2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高三(上)期中数学试卷和答案

2017年高三数学综合练习五2017.11．已知集合(){}21ln x y x A -==,{}xe y y B ==，，则集合()=⋃B A C R（ ）A 。

(](),10,-∞-+∞B 。

[1,)+∞ C.(][),11,-∞-+∞ D 。

(]0,1 2．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ）（ A ≠0，ω＞0，22πφπ<<-）在32π=x 时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（ ）A ．f （x)的图象过点（0，21）B ．f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ上是减函数 C ．f （x ）的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,125π D ．f(x ）的图象的一条对称轴是x=125π3．平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==,则2a b +等于（ ）ABC ．12 D4．已知等差数列{}na 的公差0<d ，若2464=aa ，1082=+a a ,则该数列的前n 项和nS 的最大值为 A.50 B.45 C.40D.35 （ ）5．设复数z 满足i z z=-+11，则=z A ．1 B 。

2 C 。

3 D ．2（ ）6．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积比为1：2的两部分，则k 的一个值为A ．37B ．34 C ．1D ．73（ ）7．已知函数()()1222,0log ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()0f f m <⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A.(]()13,1,12,2⎛⎤---+∞ ⎥⎝⎦ B.(]()21,21,1,log 32⎛⎤-∞---⎥⎝⎦C.(]()1,10,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D.(](]()2,31,01,log 3-∞--8．在平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，CD=CB=7，且AD ⊥AB ，将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A 1BD ，则在△A 1BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A 1C 与平面BCD 所成最大角的正弦值是A 。

诸暨中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f （ ）A ．2B ． 3C ．4 D ． 52.已知|2,|4,a |=b |=(2)(3),⊥a +b a -b 则向量b 在向量a 方向上的投影为 ( ) A ．4B ．4-C ．14D ．14-3.已知a 表示直线，,αβ表示两个不同平面，则//αβ的一个充分条件可以是 ( ) A ． 若,a a αβ⊥⊥ B ．若,//a a αβ⊂ C ． 若//,//a a αβ D ．若,a a αβ⊂⊥4.若实数x ,y 满足在不等式组380210220x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最大值为 ( ) A ． 8 B ．10C ．22D ．105.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为1A 、1B ，则11:AB A B ＝( ) A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶36. ()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的的图象，可以将)(x f 的图象( )A.向右平移56π个单位长度 B.向右平移125π个单位长度C.向左平移56π个单位长度 D.向左平移125π个单位长度 7. 设等差数列的前n 项和为，且满足，对任意正整数，都有 ，则的值为( ) A. 1006B. 1007C. 1008D. 10098.设{}(),(()())min (),()(),(()())f x f xg x f x g x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩．若2()f x x px q =++的图象经过两点(,0),(,0)αβ，且存在整数n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 ( )A ．{}1min (),(1)4f n f n +>B ．{}1min (),(1)4f n f n +<C ．{}1min (),(1)4f n f n +=D ．{}1min (),(1)4f n f n +≥二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分. 9.已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则AB = .R A C B = .()R C A B = .10.已知角的终边过点（4，－3）， 则tan θ= .sin(2)6πθ+= .11. 已知正三棱锥V ABC -的正视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .侧视图的面积为 . 12.已知函数()()61477x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩; (1)当21=a 时， ()x f 的值域为 , (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是 .{}n a n S 201420150,0S S ><n ||||n k a a ≥kθ13.已知y x ,均为正数，且12-+=y x xy ，则y x +的最小值为 .14.已知平面向量,()αβαβ≠满足||3α=且α与 βα-150︒的夹角为，则|(1)|m m αβ+-的取值范围是 _ .15.如图，在60︒的二面角l αβ--内取点A ，在半平面α，β中分别任取点B ，C .若A 到棱l 的距离为1，则ABC ∆的周长的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ． (1）求角A 的大小；(2)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a .17．（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）如果m n a b =，写出m ，n 的关系式()m f n =，并求(1)(2)()f f f n +++．18．（本小题满分15分）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示， （1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，求二面角A DE C --的余弦值．19. （本小题满分15分） 在正项数列{}n a 中，113a =，21()n n n a a a n+=+（*n N ∈） （1）判断数列{}n a 的单调性，并证明你的结论； （2）求证：对*n N ∈都有：113n a ≤<.20.（本小题满分15分）已知，设函数． (1) 若时，求函数的单调区间；(2) 若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最大值及此时的值．R a ∈()||f x x x a x =--1a =()f x 0a ≤[0,]x t ∈1()6f x -≤≤t a参考答案一．选择题1-4：DBAB 5-8：ADCB 二．填空题 9.[2,4];[0,2)(4,)+∞；(,0)-∞ 10. 34- 724350- 11. 6 612．（1）()0,+∞ （2）121<≤a 13. 5 14. 3[,+)2∞ 15. 3三、解答题：16. (1）由1)cos(32cos ++=C B A 得，02cos 3cos 22=-+A A ，……………2分 即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，所以，21cos =A 或2cos -=A (舍去) ……………4分 因为A 为三角形内角，所以3π=A .…………………6分(2)由(1）知21)cos(cos =+-=C B A ， 则1cos cos sin sin 2B C B C -=-； 由81cos cos -=C B ，得3sin sin 8B C =，………………………9分 由正弦定理，有C c B b A a sin sin sin ==，即3si n 2B a b =，3sin 2C a c =，……………12分22833sin sin sin 21a C B a A bc S ===，即32832=a ，解得4=a .………14分 17.（1）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩． 解得 23d q =⎧⎨=⎩ 或 10d q =-⎧⎨=⎩（舍）．所以21n a n =-，13n n b -=． ……………………7分（2）因为m n a b =，所以1213n m --=，即11(31)2n m -=+． 0111(1)(2)()(313131)2n f f f n -++=++++++0111(333)2n n -=++++113()213nn -=+-3214n n +-=． ……………………15分18.（1）证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点.//,ED FD ∴且EB FD ＝，∴四边形EBFD 是平行四边形//BF ED ∴ED ∴⊂平面AED ，而BF ⊄平面AED //BF ∴平面AED ………………6分（2）过点A 用AG ⊥平面,BCDE 垂足为,G 连接,.GC GDACD为正三角形 AC AD ∴=GC GD ∴＝，G ∴在CD 的垂直平分线上。

