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高中数学选修3-3：球面上的几何我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。
因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。
例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。
在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。
本专题将使学生了解一个新的数学模型--球面几何，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用，通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型。
类比是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想像和几何直观能力是学好这个专题的关键。
一、内容与要求1.通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。
2.通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。
例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
3．通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。
4.了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。
5.通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s, s.a.s, a.s.a。
6.理解单位球面三角形的面积公式（S=A＋B＋C-π），由此体会球面三角形内角和大于180O。
7.了解球面三角形全等的a.a.a定理。
8.利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9.利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（）和球面上的勾股定理（即当C=π/2时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理（）。
10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
3.球面几何知识的应用-人教B版选修3-3 球面上的几何教案一、教学目标1.掌握球面上的基本概念和基本定理。
2.能够进行球面上的测量，求解球面上的图形的周长、面积等相关内容。
3.熟练掌握球面上的几何知识的应用，能够运用所学知识解决现实生活和工程问题。
4.增强学生对于几何形状的理解和感性认识，培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1.球面上的基本概念和基本定理。
2.对于球面上的测量进行规范化、标准化处理。
3.熟悉应用球面几何解决实际问题，加强练习分析问题、整合问题和解决问题的能力。
三、教学内容及流程3.1 球面上的基本概念和基本定理1.球面上的基本概念–球面：由一个圆在空间绕着圆的一条直径旋转形成的几何图形，该直径被称为球的轴线，该圆被称为球的截面–球的重心：球的轴线中心点–圆弧：球面上的弧，球面上的任何一条弧都可以当做一个圆的一部分–曲率半径：球面上的曲面与切平面之间的距离的倒数2.球面上的基本定理–任意两点之间的最短距离是弧长，两点之间在球面上的距离等于它们之间的圆心角所对应的弧长。
–一条弦等分原点的圆周，那么该圆周就是最小的。
–一条轨迹线上的两点，其连线始终与地面保持相同的倾斜角度。
3.2 球面上的测量1.规范测量单位在球面上进行测量时，距离的国际单位是弧度，1弧度=57.3度，用角度测量球面上的距离是错误的，应该使用弧长进行度量。
2.测定球面上的周长和面积为了测量球的周长和面积，需要进行角度度量，并根据半径大小进行计算。
3.3 熟练掌握球面上几何知识的应用1.应用实例分析通过实际案例，来练习教材中所讲的内容，帮助学生能够运用所学知识解决现实生活和工程问题。
四、教学方法及学生活动安排1.讲授法：针对教材内容进行讲解，让学生了解掌握球面上的基本概念和基本定理。
2.活动法：组织学生，在幻灯片或教学板上完成相关实例，检验学生掌握的知识和技能。
3.实践法：引导学生实际操作球面的测量过程，巩固所学知识和技能。
