信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。


| F ( j) | R 2 () X 2 ()

()

arctan

X () R()

R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1

F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1

F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由

傅里叶变换、系统的频域分析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March实验报告贺鹤 18号实验名称：傅里叶变换、系统的频域分析实验课时：2课时实验地点：知行楼404实验时间：2015年6月3日星期三第14周实验目的及要求：（一）目的：1．学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换2．学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性3．学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应（二）要求：1. 在MATLAB中输入程序，验证实验结果，并将实验结果存入指定存储区域。

2. 对于程序设计实验，要求通过对验证性实验的练习，自行编制完整的实验程序，实现对信号的模拟，并得出实验结果。

3. 在实验报告中写出完整的自编程序，并给出实验结果。

实验环境：MATLAB实验内容：（算法、程序、步骤和方法）1．实验原理函数fourier()及ifourier()：F=fourier(f，v)、f=ifourier(f,u)；reqs函数：H=freqs(b,a,w)2.实验内容（1）题目1：试用MATLAB求单边指数数信号)(f tεα-t=的傅立叶变换，e)(t并画出其波形；程序1：R=;t=-2:R:2;f1=exp(-2*t);f2=(t>=0);f=f1.*f2;W1=2*pi*5;N=500;k=0:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t'*W)*R;F=real(F);W=[-fliplr(W),W(2:501)];F=[fliplr(F),F(2:501)];subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)=exp(-2*t)*u(t)');subplot(2,1,2);plot(W,F);xlabel('w');ylabel('F(w)');title('f(t)的付氏变换F(w)');（2）题目2：设21()0.08()0.41H jw jw jw =++，试用MATLAB 画出该系统的幅频特性()H jw 和相频特性()ϕω，并分析系统具有什么滤波特性。

X ( j ) e
j 0t
e
jt
1 dt e j ( j ( 0 )
0 ) t


However, this integral does not converge. Consider the Fourier transform pair δ(t) and 1.
可知，F ( ) 量纲是单位频带的复振幅。 即把 F ( ) 理解成各频率分量沿频率轴的分布， 具有密度的量纲和概念，故称为频率密度函数 。简称频谱密度，或在不发生混淆时简称频谱 。（注意与周期信号的频谱概念上不一样）
F ( )一般为复 与周期信号的傅里叶级数类似， 函数。为 F ( ) F ( ) e j ( ) F ( ) ~ 称为幅频特性； 总称频率特性 ( ) ~ 称为相频特性。
当信号为实函数时: F F * j j F F e F e
幅频特性为频率的偶函数；相频特性为频率的奇 函数。且均为频率的连续函数。
Convergence of Fourier Transforms
1 (t ) 2
jt 1 e d

2 (t ) 1 e jt d

This equation says that the Fourier transform of unit dc is 2 ( ) .
4.1 REPRESENTATION OF APERIODIC SIGNALS: THE CONTINUOUS-TIME FOURIER TRANSFORM
4.1.1 Development of the Fourier transform representation of the continuous time Fourier transform

（9）共轭特性 p226 ）
若f (t ) ← F ( s ), ROC : R → 则f (t ) ← F ( s ), ROC : R →
∗ ∗ ∗
4.2 单边拉普拉斯变换
4.2.1定义 定义
定义：f (t ) ↔ F ( s ), σ : (α , ∞) 正变换L[ f (t )] = ∫ − f (t )e − st dt = F ( s ), σ : (α , ∞)
（3）尺度变换特性 ）尺度变换特性p225 则：
若f (t ) ↔ F ( s ), σ : (α , β ), 1 s f (at ) ↔ F ( ), σ : a a 推论：
{
( aα , aβ ), a > 0 ( aα , aβ ), a < 0
，a为常数。
f (−t ) ↔ F (− s ), σ : (− β ,−α )
即：
∫
∞
-∞
δ (t ) e − st dt = 1
δ (t ) ↔ 1
σ：（-∞，∞）
（3）指数信号 ）
∞
F ( s ) = L[e u (t )] = ∫ e e dt
0
− at
− at − st
σ > −α
1 s +α
即：
1 e u (t ) ↔ , σ : (−α , ∞) s +α
− at
（7）时域卷积特性 ）时域卷积特性p227
若f1 (t ) ↔ F1 ( s ), σ : (α1 , β1 ), f 2 (t ) ↔ F2 ( s ), σ : (α 2 , β 2 ), 则 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ↔ F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ), σ : (公共部分 )