牌头中学2016学年第一学期中考试卷高三数学一、选择题（每题5分，共8题，共40分，答案涂在答案卡上）1．设R U =，已知}1|{≥=x x A ，}|{a x x B >=，且R B A C U = )(，则a 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 2．已知函数()ln(1)f x ax =-的导函数是'()f x 且'(2)2f =，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．1 3．设向量b a m m b a ∥),1,(),2,1(+==，则实数m 的值为（ ）A ．3-B ．31-C ．1-D ．1 4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 5．已知24sin 225α=-，(,0)4πα∈-，则sin cos αα+=（ ） A ．75-B ．75C ．15-D ．156．在AB C ∆中，,222bc a c b =-+ 0,AB BC a ⋅>= 则c b +的取值范围是 （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛23,217、已知a 、b 22=⋅==b a ，(-c )⋅a (-c )b =0，则⋅c a 的最大值为A ．23 B ．231+ C ．232+ D ．434+（）8．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（前4题每空3分，后3题每题4分，共36分，所有答案均答在答题纸上） 9.已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}052<-=x x x B ，若2-=a，B A ⋂=________；若B A ⊆，则实数a 的取值范围为_______。

2017年高三数学综合练习五2017.11．已知集合(){}21ln x y x A -==,{}xe y y B ==,，则集合()=⋃B A C R （ ）A.(](),10,-∞-+∞B.[1,)+∞C.(][),11,-∞-+∞D.(]0,12．已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（ A ≠0，ω＞0，22πφπ<<-）在32π=x 时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（ ）A ．f （x ）的图象过点（0，21） B ．f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ上是减函数 C ．f （x ）的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,125π D ．f （x ）的图象的一条对称轴是x=125π3．平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +等于（ ） A．．．12 D4．已知等差数列{}n a 的公差0<d ，若2464=a a ,1082=+a a ，则该数列的前n 项和n S 的最大值为A.50 B.45 C.40 D.35（ ）5．设复数z 满足i zz=-+11，则=z A ．1 B.2 C.3 D ．2( )6．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积比为1：2的两部分，则k 的一个值为A ．37 B ．34 C ．1 D ．73（ ）7．已知函数()()1222,0log ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()0f f m <⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A.(]()13,1,12,2⎛⎤---+∞ ⎥⎝⎦ B.(]()21,21,1,log 32⎛⎤-∞---⎥⎝⎦C.(]()1,10,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D.(](]()2,31,01,log 3-∞--8．在平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，CD=CB=7，且AD ⊥AB ，将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A 1BD ，则在△A 1BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A 1C 与平面BCD 所成最大角的正弦值是A.33 B.36 C.66D.630（）9．设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A.()2,1-B.[]2,1-C.()1,2-D.[]1,2-10．已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率为A.45 B.35 C.410 D.415（ ）11．已知函数()()202x x af x a a-=>+在其定义域上为奇函数,则a = ；该函数[]1,1x ∈-上的值域为 。

2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8题，每题5分，共40分）（请把选择题答案涂在答题卡上）1．（5分）圆心在曲线y=x2（x＜0）上，并且与直线y=﹣1及y轴都相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=42．（5分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含3．（5分）一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）A．27πB．18πC．9πD．54π4．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．5．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b7．（5分）若F1，F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③不存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当时，S与C1D1的交点满足C1R1=其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分（请把填空题答案写在答题卷上）9．（6分）若抛物线y2=6x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．10．（6分）已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体S﹣ABC，则它的表面积S=，体积V=．11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，BC和A1C1所成的角=度AA1和BC1所成的角=度．12．（6分）椭圆E的方程为+=1，则它的离心率=，直线y=﹣x交椭圆于A，B两点，AB=．13．（4分）设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是．14．（4分）双曲线的左右焦点分别是F 1，F2，过F2的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若F1A垂直F2A，且，则双曲线的离心率=．15．（4分）如果二面角α﹣L﹣β的大小是60°，线段AB在α内，AB与L所成的角为60°，则AB与平面β所成角的正切值是．三、解答题（共5题，共74分）16．（15分）一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积S和体积V．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）AD与平面PCD所成的角的大小．18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点（1）求证：EF⊥平面PBC（2）若直线PC与平面ABCD所成角为，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．19．（15分）如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．20．（14分）已知椭圆+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l过椭圆的右焦点F2与椭圆交于A，B 两点，（Ⅰ）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足使得△ABP的面积为的点P有几个？并说明理由．（Ⅱ）△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8题，每题5分，共40分）（请把选择题答案涂在答题卡上）1．（5分）圆心在曲线y=x2（x＜0）上，并且与直线y=﹣1及y轴都相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=4【解答】解：设圆心坐标为（a，a2）（a＜0），则∵圆与直线y=﹣1及y轴都相切∴|a|=|a2+1|∴﹣a=a2+1∴a=﹣2∴圆心坐标为（﹣2，1），半径为2∴圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=4故选：D．2．（5分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含【解答】解：圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为：x2+（y﹣3）2=4，所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，故选：A．3．