浙江省绍兴市诸暨市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

绝密★考试结束前2020学年第一学期浙江省精诚联盟12月联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U N =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{0}B ．{1}C ．{2,3}D ．{0,1,2,3}2．函数3()xf x e x=-的零点所在的区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知1cos 62πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．32-D ．324．已知22log 3,log ,ln 2a b e c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b>>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a b c>>5．若角θ满足条件sin cos 1θθ+<-，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数1()lnxf x a x+=-的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数．当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（已知ln193≈）A ．60B ．63C ．66D ．698．函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,0)--B ．2]-C ．22⎫⎪⎣⎭D ．2,1)-二、选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．在下列函数中，既具有奇偶性又在区间(0,)+∞上为增函数的有（）A ．|lg |y x =B ．21y x=+C ．||2x y =D ．3y x=10．已知a ，b ，c 满足a b c >>，且0ac <，则下列不等式中恒成立的有（）A ．b ca a >B ．0b a c->C ．22b a c c>D ．11a c>11．下列说法正确的是（）A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角B ．如果,αβ是第一象限的角，且αβ<则sin sin αβ<C ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为23πD ．若圆心角为23π的扇形的弦长为，则该扇形弧长为83π12．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”记{|()}A x f x x ==，{(())}B xf f x x ==|，则下列结论正确的是（）A ．对于函数1()f x x=，有A B =成立B ．对于函数1,()0,R x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð，有A B =成立C ．对于函数2()1f x ax =-，存在a R ∈，使得A B =成立D ．若()f x 是R 上的单调递增函数，则一定有A B =成立非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．角的α终边过点(1,2)-，则tan α=________．14．函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域为_______．15．已知幂函数()2()1mf x m m x =+-的图像如右图所示，那么实数m 的值是________．16．函数()22()2ln()0f x x ax ax a =---≥恒成立，则实数a 的值为__________．四、解答题（本题共6小题，共70分．17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①22()()(2)g x f x g x +=，②22()()1g x f x -=，③1()()(2)2f xg x f x =这三条性质中任选一个，补充在下面的命题中．先要判断命题的真假．若命题为真，请写出证明过程，若命题为假，请说明理由．命题：若设函数(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==，则()f x 与()g x 满足性质__________．注：如果选择多个性质分别作答，按第一个解答计分．18．已知集合{}2|320A x x x =-+=，{|||1}B x x m =-≤．（Ⅰ）若实数0m =，求,A B A B ⋂⋃；（Ⅱ）若:p x A ∈是:q x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．（Ⅰ）求值：0.2508ln(π+++；（Ⅱ）已知sin()cos cos()2ππααα⎛⎫--+=-⎪⎝⎭，求2sin sin cos ααα+⋅的值．20．已知,(0,)a b ∈+∞，函数2()f x ax x b =-+满足(1)0f =．（Ⅰ）求41a a b++的最小值；（Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x ≤．21．已知函数2ln ,1()1,1x x f x ax x x ≥⎧=⎨++<⎩，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围．22．已知函数1()2,2xxf x a a R =⋅+∈．（Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性（只写结论，不需证明）；（Ⅱ）设函数()()2xg x f x a -=-⋅，当0a >时，对于12,[1,1]x x ∀∈-，总有()()1212a g x g x +-≤成立，求a 的取值范围．2020学年第一学期浙江省精诚联盟12月联考高一年级数学学科参考答案一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）C B BD C A C D二、选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．BCD10．ABD11．AD12．BCD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．2-14．(2,3)(3,)⋃+∞15．2-16．1或12-四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解答：满足性质①，2分命题为真命题．4分证明：2222()()22x x x x e e e e g x f x --⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222244x x x xe e e e --++-+=+8分（每个计算对给2分，下同）22(2)2x xe e g x -+==10分所以等式成立．（满足性质②，2分命题为真命题．4分证明：2222()()22x x x x e e e e g x f x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭22222241444x x x x e e e e --++-+=-==，所以等式成立．10分满足性质③，2分命题为真命题．4分证明：22()()224x x x x x xe e e e e ef xg x ---⎛⎫⎛⎫+--=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211(2)2224x x x xe e e ef x ----=⋅=，所以等式成立．10分18．解答：集合{1,2}A =，2分{|11}B x m x m =-≤≤+4分（1）若实数0m =，则{|11}B x x =-≤≤，5分所以{1}A B ⋂=，6分{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃．8分（2）若:p x A ∈是:q x C ∈的必要不充分条件，则A B ⊂．9分（写成子集不扣分）由1112m m -≤⎧⎨+≥⎩10分（写对一个给1分）所以实数m 的取值范围为[1,2]．12m ⇒≤≤．12分19．（10.2508ln(π+++1334421221ln 2e=⨯+++132122=+++（每算对一项给1分）5=6分（2）∵sin()cos cos()2ππααα⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭∴2sin cos αα=3分（公式用对一个给1分）∴1tan 2α=∴2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+4分22tan tan tan 1ααα+=+5分35=6分20．（1）由已知，知1a b +=，1分41411a a b a b++=++2分411()a b a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3分4141b a a b=++++4分6410≥+=5分∴当且仅当14a b b a a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩即2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，等号成立6分∴411a b ++最小值为92．（2）1a b +=∵()0f x ≤∴20ax x b -+≤∴210ax x a -+-≤1分∴(1)[(1)]0x ax a ---≤2分1211,a x x a-==3分当11a a -=时，即12a =，不等式的解集为{1}4分当11a a ->时，即112a <<，不等式的解集为1,1a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦5分当11a a -<时，即102a <<，不等式的解集为11,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦6分21．解：（1）由题意得0a >⎧⎨∆≤⎩2分即0140a a >⎧⎨-≤⎩4分得14a ≥6分（2）法一：由题意得2()1f x ax x =++在(,1)-∞恰有一个零点，7分又()f x 图象恒过点(0,1)则00a >⎧⎨∆=⎩或201110a a <⎧⎨⨯++≥⎩或0a =10分解得14a =或20a -≤≤12分法二：由题意得2()1f x ax x =++在(,1)-∞恰有一个零点，显然0x =不是零点．7分令210ax x ++=，则211a x x-=+，令1(,0)(1,)u x=∈-∞⋃+∞10分则2a u u -=+，由图象得14a =或20a -≤≤12分22．（1）当1a =时，()f x 为偶函数；2分当1a =-时，()f x 为奇函数；4分当1a ≠且1a ≠-时，()f x 没有奇偶性：6分（若第三种情况不完整，如写成当0,()a f x =为非奇非偶，或当2,()a f x =为非奇非偶，等，无论写几个，都给1分）（2）1()2,[1,1]2xxag x a x -=⋅+∈-令2xt =，记1()()a g x h t at t -==+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由题意，有max min 1()()2a h t h t +-≤7分应满足必要条件131(2)3222a h h a +⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭解得2475a ≤≤，8分于是得10a ->得122≤≤9分()h t在⎛ ⎝上单调递减，在⎤⎥⎦单调递增．10分所以只需1(2)21122a h h a h h ⎧+-≤⎪⎪⎨+⎪⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即可11分解得5485a -≤≤12分（其他解法酌情给分，想法正确亦酌情给分）。

