同济大学2010-11线性代数B期末考试试卷_A卷_

一、填空与选择题(均为单选题)(27分)1、 已知4阶方阵123456789054a b A c d ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，函数()||f x xE A =-,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为___________________.2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式1231,,,m αααβ=，又1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=_____________________.3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=-=-=，其伴随矩阵为*A ，则行列式*A =______________.4、 已知α是3维实列向量，且111111111Tαα-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则α=____________.5、设α是3R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,Tx x x ，则α在基132,,k εεεε+下的坐标是_________________________.6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是_____________________.1(). ). (). ().n A A A A B C n cE c D -若矩阵可逆，则与可交换(可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2AB E =，则下列式子中成立的是____________.()222(). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E==-==8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是__________(). 0 (). 0(). 0 ().()A Ax Ax bB Ax Ax bC Ax b AxD Ax b R A n =======⇔=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解9、 下列向量组中线性无关的是_________________.()()()()()()()()()()()()()()(). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D --,, (二、(10分) 已知n 阶行列式12312001030100n nD n= ，求第一行各元素的代数余子式之和.三、(10分)参数,a b 满足什么条件的时侯，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解？并在有解的情况下，求出它的通解.四、(15分)已知3阶方阵3221423A k k -⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭，问参数k 满足什么条件的时候A 可以对角化？并求出可逆阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ.五、(12分)设向量组12341111,,1,4115k k k αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问：(1) 参数k 为何值时，123,,ααα为向量组的一个最大线性无关组？ (2) 参数k 为何值时，12,αα为向量组的一个最大线性无关组？并在此时，求出34,αα由最大线性无关组表出的线性表达式.六、(12分)设V 为实数域R 上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在V 中定义映射:()a b T T X X c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，(1)证明T 是V 中的线性变换，(2) 求线性变换T 在自然基11122122,,,E E E E 下的矩阵，(3) 若1,2,3,4a b c d ====，试求线性变换T 的核ker T 与像空间Im T .七、(1)(7分)已知A 为3阶方阵，123,,λλλ为A 的三个不同的特征值，123,,ααα分别为相应的特征向量，又123βααα=++，试证：2,,A A βββ线性无关.(2) (7分)设A 为3阶实对称阵，且220A A +=，又()2R A =，试求出A 的全体特征值，并问参数k 为何值时，矩阵A kE +为正定阵?。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 分，共 分）若022150131=---x ，则=χ 。

．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题 分，共 分） 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ） 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

三、单项选择题 每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题 分，共 分设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n 2② 12-n③ 12+n④n 维向量组 s ααα，，， 21（ ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 下列命题中正确的是 。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关设A ，B 均为 阶方阵，下面结论正确的是 。

