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材料力学组合变形的强度问题.

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材料力学组合变形习题

材料力学组合变形习题

材料力学组合变形习题L1AL101ADB （3）偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案：（A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ；（C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1BL102ADB （3）三种受压杆件如图。

设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案：（A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ；（C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1BL103ADD （1）在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案：（A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1AL104ADC （2）一空心立柱，横截面外边界为正方形， 内边界为等边三角形（二图形形心重 合）。

当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案：（A ）斜弯曲与中心压缩组合； （B ）平面弯曲与中心压缩组合；（C ）斜弯曲； （D ）平面弯曲。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（B ）1BL105ADC （2）铸铁构件受力如图所示，其危险点的位置有四种答案：（A ）①点； （B ）②点； （C ）③点； （D ）④点。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（D ）1BL106ADC （2）图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处的最大应力的增大倍数有四种答案：（A ）２倍； （B ）４倍； （C ）８倍； （D ）１６倍。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1BL107ADB （3）三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案：（A ）max1σ＜max 2σ＜max3σ； （B ）max1σ＜max 2σ＝max3σ；（C ）max1σ＜max3σ＜max 2σ； （D ）max1σ＝max3σ＜max 2σ。

工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算

工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算


解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
材料力学第10章 组合变形

材料力学第10章 组合变形


因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
大学材料--2组合变形

大学材料--2组合变形


xy
第七章
一、解析法
y
y
应力状态分析
已知： x , y , x y , 求：任意斜截面上应力
§7-2 平面应力状态分析
y x


x
α：截面外法线 n 与 x 轴之间的夹 角，x 到 n 逆针向转动为正。
x
A x A cos , A y A sin
45 Y 45

( 45 , 45 )

2 2 3 ( ) 2 2




X


第七章
y 40 z 30 50
第七章
应力状态分析
§7-2 平面应力状态分析
一、画应力圆的一般步骤： 1、根据三个已知应力的大小，建立σ~τ直角坐标系； 2、在σ~τ坐标系中，确定x 、y 面所对应的两点Dx、Dy ； 3、连接两点Dx、Dy ，交横轴得圆心C点； 4、以C点为圆心，以CDx为半径画圆，即为应力圆； 5、证明。 y Dx ( x , x )
y
y x
x
C
x
Dy ( y , y )

第七章
y x x
应力状态分析

x 从Dx 点出发， 根据单元体α D Dx ( x , x ) 角的转向，沿 圆周转动2α圆 2 20 心角，得到Dα C 点，该点的坐 标即为α截面 上的应力。
§7-2 平面应力状态分析
第七章
应力状态分析
x
§7-1 应力状态的概念
应力状态的分类：（不严格定义） 单向应力状态：某两对面上的应力为零 平面应力状态：某一对面上的应力为零 三向应力状态：各对面上的应力均不为零
14-1组合变形-材料力学

14-1组合变形-材料力学


Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y

FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z

FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采

"

Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置


M (
Iz
yo

sin
Iy
zo )

0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B

M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1

3


B
2

( B
2
)2


2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3

入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
材料力学 第11章 组合变形习题集

材料力学 第11章 组合变形习题集


横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
材料力学组合变形的强度计算第2节 拉压与弯曲的组合变形

材料力学组合变形的强度计算第2节 拉压与弯曲的组合变形


=
+
=
1

F1 A
+
2

M max Wz
4）强度计算
因危险点的应力是单向应力状态，所以其强度
条件为：
max

F1 A

M max Wz
[ ]
若为F1 压力，则危险截面上、下边缘处的正应
力分别为：
max

F1 A

M max Wz
，
m
in


F1 A

M max Wz
此时，危险截面的下边缘上的各点是危险点，
查附表，选两 根 18a 槽钢
注意 检验： max 144 MPa [ ] 140 MPa
虽然最大应力大于许用应力，但其值不超过许 用应力的5%，在工程上是允许的。
补充例 如图所示的钩头螺栓中，若已知螺纹内径 d =10mm，偏心距e =12mm，载荷F =1kN，许用应力
[ ]=140MPa 。试校核螺栓杆的强度。
为压应力。它的强度条件为：

max min

F1 A
Mmax Wz
[ ]
例9-1 夹具如图示，已知 F 2.0 kN ，l 60 mm ， b 10 mm，h 22 mm。材料许用正应力[ ] 160 MPa 。
试校核夹具竖杆的强度。
解：（1）外力分析
竖
夹具竖杆所受载荷是偏心载荷， 杆

