【人教版】中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》教案设计

正弦定理与余弦定理 教案教学目标 正弦定理与余弦定理重点难点理解定理证明过程，能够灵活运用【命题规律】1.考查本节内容时多数与其他三角函数知识相结合，题目多为容易题，主要考查正余弦定理、三角形面积公式及利用三角公式进行恒等变形的技能、运算，以化简、求值或判断三角形的形状为主；2.从能力要求上看，主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化思想的应用能力；3. 在未来的高考中会以正弦定理、余弦定理为框架，以三角形为主要依据，来综合考查三角知识，同时我们也要关注应用两定理解决实际问题.【要点回顾】1、内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++= ；sin()A B += ；cos()A B += cos2A B +=2．正弦定理：形式一： (解三角形的重要工具)形式二：(边角转化的重要工具)4.余弦定理：形式一： ； ； (解三角形的重要工具)形式二：cos A = ； cos B = ； cos C = 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②CB A c b a Cc Bb Aa sin sin sin sin sin sin ++++===。

Ⅱ。

几个公式:⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin 2121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===∆；⑵内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin Cc Bb Aa ==⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解；②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥ b 时，一解（一锐角）。

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2备课纸课时总编号：
备课组别数学
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日期
第课时课型
主备
教师
课
题：
§15.4正弦定理、余弦定理(第1课时)
教学目标1.了解正弦定理在生活中的实用性；
2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解决实际问题；
3.掌握由正弦定理推导的三角形面积公式及运用。

重点正弦定理
难点应用正弦定理解决实际问题
教法讲练结合
教学
设备
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程个案补充
教学内容【课前导学】
1.在我国古代有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的？
【设计意图】：
让学生了解与正弦定理有关的问题，提高学习兴趣。

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正弦定理与余弦定理（二）
【教学目标】
知识目标：
理解余弦定理．
能力目标：
培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
余弦定理及其应用．
【教学难点】
余弦定理及其应用．
【教学设计】
余弦定理是勾股定理的推广．在余弦定理的每个等式中，各包含了四个不同的量，它们分别是三角形的三条边和一个角．这样，已知其中三个量，就可以求出第四个量．因此，利用余弦定理可以解决两类解三角形的问题：（1）已知两边及夹角，求第三边；（2）已知三边，求各角．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边求角的示例．由于余弦函数在区间(0,π)内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
60.求a 【教师教学后记】。

正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．3．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．角一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°，∴ sinA ＝32.∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinC sinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝bsinC sinB ＝6－22.变式训练 在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________． 答案：(1) 2 2 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴ 无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°.【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案 255210双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .1．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C 3．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150° 题型2 余弦定理解三角形4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b22ac，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式（教师专享）5，(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA.当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例1】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cosB sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .答案 B【例2】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝bsin B 得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4. 以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 【试一试】 (2014·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[尝试解答] (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．3．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．角一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.变式训练 在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______；a＝________.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 62．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .1．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 题型2 余弦定理解三角形4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．备选变式（教师专享）5，(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例1】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． ．【训练】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【例2】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【试一试】 (2014·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .实用文档(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .。

课题1.3 .1 余弦定理课型 新授第几) 中职中专数学教学设计教案课时1～3课 时 教 学 目 标（三维）理解余弦定理；通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力教学 重点 与 难点教学重点：余弦定理及其应用教学难点：余弦定理及其应用教学 方法 与 手段讲授法使 用 教 材 的 构 想教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用.例 1 是已知 两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例 2 是已知三边的长求最大角和最小 角的示例．由于余弦函数在区间 (0, π内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨 论= • = AC + AB - 2 A C • AB教师行为中职中专数学教学设计教案学生行为 设计意图☆补充设计☆一、复习1、解直角三角形的知识2、解斜三角形的思路复习回顾二、动脑思考 探索新知如 图 1 － 8 所 示 ， 在 △ ABC 中 ，BC = AC - AB ，所以BBC • BC （AC - AB ）（AC - AB )AC2 2=AC 2 + AB 2- 2 AC AB cosA= b 2 + c 2 - 2bc cos A ．即a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ．同理可得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ．于是得到余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍. 即a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Ab 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos Bc 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C(1．8)显然，当 C = 90︒ 时，有 c 2 = a 2 + b 2 ．这就是说，勾股定理是余弦定理的特例．公式（1.8）经变形后可以写成cos A = b 2 + c 2 - a 22bc图 1－8师生共同探讨求证b c 2ab=2bc =中职中专数学教学设计教案cos B=a2+c2-b22ac（1．9）cos C=a2+b2-c22ab利用余弦定理可以求解下列问题：(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.(2)已知三角形的三边，求三个角.三、巩固知识典型例题例1在∆ABC中，A=60︒，=8，=3，求a．分析这是已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理．解a2=b2+c2-2bc cos A=82+32-2⨯8⨯3⨯cos60︒=49，所以a=7.思考：利用余弦定理可以解决所有解斜三角形的问题吗？经过论证分析得出结论例2在∆ABC中，a=6，b=7，c=10，求∆ABC中的最大角和最小角（精确到1︒）.分析三角形中大边对大角，小边对小角．解由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.9），有cos C=a2+b2-c262+72-1022⨯6⨯7≈-0.1786，所以C≈100︒，cos A=b2+c2-a272+102-622⨯7⨯10中职中专数学教学设计教案≈0.8071，所以A≈36︒.练习1．在△ABC中，B=150︒，a=33，c=2，求b.四、小结：余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos Ab2=a2+c2-2ac cos Bc2=a2+b2-2ab cos C利用余弦定理可以求解下列问题：(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.(2)已知三角形的三边，求三个角.2.在△ABC中，三边之比a:b:c=3:5:7，求三角形最大内角.中职中专数学教学设计教案☆补充设计☆板书设计1.3.1余弦定理一、复习：正弦定理及可解决的两类问题例题分析：二、新课：1、余弦定理2、适用范围（可解决的问题）作业设计P18练习1、2教学后记。