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第八章组合变形及连接部分的计算§8-1 概述由两种或两种以上基本变形的组合——组合变形研究方法：叠加法1.将作用的荷载向杆件形心分解或简化成几组荷载，使杆在每组荷载作用下，只产生一种基本变形；2.计算出每一种基本变形下的应力和变形；3.由叠加原理就可得到杆在组合变形下的应力和变形；§8-1 概述由两种或两种以上基本变形的组合——组合变形组合变形的概念4.确定危险截面，危险点的位置，危险点的应力状态，据此进行强度计算。
杆件处于线弹性变形内，且小变形情况下,常见的组合变形：两垂直平面内的弯曲拉（压）弯组合偏心压缩（拉伸）弯扭组合分析步骤：•外载分解：分解为基本变形组合•内力计算：画轴力、扭矩与（或）弯矩图，确定危险面•应力计算：各基本变形应力分析•强度计算：应力叠加，确定危险点的位置，应力状态A(y ，z )x e o yzfcFφF z F 一、正应力计算= F y （l -x ）= F = F z （l -x ）= F F y =F cos φF z =F sin φF外力内力M M )sin cos (z I y I M yz ϕϕσσσ+-=''+'=——横截面上任一点的应力计算公式。
M zM yA(y ，z )x e o yzfcFφy)sin cos (z I y I M yz ϕϕσσσ+-=''+'=yz y z +y=二、最大正应力和中性轴的位置000=+-z I y I y zϕϕsin cos ——中性轴方程（过截面形心的直线）α00tan y z α=tan zy I I φ=⋅φF斜弯曲时，中性轴与外力作用线不垂直。
F z F例：截面为由端受水平集中力I y ＝280.0cm （1）梁的最大拉应力和最大压应力；（2）固定端截面和2mx yF解：(1) 固定端截面为危险截面A (2)（3）挠度22zy w w w +=σσA(y ，z )oyz Fl拉伸（压缩）和弯曲组合变形。
第十一章组合变形一、教学目标1、掌握组合变形的概念。
2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。
3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。
4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。
二、教学内容1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。
2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。
3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。
4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。
5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。
6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。
7、简单介绍截面核心的概念和计算。
三、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。
难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时5学时六、讲课提纲(一)斜弯曲引言：*何谓平面弯曲？梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）**平面弯曲与斜弯曲的比较(a) (b) (c)项目平面弯曲斜弯曲受力特点p F 平面与过y轴(形心主惯性轴)的纵平面重合pF平面过形心(这里也是弯心)但不与过y轴的纵平面重合。
第五章弯曲内力一、教学目标和教学内容1．教学目标①掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念；②熟练掌握用截面法求弯曲内力；③熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图；④利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；⑤掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。
2．教学内容○1平面弯曲等基本概念；○2截面法及简便方法求弯曲内力；○3剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；○4用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；○5叠加法绘制剪力图和弯矩图。
二、重点难点1、平面弯曲的概念；2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；3、剪力图和弯矩图；4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。
三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时7学时五、讲课提纲1、平面弯曲的概念弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷或位于纵向平面内的力偶作用下，相邻两横截面绕垂直于轴线的轴发生相对转动的变形。
梁：以弯曲为主要变形形式的构件。
平面弯曲：杆变形之后的轴线所在平面与外力所在平面重合或平行的弯曲变形。
2、梁的计算简图 2.1几何结构的简化以梁的轴线来代替梁，忽略构造上的枝节，如键槽、销孔、阶梯等。