2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝x D．3．已知函数，则f（x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（0，1）4．在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,终边与单位圆的交点为,则sin(π-α)＝( ) A．B．C．D．5．已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（）A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝8．某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）A．10个B．15个C．20个D．25个二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]10．已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（）A．B．tan（π﹣θ）＝m C．D．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（）A．1B．2C．3D．412．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝log a（x﹣b），g（x）＝b x﹣a的图象可能是（）A B C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位，复数z =1-i 在复平面上对应的点位于(D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】复数z =1-i 在复平面上对应的点的坐标为(1,-1)，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是(C )A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【解析】由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，事件A =“第一枚出现奇数点”={①，②}，事件B =“第二枚出现偶数点”={②，④}，两个事件不相等，排除D ，A ∩B ≠∅，所以不是互斥事件，排除A ，B ，C 选项，事件A =“第一枚出现奇数点”，P (A )=36=12，事件B =“第二枚出现偶数点”，P (B )=36=12，事件AB =“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P (AB )=3×336=14，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )，所以事件A 和事件B 是相互独立事件，故选：C ．【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )即独立，本题属于基础题．3.已知向量a=(1,-2)，b =(2,-4)，则(A )A.a 与b 同向B.a 与b 反向C.(a +b )⊥aD.(a +b)⊥b【解析】∵向量a =(1,-2)，b =(2,-4)，∴b =2a，∴a 与b同向，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量同向的条件，属于基础题．4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是(D )A.35B.310C.625D.1225【解析】设摸出的2个球颜色不同为事件A ，∵基本事件总数n =5×5=25，事件A 包含的基本事件数为C 12C 12C 13=12，∴p (A )=1225，故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，(C )A.若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳αB.若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α⎳βC.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则m ⊥γD.若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α⎳β【解析】m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A ，若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m ⊥γ，故C 正确；对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α与β相交或平行，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．6.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值是(B )A.0B.14C.64D.22【解析】由题意可知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长相等，设棱长为1，则cos <AC 1 ，A 1B >=AC 1 ⋅A 1B |AC 1 ||A 1B |=(AA 1 +A 1C 1 )⋅(A 1A +AB )2×2=-1+0+0+122=-14．∴异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值14．故选：B ．【点评】本题异面直线所成角算法，考查数学运算能力及抽象能力．7.若满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是(B )A.[1，2)B.{1}∪[2，+∞)C.(2,+∞)D.[2，+∞)【解析】∵满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，如图，AB ⊥AC ，或AB ≥2，∴AB =1或AB ≥2，∴边AB 的取值范围是{1}∪[2，+∞)．故选：B ．【点评】本题考查了数形结合解题的方法，属于基础题．8.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a +b |=2|a -b |，则a 在a -b上的投影向量的模长为(A )A.3060B.11210210C.16D.116【解析】因为|a +b |=2|a -b|，所以|a +b |2=(2|a -b |)2，所以a 2+2a ⋅b +b 2=2(a 2-2a ⋅b +b 2)，所以a 2-6a ⋅b +b2=0，所以1-6a ⋅b+22=0，所以a ⋅b =56，所以a ⋅(a -b )=a 2-a ⋅b =12-56=16，所以|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2=1-2×56+22=103，所以a 在a -b 上的投影向量为a ⋅(a -b )|a -b |=16103=3060，故选：A ．【点评】本题考查向量数量积的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)9.已知i 是虚数单位，复数z =(1-i )i ，则(BD )A.z 的实部为-1B.z 的共轭复数是1-iC.|z |=2D.z 2=2i【解析】因为z =(1-i )i =1+i ，所以z 的实部为1，故A 错误，z 的共轭复数为1-i ，故B 正确，|z |=12+12=2，故C 错误，z 2=(1+i )2=2i ，故D 正确，故选：BD ．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的共轭复数以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，(CD )A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，则x 1<x2B.若甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则s 21<s 22C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D.乙比甲的射击成绩稳定【解析】甲射击测试中6次命中环数为：6，7，8，9，9，10，乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则x 1 =16×(9+10+6+7+9+8)=8.17，x 2=16×(6+7+5+5+7+7)=6.17，所以x 1>x 2，故选项A 错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，所以s 21>s 22，乙比甲的射击成绩稳定，故选项错误，选项D 正确；甲射击成绩的中位数为8+92=7.5，乙射击成绩的中位数为6+72=6.5，故选项C 正确．故选：CD ．【点评】本题考查了折线图的应用，平均数与方差计算公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是线段B 1C 上动点，F 是BD 1的中点，则(ABC )A.AP ⎳平面A 1DC 1B.AP ⊥BD 1C.直线BB 1与平面BPD 1所成角可以是∠D 1BB 1D.二面角C 1-BD 1-C 的平面角是∠C 1FC【解析】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，对于A ，设P (a ，1，a )，则AP =(a -1,1,a ),A 1D =(-1,0,-1)，DC 1 =(0,1,1)，设平面A 1DC 1的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1D=0n ⋅DC 1 =0，即-x -z =0y +z =0 ，令x =1，则y =1，z =-1，故n=(1,1,-1)，则AP ⋅n=(a -1)×1+1×1-1×a =0，又AP ⊄平面A 1DC 1，所以AP ⎳平面A 1DC 1，故选项A 正确；对于B ，因为B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，所以BD 1 =(-1-1,1),AP=(a -1,1,a )，所以AP ⋅BD 1=0，则AP ⊥BD 1，故选项B 正确；对于C ，当点P 为B 1C 的中点时，直线BB 1与平面BPD 1所成的角可以是∠D 1BB 1，故选项C 正确；对于D ，因为F 为BD 1的中点，所以C 1F ⊥BD 1，但CF 不垂直于BD 1，此时二面C 1-BD 1-C 的平面角不可以是∠C 1FC ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，空间角的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．12.在ΔABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC =6，AD =2，则(BD )A.ΔABC 面积最大值是12B.cos B ≥53C.|AD +BE|不可能是5D.BE ⋅AC ∈112,352【解析】设ΔABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ，S ΔABC =12⋅a ⋅h a =12⋅6⋅h a =3h a ≤3⋅AD =6，当AD ⊥BC 时不等式等号成立，所以ΔABC 面积最大值为6，故A 错误；对于B ，在ΔABD 中，cos B =32+AB 2-42⋅3⋅AB =AB 2+56AB =AB 6+56AB≥2AB 6⋅56AB =53，当AB =5时，不等式等号成立，故B 正确；对于C ，因为AD +BE =-DA +BD +DA +AE =BD +12AC =DC +12(DC -DA )=32DC -12DA ，所以|AD +BE |=|DC -DA |2=(3DC -DA )22=9|DC |2+|DA |2-6DC ⋅DA 2=85-6DC ⋅DA2=5，解得DC ⋅DA =-52，因为|DC |⋅|DA |=6，所以DC ⋅DA ∈(-6,6)，故|AD +BE|可能是5，故C 错误；对于D ,BE =(AD +BE )-AD =32DC -12DA+DA =32DC +12DA ，AC =DC -DA ，所以BE ⋅AC =32DC +12DA ⋅(DC -DA )=32DC 2-12DA 2-DC ⋅DA =232-DC ⋅DA ，又DC ⋅DA ∈(-6,6)，所以232-DC ⋅DA ∈112,352．故选：BD ．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查平面向量数量积和模的运算，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是17．【解析】该组数据从小到大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17．故答案为：17．【点评】本题考查了求一组数据的众数问题，通常是先按从小到大排列，再找出现次数最多的数据，是基础题．14.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b )⊥b ，则a 与b夹角的余弦值是32．【解析】∵向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b)⊥b ，∴(2a -b )⋅b =2a ⋅b -b 2=2×1×3×cos <a ,b>-3=0，∴cos <a ,b >=323=32．∴a 与b 夹角的余弦值为32．故答案为：32．【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R 软件的控制平台，输入“sample (0:999，20，replace =F )”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为310．【解析】在20个不重复的整数随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：633，309，16，543，247，62，共6个，∴据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：P =620=310．故答案为：310．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA =OB =OC =OD ，则以O 为球心，2为半径的球与四面体ABCD 表面所得交线总长度为1633π．【解析】∵正四面体A -BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为4，取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE =4sin60°=23，BF =23BE =433，∴AF =AB 2-BF 2=463，又(AF -OF )2=OF 2+BF 2，∴OF =63，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r =(2)2-63 2=233．而ΔABC 的内切圆半径为233，故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×2π×233=1633π．故答案为：1633π．【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知向量a=(m -1,1)，b =(1,3)．(Ⅰ)若m =0，求a ⋅b；(Ⅱ)若|a +b|=5，求实数m 的值．【解析】(Ⅰ)因为m =0，所以a=(-1,1)，所以a ⋅b=-1×1+1×3=2．(Ⅱ)因为a +b =(m ,4)，|a +b|=5，所以|a +b|=m 2+16，所以m 2+16=25，所以m =±3．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．18.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3，AC 1=34．(Ⅰ)求长方体的表面积；(Ⅱ)若E 是棱AA 1的中点，求四棱锥E -BB 1C 1C 的体积．【解析】(Ⅰ)因为AB=AD=3，AC1=34，又AC1=AB2+AD2+AA12=9+9+AA12=34，所以AA1=4，所以，长方体的表面积为S=2×(3×3+3×4+3×4)=66．(Ⅱ)因为AA1⎳平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，所以四棱锥E-BB1C1C的体积为V=13S矩形BB1C1C⋅AB=13×3×4×3=12．【点评】本题考查了长方体的表面积和棱锥的体积计算问题，是基础题．19.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34．(Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率；(Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．【解析】(Ⅰ)设甲两次都没有击中目标为事件A，则p(A)=1-2 31-23=19．(Ⅱ)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，∵甲恰好击中一次目标的概率为C12×23×1-23=49，乙恰好击中一次目标的概率为C12×34×1-34=38，∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16．【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题．20.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；(Ⅲ)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在[40，80)内的成绩占比为70%，在[40，90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90)内．因为80+10×0.8-0.70.95-0.7=84，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n (Ω)=5+4+3+2+1=15．记事件A =“调查对象来自不同分组”，则事件A 包含的样本点个数为n (A )=4×2=8，所以P (A )=n (A )n (Ω)=815．(Ⅲ)设男生成绩样本数据为x 1，x 2，⋯，x 40，其平均数为x =71，方差为s x 2=187.75；女生成绩样本数据为y 1，y 2，⋯，y 60，其平均数为y =73.5，方差为s y 2=119；总样本的平均数为z，方差为s 2．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得z =40100x +60100y =72.5．因为s 2=110040i =1(x i -z ) 2+60j =1(y j -z ) 2 =110040i =1(x i -x +x -z ) 2+60j =1(y j -y +y -z ) 2 ，又40i =12 (x i -x )(x -z )=2(x -z )40i =1(x i -x )=2(x -z )40i =1x i -40x=0，同理60j =12 (y j -y )(y -z)=0，所以s 2=110040i =1(x i -x ) 2+40i =1(x -z ) 2+60j =1(y j -y ) 2+60j =1(y -z ) 2 =1100{40[s x 2+(x -z )2]+60[s y 2+(y -z )2]}=1100{40[187.75+(71-72.5)2]+60[119+(73.5-72.5)2]}=148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．【点评】本题主要考查频率分布直方图，概率的计算，百分位数、平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题，21.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c -a =2b cos A ，b =3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若a =3，求ΔABC 的面积；(Ⅲ)求aca +c的最大值．【解析】(Ⅰ)因为2c-a=2b cos A，又asin A=bsin B=csin C，所以2sin C-sin A=2sin B cos A，所以2sin(A+B)-sin A=2sin B cos，所以2sin A cos B-sin A=0，因为A∈(0,π)，sin A≠0，所以cos B=1 2，可得B=π3．(Ⅱ)因为b2=a2+c2-ac，所以c2-3c-6=0，所以c=23，所以ΔABC的面积为S=12ac sin B=332．(Ⅲ)由a2+c2-ac=9，得(a+c)2=9+3ac，因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)．设t=a+c，则t∈(3，6]，所以aca+c=t2-93t，设f(t)=t2-93t=13t-9t，则f(t)在区间(3，6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=3 2，所以，aca+c的最大值为3 2．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，基本不等式以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．22.如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是矩形，EH=DH=1，AD=2，AB=4，AD⊥DH．(Ⅰ)证明：BC⊥平面DCG；(Ⅱ)设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥DC又AD⊥DH，且DC∩DH=D，∴AD⊥平面DCG，又∵AD⎳BC，∴BC⊥平面DCG；(Ⅱ)在四棱台ABCD-EFGH中，延长AE，BF，CG，DH交于S．∵GH⎳AB，GH=12AB，∴直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SP．∵P∈AH，AH⊂平面ADHE，又P∈BG，BG⊂平面DBG，且平面ADHE∩平面DBG=l，∴P∈l，又D∈l，∴平面ADHE∩平面DBG=DP．过点D作DM⊥SC，垂足为M，连结PM．∵BC⊥平面DCG，BC⊂平面BCG，∴平面BCG⊥平面DCG，又平面BCG∩平面DCG=SC，∴DM⊥平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为∠MPD．当M与S重合时，DM=SD=2；当M与S不重合时，在RtΔDMS中，0<DM<SD．∴0<DM≤2，又∵DP=SA=22，∴在RtΔMPD中，有sin∠MPD=DMPD=DM22∈0，22．∴直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是0，22．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．第11页共11页。