（5分）一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）A．27πB．18πC．9πD．54π【解答】解：设正方体的边长为a，则正方体的表面积S=6a2=54，∴a=3，又正方体的体对角线长等于其外接球的直径，∴外接球的半径R=，∴其外接球的表面积为4π×=27π．故选：A．4．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．5．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B 的平面角∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF===故选：C．6．（5分）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b【解答】解：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确，故选：C．7．（5分）若F1，F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，A（a，0），由已知条件知圆的方程为：x2+y2=c2；∴由得：M（a，b），N（﹣a，﹣b）；∴；又∠MAN=120°；∴=；∴4a2=3b2；∴4a2=3（c2﹣a2）；∴7a2=3c2；∴；即双曲线的离心率为．故选：D．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③不存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当时，S与C1D1的交点满足C1R1=其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；对于②，当CQ＞时，投影面积不为，故②不正确；对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直，故③正确；对于④，当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故④正确；故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分（请把填空题答案写在答题卷上）9．（6分）若抛物线y2=6x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=6x焦点F（，0），准线方程：y=﹣，设M（x，y），过M做MD垂直准线l，交点准线于D，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MD丨=10，则x+=10，解得：x=，M到y轴的距离，故答案为：．10．（6分）已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体S﹣ABC，则它的表面积S=，体积V=．【解答】解：如图，四面体S﹣ABC的各棱长为1，则其四个面均为边长为1的等边三角形，过S作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC 于D．则BD=，BO=．∴SO=．∴正四面体的表面积S=4×；体积V=．故答案为：，．11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，BC和A1C1所成的角=45度AA1和BC1所成的角=60度．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴AC∥A1C1，∴∠ACB是BC和A1C1所成的角，∵AB=2，AD=2，∴∠ACB=45°，∴BC和A1C1所成的角为45度；∵BC1∥AD1，∴∠A1AD1是AA1和BC1所成的角，∵AB=2，AD=2，AA1=2，∴tan∠A1AD1==，∴∠A1AD1=60°．∴AA1和BC1所成的角为60度．故答案为：45，60．12．（6分）椭圆E的方程为+=1，则它的离心率=，直线y=﹣x交椭圆于A，B两点，AB=．【解答】解：椭圆E的方程为+=1，焦点在x轴上，a=2，b=，c=，由椭圆的离心率e==，由，解得：x=±，由弦长公式可知：丨AB丨=•丨x1﹣x2丨=•丨﹣﹣丨=，∴丨AB丨=，故答案为：，13．（4分）设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是0．【解答】解：若a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故①错误；若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故②错误；若a和b相交，b和c相交，则a和c可能平行，可能相交，也可能异面，故③错误；若a和b共面，b和c共面，则a和c可能共面，也可能异面．故答案为：014．（4分）双曲线的左右焦点分别是F 1，F2，过F2的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若F1A垂直F2A，且，则双曲线的离心率=．【解答】解：设过F2的直线为y=k（x﹣c），双曲线的渐近线方程为y=±x，由可得A（，），由可得B（，﹣），又F2（c，0），由且，可得3（c﹣）=）﹣c，化简可得ka=﹣2b，①又F1A⊥F2A，则=﹣，即为kb2=b﹣2ka，②由①②消去k，可得5a2=4b2，由a2﹣b2=c2，可得9a2=4c2，则离心率e==．故答案为：15．（4分）如果二面角α﹣L﹣β的大小是60°，线段AB在α内，AB与L所成的角为60°，则AB与平面β所成角的正切值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥L，因此，∠ADC为二面角α﹣L﹣β的平面角，∠ADC=60°又∵AB与L所成角为60°，∴∠ABD=60°，连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD=2x，则Rt△ACD中，AC=ADsin60°=x，Rt△ABD中，AB==x∴Rt△ABC中，sin∠ABC==34，∴tan∠ABC=故答案为：．三、解答题（共5题，共74分）16．（15分）一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积S和体积V．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是圆柱的一半．由题中数据可得几何体的表面积为2×π×12+2π+4=3π+4．V==π．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）AD与平面PCD所成的角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，∴FG CD，…2分∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE CD，…3分∴FG AE，∴四边形AEGF是平行四边形，…4分∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；…6分（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面ADP …7分又AF⊂平面ADP，∴CD⊥AF …8分在直角三角形PAD中，PA=AD且F是PD的中点，∴AF⊥PD，…9分又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．…10分∴∠ADP就是AD与平面PCD所成的角．…12分在直角三角形PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°…13分∴AD与平面PCD所成的角是45°．…18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点（1）求证：EF⊥平面PBC（2）若直线PC与平面ABCD所成角为，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：取PB的中点G，连接AQ，FG，∵PA=AB，∴AG⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AG，∵PB∩BC=B，∴AG⊥平面PBC∵E、F分别是棱AD，PC的中点，∴FG∥AE，FG=AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，∴EF⊥平面PBC．（2）解：作PO⊥AB=0，则PO⊥平面ABCD，连接OC，则∠PCO=，∴PO=OC，设AO=x，则=，解得x=2，以O为原点，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），A（﹣2，0，0），C（1，2，0），D（﹣2，2，0），E（﹣2，1，0），F（），，，设平面PEF的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣3，﹣），设平面AEF的法向量，∵，，∴，取a=1，得，设二面角P﹣EF﹣A的平面角为α，则cosα=|coss＜＞|=||=．∴二面角P﹣EF﹣A的余弦值为．19．（15分）如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵圆G：x2﹣x+y2=0与x轴交于（0，0），（1，0），圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，∴抛物线y2=2px的焦点F（1，0），∴抛物线的方程为：y2=4x．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），∵，则（x 1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＞0，设l的方程为：，于是即由，得x2﹣（2m+12）x+m2=0，∴，于是，故，又△=（2m+12）2﹣4m2＞0，得到m＞﹣3．∴或m＞2．20．（14分）已知椭圆+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l过椭圆的右焦点F2与椭圆交于A，B 两点，（Ⅰ）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足使得△ABP的面积为的点P有几个？