同济大学课程考核试卷(B 卷) 2009—2010学年第一学期课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(6-8小题均为单选题)(24分)1、 设A 为3阶方阵，已知||2A =-，把A 按行分块为123a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123a a a a -=___6_____. 解：根据行列式的最后一个性质（书上的那个），31312221112233+3a a a a a a a a a a --=，31122213123-3630a a a a a a a a a -===，，所以原式为62、 已知4阶行列式34222207005322D =--，且ij M 和ij A 分别为D 中元素ij a 的余子式和代数余子式，则441jj A==∑__0_________.解：根据代数余子式性质44130402222007001111j j A ===-∑.(这是代数余子式经常出的一种形式的习题)3、 已知3阶方阵A 的特征值分别为1，2，-3，则*32A A E ++=__25____________. 解：根据特征值的性质，有-6A =，设*32B A A E =++，则B 对应的三个特征值分别为123-6-6-63262-9212-3λλλ=++=++=+，，，则 *12332-15-525A A E λλλ++==⨯⨯=（）4、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当__14k =__________时，123,,ααα线性相关.解：因为这三个向量构成的矩阵为方阵，则对该矩阵求行列式，因为三个向量线性相关，所以行列式的值等于0，解得14k =5、已知二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参数a 满足___405a -<<____________. 解：先写出二次型对应的矩阵，为1-112-125a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于二次型是正定二次型，则矩阵也一定是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，它的顺序主子式都应大于0，则有221041-005450a a a a >⎧⎪>−−→-<<⎨⎪-->⎩6、 设A 是m n ⨯矩阵，3,3m n >>,若A 与B 行等价，则__D______________.().().().().A A B B A B C A B D 若的前三行线性无关，则的前三行也线性无关若的前三列线性无关，则的前三列也线性无关若的左上角的三阶行列式非零，则的左上角的三阶行列式也非零以上都不对(解：A 和B 都是m n ⨯的矩阵，且A 和B 的行等价,则A 和B 的行向量可以相互表示 ，也就是说对A 做初等行变换可以得到B ，所以存在可逆矩阵P 使得PA B =对,A B 进行列分块就有()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =,也就是要说明在P 可逆的情况下 ,A 的某几列无关和B 的对应的某几列无关等价. 随意取3列()123,,a a a 无关于()123,,b b b 无关等价这是显然的,因为()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =因为P 可逆所以()()()121212,,...,(,,...,)(,,...,)n n n r a a a r P a a a r b b b ==)7、 设,,A B C 为同阶方阵，且ABC E =，则下列各式中不成立的是___B_________.111111(). (). (). ().A CAB E BC A B E C BCA ED B A CE ------====解：因为ABC E =，所以我们可知-1A BC =和-1C AB =，又因为-1-1XX X X E ==，所以A ，C 正确，现在，对ABC E =两边求逆，有-1-1-1C B A E =，可以看出B 错，对于D ，-1A BC =，所以-1-1A C B =，所以-1CA B =，带入D ，可知其正确性8、 非齐次线性方程组Ax b =中，A 是m n ⨯矩阵，()R A r =，则____A___________.(). (). (). (). A r m B r n C m n D r n ===<时方程组有解时方程组有唯一解时方程组有唯一解时方程组有无穷多解解：这题我直接看到A 就选了，其它的也不好分析，因为他们的条件和结论根本没什么明显联系。

同济大学课程考核试卷（B 卷）2009—2010学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名：课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空题（每空3分，共24分）1．已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ=, ()1232,2,,B αααβ=, 且 4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 。

2. 设行列式1131100021034512D =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .3. 已知矩阵222222a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 C .(A) 2=a ； （B ） 2=a 或4-=a ； (C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .4. 向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价. 5. 已知3阶矩阵A 与B 相似且010100001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭, 则201222B A -=300030001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的特解，12,,,s ξξξ是齐次方程组0Ax =的基础解系，则以下命题中错误的是 B(A) 001020,,,,s ηηξηξηξ---是Ax b =的一组线性无关解向量；(B) 0122s ηξξξ++++是Ax b =的解；(C) Ax b =的每个解均可表为001020,,,,s ηηξηξηξ+++的线性组合.7. 设4阶矩阵A 有一个特征值为2-且满足5T AA E =，||0A >，则其伴随矩阵*A 的一个特征值为 _________8. 已知实二次型2221,231231323(,)2624f x x x x x x ax x x x =++++正定,则常数a 的取值范围为22a -<<.二、（10分）设矩阵A 的伴随矩阵*110011102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且0A >, E BA ABA 311+=--。

湖南工程学院试卷纸2010 至 2011 学年 第 1 学期 专业班级 姓名 学号 共 2页第 1 页（装订线内不准答题） ----------------------------------------------------装------------订------------线-------------------------------- 命题教师 王祝君 审核湖南工程学院试卷纸（A 卷） 专业班级 姓名 学号 共 2 页第 2 页（装订线内不准答题） ----------------------------------------------------装------------订------------线-------------------------------- 命题教师 王祝君 审核湖南工程学院试卷参考答案及评分标准 专业班级 计算机1081通信工程1081 命题教师 王祝君 2010 至 2011 学年第 1 学期湖----------------------------------------------------装------------订------------线--------------------------------南工程学院试卷纸 2010 至 2011 学年第 1 学期 专业班级 姓名 学号 共 2 页 第 1 页（装订线内不准答题）----------------------------------------------------装------------订------------线-------------------------------- 命题教师 王祝君 审核湖南工程学院试卷纸 （B 卷） 专业班级 姓名 学号 共 2 页 第 2 页（装订线内不准答题）----------------------------------------------------装------------订------------线-------------------------------- 命题教师 王祝君 审核湖南工程学院试卷参考答案及评分标准 专业班级计算机1081通信工程1081 命题教师王祝君 2010 至2011 学年第 1 学期----------------------------------------------------装------------订------------线--------------------------------。