数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

绍兴市2021届第一学期高一期末统考数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2 . “x=l” 是。

2=1… 的(43 .己知sina + costz =—,则sina ・cosa=( 34 .设机，〃都是正整数，且九＞1,若a ＞。

，则不正确的是（）B.-- 1 c. a 〃 =-=5 .函数/（x ）的部分图象如图所示，则/（x ）的解析式可能是（）B. fM = (e xC. /(x) =+(?'v)cos 2xg,b = log 3 2 , c = log , 2 ,则()1.已知集合4 = {乂-1«入＜2}, B = {x\l<x<3],则A D 3=()A. {x|l<x<2)B. {x\\ <x<2]C. *|一1 vx 〈3}D.A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7 A.—— 97 B ・ --- 18C.718D.D. a ))sin2xA. c<a<bB. b<c< aC. c<b<aD. a <c <b7.已知，〃>0, 〃>0,且（〃7 + l）（〃+ 4） =9 ,则（）A. 有最大值1,〃有最小值2B.而〃有最大值1, + 〃有最小值1C.而〃有最大值1,〃无最小值D.而“无最大值，机+ 〃无最小值8.已知。

，"ceR, a+b+c = O .若函数/（x） = 3d+2Z?x + c（a W0）的两个零点是为，x2 ,则7 十二一7的最小值是（）|2内-1| |2X2-1|A. —B.省C. #D. 2#6 3二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得3分，有选错的得。