并说明理由．（Ⅱ）△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆+y2=1焦点在x轴上，右焦点F2（1，0），设直线l的方程为：y=x﹣1，则，整理得：3x2﹣4x=0，解得：x1=0，x2=，则丨AB丨=•丨x1﹣x2丨=，=•丨AB丨•d=××d=，设点P到直线l的距离为d，则S△ABP解得：d=，设P（x0，y0），则P到直线l的距离d=，令t=x0﹣y0﹣1，由，代入整理得：x02+2（x0﹣1﹣t）2=2，化简整理得：3x02﹣4（1+t）x0+2t2+4t=0，由△≥0，解得：﹣﹣1≤t≤﹣+1，当﹣﹣1≤t＜0，椭圆上方的点到直线l的距离的最大值为＞，=，则椭圆上存在两个这样的点P，使得△ABP的面积S△ABP当0≤t≤﹣+1，椭圆下方的点到直线l的距离的最大值为＜，=，则椭圆下方不存在这样的P点，使得△ABP的面积S△ABP综上可知：椭圆上存在这样的P点有二个；（Ⅱ）△ABF 1的内切圆的半径为r，=（丨AF1丨+丨BF1丨+丨AB丨）×r=4a×r，∴要使内切圆的面积最大，即使得△ABF1最大，…9分设直线l：x=my+1，∴，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0…10分由△=8（1+m2）＞0，丨y1﹣y2丨==，…11分设点F到直线l的距离为h则：=丨AB丨×h==，…13分令t=，t≥0，则==≤=，当且仅当t=，即m=0时，取得最大值，∴△ABF1面积最大值为，则r max=，∴△ABF1的内切圆的面积最大值为，此时直线l的方程为x=1．…15分赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共8题，共40分，答案涂在答案卡上）1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A．B．C．D．13．（5分）设向量，则实数m的值为（）A．﹣3 B．C．﹣1 D．14．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．5．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2=bc，，，则b+c的取值范围是（）A． B．C．D．7．（5分）已知、满足，=0，则的最大值为（）A．B．C．D．8．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（前4题每空3分，后3题每题4分，共36分，所有答案均答在答题纸上）9．（6分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|x2﹣5x＜0}，若a=﹣2，A∩B=；若A⊆B，则实数a的取值范围为．10．（6分）若a=log43，则2a+2﹣a=；方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．11．（6分）已知函数的一条对称轴方程为，则实数a=；函数f（x）的最大值为．12．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．14．（4分）已知函数在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为．15．（4分）函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），θ∈（0，π）的图象关于y轴对称，则θ=．三、解答题（14+15+15+15+15，共5题，共74分，答案都做在答题纸上）16．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x+2a﹣a2≤0}，B={x|sin（πx﹣）+cos（πx ﹣）=0}．（1）若2∈A，求a的取值范围；（2）若A∩B恰有3个元素，求a的取值范围．17．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），且x∈[﹣，]．（1）若x=，求•及|+|的值；（2）若f（x）=•﹣|+|，求f（x）的最大值和最小值．18．（15分）在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，sin2A=sin2B+sin2C﹣λsinBsinC．（1）求角B的大小；（2）若，试判断△ABC的形状；（3）若△ABC为钝角三角形，求实数λ的取值范围．19．（15分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．20．（15分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ 的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M 处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共8题，共40分，答案涂在答案卡上）1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵U=R，集合A={x|x≥1}=[1，+∞），B={x|x＞a}=（a，+∞），∴∁U A=（﹣∞，1），又（∁U A）∪B=R，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．2．（5分）已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：由f（x）=ln（ax﹣1）可得，由f'（2）=2，可得，解之得．故选：B．3．（5分）设向量，则实数m的值为（）A．﹣3 B．C．﹣1 D．1【解答】解：∵，∴2m﹣（m+1）=0，解得m=1．故选：D．4．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，但是f（﹣x）=﹣x+e﹣x≠±f（x），因此为非奇非偶函数；B．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），因此为奇函数；C．定义域为x∈R，关于y轴对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；D．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；故选：A．5．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵sin2α=﹣，∴sinαcosα=﹣，①又∵α∈（﹣，0），∴sinα＜0，cosα＞0，又sin2α+cos2α=1，②联立①②解得sinα=，cosα=∴sinα+cosα=故选：B．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2=bc，，，则b+c的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意可得b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=，又，∴B为钝角，∵+B+C=π，∴C=﹣B，∴＜B＜由正弦定理可得=1==，∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+），∵＜B＜，∴＜B+＜，∴＜sin（B+）＜，∴＜sin（B+）＜，故选：B．7．（5分）已知、满足，=0，则的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由，得，，．设，以OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，，，，又=0，∴，即．又，∴的最大值为1+=．故选：C．8．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．二、填空题（前4题每空3分，后3题每题4分，共36分，所有答案均答在答题纸上）9．（6分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|x2﹣5x＜0}，若a=﹣2，A∩B=∅；若A⊆B，则实数a的取值范围为1≤a≤2或a≤﹣2．【解答】解：a=﹣2，集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}={x|﹣3＜x＜﹣3}=∅，则A∩B=∅；B={x|x2﹣5x＜0}={x|0＜x＜5}，若A⊆B，则A=∅，即a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2；A≠∅，则0≤a﹣1＜2a+1≤5，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2或a≤﹣2．答案：∅，1≤a≤2或a≤﹣2．10．（6分）若a=log43，则2a+2﹣a=；方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【解答】解：（1）∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=；（2）由题意可知：方程log2（9x﹣1﹣5）=2+log2（3x﹣1﹣2）化为：log2（9x﹣1﹣5）=log24（3x﹣1﹣2）即9x﹣1﹣5=4×3x﹣1﹣8解得x=1或x=2；x=1时方程无意义，所以方程的解为x=2；故答案为：，2．11．（6分）已知函数的一条对称轴方程为，则实数a=；函数f（x）的最大值为1．【解答】解：函数=sin2x﹣+cos2x+=sin （2x+θ），tanθ=．函数的对称轴方程为2x+θ=+kπ，（k∈Z）对称轴方程为，即=+kπ，可得θ=+kπ，∵tanθ=．∴=tan（）=tan=，故a=当2x+θ=时，函数f（x）取得最大值为1．12．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．【解答】解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．14．（4分）已知函数在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为（﹣∞，2）．