9,10【解析】【分析】先由圆的几何性质，最短的弦为垂直于OA 的弦，最长弦为直径，得到1,n a a ，因此公差21d n =-，结合公差11,35d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解.【详解】设()2,1A ，圆心()5,1O ，半径为=5r ，最短的弦为垂直于OA 的弦，且||=3OA ∴18a =，最长弦为直径：10n a =， 公差：21217111513d n n n =∴<<∴<<-- 因此：n 的取值集合为{}8,9,10.【点睛】本题考查了圆的性质和数列综合，考查了学生综合分析，转化于划归，数学运算的能力，属于中档题.16.存在实数φ，使得圆面225x y +≤恰好覆盖函数sin y x k πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________.【答案】(]1,2【解析】【分析】根据题意，可知函数sin y x k πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的最高点或最低点在1y =±上，结合圆面方程可以列出方程组，即得解. 【详解】根据题意，可知函数sin y x k πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的最高点或最低点在1y =±上,则： 221225y x x y =±⎧∴-≤≤⎨+≤⎩ 又由题意：22T k k ππ==，因此4<2T T ≤，解得正数k 的取值范围是：(]1,2故答案为：(]1,2【点睛】本题考查的是三角函数的周期性的应用，解答本题的关键是熟练使用三角函数周期性的定义以及求法，考查了学生综合分析，转化和划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17.已知命题:p x R ∃∈，使240x x a -+<成立，命题:,21q x R x x a ∀∈-++≥恒成立.（1）若命题p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a ≥；（2）34a <<【解析】【分析】（1）写出非P 命题，通过二次函数恒成立问题，求解参数的范围；（2）先求出每个命题真假分别对应的参数范围，再分类讨论，先交后并即可.【详解】（1）p ⌝为真，即240x x a -+≥恒成立，故0∆≤，即1640a -≤，解得4a ≥，故a 的取值范围为：4a ≥（2）由（1）可知命题p 为假命题，则4a ≥故命题p 为真，则4a <，对命题q ，若其真，则21x x a -++≥ 恒成立 则()()21213x x x x a -++≥--+=≥解得：3a ≤故命题q ,若其为假，则3a >；又由p 或q 为真，p 且q 为假，则p ，q 中一个为真，一个为假即43a a <⎧⎨>⎩或43a a ≥⎧⎨≤⎩解得()3,4a ∈故实数a 的取值范围为34a <<.【点睛】本题考查由命题的真假，求参数的取值范围，涉及二次函数恒成立，绝对值不等式.18.在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)．（1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．【答案】（1）(5,6)C -（2）10x y -+=【解析】试题分析：（1）联立直线210x y -+=和0y =，可求得A 点的坐标，利用点斜式可得直线BC 的方程，利用角平分线可得直线AC 的斜率，利用点斜式可写出直线AC 的方程，联立直线,BC AC 的方程可求得交点C 的坐标.（2）由直线AC 的斜率可得高的斜率，利用点斜式可求得高所在直线方程.试题解析：（1）由已知点A 应在BC 边上的高所在直线与A ∠的角平分线所在直线的交点，由210{0x y y -+==得1{0x y =-=，故()1,0A -． 由1AC AB k k =-=-，所以AC 所在直线方程为()1y x =-+，BC 所在直线的方程为()221y x -=--，由()()1{221y x y x =-+-=--，得()5,6C -．（2）由（1）知，AC 所在直线方程10x y ++=，所以l 所在的直线方程为()()120x y ---=，即10x y -+=．19.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，4BF =，H 是CF 的中点.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线DH 与平面CEF 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可证AC⊥平面BDEF；（2）以AC、BD的交点为坐标原点，DB方向为x轴，AC方向为y轴，建立空间直角坐标系，求出面CEF 的法向量，即可求直线DH与平面CEF所成角的正弦值.【详解】（1）证明：Q四边形ABCD是菱形，AC BD∴⊥.又Q平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF⋂平面ABCD BD=，且AC⊂平面ABCD，AC∴⊥平面BDEF；（2）以AC、BD的交点为坐标原点，DB方向为x轴，AC方向为y轴，建立空间直角坐标系，13(1,0,3)(1,0,3),(1,0,0)()22C E FD H--，，，,则()1,CF=u u u r，()2,0,0EF=u u u r.设面CEF的法向量为(),,n x y z=r则4020n CF x zn EF x⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u vvu u u vv，不妨令1y=，得到面CEF的法向量为n⎛=⎝⎭r，322DH⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u u r因此：cos,133||||n DHn DHn DH⋅==⋅r u u u u rr u u u u rr u u u u r即DHu u u u r与面CEF所成的角的正弦值为133.【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.20.设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于M.N 点.（1）若60MFN ∠=︒，AMN n 的面积为83，求抛物线方程； （2）若A.M.F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到直线n 、m 距离的比值.【答案】（1）24x y =；（2）1:3【解析】【分析】（1）由抛物线的定义，以及圆的对称性可得FMN n 为等边三角形，可由其高线求得边长，进而表达出面积，列方程解得p 即可求得抛物线方程.（2）由A.M.F 三点共线，可得直线m 斜率，和直线m 方程；根据直线n 与C 只有一个公共点，设出直线n 方程，联立抛物线方程，0=n ，可求得n 方程；据此利用点到直线距离公式求得距离之比.【详解】（1）由对称性以及60MFN ∠=︒可知MFN △是等边三角形.又F 点到MN 的距离为p，故||MN p =， 由抛物线定义知：点A 到准线l的距离||||d FA MN p ===又AMN S n 818||2323MN d p =⇔⨯⨯=⇔=. 故抛物线方程为：24x y =.（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2p F 点A ，M 关于点F 对称，得22220000(,)3222x x p M x p p x p p p --⇒-=-⇔=，得：3,)2p A ，直线m斜率3p p k -==，所以直线m 方程为02x -+=.∵//m n ，设直线n 方程为：0x t -+=，又因为直线n 与抛物线只有一个公共点，所以202x t x py ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消去y 得2033x px pt --=，由0∆=，得6t p =-直线:0n x p --=，坐标原点到n ，m :1:3=. 【点睛】本题考查抛物线，涉及抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属抛物线中的基础题. 21.已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC ，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，AQ CQ ==30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面P AB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】 （1）由正弦定理，可求得90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABC ，可得AC ⊥平面P AB ，可证得面PAC ⊥平面P AB ；（2）以A 为坐标原点，AB u u u r ，AC u u u r 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系.求出平面ACQ , 平面P AC 的法向量，即可求得二面角.【详解】（1）424sin sin 30BAC ==∠︒， 所以sin 1BAC ∠=，90BAC ∠=︒AC AB ∴⊥，又Q 平面PAB ⊥平面ABC ，AB =平面PAB ABC I ，AC ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面P AB ，AC ⊂Q 面P AC ，∴面PAC ⊥面P AB（2）以A 为坐标原点，AB u u u r ，AC u u u r 方向为x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()2,0,0B，()C，(1,P ，(Q ， 设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =u r ，则00AC m AQ m ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 令1z =，)m ∴=u r 设平面P AC 的法向量为(),,n x y z =r ，则00AC n PA n x ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 令1z =：()n ∴=r ， 设二面角P AC Q --的平面角为θ，则cos cos ,6m n θ==u r r . 而此二面角为锐角，故二面角P AC Q --的平面角的余弦值为6. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.22.设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长e ，定义直线b y e =±为椭圆的类准线，若椭圆C的类准线方程为y =， 的（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，不垂直于x 轴的直线6:5l y kx =-与椭圆C 交于A 、B 两点，点()2,1P 在直线l 的左上方，且PA PB ⊥，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若线段MN 长度是4，求k .【答案】（1）22182x y +=（2）12 【解析】【分析】（1）根据题设条件，列出a,b,c 的等量关系，联立即得解；（2）由4MN =，得到MNP △是等腰直角三角形，0MP NP k k ∴+=，联立65y kx =-与22480x y +-=，利用韦达定理即得解.【详解】由题意知：2a c e a b a b e⎧⎪=⎪⎪=∴==⎨⎪⎪=⎪⎩22182x y ∴+= （2）4MN =Q ，MNP ∴V 是等腰直角三角形0MP NP k k ∴+=设()11,A x y ，()22,B x y联立y kx m =+与22480x y +-=得： ()222418480k x kmx m +++-=122841km x x k -∴+=+，21224841m x x k -=+ 212111022PB PA y y k k x x --+=+=--Q 代入，化简得：224140km k m k ++--=65m =-，12k ∴=或1110k = 检验，当1110k =时，点P 在直线l 上，不合题意. 12k ∴=. 【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.。

合肥一六八中学高三测试 数学（理科）试题本试卷分第Ⅱ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +2．已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ）A ．A B B ．A B B = C ．()R A B ≠∅ D ．()R A B R =3． “1m =±”是“函数22()log (1)log (1)f x mx x =++-为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．1206．已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥时，α的值为（ ） A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα= 7．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．28．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ．36C ．120D ．1219．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞10．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上） 11．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ．12．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.13．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________. 14．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.15．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞； ②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大共6小题，共75分。

2020届安徽省合肥市第六中学高三下学期最后一卷数学（理）试题一、单选题1．设集合{ln A x x =≤∣，{|6}B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}|03x x <≤B ．{}|6x x ≤C ．{}|06x x <≤D ．{|36}x x ≤≤【答案】B【解析】解对数不等式求出集合A ，由此能求出A ∪B ． 【详解】{ln {ln ln 3}{|03}A x x x x x x =≤=≤=<≤∣∣，{|6}B x x =≤，{|}6A B x x =≤，故选：B ． 【点睛】本题考查并集的求法及简单的对数不等式，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z 满足1iz i =-，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +【答案】C【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i ?i 1i z =--=--，1i z ∴=-+，故选C.3．已知e 为自然对数的底数，又lg0.5a =，0.5b e =，0.5e c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用lg y x =，xy e =，0.5xy =的单调性和中间值0、1可得解. 【详解】lg0.5lg10a =<=，0.501b e e =>>，000.50.51e c <=<=所以a c b << 故选：B.【点睛】本题考查了指数、对数值的大小比较，指数、对数函数的单调性，考查了学生综合分析能力、数学运算能力.4．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且11a =，416S =，则4a =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】本题先建立方程441()42a a S +⨯=，再求4a 即可解题【详解】解：∵ 等差数列{}n a 的11a =，416S =， ∴441()42a a S +⨯=，即4(1)4162a +⨯=解得47a =， 故选：D ．本题考查等差数列前n 项和公式，是基础题.5．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马，鳖膈，堑堵三种基本立体图形，其中四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，PA BC ==PC =积为（ ）A ．3B C ．3D ．【答案】A【解析】先求出PB AB =. 【详解】解：由题意作图：在直角三角形PBC 中，PB =在直角三角形PAB 中，AB ==∴11323V =⨯=，故选：A ． 【点睛】本题考查几何体的体积，是基础题. 6．要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2xy =的图象（ ）A ．