西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。

3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。

4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。

5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。

二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。

(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。

（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。

（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。

（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

共3页第1页线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

共3页第2页 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第二学期考试考查：考试一、(24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.1、 设6510423y A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 中元素y 的代数余子式的值为 4-3x .解： 根据代数余字式的定义，12A =()()1214-14-33x x +=2、 设3阶方阵A 与对角阵100020000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 的伴随矩阵*A 的秩*()R A =1 .解：因为A 与100020000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭相似，所以一定有-1100020000A P P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中，P 一定是可逆阵，所以根据秩的性质，()1000202000R A R ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在根据伴随矩阵与原矩阵秩的关系可知，*()1R A =（具体的关系请看前几次的解答）3、 设实二次型22212312313(,,)2f x x x kx x kx x x =+++为正定二次型，则k 的取值范围是1k > .解：因为22212312313(,,)2f x x x kx x kx x x =+++为正定二次型，所以将其表示成矩阵形式有0101010k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据正定阵的性质，可知该矩阵的顺序主子式均大于0，于是推出20100110k k k k ⎧>⎪⨯->−−→>⎨⎪->⎩4、 设矩阵2061101k A k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭有两重特征值-1，则行列式5A E -= 0 .解：因为矩阵现在已知两个相同的特征-1，则根据矩阵的迹等于矩阵所有特征值之和可得矩阵的另一个特征值为5，所以，由特征值的性质可知50A E -=（k 在这里完全是迷惑你的，当然，你把-1特征值带进去求k ，在求出原矩阵，最后解出行列式的值也没问题，只不过我比较喜欢偷懒，找巧解而已）5、 设A 为34⨯阵，非齐次线性方程组Ax b =有解，其解向量组的秩为2，则()R A = 3 .解：这里直接利用非齐次线性方程解的结论，()-1n R A t =+，2代表的是解向量组的秩，或者说是解向量的个数。

大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ）5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=,()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 .解：由矩阵之间的关系，我们可以得到1321941278B A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，对等式两边取行列式，有 1321941278B A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

所以得到-12B =2、 设分块矩阵A O C O B ⎛⎫=⎪⎝⎭, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 .(A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆.(B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵.(C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 解：A. 若,A B 均可逆，说明,A B 的行列式都不为0，则我们可以根据拉普拉斯定理求出C 的行列式为A B ，所以可知C 的行列式也不为0，即C 可逆.B ．若,A B 均为对称阵，则有,TTA AB B ==，对矩阵C 取转置，根据对角阵性质有T TT A O A O C C O B O B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 也是对称阵。

C ．若,A B 均为正交阵, 则有,T TA A EB B E ==，固T T TT TA O A O A A O C C E OB O B O B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

所以C 也为正交阵. D ．若,A B 均可对角化,则有-1-112,A P P B Q Q =Λ=Λ,则-1-111-1-122=O P O P P O P O C O O Q OQ Q O Q Λ⎛⎫⎛⎫Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪ΛΛ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令P O M O Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则原式可看成-1-111-12P P O C M M OQ Q ⎛⎫Λ==Λ ⎪Λ⎝⎭固以上4个全对（考试里出现全对的情况还是第一次见）3、 设2341345145617891D =，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 .解：直接利用代数余子式性质，求113411451015611891D ==4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选)(A)．当r s <时，向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II ）必线性相关(C)．当r s <时，向量组（I ）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I ）必线性相关解：直接分析，举反例，A 反例1201,,,10200r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，（）， ()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，；B 反例()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，，121000,,,010040011r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，（）；C 反例1201,,,10200r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，（），()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，；D.正确，这个很显然。

信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、 客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。

( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。

( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。

( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。

(B) 的所有的特征值均为正值。

A (C) 是不可逆矩阵。

A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。

0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。

0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。

(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。

n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。

)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。