【解答】解：f′（x）=1﹣+=，若f（x）在（1，2）递增，则x2+x﹣a＞0在（1，2）成立，即a＜x2+x在（1，2）恒成立，令g（x）=x2+x，x∈（1，2），则g′（x）=2x+1＞0，则g（x）在（1，2）递增，故g（x）min=g（1）=2，故a＜2，故答案为：（﹣∞，2）．15．（4分）函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），θ∈（0，π）的图象关于y轴对称，则θ=．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2sin（x+θ+），θ∈（0，π）的图象关于y轴对称，∴θ+=kπ+，k∈Z，即θ=，故答案为：．三、解答题（14+15+15+15+15，共5题，共74分，答案都做在答题纸上）16．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x+2a﹣a2≤0}，B={x|sin（πx﹣）+cos（πx ﹣）=0}．（1）若2∈A，求a的取值范围；（2）若A∩B恰有3个元素，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣2x+2a﹣a2≤0}，且2∈A，∴4﹣4+2a﹣a2≤0，化简得，a2﹣2a≥0，解得a≤0或a≥2，∴a的取值范围是{a|a≤0或a≥2}；（2）∵A={x|x2﹣2x+2a﹣a2≤0}={x|（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]≤0}，∴其方程两根为a和2﹣a，A的两个端点是a与2﹣a；∵={x|2sin（πx﹣+）=0}={x|sinπx=0}={x|x∈Z}，由题意得，A∩B恰有3个元素，①、当a不是整数时，有3≤|a﹣（2﹣a）|＜4，即，解得﹣1＜a≤﹣或≤a＜3，则﹣1＜a≤﹣或≤a＜3=2；②、当a是整数时，2﹣a也是整数，则|a﹣（2﹣a）|=2，解得a=0或2，综上，a的取值范围是{a|﹣1＜a≤﹣或≤a＜3或a=0或a=2}．17．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），且x∈[﹣，]．（1）若x=，求•及|+|的值；（2）若f（x）=•﹣|+|，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）当时，∵，∴（2）∵，∴，∴所以∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值，当cosx=1时，f（x）取得最大值﹣1．18．（15分）在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，sin2A=sin2B+sin2C﹣λsinBsinC．（1）求角B的大小；（2）若，试判断△ABC的形状；（3）若△ABC为钝角三角形，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，∴2sinA•cosB=sin（B+C），∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA，∴2sinA•cosB=sinA，得：cosB=，∴B=．（2）∵，可得：sin2A=sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴化简已知的等式得：a2=b2﹣bc+c2，即b2+c2﹣a2=bc，∴根据余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，则A=．可得：C=π﹣A﹣B=，可得△ABC的形状为直角三角形．（3）由（2）知，cosA==，如果角A为钝角，即＜A＜，则有﹣＜＜0，解得：﹣1＜λ＜0；如果角C为钝角，0＜A＜，则有＜＜1，解得：＜λ＜2，综上，λ∈（﹣1，0）∪（，2）．19．（15分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵F（x）=f（x）﹣φ（x）=x2﹣2elnx（x＞0），∴F′（x）=2x﹣==令F′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣，即y=kx﹣k+e由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，则△=k2﹣4k+4e=（k﹣2）2≤0，∴k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，下面证明φ（x）≤2x﹣e exx＞0时恒成立令G（x）=2 x﹣e﹣φ（x）=2x﹣e﹣2elnx，G′（x）=2﹣=（2x﹣2e）=2（x﹣），当x=时，G′（X）=0，当0＜x＜时G′（x）＞0，则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则φ（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e20．（15分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ 的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M 处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，则．∴b的取值范围是．（II）设t=e x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，y min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，y min=4+2b．综上所述：（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为．C1在点M处的切线斜率为．C2在点N处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．则=，∴设，则，（1）令，则，∵u ＞1，∴r′（u ）＞0，所以r （u ）在[1，+∞）上单调递增， 故r （u ）＞r （1）=0，则，与（1）矛盾！赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

诸暨中学2017学年第一学期高三年级数学（文）期中 试题卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}()12,1R A x x B x x A C B =-≤≤=<⋂，则=（ ） A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}2x x 1<≤ D ．{}2x x 1≤≤ 2．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 （ ）A ．1y x=B ．xy e -= C ．．21y x =-+D ．lg ||y x =3．等比数列{n a }中，73=a ，前3项之和=3s 21，则公比q 的值是 （ ）A ．21- B ．21 C ．121或D ．121或-4．已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则“0x >”是“a 与b夹角为锐角”的 （ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知sin θ+cos θ=51,θ),0(π∈,则tan θ=A ．34- B ．34 C ．43- D ．436．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则ϕ等于 （ ） A ．6π B ．6π-C ．3π D ． 3π-7．若函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是 （ ）8．若，且，则下面结论正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．9．平面向量→→→e b a ,,满足1||=→e ，1=⋅→→e a ，2=⋅→→e b ，2||=-→→b a ，则→→⋅ba 的最小值为（ ）A ． 12B ． 45 C ． 1D ． 20αβ+>αβ<22αβ>αβ>sin sin 0ααββ->,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦10．定义在R 上的奇函数)(x f ，当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=).,1[|,3|1)1,0[),1(log )(21x x x x x f ， 则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ）aa a a D C B A 21211212.-⋅-⋅-⋅-⋅--二、填空题 (本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知向量1||||==b a ，且2=∙b a ，则||b a+= ．12．在数列{n a }中，已知na a a n n 3,111+==+，则=9a _________________. 13．已知1)(35++=bx ax x f 且,7)5(=f 则)5(-f 的值是 ． 14．已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈[0,]2x π∈，)(x f 的值域 ．15．若实数y x 、满足22030x y y ax y a +-≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，且22y x +的最大值等于34，则正实数a 的值等于 ． 16．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= ．17．定义在R 上的函数()f x 满足条件：存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 恒成立，则称函数()f x 为“V 型函数”。