同右平移2π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向左平移2π个单位 【答案】A【解析】利用平移变换即可得到平移的过程． 【详解】函数y ＝sin （24x π-）＝sin 12（x 2π-），只需将y ＝sin 12x 的图象向右平移2π个单位，即可得到函数y ＝sin （24x π-）的图象，故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x 的系数，属于基础题．7．函数()sin ()x x e e xf x x--=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，由此确定正确选项. 【详解】函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()()sin ()sin x x xx e e x e e x f x xf x x---⋅--==-=---，所以()f x 为奇函数，由此排除CD 选项.而()0f π=，所以B 选项错误.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.8．已知P 为抛物线24y x =上一点，Q 为圆2(6)1x y -+=上一点，则PQ 的最小值为（ ） A ．211- B ．52-C ．251D ．2145-【答案】C【解析】设圆心为M ，(),P x y ，利用两点间距离公式求出PM ，根据二次函数的性质求得PM 的最小值，定点距圆上点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径. 【详解】设圆心为M ，(),P x y ，则()6,0M ，22222(6)(6)4836(4)20PM x y x x x x x =-+=-+=-+-+当4x =时，min25PM =，min 251PQ =.故选：C 【点睛】本题考查定点距圆上点的距离的最值、二次函数的最小值，属于基础题. 9．已知α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，则（ ）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直【答案】B【解析】当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线；β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直.【详解】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系概念辨析，考查了学生概念理解，逻辑推理，空间想象的能力，属于中档题.10．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】四名学生随意选择共256种选法，恰有一个地方未被选中共144种，所以其概率为9 16.【详解】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A⨯=⨯⨯⨯=种，所以恰有一个地方未被选中的概率为144925616=. 故选：B 【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其本质是利用排列组合知识解决计数问题. 11．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞【答案】D【解析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)xh x e x =+，所以切线斜率为(1)ae a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D . 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…、即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+-，*()3,n n N ≥∈．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满足11c b =，22c b =，1n n n c b b -=-*()3,n n N ≥∈，则1232020c c c c +++⋯+的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】首先得出数列{}n b 是以6为周期的周期数列，结合{}n c 的定义即可得结果. 【详解】新数列{}n b 为周期数列：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，332c b b =-，443202*********,..c b b c b b =-⋯=-， 122020122020220201c c c b b b b b b ++⋯+=++-=+ 20203366443b b b ⨯+===，所以1220201220202202014c c c b b b b b b ++⋯+=++-=+=， 故选：A. 【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量()2,1a =，()1,2b =-，则向量b 在向量c a b 上的投影为___________．【答案】 【解析】本题先求c ，再求向量b 在向量c 上的投影即可解题. 【详解】解：∵()2,1a =，()1,2b =-， ∴ (3,1)c =-b 在c 上的投影为：||10b c c ⋅==故答案为：.本题考查向量的坐标运算、向量的投影，是基础题. 14．在二项式()521()0x a ax+＞的展开式中x ﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是_____． 【答案】2【解析】写出二项式()521()0x a ax+＞的展开式的通项公式，求出x ﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解. 【详解】∵二项式()521()0x a ax +＞的展开式的通项公式为 T r +15r C =•1ra ⎛⎫ ⎪⎝⎭•552r x -，令552r -=-5，求得r ＝3，故展开式中x ﹣5的系数为35C •31a ⎛⎫⎪⎝⎭； 令552r -=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 15C •15a a=， 由为35C •31a ⎛⎫= ⎪⎝⎭5•1a ，可得a 2=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15．如图，为测得河对岸铁塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在铁塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60︒，再由点C 沿北偏东30方向走10米到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则铁塔AB 的高为___________米【答案】303+【解析】在△BCD 中，利用三角形内角和定理可得∠B ＝15°，利用正弦定理可得10sin45sin15BC =︒︒，解得BC ．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°，即可得出．在BCD 中，45BDC ∠=︒，120BCD ∠=︒，可得∠B ＝15°，且sin15°＝sin （45°﹣30°）1222==由正弦定理得：10sin 45sin15BC ︒︒==，在ABC 中，tan6030AB BC ︒===+故答案为： 【点睛】本题考查了解三角形、和差公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22:1927x yC -=的左右焦点，点A 为双曲线C 上一点，12F AF ∠的平分线AM 交x 轴于点()2,0M ，则AM =___________．【答案】【解析】本题先求出1F M ，2F M ，再求出1AF ，2AF ，最后建立方程2222228124602824m mm m +-+-+=⨯⨯⨯⨯，求解即可.【详解】在12AF F 中，18F M =，24F M =，由角平分线性质得11222AF F MAF F M==， 设12AF x =，2AF x =，由双曲线定义得：6x =，112AF =，26AF =， 在1AMF 和1AMF 中，AM m =，由余弦定理得：2222228124602824m mm m +-+-+=⨯⨯⨯⨯，解得：m =故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理、双曲线的定义与几何性质，是基础题.三、解答题17．在ABC 中，1cos 3A =，sinBC =． （1）求tan B ；（2）若ABC 的面积S =ABC 的周长．【答案】（1）tan B =；（2）2+. 【解析】（1）首先可求sin A 的值，进而利用两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简化简求值得解tan B 的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，cos B 的值，可得sin B C =，解得sin C 的值，令2a x =，由正弦定理可求b c ==，利用三角形的面积公式可求x 的值，即可得解ABC 的周长. 【详解】解：（1）∵0A π<<，sin A ∴==，1))33sin cos B A B C B B ==+=-∴sin B B =，∴tan B =．（2）tan B =，0B π<<∴sin B =cos B =∵sin B C =，co3s C ∴==∴sin 3C =． 不妨设A ．B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sin sin s ::::in 2A C a b c B ==令2a x =，则b c ==，又∵sin 12ABCSbc A ==1x ∴=∴ABC的周长为2+． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 18．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元．（1）记X 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X 的数学期望； （2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由． 【答案】（1）0.8；（2）选择方案一进行摸奖．理由见解析.【解析】（1）由题意知X 符合超几何分布，于是有()22235kkC C P X k C -⋅==，即可求出随机变量X 的数学期望；（2）分别求出两种方案获得的奖金数额的期望值，比较大小即可进行判断． 【详解】（1）由题可知X 符合超几何分布，即()2,2,5XH ，所以()22235k kC C P X k C -⋅==，{}0,1,2k ∈，即22251(2)10C P X C ===，11232563(1)105C P X C C =⋅===，0223253(0)10C P C C X ⋅===， ∴133()2100.810510E X =⨯+⨯+⨯=． （2）方案一：记ξ为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额， 则ξ可取50，20，15．22521(50)10C P X C ===，11232563(20)105C C P X C =⋅===，0223253(15)10C P X C C ⋅===，∴133()50201521.510510E X =⨯+⨯+⨯=． 方案二：记η为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额， 则η可取50，30，20，10．22221(50)10A P A η===，112232351(30)5C C P A A η⋅⋅===， 123233453(20)10C P C A A η⋅⋅===，1424542(10)5C P A A η⋅===． ∴1132()5030201021105105E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 21.521>，因此，我会选择方案一进行摸奖．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，涉及超几何分布的应用，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ．平面PCD ⊥平面ABCD ．（1）证明，PD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PC 的中点，DE PC ⊥，四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=︒，求二面角D-BE-C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）17-. 【解析】（1）过B 作BF ⊥CD 于F ，过B 作BG ⊥AD 于G ．证明BF ⊥CD ，BF ⊥PD ．BG ⊥PD ，然后证明PD ⊥平面ABCD ．（2）以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量，平面BEC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】解：（1）过B 作BF CD ⊥于F ，过B 作BG AD ⊥于G ． ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =，BF ⊂平面ABCD ，BF CD⊥∴BF ⊥平面PCD ，∴BF PD ⊥．同理可得BG PD ⊥，又∵BG BF B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．（2）以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴，做DC 垂线为x 轴建立如图所示空间直角坐标系，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD CD ⊥，又DE PC ⊥，E 为PC 的中点，∴PD DC =．不妨假设2PD =，则()0,0,0D ，(3,1,0)B ，()0,1,1E ，()0,2,0C ． 可知(3,0,1)BE =-，()3,1,0DB =，(3,1,0)BC =-．设(,,)m x y z =为平面BDE 的法向量，则00m BE m DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3030x z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩．令1x =，得3y =-，3z =．可知平面BDE 的一个法向量(1,3,3)m =- 同理可得平面BEC 的一个法向量(1,3,3)n =． ∴1cos ,||||7m n m n m n ⋅〈〉==，又二面角D-BE-C 为钝角， ∴二面角D-BE-C 的余弦值为17-．【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过焦点且垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值？若存在，求出点p 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在点11(,0)8P ，使得PA PB ⋅为定值13564-． 【解析】（1）先根据离心率得到2234b a =，再根据已知得到223b a=，最后求椭圆C 的方程．（2）先分类讨论①当直线l 与x 轴不重合时，先联立得到()2234690m y my ++-= 再用m 表示出12y y +、12y y 、12x x +、12x x 、PA PB ⋅，发现当118t =时，PA PB ⋅为定值；②当直线l 与x 轴重合且118t =时，PA PB ⋅为定值，最后给出定论即可. 【详解】解（1）∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =，∴2234b a = ∵过焦点且垂直于长轴的弦长为3，∴223b a =，解得2243a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在．设(,0)P t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=易知>0∆，且122634m y y m +=-+，122934y y m =-+； ()121212112x x my my m y y +=+++=++()()()212121212111x x my my m y y m y y =++=+++∴()()1122,,PA PB x t y x t y ⋅=-⋅-()2121212x x t x x t y y =-+++()()2212121()21m y y m mt y y t t =++-++-+222(615)92134t m t t m --=+-++ 当615934t --=，即118t =时，PA PA ⋅的值与m 无关，此时13564PA PB ⋅=-． 当直线l 与x 轴重合且118t =时， 1111135(2,0)(2,0)8864PA PB ⋅=-⋅+=-． ∴存在点11(,0)8P ，使得PA PB ⋅为定值13564-． