2015-2016第二学期线性代数阶段化考试

2015-2016-2线性代数A 卷答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设B A ,均是n 阶矩阵，则下列等式正确的是（B ）（A ）2222)(B AB A B A ++=+（B ）T T T )(A B AB =（C ）||||||B A B A +=+（D ）BAAB =2.设向量组n ααα,,,21 )2(≥n 是线性相关的，则下列表述正确的是（A ）（A ）向量组n ααα,,,21 中一定有一个向量可由其余向量线性表示（B ）向量组n ααα,,,21 的极大无关组一定唯一（C ）向量组n ααα,,,21 中任意两个向量必线性相关（D ）向量组n ααα,,,21 中一定有一个为零向量3.设A ,B 是同阶方阵，则下列表述错误的是（B ）（A ）)()(),(B R A R B A R +≤（B ）)()()(B R A R B A R +≥+（C ）)()(A R AB R ≤（D ）)()(B R AB R ≤4.假设方阵A 与B 相似，则下述说法错误的是（C ）（A ）||||B A =（B ）A 与B 有相同的特征值（C ）A 与B 有相同的特征向量（D ）A 与B 有相同的秩5.设三阶方阵),,(321ααα=A 且1||=A ，则三阶方阵)2,,(3211αααα+=B 的行列式的值是（D ）（A ）不确定（B ）0（C ）1（D ）2二、填空题（每小题3分，共15分）6．已知E A =3，则2)(21E A A E A +-=+-.7.设方阵A 的行列式2||=A ，则=||T T AA A _____8___.8.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 32,321,111321ααα线性相关，则=a ____4______.9.已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2 1 02 0 04 2 1，则=)(A R __3__.10.设三阶方阵A 的特征值为1,1,2则=+-||1A A ___10____.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11.设B A ,均是n 阶对称矩阵，则B A +必是对称矩阵（√）.12.设A 是n 阶矩阵，则n A A ||||*=（×）.13.若矩阵A 可逆，则A 的特征值必不为0（√）.14.任意齐次方程组0=⨯x A n m 必有非零解（×）.15.对矩阵A 施加初等列变换秩不改变（√）.四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式00000000a ba b b a b a 的值.解：互换行列式的第2列与第4列，再互换新行列式的第2行与第4行得------4分原行列式222)(00000000b a b a a b b a a b b a a bb a a b -===----------------------------------------10分（此题目也可以按照某一行展开这种方法来做）17.设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102,004202A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求矩阵X .解：由X B AX 2+=得到B X E A =-)2(，所以若E A 2-可逆，则B E A X 1)2(--=-----------------------------4分考虑矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2 0 2 2 0 02 0 1 2 1 00 1 1 1 1 1),2(B E A 化成行最简形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 01 1 1 0 0 1~),2(B E A -----------------------------8分所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1 0 1 0 0 1 1 1 1X --------------------------------------------10分18.问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无穷多解？并求其通解.解：增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12001410021121014100211~4231120211 a b a ~ b a b a ---5分当1,2==b a 时，32),()(<==b A R A R ，此方程组有无穷多解-------------7分所以增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 0 01 2 1 01 0 0 1~0 0 0 01 2 1 00 2 1 1142312120211~ 所以⎩⎨⎧-=+=121321x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=011210333231x x x x x x 所以通解.,011120为任意数k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-------------------------------------------10分19.求向量组123411343354,,,,22323342αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53101α⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的秩，并求出一个极大无关组.解：向量组()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=1 2 4 3 30 2 3 2 21 4 5 3 33 4 3 1 1,,,,54321ααααα~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------0 0 0 0 00 0 0 0 02 2 1 0 03 4 3 1 1~10 10 5 0 06 6 3 0 08 8 4 0 03 4 3 1 1-----------7分所以向量组的秩等于2，31,αα为一个极大无关组.------10分-20.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 0 00 1 20 2 1A ，求100A .解：由0)1()3(||2=---=-λλλE A 得A 的特征值321==λλ，13-=λ----3分当3=λ时，对应特征向量是0)3(=-x E A 的非零解，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-0 0 00 0 00 1 1~0 0 0 0 2 2 0 2 23E A ，基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121ζζ，-----5分当1-=λ时，对应特征向量是0)(=+x E A 的非零解，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0 0 01 0 00 1 1~4 0 0 0 2 2 0 2 2 E A ，基础解系,0 1 13⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ζ------------7分令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0 1 01 0 11 0 1),,(321ζζζP ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0 1/2 1/21 0 00 1/2 1/21P 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1 0 00 3 00 0 31AP P 11001001001001)( 0 00 3 00 0 3-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+--+10010010010010032 0 00 13 130 13 1321--------------------10分五、证明题（每小题5分，共10分）21.设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.证明：由正交矩阵的定义，我们只需要证明E B A B A B A B A =-+-+--)))((()))(((1T 1-------2分因为A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，所以1111T 1T 11T 1))()(()())(()())(())(()())(()))((()))(((---------+-+=-++-=-++-=-+-+B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A T T 又因为且,A B 可交换，所以))(())((B A B A B A B A -+=+------------------4分所以E B A B A B A B A B A B A B A B A =--++=-+-+----111T 1))()(()()))((()))(((.--5分22.设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，且0=AB ,证明n B R A R ≤+)()(.证明:令),,(21s B βββ =，则0),,(),,(2121===s s A A A A AB ββββββ -----2分所以0,0,021===s A A A βββ ，即s βββ,,21 均为齐次线性方程组0=Ax 的解所以向量组s βββ,,21 可由0=Ax 的基础解系)(21,,A R n -ζζζ 表示---------4分所以)(),,(21A R n R s -≤βββ ，即n B R A R ≤+)()(.---------------------5分。

⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭武汉大学 2015-2016 学年第二学期期末考试线性代数B （A 卷解答）⎛ 1 -2 1 ⎫ 1、（10 分）设 A =2 3 -2 ⎪ ,问 A 是否可逆？如可逆求 A -1 ，如不可逆，求 A 的伴随⎪ -3 -1 1 ⎪ ⎝ ⎭矩阵 A *.⎛ 1 -2 1 ⎫ ⎛ 1 -2 2 ⎫ ⎛ 1 -2 2 ⎫ 解 A = 2 3 -2 ⎪ = 2 3 0 ⎪ = 2 3 0 ⎪= 0 A 不可逆⎪ ⎪ ⎪ -3 -1 1 ⎪ -3 -1 -2 ⎪ -2 -3 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 1 1 1 ⎫ A * = 4 4 4 ⎪7 7 7 ⎪ ⎛ 1 2 3 ⎫ ⎛ 0 1 0 ⎫ 1 2 3 2、（10 分）已知矩阵 a a a ⎪ 与 0 0 1 ⎪可交换.试求 a a a 的值.1 2 3 ⎪ ⎪ 1 2 3 b b b ⎪ 1 0 0 ⎪ b b b⎝ 1 2 3 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 2 3 ⎫ ⎛ 0 1 0 ⎫ 1 2 3 解 由 a a a ⎪ 与 0 0 1 ⎪可交换.得a = b = 1,b = a = 2, a = b = 3.1 2 3 ⎪ ⎪ 2 3 1 3 1 2 b b b ⎪ 1 0 0 ⎪ ⎝ 1 2 3 ⎭ ⎝ ⎭1 2 3 1 1 1 1 1 1所求行列式为 3 1 2 = 6 3 1 2 = 6 3 1 2 = 182 3 12 3 10 3 03、（10 分）向量α 在基α1 = (1,1,1),α2 = (0,1,1), α3 = (1, -1,1) 下的坐标(4, 2，- 2) ， 求α 在基β1 = (1, 2, 2), β2 = (1, 0, 2), β3 = (2, 0, 2) 下的坐标。