F e Wz
135MPa
[ ]
b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140
MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
解： 1）外力分析
n
材料力学第六版答案第10章

材料力学第六版答案第10章

第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。

（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。

10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。

试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。

解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。

材料力学第七章组合变形

材料力学第七章组合变形


P2=406N
外力向形心简化并分解 弯扭组合变形
每个外力分量对应 的内力方程和内力图
M (x)
M
2 y
(
x)M
2 z
(
x)
解续
MMZz ((NNmm)) 71.25
40.6
MMyy ((NNmm)) MT n (（NNmm)）
7.05 120 Mn
+
MM ((NNmm)) Mmax=71.3
41.2
核心边界上的一个角点；
截面角点边界
核心边界上的一条直线；
截面曲线边界
核心边界上的一条曲线。
例：
求右图示矩形截面的截面核心。
解：取截面切线 l1作为中性轴，其截距：
b
az
b 2
ay
4
3
a
并注意到： iz2 Iz / A h2 /12 iy2 I y / A b2 /12
故
h
5 21 z
34
ay
iz2 yP
az
iy2 zP
当偏心外力作用在截面 形心周围一个小区域内， 而对应的中性轴与截面周 边相切或位于截面之外时， 整个横截面上就只有压应 力而无拉应力。
2.截面核心的性质及其确定
(1)性质：是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺
寸有关，而与外力无关。
(2)确定：根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标
cmax
B
Fp A
MB Wz
Fp 6M B 13.4MPa bh bh2
在 B 截面右边缘处
3、最大拉应力
t
max
Fp A
MB Wz
3.4MPa
4、最大剪应力
《材料力学》第八章组合变形

《材料力学》第八章组合变形

解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学 第十章组合变形(1,2,3)

材料力学 第十章组合变形(1,2,3)

C 10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z

z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P

CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m

FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力

材料力学组合变形的强度计算第3节 弯曲与扭转的组合变形

• 以曲拐 AB 杆为例，说明杆的弯曲与扭转这种组 合变形时的强度计算方法和步骤
1）外力分析
=
+
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— A+ 截面
M max Fl M T M B Fa
k、k 两点为危险点
M max
Wz
MT
WP
3）强度计算
危险点的应力是二向应力状态，轴类零件一般都采 用塑性材料——钢材，因此应选用第三或第四强度理 论建立强度条件，即：
r3

32
F
l2 πd 3
R2
[ ]
按第四强度理论得到强度条件为
r4 32 F
l 2 0.75 R2 πd 3
[ ]
例9-3 卷扬机结构尺寸如图所示，l = 0.8m，R =0.18m，AB轴径 d = 0.06m。已知电动机的功率 P = 22kW，轴AB的转速 n =150r/min，轴材料的许用
应力[ ] = 100MPa，试校核AB轴的强度。
解： 1）外力分析 — 计算电动机输入的力偶矩 M0
M0

9550
P n

9550 22 150
Nm
1.4
k
N m
卷扬机的最大起重量 G M0 1.4 kN 7.78 kN R 0.18
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— C_截面
1 3


2



2
2


2
2 0
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]

WZ

d3
32
，WP

材料力学A_(组合变形的概念与分析方法, 强度理论)_2学时


（3）第三类危险点——如，二向应力状态 如：弯曲时
选用不同强度理论时的相当应力为： r1 1 则相应的强度 r 2 1 ( 2 3 ) (1 ) 条件为： r 3 1 3 2



或



r4
1 2 2 [ 4 2 ] 3 2
10
1.第二强度理论（最大拉应变理论） 解释断裂失效，适用于脆性材料。 某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 1 ） 是破坏的原因。当 1 b 时破坏发生。
1
3.第三强度理论（最大切应力理论） 解释屈服失效，适用于塑性材料。 某点的最大切应力是引起该点屈服的原因。 当 max 强度条件为： (6.2)
沿 C+ 截面切开： 剪力 弯矩 F
例题
例 题 6-1
y
C
§6 组合变形
F
y z
2Fa x
C
FSxc F
z
D
M zC Fa
MzC+ zC+ FSxC+ C
D
F
37
FSz
(2)图示结构，F力沿z 方向作用，求A截面上 L 的内力分量。 D A B 解： 沿A截面切开， L 2L 取整体为对象， F 列平衡方程： C y A 截面上的内力分量 L T A x D B 剪力 FSz F 方向 L 2L 弯矩 M y 2 FL 如图 z My 扭矩 T FL x
r4
1
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
不改变体积，但改变形状
3
v
1 11 22 22 33 33 2 1 1