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及定值问题，是偏难题. 21．已知函数2()ln(1)f x a x x（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()21xe xf x --≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域、求导函数()'f x ，接着构建新函数2()22g x x x a =--+，再分类讨论0∆≤和>0∆时的单调性，当>0∆时，又分0a ≥与102a -<<两种情况讨论即可得到答案； （2）先构建新函数()1ln(1)xh x e a x =--+，分0a ≤、01a <≤、1a >三种情况讨论，最后判断求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，222()211a x x af x x x x --+'=-=++， 令2()22g x x x a =--+，则48a ∆=+且()f x '与()g x 的符号相同．①当0∆≤即12a ≤-时，()0g x ≤，此时()0f x '≤； ②当>0∆即12a >-时，令()0g x =得1x =，211122x -+=≥->-，（①）当11x ≤-即0a ≥时，当()21,x x ∈-时，()0>g x ，此时()0f x '>； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x '<； （②）当11x >-即102a -<<时， 当()()121,,x x x ∈-+∞时，()0g x <，此时()0f x '<；当()12,x x x ∈时，()0>g x ，此时()0f x '>；综上，当12a ≤-时，()f x 的单调递减区间为(1,)+∞，无单增区间；当0a ≥时，()f x 的单调递减区间为1()2-++∞，单调递增区间为1(1,2-+-；当102a -<<时，()f x 的单调递减区间为(-和)+∞，单调递增区间为．（2）221()e x f x ≥--即1ln(1)0xe a x --+≥；令()1ln(1)xh x e a x =--+， 则()00h =，()1xah x e x '=-+； 当0a ≤时，()0h x '>，此时()h x 在[0,)+∞上单增，()()00h x h ≥=，符合题意； 当01a <≤时，由xy e =和1ay x =-+都是增函数可知()h x '也为增函数， 故()()010h x h a ''≥=-≥，此时()h x 在[)0,+∞上单增，()()00h x h ≥=，符合题意； 当1a >时，同理()h x '也为增函数， ∵()010h a '=-<，当x →+∞时，()0h x '>，∴()h x '在[0,)+∞上有唯一零点，不妨假设为0x 当[)00,x x ∈时，()0h x '<，此时()h x 单减， ∴当0(0,)x x ∈时，()()00h x h <=，不合题意． 综上所述，a 的取值范围为(,1]-∞． 【点睛】本题考查含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题，是偏难题.22．在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于,A B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程.【答案】（1）()()2121y x +=+；（2）221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）采用代入消元法消去t 即可整理得到所求普通方程；（2）将l 极坐标方程化为普通方程，利用直线与曲线有且仅有唯一的公共点可联立令0∆=，从而求得m ，进而求得,A B 坐标，根据,A B 坐标确定圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程. 【详解】（1）由21y t =-得：12y t +=，则22121212y x t +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，整理得：()()2121y x +=+，故曲线C 的普通方程为()()2121y x +=+. （2）由()2sin cos m ρθθ-=得：2y x m -=，联立()()21212y x y x m⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩得：22210y y m -+-=，l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，()44210m ∴∆=--=，解得：1m =，l ∴的方程为21y x -=，l ∴与坐标轴交点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭与()1,0-，不妨假设10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,0B -，线段AB 的中点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，2AB ∴==，∴以AB为直径的圆的半径r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为：221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的知识的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、圆的方程的求解等知识，属于常考题型. 23．已知()12f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.【答案】（1）{1x x <-∣或1}x >；（2）8a =-或4.【解析】（1）代入1a =，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质1122a ax x -++≥+进行求解即可. 【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =-++， 当12x ≤-时，()3f x x =-，此时解()3f x >得1x <-； 当112x -<≤时，()2f x x =+，此时解()3f x >得无解； 当1x >时，()3f x x =，此时解()3f x >得1x >. 综上，不等式()3f x >的解集为{|1x x <-或}1x > （2）()12f x x x a =-++122a x x =-++122a a x x x =-++++ 122a a x ≥+++(当且仅当()102a x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭时等号成立) 12a ≥+(当且仅当2ax =-时等号成立) 可以知道当2ax =-时，()f x 有最小值12a +，由132a+=得8a =-或4 . 【点睛】此题考查解绝对值不等式，不含参数时一般分段讨论，注意基本不等式的使用，属于较易题目.。

2019-2020学年安徽省合肥市一六八中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}40log 1A x x =<<，{}21x B x e -=≤，则A B =U （ ）A ．(),4-∞B ．()1,4C ．()1,2D ．(]1,2【答案】A【解析】分别化简集合,A B ,再求并集即可 【详解】{}{}40log 1=14A x x x x =<<<<{}{}21=2x B x e x x -=≤≤，则A B =U (),4-∞故选：A 【点睛】本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题2．已知向量)a θθ=r， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =r ，则向量a r 与b r的夹角为（ ） A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【答案】C【解析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可. 【详解】解:因为)a θθ=r,()0,1b =r,所以cos ,sin ||||a b a b a b θ⋅<>===r r r rr r , 因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,2a b πθ<>=-r r ,所以向量a r与b r的夹角为2πθ-.故选:C .【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题. 3．已知432a =，1ln33e b =，233c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】结合指数式与对数式的性质，可将三个式子化为指数为13的形式，然后利用幂函数的单调性可得出答案. 【详解】 由题意，4133216a ==，1311ln3ln333ee3b ===，213339c==，因为函数13y x =在()0,+?上单调递增，所以1113333916<<，即b c a <<.故选：B. 【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数式与对数式的运算性质，考查幂函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.4．若函数f （x ）221x x m-=++tanx 的定义域为[﹣1，1]，且f （0）=0，则满足f （2x—1）<f （x —m +1）的实数x 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（﹣1，0）C ．[1，2）D ．[0，1）【答案】D【解析】由(0)0f =，可求m ，进而可求()f x ，结合函数的单调性即可求解不等式． 【详解】由(0)0f =，即1(0)02mf -==得：1m =. 所以21()tan 21x x f x x -=++.2()1tan 21x f x x =-++在[-1，1]上单调递增. 则由(21)()f x f x -<可得，1211x x -≤-<≤. 解可得：01x ≤<， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，属于中档试题． 5．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（02πϕ<<），将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在2,32ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象关于3x π=-对称【答案】B【解析】根据“左加右减”的平移原则，以及得到的函数为偶函数，求出ϕ的值，再讨论()f x 的单调性和对称性即可. 【详解】对于函数()()sin 2f x x ϕ=+（02πϕ<<），将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度， 可得sin 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 再根据得到的函数的图象关于y 轴对称， 可得32ππϕ+=，即6π=ϕ， ∴()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. 在2,32ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，752,666x πππ⎡⎫+∈--⎪⎢⎣⎭，()f x 单调递减，故A 正确； 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上，52,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 在该区间上不是单调函数，故B 错误； 当512x π=时，()0f x =，故()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确； 当3x π=-时，()1f x =-，为最小值，故()f x 的图象关于3x π=-对称，故D 正确，综上所述，错误的是B .本题考查根据正弦型函数的奇偶性求参数的值，以及正弦型函数单调区间的求解，以及对称轴的求解，属综合性中档题.6．函数21,0,()1,0.xx f x xx x +⎧<⎪=⎨⎪-⎩…则函数(())y f f x =的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】根据解析式分情况分段求解零点即可. 【详解】设()f x t =,令()0f t =,则1t =或1t =-.当0x ≥时,由()1f x =,得x =由()1f x =-,得0x =；当0x <时,由()1f x =,即111x+=,无解；由()1f x =-,即111x+=-,得12x =-,所以有三个零点,故选：B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数问题,需要分段求解零点并判断零点是否在对应区间内.属于中档题.7．在ABC ∆中，60BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有23AD AC t AB =+u u u v u u u v u u u v.若6AB =u u u v ，则BC =u u u v （ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由B 、C 、D 三点共线，可得t 的值，求出,BD DC 关系，再利用AD 是角平分线，结合面积公式，求出AC 边长，用余弦定理求出BC . 【详解】由B 、C 、D 三点共线知13t =，2133AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ,2BD DC =u u u r u u u r，即2,2ABD ACD BD DC S S ∆∆=∴=，0011sin 30,sin 3022ABD ACD S AB AD S AC AD ∆∆∴=⨯⨯=⨯⨯， 26AB AC ∴==，所以3AC =，由余弦定理得BC =本题考查点共线的条件关系，考查角平分线的性质，以及余弦定理，属于中档题. 8．已知，且都是锐角，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知利用同角三角函数的基本关系式可得的值，利用两角和的正弦函数公式得到的值，结合的范围，即可求解.【详解】 由题意，可得，可得，即，所以由，可得，所以，解得， 因为都是锐角，所以，所以,因为，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式和两角和的正弦函数的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9．已知向量a r ，b r 满足3a r =，1b =r ，且对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r r r 恒成立，设a r 与b r的夹角为θ，则tan2θ=（ ）A 2B ．2-C ．22-D ．22【答案】D【解析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r rr 恒成立所以22210x a bx a b +⋅-⋅-≥r r r r 对任意实数x 恒成立所以0∆≤，即()224(21)0a ba b rrr r ⋅+⋅+≤又cos 3cos a b a b θθ⋅=⋅=r rr r所以212cos 4(23cos 1)0θθ++≤，即23cos 23cos 10θθ++≤2(3cos 1)0θ+≤，解得3cos θ=-又0θπ≤≤，所以6sin θ=，所以tan θ=2- 因为22tan tan 21tan θθθ=-，所以tan 222θ= 故选D【考点】三角函数求值；恒成立问题；平面向量的数量积. 10．已知两条直线1l ：y m =和2l ：41y m =+（0m >），1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于C 、D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b ，当m 变化时，ba的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．82D ．42【答案】B【解析】根据函数图像，以及对数运算，将,b a 表示为m 的函数，再利用均值不等式求解最小值即可. 【详解】在同一坐标系中作出y m =，41y m =+（0m >），与2log y x =的图象，设A ，B ，C ，D 各点的横坐标分别为,,,,A B C D x x x x则由log2x m =，解得2m A x -=，2mB x =；由4log 21x m =+（0m >）， 解得412m Cx -+=，412m D x +=；∴4|1|22mm A Ca x x --+=-=-4122mm B D b x x +=-=-，则41412222mm m m b a+-+-=-414141222222mm m m m m +++-=⋅⋅-4122mm +=⋅412m m ++= 41112m m ++-+=14132228-==≥=当且仅当411m m +=+，即1m =时取得最小值.故ba的最小值为8， 故选：B. 【点睛】本题考查对数型函数的图像，以及对数运算，涉及均值不等式的使用，属中档题. 11．