2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三(上)期末数学试卷

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨市七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分1．（3分）下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（）A．对我省初中学生视力状况的调查B．对中央电视台《朗读者》节目收视率的调查C．旅客上飞机前的安全检查D．对全球市场上大米质量情况的调查2．（3分）若分式值为0，则x的值是（）A．x≠0B．x≠4C．x＝0D．x＝43．（3分）2019新型冠状病毒在2020年1月12日被世界卫生组织命名为2019﹣nCoV，它的平均直径大约为80﹣140纳米之间，已知1纳米＝10﹣9米，将140纳米用科学记数法可表示为（）米．A．140×10﹣9B．1.4×10﹣7C．14×10﹣8D．1.4×10﹣8 4．（3分）下列计算结果正确的是（）A．a3•a4＝a12B．a5÷a＝a5C．a3﹣a2＝a D．（a3）2＝a6 5．（3分）如图所示，下列条件能判断a∥b的有（）A．∠1+∠2＝180°B．∠2＝∠4C．∠2+∠3＝180°D．∠1＝∠3 6．（3分）若方程组的解也是方程kx+2y＝18的解，则k的值为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）将分式中的A.b都扩大为原来的3倍，则分式的值（）A．不变B．扩大为原来的3倍C．扩大为原来的6倍D．扩大为原来的9倍8．（3分）一质点P从距原点8个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为（）A．2﹣2018B．2﹣2019C．2﹣2020D．2﹣20219．（3分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB.CD，若CD∥BE，且∠2＝66°，则∠1的度数是（）A．48°B．57°C．60°D．66°10．（3分）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C 三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：（每小题3分，共30分11．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足．12．（3分）分解因式：x2﹣16＝．13．（3分）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，若第1﹣4组的频数分别为12.10.15.x，第5组的频率是0.1，则x的值为．14．（3分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝．15．（3分）如果关于x的方程有增根，那么k＝．16．（3分）如图，在三角形ABC中，点E，F在边AB，BC上，将三角形BEF沿EF折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC方向向右平移若干单位长度后恰好能与边AC 重合，连接AD．若BC＝9 cm，则四边形ADFC的周长为cm．17．（3分）已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，则x2+2xy+y2的值为．18．（3分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝25，则a，b，c之间满足的等量关系是．19．（3分）对于两个不相等的实数A.b，我们规定符号Min{a，b}表示A.b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣3的解为．20．（3分）某商场地下停车场有5个出口，5个入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个入口和2个出口，8小时车库恰好停满；如果开放4个入口和2个出口，1.6小时车库恰好停满．2021年五一节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放3个入口和2个出口，则从早晨7点开始经过小时车库恰好停满．三、解答题：（本大题共5小题，共40分；解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程21．（8分）（1）解方程组：；（2）解方程：+＝1．22．（6分）先化简，再求值：（﹣1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．23．（8分）在2020年线上授课期间，小美、小丽和小林为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1.表2和表3．表1：小美抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小丽随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小林随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数6426186根据以上材料，回答下列问题：（1）小美、小丽和小林三人中，抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，若根据该同学调查的数据进行估计，该校九年级学生中利用听音乐方式进行减压的人数共约人；（2）对（1）中所填同学以外的其他两位同学的抽样调查方法各提一条改进建议．24．（8分）4月份以来，印度疫情再次爆发，需要大量制氧机，我国一企业接到一批制氧机外贸订单急需大量工人生产制氧机，该企业招聘了一批工人，按照熟练程度，分为一级、二级和三级，其中每名一级工人生产30台的时间与每名三级工人生产10台的时间相同，已知一名一级工人每天比一名三级工人多生产6台．（1）求每名一级工人和每名三级工人每天分别生产多少台制氧机？（2）为了最大限度提高产量，该企业决定每月花费90000元（全部用完）招聘一、二、三级工人合计18人，其中各级工人至少1人，已知二级工人每天生产量是三级工人的2倍，一级、二级、三级工人每月的工资分别为6000，5000元，3500元，问该企业应如何安排招聘方案，使得每天生产制氧机的台数最多？最多为多少台？25．（10分）如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC.AC分别交直线FG于D.E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．（1）如图1，∠BAH＝40°，则：①∠FDB＝°；②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝°．（2）如图2，点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数；（3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，则∠I＝°（用含n的式子表示）．2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨市七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分1．（3分）下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（）A．对我省初中学生视力状况的调查B．对中央电视台《朗读者》节目收视率的调查C．旅客上飞机前的安全检查D．对全球市场上大米质量情况的调查【解答】解：A．对我省初中学生视力状况的调查，适合抽样调查，选项不合题意；B．对中央电视台《朗读者》节目收视率的调查，适合抽样调查，选项不合题意；C．旅客上飞机前的安全检查，适合全面调查，选项符合题意；D．对全球市场上大米质量情况的调查，适合抽样调查，选项不合题意．故选：C．2．（3分）若分式值为0，则x的值是（）A．x≠0B．x≠4C．x＝0D．x＝4【解答】解：由题意可知：x＝0且x﹣4≠0．解得x＝0且x≠4．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．3．（3分）2019新型冠状病毒在2020年1月12日被世界卫生组织命名为2019﹣nCoV，它的平均直径大约为80﹣140纳米之间，已知1纳米＝10﹣9米，将140纳米用科学记数法可表示为（）米．A．140×10﹣9B．1.4×10﹣7C．14×10﹣8D．1.4×10﹣8【解答】解：140纳米＝1.4×10﹣7米．故选：B．4．（3分）下列计算结果正确的是（）A．a3•a4＝a12B．a5÷a＝a5C．a3﹣a2＝a D．（a3）2＝a6【解答】解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；B．a5÷a＝a4，故本选项不合题意；C．a3与﹣a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；D．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；故选：D．5．（3分）如图所示，下列条件能判断a∥b的有（）A．∠1+∠2＝180°B．∠2＝∠4C．∠2+∠3＝180°D．∠1＝∠3【解答】解：A.∵∠1+∠2＝180°，不能判定a∥b，错误；B.∵∠2＝∠4，∴a∥b，正确；C.∵∠2+∠3＝180°，不能判定a∥b，错误；D.∵∠1＝∠3，不能判定a∥b，错误；故选：B．6．（3分）若方程组的解也是方程kx+2y＝18的解，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：，①+②，得4x＝20．∴x＝5．①﹣②×3，得﹣8y＝﹣32，∴y＝4．∵方程组的解也是方程kx+2y＝18的解，∴5k+2×4＝18．∴k＝2．故选：B．7．（3分）将分式中的A.b都扩大为原来的3倍，则分式的值（）A．不变B．扩大为原来的3倍C．扩大为原来的6倍D．扩大为原来的9倍【解答】解：将原分式中的a（a≠0），b（b≠0）都扩大为原来的3倍，可得：，∴新分式的值扩大为原来的3倍，故选：B．8．（3分）一质点P从距原点8个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为（）A．2﹣2018B．2﹣2019C．2﹣2020D．2﹣2021【解答】解：由题意可得：OM＝8，质点P从M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，此时质点到原点O的距离为8×＝4＝22＝23﹣1，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，此时质点到原点O的距离为8××＝8×（）2＝2＝23﹣2，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，此时质点到原点O的距离为8×××＝8×（）3＝1＝20＝23﹣3，..．第n次从点M n﹣1跳到OM n﹣2的中点M n处，此时质点到原点O的距离为8×（）n＝23﹣n，∴第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为23﹣2021＝2﹣2018，故选：A．9．（3分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB.CD，若CD∥BE，且∠2＝66°，则∠1的度数是（）A．48°B．57°C．60°D．66°【解答】解：如图，延长BC到点F，∵纸带对边互相平行，∴∠4＝∠3＝∠1，由折叠可得，∠DCF＝∠5，∵CD∥BE，∴∠DCF＝∠4，∴∠5＝∠4，∵∠2+∠4+∠5＝180°，∴66°+2∠4＝180°，即∠4＝57°，∴∠1＝57°．故选：B．10．（3分）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C 三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：依题意得：，即，（①2﹣②）÷2，得：xy＝5．∴一张小长方形的面积为5．故选：C．二、填空题：（每小题3分，共30分11．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．故答案为：x≠1．12．（3分）分解因式：x2﹣16＝（x﹣4）（x+4）．【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．13．（3分）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，若第1﹣4组的频数分别为12.10.15.x，第5组的频率是0.1，则x的值为8．【解答】解：因为第5组的频率为0.1，样本容量为50，所以第5组的频数为50×0.1＝5，所以x＝50﹣12﹣10﹣15﹣5＝8，故答案为：8．14．（3分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝40°．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝65°，∴∠GFB＝∠FED＝65°．∵∠HFB＝25°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝65°﹣25°＝40°．故答案为：40°．15．（3分）如果关于x的方程有增根，那么k＝1．【解答】解：，去分母得：1＝3（x﹣3）+k，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得1＝3（3﹣3）+k，解得k＝1．故答案为：1．16．（3分）如图，在三角形ABC中，点E，F在边AB，BC上，将三角形BEF沿EF折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC方向向右平移若干单位长度后恰好能与边AC 重合，连接AD．若BC＝9cm，则四边形ADFC的周长为18cm．【解答】解：∵三角形BEF沿EF折叠，使点B落在点D处，∴DF＝BF，∵将线段DF沿着BC方向向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，∴DF∥AC且DF＝AC，∴四边形ADFC为平行四边形，∴AD＝FC，∵BC＝BF+CF＝9（cm），∴DF+CF＝9cm，∴四边形ADFC的周长为2×（DF+CF）＝2×9＝18（cm），故答案为18．17．（3分）已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，则x2+2xy+y2的值为4．【解答】解：，①﹣②得x2﹣y2+2x﹣2y＝0，（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，（x﹣y）（x+y+2）＝0，∵x≠y，∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4．故答案为：4．18．（3分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝25，则a，b，c之间满足的等量关系是a+c＝2b．【解答】解：a+c＝2b，理由如下：∵4×25＝100＝102，∴3a×3c＝（3b）2，∴3a+c＝32b，则a+c＝2b．故答案为：a+c＝2b．19．（3分）对于两个不相等的实数A.b，我们规定符号Min{a，b}表示A.b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣3的解为x＝3．【解答】解：当x＞1时，，去分母得：2＝﹣4﹣3（1﹣x），解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，当x＜1时，，去分母得：1＝﹣4﹣3（1﹣x），解得：x＝，不符合题意，舍去，∴方程的解为x＝3，故答案为：x＝3．20．（3分）某商场地下停车场有5个出口，5个入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个入口和2个出口，8小时车库恰好停满；如果开放4个入口和2个出口，1.6小时车库恰好停满．2021年五一节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放3个入口和2个出口，则从早晨7点开始经过2小时车库恰好停满．【解答】解：设每个入口每小时进车x辆，每个出口每小时出车y辆，该停车场能停放s 辆车，依题意得：，解得：，∴＝＝2．故答案为：2．三、解答题：（本大题共5小题，共40分；解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程21．（8分）（1）解方程组：；（2）解方程：+＝1．【解答】解：（1），②﹣①得：6y＝﹣6，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：x+2＝3，解得：x＝1，则方程组的解为；（2）去分母得：2x+2+x2＝x2+x，解得：x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入得：x（x+1）≠0，∴x＝﹣2是原方程的解．22．（6分）先化简，再求值：（﹣1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝0时，原式＝﹣1．23．（8分）在2020年线上授课期间，小美、小丽和小林为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1.表2和表3．表1：小美抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小丽随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小林随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数6426186根据以上材料，回答下列问题：（1）小美、小丽和小林三人中，小林抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，若根据该同学调查的数据进行估计，该校九年级学生中利用听音乐方式进行减压的人数共约180人；（2）对（1）中所填同学以外的其他两位同学的抽样调查方法各提一条改进建议．【解答】解：（1）小林同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小美同学调查的只是男生，不具有代表性，小丽同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．600×＝180（人），答：该校九年级学生中利用听音乐方式进行减压的人数共约180人．故答案为：小林，180人；（2）小美：只调查男生数据，不能代表九年级学生的情况，还应对女生进行调查；小丽：只调查10名同学，样本不容易具有代表性，应适当增大样本容量．24．（8分）4月份以来，印度疫情再次爆发，需要大量制氧机，我国一企业接到一批制氧机外贸订单急需大量工人生产制氧机，该企业招聘了一批工人，按照熟练程度，分为一级、二级和三级，其中每名一级工人生产30台的时间与每名三级工人生产10台的时间相同，已知一名一级工人每天比一名三级工人多生产6台．（1）求每名一级工人和每名三级工人每天分别生产多少台制氧机？（2）为了最大限度提高产量，该企业决定每月花费90000元（全部用完）招聘一、二、三级工人合计18人，其中各级工人至少1人，已知二级工人每天生产量是三级工人的2倍，一级、二级、三级工人每月的工资分别为6000，5000元，3500元，问该企业应如何安排招聘方案，使得每天生产制氧机的台数最多？最多为多少台？【解答】解：（1）设每名三级工人每天生产x台制氧机，则每名一级工人每天生产（x+6）台制氧机，依题意得：，解得：x＝3．经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝3+6＝9．答：每名一级工人每天生产9台制氧机，每名三级工人每天生产3台制氧机．（2）设招聘三级工人a人，二级工人b人，则招聘一级工人（18﹣a﹣b），依题意得：3500a+5000b+6000（18﹣a﹣b）＝90000，∴b＝18﹣a．∵a，b，（18﹣a﹣b）均为正整数，∴或或，当时，每天生产制氧机的数量为3×2+3×2×13+9×（18﹣2﹣13）＝111（台）；当时，每天生产制氧机的数量为3×4+3×2×8+9×（18﹣4﹣8）＝114（台）；当时，每天生产制氧机的数量为3×6+3×2×3+9×（18﹣6﹣3）＝117（台）．∵111＜114＜117，∴当招聘三级工人6人，二级工人3人，一级工人9人时，每天生产制氧机的台数最多，最多为117台．25．（10分）如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC.AC分别交直线FG于D.E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．（1）如图1，∠BAH＝40°，则：①∠FDB＝50°；②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝15°．（2）如图2，点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数；（3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，则∠I＝°（用含n的式子表示）．【解答】解：（1）①如图，过点B作BN∥AG，则BN∥HK，∴∠FDB＝∠DBN，∠BAH＝∠ABN，∴∠FDB+∠HAB＝∠DBA＝90°，∵∠BAH＝40°，∴∠FDB＝50°，故答案为：50°；②记AI与直线FG的交点为M，∵∠FDB＝50°，∴∠CDG＝∠FDB＝50°，∵∠BAH＝40°，∠BAC＝60°，∴∠CAK＝80°，∵∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，∴∠IDG＝25°，∠IAK＝40°，∵FG∥HK，∴∠DMG＝∠IAK＝40°，∵∠DMG是△DMI的外角，∴∠I＝∠DMG﹣∠IDG＝40°﹣25°＝15°，故答案为：15°；（2）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∵∠BAC＝60°，∴∠CAK＝α+30°，∵点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，∴∠IDG＝，∠IAK＝（α+30°），∵FG∥HK，∴∠DMA＝∠IAK＝（α+30°），∵∠I＝35°，∴35°+＝（α+30°），∴α＝50°；（3）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∠CAK＝α+30°，∵∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，∴∠IDG＝，∠IAK＝，∵FG∥HK，∴∠DMA＝∠IAK＝，∴∠I＝∠DMA﹣∠IDG＝﹣＝，故答案为：．。