人教版高中选修3-3第三讲球面上的基本图形教学设计
一、教学目标
1.掌握球面上基本图形的概念、性质和应用。
2.学会使用球面上基本图形的相关公式计算问题。
3.能够应用球面上基本图形的知识解决实际问题。
二、教学重点
1.球面上基本图形的性质和公式推导。
2.球面上基本图形的计算方法和应用。
三、教学难点
1.球面上基本图形的三维结构和表达方式。
2.球面上基本图形的公式推导过程和应用方法。
四、教学过程
1. 导入与激发兴趣（5分钟）
为了让学生尽快进入状态，我们需要通过一些实例来引起学生兴趣，比如向学生展示球形场馆、球面上的曲线和图形等。
这可以让学生了解到球面的性质和三维结构，为下面的教学打下基础。
2. 球面上的基本概念（20分钟）
2.1 球面的性质
首先，我们需要向学生介绍球面的基本概念和性质，如球心、半径、表面积和体积等，并通过公式来计算球面的基本参数。
这样可以让学生建立对球面的基本认知，为下面的教学奠定基础。
1。
球面三角形全等的条件1. 引入在前面的课程中，我们已经学习了平面几何中三角形全等的条件。
那么在球面上，什么是球面三角形的全等呢？本篇教案将会介绍球面三角形全等的条件。
2. 知识点2.1 球面上的角我们先来了解一下球面上的角。
球面上的角可以用两个相交弧所对的圆心角度数来度量。
对于相等的圆心角，它们所对的弧长也是相等的，从而保证了度量的一致性。
2.2 球面上的距离球面上的距离，也称为实地弧长，是沿着球面的曲面线段的长度。
对于在同一球面上的两点，它们之间的距离是唯一确定的。
2.3 球面三角形的定义在球面上，我们定义三个非共线点P、Q、R的连线所形成的图形称为球面三角形，记做△PQR。
球面三角形的三个顶点就是相应线段的端点，而三个边对应的每一条弧则是由相应顶点所对的圆心角所决定的。
2.4 球面三角形的全等对于平面上的三角形，我们可以用它们的三边或者三个角的度数来判断它们是否全等。
而在球面上，我们不能像平面上一样简单地运用边和角的度数判断球面三角形的全等关系。
下面，我们将介绍球面三角形全等的条件。
2.5 球面三角形全等的条件对于两个球面三角形△ABC和△DEF，要使它们全等，需要满足以下任意一种情况：1.三边分别相等，即AB=DE，BC=EF，CA=FD；2.两边与它们之间夹角分别相等，即AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E；3.两角和对应边分别相等，即AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，BC=EF；4.三角形相似，即有两对对应角分别相等，或一对对应角相等且两对对应边成比例，或三对对应边成比例。
其中，第4种情况也适用于平面上的三角形全等判定。
3. 实例演练现在，我们通过一个实例来练习一下球面三角形的全等判定。
已知球面三角形ABC和DEF，且AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：△ABC≌△DEF。
首先，我们通过条件3，可以知道AC=DF。
因此，我们可以先画出△ABC和△DEF的草图：B E/ \\ / \\/ \\ / \\/ ∠\\ /∠ \\/ \\ / \\/ \\ / \\A/∠ \\ /∠ \\D------------C--------------F----------由于AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，因此我们可以通过SSS（两边对边角分别相等）判定得出，球面三角形△ABC≌△DEF。
旧知回顾
我们在平面上除了学习直线和角之外，还学习三角形．
图3-1
新课导入
这次课学习球面上的基本图形极和赤道
球面二角形
球面三角形
教学目标
知识与能力
•感知球面上的基本图形．•认识各种基本图形的特点．•掌握球面三角形的性质．
过程与方法
•通过观察学习球面三角形的定义过程．
•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观
•注意让学生从以前所学的知识中体会新的知识．•了解新旧知识的相识点和不同点．
•培养合作交流意识．
教学重难点
•球面三角形的概念．
•球面三角形与平面三角形的异同点．•会解简单的几何题．
一、极与赤道
大家熟知，地球上有南极、北极、赤道．我们在球面几何中同样引入
“极”、“赤道”的概念．
O
N
L 图3-2
N
图3-2中，设N 为地球上的北极点， O 为球心，半径ON 垂直于赤道 所在的平
面，即过O 且垂直于地球半径ON 的平面截地球球面所得的大圆是地球的赤道．
N L
在球面上任取一点A ，垂直于半径OA 的平面截球面得到大圆L A ，此时把A 叫极点（简称极），大圆L A 为以点A 为极点的赤道圆（简称赤道）． O N