解 法一 由α = 4α1 +2α2 -2α3令 α = x β1 + y β2 + z β3则有：⎛ 1 1 2 ⎫-1⎛1 0 1 ⎫⎛ 4 ⎫ ⎛ x ⎫ α +2α +α = x β + y β + z β , 得 2 0 0 ⎪1 1 -1⎪2 ⎪ = y ⎪ 1 23 1 2 3它有唯一解: (x 1, x 2 , x 3 ) = (4, -2, 0). ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2⎪ 1 1 1 ⎪ -2 ⎪ z ⎪ 故α 在基 β1, β2 , β3 下的坐标为: (4, -2, 0) 法二 由 β1 = α1 +α2 , β2 = α2 +α3 , β3 = α3 +α1有题设知 α1 +2α2 +α3 = x (α1 +α2 ) + y (α2 +α3 ) + z (α3 +α1 )x + z = 4x = 4 故有x + y = 2 解得：y = -2 y + z = -2z = 0故α 在基 β1, β2 , β3 下的坐标为: (4, -2, 0)4、（12 分）设 3 阶方阵 A 的特征值分别为1, -1, 0, 方阵 B = 2A 2- 3A - 4E⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1）试求矩阵 B 的特征值及与 B 相似的对角矩阵；2）验证 B 可逆, 并求 B -1的特征值及行列式 B -1之值。

2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。

所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。

2015—2016学年度高三阶段性检测数学(理工类)试题2016.01 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．答第II卷时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．参考公式：锥体的体积公式V=Sh．其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则A. B. C. D.2.下列说法中错误的是A.若命题，则B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“若”的逆否命题为:“若，则0”D.若为假命题，则均为假命题3.由曲线，直线所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D.4. C 解析：因为，，所以，故选C.5. 李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为,（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（）A.11000B. 22000C. 33000D. 400005.C解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售辆，故利润，所以当x=60辆时，有最大利润33000元，故选C。

6.已知函数，且，则的值是（）A. B. C. D.6.A解析：因为，所以，所以，故选A.7. “”是“函数在区间内单调递减”的（）A充分非必要条件．必要非充分条件．充要条件．既非充分又非必要条件．7. D 解析：若函数在区间内单调递减，则有，即，所以“”是“函数在区间内单调递减”的非充分非必要条件，所以选D.8. （文）已知全集，，，则集合为( )A．B．C．D．8.(文) C解析：因为，，所以，所以.故选C.8.（理）曲线在点处的切线为，则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（）．A. 1B.C.D.8. （理）B解析：曲线在点处的切线为，与x轴的交点为，所以由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是9.设函数的零点为的零点为可以是A. B.C. D.10.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，点P在该抛物线上且满足取最小值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知经计算得，……，观察上述结果，可归纳出的一般结论为▲.12.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是▲.13.已知两直线截圆C所得的弦长均为2，则圆C的面积是▲.14.定义是向量的“向量积”，它的长度，其中为向量的夹角.若向量▲.15.已知函数时，函数的最大值与最小值的差为，则实数▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）在中，角A,B,C的对边分别是向量. （1）求角A的大小；（2）设的最小正周期为，求在区间上的值域.17. （本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD//BC,CE//BG，且,平面平面BCEG,BC=CD=CE=.（1）证明：AG//平面BDE；（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分12分）第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本为（万元）；若年产量不小于80台时，（万元）.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？19. （本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前n项和为；数列是等比数列，首项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.20. （本小题满分13分）已知函数.（1）若函数的图象在点处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）讨论的单调性；（3）若恒成立，求实数的最大值.21. （本小题满分14分）椭圆的上顶点为P，是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F且与坐标不垂直的直线l交椭圆于A,B两点，在直线x=2上是否存在一点D，使得为等边三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由.。

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=40200320115011315111141111121131------=- （5分） =74402032115=-- （9分） 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分） 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分） 19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= （9分） 注：极大线性无关组不唯一。

20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=222111因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。

拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。