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，且(1)1f =，函数(1)f x +的图象关于点(1,0)-中心对称，对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有20192019112212()()0x f x x f x x x ->-成立. 则20191()f x x≤的解集为（ ）A ．[]1,1-B ．(][),11,-∞-+∞UC ．(](],10,1-∞-UD ．()2019,2019-【答案】C【解析】根据条件判断函数()f x 是奇函数，构造函数()()2109h x x f x =，研究函数()h x 的奇偶性和单调性，分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】∵函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-中心对称，∴函数()y f x =的图象关于点(0,0)中心对称，即函数()f x 是奇函数，对任意的正数1x ，2x ()12x x ≠，()()201920191122120x f x x f x x x >--恒成立，不妨设12(0,)x x <∈+∞，则()()2109210911220x f x x f x <-， 设()()2109h x xf x =，则不等式等价为()()12h x h x <，且函数()h x 是偶函数，即()h x 在()0,∞+上为增函数，则函数在(),0-∞上是减函数. 当0x >时，不等式20191()f x x≤即2019()1x f x ≤，即()()1h x h ≤，所以01x <≤；当0x <时，不等式20191()f x x ≤即2019()1x f x ≥，即()()1h x h ≥-，所以1x ≤-；因此不等式的解集为：(](],10,1-∞-U ． 故选：C. 【点睛】本题考查抽象函数与不等式的综合应用，解题关键是正确构造函数，通过研究函数的性质解不等式.12．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()112f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-，则m 的最小值是（ ）A ．43-B ．53- C ．54- D ．65-【答案】A【解析】根据函数在(]0,1上的解析式，以及()()112f x f x +=，求出函数在(](]1,0,2,1---上的解析式，求出满足题意的临界值即可.【详解】Q ()()112f x f x +=，∴()()21f x f x =+当(]0,1x ∈时，()()11,04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， (]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()()2,021211x f x f x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣+=+⎦=，(]2,1x ∈--时，(]11,0x +∈-，()()()()[]214211,0f x f x x x =+=++∈-，将函数大致图象绘制如下：(]2,1x ∈--时，令()()84219x x ++=-，解得：153x =-，243x =-，若对于任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-，所以43m ≥-，故选：A. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，以及数形结合求解恒成立问题的能力，属综合性中档题.二、填空题13．设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，且//a b v v ，则cos2=α__________． 【答案】0【解析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出2α的值，最后计算出它的余弦值即可. 【详解】因为//a b r r ，所以31sin cos sin 2122()232k k Z πααααπ⨯=⇒=⇒=+∈，因此cos 2cos(2)0()2k k Z παπ=+=∈.故答案为：0 【点睛】本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.14．函数22()log (3)f x x =-+的单调递减区间是________.【答案】【解析】求出原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，由复合函数的单调性求得函数22()log (3)f x x =-+的单调递减区间．【详解】解：由230x -+>，得x << 又内层函数23t x =-+在上为减函数，∴函数22()log (3)f x x =-+的单调递减区间是．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数的内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．15．()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，()221,01,log 1,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【解析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案. 【详解】因为()f x 是定义域为R 的偶函数,所以()()4f x f x +=-()f x = ,所以周期4T=,所以129911()()(4)()2112222f f f f -==+==-=,2(21)(451)(1)log 111f f f =⨯+==+=,所以()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭2112-+=.故答案为:2. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于中档题. 16．已知函数()sin f x x =，若方程()()()230f x f x m -+=在50,6π⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的解，则实数m 的取值范围为____. 【答案】112,0,412⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】通过x 的范围，得到sin x 的图像与取值范围；设sin x t =，根据图像可知，若{}1sin 0,12x ⎛⎤∈⋃ ⎥⎝⎦时，每个t 的取值对应唯一的x ，即230t t m -+=有两个不同解；若1sin ,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，每个t 的取值对应两个不同的的x ，即230t t m -+=有唯一解即可．根据图像，求得m 的取值范围. 【详解】 当50,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 图像如下：()(]0,1f x ∴∈设()f x t =，则(]23,0,1m t t t =-+∈当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程有两个不同解，只需y m =与()23g t t t =-+图像只有一个交点12,4m ⎛⎫⇒∈-- ⎪⎝⎭当1t =时，若方程有两个不同解，需y m =与()23g t t t =-+图像有两个交点，不合题意当10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，若方程有两个不同解，需y m =与()23g t t t =-+图像有两个交点 10,12m ⎛⎫⇒∈ ⎪⎝⎭综上所述：112,0,412m ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 本题正确结果：112,0,412⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了利用三角函数的范围，求出与二次函数有关的复合函数的值域问题.易错点在于将函数转化为二次函数后，忽略了t 与x 的对应关系，错误的认为只需y m =与23y t t =-+在(]0,1上有两个交点即可，从而错误求得部分结果.17．已知向量())2,2,,m sinx cosx n cosx ==r r，()1f x m n =⋅-r r.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【答案】（1）最小正周期为T π=，单调递增区间为1,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）()min g x =【解析】（1）根据向量的数量积运算以及倍角公式和辅助角公式，将函数整理为标准型正弦型函数，再求解其性质即可；（2）先根据三角函数图像的变换，求得()g x ，再求函数值域即可. 【详解】（1）因为()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos 22sin 26π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x∴函数()f x 的最小正周期为T π=， 由222262k x k πππππ-≤+≤+得()f x 的单调递增区间为1,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）根据条件得()52sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5544,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当8x π=时，()min g x =【点睛】本题考查利用倍角公式和辅助角公式化简三角函数解析式并求其性质的问题，涉及三角函数图像的变换，属综合性中档题.三、解答题18．已知集合A 为函数()222log 21y x ax a =-+-的定义域，集合{}ln 2lg1000B x e x =≤≤．（1）当1a =-时，求()R A B I ð； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()()(),20,23,-∞-+∞U U ；（2）()(),14,-∞⋃+∞．【解析】（1）求出集合A 、B ，然后利用补集和交集的定义可求出集合()R A B I ð； （2）由A B A ⋃=可得出B A ⊆，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】 （1）据题意{}()(){}22210110A x x ax a x x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+->=--⋅-+>⎣⎦⎣⎦()(),11,a a =-∞-++∞U ，当1a =-时，()(),20,A =-∞-+∞U .{}[]ln 2lg10002,3B xe x =≤≤=Q ，所以()(),23,R B =-∞+∞U ð，因此，()()()(),20,23,R A B =-∞-+∞I U U ð；（2）A B A =Q U ，B A ∴⊆，所以12a +<或13a ->，解得1a <或4a >， 因此，实数a 的取值范围是()(),14,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查集合的基本运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC V 外的地方种草，ABC V 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花.若BC a =，ABC θ∠=，设ABC V 的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S .（1）用a ，θ表示1S 和2S ； （2）当a 为定值，θ变化时，求12S S 的最小值，及此时的θ值. 【答案】（1）211sin cos 2S a θθ=；22sin cos 1sin cos a S θθθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（2）当4πθ=时，12S S 的值最小，最小值为94【解析】（1）利用已知条件，根据锐角三角形中正余弦的利用，即可表示出1S 和2S ；（2）根据题意，将12S S 表示为θ的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值. 【详解】（1）在Rt ABC V 中，cos ,sin AB a AC a θθ==， 所以2111sin cos 22S AB AC a θθ=⋅=；设正方形的边长为x ，则sin xBP θ=，cos AP x θ=， 由BP AP AB +=，得cos cos sin xx a θθθ+=， 解得sin cos 1sin cos a x θθθθ=+；所以222sin cos 1sin cos a S x θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭；（2）()2121sin cos 12sin cos S S θθθθ+=⋅ 211sin 22sin 2θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=11sin 21sin 24θθ=++，令sin 2t θ=，因为02πθ<<，所以02θπ<<，则(]sin 20,1t θ=∈，所以121114S t S t =++； 设()1114t t g t =++， 根据对勾函数的单调性可知，()g t 在(]0,1上单调递减， 因此当1t =时，()g t 有最小值()()min 119111414g t g =+=+⨯=， 此时sin 21θ=，解得4πθ=；所以当4πθ=时，12S S 的值最小，最小值为94. 【点睛】本题考查倍角公式的使用，三角函数在锐角三角形中的应用，以及利用对勾函数的单调性求函数的最值，涉及换元法，属综合性中档题.20．如图，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，点A 、B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，C 、D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π、23π的两点，//CD x 轴，且A 、B 、D 三点共线．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若()1213f α=，,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）若关于x 的函数()2log 4g x f x k π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好有一个零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）5413f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）2⎡⎣． 【解析】（1）求出B 点的横坐标，线段CD 中点坐标，再求函数()y f x =的最小正周期T ，从而求出ω、ϕ的值，即可写出函数解析式； （2）由题意得出12sin 2313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式可求出4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （3）由函数()y g x =的解析式，利用分离常数法得出2log cos 23k x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 23x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围，可得出关于k 的不等式，解出即可.【详解】（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称，B ∴点的横坐标为120233ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭. 又点C 与点D 关于直线12722312x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭对称，∴函数()y f x =的最小正周期23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==，又2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23k k Z πϕπ∴+=∈， 解得()3k k Z πϕπ=+∈，0ϕπ<<Q ，3πϕ∴=，因此，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）由()12sin 2313f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，2,32ππαπ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，所以，5cos 2313πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭， 所以5sin 2sin 2cos 244332313f ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；（3）()22log cos 2log 43g x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，令()0g x =，得2log cos 23k x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2,032x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以210log 2k ≤≤，解得1≤k所以实数k 的取值范围是⎡⎣.