2.2载何的简化载荷按作用方式可以简化成三类 1、集中力2、分布载荷⎪⎩⎪⎨⎧按体积分布按面积分布按长度分布3、集中力偶2.3约束的简化三种基本形式 1、可动铰支座 2、固定铰支座 3、固定端2.4静定梁及其分类1、简支梁2、外伸梁3、悬臂梁4、多跨静定梁3、梁的内力——剪力和弯矩3.1、弯曲内力根据梁的平衡条件，可以求出静定梁在载荷作用下的支反力，再应用载面法，求得梁的各个载面上的弯曲内力。
11,0,0P R Q Q P RY A A-==--=∑)(0)(,011a x P x R M M a x P x R MA A o--==+-+-=∑ 3.2 Q 、M 正负号规定：使梁段绕其内任意点有顺时针转动趋势的剪力规定为正，反之为负，如图所示； 使梁段的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负，如图所示。
第十一章组合变形一、教学目标和教学内容1．教学目标掌握组合变形的概念。
掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。
正确区分斜弯曲和平面弯曲。
了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。
2．教学内容讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。
举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。
讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。
讲解弯曲和扭转组合变形内力计算、确定危险截面和危险点、强度计算。
讲解拉伸（压缩）和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。
讲解偏心拉伸（压缩）组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。
简单介绍截面核心的概念和计算。
二、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。
难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：1）、危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；2）、危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。
三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时7学时五、讲课提纲1、概述实际工程中，许多杆件往往同时存在着几种基本变形，它们对应的应力或变形属同一量级，在杆件设计计算时均需要同时考虑。
本章将讨论此种由两种或两种以上基本变形组合的情况，统称为组合变形。
图11.1中，（a）图示烟囱，自重引起轴向压缩变形，风荷载引起弯曲变形；（b）图示柱，偏心力引起轴向压缩和弯曲组合变形；（c）图示传动轴和（d）图示梁分别发生弯曲与扭转、斜弯曲组合变形。
图11.1对于组合变形的计算，首先按静力等效原理，将荷载进行简化、分解，使每一种（组）荷载产生一种基本变形；其次，分别计算各基本变形的解（内力、应力、变形），最后综合考虑各基本变形，确定危险截面和危险点，叠加其应力、变形，进行强度和刚度计算。
2、斜弯曲平面弯曲：横向力作用平面通过梁横截面弯心连线，且与横截面形心主惯性轴所在纵面重合或平行，梁的挠曲线所在平面或者与横向力作用平面重合或者与之平行。
斜弯曲：横向力通过梁横截面的弯心，不与形心主惯性轴重合或平行，而是斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。
例：图11.2中给出几种常见截面，其中图（b）、（c）、（d）、（f）是斜弯曲；图（a ）是平面弯曲；图（e ）是斜弯曲与扭转的组合变形。
图11.2现以图11.3示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算。
设自由端作用一个垂直于轴线的集中力p F ，其作用线通过截面形心（也是弯心），并与形心主惯性轴y 轴夹角为ϕ。
图11.32.1内力计算首先将外力分解为沿截面形心主轴的两个分力：ϕcos ⋅=p py F Fϕsin ⋅=p pz F F其中，py F 使梁在xy 平面内发生平面弯曲，中性轴为z 轴，内力弯矩用M z 表示；pz F 使梁在xz 平面内发生平面弯曲，中性轴为y 轴，内力弯矩用M y 表示。
在应力计算时，因为梁的强度主要由正应力控制，所以通常只考虑弯矩引起的正力，而不计切应力。
任意横截面mn 上的内力为ϕϕcos cos )()(M x l F x l F M p py z =-=-⋅=ϕϕsin sin )()(M x l F x l F M p pz y =-=-⋅=式中，)(x l F M p -=是横截面上的总弯矩。
22y z M M M +=2.2应力分析横截面mn 上第一象限内任一点k （y,z ）处，对应于z M 、y M 引起的正应力分别为y I M y I M zz z ϕσcos '-=-= z I M z I M yy yϕσsin -=-='' 式中y I 、z I 分别为横截面对y 、z 轴的惯性矩。
因为'σ和σ''都垂直于横截面，所以k 点的正应力为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''+=y z I z I y M ϕϕσσσsin cos '（11.1）注意：求横截面上任一点的正力时，只需将此点的坐标（含符号）代入上式即可。
