8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图五年高考考点1 空问几何体的结构 1．（2013天津，4，5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的,21则其体积缩小到原来的;81②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线01=++y x 与圆2122=+y x 相切， 其中真命题的序号是 ( ).A ①②③ ①②.B ①③.C ②③.D2．（2013辽宁．10，5分）已知直三棱柱111A C B A BC -的6个顶点都在球O 的球面上，若4,AC 3,AB ==,12,1=⊥AA AC AB 则球O 的半径为( )2173.A 102.B 213.C 103.D 3．（2013课标全国I ，6，5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )33005.cm A π 33866.cm B π 331372.cm C π 332048.cm D π4．（2012福建．4.5分）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 ( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱5．(2011山东．11，5分 )如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是 ( )3.A 2.B 1.c 0.D6．（2013福建．12.4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是7．（2010课标全国．14,5分）正视图为一个三角形的几何体可以是 ．（写出三种） 考点2三视图和直观图 1．（2013四川．3,5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )智力背景《九章算术》简介《九章算术》大约编于公元四、五十年间的东汉初期．这部书是采用问题集的形式 编成的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商动、均输、盈不足、方程和勾股九章．方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算， 2．（2013重庆，5，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )3560.A 3580.B 200.C 240.D 3．（2013广东．5,5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( )4.A 314.B 316.C 6.D 4．（2013湖南．7,5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ( )1.A2.B 212.-C 212.+D 5．（2013课标全国II ，7,5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系0 - xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，O ，O)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为 ( )6．（2013课标全国I ，8,5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )π816.+A π88.+B π1616.+C π168.+D7．（2012课标全国．7,5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )6.A 9.B 12.C 18.D8．（2012湖北．4,5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )38.πA π3.B 310.πC π6.D 9．（2011课标．6,5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 ( )智力背景我可以创造 一个宇宙伽利略说：“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙…自然界的书是用数学的语言写成的．”哈尔莫斯说：“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握龅结论．然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费好大的劲儿，才能将一切特诸逻辑式的证明，这过程要经过许多失败、挫折，一再地猜测、揣摩，在试探中白花掉几个月的时间是常有的.”10.（2011广东．7，5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ( )36.A 39.B 312.C 318.D11.（2013辽宁，13.5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是12.（2013浙江．12.4分）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于.3cm13.（2013陕西．12.5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为14.（2012浙江．11,4分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于 .3cm15.（2012辽宁，13.5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为解读探究智力背景什么是数学模型呢数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构．数学结构是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等这些基于数学思想与方法的数学问题，总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系．知识清单1．棱柱的结构特征(1)棱柱的主要结构特征：有①面互相平行，其余各面都是②，并且每相邻③都互相平行，棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离，叫做棱柱的高． (2)棱柱的分类：按侧棱与底面的关系可分为④、⑤；按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；底面是正多边形的⑥又称为正棱柱． 2．棱锥的结构特征(1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个⑦的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥．(2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．(3)正棱锥的性质：a．各侧棱长度相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高．b．棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．3．圆柱、圆锥、圆台的结构特征分别以矩形一边、直角三角形一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，其中旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．4．棱台、圆台的特征用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间的部分叫棱台、圆台．5．球(1)-个⑧围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球．形成球的半圆的圆心叫做球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径(2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆，被经 过球心的平面截得的圆叫做球的大圆．球的截面性质：⑨ ，其中r 为截面圆的半径，R 为球的半径，d 为球心O 到截面圆心的距离． 6．几何体的三视图是指：⑩____、（11）____、（12）____．又称为主视图、左视图、俯视图． 7.