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角函数值的计算，也考查了函数与方程思想方法，是综合题． 21．已知函数()()()12142,21x xx x f x m m R g x +-=-⋅∈=+.（1）求函数()f x 在区间)1,⎡+∞⎣上的最小值；（2）若存在不相等的实数,a b 同时满足()()()()0,0f a f b g a g b +=+=，求m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥时：()2min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-；（2）1,2m ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）设2(2)x t t =≥，化简得到函数22y t mt =-，讨论对称轴范围2m ≥和2m <两种情况计算得到答案.（2）根据()()0g a g b +=化简得到0a b +=，代入函数得到114422a a a a m -+-++=+，设 22(2)a a t t -+=>得到函数12t y t=-，根据函数的单调性得到取值范围. 【详解】（1）()142xx f x m +=-⋅，设2(2)x t t =≥，22y t mt =-，对称轴为t m =当2m ≥时：222min 2y m m m =-=-；当2m <时：min 44y m =-.综上所述：2m ≥时：()2min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-（2）()()0g a g b +=，则()()()()212102121212102121a b a b a b a b --+=∴-+++-=++化简得到：210a b a b +=∴+=()()0f a f b +=即1111114442424402222a b a aab a b a b a a m m m -+++++-++++=-⋅-⋅∴==++设22(2)aat t -+=>则22122t t m t t-==-易知函数12t y t =-在()2,+∞单调递增，故211222m >-=即1,2m ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数的最值问题，求参数的取值范围，意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.22．已知函数()2f x x x a x =-+.（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[]2,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[]22-,（2）3,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）98t <【解析】（1）将函数写成分段函数的性质，根据分段函数在R 上是单调增函数，即可求得参数的范围；（2）根据题意，分离参数，将问题转化求解函数在区间上最值的问题，即可求得； （3）将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，求出函数的值域，结合函数的单调性即可求得. 【详解】（1）∵函数()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩. 由于()f x 在R 上是连续的增函数，所以只要当x a ≥时为增函数且当x a <时也为增函数；即2222a a a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，解得22a -≤≤，则a 的范围为[]22-,. （2）由题意得对任意的实数[]1,2x ∈，()()f x g x <恒成立， 即1x x a -<，当[]1,2x ∈恒成立， 即1x a x-<， ∴11x a x x -<-<， ∴11x a x x x -<<+，故1a x x>-且1a x x <+在[]1,2x ∈上恒成立，即在[]1,2x ∈时，只要1a x x>-的最大值且1a x x <+的最小值即可，而当[]1,2x ∈时，1y x x =-为增函数，max 13222y =-=；当[]1,2x ∈时，1y x x=+为增函数，min 2y =，∴322a <<. 所以满足条件的所有3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （3）由题意得，关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根()2f x at ⇔=有三个不相等的实数根；即()y f x =与2y at =有三个不同的交点；①当22a -≤≤时，由（1）知，()f x 在R 上是增函数， 则关于x 的方程()()f x tf a =不可能有三个不等的实数根；②当(]2,4a ∈时，由()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩.当x a ≥时，∵(]2,4a ∈， ∴()()22f x x a x =+-对称轴22a x a -=<， 则()f x 在[),x a ∈+∞为增函数；此时()f x 的值域为())[),2,f a a +∞=+∞⎡⎣， 当x a <时，()()22f x x a x =-++对称轴22a x +=， ∵(]2,4a ∈，∴22022a aa +--=<， ∴对称轴22a x a +=<， 则()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎫+-∞ ⎪⎝⎭， ()f x 在2,2a a +⎡⎫⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦； 综上所述，若存在(]2,4a ∈，使()y f x =与2y at =有三个不同的交点， 则()22224a a at +<<，即存在(]2,4a ∈，使得()2218a t a+<<即可，令()()2214488a a a aa g +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 只要使()()maxt g a <即可，而()g a 在(]2,4a ∈上是增函数，()()max 948g a g ==.故可得94t <.【点睛】本题考查由分段函数在R上的单调性求参数的范围，以及由恒成立问题求参数的范围，涉及由方程根的个数，求参数的范围，属综合性中档题.第 21 页共 21 页。

2019-2020学年合肥168中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.定义在R上的函数(x)，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ(λ∈R)，使得对任意的x∈R，都有f(x+λ)=λf(x)，则称y=f(x)为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是()A. 若函数y=f(x)是倍增系数λ=−2的函数，则y=f(x)至少有1个零点B. 函数f(x)=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1C. 函数f(x)=e−x是倍增函数，且倍增系数λ∈(0,1)(k∈N+)D. 若函数f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函数，则ω=2kπ22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a=3，b=√3，面积为3√3，则边c的长4为()A. √3B. √21C. √3或√21D. √63.已知△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，且a，b，c成等比数列，则函数y=sinB+cosB的取值范围是()A. [−√2,√2]B. (1,√2]C. [1,√2]D. (0,√2)4.(文)在中，若，则是()A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 以上都有可能(理)已知在中，则此三角形为()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定5.设首项不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2、S4、S5也为等差数列，若S k=0，则k=()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则等于：A. B. C. D. 17.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A. y=x −2B. y=x −1C. y=x 2D.8.如图，平面上有四个点A、B、P、Q，其中A、B为定点，且AB=√3，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面积分别为S和T，则S2+T2的最大值为()A. 67B. 1C. √3D. 789.设S n为等差数列{a n}的前n项和，且2+a5=a6+a3，则a4=()A. 28B. 14C. 7D. 210.下列说法正确的是()A. 函数y=sin(2x+π3)在区间(−π3,π6)内单调递增B. 函数y=cos4x的最小正周期为2πC. 函数y=cos(x+π3)的图象是关于点(π6,0)成中心对称的图形D. 函数y=tan(x+π3)的图象是关于直线x=π6成轴对称的图形11.已知数列{a n}是公比大于1的等比数列，若a2a4=16，a1+a5=17，则a1+a2+⋯+a8=()A. 34B. 255C. 240D. 51112.如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是()A. a，b，γB. a，b，αC. a，b，βD. α，β，a二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，若∠A=π4，tan(A+B)=7，AC=3√2，则△ABC的面积为______．14. 在△ABC 中，A =60°，AC =2，BC =√3，则△ABC 的面积等于______．15. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a 2=2，a 3=3，数列{a n +a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S 23= ______ ．16. 已知不等式组{x +y ≤1,x −y ≥−1,y ≥0，表示的平面区域为M ，若直线y =kx −2k 与平面区域M有公共点，则k 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若acosB =bcosA ，且8sin 2B+C 2+4sin 2A =9．(1)求角A 、B 、C 的值；(2)若x ∈[0,π2]，求函数f(x)=sinAsinx +cosBcosx 的最大值与最小值．18. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且√3bsinA −acosB −2a =0．(1)求∠B 的大小；(2)若b =√7 , △ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点{n,Snn }在直线y =2x +2上，数列{b n }的前n 项和为Tn ，且T n =2b n −3，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式：(2)设C n =1(a n 2−1)(a n 2+)数列{C n }的前n 项和为A n ，求证：A n ≥1320. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+1=3a n −2a n−1(n ∈N ∗,n ≥2)(Ⅰ)证明：数列{a n+1−a n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式(Ⅱ)设数列{b n }满足b n =2log 4(a n +1)2，证明：对一切正整数n ，有1b 12−1+1b 22−1+⋯+1b n2−1<12．21. 解下列不等式：(1)x 2−x −6<0； (2)−2x 2+x −5<0； (3)3x 2+2x +13<0； (4)16−24x ≤−9x 2； (5)(x +1)2−6>0； (6)x 2+20≥6x +1； (7)−x 2+4x −4≤0；(8)7x3−1<x(7x−1)(x−1)．22.本小题满分12分)给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了新定义的函数的性质与应用的问题，解题时应理解新定义的内容是什么，是综合性题目．根据题意，利用“倍增函数”的定义f(x+λ)=λf(x)，对题目中的选项进行分析判断，即可得出正确的答案．解：对于A，∵函数y=f(x)是倍增系数λ=−2的倍增函数，∴f(x−2)=−2f(x)，当x=0时，f(−2)+2f(0)=0，若f(0)、f(−2)任意一个为0，则函数f(x)有零点；若f(0)、f(−2)均不为0，则f(0)、f(−2)异号，由零点存在性定理得，在区间(−2,0)内存在x0，使得f(x0)=0，即y=f(x)至少存在1个零点，A正确；对于B，∵f(x)=2x+1是倍增函数，∴2(x+λ)+1=λ(2x+1)，∴λ=2x+12x−1≠1，B错误；对于C，∵f(x)=e−x是倍增函数，∴e−(x+λ)=λe−x，∴1e x eλ=λe x，∴λ=1eλ∈(0,1)，C正确；对于D，∵f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函数，∴sin[2ω(x+λ)]=λsin2ωx，∴λ=1且2ω=2kπ，∴ω=2kπ2=kπ(k∈N∗)，D正确．故选：B．2.答案：C解析：解：∵△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a=3，b=√3，面积为3√34，∴12×3×√3×sinC=3√34，∴sinC=12，∴cosC=±√32，∴c=√9+3−2×3×√3×(±√32)=√3或√21．故选：C．根据题目的已知条件，利用三角形的面积公式，求出sin C，可得cos C，利用余弦定理，即可得出结论．本题是基础题，考查三角形的边角关系，三角形的求解方法，三角形的面积公式的应用，考查计算能力．3.答案：B解析：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac≥2ac−ac2ac=12，∴B∈(0,π3]，即B+π4∈(π4,7π12]，∴√22<sin(B+π4)≤1，函数y=sinB+cosB=√2sin(B+π4)∈(1,√2]，故选：B．根据a，b，c成等比数列，利用等比数列性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cos B，将得出关系式代入，并利用基本不等式求出cos B的范围，进而求出B的范围，函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦函数的值域即可确定出范围．此题考查了余弦定理，等比数列的性质，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．4.答案：A解析：解：在△ABC中，，故角C为钝角，则△ABC为钝角△，故选A．5.答案：C解析：解：因为数列{a n}是等差数列，且S2、S4、S5也为等差数列，所以2(4a1+6d)=(2a1+d)+(5a1+10d)，得a1+d=0，×d=0，解得k=3，令S k=ka1+k(k−1)2故选：C．数列{a n}是等差数列，且S2、S4、S5也为等差数列，将S2、S4、S5用a1，d表示，得到a1和d的关系，令S k=0，即可得到k的值．本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，属于基础题．6.答案：B解析：本题主要考查等比数列的概念和性质．解：∵a，b，c，d是公比为2的等比数列，，则，故选：B．7.答案：A解析：y=x −2与y=x 2是偶函数，由幂函数的图象可知，y=x −2在(0,+∞)上单调递减．8.答案：D解析：解：在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2−2PA⋅AB⋅cosA=1+3−2√3cosA=4−2√3cosA，在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2−2PQ⋅QB⋅cosQ=2−2cosQ，∴4−2√3cosA=2−2cosQ，即cosQ=√3cosA−1根据题意得：S=12PA⋅AB⋅sinA=√32sinA，T=12PQ⋅QB⋅sinQ=12sinQ，∴S2+T2=34sin2A+14sin2Q=34(1−cos2A)+14(1−cos2Q)=−32(cosA−√36)2+78，当cosA=√36时，S2+T2有最大值78，故选：D．