人教版高中数学选修3-3球面上的几何第八讲 欧式几何与非欧几何

高中数学选修3-3：球面上的几何我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。

因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。

例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。

在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。

本专题将使学生了解一个新的数学模型--球面几何，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用，通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型。

类比是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想像和几何直观能力是学好这个专题的关键。

一、内容与要求1.通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。

2.通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。

例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。

3．通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。

4.了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。

5.通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s, s.a.s, a.s.a。

6.理解单位球面三角形的面积公式（S=A＋B＋C-π），由此体会球面三角形内角和大于180O。

7.了解球面三角形全等的a.a.a定理。

8.利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。

9.利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（）和球面上的勾股定理（即当C=π/2时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理（）。

10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。

欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。

欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。

19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。

从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。

特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。

凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。

如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。

1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。

指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。

在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。

根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。

欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。

《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。

在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。

在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。

欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。

也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。

人教版高中选修3-3三欧氏几何与非欧几何的意义课程设计一、课程设计目标本节课程是高中数学选修3-3的一部分，主要通过讲解三欧氏几何和非欧几何的概念，来使学生了解到欧氏几何的局限性以及非欧几何在现实中的应用。

本节课程的目标如下：1.让学生了解欧氏几何的概念及其适用范围；2.让学生了解三角形、圆等图形的性质；3.让学生了解非欧几何的概念；4.让学生了解非欧几何在现实中的应用。

二、教学内容本课程将分为三个部分——欧氏几何、三角形的性质、非欧几何和其应用。

具体教学内容如下：1. 欧氏几何1.欧氏空间的定义；2.欧氏空间的二公理；3.线性空间和欧氏空间的区别；4.欧氏几何的适用范围。

2. 三角形的性质1.三角形的分类；2.三角形的内角和定理；3.三角形的外角和定理；4.特殊三角形的性质。

3. 非欧几何和其应用1.曲率和曲率半径的定义；2.常见的非欧几何模型；3.非欧几何在现实中的应用。

三、教学方法与手段本节课程采用多种教学方法和手段。

具体包括：1.介绍欧氏几何的概念和适用范围，通过掌握欧氏几何的定义和二公理，引出欧氏几何的局限性；2.以三角形为例，讲解三角形的分类和性质，结合实例，让学生理解三角形的性质；3.接着介绍非欧几何的概念，让学生了解非欧几何和欧氏几何的区别，包括曲率和曲率半径的概念等；4.最后，让学生了解非欧几何在现实中的应用，如GPS导航等；5.课堂上，教师可以采用讲解、示范、演示等多种教学方法，例如黑板教学、实物展示、PPT等。

四、教学重点与难点1. 教学重点1.学生掌握欧氏几何的概念和二公理；2.学生了解三角形的性质和计算方法；3.学生了解非欧几何的概念和区别；4.学生了解非欧几何在现实中的应用。

2. 教学难点1.让学生意识到欧氏几何的局限性；2.让学生理解非欧几何的概念和区别；3.让学生了解非欧几何在现实中的应用。

五、教学评价方式本节课程的评价方式主要包括上课听课、课堂回答问题、课后作业和期中、期末考试等多种方式，其中，课堂回答问题和课后作业占比较大，以检验学生对于所学内容的理解情况。

欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。

关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。

十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。

1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。

一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。

面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。

最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。

人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。

人教版高中选修3-3 二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型课程设计一、课程背景在高中数学课程中，非欧几何模型作为数学新领域的重要概念，是学生认识三维空间和二维平面的重要方法之一。

其中，庞加莱模型是一种非欧几何模型，可以直观地描绘曲率不为零的曲面，具有相对论和流形理论中的广泛应用，对学生未来学习科学领域具有重要意义。

本课程设计围绕着二欧氏平行公理与非欧几何模型展开，以庞加莱模型为主要内容，让学生真正感受到数学的奥妙，拓展他们的数学视野。

二、课程目标本课程旨在：1.使学生掌握欧几里得几何学中的二欧氏平行公理；2.使学生了解非欧几何模型的概念及其与欧几里得几何学的区别；3.使学生掌握庞加莱模型的概念和应用。

三、课程内容3.1 二欧氏平行公理二欧氏平行公理是欧几里得几何学基本假设之一，它指出经过一点的平面外一条直线，与经过该点的直线在同侧的那边除了原来的那条直线外，还唯一存在另一条直线与原来的直线平行。

在本课程中，我们将介绍二欧氏平行公理的内容和证明方法，用以为后面的教学打下基础。

3.2 非欧几何模型与欧几里得几何学不同，非欧几何模型是指在不满足二欧氏平行公理的情况下，通过对空间进行拓扑学、几何学和计算机图形学等多方面分析，得到不同的模型。

本课程中，我们将介绍非欧几何模型的分类、概念及其与欧几里得几何学的区别。

3.3 庞加莱模型庞加莱模型是一种非欧几何模型，能够直观地表现曲率不为零的曲面。

在本节课程中，我们将学习到庞加莱模型的概念、原理和建模方法，并讲解它在数学、科学领域的应用。

四、课程设计4.1 授课方法本课程采用“讲授+练习”的模式进行教学。

讲授环节通过讲解概念、原理及数学公式，加深学生对于知识点的认识，让学生了解相关理论，并加深对于知识点的理解；练习环节主要为学生提供一些课外题目，巩固教学内容，培养学生的自信心和实际操作能力。

4.2 学生评价方法学生的评价方式主要采用“自评+互评”的方式，鼓励学生对于自己的表现进行评价，并互相交流和提出意见。

欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型【教学目标】1．掌握庞加莱模型。

2．熟练运用庞加莱模型解决具体问题。

3．亲历庞加莱模型的探索过程，体验分析归纳得出庞加莱模型在现实中的应用，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】重点：庞加莱模型的理解。

难点：庞加莱模型的实际应用。

【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习庞加莱模型，这节课的主要内容有庞加莱模型，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解庞加莱模型内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习平面庞加莱模型，它的具体内容是：它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：证明图中的双曲线l与l1在双曲平面D上不想交。

解析：教师板书根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。

三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了庞加莱模型的理解与应用：（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．在欧氏平面上取一个圆记为C，我们规定圆内的点（不考虑圆外和圆周上点）称为“非欧点”，圆内弦称为“非欧直线”。

这样在圆C内部就建立起一个双曲几何的模型，这个模型我们称为克莱因（Klein）模型。

你能说明在这个模型内，“过直线外一点，有两条直线与该直线不相交”这个结论成立吗？2．利用解析几何的方法证明，双曲平面上不存在矩形。

欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型【学习目标】知识与能力：1．感知庞加莱模型在现实中的应用。

2．掌握庞加莱模型。

3．了解庞加莱模型的内涵。

过程与方法：1．通过观察，了解简单多面体的欧拉公式与平面欧拉公式的异同点。

2．进一步了解简单多面体的欧拉公式在实际生活中的应用。

情感态度与价值观：1．让学生从类比中学习新的知识。

2．认识实际生活中大量存在的现象和规律。

3．培养合作交流意识。

【学习重难点】重点：庞加莱模型的理解。