知识资料材料力学知识资料应力状态分析和强度理论(三)组合变形压杆稳定(新版)

需要课件请或强度理论（一）强度理论的概念1．材料破坏的两种类型材料破坏型式不仅与材料本身的材质有关，而且与材料所处的应力状态、加载速度温度环境等因素有关。

材料在常温、静载荷下的破坏型式主要有以下两种：脆性断裂材料在无显然的变形下骤然断裂。

塑性屈服(流动) 材料浮上显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。

2．强度理论在复杂应力状态下关于材料破坏缘故的假设，称为强度理论。

研究强度理论的目的，在于利用容易应力状态下的实验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。

（二）四个常用的强度理论四个常用强度理论的强度条件可以统一地写成式中σr称为相当应力，其表达式为最大拉应力理论σr1＝σ1(第一强度理论)最大拉应变理论σr2＝σ1－ν(σ1+σ2)(第二强度理论)最大剪应力理论σr3＝σ1－σ3(第三强度理论)形状改变比能理论(第四强度理论)[σ]为材料的许用应力。

第1 页/共18 页对于工程上常见的一种二向应力状态如图5—9—3所示，其特点是平面内某一方向的正应力为零。

设σy=0，则该点的主应力为代入(5—9-15)式得：第三强度理论(最大剪应力理论)的相当应力为第四强度理论(形状改变比能理论)的相当应力为最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。

强度理论的选用在三向拉应力作用下，材料均产生脆性断裂，故宜用第一强度理论；而在三向压缩应力状态下，材料均产生屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。

当材料处于二向应力状态作用下时：脆性材料易发生断裂破坏，宜用第一或第二强度理论；塑性材料易发生塑性屈服破坏，宜用第三或第四强度理论。

[例5-9-1] 已知构件上某点的应力单元体如图5-9-4(a)，(b)所示(图中应力单位为MPa)。

试求指定斜截面上的应力。

[解] 图示单元体处于平面应力状态。

(1)在图示坐标中代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得σα、τσ方向如图中所示。

材料力学 9-1组合变形


a
a
斜弯曲（双向弯曲） 斜弯曲（双向弯曲） 矩形截面梁的斜弯曲: ①. 矩形截面梁的斜弯曲 a . 危险点 危险点:
M Z max ⋅ Ymax σ a = σ max = IZ M Y max ⋅ Z max ≤ [ σ ] + IY
b . 中性轴及其方程 中性轴及其方程:
MZ ⋅ Y0 M Y ⋅ Z0 + =0 IZ IY
图示链条中的一个链环，受拉力P作用 已知： 作用， 例3. 图示链条中的一个链环，受拉力 作用，已知： d，e，试求最大应力。 ， ，试求最大应力。 解：(1) 外力分析
P
(2) 内力分析 N M
d
N=P， M=Pe ， 属拉弯组合变形 (3) 应力分析
e
e
P
P
(3) 应力分析
d
N M
σ max = σ M + σ N
②.圆形截面梁的双向弯曲: 圆形截面梁的双向弯曲:
仍属于平面弯曲。 仍属于平面弯曲。 危险点： 危险点：
σ (a)
Pl Pl − = σ max = , σ ( b ) = σ max = WZ WZ
+
∴ σ max ≤ [σ
]
属单向应力状态。 属单向应力状态。
z
P
x
x F
y
中性轴及危险点：
例5. 已知 E , ε a , ε b , ε c , a , 求 PX , PY , PZ 解: 1) a、b、c三点都属于单向应力状态 、 、 三点都属于单向应力状态 2)
2、相当应力计算(Calculating equal stress) 相当应力计算(Calculating 第三强度理论, 第三强度理论,计算相当应力

材料力学-第八章组合变形


M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z

M
y sin
z

cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A


F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My

Fa 2
FN
2
max


FN A

My Wy




F 2a2

Fa / 2 2a2 a2 /
6


2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1

材料力学 强度理论与组合变形

第八章强度理论与组合变形§8-1 强度理论的概念１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。

例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限σ，s铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度σ。