利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值即可．此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9.答案：D解析：解：由等差数列{a n}的性质可得：a4+a5=a6+a3，又2+a5=a6+a3，则a4=2．故选：D．由等差数列{a n}的性质即可得出．本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查三角函数的图象和性质．根据正弦函数的性质判断A；利用二倍角公式化简函数解析式判断B；利用余弦函数的性质判断C；利用正切函数的性质判断D．解：∵−π3<x<π6，∴−π3<2x+π3<2π3，则函数y=sin(2x+π3)在区间(−π3,π6)内先增后减，故A错误；函数y=cos4x=(1+cos2x2)2=14(cos22x+2cos2x+1)=18cos4x+12cos2x+38，π也是其周期，故B错误；∵cos(π6+π3)=cos π2=0，∴函数y =cos(x +π3)的图象是关于点(π6,0)成中心对称的图形，故C 正确； 易知函数y =tan(x +π3)的图象关于直线(π6,0)成中心对称的图形，故D 错误． 故选：C ．11.答案：B解析：解：根据题意，数列{a n }是公比大于1的等比数列，若a 2a 4=16，则a 1a 5=a 2a 4=16， 又由a 1+a 5=17，且q >1， 解可得：{a 1=1a 5=16，则q =2，故a 1+a 2+⋯+a 8=S 8=1×(1−28)1−2=255；故选：B ．根据题意，由等比数列的性质可得a 1a 5=a 2a 4=16，又由a 1+a 5=17，且q >1，变形可得a 1，a 5的值，计算可得q 的值，结合等比数列前n 项和公式计算可得答案． 本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的性质，关键求出q 的值．12.答案：A解析：解：根据实际情况α、β都是不易测量的数据，在△ABC 中，a ，b 可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB 的长． 故选：A ．为了测量隧道两口之间AB 的长度，a ，b 可以测得，角γ也可测得，α、β都是不易测量的数据，利用余弦定理可直接求出AB ，故可知结论本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量13.答案：212解析：解：在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴tanC =tan[π−(A +B)]=−tan(A +B) ∵tan(A +B)=7，∴tanC =−7，∴sinCcosC =−7 ∵sin 2C +cos 2C =1，C ∈(0,π)，∴sinC=7√2 10∵∠A=π4，tan(A+B)=7，∴1+tanB1−tanB=7．∴tanB=34．∵B∈(0,π)，∴sinB=35．∴由正弦定理bsinB =csinC，代入得到c=7．∴S△ABC=12bcsinA=12×3√2×7×sinπ4=212．故答案为：212．利用三角形的内角和，求解tan C，通过同角三角函数的基本关系式，求解sin C的值，利用A求解sin B，通过正弦定理求解c，然后求解△ABC的面积．本题考查三角形的内角和，同角三角函数的基本关系式的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．14.答案：√32．解析：解：由正弦定理可得：sinB=ACsinABC =√3=1，又0<B<π，故B为直角，则由勾股定理可得：AB=√AC2−BC2=√4−3=1，所以，S△ABC=12×AB×BC=12×1×√3=√32．故答案为：√32．由正弦定理结合已知可求sin B，结合B的范围即可求B为直角，由勾股定理可求得AB，即可求△ABC 的面积．本题主要考查了正弦定理，勾股定理的综合应用，属于基本知识的考查．15.答案：209解析：解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，∴a n+3−a n=a n+1+a n+2+a n+3−(a n+a n+1+a n+2)=2，∴数列隔2项取出的数构成2为公差的等差数列，∵a1=1，a2=2，a3=3，∴S23=a1+a2+a3+⋯+a23=(a1+a4+a7+⋯+a22)+(a2+a5+a8+⋯+a23)+(a3+ a6+a9+⋯+a21)=(8×1+8×72×2)+(8×2+8×72×2)+(7×3+7×62×2)=209．故答案为：209．由题意可判数列隔2项取出的数构成2为公差的等差数列，由等差数列的求和公式可得．本题考查等差数列的求和公式，得出数列隔2项取出的数构成2为公差的等差数列是解决问题的关键，属中档题．16.答案：[−1,0]解析：解：由约束条件{x+y≤1x−y≥−1y≥0作出可行域如图，直线y=kx−2k过定点P(2,0)，C(0,1)，k PC=1−00−2=−12．∴要使直线y=kx−2k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是[−1,0]．故答案为：[−1,0]．由约束条件作出可行域，由直线系方程求得直线y=kx−2k所过定点，数形结合求得定点与可行域内动点连线的斜率的范围，则答案可求．本题考查了直线系方程，考查了直线的斜率，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：(1)且8sin2B+C2+4sin2A=9．整理得：8⋅1+cosA2+4(1−cos2A)=9，解得：cosA=12，由于0<A<π，故：A=π3．acosB=bcosA，整理得：sinAcosB−sinBcosA=0，所以：sin(A−B)=0，则：A=B．故：A=B=C=π3．(2)函数f(x)=sinAsinx+cosBcosx，=√32sinx+12cosx，=sin(x+π6)，由于：x∈[0,π2]，则：π6≤x+π6≤2π3，则：函数的最小值为12，函数的最大值为1．解析：(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：解：(1)由√3bsinA−acosB−2a=0，由正弦定理可得√3sinBsinA−sinAcosB−2sinA=0，sinA>0可得√3sinB−cosB=2，即有2sin(B−π6)=2，可得B−π6=2kπ+π2，k∈Z，由B为三角形的内角，可得k=0，B=2π3；(2)b=√7 ,△ABC的面积为√32，则S=12acsinB=12acsin2π3=√32，即有ac=2，又b2=a2+c2−2accos2π3=(a+c)2−2ac+ac=7，可得a+c=3，则△ABC的周长为a+c+b=3+√7．解析：本题考查解三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)运用正弦定理，将边转化为角，结合两角差的正弦公式，化简后结合特殊角的正弦值，计算即可得到B的值；(2)由三角形的面积公式，可得ac，再由余弦定理，结合配方可得a+c的值，即可得到所求三角形的周长．19.答案：解：(1)由题意，得S nn=2n+2，Sn=2n2+2n①当n=1时，a1=S1=4当n≥2时，S n−1=2(n−1)2+2(n−1)②a n=S n−S n−1=4n综上，a n=4n，n∈N又∵T n=2b n−3，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n=2b n−1(n≥2)数列{b n}为等比数列，∴b n=3·2n−1．(2)C n=1(a n2−1)(a n2+1)=1(2n−1)(2n+1)=12{12n−1−12n+1}A n=12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯+12(12n−1−12n+1) =12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)∵数列{A n}是递增数列，∴A n的最小值为A1=12(1−13)=13∴A n≥13解析：本题考查数列通项公式的求法及数列求和，属中档题．(1)本小题考查由数列的递推关系求数列的通项，利用n=1时a1=S1，n≥2时a n=S n−S n−1即可求出结果．(2)本小题考查与数列有关的不等式证明，首先利用裂项相消对数列{C n}求和得到An,利用数列的单调性即可证明.20.答案：证明：(Ⅰ)∵a n+1=3a n−2a n−1，∴a n+1−a n=2(a n−a n−1)，∵a1=1，a2=3，∴a n+1−a na n−a n−1=2(n∈N∗,n≥2)，∴{a n+1−a n}是以a2−a1为首项，2为公比的等比数列，则a n+1−a n=2n，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=2n−1+2n−2+⋯+2+1=1×(1−2n)1−2=2n−1．(Ⅱ)b n=2log4(a n+1)2=2log4(2n−1+1)2=2log422n=2n．∴1b n2−1=14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．则1b12−1+1b22−1+⋯+1b n2−1=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n−1)<12．解析：(Ⅰ)由a n+1=3a n−2a n−1得a n+1−a n=2(a n−a n−1)，变形后可得{a n+1−a n}是以a2−a1为首项，2为公比的等比数列，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)把{a n}的通项公式代入b n=2log4(a n+1)2，整理后利用裂项相消法求1b12−1+1b22−1+⋯+1b n2−1的和，放缩后得答案．本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．21.答案：解：(1)不等式x2−x−6<0可化为(x+2)(x−3)<0，解得−2<x<3，所以不等式的解集为(−2,3)；(2)不等式−2x2+x−5<0可化为2x2−x+5>0，计算△=(−1)2−4×2×5=−39<0，所以原不等式的解集为R；(3)不等式3x2+2x+13<0中，计算△=22−4×3×13=0，所以原不等式的解集为⌀；(4)不等式16−24x≤−9x2可化为9x2−24x+16≤0，即(3x−4)2≤0，解得x=43，所以原不等式的解集为{x|x=43}；(5)不等式(x+1)2−6>0可化为(x+1)2>6，解得x>−1+√6或x<−1−√6，所以原不等式的解集为{x|x<−1−√6或x>−1+√6}；(6)不等式x2+20≥6x+1可化为x2−6x+19≥0，计算△=(−6)2−4×1×19=−40<0，所以不等式的解集为R；(7)不等式−x2+4x−4≤0可化为x2−4x+4≥0，即(x−2)2≥0，所以原不等式的解集为R；(8)不等式7x 3−1<x(7x −1)(x −1)可化为8x 2−x −1<0，△=1−4×8×(−1)=33>0，解不等式对应方程的两根为1+√338和1−√338； 所以原不等式的解集为(1−√338,1+√338).解析：根据一元二次不等式的解法与应用，分别求对应表不等式的解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．22.答案：或解析：试题分析：因为命题：恒成立， 所以当时，不等式恒成立，满足题意，……2分 当时，，解得，……4分 ∴；……6分 由命题：解得，……8分 ∵∨为真命题，∧为假命题， ∴，有且只有一个为真，……10分如图可得或.……12分考点：本小题主要考查复合命题的真假的应用．点评：解决此类问题时，一般是先求出命题和命题为真命题时的取值范围，再利用复合命题的真值表进行判断，如果为假命题就求补集，还要注意借助数轴辅助解决．。

安徽省合肥市六洲中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为A． B． C． D．参考答案：D略2. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C. D．参考答案：B3. 设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．【点评】本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．4. 现要用篱笆围成一个面积为扇形菜园（如图所示），问要使这个菜园所用篱笆最短，则这个扇形的半径和圆心角各为（）A．和B．和C．和D．和1参考答案：C5. 已知复数满足，为虚数单位，则（）(A) (B)(C) (D)参考答案：A6. 已知x，y满足：，若目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是（）A．0 B．﹣1 C．±1D．1参考答案：D【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．若a=0，则y=z，此时满足条件最大值不存；若a＞0，由z=ax+y得y=﹣ax+z，若a＞0，∴目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线 y=﹣ax+z和直线x+y=2平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时a=1满足条件；若a＜0，目标函数的斜率k=﹣a＞0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知直线y=﹣ax+z，此时目标函数取得最大值只有一个，此时a＜0不满足条件．故选：D7. 若不等式组表示的区域，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（）A．114 B．10 C．150 D．50参考答案：A本题主要考查几何概型. 不等式组表示的区域是一个三角形,其面积为,不等式表示的区域的面积即为圆的面积,等于,区域和区域的相交部分是一个整圆去掉一个弓形,其面积为,所以落入区域中的概率为,所以向区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域中芝麻约为,故选A.8. 已知函数，则是（）A．单调递增函数B．单调递减函数C．奇函数D．偶函数参考答案：D略9. 如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的，，则输出的a=（）A. 2B. 3C. 6D. 8参考答案：C【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，和的最大公约数是，故输出，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题.10. 设命题，则为( )A. B.C. D.参考答案：C根据全称命题的否定,选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是▲．参考答案：[-4，0]略12. 若实数x，y满足约束条件的最大值为参考答案：1713. 已知数列中，，前n项和为，且，则=_______ 参考答案：.略14. 已知关于x，y的二元一次方程组无解，则a= ．参考答案：﹣2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】若关于x，y的二元一次方程组无解，则直线ax+4y﹣（a+2）=0与x+ay﹣a=0平行，即，解得答案．【解答】解：若关于x，y的二元一次方程组无解，则直线ax+4y﹣（a+2）=0与x+ay﹣a=0平行，即，解得：a=﹣2，故答案为：﹣215. 下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图．图中直线与轴交于点，则的象就是，记作．方程的解是；下列说法中正确命题的序号是．（填出所有正确命题的序号）①；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④的图象关于点对称；⑤的解集是．参考答案：16. 如果（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，则m的取值范围是．参考答案：【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，可得m+4＞3﹣2m＞0，解出即可得出．【解答】解：∵（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，∴m+4＞3﹣2m＞0，解得．故m的取值范围为：．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知,且,则的值为________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019届安徽省合肥六中高三下学期最后一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|30A x x x =-?，{|11}B x x =-<<，则A B =U （ ）A ．{|03}x x ≤≤B ．{|01}x x ≤<C ．{|13}x x -<≤D ．{|13}x x <≤【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合A ，再求得A B U . 【详解】由()2330x x x x -=-≤，解得03x ≤≤，所以{|13}B x x A -<≤⋃=.故选：C 【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．