分，部分选对的得2分）9.己知。

2020-2021学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∪B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．设命题p：∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0，则命题p的否定为（）A．∀x∉[0，+∞），x2﹣2x+2＞0B．∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0C．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0D．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞03．已知θ∈R，则“sinθ＞0”是“角θ为第一或第二象限角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．为了得到函数的图象，可以将函数图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（）A．B．C．D．7．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e ＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在33℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在22℃时的保鲜时间是（）A．40小时B．44小时C．48小时D．52小时8．设函数f（x）＝，若存在实数k使得方程f（x）＝k有3个不相等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，+∞）B．（﹣5，+∞）C．（﹣5，﹣3]D．（﹣5，﹣3）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．设全集U＝R，若集合M⊆N，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．∁U M⊆∁U N D．（M∪N）⊆N 10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的周期为2B．函数f（x）的对称轴为C．函数f（x）的单调增区间为D．函数f（x）的图象可由函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍得到11．已知a＞0，b＞0，若4a+b＝1，则（）A．的最小值为9B．的最小值为9C．（4a+1）（b+1）的最大值为D．（a+1）（b+1）的最大值为12．存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（）A．f（sin x）＝cos x B．f（sin x）＝sin2xC．f（cos x）＝cos2x D．f（sin x）＝sin3x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝的定义域为．14．已知幂函数在区间（0，+∞）上递增，则实数m＝．15．已知，则的值是．16．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要个单位．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知tanα＝2．（1）求值：；（2）求值：．18．已知a∈R，在①B＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，②B＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]≤0}这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，进行求解．问题：已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，_____，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．已知函数．（1）用定义证明：函数f（x）为奇函数；（2）写出函数f（x）的单调区间（无需证明）；（3）若f（t﹣1）+f（t）＞0，求实数t的取值范围．20．设函数f（x）＝sin2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）设α是锐角，f（+）＝，求sinα的值．21．为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地ABCD，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边（圆心分别为A和C）均落在平行四边形ABCD的边上，圆弧均与BD相切，其中扇形的圆心角为120°，扇形的半径为12米．（1）求两块花卉景观扇形的面积；（2）记∠BDA＝θ，求平行四边形绿地ABCD占地面积S关于θ的函数解析式，并求面积S的最小值．22．已知a，m∈R，函数和函数h（x）＝mx2﹣（2m+1）x+4．（1）若函数f（x）图象的对称中心为点（0，3），求满足不等式f（log3t）＞3的t的最小整数值；（2）当a＝﹣4时，对任意的实数x∈R，若总存在实数t∈[0，4]使得f（x）＝h（t）成立，求正实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∪B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}．故选：D．2．设命题p：∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0，则命题p的否定为（）A．∀x∉[0，+∞），x2﹣2x+2＞0B．∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0C．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0D．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0解：命题p：∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0，根据含有量词的命题的否定，可知p的否定为∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0．故选：C．3．已知θ∈R，则“sinθ＞0”是“角θ为第一或第二象限角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：根据题意，若“θ是第一或第二象限角”，则有sinθ＞0，反之，若sinθ＞0，则θ的终边可能在第一或第二象限，也有可能在y轴正半轴上．故“sinθ＞0”是“角θ是第一或第二象限角”的必要不充分条件，故选：B．4．为了得到函数的图象，可以将函数图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位解：＝cos（x+﹣+））＝cos[（x+）﹣]，即将函数图象向左平移个长度单位，即可，故选：A．5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除D，当x→+∞，f（x）→1，排除B，当x＝1时，y＝＝＞1，排除C，故选：A．6．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（）A．B．C．D．解：如图，设舱座距离地面最近的位置为P，以轴心Q为原点，与底面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，设t＝0min时，游客甲位于点P（0，﹣55），以OP为终边的角为，根据转一周大约需要20min，可知座舱转动的角速度为，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是：H＝55sin（）+65（0≤t≤20）．故选：B．7．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e ＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在33℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在22℃时的保鲜时间是（）A．40小时B．44小时C．48小时D．52小时解：将x＝0，y＝192和x＝33，y＝24代入函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），得到192＝e b，24＝e33k+b，两式相除可得e33k＝，故e11k＝，将x＝22代入函数关系式可得y＝e22k+b＝，故该食品在22℃时的保鲜时间是48小时．故选：C．8．设函数f（x）＝，若存在实数k使得方程f（x）＝k有3个不相等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，+∞）B．（﹣5，+∞）C．（﹣5，﹣3]D．（﹣5，﹣3）解：根据f（x）＝，可知f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝﹣3，在直角坐标系中画出函数f（x）＝和y＝k的图象如下：∵存在实数k使得方程f（x）＝k有3个不相等的实数解，∴只需函数y＝f（x）与函数y＝k有且仅有3个交点，∴只需﹣4＜，∴﹣5＜a＜﹣3，∴a的取值范围为（﹣5，﹣3）．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．设全集U＝R，若集合M⊆N，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．∁U M⊆∁U N D．（M∪N）⊆N 解：因为M⊆N，则M∩N＝M，M∪N＝N，所以A，B正确，且∁U M⊇∁U N，（M∪N）⊆N，所以C错误，D正确，故选：ABD．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的周期为2B．函数f（x）的对称轴为C．函数f（x）的单调增区间为D．函数f（x）的图象可由函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍得到解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，可得A＝2，T＝2[﹣（﹣）]＝2，故A正确；所以ω＝＝π，由五点作图法可知﹣π+φ＝0，解得φ＝，所以f（x）＝2sin（πx+），令πx+＝kπ+，k∈Z，可得f（x）的对称轴为x＝+k，k∈Z，故B正确；令﹣+2kπ≤πx+≤+2kπ，k∈Z，解得2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，即函数f（x）的单调增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，故C正确；函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍可得y＝2sin（+），故D错误．