2024年浙江省绍兴市诸暨市九年级中考模拟数学试卷一、单选题(★★) 1. 2024的相反数是（）A．B．C．2024D．(★) 2. 据报道，浙江省举全省之力筹办杭州亚运会，共有名志愿者参加．其中用科学记数法可表示为（）A．B．C．D．(★★) 3. 青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（）A．B．C．D．(★★) 4. 下列计算正确的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，，，若两条斜边，则（）A．B．C．D．(★) 6. 某珍珠直播间介绍了一批珍珠，从中随机抽取7颗珍珠，测得珍珠直径（单位：mm）分别是：，，，，，，．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．14，15B．14，14C．13，13D．13，14(★★) 7. 如图，为的直径，交于点，点是的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．(★★) 8. 根据图象，可得关于的不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★) 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，是边的中点，连接，若，菱形的面积96，则的值是（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 已知关于的函数的顶点为，坐标原点为，则长度不可能是（）A．2B．1.5C．1D．0.5二、填空题(★) 11. 分解因式： _____ ．(★) 12. 在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 ______ ．(★★) 13. 如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 ______ ．(★★★) 14. 已知实数，满足，当 ______ 时，代数式的值最大．(★★★) 15. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，其交点的横坐标分别为3和6，则实数的值是 ______ ．(★★★) 16. 已知点为线段上一点．如果的比值为关于的方程的解，那么点为的阶黄金分割点．已知阶黄金分割点作法如下：步骤一：如图，过点作的垂线，在垂线上取，连接；步骤二：以点为圆心，为半径作弧交于点；步骤三：以点为圆心，为半径作弧交于点；结论：点为线段的阶黄金分割点．（1）作法步骤一中，当时，点为线段的 ______ 阶黄金分割点；（2）作法步骤一中，当 ______ （结果用的代数式表示）时，点为线段的阶黄金分割点．三、解答题(★★★) 17. （1）计算：；（2）解不等式组．(★★★)18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．(1)过，，三点的圆的圆心坐标为______；(2)请通过计算判断点与的位置关系．(★★) 19. 2024年，中国空间站工程将陆续实施天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船等4次飞行任务，为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，某中学随机抽取学生进行测试，并对测试结果进行整理和分析，将成绩划分为，，，四个等级，并绘制了如下统计图（不完整）．根据以上信息，回答下列问题．(1)求出本次调查抽取的总人数，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，求等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数；(3)若该中学共有3000名学生，且全部参加这次测试，利用题中信息，估计学生的测试成绩等的总人数．(★★★) 20. 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行小时后到达点，测得该岛在北偏东方向上．(1)求长度（单位：海里）；(2)若继续向东航行，该船与岛的最近距离是多少海里？(★★★) 21. 如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长．(★★★)22. 某水果店购进甲，乙两种苹果，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：千克）之间的关系如图所示．(1)求乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：千克）之间的函数解析式，并写出的取值范围；(2)若不计损耗等因素，甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元，求乙苹果的销售量．(★★★★) 23. 如图，已知，在一边长固定的正方形中，点为中点，为线段上一动点，连接，作于点，为中点，作于点，交于点，作于点，交于点．(1)求证：；(2)若点从点移动到点，随着长度的增大，的长度将如何变化？判断并说明理由；(3)若，四边形的面积为，的面积为，求的值（用的代数式表示）．(★★★★) 24. 已知关于的两个函数（为常数，，）与（为常数，，）的图像组成一个新图形．图形与轴交于A，两点（点A在点左边），交轴于点．(1)求点A，坐标；(2)若为直角三角形；①求实数的值；②若直线与图形有且只有两个交点，，满足，求实数满足条件．。

浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年上学期期末考试高二数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.2.已知，，，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.3.不等式的解集是（）A. B. C. D.4.直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知函数，函数的最小值等于（）A. B. C. 5 D. 96.某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A. 圆锥与圆柱的组合B. 棱锥与棱柱的组合C. 棱柱与棱柱的组合D. 棱锥与棱锥的组合7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.8.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（）A. 1B. 2C.D.9.过双曲线的右焦点作斜率为的直线，交两条渐近线于，两点，若，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.10.正四面体的棱与平面所成角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时（）A. 存在某个位置使得，也存在某个位置使得B. 存在某个位置使得，但不存在某个位置使得C. 不存在某个位置使得，但存在某个位置使得D. 既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得二、填空题（本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知，则_______，______.12.南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若，则.例如，，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到.若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”________次，相应得到的的近似分数是______.13.若抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是_______.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为________，表面积为______.15.正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_______.16.已知.若，则当取最大值时，________；若，则的最小值______.17.已知椭圆的离心率大于，是椭圆的上顶点，是椭圆上的点，则的最大值_______.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？19.如图，三棱锥中，，分别是，的中点.（1）求证平面；（2）若，平面平面，，求证：.20.已知椭圆上的点（不包括横轴上点）满足：与，两点连线的斜率之积等于，，两点也在曲线上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，求；（3）求椭圆上的点到直线距离的最小值.21.如图，四棱锥中，是边长等于2的等边三角形，四边形是菱形，，，是棱上的点，.，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.过斜率为的直线交抛物线于，两点.（1）若点是的中点，求直线的方程；（2）设是抛物线上的定点，，不与点重合.①证明恒成立；②设，交直线于，两点，求的取值范围.浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年上学期期末考试高二数学试题参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程可直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以其准线方程为.故选A【点睛】本题主要考查抛物线的准线，属于基础题型.2.已知，，，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式性质，即可判断出结果.【详解】因为，由不等式性质易得：.故选B.【点睛】本题主要考查不等式性质，也可用特殊值法逐项排除，属于基础题型.3.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由含绝对值不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，求解时通常去绝对值得到不等式组；也可两边同时平方进而转化为一元二次不等式求解，属于基础题型.4.直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐项判断即可.【详解】A.如果直线，都与平面相交，且直线，异面，则其投影可能互相平行，所以A错；B.在正方体中与垂直，但与不垂直，即投影垂直，但原直线不一定垂直，所以B错；C.当空间中的两条直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影都是相互平行或重合的，又因为直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，说明，不重合，所以，只能平行，所以C正确；D.时，与可能是异面，故D错；故选C【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，以及直线在面上的投影问题，结合空间几何体分析即可，属于基础题型.5.已知函数，函数的最小值等于（）A. B. C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】先将化为，由基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.6.某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A. 圆锥与圆柱的组合B. 棱锥与棱柱的组合C. 棱柱与棱柱的组合D. 棱锥与棱锥的组合【答案】D【解析】【分析】直接从正视图判断即可.【详解】正视图由一个三角形和一个矩形拼接而成，因此上方可能是一个棱锥、圆锥、或三棱柱；下方可能是一个棱柱或圆柱；故这个几何体不可能是棱锥与棱锥的组合.故选D.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体是常考题型，熟记简单几何体的三视图即可，难度不大.7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，所以在正三棱柱中，平面；又是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，，所以.故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.8.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】先由是的中点，是的中点,可得,；再由勾股定理求出，进而表示出，再由双曲线的定义即可求出结果.【详解】因为是的中点，是的中点，所以；又，所以有，所以，所以，由双曲线的定义知：，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记双曲线定义结合题意即可求解，属于常考题型.9.过双曲线的右焦点作斜率为的直线，交两条渐近线于，两点，若，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意求出直线的方程，再与双曲线的渐近线方程联立求出A,B两点的横坐标，根据，即可求出结果.【详解】设双曲线右焦点为，则过该点斜率为的直线方程为：；又双曲线的渐近线的方程为：，所以由题意，联立可得；联立可得；因为，所以,解得，所以离心率.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，只需要直线与双曲线渐近线方程联立，求出交点坐标，根据题中条件，即可求解，属于常考题型.10.正四面体的棱与平面所成角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时（）A. 存在某个位置使得，也存在某个位置使得B. 存在某个位置使得，但不存在某个位置使得C. 不存在某个位置使得，但存在某个位置使得D. 既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得【答案】B【解析】【分析】由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.【详解】当正四面体过点的高与平面垂直时，平面平面，所以平面；若平面，因为正四面体中，所以平面，或平面，此时与平面所成角为0，与条件矛盾，所以不可能垂直平面；故选B【点睛】本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，在验证与平面是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.二、填空题（本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知，则_______，______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由向量运算的坐标表示求出的坐标，再由向量模的坐标运算即可求出.【详解】因为，，所以，所以.故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，以及向量模的坐标运算，熟记公式即可求解，属于基础题型. 12.南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若，则.例如，，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到.若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”________次，相应得到的的近似分数是______.【答案】 (1). 二 (2).【解析】【分析】依题意按顺序使用调日法，得到的近似数，判断与的大小关系，直到误差小于0.1即可.【详解】第二次使用调日法可得：，所以，此时，所以需要再次使用调日法，可得：，所以，此时，满足题意，所以又使用了2次调日法，且此时的近似分数是.故答案为(1). 二 (2).【点睛】本题主要考查归纳推理，依题意合理递推即可，属于基础题型.13.若抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是_______.【答案】或【解析】【分析】先求出直线与轴以及轴交点，即抛物线的焦点，从而可写出抛物线方程.【详解】因为直线与轴交点为，与轴交点为，所以当抛物线焦点为时，抛物线方程为；当抛物线焦点为时，抛物线方程为.故答案为或【点睛】本题主要考查求抛物线的标准方程，熟记抛物线标准方程的几种形式即可求出结果，属于基础题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为________，表面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先由几何体的三视图判断该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，由公式计算表面积和体积即可. 【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，且球的半径为1，三棱柱的底面是直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以体积为；表面积为；故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的表面积和体积，先根据三视图确定几何体的形状，再由面积公式和体积公式求解即可，属于常考题型.15.正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_______.【答案】1【解析】【分析】由空间向量的方法，根据异面直线与所成角的余弦值为，即可求出的长.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴,方向为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，解得，即.故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.16.已知.若，则当取最大值时，________；若，则的最小值______.【答案】 (1). (2). 9【解析】【分析】先将化为，即可求出的最大值，以及此时的；由化为，结合题意求出此时的范围，再由用表示出，代入，结合基本不等式即可求解.【详解】由可得，即，又，当且仅当即时，取等号；所以，整理得：，因为，所以，即最大值为，联立得；由得，由得，所以，又由得，所以，当且仅当，即时，取等号.故答案为(1)；（2）【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值的问题是比较常见的一种题型，有时需要借助基本不等式的变形，所以需要考生灵活运用基本不等式来处理，属于中档试题.17.已知椭圆的离心率大于，是椭圆的上顶点，是椭圆上的点，则的最大值_______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的参数方程设点，再由椭圆标准方程写出点坐标，由两点间距离公式，即可表示出，求解即可.【详解】因为椭圆的上顶点为，由椭圆的参数方程设，所以，所以当时，取最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程的应用，由参数方程设出点的坐标，由两点间距离公式表示出，即可求其最值，属于中档试题.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【解析】【分析】（1）依题意确定等量关系即可列出，所应该满足的条件；（2）由题意得出目标函数，结合(1)中约束条件作出可行域，结合可行域即可求出最值.【详解】（1）由题意可得：；（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；画出可行域易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，即可求解，属于基础题型.19.如图，三棱锥中，，分别是，的中点.（1）求证平面；（2）若，平面平面，，求证：.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，从而可得.【详解】（1）由、分别是、的中点得，又在平面外，所以平面（2）由，是中点得由平面平面得点在平面内的射影在上.平面∴【点睛】本题主要考查线面平行与线面垂直，熟记判定定理和性质定理，即可判断出结果.20.已知椭圆上的点（不包括横轴上点）满足：与，两点连线的斜率之积等于，，两点也在曲线上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，求；（3）求椭圆上的点到直线距离的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题中与，两点连线的斜率之积等于列出等量关系，化简整理即可求出结果；（2）先求出过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆方程，求出交点横坐标，再由弦长公式即可求出结果；（3）设出与直线平行、且与椭圆相切的直线方程，代入椭圆方程，由判别式等于0，求出切线方程，再由两条平行线间的距离公式求解即可.【详解】（1）因为与，两点连线的斜率之积等于所以，，整理得：即为所求;（2）由题意可得过椭圆的右焦点且斜率为1的直线为，代入椭圆方程得，化简整理得，所以，或∴（3）设是椭圆的切线，代入椭圆方程得：则，即由得.直线与距离为，所以当时，距离最小为.【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，由题意列出方程化简即可求出结果；第二问求弦长，通常需要联立直线与曲线方程，结合弦长公式求解；第三问求椭圆上的点到定直线上的距离的问题，可转化为求与定直线平行切与椭圆相切的直线方程，再由两平行线间的距离公式求解即可，属于常考题型.21.如图，四棱锥中，是边长等于2的等边三角形，四边形是菱形，，，是棱上的点，.，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理，即可证明平面；（2）先证明、、两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由向量夹角余弦值即可确定线面角的正弦值.【详解】（1）取中点，连结，，因为，是的中点，所以，，又，不在平面内，在平面内，所以平面，平面，又交于点；所以平面平面，∴平面.（2）∵，，故.又，，，从而.从，可得平面平面平面，，平面以、、为、、轴建系得，，，，, 则，,,设平面的法向量为，则，即，令，则，记直线与平面所成角为，所以有，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及空间向量的方法求线面角，需要考生熟记判定定理即可证明线面平行；对于线面角的求法，常用向量的方法，建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量夹角即可确定线面角，属于常考题型.22.过斜率为的直线交抛物线于，两点.（1）若点是的中点，求直线的方程；（2）设是抛物线上的定点，，不与点重合.①证明恒成立；②设，交直线于，两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】（1）由点差法求出直线的斜率，再由点斜式即可写出直线方程；（2）①依题意联立直线与抛物线方程，由韦达定理，直接求，的斜率之积即可；②由①分别设出直线，的斜率，由直线与直线联立求出横坐标，进而求出的横坐标，再由即可求出结果.【详解】（1）由题意可得：∴方程为，即（2）①联立直线与抛物线方程并整理得：∴，.所以，②设，的斜率分别为，.则由得：，所以所以或∴.的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，求直线的方程通常只需要求出斜率和定点即可；判断直线垂直，通常只需两直线斜率之积为-1，在处理此类问题时，也会用到联立直线与曲线方程，结合韦达定理求解，属于常考题型.。

浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.设集合–1,{023}1U =,,,，{1,2}A =-，{1,2,3}B =，则()UB A =（ ）A. {}0B. {}2C. {1,2}-D.{1,1,2,3}-2.13tan6π的值是（ ）B. D.3.若lgsin 0x =，则x =（ ） A. 2()k k Z π∈B. 2()2k k Z ππ+∈ C. 2()2k k Z ππ-∈D.()2k k ππ+∈Z4.下列函数在(0,2)上递增的是（ ） A. ()sin 2y x =-B. 2x y e-=C. ()22y x =-D.12y x =-5.比较下列三个数的大小：log a =2log 3b =，3log 2c =（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. a c b <<6.函数3()log (2)1x a f x x a -=-++，（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 点坐标为（ ）A. (2,1)B. (3,2)C. (0,1)D. (3,3)7.对于函数1()1x f x x +=-的性质，下列描述①函数()f x 在定义域内是减函数；②函数()f x 是非奇非偶函数；③函数()f x 的图象关于点(1,1)对称．其中正确的有几项（ ） A. 0B. 1C. 2D. 38.设函数()tan f x x =，1244n x x x ππ-≤<<<≤的12,,,n x x x ，不等式()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤恒成立，则M 的最小值是（ ） A. 3B. 23C. 1D. 29.已知函数()248f x x x =-+，[1,]x m ∈，4()g x x x=+，[1,]x n ∈，若()f x 与()g x 值域都是[4,5]，则点(,)m n 所代表的区域是（ ）A. B.C. D.10.对任意x ∈R ，不等式sin()cos()04x ax b ππ+⋅+≤恒成立，则()sin a b +和()sin a b -分别等于（ ） A.2222B. 2222-C. 2222--D.2222-二、填空题（本大题共7个小题．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.函数y x =____，函数y x=的值域是____________. 44(1)π-=_________，22031(8)3e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭___.13.已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则[](10)f f -=_____，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是________. 14.已知tan 2α=，则sin sin 2cos ααα=+_____，33sin sin 2cos ααα=+______ 15.若39log log 2x x=；则x =______. 16.函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在区间(,)63ππ内，则ϕ的取值范围为_______.17.已知函数32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有211212()()0x f x x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.18.已知4sin 5α=-，且cos 0α>． (1)确定角α的象限并求cos α，tan α的值； (2)求sin()3cos()27sin()cos()2παπαππαα-++-++的值．三、解答题（5小题，共74分；解答题须写出必要的计算、推理或证明过程） 19.已知集合()(){}230|A x x a x a =-⋅--<，{1,2,3}B = (1)若1a =，求AB ；(2)若3a ≠，写出A 对应的区间，并在{1,2}AB =时，求a 的取值范围．20.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：(1)求()f x 的解析式； (2)()f x 向右平移6π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间； (3)若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且6(||)f x ≥，求x 的取值范围． 21.已知函数31()log (0,0)xf x a b a bx-=>>+其定义域内是奇函数． (1)求a ，b 的值，并判断()f x 的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）；(2)解关于x 不等式42421()()122x x x x f f ---+<．22.已知()222f x x ax =-+．(1)若()f f x ⎡⎤⎣⎦和()f x 有相同的值域，求a 的取值范围；(2)若()0f a <，且0a >，设()f x 在[1,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的取值范围．浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.设集合–1,{023}1U =,,,，{1,2}A =-，{1,2,3}B =，则()UB A =（ ）A. {}0B. {}2C. {1,2}-D.{1,1,2,3}-【答案】A 【解析】 【分析】根据并集与补集的运算求解即可.【详解】由题, {1,1,2,3}A B -⋃=,故()UB A={}0.故选：A【点睛】本题主要考查了并集与补集的运算,属于基础题型. 2.13tan6π的值是（ ） A.3B. 3-D.【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简再求解即可. 【详解】13tantan 66ππ==故选：A【点睛】本题主要考查了诱导公式与正切函数值,属于基础题型. 3.若lgsin 0x =，则x =（ ） A. 2()k k Z π∈B. 2()2k k Z ππ+∈ C. 2()2k k Z ππ-∈D.()2k k ππ+∈Z【答案】B 【解析】 【分析】根据对数与三角函数的值求解即可.【详解】因为lgsin 0x =,故sin 1x =,故x =2()2k k Z ππ+∈.故选：B【点睛】本题主要考查了对数的基本运算与正弦函数的最大值性质,属于基础题型. 4.下列函数在(0,2)上递增的是（ ） A. ()sin 2y x =-B. 2x y e-=C. ()22y x =-D.12y x =- 【答案】B 【解析】 【分析】根据选项中函数特征可以先考虑函数在()22,0t x =-∈-上的单调性直接判断即可. 【详解】设()22,0t x =-∈-,则对A, ()si sin n 2y x t =-=在()2,0t ∈-上先减再增. 对B, 2x t y ee -==在()2,0t ∈-上单调递增.对C, ()222y x t =-=在()2,0t ∈-上单调递减. 对D, 112y x t==-在()2,0t ∈-上单调递减. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数的单调区间的判定,属于基础题型.5.比较下列三个数的大小：log a =2log 3b =，3log 2c =（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性与函数的区间判定即可.【详解】由题, 3log log 2c a ==,又332log 2log 31log 3c b =<=<=.故a c b <<. 故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数值的大小判定,利用对数函数单调性以及判断函数值所在的区间分析即可.6.函数3()log (2)1x a f x x a -=-++，（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 点坐标为（ ）A. (2,1)B. (3,2)C. (0,1)D. (3,3)【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数恒过()1,0,指数函数恒过()0,1求解即可.【详解】由题,当21x -=且30x -=时, 3x =.此时33(3)log (32)12a f a -=-++=.故P 点坐标为(3,2). 故选：B【点睛】本题主要考查了指对数函数的定点问题,属于基础题型. 7.对于函数1()1x f x x +=-的性质，下列描述①函数()f x 在定义域内是减函数；②函数()f x 是非奇非偶函数；③函数()f x 的图象关于点(1,1)对称．其中正确的有几项（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移的方法分析函数1()1x f x x +=-与1y x =的关系即可.【详解】因为1122()1111x x f x x x x +-+===+---,故1()1x f x x +=-是由1y x =先横坐标不变,纵坐标变为原来的两倍(此时不影响函数的单调性与对称性)变为2y x=；再向右平移1个单位得到21yx ；再往上平移1个单位得到2()11f x x =+-.其图像为故①错误.②③正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了分式函数的图像变换与性质,属于基础题型. 8.设函数()tan f x x =，1244n x x x ππ-≤<<<≤的12,,,n x x x ，不等式()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤恒成立，则M 的最小值是（ ） 3 B. 3 C. 1 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性与正负去绝对值分析即可. 【详解】由题意,必存在{},1,2,3...i x i n ∈使得1210 (4)4i i n x x x x x ππ+-≤<<≤≤<<≤.由()tan f x x =的图像知,在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增. 故()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-()()()()()()12231i i f x f x f x f x f x f x -=-+-++-+()()()()()()1211...i i i i n n f x f x f x f x f x f x +++--+-++-()()()()()()1100244i n i f x f x f x f x f f f f ππ+⎛⎫⎛⎫=-+-≤--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以2M ≥. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求恒成立的问题,属于中等题型. 9.已知函数()248f x x x =-+，[1,]x m ∈，4()g x x x=+，[1,]x n ∈，若()f x 与()g x 值域都是[4,5]，则点(,)m n 所代表的区域是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析,m n 分别满足的范围即可.【详解】画出二次函数的图像可得,令()24851,3f x x x x =-+=⇒=.所以当[]2,3m ∈时()f x 值域是[4,5]同理24()55401,4g x x x x x x =+=⇒-+=⇒=,且4()42g x x x x=+=⇒=. 所以当[]2,4n ∈时()f x 值域是[4,5]综上, []2,3m ∈,[]2,4n ∈. 故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数的范围问题,需要算出临界条件,同时分析当参数变化时函数的变化情况.属于中等题型. 10.对任意x ∈R ，不等式sin()cos()04x ax b ππ+⋅+≤恒成立，则()sin a b +和()sin a b -分别等于（ ） A.2222B. 2222-C. 2222--D.2222-【答案】B 【解析】【分析】由题意可知,sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+恒异号.再根据三角函数图像性质求解,a b即可. 【详解】因sin()cos()04x ax b ππ+⋅+≤恒成立.故sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+恒异号.由三角函数图像知, sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+只可能是如图的关系,即sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+图像关于x 轴对称.故a π=,cos()y x b π=+且当sin()4y x ππ=+取最大值时,cos()y x b π=+取最小值.此时122,424x k x k k Z ππππ+=+⇒=+∈. 故0012,4k b k k Z πππ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝⎭.根据周期性,不妨设00k k ==, 此时344b b πππ+=⇒=.此时有,34b a ππ== 故()72si sin n4a b π=+=-,()2sin 4sin a b π-==故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数图像的综合运用,需要根据题意找到两个三角函数之间的关系,再根据取最值时的横坐标分析求解即可.属于中等题型.二、填空题（本大题共7个小题．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.函数y =____，函数y=的值域是____________. 【答案】 (1). [)0,+∞ (2). ()0,∞+ 【解析】 【分析】(1) 根据根号下大于等于0求解即可.(2) 0且分母不为0求解即可. 【详解】(1)易得定义域是[)0,+∞(2)00≠,0>,故()0,y=+∞ 故答案为：(1). [)0,+∞ (2). ()0,∞+【点睛】本题主要考查了常见函数的定义域与值域,属于基础题型.=_________，22031(8)3e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭___. 【答案】 (1). 1π- (2). 4- 【解析】 【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】11ππ=-=-(2) ()222033323141(8314)29e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-+=-+=-. 故答案为：(1). 1π- (2). 4-【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型.13.已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则[](10)f f -=_____，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1). 2 (2). []1,10-【分析】(1)先求解(10)f -的值再代入对应的区间求解即可. (2)分情况讨论a 的取值范围即可.【详解】(1)[]()2(10)(10)100lg1002f f f f ⎡⎤-=-===⎣⎦.(2)当0a ≤时,由2111a a ≤⇒-≤≤,此时10a -≤≤ 当0a >时,由lg 1010a a ≤⇒<≤,此时010a <≤ 综上, 实数a 的取值范围是[]1,10- 故答案为：(1). 2 (2). []1,10-【点睛】本题主要考查了分段函数的求解与应用,属于基础题型. 14.已知tan 2α=，则sin sin 2cos ααα=+_____，33sin sin 2cos ααα=+______ 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】(1)分子分母同时除以cos α再代入tan 2α=求解即可.(2)分子分母同时除以cos α再代入tan 2α=,利用同角三角函数的公式求解即可. 【详解】(1)sin tan 21sin 2cos tan 2222ααααα===+++.(2)()332222sin tan 21sin 2cos sin tan 2cos 2sin cos ααααααααα===+⋅++ 故答案为：(1).12(2). 1 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的运用,需要根据题意分子分母同时除以cos α进行求解.属于基础题型. 15.若39log log 2x x=；则x =______. 【答案】4 【解析】利用换底公式化成同底的对数方程求解即可.【详解】因为21393323log log lo 12g log log 2x x x x x ====.故122xx =,即()2404x x x x =⇒-=. 由对数函数定义域有0x >,故4x =. 故答案为：4【点睛】本题主要考查了对数的换底公式与求解.属于基础题型. 16.函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在区间(,)63ππ内，则ϕ的取值范围为_______. 【答案】0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先求解对称轴的表达式,再利用x 的范围得出ϕ的取值范围即可. 【详解】由题, sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<的对称轴为22x k πϕπ+=+⇒22k x ππϕ+-=.故262366k k ππϕπππππϕ+-<<⇒-<-<,即66k k πππϕπ-<<+. 因为02πϕ<<所以06πϕ<<.故答案为：0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数性质的综合运用,需要根据题意先求解对称轴表达式再代入对应的关系进行求解.属于中等题型.17.已知函数32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有211212()()0x f x x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,-+∞ 【解析】 【分析】 构造函数()()f x g x x=再利用单调性求解即可. 【详解】由题,因为12,[1,)x x ∈+∞,故将211212()()0x f x x f x x x ->-两边同时除以12x x 得121212()()0f x f x x x x x ->-.即()()f x g x x=在[1,)x ∈+∞为增函数.故3222()2x ax axg x x ax a x++==++为减函数.又其对称轴为4a x =-且在[1,)x ∈+∞为增函数.故144aa -≤⇒≥-. 故答案为：[)4,-+∞【点睛】本题主要考查了构造函数利用函数的单调性求解参数的问题,包括二次函数动轴定区间的方法等.属于中等题型.三、解答题（5小题，共74分；解答题须写出必要的计算、推理或证明过程） 18.已知4sin 5α=-，且cos 0α>． (1)确定角α的象限并求cos α，tan α的值； (2)求sin()3cos()27sin()cos()2παπαππαα-++-++的值．【答案】（1）α为第四象限角，34cos ,tan 53αα==-，83=-（2）34【解析】 【分析】(1)根据正余弦的正负分析象限,再根据同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用诱导公式化简后再代入数值计算即可.【详解】(1)因为4sin05α=-<,cos0α>可知角α为第四象限角,43sin45cos,tan35cos35αααα-===-=-.1sin1sinαα=--+33cos cos18553441sin1sin331155αααα=-=-=-=--++-(2)原式cos3cossin sinαααα-=+cos3sin4αα=-=.【点睛】本题主要考查了诱导公式与同角三角函数的化简求值,属于基础题型.19.已知集合()(){}230|A x x a x a=-⋅--<，{1,2,3}B=(1)若1a=，求A B；(2)若3a≠，写出A对应的区间，并在{1,2}A B =时，求a的取值范围．【答案】（1）{}3A B⋂=（2）(]1,0a∈-【解析】【分析】(1)求解二次不等式再求交集即可.(2)由题意,分3a>和3a<两种情况进行讨论分析,再列出区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】（1）由题意知：{}{}2|680|24=-+<=<<A x x x x x{}3A B∴=（2）[]{}|(2)(3)0A x x a x a=-⋅-+<法一：当3a>时,(3,2)A a a=+,A B=∅,不合题意,当3a<时,()2,3A a a=+,所以,1,2,3A A∈∉,即21,23,33a a a<<++≤(]1,0a∴∈-.法二：当3a>时,(3,2)A a a=+；当3a<时,()2,3A a a=+由1,2,3A A∈∉,得(21)(2)0(22)(1)0(23)0a aa aa a-+<⎧⎪-+<⎨⎪-≥⎩.解得(]1,0a∈-【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与根据集合的关系求参数的问题,需要根据题意分参数的范围进行讨论,同时根据题意列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中等题型.20.函数()sin()f x A xωϕ=+(0,0,[0,2))Aωϕπ>>∈的图象如图所示：(1)求()f x的解析式；(2)()f x向右平移6π个单位后得到函数()g x，求()g x的单调递减区间；(3)若,2xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且6(||)f x≥，求x的取值范围．【答案】（1）()2)3f x xπ=+（2）3,44k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）{},66xπππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据题意先得2A=,再根据周期求得=2ω,再代点计算得=3πϕ即可.(2)根据三角函数平移的方法求得()g x,再代入单调递减区间求解即可.(3)根据(||)f x ≥sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,再求[]0,x π∈时的解,再根据(||)f x 的对称性求解即可.【详解】（1）由题意知：7,,41234πππ==-=T A 2T ππω∴==即=2ω,2(21)3k πϕπ⋅+=+,02ϕπ≤<,,=3πϕ∴())3f x x π∴=+（2）法一：()2()263g x x x ππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦322222k x k ππππ∴+≤≤+,∈k Z 即3,44ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦x k k k Z . 法二：()f x 的一个递减区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,周期是π, 则()f x 的递减区间是7,1212ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 向右平移6π个单位后,()g x 的递减区间是3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 先考虑[]0,x π∈,则22333x πππ≤+≤或7233x ππ+=. 06即或ππ≤≤=x x由()f x 图象的对称性,得{},66x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式与三角函数单调区间和性质的运用,属于中等题型.21.已知函数31()log (0,0)xf x a b a bx-=>>+其定义域内是奇函数． (1)求a ，b 的值，并判断()f x 的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）；(2)解关于x 不等式42421()()122x x x x f f ---+<．【答案】（1）1a =，1b =31()log 1xf x x-=+是区间(1,1)-上的减函数.见解析（2）01x <<. 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域,再根据奇函数的性质求解即可.(2)根据(1)中31()log 1x f x x -=+,再令422x xt -=,再根据()f x 的性质求解不等式,最后再化成关于x 的不等式求解即可. 【详解】（1）由题意知()f x 定义域:()()1010x x bx a a bx->⇒-+<+,解得(,1)ab -故()f x 是(,1)ab -上的奇函数, (0)0f ∴=,即111a a =∴=31()log 1xf x bx -=+333111()log ()log log ,1111x x bxf x f x b bx bx x+-+-==-=-==-+-此时函数()f x 的定义域为(1,1)-,所以1,1a b ==注：也可以先利用定义域对称求b 的值,再验证()()f x f x -=-3312()log log (1)11x f x x x-==-++ 由于211u x=-+在区间(1,1)-上是减函数,值域为(0,)+∞, 函数3log y u =是区间(0,)+∞上是增函数, 所以31()log 1xf x x-=+是区间(1,1)-上的减函数.（2）令422x xt -=,则原不等式即1()()12f t f t +-<由111112t t -<<⎧⎪⎨-<-<⎪⎩得112t -<< 此时333132132log log log 33112112t t t t t t t t ----⎛⎫⎛⎫+<⇒< ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭, ()(1)(32)3(1)(12)270t t t t t t --<++⇒+>,解得72t <-或0t >. 所以01t <<,420104222x xx x -<<⇔<-<令20x m =>则解22(1)0100(2)(1)0122m m m m m m m m m m m ->⎧><⎧<-⎧⇒⇒⎨⎨⎨-+<-<<-<⎩⎩⎩或故12122x m <<⇒<<. 故解得01x <<【点睛】本题主要考查了对数函数的运算以及奇偶性的运用,同时也考查了根据函数的性质与换元法求解函数不等式的问题.属于难题. 22.已知()222f x x ax =-+．(1)若()f f x ⎡⎤⎣⎦和()f x 有相同的值域，求a 的取值范围；(2)若()0f a <，且0a >，设()f x 在[1,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的取值范围． 【答案】（1）(][),21,a ∈-∞-+∞（2）[)2,+∞【解析】 【分析】(1)根据二次函数的最值与对称轴的关系列式求解即可.(2)由()0f a <且0a >可得2=480a ∆->再分情况,画出图像根据临界条件求解对应的a的范围作为分类的依据,再比较最值即可. 【详解】（1）222()()22f x x a a a =-+-≥-当()f x 的最小值在对称轴的左侧（或对称轴位置）时,[]()f f x 的值域也是)22,a ⎡-+∞⎣22a a ∴-≤,即()()210a a +-≥,1a ∴≥或2a ≤-即(][),21,a ∈-∞-+∞（2）()0f a <,22a >,2a ∴>2=480a ∆->.分情况讨论:1.当4a ≥时, {}{}()max (1),(4)max 23,818818g a f f a a a ==--=-.2.24a <<时,{}()max (0),(),(4)g a f f a f ={}2max 23,2,818a a a =---222(818)(4)0a a a ---=->,22(188)(2)(10)a a a a ---=-+.222(23)(1)a a a---=-, 188(32)156a a a---=-所以,当944a≤<时,2()()2g a f a a==-,当924a≤<时,2()()2g a f a a==-,当322a≤<时,()(4)188g a f a==-,32a<<时,()(4)188g a f a==-,综上,)[)[)2188,2()2,2,4818,4,a ag a a aa a⎧-∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎪⎩, ([)[)[)()2,182,1414,2,g a∈-+∞=+∞.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题,包括单调性和值域与对称轴的关系,同时也考查了分类讨论与数形结合的思想.属于难题.。