在复平面内，复数20191i z i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的乘方、除法运算化简z ，然后判断出z 所在的象限. 【详解】依题意()()()()()504433201911111111122222i i i i i i i i z i i i i ⨯+⋅--⋅---⋅---+======-+--+⋅--， 对应点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数乘方、除法运算，考查复数对应点所在象限.3．数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，若2580a a +=，522S =，则1a =（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．1-【答案】A【解析】将已知条件转化为1,a q 的形式列方程组，解方程组求得1a 的值.【详解】依题意()411251515808021222221a q a q a a a a q S q q⎧+=+==⎪⎧⎧⇒⇒-⎨⎨⎨==-=⎩⎩⎪-⎩. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式、前n 项和公式的基本量计算，属于基础题. 4．如图长方形中有某随机试验的所有的25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点，则(|)P B A =（ ）A ．15B ．13C ．57D ．715【答案】B【解析】根据条件概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】 依题意()()()51|153P AB P B A P A ===.故选：B 【点睛】本小题主要考查条件概型概率计算，属于基础题. 5．若01x <<，则下列结论正确的是（ ） A ．120.2x x < B ．122x x <C ．20.2log log x x <D ．22log xx <【答案】C【解析】画出对应函数的图像，由此判断AB 选项的正确性.根据对数函数、指数函数的性质，判断CD 选项的正确选. 【详解】画出函数0.2xy =、12y x =和2y x =的图像如下图所示，由图可知，AB 选项错误.由于01x <<时，220.20.2log log 10log 1log x x <==<，所以C 选项正确.由于01x <<时，22log log 102xx <=<，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，属于基础题.6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的表面积等于（ ）A ．332π B 32π+C 532π+D ．36【答案】A【解析】根据三视图判断出几何体是半个圆锥，由此求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，几何体是半个圆锥，底面半圆的半径是1r =，高为2213h =-=母线长2l =，所以几何体的表面积为22131312123222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.7．已知202cos a xdx π=⎰，则二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ）A ．20-B ．20C ．160-D ．160【答案】C【解析】利用微积分基本定理求得a ，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】依题意()202sin |2sin2sin 022a x ππ==-=，所以二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项是()()333136628160C x x C -⋅⋅-=-⨯=-.故选：C 【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式中指定项计算，属于基础题. 8．执行如图的程序框图，如果输出的94S =，那么在空白框中可以填入（ ）A ．4?i >B ．5?i >C ．5?i ≤D ．6?i >【答案】B【解析】运行程序，根据输出的结果判断出所填写的条件. 【详解】运行程序，1,1i S ==，2,4i S ==，判断否， 3,10i S ==，判断否， 4,22i S ==，判断否，5,46i S ==，判断否，6,94i S ==，判断是，输出94S =.所以填写的条件为5?i >. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果判断填写的条件，属于基础题.9．1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支分别交于A 、B ，且1AB AF ⊥，||5AB =，112AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．5D ．5【答案】D【解析】利用双曲线的定义以及直角三角形勾股定理，求得2,2a c ，由此求得双曲线的离心率. 【详解】由于1AB AF ⊥，所以113BF ==， 根据双曲线的定义可知114AF BF AB a +-=， 即41213520a =+-=，所以210a =. 所以2122AF AF a =-=，所以122c F F ===,所以双曲线的离心率为22c e a ==故选：D 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，属于基础题.10．有6个人，穿红、黄、蓝3色衣服的各有2人.他们排成一行，要求穿同种颜色衣服的人不能相邻，那么不同的排法有（ ）种. A ．192 B ．360C ．432D ．720【答案】A【解析】利用插空法和分步计数原理，计算出不同的排法数. 【详解】先排好穿红色衣服的人，方法数有22A ，形成3个空位， 将穿黄色衣服的人排入3个空位：(1)若先排中间的空位，再在剩余两个空位中选一个来排：方法数有11224C C ⨯=，形成5个空位，将穿蓝色衣服的人排入5个空位，方法数有25A 种.故方法数有11222580C C A ⨯⨯=种.（2）若先排两边的空位，方法数有222A =种，形成5个空位，从穿蓝色衣服的人中选1人排入中间空位，方法数有12C ，再在剩余的4个空位中排最后一个穿蓝色衣服的人.故方法数有21122416A C C ⨯⨯=种.综上所述，不同的排法数有()228016192A ⨯+=种故选：A 【点睛】本小题主要考查插空法，属于基础题.11．曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（ ）条公切线. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设出()f x 图像上任意一点坐标，求得过该点的切线方程，结合公切线，求得切线与()g x 图像的切点坐标，求得过该点的切线方程，根据两个切线方程重合列方程，利用构造函数法，结合导数，判断出方程的根的个数. 【详解】 设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e-的切线方程为()00110x x y ee x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e--=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-， 所以曲线()g x 上过点()10,1x ex --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x e x --⋅-=③.构造函数()()11x h x x ex -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e-=->=-<=->， 根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点， 也即()h x 有两个零点， 也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线的公切线，考查利用导数研究方程的根，属于难题.12．已知函数()sin sin (0,0)3f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，且()f x 在[0,]π上的值域为⎣，则实数ω的取值范围是（ ） A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据()f x 的最大值求得a ，根据()f x 在区间[]0,π上的值域列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】依题意()11sin cos sin sin cos 2222f x x x a x a x x ωωωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以()f x =①， 由于0a >，故①解得1a =.所以()3sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 由于0,0x ωπ>≤≤， 所以666x πππωωπ≤+≤+，依题意()f x 在[0,]π上的值域为⎣， 则1sin ,162x πω⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以5266πππωπ≤+≤， 解得12,33ω∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据三角函数的最值求参数，考查根据三角函数的值域求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题13．设1e u r ，2e u u r 是两个单位向量，若12|23|e e -=u r u r 则1e u r ，2e u u r 夹角的大小为_________.【答案】60°【解析】将12|23|e e -=u r u r1e u r ，2e u u r 夹角的余弦值，进而求得其大小. 【详解】将12|23|e e -=u r u r 22112241297e e e e -⋅+=u r u r u u r u u r ①，由于1e u r ，2e u u r 是两个单位向量，故①可化为121cos ,2e e =u r u u r ，由于12,0,180e e ⎡⎤∈⎣⎦o u r u u r ，所以12,60e e =ou r u u r故答案为：60o【点睛】本小题主要考查向量模和数量积的运算，考查向量夹角的求法，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足034034x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z y x =-的最大值为_________.【答案】2【解析】画出可行域，平移基准直线0y x -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线0y x -=到可行域边界点()1,1A -位置时，z 取得最大值为()112--=. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查根据线性规划求最值，属于基础题.15．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若214AF BF -=，则||AB =__________.【答案】6【解析】利用椭圆的定义列方程组，化简后求得AB . 【详解】根据椭圆的定义有12121010AF AF BF BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得21120AF BF AF BF -+-=，即21214AF BF BF AF -=-=，也即21214,4AF BF BF AF =+=+①，两式相加得121220AF AF BF BF +++=，即2220AB AF BF ++=， 将①代入上式得11820AB AF BF +++=， 即212,6AB AB ==. 故答案为：6 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．在锐角ABC V 中，已知sin 2sin()B C A =-，则111tan tan tan A B C++的最小值为________.【解析】化简已知条件，得到tan 3tan C A =，利用()tan tan B A C =-+求得tan B 关于tan A 的表达式，由此结合基本不等式，求得所求的最小值. 【详解】由sin 2sin()B C A =-得()()sin 2sin A B C A +=-， 即()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A C A C C A C A +=-，3cos sin sin cos C A C A =，故tan 3tan C A =.()2tan tan 4tan tan tan 1tan tan 13tan A C AB AC A C A+=-+=-=--⋅-， 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以02A π<<，所以tan 0A >，所以111tan tan tan A B C ++2113tan 1tan 4tan 3tan A A A A-=-+29tan 13313tan 12tan 412tan A A A A +=+≥=当且仅当313tan tan 412tan A A A =⇒=时等号成立.所以111tan tan tan A B C ++.故答案为：2【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n S a n =+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12n an n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =（2）1(2)24n nT n +=-+【解析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）由22n n S a n =+，当2n ≥时，得21121n n S a n --=+-，则()222211122211n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+，()22110n n a a ---=，()()11110n n n n a a a a ----+-=，故11n n a a --=或11n n a a -+=若11(2)n n a a n -+=≥，由11a =知，20a =，这与数列{}n a 各项均为正数矛盾， 故11n n a a --=对任意的*n N ∈恒成立，因此{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)n a n n =+-=. （2）234122232(1)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ① 故34512122232(1)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅L ②①-②得()212341112122222(1)2(1)2(2)2412n n n n n n T n n n -+++⋅--=++++--=--=---L ， 即1(2)24n nT n +=-+.【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列求和中的错位相减求和法，属于中档题.18．在三棱锥P ABC -中，M ，Q 分别是线段PB ，AC 的中点，底面ABC V 是正三角形，延长BQ 到点D ，使得AB AD ⊥.（1）N 为线段BQ 上确定一点，当//MN 平面APD 时，求BNNQ的值； （2）当PA ⊥平面ABCD ，且 PA AB =时，求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（1）2BNNQ =（2）55-【解析】（1）解三角形求得14QD BD =，根据线面平行的性质定理得到MN PD P ，根据平行线等分线段求得BNNQ的值. （2）建立空间直角坐标系，根据平面PDC 和平面PAD 的法向量，求得二面角A PD C --的余弦值.【详解】（1）在正ABC V 中，Q 为线段AC 的中点，故BQ AC ⊥ 在Rt AQD △中，30QAD ︒∠=，故12QD AD =在Rt BAD V 中，30ABD ∠=︒，故12AD BD =，故14QD BD = 因为MN ∥平面APD ，过MN 的平面PBD I 平面APD PD =， 所以MN PD P因为M 是线段PB 的中点，所以N 为线段BD 的中点. 从而2BNNQ=. （2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.记23PA PB ==， 则(0,0,0)A，(0,0,23)P ，(0,2,0)D ，又23AC =，所以(3,3,0)C .于是，(0,2,23)DP =-u u u r，(3,1,0)DC =u u u r . 令平面PDC 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则由00m DP m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得3030y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令3y =，得(1,3,1)m =-u r .