故选：ABC．11．已知a＞0，b＞0，若4a+b＝1，则（）A．的最小值为9B．的最小值为9C．（4a+1）（b+1）的最大值为D．（a+1）（b+1）的最大值为解：对于A，+＝（+）（4a+b）＝2++≥4，故A错误，对于B，+＝（+）（4a+b）＝5++≥9，故B正确，对于C，由于a＞0，b＞0，（4a+1）+（b+1）＝3，所以（4a+1）（b+1）≤（）2＝，当且仅当4a+1＝b+1＝时取等号，故C正确；对于D，由于a＞0，b＞0，（4a+4）+（b+1）＝6，所以（a+1）（b+1）＝（4a+4）（b+1）≤（）2＝，当且仅当4a+4＝b+1＝3时取等号．即a＝，b＝2，故等号取不到，故D错误．故选：BC．12．存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（）A．f（sin x）＝cos x B．f（sin x）＝sin2xC．f（cos x）＝cos2x D．f（sin x）＝sin3x解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（sin x）＝cos x，当sin x＝0时，cos x＝±1，不符合题意函数的定义，A错误，对于B，f（sin x）＝sin2x，则f（sin x）＝2sin x cos x，当sin x＝时，cos x＝±，sin2x ＝±，不符合题意函数的定义，B错误，对于C，f（cos x）＝cos2x，则f（cos x）＝2cos2x﹣1，存在函数f（x）＝2x2﹣1，符合题意，C正确，对于D，f（sin x）＝sin3x，则f（sin x）＝sin（2x+x）＝sin2x cos x+cos2x sin x＝3sin x﹣4sin3x，存在函数f（x）＝3x﹣4x3，符合题意，D正确，故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝的定义域为[1，+∞）．解：由x﹣1≥0，得x≥1．∴函数的定义域是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．14．已知幂函数在区间（0，+∞）上递增，则实数m＝﹣1．解：∵幂函数在区间（0，+∞）上递增，∴，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知，则的值是﹣3．解：∵，∴两边平方，可得1+2sinθcosθ＝，可得sinθcosθ＝﹣，∴＝+＝＝＝﹣3．故答案为：﹣3．16．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要80个单位．解：由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为20个单位，故有a+log2＝0，即a＝﹣1．∴v＝﹣1+log2，要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即﹣1+log2≥2，也就是log2≥3，解得Q≥80，即飞行的速度不低于2 m/s，则其耗氧量至少要80个单位．故答案为：80．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知tanα＝2．（1）求值：；（2）求值：．解：tanα＝2．（1）＝（﹣sinα）（﹣sinα）＝＝＝＝；（2）＝tan（+α）＝﹣＝﹣．18．已知a∈R，在①B＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，②B＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]≤0}这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，进行求解．问题：已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，_____，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．解：选①：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，A∩B＝B，∴B⊆A，当B＝∅时，1﹣a＞1+a，解得a＜0，满足B⊆A；当B≠∅时，，解得0≤a≤3，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，3]．选②：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴，解得﹣1≤a≤3，∴实数a的取值范围是[﹣1，3]．19．已知函数．（1）用定义证明：函数f（x）为奇函数；（2）写出函数f（x）的单调区间（无需证明）；（3）若f（t﹣1）+f（t）＞0，求实数t的取值范围．解：（1）根据题意，函数，必有＞0，解可得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），又由f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，（2）函数，其定义域为（﹣1，1），f（x）的递减区间为（﹣1，1），（3）若f（t﹣1）+f（t）＞0，即f（t﹣1）＞﹣f（t）＝f（﹣t），则有，解可得0＜t＜，即t的取值范围为（0，）．20．设函数f（x）＝sin2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）设α是锐角，f（+）＝，求sinα的值．解：（1）f（x）＝sin2x﹣cos（2x﹣）＝sin2x﹣co2sx﹣sin2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），当x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，﹣≤f（x）≤1．∴f（x）在区间[0，]上的最大值为f（）＝1，最小值为f（0）＝﹣；（2）f（+）＝sin（）＝sin（）＝，若＞，则由α是锐角，则（，），此时sin（）∈（，1），而＞不可能，故0＜＜，∴sinα＝sin（）＝sin（）cos﹣cos（）sin＝﹣＝．21．为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地ABCD，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边（圆心分别为A和C）均落在平行四边形ABCD的边上，圆弧均与BD相切，其中扇形的圆心角为120°，扇形的半径为12米．（1）求两块花卉景观扇形的面积；（2）记∠BDA＝θ，求平行四边形绿地ABCD占地面积S关于θ的函数解析式，并求面积S的最小值．解：（1）米2，所以两块花卉景观扇形的面积为96π米2；（2）连接A与切点O，则△AOD中，AD＝OA•＝，在△OAB中，AB＝，在△ABE中，BE＝AB sin60°，平行四边形绿地ABCD占地面积S＝AD•BE＝•sin60°＝，0°＜θ＜60°，令＝＝＝＝，，所以，当时，f（θ）取最大值，面积S的最小值米2．22．已知a，m∈R，函数和函数h（x）＝mx2﹣（2m+1）x+4．（1）若函数f（x）图象的对称中心为点（0，3），求满足不等式f（log3t）＞3的t的最小整数值；（2）当a＝﹣4时，对任意的实数x∈R，若总存在实数t∈[0，4]使得f（x）＝h（t）成立，求正实数m的取值范围．解：（1）函数＝4+，若函数f（x）图象的对称中心为点（0，3），则f（x）+f（﹣x）＝8+（a﹣4）（+）＝8+（a﹣4）•＝a+4＝6，解得a＝2，即有f（x）＝4﹣，不等式f（log3t）＞3，即为4﹣＞3，即1﹣＞0，解得t＞1或t＜﹣1，又t＞0，可得t＞1，则t的最小正整数为2；（2）当a＝﹣4时，f（x）＝4﹣在R上递增，可得f（x）＜4，又1+3x＞1，可得f（x）＞﹣4，则f（x）的值域为（﹣4，4），设h（t）的值域为B，由题意可得（﹣4，4）⊆B．函数h（t）＝mt2﹣（2m+1）t+4的对称轴为t＝（m＞0），当≥4，即0＜m≤时，h（t）在[0，4]递减，可得h（t）的值域B＝[8m，4]，由（﹣4，4）⊆[8m，4]，可得8m＜﹣4，即m＜﹣，与m＞0矛盾，此时m不存在；当0＜＜4，即m＞时，h（t）的最小值为h（）＝＝4﹣，由（﹣4，4）⊆B，可得4﹣＜﹣4，解得m＞+2或m＜﹣2，又m＞，可得m＞+2，由h（t）在[0，4]的最大值为h（0）或h（4），可得8m＞4，即h（t）在[0，4]的最大值为8m，由（﹣4，4）⊆B．可得m＞+2，则正实数m的取值范围是（+2，+∞）．。

2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。

考点4——设计的一般过程1．［浙江省桐庐中学2021-2022学年10月］小明发现桌面上的杂物很多，桌面整理好了，很快又乱成一团。

他打算自己设计一个桌面收纳盒。

小明通过査阅图书资料、浏览互联网等渠道了解收纳盒相关信息，此时他进行的设计步骤是()A.方案构思B.制订设计方案C.发现与明确问题D.收集信息2.［浙江省湖州市德清县第三中学2020-2021学年］小明发现笔、橡皮、尺子、剪刀等文具总是散落在书桌各处，杂乱不堪，于是想设计一款如图所示适合高中生使用的收纳盒，以下设计步骤排序正确的是()①收集、整理与收纳盒相关的信息②明确设计的要求③制定设计方案，并绘制收纳盒的加工图④制作模型并进行相关测试A.②①④③B.②①③④C.③①②④D.③②①④3.［浙江省慈溪市2020-2021学年期末］小明根据家里需要，想设计一个放在餐桌上的多功能纸巾盒，除了纸巾盒的基本功能外，还能放剪刀、开瓶器、空调遥控器等物品。

小明在提出这个问题后，进行以下一系列的操作：①•测量餐桌面的面积，测量剪刀、常用餐巾纸、空调遥控板尺寸，明确了设计要求；②•小明把方案用草图的方式画出来；③•小明请加工人员进行纸巾盒的加工；④•小明请同学做参谋，挑选出最满意的设计方案；⑤•收集纸巾盒制作的各种信息，分析相关原材料的特征信息；⑥•小明绘制出准确的技术加工图；⑦•小明对多功能纸巾盒样品进行了强度和稳定性试验；⑧•小明根据设计制作多功能纸巾盒过程的切身体会，与班级同学进行了经验交流并分享成功的喜悦；⑨•小明在大脑中初步构思了几种方案；⑩•确定使用材料后，选择合适的加工方法和挑选合适的连接方式、连接件。

根据设计的一般过程，小明的这些步骤其合理的先后顺序是A.①⑤⑩⑨②④⑥③⑦⑧B.①⑤⑩⑨④②⑥③⑦⑧C.①⑩⑤⑨②④⑥③⑦⑧D.①⑤⑩⑨②④⑥③⑧⑦4.［浙江省舟山市2020-2021学年期末］小明正在设计一个可充电式LED化妆台灯，他在方案构思时偶然发现市面上已有此类产品。