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷一、选择题1．（3分）若{|1}P x x =<，{|0}Q x x =>，全集为R ，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R Q C P ⊆D ．R C P Q ⊆2．（3分）双曲线2213y x -=的焦点坐标为( )A ．(B ．(2,0)±C ．(0,D ．(0,2)±3．（3分）已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，a ibi a i-=+，则b 可取的值为( ) A ．1B ．1-C ．1或1-D ．任意实数4．（3分）已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（3分）已知203a <<，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望()E ξ变化情况是( )A ．()E ξ增大B ．()E ξ减小C ．()E ξ先增后减D ．()E ξ先减后增6．（3分）若函数()2sin()(06,||)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-，则要得到函数()2sin g x x ω=的图象，只需把()f x 的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位7．（3分）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是( )A ．①②都可能B ．①可能，②不可能C ．①不可能，②可能D ．①②都不可能8．（3分）已知a ，0b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是( ) A ．95B ．116C ．75D ．221+9．（3分）正四面体A BCD -中，BCD 在平面α内，点E 在线段AC 上，2AE EC =，l 是平面α的垂线，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与l 所成角为θ，则sin θ的最小值是( )A 7B 3C 221D 7 10．（3分）已知函数2()f x x x b =-++的定义域为[0，1]，值域包含于区间[0，1]，且存在实数00102x y <剟满足：00(2)f x y =，00(2)f y x =，则实数b 的取值范围是( ) A ．3[0,]4B ．13[,)44C ．33(,]164D ．31(,]164二、填空题11．（3分）已知函数221,1(),1x x f x x x +<⎧=⎨⎩…，则1(())2f f = ；若f （a ）1=，则a = ．12．（3分）若二项式(3)n x x-展开式各项系数和为64，则n = ；常数项为 ．13．（3分）若实数x ，y 满足约束条件24010x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪+⎩„„…，则2x y +的最大值是 ；若01a <<，且ax y +的最大值为3，则a = ．14．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，点D 为边AC 上的中点，已知5a =，7b =，8c =，则cos B = ；BD = ．15．（3分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有 个．16．（3分）已知a r，b r 是不共线的两个向量，若对任意的m ，n R ∈，||a mb +r r 的最小值为1，|(1)|2n n a b -+rr 的最小值为1，若4a b =r r g ，则a r ，b r 所成角的余弦值为 ．17．（3分）已知A ，B 分别是椭圆2212x y +=的右顶点，上顶点，P 是椭圆在第三象限一段弧上的点，PA 交y 轴于M 点，PB 交x 轴于N 点，若//MN AB ，则P 点坐标为 ． 三、解答题18．已知函数2()2sin cos 23sin 3f x x x x =-+． （1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域；（2）设(,)2παπ∈，10()213f α=，求sin α的值．19．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，点E ，F 分别是PD ，AB 的中点．（1）求证：//AE 平面PFC ；（2）若CF 与平面PCD 所成角的余弦值等于6，求AB 的长．20．数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，2312a a +=；数列{}n b 前n 项和为n S ，满足23b =，(1)()2n n nS b n N +=+∈．（Ⅰ）求1b ，3b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求112233n n a b a b a b a b +++⋯+．21．已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点． （1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程． 22．已知函数111()(1)4x x f x e e ax a ++=-+-，其中 2.718e =⋯是自然对数的底数，()()g x f x '=是函数()f x 的导数．（1）若()g x 是R 上的单调函数，求a 的值； （2）当78a =时，求证：若12x x ≠，且122x x +=-，则12()()2f x f x +>．2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若{|1}P x x =<，{|0}Q x x =>，全集为R ，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R Q C P ⊆D ．R C P Q ⊆【解答】解：{|1}P x x =<Q ，{|0}Q x x =>，全集为R ， {|1}R C P x x Q ∴=⊆…，故选：D ．2．（3分）双曲线2213y x -=的焦点坐标为( )A ．(B ．(2,0)±C ．(0,D ．(0,2)±【解答】解：Q 双曲线2213y x -=，24c ∴=，(2,0)F ∴±，故选：B ．3．（3分）已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，a ibi a i-=+，则b 可取的值为( ) A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．任意实数【解答】解：Qa ibi a i-=+，()a i a i bi b abi ∴-=+=-+g， ∴1a b ab =-⎧⎨=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=-⎩，故选：C ．4．（3分）已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：依题可知2533(1)0a a a q -=->，10a >，30a ∴>，1q ∴>或1q <-， 故选：A ．5．（3分）已知203a <<，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望()E ξ变化情况是( )A ．()E ξ增大B ．()E ξ减小C ．()E ξ先增后减D ．()E ξ先减后增【解答】解：依题可知1()323E b a b ξ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴12()33E a ξ=-+-， ∴当a 增大时，ξ的期望()E ξ减小．故选：B ．6．（3分）若函数()2sin()(06,||)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-，则要得到函数()2sin g x x ω=的图象，只需把()f x 的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位【解答】解：因为函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-，可知这两点分别为图象的最高点和最低点， 有22362T T ππππ=-=⇒=，由2T πω=，可得2ω=，满足06ω<<． （注：若这两点不为函数图象相邻的最高点和最低点，则得出的ω不满足06)ω<<． 再将点(,2)6π代入()2sin()f x x ωϕ=+求得6πϕ=，所以()2sin(2)2sin[2()]612f x x x ππ=+=+向右平移12π个单位可得到()2sin 2g x x =．故选：D ．7．（3分）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是( )A．①②都可能B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能D．①②都不可能【解答】解：当俯视图为①时，该几何体是三棱锥，如图1所示；当俯视图是②时，该几何体是棱锥和圆锥的组合体，如图2所示；所以①②都有可能．故选：A．8．（3分）已知a，0b>，1a b+=，则12211a b+++的最小值是()A．95B．116C．75D．221+【解答】解：a Q ，0b >，1a b +=，∴由权方和不等式可得2119(2)122922215211151222a b b a a b ++=+==+++++++…，122(2a =+，“=”)，故选：A ．9．（3分）正四面体A BCD -中，BCD 在平面α内，点E 在线段AC 上，2AE EC =，l 是平面α的垂线，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与l 所成角为θ，则sin θ的最小值是( )A 7B 3C 221D 7 【解答】解析：相对运动，让正四面体A BCD -保持静止，平面α绕着CD 旋转， 故其垂线l 也绕着CD 旋转，取AD 上的点F ，使得2AFDF=， 连接//EF EF CD ⇒，等价于平面α绕着EF 旋转，在BEF ∆中，2BC =，27BE BF =，43EF =，22227427(()()7333cos 2742BEF +-∠==⨯⨯． 如下图所示，将问题抽象为几何模型，平面的垂线可看作圆锥底面半径EP ，绕着圆锥的轴EF 旋转，故选：A ．10．（3分）已知函数2()f x x x b =-++的定义域为[0，1]，值域包含于区间[0，1]，且存在实数00102x y <剟满足：00(2)f x y =，00(2)f y x =，则实数b 的取值范围是( ) A ．3[0,]4B ．13[,)44C ．33(,]164D ．31(,]164【解答】解：（代数消元）Q 20000(2)42f x x x b y =-++=，① 20000(2)42f y y y b x =-++=，②两式相减可得220000000034()2()4x y x y y x x y --+-=-⇒+=， 故可得00313[,)448x y =-∈， 代入①可得2003434b x x =-+对称轴为38，故可得31(,]164b ∈，故选：D ． 二、填空题11．（3分）已知函数221,1(),1x x f x x x +<⎧=⎨⎩…，则1(())2f f = 4 ；若f （a ）1=，则a = ．【解答】解：Q 1()22f =，∴1(())(2)42f f f ==；故1(())42f f =；若1a <，则2110a a +=⇒=；若1a …，则211a a =⇒=， 故0a =或1．故答案为：4，0或1，．12．（3分）若二项式(3)n x x -展开式各项系数和为64，则n = 6 ；常数项为．【解答】解：二项式(3)n x x-中，令1x =，则264n =，解得6n =； 所以展开式的通项公式为1366622166(3)()(1)3r rrrrr rr T C x x C x----+=-=-，令3602r -=，解得4r =，所以展开式的常数项为4426(1)3135C -=． 故答案为：6，135．13．（3分）若实数x ，y 满足约束条件24010x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪+⎩„„…，则2x y +的最大值是 5 ；若01a <<，且ax y +的最大值为3，则a = ．【解答】解：可行域的三个交点：11(,)22A -，(2,1)B ，(4,4)C -，则2x y +在(2,1)B 处取到最大值， 故2x y +的最大值是5；y ax =-Q ，10a -<-<，若112a -<--„，点(2,1)B 处取到最大值，则2131a a +=⇒=（舍)； 若102a -<-<，点(4,4)C -处取到最大值，则14434a a -+=⇒=，故14a =． 故答案为：5，14．14．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，点D 为边AC 上的中点，已知5a =，7b =，8c =，则cos B = 12；BD = ． 【解答】解：1：向量法由题意2222564491cos 22582a c b B ac +-+-===g g ，1()2BD BA BC =+u u ur u u u r u u u r ，平方，得到221129||(||||2||||cos )4BD BA BC BA BC B =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ， 故填：12，129．解：2：平行四边形法则倍长中线，由平行四边形法则，得到2222(2)2()BD AC BA BC +=+， 即21294BD =，即129BD =解析3：余弦定理由题意2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===g g ，因为cos cos 0ADB CDB ∠+∠=，则222222022AD BD AB DC BD BC BD AD BD DC+-+-+=g g ，代入数据，得到21294BD =，即129BD =故填：12129故答案为：1212915．（3分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有 36 个． 【解答】解：特殊位置优先考虑．先考虑末尾，有12C 种，再考虑首位非零，13ð，剩下的两个位置有23A 种，则由分步乘法计数原理，得到共有奇数11223336C C A =g g 种，故答案为：36．16．（3分）已知a r，b r 是不共线的两个向量，若对任意的m ，n R ∈，||a mb +r r 的最小值为1，|(1)|2n n a b -+rr 的最小值为1，若4a b =r r g ，则a r ，b r 所成角的余弦值为． 【解答】解：Q 2222()8a mb b m m a +=++r r r r，m R ∈，∴当24m b=-r 时，2226()1min a mb a b+=-+=rrrr ，即22216a b b =+rrr ， Q 222222[(1)](4)(2)24n b n a b a n a n a -+=+---+r r r r r r，n R ∈，∴当222244a n b a -=+-r r r 时，222222(2)[(1)]1244min n a n a b a ba --+=-+=+-r r r r r r ，即22224ab b a =+r r r r，∴2222222||216||4a a b b b a b b a =⎧⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨==+⎪⎪⎩⎩r r r r rr r r r ，∴cos ||||a b a b θ==r r g r r g． 17．（3分）已知A ，B 分别是椭圆2212x y +=的右顶点，上顶点，P 是椭圆在第三象限一段弧上的点，PA 交y 轴于M 点，PB 交x 轴于N 点，若//MN AB ，则P 点坐标为(1,- ． 【解答】解：法一：椭圆2212x y +=在坐标轴上进行仿射变换：设2m x =，n y =，从而得到圆方程：221m n +=．显然P是圆在第三象限弧的中点(满足题意，即m x ==n y ==，可得1x =-，y =故答案为：(1,-． 法二：（常规方法）设点(P m ，)(0n m <，0)n <，A ，(0,1)B -， 直线PA方程：y x =-，PA 交y轴于点M ，直线PB 方程：11n y x m -=+，PB 交x 轴于点(,0)1mN n --，利用MN AB K K =，=，化简可得2222n n m -=，又因为点(,)P m n 在椭圆上，所以2212m n +=，可得212m n =--代入22222n n m m -=-， 化简可得(1)(1)(2)0(0)m m m m m -+-=<，得1m =-，2n =-， 故答案为：2(1,)--．三、解答题18．已知函数2()2sin cos 33f x x x x =-+． （1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域；（2）设(,)2παπ∈，10()213f α=，求sin α的值．【解答】解：（1）()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π==+，当[0x ∈，]2π时，42333x πππ+剟， 即当4233x ππ+=时，函数取得最小值为42sin 33y π==- 当232x ππ+=时，函数取得最大值为2sin22y π==，所以，此时()f x 的值域为[3,2]-．（2）因为10()2sin()2313f απα=+=，所以5sin()313πα+=，54633πππα<+<， 所以12cos()313πα+=-，5123sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα+=+-=+-+=19．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，点E ，F 分别是PD ，AB 的中点．（1）求证：//AE 平面PFC ；（2）若CF 与平面PCD所成角的余弦值等于6，求AB 的长．【解答】解：（1）证明：取PC 的中点M ，连接MF ，NE ，E Q ，M 分别为PD ，PC 的中点，//EM DC ∴，12EM DC =，ABCD Q 为矩形，//EM AF ∴，EM AF =，∴四边形AFEM 是平行四边形，//AE FM ∴，AE ⊂/平面PFC ，又FM ⊂Q 平面PFC ，//AE ∴平面PFC ． （2）解：取AD 的中点O ，2PA PD AD ===Q ，PO AD ∴⊥，3PO =Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 为x 轴，在平面ABCD 中过O 作AD 的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立如图坐标系，设2AB a =，则3)P ，(1D -，0，0)，(1C -，2a ，0)，(1F ，a ，0)， ∴(1,0,3)PD =-u u u r ，(0,2,0)DC a =u u u r，设平面PCD 的法向量(n x =r，y ，)z ，则3020n PD x z n DC ax ⎧=--=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取3x =PCD 的法向量(3,0,1)n =-r ， (2,,0)FC a =-u u u r，设CF 与平面PCD 所成角为α，CFQ与平面PCD所成角的余弦值等于6，22||236sin1()4||||44CF nCF n aα∴===-+u u u r rgu u u r rg g，解得25a=，（舍负）．故AB的长为45．20．数列{}na是公比为正数的等比数列，12a=，2312a a+=；数列{}nb前n项和为nS，满足23b=，(1)()2n nnS b n N+=+∈．（Ⅰ）求1b，3b及数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求112233n na b a b a b a b+++⋯+．【解答】解：（Ⅰ）解法1:（数列定义）易知2231()12a a a q q+=+=，解得2q=或3q=-，又公比为正数，则2q=，故112n nna a q-==，n N+∈；1111(1)12S b b=+⇒=，333334(1)52S b b b=+=+⇒=，(1)2n nnS b=+，则111(1)2n nnS b---=+，2n…，两式相减得1(2)(1)1n nn b n b--=--，则12(3)(2)1n n n b n b ---=--，3n …，同理两式相减得122n n n b b b --=+，3n …（注1:b ，3b 也符合），则{}n b 为等差数列，故21n b n =-，n N +∈． 解法2:（数学归纳法）易知2231()12a a a q q +=+=，解得2q =或3q =-，又公比为正数，则2q =，故112n n n a a q -==，n N +∈；1111(1)12S b b =+⇒=，333334(1)52S b b b =+=+⇒=，猜想21n b n =-，n N +∈，用数学归纳法证明． ①当1n =时，11b =成立；②假设当n k =时，21k b k =-成立， 当1n k =+时，211111(1)2k k k k k k S b k b S b +++++=+=+=+，则21(1)21k k b k k +-=--，即121k b k +=+，故当1n k =+时，结论也成立．由①②可知，对于任意的*n N ∈，21n b n =-均成立； （Ⅱ）解法1:（错位相减法求和） 由（1）可知(21)2n n n a b n =-g ，112233123458(21)2n n n n T a b a b a b a b n =+++⋯+=+++⋯+-g g g g ， 121438516(21)2n n T n +=+++⋯+-g g g g ， 相减可得1114(12)22(482)(21)222(21)212n nn n n T n n -++--=+++⋯+--=+---g g g ，化简可得16(23)2n n T n +=+-g ． 解法2:（裂项求和）由（1）可知(21)2n n n a b n =-g ，注意到1(21)2(23)2(25)2n n n n n n +-=---g g g ，11112233[14(3)2][8(1)4][3168][(23)2(25)2]6(23)2n n n n n n T a b a b a b a b n n n ++=+++⋯+=---+--+-+⋯+---=+-g g g g g g g ．21．已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点． （1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）依题可知(0,1)F ，当直线l 平行于x 轴时，则l 的方程为1y =，所以可得(2,1)A ，(2,1)B -，又24x y =可得24x y =，12y x '=；所以在A ，B 处的切线分别为：21(2)2y x -=-，21(2)2y x --=+，即1y x =-，1y x =--， 联立两切线可得11y x y x =-⎧⎨=--⎩解得0x =，1y =-，所以(0,1)P -．（2）设l 的方程为：1y kx =+，(,)A x y ''，(,)B x y ''''，则联立有214y kx x y=+⎧⎨=⎩整理得：2440x kx --=，所以4x x k '+''=，4x x '''=-，在A 处的切线为：211()42y x x x x '''-=-，即21124y x x x ''=-，同理可得，在B 处切线：211()42y x x x x -''=''-''，即21124y x x x =''-''，联立有：2211241124y x x x y x x x ⎧''=-⎪⎪⎨⎪=''-''⎪⎩解得2x x x '+''=，1y =-，即点(2x x P '+''，1)-．1|||||22x x PA x x x '+''''=-=''-，同理可得：||||PB x x '=''-，所以||2||PA PB ===，2244(4)x x '∴+=''+， 又4x x '''=-，解得21x ''=．1x ''=±，所以41x x '=⎧⎨''=-⎩或41x x '=-⎧⎨''=⎩，所以直线方程为：314y x =±+．22．已知函数111()(1)4x x f x e e ax a ++=-+-，其中 2.718e =⋯是自然对数的底数，()()g x f x '=是函数()f x 的导数．（1）若()g x 是R 上的单调函数，求a 的值； （2）当78a =时，求证：若12x x ≠，且122x x +=-，则12()()2f x f x +>． 【解答】解：（1）111()()(1)2x x g x f x e e ax ++='=--，11()(1)x x g x e e ax a ++'=---，由题意()g x 是R 上的单调函数，故1()10x G x e ax a +=---…恒成立，由于(1)0G -=， 所以(1)0G '-=，解得1a =． 解法1：消元求导：（2）1111171173()()((1))488484x x x x f x e e x e e x ++++=--=-++，令1x t +=，120t t +=，不妨设210t x =+>，173()()484t t h t e e t =-+，令173173()()()()()484484t t t t H t h t h t e e t e e t --=+-=-++++，原题即证明当0t >时，()2H t >，171171171()()()()()()()288288288t t t t t t t t t t t t H t e e t e e t e e e e t e e e e ------'=---+-=+--+--711()[()]()[()2]08216t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+-+-…，其中11[()]()1022t t t t e e e e ---'=+-…， 因为(0)2H =，所以当0t >时，()2H t >，得证． 解法2：切线放缩：化解过程同上，原题即证明当0t >时，()()()2H t h t h t =+->，173()()484t t h t e e t =-+，注意到00173(0)(0)1484h e e =-⨯+=，求出173()()484t t h t e e t =-+在(0,1)处的切线方程，则171()()288t t h t e e t '=--，即3(0)8h '=，则：切线方程为318y t =+．下面证明3()18h t t +…恒成立(0)t >；令3()()18F t h t t =--，则1713()()002888t t F t e e t t '=---=⇒=，得()0F t '>在0t >恒成立，故()F t在(0)t>上单调递增，3()()1(0)08F t h t t F=-->=恒成立，故3()18h t t+…恒成立，同理可证()h t-始终位于()h t-在(0,1)处的切线318y t=-+的上方，即：3()()18h t t--+…（实际上()h t与()h t-关于y轴对称），故33()()()1()1288H t h t h t t t=+->++-+=恒成立，原不等式得证．。