2015-2016学年浙江省绍兴一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）2．函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c5．若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．6．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．87．以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6B．6C．4D．48．到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧二、填空题（每小题4分，共28分.）9．已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是，不等式f（x）＜0的解集是．10．设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5=，S9=．11．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于．12．已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为．13．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．14．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．15．边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．17．数列{a n}满足a1=1，（n∈N）．+（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．19．已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．20．已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年浙江省绍兴一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】所有不属于A的元素组成的集合就是我们所求，故应先求出集合A．再求其补集即得．【解答】解：A={x|x≥2或x≤﹣2}，易知C∪A={x|﹣2＜x＜2}，故选A．2．函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用降幂法化简函数y，即可求出它的最小正周期．【解答】解：∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2•=2+cos2x，∴函数y的最小正周期为T==π．故选：B．3．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．4．对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个选项依次加以判别，即可得到B项是正确的，而A、C、D都存在反例而不正确．【解答】解：对于A，若两条直线a、b是异面直线时，则不存在平面α使得a⊂α且b⊂α成立，故A不正确；对于B，因为a、b不相交，所以a、b的位置关系是平行或异面：①当a、b平行时，显然存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立；②当a、b异面时，设它们的公垂线为c，在a、b上的垂足分别为A、B．则经过A、B且与c垂直的两个平面互相平行，设过A的平面为α，过B的平面为β，则α∥β，且a、b分别在α、β内，此时存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立．故B正确；对于C，若两条直线a、b是异面直线时，则不存存在直线c，使得a∥c且b∥c成立，故C 不正确；对于D，当a、b所成的角不是直角时，不存在直线c，使得a∥c且b⊥c成立，故D不正确．综上所述，只有B项正确．故选：B5．若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．6．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．7．以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6B．6C．4D．4【考点】余弦定理．【分析】设D为AC中点，由已知及余弦定理可求cosA=，在△ABD中，由余弦定理可求2a2+b2=144，利用配方法可得S=ah=，利用二次函数的图象和性质即可得解当△ABC面积最大时，腰AB长．【解答】解：如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，cosA==，在△ABD中，BD2=b2+（）2﹣2×，可得：2a2+b2=144，所以，S=ah====，所以，当a2=32时，S有最大值，此时，b2=144﹣2a2=80，解得：b=4，即腰长AB=4．故选：D．8．到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧【考点】轨迹方程．【分析】建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和y=0代入即可求得轨迹．【解答】解：如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB=a，P（x，y，z）到直线OA，BC的距离相等，∴x2+z2=（x﹣a）2+y2，∴2ax﹣y2+z2﹣1=0若被平面xoy所截，则z=0，y2=2ax﹣1；若被平面xoz所截，则y=0，z2=﹣2ax+1故选C．二、填空题（每小题4分，共28分.）9．已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是7，不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由f（x）=1，利用对数方程，可得结论；由f（x）＜0，利用对数不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=1，∴lg（2x﹣4）=1，∴2x﹣4=10，∴x=7；∵f（x）＜0，∴0＜2x﹣4＜1，∴2＜x＜2.5，∴不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．故答案为：7；（2，2.5）．10．设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5=9，S9=81．【考点】等差数列的前n项和．【分析】等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5，再利用S9==9a5．即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5=9，∴S9==9a5=81．故答案分别为：9；81．11．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．∴该几何体的体积V==4，故答案为：4．12．已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为g（2）＜g（﹣3）＜g（4）．【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由已知中函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，我们根据复合函数的单调性，可求出a与1的关系，进而判断出函数的奇偶性及单调区间，再根据偶函数函数值大小的判断方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，令u=|x|，则y=log a u，由u=|x|在（﹣∞，0）上是减函数，及复合函数同增异减的原则可得外函数y=log a u为增函数，即a＞1又∵函数为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减且|2|＜|﹣3|＜|4|∴g（2）＜g（﹣3）＜g（4）故答案为：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）13．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2=8，在a=b=4时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：814．已知F 1、F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设A 点坐标为（m ，n ），则直线AF 1的方程为 （m +c ）y ﹣n （x +c ）=0，求出右焦点F 2（c ，0）到该直线的距离，可得直线AF 1的方程为ax ﹣by +ac=0，根据A 是双曲线上的点，可得b 4﹣a 4＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围． 【解答】解：设A 点坐标为（m ，n ），则直线AF 1的方程为 （m +c ）y ﹣n （x +c ）=0，右焦点F 2（c ，0）到该直线的距离=2a ，所以n=（m +c ），所以直线AF 1的方程为ax ﹣by +ac=0，与﹣=1联立可得（b 4﹣a 4）x 2﹣2a 4cx ﹣a 4c 2﹣a 2b 4=0，因为A 在右支上，所以b 4﹣a 4＞0， 所以b 2﹣a 2＞0， 所以c 2﹣2a 2＞0，即e ＞．故答案为：．15．边长为2的正三角形ABC 内（包括三边）有点P ， •=1，求•的取值范围 [3﹣2，﹣] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先建立坐标系，根据•=1，得到点P 在（x ﹣1）2+y 2=2的半圆上，根据向量的数量积得到•=﹣x ﹣y +4，设x +y=t ，根据直线和圆的位置关系额判断t 的范围，即可求出•的取值范围．