2020-2021学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={4,5,6}，B ={3,5,7}，则A⋂B =( )A. ⌀B. {5}C. {4,6}D. {3,4,5,6,7}2. 函数f(x)=√x +3+1x+2的定义域为( )A. (−3,−2)⋃(−2,+∞)B. [−3,−2)⋃(−2,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−2)⋃(−2,+∞)3. 不等式2|x−1|<4的解集是( )A. (−1,3)B. (−∞,−1)⋃(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)⋃(1,+∞)4. 已知a <0<c <b ，则下列各式一定成立的是( )A. a 2>b 2B. a 2≤b 2C. b +c <bcD. b −1b >c −1c5. 若a ，b ∈R ，则“ab ≥14”是“a 2+b 2≥12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数f(x)=sinx ln(x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.7. 已知函数f(x)={lnx −1x ,x >0x 2+2x,x ≤0，则函数y =f[f(x)+1]的零点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 58.若α为锐角，sinα=45，则cosα=( )A. −15B. 15C. −35D. 359.已知集合M={1,2,3,4,5}，M⋂N={4,5}，则N可能为( )A. {1,2,3,4,5}B. {4,5,6}C. {4,5}D. {3,4,5}10.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为( )A. 2B. 3C. 4D. 511.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f(x)=|x|B. f(x)=x−|x|C. f(x)=x+1D. f(x)=−x12.如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y=a t，则下列说法正确的是( )A. 蓝藻面积每个月的增长率为100%B. 蓝藻每个月增加的面积都相等C. 第6个月时，蓝藻面积就会超过60m2D. 若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1+t2=t313.已知lga−lgb=lg(a−b)，则实数a的取值范围是__________.14.已知函数f(x)=12sinx+√32cosx，x∈R，则函数f(x)的最大值是__________，且取到最大值时x的集合是__________.15.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增.若对任意x∈R，不等式f(a+|x−b|)≥f(|x|−2|x−1|)(a,b∈R)恒成立，则2a2+b2的最小值是__________.16.已知a∈R，b>0，若存在实数x∈[0,1),使得|bx−a|≤b−ax2成立，则ab的取值范围是__________.∈A.17.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则11−x(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为14，且A中有一个元素的平方等3于所有元素的积，求集合A.(a≠0)在(0,+∞)上的单调性.18.讨论f(x)=x+ax)(x∈R).19.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π2求f(0)的值；求f(x)的最小正周期；)为偶函数，求φ的值．若y=f(x+φ)(0<φ<π2，x∈R.20.设a∈[0,4]，已知函数f(x)=4x−ax2+1若f(x)是奇函数，求a的值；x−a+2；当x>0时，证明：f(x)≤a2.设x1，x2∈R，若实数m满足f(x1)⋅f(x2)=−m2，证明：f(m−a)−f(1)<1821.如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．试确定点P距离地面的高度ℎ(单位：m)关于旋转时间t(单位：min)的函数关系式；在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？22.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数f(x)=√ax2+bx+a+1的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0,且x≥0}.若a=−1，b=2，求f(x)的定义域；当a=1时，若f(x)为“同域函数”，求实数b的值；若存在实数a<0且a≠−1，使得f(x)为“同域函数”，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 由交集的定义，可求得A⋂B. 【解答】解：∵A ={4,5,6}，B ={3,5,7}，∴A⋂B ={5}.故选B.2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，属基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，得到{x +3≥0x +2≠0，不等式组求解x 的取值集合． 【解答】解：由题意知{x +3≥0x +2≠0，得x ≥−3，且x ≠−2.∴函数f(x)=√x +3+1x+2的定义域为[−3,−2)⋃(−2,+∞).故选：B.3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查指数函数的单调性以及含绝对值的不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．由不等式2|x−1|<4，得2|x−1|<22，根据指数函数的单调性得到|x−1|<2，解绝对值不等式，可得所求解集．【解答】解：不等式2|x−1|<4，即为2|x−1|<22，因为函数y=2x在R上为增函数，即有|x−1|<2，即−2<x−1<2，解得−1<x<3，则原不等式的解集为(−1,3).故选：A.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．直接利用不等式的基本性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：①因为a<0<c<b，a2，b2的大小无法确定，A，B均不正确；②取b=1.2，c=1.1，得b+c=2.3>bc=1.32，所以C不正确；③可得0>−1b >−1c，所以b−1b>c−1c，故D正确．故选：D.5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用基本不等式的性质是解决本题的关键，属基础题．根据基本不等式的性质，判定充分性，举反例，a =−1，b =1时，满足a 2+b 2≥12，但ab ≥14不成立，必要条件不成立，即可得到答案．【解答】解：当ab ≥14时，a 2+b 2≥2ab ≥2×14=12，当且仅当a =b 时等号成立，即充分性成立，反之当a 2+b 2≥12时，a =−1，b =1时，满足a 2+b 2≥12，但ab ≥14不成立，即必要性不成立，即“ab ≥14”是“a 2+b 2≥12”的充分不必要条件，故选：A.6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于中档题． 由f(−x)=sin(−x)ln[(−x)2+2]=−sinx ln(x 2+2)=−f(x)，得到函数的奇偶性排除选项BC ，由函数值的正负排除选项D ，进而得解． 【解答】解：函数的定义域为R ，f(−x)=sin(−x)ln[(−x)2+2]=−sinx ln(x 2+2)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项B ，C ；当x 取正数且x →0时，sinx >0,ln(x 2+2)>0,sinxln(x 2+2)>0，故可排除选项D. 故选：A.7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查分段函数的图象以及函数的零点个数问题，考查数形结合思想，属较难题．令t=f(x)+1={lnx−1x+1,x>0(x+1)2,x≤0，对t分类讨论，结合零点存在定理得出函数f(t)的零点t1∈(1,2)，t2=−2，t3=0，然后作出函数t=f(x)+1，直线t=t1、t=−2、t=0的图象，观察三条直线与函数t=f(x)+1的图象的交点个数，由此得出结论．【解答】解：令t=f(x)+1={lnx−1x+1,x>0 (x+1)2,x≤0，①当t>0时，f(t)=lnt−1t，则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增，由于f(1)=−1<0，f(2)=ln2−12>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)=0；②当t≤0时，f(t)=t2+2t，由f(t)=t2+2t=0，解得t2=−2，t3=0，作出函数t=f(x)+1，直线t=t1、t=−2、t=0的图象如下图所示：由图象可知，直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，直线t=−2与函数t=f(x)+1的图象有且仅有一个交点，综上所述，函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.故选：D.8.【答案】D【解析】【分析】本题考查同角三角函数基本关系，属基础题．根据已知角的取值范围，直接利用同角三角函数基本关系式cosα=√1−sin2α求解．【解答】解：∵α为锐角，且sinα=45，∴cosα=√1−sin2α=√1−(45)2=35.故选：D.9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属基础题．由交集定义得集合N中一定有元素4，5，一定没有元素1，2，3，由此能得到选项．【解答】解：∵集合M={1,2,3,4,5}，M⋂N={4,5}，∴集合N中一定有元素4，5，一定没有元素1，2，3，故A，D均错误，B，C均正确．故选：BC.10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查一元二次函数的值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，注意分类讨论，属中档题．求出二次函数的对称轴方程x=2，讨论m，当0<m≤2时，可知当m=2时满足题意，当m>2时，函数在[0,2]上单调递减，在[2,m]上单调递增，结合二次函数的对称性可得m的可能取值，综合两种情况得到结果.【解答】解：函数y=x2−4x−4的对称轴方程为x=2，当0<m≤2时，函数在[0,m]上单调递减，x=0时取最大值−4，x=m时取最小值m2−4m−4=−8，解得m=2.则当m>2时，函数在[0,2]上单调递减，在[2,m]上单调递增，最小值为−8，而x=0时y=−4，由对称性可知，x=4时y=−4，故m≤4，所以2<m≤4.综上，实数m的取值范围为2≤m≤4.∴实数m的值可能为2，3，4.故选：ABC.11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数解析式的求法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．分别根据函数解析式求出f(2x)与2f(x)，看其是否相等，从而可得到所求．【解答】解：f(x)=|x|，f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)，故满足条件；f(x)=x−|x|，f(2x)=2x−|2x|=2(x−|x|)=2f(x)，故满足条件；f(x)=x+1，f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x)，故不满足条件；f(x)=−x，f(2x)=−2x=2(−x)=2f(x)，故满足条件；故选：C.12.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于中档题．由函数y=a t图象经过(1,2)可得函数解析式y=2t，再根据2t+1−2t=2t判断A、B即可，C选项代入即可，根据指数运算性质判断D，得到结果．【解答】解：由图可知，函数y=a t图象经过(1,2)，即a1=2，则a=2，∴y=2t，∴2t+1−2t=2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，故A 对，B 错； 当t =6时，y =26=64>60，故C 对；若蓝藻面积蔓延到2m 2，3m 2，6m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1=2,2t 2=3,2t 3=6，2t 1+t 2=2t 1⋅2t 2=2×3=6，则t 1+t 2=t 3，故D 对； 故选：ACD.13.【答案】[4,+∞)【解析】 【分析】本题主要考查了对数的运算性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．由对数运算可知a =b1−1b =b −1+1b−1+2，利用对数的真数大于零，{b >0b 2b−1>0得到b >1，再利用基本不等式即可求出a 的取值范围． 【解答】解：∵lga −lgb =lg(a −b)，∴lg ab =lg(a −b)，∴a b =a −b ，∴a −ab =b ， ∴a =b 1−1b=b 2b−1=b −1+1b−1+2， 由题意{a >0b >0a −b >0，即a >b >0，所以{b >0b 2b−1>0，故b >1，所以a ≥2√(b −1)⋅1b−1+2=4，当且仅当b −1=1b−1，即b =2时等号成立， 故答案为：[4,+∞).14.【答案】1{x|x =2kπ+π6,k ∈Z}【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，辅助角公式结合三角函数的最值性质是解决本题的关键，属中档题．