2020届高三大数据精华浓缩训练卷（浙江版）专题05 大数据精华浓缩训练卷之浙江卷（5）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【2020届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末】已知全集{}|1U x x =≥-，集合{}|0A x x =>，{}|11B x x =-≤≤，则()⋂=U C A B （ ）A ．{}|10x x -≤≤B ．{}|01x x ≤≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|10x x -≤<【答案】A 【解析】由已知{}|10U x A x C -≤≤=， 所以(){}|10U C x x A B ⋂≤=-≤， 故选：A.2．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】双曲线222=2x y -的焦点坐标为（ ）A ．(1,0)± B．(C ．(0,1)±D．(0,【答案】B 【解析】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()； 故选B置，从而可得结果，属于基础题型.3．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】关于,x y 的不等式组23000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=， 则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-，即实数m 的取值范围是()1-∞-，，故选C ． 4．【浙江省杭州第十四中学2019届高三8月月考】如图是某几何体的三视图（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )cm 2A ．10232+B ．22C ．1413+D ．13213+【答案】C【解析】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，如图所示，AB ＝2，BC ＝3，DB ＝5，CD ＝4， 因为AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，所以5BD =，CD ⊥面ABC ， ∴几何体的表面积是11113432524132222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝14+213. 故选：C ．5．【2019年浙江省十校联盟高三上学期10月联考】设x ∈R ，则“2x ≤”是“212x x ++≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】212x x ++≥可化为()20212x x x +≥⎧I ⎨-≤+⎩或()20221x x x +<⎧II ⎨--≥-⎩ 解得()23x I -≤≤，()2x II <-所以原不等式的解集为3x ≤，故“2x ≤”是“3x ≤”的充分不必要条件，故答案选A 。