图9-1a,bb２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。

例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。

图（9-2a,b）例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。

图（9-3a ）例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。

图９－３b３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。

建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。

３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。

§8-２四个强度理论１．最大拉应力准则（第一强度理论）基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。

表达式：u σσ=+max复杂应力状态321σσσ≥≥， 当01>σ， 1m a xσσ=+简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力b u σσσ==1，032==σσ 最大拉应力脆断准则： b σσ=1(9-1a)相应的强度条件：[]bb n σσσ=≤1(9-1b)适用范围：虽然只突出 1σ 而未考虑 32,σσ 的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。

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4）若截面为曲线周边时， 可作//于中性轴的切线， 切点为 max处

z
中性轴
y
强度计算
1）危险截面：当x=0时，M Z M Y 同时取最大
故固定端截面为危险面
2）危险点：危险截面上 D1 D2 点 强度计算式：
max M (
cos sin
Iz
y1, 2
sin cos z1, 2 ) Iy
故中性轴的方程为
cos sin y0 z0 0 Iz Iy
中性轴是一条通过截面形心的直线
y0 I z tan tan z0 Iy
为中性轴与z轴夹角
D1

z z y
D2

y
中性轴
注：
1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、 受压两个区域； 3）同一横截面上 发生在 max 离中性轴最远处点D1、D2。
对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面， 最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据 梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，
无需确定中性轴位置。
max
M y max M z max ymax z max Iz Iy
M z max M y max Wz Wy
③将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点)
④对危险点进行应力分析(1≥2≥3) ⑤用强度准则进行强度计算
将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变
形下的内力和应力，然后进行应力叠加。
求解步骤 ①外力分解和简化。 ②内力分析——确定危险面。 ③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
曾经请同学们复习2-6章关于基本变形的论述，并自行总结： 1、轴向拉（压）
2、扭转 3、弯曲 4、剪切 这四种基本变形的： 内力的名称及符号、内力及内力图； 应力的计算公式和分布规律； 最大应力的公式和强度条件； 变形和应变的公式和刚度条件。
第8章
组合变形
§8-1 组合变形的概念
一、概念
1.组合变形：

max
M z max M y max [ ] Wz Wy
例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。
例作用的独立性原理出发，在线弹性范围 内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所 引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。 实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精
确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下
的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对 弹性体系所引起的总应力和总变形。
重申基本研究步骤
1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷， 使每一组只引起一种基本变形。 2、分别计算：按基本变形求解每组载荷作 用下的应力、位移。
3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的 解。
§8-2 非对称弯曲（斜弯曲） 教材12-1
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。 2.分类------①两个平面弯曲的组合(斜弯曲)
②拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压
③扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合 3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，
其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。

Myz Iy

M z Iy
sin
z
y
Py Mz
z
y
Pz
My
C点总应力：
y z c M cos sin I I y z
确定中性轴的位置
设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则由 中性轴上
0即
y0 z 0 0M cos sin I I y z
梁在P1作用下绕z轴 弯曲（平面弯曲），在 P2作用下绕y轴弯曲 （平面弯曲），故此梁 的弯形为两个平面弯曲 的组合——斜弯曲。受 力简图如图示。
受力简图
（二）内力分析
受力简图
分别绘出Mz(x) 和My(x)图如图示。 两个平面内的最大 弯矩都发生在固定 端A截面上，A截面 为危险截面。
二、组合变形工程实例
烟囱， 传动轴 吊车梁的立柱
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
组合变形工程实例----以下是什么组合？
三、基本解法(叠加法)
1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起 的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加； 2.基本解法： ①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一 种基本变形 ②分别计算各基本变形下的内力及应力
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面 和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平 面内的弯曲）
当外力作用面不通过主惯 性平面时,则弯曲变形后,梁
Fx F y Fy
z
的轴线不在外力作用面内。
斜弯曲——荷载不作用在构件的纵向对称面内， 梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
矩形截面梁的斜弯曲
应力计算
中性轴的位置
1、简化外力：
Pz P sin Py P cos
z
Pz
C
x面上的弯矩： M ( x) P(l x)

Py
y
如何求C点的正 应力？
x面上的弯矩： M ( x) P(l x)
Pz P sin 以y为中性轴弯曲 Py P cos 以z为中性轴弯曲
sin M y Pz (l x) P cos (l x) M cos sin
cos cos M z Py (l x) P sin (l x) M sin
2、按基本变形求各自应力：
M z y My cos Iz Iz