而平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)n =r，所以5cos ,||||51m n m n m n ⋅<>===-⋅⨯u r ru r r u r r ，故二面角A PD C --的余弦值为5-.【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．平行志愿投档录取模式是高考志愿的一种新方式，2008年教育部在6个省区实行平行志愿投档录取模式的试点改革.一年的实践证叨，实行平行志愿投档录取模式，有效降低了考生志愿填报风险.平行志愿是这样规定：在同一批次设置几个志愿，当考生分数达到这几个学校提档线时，本批次的志愿依次检索录取.某考生根据对自己的高考分数和对往年学校录取情况分析，从报考指南中选择了10所学校，作出如下表格： 学校 1A2A3A 4A 1B 2B 3B 1C 2C 3C专业数学系计算机系 物理系 录取概率 0.5 0.5 0.6 0.90.5 0.70.80.7 0.80.9（1）该考生从上表中的10所学校中选择4所学校填报，记X 为选择的4所学校中报数学系专业的个数，求X 的分布列及其期望()E X ；（2）若该考生选择了1A 、3A 、3B 、3C 这4个学校在同一批次填报志愿，填报志愿表如下，如果仅以该考生对自己分析的录取概率为依据，当改变这4个志愿填报的顺序时，是否改变他本批次录取的可能性？请说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不改变他本批次录取的可能性，详见解析【解析】（1）根据超几何分布的分布列和数学期望计算公式，计算出分布列和数学期望. （2）计算出该考生在本批次未被录取的概率，由此判断出当改变这4个志愿填报的顺序时，不改变他本批次录取的可能性. 【详解】（1）X 可能取的值为0，1，2，3，4446410()A kC C P X k C -⋅==，0,1,2,3,4k = 0446410151(0)21014C C P X C ⋅====，1346410808(1)21021C C P X C ⋅====，226410903(2)2107t C C P X C ⋅====，3146410244(3)21035C C P X C ⋅====，40464101(4)210C C P X C ⋅=== X 的分布列：18341812341421()73521050E X ?????= （2）选择1A 、3A 、3B 、3C 这4个学校的概率依次设为1P ，2P ，3P ，4P . 该考生在本批次被录取的概率为()()()()()()1121231234111111P P P P P P P P P P +-+--+--- ()1234121314232434P P P P PP PP PP P P P P PP =+++-+++++1231241342341432PP P PP P PP P P P P PP P P ++++-所以，当改变这4个志愿填报的顺序时，不改变他本批次录取的可能性. 另解：该考生在本批次未被录取的概率为()()()()12341111p p p p ---- 该考生在本批次被录取的概率为()()()()123411111p p p p ----- 所以，当改变这4个志愿填报的顺序时，不改变他本批次录取的可能性. 【点睛】本小题主要考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，考查相互独立事件概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.20．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(,2)M m 到其焦点F 的距离为2. （1）求该抛物线的标准方程；（2）过x 轴正半轴上一点(,0)N n 作倾斜角为4π的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分別为1k ，2k ，求1211k k +的值. 【答案】（1）24y x =（2）1【解析】（1）根据点M 在抛物线上以及抛物线的定义列方程，由此求得p 的值，进而求得抛物线方程.（2）求得直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得出求1211k k +的值. 【详解】（1）因为点(,2)M m 在抛物线22y px =上，所以24pm =① 由抛物线的定义，(,2)M m 到抛物线的准线的距离为2，即22pm +=② 由①②解得2p =，所以抛物线的标准方程为24y x =.（2）记()11,A x y ，()22,B x y ，将直线:(0)l y x n n =->与抛物线24y x =联立并整理得22(24)0x n x n -++=，则>0∆，且1221224x x n x x n +=+⎧⎨=⎩. 因为()()()122112121221121212121242x n x x n x n x x y y y x y x k k x x x x x x x x n-+-+++=+===-=- ()()()21212121212121241x n x n n n x x y y k k x x x x x x n---+⋅=⋅==+=-所以12111k k +=. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()ln(1)0)f x x x =+≥. （1）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：0x ≥时，()12(1)ln(1)2x x x x e -++≤+.【答案】（1）[1,)+∞（2）证明见解析【解析】（1）通过换元法，将不等式()0f x ≤恒成立转化为()22ln 10t t a t --≤恒成立，其中1t ≥.构造函数()2()2ln 1(1)g t t t a t t =--≥，利用导数研究()g x 的单调性，结合1,01,0a a a ≥<<≤三种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. （2）利用分析法，将所要证明的不等式转化为证明(2)ln(1)2(1)x x x x ++≤+，结合（1）的结论以及基本不等式，证得上述不等式成立.【详解】（1）()0ln(1)0)f x x x ax ≤⇔+-≤⇔+≤.t =，原不等式转化为()22ln 10t t a t --≤恒成立，其中1t ≥. 令()2()2ln 1(1)g t t t a t t =--≥，则()2(1ln )g t t at '=+-， 记()1ln h t t at =+-，则1()h t a t'=-. ①当1a ≥时，注意到1t ≥，故1()0h t a t'=-≤恒成立，从而()(1)10h t h a ≤=-≤. 于是，函数()g t 在[1,)+∞上单调减，()(1)0g t g ≤=，符合题意；②当01a <<时，考虑11t a≤<时，()2(1ln )2(1ln 1)2ln 0g t t at t t '=+->+-=≥恒成立，即函数()g t 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增，所以，11t a <<时，()(1)0g t g >=，不符合题意，舍去.③当0a ≤时，()(1)2(1)0g t g a ''≥=->，()(1)0g t g ≥=，不符合题意，舍去. 综上，实数a 的取值范围是[1,)+∞.（2）()()1122(1)ln(1)2ln(1)2(1)x x x e x x x e x x --+++≤+⇔+≤+.由（1）的过程知ln 1x x ≤-，即1x e x -≥. 故要证()12ln(1)2(1)x x e x x -++≤+，只需证(2)ln(1)2(1)x x x x ++≤+（）.事实上，由（1）的结论知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即0x ≥时，ln(1)x +≤，(1)1(2)2112(1)x x x x x x x x ++⋅+=≤=+++，即（）成立， 等号当且仅当0x =时取到，故原不等式获证. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．已知直线1:112x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(1,1)--，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.【答案】（1）2220x y x +-=（2）4【解析】（1）利用极坐标和直角坐标相互转化公式，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用根与系数关系以及直线参数方程中参数t 的几何意义，求得||||MA MB ⋅的值. 【详解】（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=①将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入①即得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=②（2）将1,2112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入②，得21)40t t -++=，设该方程的两个实根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义知：12||||4MA MB t t ⋅==. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程中参数t 的几何意义，属于中档题.23．已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当5a =-时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[0,2]，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）311|22x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或（2）20a -≤≤ 【解析】（1）利用零点分段法求得不等式的解集.（2）将不等式()|4|f x x ≤-转化为22x a x --≤≤-在[0,2]上恒成立，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =-时，()4|5||2|4f x x x ≥⇔-+-≥2524x x x ≤⎧⇒⎨-+-≥⎩或25524x x x <<⎧⇒⎨-+-≥⎩或5524x x x ≥⎧⇒⎨-+-≥⎩ 32x ⇒≤或112x ≥. 所以不等式()4f x ≥的解集是3|2x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭（2）原命题()|4|f x x ⇔≤-在[0,2]上恒成立||24x a x x ⇔++-≤-在[0,2]上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[0,2]上恒成立所以20a -≤≤，即a 的取值范围是20a ⇔-≤≤. 【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.。

安徽合肥168中学等联谊校2019年高三第二次段考数学理试题word 版2018届高三上学期第二次段考数学〔理〕试题本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。

总分值150分，考试时间120分钟。

请在答题题卷上作答。

第一卷 选择题〔共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1、设i 是虚数单位，那么复数2-33ii +〔 〕A 、 9111010i + B 、9111010i - C 、3111010i - D 、3111010i + 〔〕A 、不存在,x R ∈使得212x x +> B 、存在,x R ∈使得212x x +>C 、不存在,x R ∈使得212x x +≤D 、存在,x R ∈使得212x x +≤3、集合3{||,1x A x y B y y x ⎧⎫====⎨⎬+⎩⎭那么A B =〔〕A 、[2,)+∞B 、[2,3)(3,)+∞ C 、(1,)+∞ D 、[1,3)(3,)+∞4、向量a 、b 满足|a |=2，且向量b 在向量a 方向上的投影为1，那么.()a a b -的值为〔〕 A 、4B 、3C 、2D 、15、设,i j 是平面直角坐标系〔坐标原点O 〕内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且24,43OA i i OB i j =+=+，那么△OAB 的面积等于〔〕 A 、15B 、10C 、7.5D 、56、设()f x 是一个三次函数，'()f x 为其导函数，如下图的是y=x '()f x 的图像的一部分，那么()f x 的极大值与极小值的分别是〔〕A 、(2)f -与(2)fB 、(1)f -与(1)fC 、(2)f 与(2)f -D 、(1)f 与(1)f -7、函数()2s i n (),(0,)22f x x ππαϕωϕ=+>-<<的图象如下图，AB ·BD =〔〕A 、8B 、－8C 、288π- D 、288π-+8、假设sin 3cos x x +=那么tan x =〔〕A 、13B 、3 CD9、假设函数()sin cos (0)f x m x n x mn =+≠的最小值为11(),6f π-且()23f π=-，那么(0)f 的值为〔〕A 、－1B 、－2C 、1D 、210、,αβ为锐角△ABC 的两个内角，αβ≠，可导函数()f x 满足'()xf f x <，那么〔〕A 、cos (sin )sin (cos )f f βααβ=B 、cos (sin )sin (cos )f f βααβ<C 、cos (sin )sin (cos )f f βααβ>D 、cos (sin )sin (cos )f f βααβ≥第二卷非选择题〔100分〕【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分、11、函数160(4),0(),2cos ,0x f x x f x tdi x π->⎧⎪=⎨⎪+≤⎩那么(2012)f =〔〕12、假设函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，那么a= 13、观察以下各式：①1cos;32π=②21coscos;554ππ=③241cos cos cos ;9998πππ=④2481cos cos cos cos ;1717171716ππππ=归纳推出一般结论为。

安徽省合肥168中学2020届高三下学期第四次模拟理科数学试题一、单选题(★) 1. 若集合，集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 复数满足，则复数的实部是（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知数列为等差数列，且满足，则数列的前11项和为（）A．40B．45C．50D．55(★★★) 5. 已知是偶函数且在上是单调递增，且满足，则不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 设等差数列的前项和为，且满足，，则使最大项的为（）A．10B．19C．20D．11(★★★) 7. 在矩形中，，，与相交于点，过点作，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数（其中）的最小正周期为，函数，若对，都有，则的最小正值为A．B．C．D．(★★★) 9. 在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为A．B．C．D．3(★★★) 10. 已知各项都是正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，有，则的值为（）A．1008B．1009C．2019D．2020(★★★★) 12. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则 a取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 若命题“ ”是假命题，则实数 a的取值范围是 ______ .(★★) 14. 方程的一根在区间上，另一根在区间上，则的取值范围是 ______ ．(★★★) 15. 已知长方体，，，在上取一点 M，在上取一点 N，使得直线平面，则线段 MN的最小值为 ________ .(★★★★) 16. 设数列的前项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是______ .三、解答题(★★★) 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，.（1）求的外接圆面积；（2）求的最大值.(★★★) 18. 已知数列的前项和为，且数列满足．求数列，的通项公式；若求数列的前项和.(★★★) 19. 如图，平行四边形中，，，，沿将折起，且在平面上的射影为.（1）求三棱锥的体积最大值.（2）当时，求锐二面角大小.(★★★) 20. 如图，已知在中，，平面，于，于，.（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积的最大值，求直线与平面所成角.(★★★) 21. 已知函数，.（1）求函数在上的最小值；（2）若存在（是自然对数的底数，），使不等式成立，求实数的取值范围.(★★★★★) 22. ，，为的导函数.（1）若有两个零点，试比较与0的大小，并说明理由.（2）当时，有极小值，求的值域.。