【解答】解：以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵正三角形ABC 边长为2，∴B （0，0），A （1，），C （2，0），设P 的坐标为（x ，y ），（0≤x ≤2，0≤y ≤），∴=（﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ），∴•=x （x ﹣2）+y 2=1， 即点P 在（x ﹣1）2+y 2=2的半圆上，∵=（﹣1，﹣）∴•=﹣x ﹣y +4，设x +y=t ，则直线x +y ﹣t=0与圆交点，∴d=≤，解得0≤t≤2+1，当直线x+y﹣t=0过点D（﹣1，0）时开始有交点，∴﹣1=t，即t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2+1，∴3﹣2≤4﹣t≤5﹣，故•的取值范围为[3﹣2，5﹣]．故答案为：[3﹣2，5﹣]．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A（2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sin cos可求B，然后由正弦定理，可求b【解答】解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C=，故A=．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sin cos=．…10分由正弦定理可得，∴，解得b=．…12分．17．数列{a n}满足a1=1，（n∈N）．+（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．），我们易变形得：，即【分析】（I）由已知中（n∈N+，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列{b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1相减得：=2n+1﹣2﹣n•2n+1∴S n=（n﹣1）•2n+1+218．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】方法一：常规解法（I）由已知中，棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．方法二：向量法（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【解答】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A 1B 1中点E ，则HE ∥BB 1∥CC 1且，又D 为CC 1的中点，所以，得平行四边形HEDC ，因此CH ∥DE ，又CH ⊥平面AA 1B 1B ，得CH ⊥HE ，DE ⊥HE ，所以DE ⊥CC 1∴CC 1⊥平面A 1B 1D 解：（Ⅱ）取AA 1中点F ，连CF ，作HK ⊥CF 于K因为CH ∥DE ，CF ∥A 1D ，所以平面CFH ∥平面A 1B 1D ，由（Ⅰ）得CC 1⊥平面A 1B 1D ， 所以CC 1⊥平面CFH ，又HK ⊂平面CFH ，所以HK ⊥CC 1，又HK ⊥CF ，得HK ⊥平面AA 1C 1C ，所以DH 与平面AA 1C 1C 所成角为∠HDK在Rt △CFH 中，，在Rt △DHK 中，由于DH=2，方法二：（向量法） 证明：（Ⅰ）如图，以H 为原点，建立空间直角坐标系，则C （0，0，），C 1（），A 1（），B 1（0，，0），所以，，∴，，因此CC 1⊥平面A 1B 1D ；解：（Ⅱ）设平面AA 1C 1C 的法向量，由于则，得，所以又，所以19．已知抛物线y 2=2px ，过焦点且垂直x 轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2=4，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ． （1）求抛物线方程；（2）试证线段AB 的垂直平分线经过定点，并求此定点； （3）求△ABC 面积的最大值． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意，2p=6，即可得出抛物线方程为y 2=6x ； （2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），求出线段AB 的垂直平分线的方程由此能求出直线AB 的垂直平分线经过定点C （5，0）．（3）直线AB 的方程为y ﹣y 0=（x ﹣2），代入y 2=6x ，由此利用两点间距离公式和点到直线距离公式能求出△ABC 面积的表达式，利用均值定理能求出ABC 面积的最大值． 【解答】（1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y 2=6x ．… （2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则x 0=2，y 0=，k AB ==．线段AB 的垂直平分线的方程是y ﹣y 0=﹣（x ﹣2），①由题意知x=5，y=0是①的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点， 且点C 坐标为（5，0）．所以直线AB 的垂直平分线经过定点C （5，0）．…（2）由①知直线AB 的方程为y ﹣y 0=（x ﹣2），①即x=（y ﹣y 0）+2，②②代入y 2=6x 得y 2=2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2﹣2y 0y +2y 02﹣12=0，③ 依题意，y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以△＞0，﹣2＜y 0＜2．|AB |==．定点C（5，0）到线段AB的距离h=|CM|=．=•．…∴S△ABC=•≤（3）由（2）知S△ABC=，…当且仅当=24﹣2，即y0=所以，△ABC面积的最大值为．…20．已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的性质．【分析】（Ⅰ）去绝对值号得，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），因为f（x）连续，所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b≥2；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，当2≤a≤4时，＜≤a，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（a）=﹣2a，所以对2≤a≤4恒成立，解得：0＜t＜1，当﹣2＜a＜2时，＜a＜，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）上递减，在（，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（）=﹣﹣a﹣1，所以﹣﹣a﹣1＜﹣2ta＜﹣a+1对﹣2＜a＜2恒成立，解得：0≤t≤1，综上所述，0＜t＜1．2016年11月13日。

2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，1}2．（5分）△ABC中，“”是“”的（）条件．A．充要条件B．必要不充分C．充分不必要D．既不充分也不必要3．（5分）已知，，则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣ B．C．D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2015＞0，S2016＜0，若对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10095．（5分）f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5分）偶函数f（x）在x＞0时，函数f′（x）=x2+ax+b，则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．7．（5分）点P是△ABC内一点，且，则△ABP与△ABC的面积之比是（）A．1：5 B．1：2 C．2：5 D．1：38．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知角θ的终边过点（4，﹣3），则tanθ=，=．10．（6分）已知log a2=m，log a3=n，其中a＞0且a≠1，则a m+2n=，用m，n表示log43为．11．（6分）在数列{a n}中，a1=2，a2=10，且，则a4=，数列{a n}的前2016项和为．12．（6分）若f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2，则x＜0时，f（x）=，若对任意的x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．13．（4分）=．14．（4分）已知平面向量且与的夹角为150°，则（t∈R）的取值范围是．15．（4分）已知函数，任意的t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2，求a．17．（15分）已知{a n}为公差不为零的等差数列，首项a1=a，{a n}的部分项、、…、恰为等比数列，且k=1，k2=5，k3=17．（1）求数列{a n}的通项公式a n（用a表示）；（2）设数列{k n}的前n项和为S n，求S n．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，其中常数a，b，c∈R．（1）若f（3）=f（﹣1）=﹣5，且f（x）的最大值是3，求函数f（x）的解析式；（2）a=1，若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求b的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（15分）数列{a n}满足a1=2，．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：．2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，1}【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），∵B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选：D．2．（5分）△ABC中，“”是“”的（）条件．