三视图的画法要求(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，被挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画三视图的基本要求：（13） 、（14）____ 、（15） ．(3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则． 8．平行投影的投影线互相平行；中心投影的投影线交于一点． 9．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于0点，画直观图时，把它们画成对应的/x 轴与/y 轴，两轴相交于/O 且使,45///oy O x =∠用它们确定的平面表示水平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中，分别画成平行于/x 轴或/y 轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半． 【知识拓展】1．常见多面体及其关系、(1)平行六面体；直棱柱；正棱柱；长方体；正方体；正棱锥；正棱台．(2){正方体}≠⊂{正四棱柱}≠⊂{长方体}≠⊂{直平行六面体}≠⊂{平行六面体}≠⊂{四棱柱}．2.三视图在解题过程中，可以根据三视图的形状及图中所涉及的线段的长度，推出原几何图形中的点、线、面的位置关系及图中的一些线段的长度，从而解决其他有关问题，·知识清单答案智力背景石钟慈与中国计算数学的发展 中国计算数学家、中国科学院院士、中国科学院计算数学与科学工 程计算研究所研究员磊钟慈，曾任国家攀登项目“天规模科学与工程计算”首席科学家20世纪50年代 束，他建立了一种将变分原理和摄动理论相结合的新算法并算出氦原子最低能态的良好近似值；研究了 矩阵特征值的定位问题，得到精度很高的上下界估计公式．90年代后期，他研究弹性力学中闭锁问题的 有限元方法，成绩显著，居于国际前列.突破方法方法1几何体的三视图例1 （2012湖南,3,5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解题思路解析 A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D．答案 D【方法点拨】三视图的画法要坚持以下原则：(1)高平齐，即正视图和侧视图的高相等；(2)宽相等，即侧视图和俯视图的宽相等；(3)长对正，即正视图和俯视图的长相等；(4)看不见的轮廓线或棱要用虚线表示，方法2几何体的直观图例2（2012山东淄博三模．14，4分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），,,1,45BCDCADABABC⊥===∠ 则这块菜地的面积为解题思路解析如图①，在直观图中，过点A作AElBC，垂足为E，则在Rt△ABE中，⋅=∴=∠=22,45,1BEABEAB而四边形AECD为矩形，AD =1，22.1=+=∴==∴ECBEBCADEC.1+由此可还原原图形如图②．在原图形中，===//////,2,1CBBADA,122+且,,//////////CBBACBDA⊥∴这块菜地的面积为//////)(21BACBDAs⋅+=⋅+=⨯++⨯=2222)2211(21答案 222+【方法点拨】 斜二测画法的注意事项：(1)对于几何体的直观图，一方面，要掌握斜二测画法规则，注意线线平行关系的不变性及长度的变化特征；另一方面，若能了解原图形面积S 与其直观图面积直S 之间的关系：,42s S =直还可以简化有关问题的计算．(2)把水平放置的直观图还原成原来的图形，基本过程就是逆用斜二测画法，使平行于/x 轴的线段长度不变，平行于/y 轴的线段长度变成原来的2倍，智力背景分解质因数的来源 1643年，欧洲殖民者在美洲大陆经历了一场恐怖：大量的蝉仿佛一夜之间从地底冒出，几周后销声匿迹，时隔17年，这现象再次出现到1991年共出现22次，周期很准确，科学家发现，蝉的生命周期大都为质数，如在北荑洲北部地区同濑为17年，在南部地区则为13年科学家说，蝉选择质数为生命周期，可降低与天敌遭遇的概率若它的生命周期是12年，则与生命周期为l 、2、3、4、6、的天教都可能遭遇，从而使种群生存受威胁.三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：35分钟 分值：40分 一、选择题（每题5分，共25分） 1．（2013北京通州高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 ( )，2416.+A 2412.+B 248.+C 244.+D2．（2013广东云浮一模．3）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为,21则该几何体的俯视图可以是( )3．（2013吉林长春5月，11）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )π216.+A π28.+B π+16.C π+8.D 4．（2012北京朝阳二模．8）有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是 ( )1.A 223.B 2.C 3.D 5．（2011江西重点盟校二次联考．6）若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是 ( )321.cm A 332.cm B 365.cm C 387.cm D 二、填空题（共5分）6．（2013河北石家庄二模,13）如图，矩形////C B A O 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,2,6////==C O A O 则原图形OABC 的面积为三、解答题（共10分）7．（2013北京大兴一模．17）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长，智力背景规矩和直尺（一） 古人云:“没有规矩，不成方圆，”可见在中国古代，就有了规和矩．我们知道，“规”是指画圆的圆规；“矩”是折成直角的曲尺，尺上有刻度，发明规矩的确切年代已无从查考．但在公元前15世纪的甲骨文中，已有规矩二字了．《史记》中有这样的记栽：夏禹治水的时候，是“左准绳，右规矩”．这意思是说，夏禹是左手拿着水准绳，右手拿规和矩进行测量，规划出治水方索的，由此说明在夏禹治水的年代就有了规和矩这两种几何工具了，B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：50分钟 分值：50分 一、选择题（每题5分，共15分） 1．（2013北京昌平高三上学期期末）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 ( )243410.++A 243210.++B 243214.++C 243414.++D2．（2013山西阳泉一模．9）下列结论正确的是 ( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线3．（2013甘肃西宁二模．4）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )二、填空题（每题5分，共10分）4．（2013山东潍坊一模．13）等腰梯形ABCD ，上底CD =1，腰AD ,2⋅==CB 下底,3=AB 以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图////D C B A 的面积为5．（2013河南三门峡4月．14）如图，侧棱长为32的正三棱锥v-ABC 中，,40oCVA BVC AVB =∠=∠=∠ 过A 作截面△AEF，则截面△AEF 的周长的最小值为三、解答题（共25分）6．（2013东北八校一模．17）已知正三棱锥V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．7．（2013四川西昌二模，18）如图所示，在正三棱柱111-ABC C B A 中，,2,21==AA AB 从顶点B 沿棱柱侧面（经过棱)AA 1到达顶点,1C 与1AA 的交点记为M 求：(1)正三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B 经过M 到1C 的最短路线长及此时AMM A 1的值，智力背景规矩和直尺(二) 规矩的使用，对于我国古代几何学的发展有着很重要的意丸周代数学家商高曾把规 矩的用处作了总结：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远”这几句话，精炼地道出了矩的用途．希腊人作图只能从最基本的工具—一直尺和圆规开始，直尺还是没有刻度的尺．由于作图工具的限制，导致了历史上的三火几何不能作图问题：三等分任意角，倍立方，化圆为方，而在这三个难题的研究过程中又有许多发现，从而推动了数学的发展.。