【2019绍兴市诸暨市高三第一学期期末考试】雕塑家吴为山：什么是雕塑？雕的过程是一个减的过程，是做减法，从外向里面减，减去那些不应该存在的东西；塑的过程就是加法，不断从里面向外面加，是一种加法，加上属于精神本体的东西。

所以雕塑是加法、减法的一个组合。

加加减减、减减加加，到最后只留下精神与灵魂。

对此，你有什么思考？写一篇论述类文章。

适度减法比做加法更重要生活太过忙碌，时间却又太少。

现代方式下的生活的人们似乎总有这样的焦虑。

正是这样的感受，使我们总是想着去多做一些什么，去给人生做更多的加法，殊不知，这样一味的做加法才是我们感受到焦虑的最大原因。

只是一味的为自己的人生做加法，生活之中，我们就不免会缺少筛选，泥沙俱下，将许多本不需要的东西堆积在自己身上，使得自己身上的包袱越来越重，最终，感觉自己的人生做了很多事，很累，却没有一事值得自己称道。

一位名叫David Klein澳洲小伙，因房东临时通知，他必须得在短时间内腾出房间他本来以为大老爷们行李应该不多，却在搬家的过程中，发现自己家里存在好些他甚至从来没来得及打开过包装的物品，这些都是在一次次商场打折促销时候冲动购买的。