A．充要条件B．必要不充分C．充分不必要D．既不充分也不必要【解答】解：在三角形中若，则＜A＜π，则，“”是“”的充要条件，故选：A．3．（5分）已知，，则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣ B．C．D．【解答】解：∵，，∴（2+）（﹣2）=2﹣3﹣2=0，∴=﹣，∴向量在向量方向上的投影为=﹣，故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2015＞0，S2016＜0，若对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2015＞0，S2016＜0，∴=2015a1008＞0，=1008（a1008+a1009）＜0，∴a1008＞0，a1009＜0，∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k=1008．故选：C．5．（5分）f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由题意可得A=1，T=•=﹣，解得ω=2，∴f（x）=Acos（ωx+φ）=cos（2x+φ）．再由五点法作图可得2×+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），g（x）=﹣sin（2x+）=cos（2x++）=cos2（x+），而﹣（﹣）=，故将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）的图象，故选：D．6．（5分）偶函数f（x）在x＞0时，函数f′（x）=x2+ax+b，则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；在x＞0时，函数f′（x）=x2+ax+b，原函数为三次函数，最多两个极值点，排除D，故选：B．7．（5分）点P是△ABC内一点，且，则△ABP与△ABC的面积之比是（）A．1：5 B．1：2 C．2：5 D．1：3【解答】解：如图，延长PB至PB'，使PB'=2PB，延长PC至PC'，使PC'=3PC，并连接AB′，B′C′，C′A，则：=∴P是△AB′C′的重心；∴△PAB′，△PB′C′，△PC′A三个三角形的面积相等，记为S；∴S△APB=，S△APC=，S△BPC=，∴S△ABC=S，∴S△ABP ：S△ABC=1：2．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知角θ的终边过点（4，﹣3），则tanθ=，= 8．【解答】解：∵角θ终边上一点P（4，﹣3），∴由三角函数的定义可得tanθ=，∴===8，故答案为：，8．10．（6分）已知log a2=m，log a3=n，其中a＞0且a≠1，则a m+2n=18，用m，n表示log43为．【解答】解：log a2=m，log a3=n，其中a＞0且a≠1，可得：a m=2，a n=3，则a m+2n=2×32=18．log43==．故答案为：．11．（6分）在数列{a n}中，a1=2，a2=10，且，则a4=﹣2，数列{a n}的前2016项和为0．【解答】解：∵a1=2，a2=10，且，∴a3=a2﹣a1=10﹣2=8，同理可得：a4=8﹣10=﹣2，a5=﹣10，a6=﹣8，a7=2，a8=10，…．∴a n=a n．+6则a4=﹣2，数列{a n}的前2016项和=（a1+a2+…+a6）×336=（2+10+8﹣2﹣10﹣8）=0．故答案为：﹣2，0．12．（6分）若f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2，则x＜0时，f（x）=﹣x2，若对任意的x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是[，+∞）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0 时，f（x）=x2∴当x＜0，有﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2，∴﹣f（x）=x2，即f（x）=﹣x2，∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），f（x+t）≥2f（x）=f（x），又∵函数在定义域R上是增函数故问题等价于当x属于[t，t+2]时x+t≥x恒成立⇔（﹣1）x﹣t≤0恒成立，令g（x）=（﹣1）x﹣t，g（x）max=g（t+2）≤0解得t≥．∴t 的取值范围t≥，故答案为：﹣x2；[，+∞）．13．（4分）=﹣4．【解答】解：原式====﹣4．故答案为：﹣4．14．（4分）已知平面向量且与的夹角为150°，则（t∈R）的取值范围是[，+∞）．【解答】解：∵平面向量且与的夹角为150°，如图，设=，=，则=﹣，∴△OAB为等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，∴=••cos120°=﹣，∴=====≥，故答案为：[，+∞）．15．（4分）已知函数，任意的t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．【解答】解：∵=sin x，∴其周期T=4，区间[t，t+1]的长度为T，又f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M t，最小值为m t，由正弦函数的图象与性质可知，当x∈[4k+，4k+]时，h（t）=M（t）﹣m（t），取得最小值1﹣；当x∈[4k+，4k+]时，h（t）=M（t）﹣m（t）取得最大值﹣（﹣）=；∴函数h（t）的值域为．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2，求a．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A=3cos（B+C）+1得，2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，所以，cosA=或cosA=﹣2（舍去），因为A为三角形内角，所以A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=﹣cos（B+C）=，则cosBcosC﹣sinBsinC=；由cosBcosC=﹣，得sinBsinC=，由正弦定理，有，即b=，c=，由三角形的面积公式，得S===，即=2，解得a=4．17．（15分）已知{a n}为公差不为零的等差数列，首项a1=a，{a n}的部分项、、…、恰为等比数列，且k=1，k2=5，k3=17．（1）求数列{a n}的通项公式a n（用a表示）；（2）设数列{k n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，据题有：，即（a+4d）2=a（a+16d），∴16d2=8ad，∵d≠0，∴，从而．（2）设等比数列的公比为q，则，故，另一方面，，所以，∵a≠0，∴，∴．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，其中常数a，b，c∈R．（1）若f（3）=f（﹣1）=﹣5，且f（x）的最大值是3，求函数f（x）的解析式；（2）a=1，若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求b的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：，解得：a=﹣2，b=4，c=1，∴f（x）=﹣2x2+4x+1；（2）函数f（x）=x2+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，即f（x）max﹣f（x）min≤4，记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．当|﹣|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；当|﹣|≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（﹣）=﹣f（﹣）=（1+）2≤4，解得：|b|≤2，即﹣2≤b≤2，综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．19．（15分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x2+x，f′（x）=﹣x+1，f（1）=，f′（1）=1，故切线方程是：y﹣=x﹣1，整理得：y=x﹣；（2）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R，∴f′（x）=﹣ax+1=（x＞0），∴当a=0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由于x＞0，故﹣ax2＞0，于是﹣ax2+x+1＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f′（x）＞0得，0＜x＜，即f（x）在（0，）上单调递增；由f′（x）＜0得，x＞，即f（x）在（，+∞）上单调递减；（3）由（2）可知，当a＞0，x=时函数取到极大值，∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0，∴f（x）=0有两个不等的根，即f（x）=lnx﹣ax2+x=0有两个不等的根，即lnx=ax2﹣x有两个不等的根，构造函数y=lnx与y=ax2﹣x，则两个图象有两个不同的交点；∵y=lnx过（1，0），y=ax2﹣x的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）∴＞，解得a＜2，∴0＜a＜2．20．（15分）数列{a n}满足a1=2，．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：．【解答】解：（1）∵，∴﹣=∵∴b n+1﹣b n =∴b n=b1+（b2﹣b1）+…+（b n﹣b n﹣1）=∵，a1=2，∴b1=1∴b n =；（2）由（1）知，a n =，∴，∴=[]∴S n ==∵=得到递减，∴=∴，即．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。