利用辅助角公式f(x)=12sinx+√32cosx=sin(x+π3)，结合三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：f(x)=12sinx+√32cosx=sin(x+π3)，则当sin(x+π3)=1时，函数取得最大值1，此时x+π3=2kπ+π2，k∈Z，即x=2kπ+π6，k∈Z，即对应集合为{x|x=2kπ+π6,k∈Z}，故答案为：1，{x|x=2kπ+π6,k∈Z}.15.【答案】83【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性等性质的综合运用，考查数形结合思想，以及一元二次函数的值域求法，属于难题．由题意f(|a+|x−b||)≥f(||x|−2|x−1||)(a,b∈R)恒成立，由单调性得|a+|x−b||≥||x|−2|x−1||，即y=|a+|x−b||的图象始终在y=||x|−2|x−1||的上方或重合，结合图象可知，点(b,a)在y=|x−2|的图象上或图象上方，则a≥|b−2|，即a2≥|b−2|2，进而得出答案.【解答】解：因为f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，所以|a+|x−b||≥||x|−2|x−1||，令g(x)=|a+|x−b||，ℎ(x)=||x|−2|x−1||，则g(x)图象恒在ℎ(x)图象上方或重合，易知当a<0时，g(x)图象不可能恒在ℎ(x)图象上方或重合，所以a≥0，则g(x)=|a+|x−b||=a+|x−b|，最低点为(b,a)，ℎ(x)、g(x)的图象如下图：由图象可知：点(b,a)在y =|x −2|的图象上或图象上方， 则a ≥|b −2|，即a 2≥|b −2|2，所以2a 2+b 2≥2|b −2|2+b 2=3b 2−8b +8=3(b −43)2+83≥83，则2a 2+b 2的最小值是83.故答案为83.16.【答案】[−1,√2+12]【解析】 【分析】本题考查不等式的恒成立问题，涉及了函数最值的求法，考查转化思想，函数思想以及运算求解能力，属于难题．不等式两边同除以b ，先将题意转化为|x −t|≤1−tx 2在x ∈[0,1)上有解，即得tx 2−1≤x −t ≤1−tx 2,设f(x)=−1x+1,g(x)=x+1x 2+1,x ∈[0,1),即{t ≤x+1x 2+1t ≥x−11−x 2=−1x+1在x ∈[0,1)上有解，即t ≥f(x)min 且t ≤g(x)max ，再求出函数对应最值即可得出结果． 【解答】解：由于b >0，故不等式两边同除以b ，得|x −ab |≤1−ab x 2， 令ab =t ∈R ，即不等式|x −t|≤1−tx 2在x ∈[0,1)上有解，去绝对值即得tx 2−1≤x −t ≤1−tx 2，即{tx 2−1≤x −t x −t ≤1−tx 2，即{t ≤x+1x 2+1t ≥x−11−x2=−1x+1在x ∈[0,1)上有解，设f(x)=−1x+1,g(x)=x+1x 2+1,x ∈[0,1), 即t ≥f(x)min 且t ≤g(x)max 即可， 由f(x)=−1x+1在x ∈[0,1)上，x +1∈[1,2),1x +1∈(12,1], 即f(x)∈[−1,−12),故t ≥f(x)min =−1； 由g(x)=x+1x 2+1=x+1(x+1)2+2−2(x+1)=1x+1+2x+1−2，利用基本不等式(x +1)+2x+1≥2√2， 当且仅当x +1=2x+1即x =√2−1∈[0,1)时等号成立，故g(x)≤2√2−2=√2+12，即g(x)max =√2+12，故t ≤√2+12， 综上，t 的取值范围为−1≤t ≤√2+12， 即ab 的取值范围为−1≤ab ≤√2+12. 故答案为：[−1,√2+12].17.【答案】解：(1)∵数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A(x ≠1且x ≠0)，则11−x ∈A.2∈A ，∴11−2=−1∈A ，11−(−1)=12∈A ，11−12=2∈A(循环)，∴A 中还有另外两个元素−1，12； (2)∵x ∈A ，11−x∈A ，11−11−x=x−1x∈A ，11−x−1x=x ∈A ，x ≠11−x，11−x≠x−1x，x ≠x−1x，故集合A 中至少有3个元素， ∴集合A 不是双元素集合． (3)由(2)知，若x ∈A ，则{x,11−x ,x−1x}⊆A ，且x ⋅11−x ⋅x−1x=−1，A 中元素个数为3的倍数，若A 中元素不超过8个，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 由x ⋅11−x ⋅x−1x=−1知A 不可能为3元集，则A 中元素只有6个，不妨设x 2=1，解得x =−1或x =1(舍去)，则−1，12，2∈A ，所以−1+12+2+m +11−m+m−1m=143，解得m =−12或m =3或m =23， 所以A ={−1,12,2,−12,3,23}.【解析】本题考查集合的求法，考查集合中元素的个数的求法及应用，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由2∈A ，得到11−2=−1∈A ，从而11−(−1)=12∈A ，由此能证明A 中还有另外两个元素−1，12. (2)由x ∈A ，11−x∈A ，x−1x∈A ，x ≠11−x，11−x≠x−1x，x ≠x−1x，得到集合A 中至少有3个元素，从而集合A 不是双元素集合．(3)由题意得A 不可能为3元集，则A 中元素只有6个，不妨设x 2=1，解得x =−1或x =1(舍去)，则−1，12，2∈A ，所以−1+12+2+m +11−m+m−1m=143，解得m ，即可求解.18.【答案】解：任取x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=(x 2+a x 2)−(x 1+a x 1)=(x 2−x 1)+(a x 2−ax 1)=(x 2−x 1)+a(x 1−x 2)x 1x 2=(x 2−x 1)(x 1x 2−a)x 1x 2.∵x 1，x 2∈(0,+∞)，∴x 1x 2>0. ∵x 1<x 2，∴x 2−x 1>0. ①若a <0，则x 1x 2−a >0，∴f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．②若a >0，则当0<x 1<x 2≤√a 时，x 1x 2−a <0， ∴f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴f(x)在(0,√a]上单调递减； 当x 2>x 1>√a 时，x 1x 2−a >0， ∴f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在(√a,+∞)上单调递增．综上可知，当a<0时，f(x)=x+ax在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)=x+ax在(0,√a]上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增．【解析】本题考查了函数单调性的性质与判断，用定义法证明函数单调性，要掌握定义法证明函数单调性的步骤，本题的难点在于确定a的分类标准，属中档题.利用证明函数单调性的一般步骤，任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则作差后f(x2)−f(x1)=(x2+ax2)−(x1+ax1)=(x2−x1)+(ax2−ax1)=(x2−x1)+a(x1−x2)x1x2=(x2−x1)(x1x2−a)x1x2，确定a的分类标准，分别确定作差的正负，即可确定f(x)的单调性．19.【答案】解：由f(x)=2sinxsin(x+π2)，得f(0)=2sin0⋅sinπ2=0；，T=2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π；由知，y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，∴2φ=π2+kπ,k∈Z，所以φ=π4+kπ2,k∈Z，∵0<φ<π2，∴φ=π4.【解析】本题考查诱导公式和三角函数的恒等变换以及y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，属基础题．直接在函数解析式中取x=0求解；利用诱导公式及二倍角公式变形，得到f(x)=2sinxsin(x+π2)=2sinxcosx=sin2x，再由周期公式求周期；由y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，可得2φ=π2+kπ,k∈Z，再结合φ的范围求解．20.【答案】解：由题意，对任意x ∈R ，都有f(−x)=−f(x)，即−4x−a x 2+1=−4x−a x 2+1，即−4x −a =−4x +a ，可得a =0；证明：因为x >0，a ∈[0,4]，4x −a x 2+1−(a 2x −a +2)=4x −a −(a2x −a +2)(x 2+1)x 2+1=−12(x 2+1)[ax(x 2−2x +1)+4(x 2−2x +1)] =−12(x 2+1)(ax +4)(x −1)2，因为(ax +4)>0，(x −1)2≥0，−12(x 2+1)<0， 所以−12(x 2+1)(ax +4)(x −1)2≤0 所以f(x)≤a2x −a +2.证明：设t =4x −a ，则y =f(x)=4x−a x 2+1=16t t 2+2at+a 2+16(t ∈R)，当t =0，y =0； 当t ≠0时，y =16t+a 2+16t+2a，t +a 2+16t≥2√a 2+16(t >0)，t +a 2+16t≤−2√a 2+16(t <0)，所以f(x)max =8a+√a 2+16>0，f(x)min =8a−√a 2+16<0，因为f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，所以−m 2≥f(x)max ⋅f(x)min =−4， 即−2≤m ≤2，①当m −a ≤0时，f(m −a)≤0，f(1)=4−a 2≥0，所以f(m −a)−f(1)<18成立； ②当m −a >0时，由知，f(m −a)−f(1)≤a2(m −a)−a +2−4−a 2=a 2(m −a −1)≤a2(1−a)≤12[a+(1−a )2]2=18，等号不能同时成立．综上可知，f(m −a)−f(1)<18.【解析】本题主要考查函数的奇偶性的性质，考查不等式的应用，属于难题． 由f(−x)=−f(x)，可求得a 的值； 作差4x−a x 2+1−(a2x −a +2)=4x−a−(a 2x−a+2)(x 2+1)x 2+1，化简结果，利用题中条件即可证明；利用换元法求出f(x)的最大值和最小值，根据f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，得出−2≤m ≤2，分m −a ≤0和m −a >0两种情况进行分类讨论，即可证明f(m −a)−f(1)<18.21.【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设φ(0≤φ≤2π)是以x 轴正半轴为始边，OP 0(P 0表示点P 的起始位置)为终边的角， 由题意知OP 在t(min)内转过的角为2π2t ，即πt ；所以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为(πt +φ)， 即点P 的纵坐标为40sin(πt +φ)， 由题意知φ=π2，所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为 ℎ=50+40sin(πt +π2)， 化简得ℎ=50+40cosπt ；当50+40cosπt >70时，cosπt >12，πt ∈(−π3+2kπ,π3+2kπ)k ∈Z ， 解得2k −13<t <2k +13，k ∈Z ； 又0≤t ≤2，所以符合题意的时间段为0≤t <13或53<t ≤2，即在摩天轮转动一圈内，有23min 内P 点距离地面超过70m.【解析】本题考查了三角函数模型的应用问题，属较难题．建立平面直角坐标系，设φ是以x 轴正半轴为始边，OP 0为终边的角，求出OP 在t 时间内转过的角度，表示出点P 的纵坐标，再求点P 距离地面的高度h 关于t 的函数关系式；计算50+40cosπt >70时t 的取值范围2k −13<t <2k +13，k ∈Z ，再求对应的时间段．22.【答案】解：当a =−1，b =2时，由题意知，{−x 2+2x ≥0,x ≥0,解得0≤x ≤2，所以f(x)的定义域为[0,2].当a =1时，f(x)=√x 2+bx +2(x ≥0)，(i)当−b2≤0，即b ≥0时，f (0)=√2，且函数f(x)在[0,+∞)为增函数，所以函数f(x)值域为[√2,+∞),因为f(x)定义域为[0,+∞), 则b ≥0时，f(x)不是“同域函数”； (ii)当−b2>0时，即b <0，因为f(x)定义域为[0,+∞),当且仅当Δ=b 2−8=0时，f(x)为“同域函数”， 所以b =−2√2，综上可知，b 的值为−2√2；设f(x)定义域为A ，值域为B ； (i)当a <−1时，a +1<0， 此时0∉A ，0∈B ，从而A ≠B ， 所以f(x)不是“同域函数”； (ii)当−1<a <0时，a +1>0， 设x 0=−b−√b 2−4a(a+1)2a，则f(x)定义域为[0,x 0]，①当−b2a ≤0时，即b ≤0时，f(x)值域为B =[0,√a +1]， 若f(x)为“同域函数”，则x 0 =√a +1，从而b =−(√a +1)3， 又因为−1<a <0，所以b 的取值范围为(−1,0)； ②当−b2a >0时，即b >0，f(x)值域为B =[0,√4a(a+1)−b 24a]，若f(x)为“同域函数”，则x 0=√4a(a+1)−b 24a，从而，b =√b 2−4a(a +1)(√−a −1).(1) 此时，由√−a −1<0,b >0可知(1)式不能成立； 综上可知，b 的取值范围为(−1,0).【解析】本题主要考查函数的定义域与值域，一元二次函数的图象与性质，掌握新概念的本质是解题的关键，属于较难题． 建立不等式组{−x 2+2x ≥0,x ≥0,，求解即可；对−b2分类讨论，结合新定义进行分析、求解；对a 分两种情况讨论，(i)当a <−1时，a +1<0，f(x)不是“同域函数”； (ii)当−1<a <0时，a +1>0，紧扣“同域函数”的概念，建立方程进行求解．。