Klein意识到自己的购物习惯出现了问题。

因此痛定思痛，Facebook上推广了“Buying Nothing Project”。

号召大家和他一样，不买或尽量少买东西，并将自己不常用的物品送给有需要的人。

像这样将生活中一些杂七杂八东西丢弃之后，生活的目标变得更加清晰，焦虑也小了很多。

生活如此，学习工作也是一样，在学习工作有太多使我们分心的事，一味做加法，只会让这种事情越来越多，它不仅仅是耽误我们的时间，更主要的是，它很可能扰动我们的情绪。

使我们损失更大，越来越偏离我们的目标，最后一事无成。

正如梭罗在瓦尔登湖里说的那样——“我们每一天努力忙碌、用力生活，却总在不知不觉间遗失了什么。

”其实就是因为我们给自己加法做的太多而不知筛选的缘故。

但如果我们定一个目标，根据这个目标，确定哪些是使我们分心的事，然后就作减法，将这些绊脚石去掉。

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．以点（2，﹣3）为圆心，3为半径的圆的标准方程为（）A．（x﹣2）2+（y+3）2＝3 B．（x﹣2）2+（y+3）2＝9C．（x+2）2+（y﹣3）2＝3 D．（x+2）2+（y﹣3）2＝92．已知x，y∈R，“x＞0且y＞0”是“xy＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．平行于直线且过点（2，1）的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y﹣4＝0 4．已知直线m，n，平面α，m⊄α，n⊂α；则下列说法①m⊥α⇒m⊥n，②m⊥n⇒m⊥α，③m∥α⇒m∥n，④m∥n⇒m∥α中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．45．若实数x，y满足约束条件，则x+3y的最小值（）A．8 B．4 C．2 D．06．双曲线，则焦点F到其中一条渐近线的距离为（）A．1 B．C．D．27．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．D．38．如图，两正方形ABCD，CDFE所在的平面垂直，将△EFC沿着直线FC旋转一周，则直线EC与AC所成角的取值范围是（）A．B．C．D．9．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在△A1B1D1内部（不含边界）存在点P，满足点P到平面ACC1A1的距离等于点P到棱BB1的距离．分别记二面角P﹣AD﹣B为α，P﹣AC﹣B为β，P﹣BC ﹣A为γ，下列说法正确的是（）A．α＞β＞γB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．以上说法均不正确10．已知双曲线，过双曲线的左焦点F（﹣c，0）的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若点M（2c，0）满足|MA|＝|MB|，则双曲线的离心率e＝（）A．B．C．D．3二、填空题11．圆柱体的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱体的侧面积为．12．已知抛物线C：x2＝4y，点P（3，m）在抛物线上，则该抛物线的焦点F的坐标为，点P到准线的距离为．13．中国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一．”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PD＝AD＝3，AB＝4，则PA与BC所成的角等于；PB 与平面PDC所成角的正弦值等于．14．经过原点O有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为．15．已知直线l：（3k+1）x+（1﹣k）y﹣4k﹣4＝0，圆C的方程为：x2+y2﹣6x﹣8y＝0，则直线l恒过定点；若直线与圆相交于A，B两点，则弦|AB|长度的最小值为．16．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均等于2，M为线段BB1上的动点，则平面ABC 与平面AMC1所成的锐二面角余弦值的最大值为．17．已知曲线（m＞0），A（0，1），B（0，﹣1），P是曲线C上的动点．当P与A，B不重合时，PA，PB斜率之积为；若PB≤2恒成立，则m的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．已知原命题是“若x2﹣x﹣6≤0，则x2﹣2x﹣8≤0”．（1）试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假；（2）若“（x﹣a）（x+2）≤0”是“x2﹣x﹣6≤0”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD，CDEF是全等的矩形，平面EFCD⊥平面ABCD，且BC＝2，AB＝1，M、N分别为线段AE、AD的中点．（1）求证：MN∥平面BCF；（2）求证：FM⊥BN．20．已知抛物线y2＝4x，与圆F：（x﹣1）2+y2＝1，直线MN：x＝my+4与抛物线相交于M，N两点．（1）求证：OM⊥ON；（2）若直线MN与圆F相切，求△OMN的面积S．21．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，点A1在底面ABC上的射影恰为BC的中点O，点G在线段AO上，AG＝2GO，H为OC1与B1C的交点，若BB1与平面ABC所成角为．（1）求二面角B1﹣OC1﹣A1的余弦值；（2）求直线GH与平面ABC所成角的正弦值．22．已知椭圆，点为椭圆上的点，长轴AB＝4，D、C为椭圆的上、下顶点，直线交椭圆于M，N（点M在点N左侧，且M 与C不重合）．（1）求证：直线PM，PN的倾斜角互补；（2）记MC的斜率为k1，ND的斜率为k2，求的取值范围．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．以点（2，﹣3）为圆心，3为半径的圆的标准方程为（）A．（x﹣2）2+（y+3）2＝3 B．（x﹣2）2+（y+3）2＝9C．（x+2）2+（y﹣3）2＝3 D．（x+2）2+（y﹣3）2＝9解：根据题意，要求圆以点（2，﹣3）为圆心，3为半径，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2＝9；故选：B．2．已知x，y∈R，“x＞0且y＞0”是“xy＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由x，y∈R，x＞0且y＞0⇒xy＞0；反之，x，y∈R，xy＞0不一定有x＞0且y＞0，还可能x＜0且y＜0．∴x，y∈R，“x＞0且y＞0”是“xy＞0”的充分不必要条件．故选：A．3．平行于直线且过点（2，1）的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y﹣4＝0 解：由题意可知，所求直线的斜率k＝﹣，故所求直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2）即x+2y﹣4＝0．故选：D．4．已知直线m，n，平面α，m⊄α，n⊂α；则下列说法①m⊥α⇒m⊥n，②m⊥n⇒m⊥α，③m∥α⇒m∥n，④m∥n⇒m∥α中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4解：对于①：根据线面垂直性质可知当n⊂α，m⊥α时，则m⊥n，故①正确；对于②：当n⊂α，m⊥n时，则m⊥α或m∥α，故②不正确；对于③：当n⊂α，m∥α时，则m∥n或m、n异面，故③不正确；对于④：当n⊂α，m∥n时，则根据线面平行定理可知，m∥α，故④正确，故选：B．5．若实数x，y满足约束条件，则x+3y的最小值（）A．8 B．4 C．2 D．0解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝x+3y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点C（2，0）时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z最小，此时z＝2+3×0＝0，故选：C．6．双曲线，则焦点F到其中一条渐近线的距离为（）A．1 B．C．D．2解：双曲线的a＝，b＝1，c＝2，则焦点F（0，2）到其中一条渐近线y＝x的距离为d＝＝1，故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．D．3解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体是由一个底面为边长为2等腰直角三角形高为2的直三棱柱，截去一个底面边长为1的等腰直角三角形高为2的三棱锥体．如图所示：所以V＝＝．故选：A．8．如图，两正方形ABCD，CDFE所在的平面垂直，将△EFC沿着直线FC旋转一周，则直线EC与AC所成角的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图所示，两正方形ABCD，CDFE所在的平面垂直，将△EFC沿着直线FC旋转一周，则直线EC与AC所成角的最大值为∠ACE＝．由于∠ACF＝．∠ECF＝．∴直线EC与AC所成角的最小值＝﹣＝．∴直线EC与AC所成角的取值范围是[，]．故选：C．9．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在△A1B1D1内部（不含边界）存在点P，满足点P到平面ACC1A1的距离等于点P到棱BB1的距离．分别记二面角P﹣AD﹣B为α，P﹣AC﹣B为β，P﹣BC ﹣A为γ，下列说法正确的是（）A．α＞β＞γB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．以上说法均不正确解：如图，P到A1D1、A1C1、B1C1的距离分别为h1，h2，h3，由P在△A1B1D1内部（不含边界），且点P到平面ACC1A1的距离等于点P到棱BB1的距离，得h1＞h2＞h3，过P作PQ⊥底面ABCD，垂直为Q，则tanα＝，tanβ＝，tanγ＝，∴tanγ＞tanβ＞tanα，又正切函数在（0，）上为增函数，∴α＜β＜γ．故选：C．10．已知双曲线，过双曲线的左焦点F（﹣c，0）的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若点M（2c，0）满足|MA|＝|MB|，则双曲线的离心率e＝（）A．B．C．D．3解：双曲线的渐近线方程为bx＝ay，bx＝﹣ay，联立直线和bx＝ay可得A（，），联立直线和bx＝﹣ay可得B（﹣，），可得AB的中点H（，•），由|MA|＝|MB|，可得MH⊥AB，又M（2c，0），可得k MH＝＝﹣，化为a2＝8b2，可得e＝＝＝＝，故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．圆柱体的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱体的侧面积为4π．解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴该圆柱的底圆半径r＝1，高为h＝2，∴该圆柱的侧面积：S＝2πrh＝2π×1×2＝4π．故答案为：4π．12．已知抛物线C：x2＝4y，点P（3，m）在抛物线上，则该抛物线的焦点F的坐标为（0，1），点P到准线的距离为．解：由抛物线C：x2＝4y可知，焦点F的坐标为（0，1），∵点P（3，m）在抛物线上，∴9＝4m，即，又准线方程为y＝﹣1，∴点P到准线的距离为．故答案为：（0，1），．13．中国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一．”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PD＝AD＝3，AB＝4，则PA与BC所成的角等于45°；PB 与平面PDC所成角的正弦值等于．解：如图，∵底面ABCD为矩形，∴AD∥BC，则∠PAD为PA与BC所成的角，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，在Rt△PDA中，∵PD＝AD，∴∠PAD＝45°，即PA与BC所成的角等于45°；∵PD⊥面ABCD，PD⊂平面PDC，则平面PDC⊥平面ABCD，又平面ABCD∩平面PDC＝DC，AD⊥DC，可得AD⊥平面PDC，又AD∥BC，∴BC⊥平面PDC，∴∠BPC是PB与平面PDC所成角，∵PD＝3，DC＝4，则PC＝5，又BC＝3，∴PB＝．∴sin∠BPC＝．故答案为：45°；．14．经过原点O有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为y＝．．解：如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x＝0，不合题意．∴设所求的直线方程为y＝kx，∴联立直线，可得x＝，y＝，可得，x＝﹣，y＝，由题意可得，﹣＝0，解可得，k＝，此时直线为y＝．故答案为：y＝．15．已知直线l：（3k+1）x+（1﹣k）y﹣4k﹣4＝0，圆C的方程为：x2+y2﹣6x﹣8y＝0，则直线l恒过定点（2，2）；若直线与圆相交于A，B两点，则弦|AB|长度的最小值为4．解：直线l：（3k+1）x+（1﹣k）y﹣4k﹣4＝0可化为k（3x﹣y﹣4）+x+y﹣4＝0，由，得x＝2，y＝2，故直线l恒过定点（2，2），由圆C的方程为：x2+y2﹣6x﹣8y＝0的圆心（3，4），半径为5，圆心到直线的距离d＝＝，令k+3＝t，k＝t﹣3，代入上式化简d＝，所以|AB|的最小值为2，故答案为：（2，2）；4．16．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均等于2，M为线段BB1上的动点，则平面ABC 与平面AMC1所成的锐二面角余弦值的最大值为．解：如图，以AB中点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），C1（0，，2），设M（1，0，n）（0≤n≤2），则，．设平面AC1M的一个法向量为，由，取z＝﹣2，得；平面ABC的一个法向量为．设平面ABC与平面AMC1所成的锐二面角为θ，∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝＝＝．∴当n＝1，即M为BB1的中点时，平面ABC与平面AMC1所成的锐二面角余弦值最大为．故答案为：．17．已知曲线（m＞0），A（0，1），B（0，﹣1），P是曲线C上的动点．当P与A，B不重合时，PA，PB斜率之积为；若PB≤2恒成立，则m的取值范围是0＜m≤1或m＝2 ．解：设P（x0，y0），A（0，1），B（0，﹣1）则，．又，∴，∴．∵，，∴恒成立，此时y0∈[﹣1，1]，①m＝1时不等式变为2y0﹣2≤0，满足条件．②0＜m＜1时，g（y）＝（1﹣m）y2+2y+m﹣3，此时恒成立．③m＞1时△≤0，即△＝4﹣4（1﹣m）（m﹣3）≤0，∴1+（m﹣1）（m﹣3）≤0，∴m＝2．综上所述，0＜m≤1或m＝2．三、解答题：5小题，共74分18．已知原命题是“若x2﹣x﹣6≤0，则x2﹣2x﹣8≤0”．（1）试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假；（2）若“（x﹣a）（x+2）≤0”是“x2﹣x﹣6≤0”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）原命题是“若x2﹣x﹣6≤0，则x2﹣2x﹣8≤0”，且由x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3；由x2﹣2x﹣8≤0，得﹣2≤x≤4；所以原命题是真命题；它的逆命题是“若x2﹣2x﹣8≤0，则x2﹣x﹣6≤0”，它是假命题；它的否命题是“若x2﹣x﹣6＞0，则x2﹣2x﹣8＞0”，它是假命题；它的逆否命题是“若x2﹣2x﹣8＞0，则x2﹣x﹣6＞0”，它是真命题；（2）若“（x﹣a）（x+2）≤0”是“x2﹣x﹣6≤0”的必要不充分条件，则“x2﹣x﹣6≤0”是“（x﹣a）（x+2）≤0”的充分不必要条件；由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，且方程（x﹣a）（x+2）＝0的两根为a和﹣2，所以实数a的取值范围是a＞3．19．如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD，CDEF是全等的矩形，平面EFCD⊥平面ABCD，且BC＝2，AB＝1，M、N分别为线段AE、AD的中点．（1）求证：MN∥平面BCF；（2）求证：FM⊥BN．【解答】证明：（1）∵M、N分别为线段AE、AD的中点，∴MN∥DE，∵CDEF是矩形，∴ED∥CF，∴MN∥CF，∵MN⊄平面BCF，CF⊂平面BCF，∴MN∥平面BCF；（2）∵BC＝2，AB＝1，M、N分别为线段AE、AD的中点．四边形ABCD，CDEF是全等的矩形，平面EFCD⊥平面ABCD，∴CF⊥CD，∴CF⊥平面ABCD，∴CF⊥BN，∵BN＝CN＝＝，∴BN2+CN2＝BC2，∴BN⊥CN，∵FC∩CN＝C，∴BN⊥平面MNCF，∵FM⊂平面MNCF，∴FM⊥BN．20．已知抛物线y2＝4x，与圆F：（x﹣1）2+y2＝1，直线MN：x＝my+4与抛物线相交于M，N两点．（1）求证：OM⊥ON；（2）若直线MN与圆F相切，求△OMN的面积S．解：（1）证明：方法一：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x，整理得y2﹣4my﹣16＝0，所以y1y2＝﹣16，x1x2＝•＝16，由x1x2+y1y2＝0，因此OM⊥ON；方法二：设M（，y1），N（，y2），直线MN的方程：y＝x+，因为MN过（4，0），所以y1y2＝﹣16，因为OM和ON的斜率均存在，所以k OM•k ON＝＝﹣1，即OM⊥ON；（2）方法一：因为直线MN圆相切，则d＝＝1，m2＝8，所以△OMN的面积S，S＝•4•|y1﹣y2|＝2＝16．所以△OMN的面积S为16．方法二：因为直线MN圆相切，d＝，＝1，原点到直线MN的距离，|MN|＝•|y1﹣y2|＝24，△OMN的面积S，S＝••24＝16．所以△OMN的面积S为16．21．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，点A1在底面ABC上的射影恰为BC的中点O，点G在线段AO上，AG＝2GO，H为OC1与B1C的交点，若BB1与平面ABC所成角为．（1）求二面角B1﹣OC1﹣A1的余弦值；（2）求直线GH与平面ABC所成角的正弦值．解：（1）以OC，OA，OA1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面B1OC1的一个法向量为，则，可取；设平面A1OC1的一个法向量为，则，可取；∴，∴二面角B1﹣OC1﹣A1的余弦值为；（2）由题意，易知，则，易知平面ABC的一个法向量为，设直线GH与平面ABC所成角为θ，∴，∴直线GH与平面ABC所成角的正弦值为．22．已知椭圆，点为椭圆上的点，长轴AB＝4，D、C为椭圆的上、下顶点，直线交椭圆于M，N（点M在点N左侧，且M 与C不重合）．（1）求证：直线PM，PN的倾斜角互补；（2）记MC的斜率为k1，ND的斜率为k2，求的取值范围．解：（1）证明：由题意知：2a＝4，＝1，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：＝1；设M（x，y），N（x'，y'），联立直线与椭圆＝1整理得：x2+mx+m2﹣3＝0，则△＝m2﹣4m2+12＞0，m2＜4，且M与C不重合，故，x+x'＝﹣m，xx'＝m2﹣3，因为k PM+k PN＝+＝＝＝＝0，所以k PM＝﹣k PN，所以直线PM，PN的倾斜角互补；（2）由（1）得：C（0，﹣），D（0，），所以k1＝，k2＝，，又，故，∴，∴＝，又，∴．。