2.3中性轴的确定设中性轴上各点的坐标为（0y ，0z ），因为中性轴上各点的正应力等于零，于是有0sin cos 00=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ϕϕσy z I I M z y 即0sin cos 00=+ϕϕy z I z I y（11.2）此即为中性轴方程，可见中性轴是一条通过截面形心的直线。
设中性轴与z 轴夹角为α，如图11.4示，则ϕαtan tan 00y z I I z y ==上式表明：①中性轴的位置只与ϕ和截面的形状、大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，z y I I ≠，则ϕα≠，即中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正多边形，通过形心的轴都是形心主轴，z y I I =，则α=ϕ，此时梁不会发生斜弯曲。
2.4强度计算危险点发生在弯矩最大截面上距中性轴最远的地方，对于图11.3示梁，两个方向的弯矩z M 、y M 在固定端截面上最大，所以危险截面为固定端截面。
z M 产生的最大拉应力发生在AB 边上，y M 产生的最大拉应力发生在BD 边上，所以梁的最大拉应力发生在B 点。
同理最大压应力发生在C 点，因为此两点处于单向拉伸或单向压缩应力状态，可得强度条件为][max max max σσ≤+=y y z z W M W M（11.3）若截面形状无明显的棱角时，如图11.4（b ）示，则作中性轴的平行线并与截面相切于1D 、2D 两点，此两点的正应力即为最大正应力。
五、变形计算现用叠加原理计算图11.3示梁自由端挠度ωpy F 、pz F 分别引起梁在xy 、xz 平面内的自由端挠度为ϕωcos 3333EIz l F EI l F p z py y ==ϕωsin 3333y p y pz z EI l F EI l F ==则自由端的总挠度为22z y ωωω+= (矢量和） （11-4）设总挠度ω与y 轴的夹角为θ，则αϕωωθtan tan tan ===yz y z I I 可见：①一般情况下，y z I I ≠，ϕθ≠，即挠曲线平面与荷载作用平面不重合；②αθ=，即ω方向与中性轴垂直。
3、弯扭组合变形一般机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力的作用，发生扭转与弯曲组合变形。
现以圆截面的钢制摇臂轴（如图11.5所示）为例说明弯扭组合变形时的强度计算方法。
图11.5AB 轴的直径为d ，A 端为固定端，在手柄的C 端作用有铅垂向下的集中力p F 。
3.1外力简化和内力计算将外力p F 向截面B 形心简化，得AB 轴的计算简图，如图11.5（b ）所示。
横向力p F 使轴发生平面弯曲，而力偶矩a F T p =使轴发生扭转。
作AB 轴的弯矩图和扭矩图，如图11.5（c ），（d ）所示，可见，固定端截面为危险截面，其上的内力（弯矩z M 和扭转T M ）分别为l F M p z =a F T M p T == (a)3.2应力计算画出固定端截面上的弯曲正应力和扭转切应力的分布图，如图11.5（e ）所示，固定端截面上的1K 和2K 点为危险点，其应力为z Z W M =σ p TW M =τ (a) 式中，323d W z π=，163d W p π=，它们分别为圆轴的抗弯和抗扭截面模量。
因为圆轴的任一直径都是惯性主轴，抗弯截面模量都相同（y z W W W ==），故均用W 表示。
1K 点的单元体如图11.5（f ）所示。
3.3强度条件危险点1K （或2K ）处于二向应力状态，其主应力为223122τσσσσ+⎪⎭⎫ ⎝⎛±= (b) 02=σAB 轴为钢材（塑性材料），在复杂应力状态下可按第三或第四强度理论建立强度条件。
若采用第三强度理论，则轴的强度条件为[]σσσσ≤-=313r将式（b ）代入上式，得到用危险点1K （或2K ）的正应力和剪应力表示的强度条件[]στσσ≤+=2234r将式（a ）中的σ和τ代入上式，并注意到圆截面的W W p 2=，可得到用危险截面上的弯矩和扭矩表示的强度条件：[]σσ≤+=2231T z r M M W（11.5）若采用第四强度理论，则轴的强度条件为[]στσσ≤+=2243r或 []σσ≤+=22475.01T z r M M W（11.6）上面式（11.5）和式（11.6）中z M 应理解为是危险截面处的组合弯矩M ，若同时存在z M 和y M ，则组合弯矩为：22y z M M M +=。
4、拉伸（压缩）与弯曲拉弯、压弯组合变形，是工程中经常遇到的情况，图11.1（a ）（b ）示都是压弯组合变形的实际例子，现以图11.6（a ）示矩形截面杆为例分析拉弯、压弯组合变形的强度计算。
图11.6力1p F 作用在纵向对称性平面xy 内，引起杆件发生平面弯曲变形，中性轴是z 轴；2p F 引起杆件发生轴向拉伸变形。
内力：2p N F F =＝常数；)(1x l F Mz p --=，l F M M p A z z 1max ==。
所以此杆的危险截面为固定端截面。
应力：轴向拉伸正应力为AF A F p N 2'==σ，横截面上均匀分布 弯曲正应力为y I x l F y I M zp z z )(2--==''σ，横截面上呈线性分布 叠加可得任一横截面上任一点的正应力为y I x l F A F z p p )('12--=''+=σσσ （11.7）所以，杆件的最大、最小正应力发生在固定端截面（危险截面）的上、下边缘a 、b 处，其值为z p p W l F AF 12max +=σ （＞0，为拉应力） z p p W l F A F 12min -=σ （可能为拉应力，可能为压应力）所以固定端截面上的正应力分布如图11.7（b ）所示。
因为危险点处于单向应力状态，故其强度条件为[]σσ≤max对于工程中常见的斜梁[图11.7（a ）]，亦可按上述方法分析。