L 图3-3
N
A
A
L
结论
对于球面上任意一点，均可以得到
与它对应的一个赤道;对于球面上的赤道，可以得到与它对应的两个极点．
探究
由概念看出，极与赤道有着对
应关系，那么两者之间除此之外，
是否还有其他紧密的联系？
想一想
分析：如果球的半径为R ，那么极点
A 与赤道上任一点
B 的距离为 ，（即 圆的周长），如下图所示：
2
R O
N
L A
图3-4
B
由上面分析可知：
1、球面上与点A 的距离为 的点必在
赤道L A 上．
2、球面上任一点A 都对应它的一个赤道
L A ，那么该点到赤道的距离均为 ．
2
R
π2
R π
二、球面二角形
A
O
B C
'
A
图3-5
O
B
C
'
A
A
图3-6
由图3-5知，球面角∠BAC 的两边AB 、AC 延长后交于A ´，所组成的图形ABA ´C 成为球面二角形．又称（月形）．
把 、 称为球面二角形的边，球面角 是球面二角形的夹角． '
ABA 'ACA
BAC
例1 如图3-6，已知球面角 ，
求证：月形ABAC ´的面积等于球面面积的
倍．
BAC α∠=2α
π
证明：将月形ABAC ´中的一条边ACA ´在球面上由右向左旋转到边ACA ´的位置，则边ACA ´扫过整个球面，边ACA ´旋转了一
周，故球面可以看作是球面角为
的月形． 2π
若球面角 ，那么月形
ABAC ´的面积等于球面面积的 倍．
BAC α∠=α
2π
所以，
月形ABAC ´面积= ．
22
α4πr =2αr 2π
⨯
三、球面三角形
１、球面三角形
Ａ
ＢＣ
O Ｃ
Ｂ
Ａ
图3-７图3-８
前者是平面上的三角形，它是三条线段首位顺次相接构成的封闭图形．
完全类似，可以把球面上的三条“直线”（三条大圆的圆弧）首位顺次相接的封闭图形是球面三角形．（如图３-８）
思考
如何度量球面△ABC的边和内角？
A
C B
O
图3-9
如图，连接球心O与A、B、C三点，由球面角的定义及度量可知，球面△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C可分别由二面角B-OA-C、A-OB-C、B-OC-A度量．
如果设 （ 均为弧度），那么球面△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别为：
． ∠∠∠AOB =α,BOC =β,COA =γ,,,AB r BC r CA r αβγ===αβγ其中r 为球的半径．若r=1,则AB = ，
BC =
，CA = ． αβγ
2、三面角
无论是测边长还是内角，都要连接球心与球面三角形的顶点（图3-9），如果延长上图中的三条线段OA、OB、OC 使其成为射线，这三条射线构成三个平面，把这样的图形叫做三面角（图3-10），记为O-ABC．
A
C B
O
图3-10
O点为三面角的顶点，OA、OB、OC 称为它的棱，∠AOB，∠BOC，∠COA称为它的面角．
相邻两面构成的二面角是三面角的二面角，一个三面角有三个二面角．
综上，球面△ABC的三个内角对应于三面角O-ABC的三个二面角，三条边对应三面角O-ABC的三个面角．
下面对应关系
球面△ABC 三面角O-ABC 内角二面角
边面角
我们可以利用三面角
的知识研究球面三角形．
在球面上找到A 、B 、C 关于球心O 的对称点A ´、B ´、C ´,以对称点为顶点构成的球面三角形△A ´B ´C ´，成为球面三角形△ABC 的对顶三角形（图3-11）．
3、对顶三角形 A
C B
O
图3-11
'
C 'A 'B 两个对顶的球面三角形关于球心对称
4、球极三角形 对于任意球面△ABC ，假设与BC 边所在大圆对应的极点为A ´、A ˝，与边AC 所在大圆对应的极点为B ´、B ˝，与边AB 所在大圆对应的极点为C ´、C ˝． O
'B ''B '
C ''C '
A ''A
A
B C 图3-12
上图中点A´与A，B´与B、C´与C，在同一个半球面内，称球面△A´B´C´为球面△ABC的极对称三角形，简称球极三角形.
思考
如果球面△A´B´C´是球面△ABC 的极对称三角形，那么球面△A´B´C´的极对称三角形是什么？
球面△A´B´C´的极对称三角形是球面△ABC．
总结：
球面△A´B´C´与它的球极△ABC 互为极对称三角形．
动动脑
球面三角形与球极三角形之间还有其他关系吗？
假定球面为单位球面，有下面结论：若球面△ABC的极对称三角形是△A´B´C´，且它们的内角（单位：弧度）与边长分别为∠A、∠B、∠C，a，b，c和∠A´、∠B´、∠C´，a´，b´，c´那么
'''
∠∠∠
a=π-A,b=π-B,c=π-C
'''
∠∠∠
a=π-A,b=π-B,c=π-C
课堂小结
1. 球面三角形
2. 三面角
3. 对顶三角形
4. 球极三角形。