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

浙江省绍兴市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|1＜x≤3}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x≤3} 2．“x＝1”是“x2＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知sinα+cosα＝，则sinα•cosα＝（）A．B．C．D．4．设m，n都是正整数，且n＞1，若a＞0，则不正确的是（）A．B．C．D．a0＝15．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（e x+e﹣x）sin2x B．f（x）＝（e x﹣e﹣x）sin2xC．f（x）＝（e x+e﹣x）cos2x D．f（x）＝（e x﹣e﹣x）cos2x6．已知，b＝log32，，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．已知m＞0，n＞0，且（m+1）（n+4）＝9，则（）A．mn有最大值1，m+n有最小值2B．mn有最大值1，m+n有最小值1C．mn有最大值1，m+n无最小值D．mn无最大值，m+n无最小值8．已知a，b，c∈R，a+b+c＝0，若函数f（x）＝3ax2+2bx+c（a≠0）的两个零点是x1，x2，则的最小值是（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．已知α是第二象限角，则可以是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角10．设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（）A．若α，r确定，则L，S唯一确定B．若α，l确定，则L，S唯一确定C．若S，L确定，则α，r唯一确定D．若S，l确定，则α，r唯一确定11．已知函数f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）g1（x）＝f（|x|），g2（x）＝|f（x）|，g3（x）＝|f（|x|）|（）A．函数g1（x），g2（x），g3（x）都是偶函数B．若g1（x1）＝g1（x2）＝a（x1＜x2），则x2﹣x1＞4C．若g2（x1）＝g2（x2）＝a（x1＜x2），则D．若g3（x1）＝g3（x2）＝g3（x3）＝g3（x4）（x1＜x2＜x3＜x4），则12．已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，函数y＝f（x）图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f （x+c）为偶函数，则（）A．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（﹣1，2）B．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（1，4）C．函数有对称轴D．函数无对称轴三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知函数，则＝．14．若点绕坐标原点按逆时针方向旋转30°到达点B，则点B的横坐标是．15．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[﹣1，0）时，，则当x∈（2，3]时，f（x）＝．16．对任意，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调递增，则实数ω的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）求集合B；（2）求（∁R A）∩B．18．已知函数．（1）求的值；（2）若，求f（x）的值域．19．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，a∈R．（1）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值区间；（2）求关于x的不等式f（x）≤0的解集．20．如图，某超市的平面图为矩形ABCD，超市门EF在边AD上，其中AD＝8m，AB＝5m，AE＝5.5m，EF＝1.6m．（1）求∠ECF的正切值；（2）若要在边CD上找一点M安装安防摄像头，使得对超市门的摄像视角∠EMF最大，求DM的长．21．已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若对任意x∈（0，π），恒有，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）＝（a＞0，b＞0）．（1）若b＝1，且f（x）是减函数，求a的取值范围；（2）若a＝1，关于x的方程|f（x）﹣2|＝﹣b（x﹣1）有三个互不相等的实根，求b 的取值范围．浙江省绍兴市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|1＜x≤3}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x≤3}解：∵A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|1＜x≤3}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}．故选：D．2．“x＝1”是“x2＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：当x＝1成立则“x2＝1”一定成立反之，当“x2＝1”成立则x＝±1即x＝1不一定成立∴“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件故选：A．3．已知sinα+cosα＝，则sinα•cosα＝（）A．B．C．D．解：已知sinα+cosα＝，两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα＝，整理得：1+2sinα•cosα＝，解得：sinα•cosα＝．故选：C．4．设m，n都是正整数，且n＞1，若a＞0，则不正确的是（）A．B．C．D．a0＝1解：对于选项A，根据根式与有理指数幂的互化可得，故选项A正确；对于选项B，+2，故选项B错误；对于选项C，根据根式与有理指数幂的互化可得，故选项C正确；对于选项D，a0＝1，故选项D正确．故选：B．5．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（e x+e﹣x）sin2xB．f（x）＝（e x﹣e﹣x）sin2xC．f（x）＝（e x+e﹣x）cos2xD．f（x）＝（e x﹣e﹣x）cos2x解：函数为偶函数，排除A，D，当x＝0时，f（0）＝0，排除C，∵C中f（0）＝2，故选：B．6．已知，b＝log32，，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b 解：∵0＜＜（）1＝，b＝log32＞＝，＜log1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．7．已知m＞0，n＞0，且（m+1）（n+4）＝9，则（）A．mn有最大值1，m+n有最小值2B．mn有最大值1，m+n有最小值1C．mn有最大值1，m+n无最小值D．mn无最大值，m+n无最小值解：因为（m+1）（n+4）＝9，m＞0，n＞0，所以mn+4m+n＝5，则4m+n＝5﹣mn，解得0＜mn≤1，当且仅当4m＝n时，mn取得最大值为1，而m+n，当且仅当m＝n时，mn有最大值，两式等号成立的条件不一样，所以m+n无最小值，故选：C．8．已知a，b，c∈R，a+b+c＝0，若函数f（x）＝3ax2+2bx+c（a≠0）的两个零点是x1，x2，则的最小值是（）A．B．C．D．解：∵函数f（x）＝3ax2+2bx+c（a≠0）的两个零点是x1，x2，∴3ax2+2bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，则x1+x2＝﹣．x1x2＝，≥2＝2＝2＝2，∵a+b+c＝0，∴4a+4b+4c＝0，则原式＝2＝2＝2，即的最小值是2，故选：D．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知α是第二象限角，则可以是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为α是第二象限角，即k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z；所以k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z；当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．故选：AC．10．设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（）A．若α，r确定，则L，S唯一确定B．若α，l确定，则L，S唯一确定C．若S，L确定，则α，r唯一确定D．若S，l确定，则α，r唯一确定解：由弧长公式得l＝αr，S＝lr＝αr2，周长L＝l+2r，若α，r确定，则l确定，则L，S唯一确定，故A正确，若α，l确定，则r确定，则L，S唯一确定，故B正确，若S，L确定，则，则α，r不一定唯一确定，故C错误，若S，l确定，则r确定，则α唯一确定，故D正确，故选：ABD．11．已知函数f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）g1（x）＝f（|x|），g2（x）＝|f（x）|，g3（x）＝|f（|x|）|（）A．函数g1（x），g2（x），g3（x）都是偶函数B．若g1（x1）＝g1（x2）＝a（x1＜x2），则x2﹣x1＞4C．若g2（x1）＝g2（x2）＝a（x1＜x2），则D．若g3（x1）＝g3（x2）＝g3（x3）＝g3（x4）（x1＜x2＜x3＜x4），则解：选项A：因为g2（x）＝|log a（x﹣1）|的定义域为（1，+∞），不关于原点对称，所以不是偶函数，故A错误，选项B：因为g1（x）＝log a|x﹣1|，当x＞1时，由g1（x1）＝g1（x2）＝a（x1＜x2）可得：x，同理可得x，所以x，当a＝时，x+2＜4，故B错误，选项C：当|f（x）|＝a时，有f（x）＝a或﹣a，则x，x，（a＞0），所以＝，故C正确，选项D：由g3（x1）＝g3（x2）＝g3（x3）＝g3（x4）（x1＜x2＜x3＜x4），设g3（x1）＝1，则x1＝﹣1﹣a，x，x，x4＝1+a，所以，，所以则，故D正确，故选：CD．12．已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，函数y＝f（x）图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f （x+c）为偶函数，则（）A．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（﹣1，2）B．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（1，4）C．函数有对称轴D．函数无对称轴解：若P（﹣1，2）是函数f（x）＝x3+3x2的对称中心，所以y＝g（x）＝f（x﹣1）﹣2＝（x﹣1）3+3（x﹣1）2﹣2＝（x﹣1）2（x+2）﹣2＝x3﹣3x，所以g（﹣x）＝﹣g（x），故y＝f（x﹣1）﹣2为奇函数，所以函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（﹣1，2），故选项A正确，B错误；函数＝，令t＝x﹣1，则h（t）＝，因为h（t）＝h（﹣t），所以函数h（t）是偶函数，关于直线x＝0对称，所以f（x）关于直线x＝﹣1对称，故选项正确，D错误．故选：AC．三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知函数，则＝1．解：因为知函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故答案为：1．14．若点绕坐标原点按逆时针方向旋转30°到达点B，则点B的横坐标是．解：点，∴OA的倾斜角为120°，绕坐标原点按逆时针方向旋转30°到达点B，故OB的倾斜角为120°+30°，则点B的横坐标是cos（120°+30°）＝﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[﹣1，0）时，，则当x∈（2，3]时，f（x）＝2x﹣2﹣1．解：函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[﹣1，0）时，，则当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，当x∈（2，3]时，x﹣2∈（0，1]，f（x）＝2x﹣2﹣1，故答案为：2x﹣2﹣1．16．对任意，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调递增，则实数ω的取值范围是．解：∵对任意，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调递增，∴×||≥π﹣，∴|ω|≤2．①ω＞0时，此时，0＜ω≤2，y＝sin（ωx+φ）单调递增，可得，k∈Z，则，∵，∴，当k＝0时，可得；①ω＜0时，此时，﹣2≤ω＜0，y＝sin（ωx+φ）单调递增，即y＝﹣sin（﹣ωx﹣φ）在区间上单调递减；可得，k∈Z，则，∵，∴，当k＝0时，可得；综上，则实数ω的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）求集合B；（2）求（∁R A）∩B．解：（I）B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}．（Ⅱ）∵集合A＝{x|x＜2}，∴∁U A＝{x|x≥2}，∴（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．18．已知函数．（1）求的值；（2）若，求f（x）的值域．解：（1）由已知可得f（）＝sin（）sin＝；（Ⅱ）因为函数＝＝，因为，所以，所以f（x），故函数f（x）的值域为[﹣1，]．19．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，a∈R．（1）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值区间；（2）求关于x的不等式f（x）≤0的解集．解：（1）因为函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，由二次函数图象可知，f（x）的单调增区间为，因为f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以，所以a≤2，所以实数a的取值区间是（﹣∞，2]．（2）不等式f（x）≤0即为（x+1）[x﹣（a+1）]≤0，当﹣1＜a+1，即a＞﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤a+1}；当﹣1＝a+1，即a＝﹣2时，不等式的解集为{x|x＝﹣1}；当﹣1＞a+1，即a＜﹣2时，不等式的解集为{x|a+1≤x≤﹣1}．20．如图，某超市的平面图为矩形ABCD，超市门EF在边AD上，其中AD＝8m，AB＝5m，AE＝5.5m，EF＝1.6m．（1）求∠ECF的正切值；（2）若要在边CD上找一点M安装安防摄像头，使得对超市门的摄像视角∠EMF最大，求DM的长．解：（1）因为，，∠ECF＝∠ECD﹣∠FCD，所以tan∠ECF＝tan（∠ECD﹣∠FCD）＝＝．（2）设DM＝x（0＜x≤5），则，．因为∠EMF＝∠EMD﹣∠FMD，所以，＝＝．当且仅当，即x＝1.5时，tan∠EMF取得最大值．所以，当DM＝1.5m时，∠EMF最大．21．已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若对任意x∈（0，π），恒有，求实数a的取值范围．解：（1）证明：＝，其定义域为R，又，所以，f（x）是奇函数．（2）由，得，因为f（x）是奇函数，所以，即，又f（x）＝1﹣，y＝2x在R上为增函数，则y＝在R上为减函数，故f（x）在R上单调递增，所以，即a+a sin x≥cos2x+1，所以，对任意x∈（0，π），恒成立，设t＝1+sin x，t∈（1，2]．则＝．因为函数在t∈（1，2]上单调递减，所以，即，所以，实数a的取值范围是[2，+∞）．22．已知函数f（x）＝（a＞0，b＞0）．（1）若b＝1，且f（x）是减函数，求a的取值范围；（2）若a＝1，关于x的方程|f（x）﹣2|＝﹣b（x﹣1）有三个互不相等的实根，求b 的取值范围．解：（1）函数f（x）＝（a＞0，b＞0），当a＞0时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以a≥1，函数的周期T＝2a≥2，且单调递减，所以，解得，当时，满足，所以a的取值范围是．（2）设，，由题意，g（x）与h（x）的图象有三个不同的交点．①当b＞1时，，则g（x）在和上单调递减，在和上单调递增，h （x）在（0，2]上单调递减，如图1所示．当时，因为，，所以g（x）与h（x）的图象在上存在一个交点；当时，因为，，所以g（x）与h（x）的图象在上存在一个交点；当时，，g（x）≥g（2）＝1，所以g（x）与h（x）的图象在上不存在交点．因此，要满足题意，g（x）与h（x）的图象在上必存在一个交点，所以，即，所以，当时，g（x）与h（x）的图象有三个不同的交点．②当b＝1时，g（x）与h（x）的图象有两个不同的交点，不合题意，舍去．③当0＜b＜1时，设关于x的方程在（0，1）内的根为m，则，则，所以g（x）在（0，m]和上单调递减，在（m，1）和上单调递增，h （x）在（0，2]上单调递减，如图2所示．当x∈（0，m]时，因为，，所以g（x）与h（x）的图象在（0，m]上存在一个交点，当x∈（m，1）时，因为，，所以g（x）与h（x）的图象在（m，1）上不存在交点；当时，因为，，所以g（x）与h（x）的图象在上存在一个交点．因此，要满足题意，g（x）与h（x）的图象在上必存在一个交点，所以h（2）≥g（2），即．所以，当时，g（x）与h（x）的图象有三个不同的交点，综上，b的取值范围是．。

2020-2021学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设全集U={0,2,4,6,8,10}，A={4,8}，则C U A=()A. {4,8}B. {0,2,6}C. {0,2,6，10}D. {0,2,4,6,8,10}2.log214=()A. −2B. −12C. 12D. 23.已知sin(π3−x)=35，则cos(x+π6)等于()A. −45B. −35C. 45D. 354.函数f(x)=√log2x−1的定义域是()A. (0,+∞)B. [1,+∞)C. (1,2]D. [2,+∞)5.若角θ满足条件sinθcosθ<0，且sinθ−cosθ<0，则θ在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.设a=−log232,b=log26,c=log412，则()A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c7.函数的图象大致为()A. B.C. D.8.设y=x−lnx，则此函数在区间(0,1)内为()A. 单调递增B. 先增后减C. 单调递减D. 先减后增9.已知函数f(x)=x2+1，那么f(a+1)的值为()A. a2+a+2B. a2+1C. a2+2a+2D. a2+2a+110.已知函数f(x)满足f(1x )+1xf(−x)=2x(x≠0)，则f(−2)=()A. −72B. 92C. 72D. −92 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. sin 236π= ______ ．12. 设幂函数y =x α的图象经过点(2,√2)，则α的值为______．13. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且它的终边过点P(−45,35)，则sinα=________，cos(α+π)=________。