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第2章 质点组力学

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大学物理课件第二章质点动力学

大学物理课件第二章质点动力学
N sin m(a 'cos a) N cos mg m(a 'sin )

m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B

A
F
B

m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B

A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。

周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学

周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学

例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变

大学物理第二章质点动力学PPT课件

大学物理第二章质点动力学PPT课件

•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
2021
12
五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
2021
6
三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
2021
5
Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
2021
27
1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的

第2章 质点组力学

第2章 质点组力学
则质点系总外势能：
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:

大学物理——第2章-质点和质点系动力学

大学物理——第2章-质点和质点系动力学
2 2 2 α + a1 cos2 α
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1

力学习题第二章质点动力学（含答案）

力学习题第二章质点动力学（含答案）

⼒学习题第⼆章质点动⼒学（含答案）第⼆章质点动⼒学单元测验题⼀、选择题1.如图，物体A和B的质量分别为2kg和1kg，⽤跨过定滑轮的细线相连，静⽌叠放在倾⾓为θ=30°的斜⾯上，各接触⾯的静摩擦系数均为µ=0.2，现有⼀沿斜⾯向下的⼒F作⽤在物体A上，则F⾄少为多⼤才能使两物体运动.A.3.4N;B.5.9N;C.13.4N;D.14.7N答案：A解：设沿斜⾯⽅向向下为正⽅向。

A、B静⽌时，受⼒平衡。

A在平⾏于斜⾯⽅向：F m g sin T f f 0A12B在平⾏于斜⾯⽅向：1sin0f mg TB静摩擦⼒的极值条件：f1m gcos，Bf m m g2(B A)cos联⽴可得使两物体运动的最⼩⼒F min满⾜：F min (m B m A)g sin (3m B m A )g cos=3.6N2.⼀质量为m的汽艇在湖⽔中以速率v0直线运动，当关闭发动机后，受⽔的阻⼒为f=-kv，则速度随时间的变化关系为A.vkt=v e m;B.-tktv em0;C.v=v+kmt;D.v=v-kmt答案：B解：以关闭发动机时刻汽艇所在的位置为原点和计时零点，以v0⽅向为正⽅向建⽴坐标系.⽜顿第⼆定律：dvma mkvdt整理：d vvkm积分得：v=-v ektm3.质量分别为m和m（12m m）的两个⼈，分别拉住跨在定滑轮（忽略质量）21上的轻绳两边往上爬。

开始时两⼈⾄定滑轮的距离都是h.质量为m的⼈经过t1秒爬到滑轮处时，质量为m的⼈与滑轮的距离为2m m1m-m11; C.1(h gt2)2h gt12A.0;B.h+; D.(+)m m2m2222答案：D解：如图建⽴坐标系，选竖直向下为正⽅向。

设⼈与绳之间的静摩擦⼒为f，当质量为m的⼈经过t秒爬到滑轮处时，质量为m的⼈与滑轮的距离为h'，对⼆者12分别列动⼒学⽅程。

对m：1f mg m am11m11dvm1对m：2f mg m am22m22dvm2dt将上两式对t求积分，可得：fdt m gt m vm11m11dym1 dtfdt m gt m vm22m22dym2 dt再将上两式对t求积分，可得：1fdt m gt 0m h221121fdt m gt m hm h222222m m1由上两式联⽴求得：h'21(h gt2).m224.⼀质量为m的物体以v0的初速度作竖直上抛运动，若受到的阻⼒与其速度平⽅成正⽐，⼤⼩可表⽰为f=kmgv2，其中k为常数。

大学物理第二章习题质点力学的基本规律 守恒定律

大学物理第二章习题质点力学的基本规律 守恒定律
第2章 质点力学的基本规律 守恒定律
基本要求
掌握经典力学的基本原理及会应用其分析和处理质点动力学问题，理 解力学量的单位和量纲。掌握动量、冲量、动量定理，动量守恒定律。并 能分析和计算二维平面简单力学问题。理解惯性系概念及经典力学的基本 原理的适用范围。掌握功与功率、动能、势能（重力势能、弹性势能、引 力势能）概念，动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
教学基本内容、基本公式
1.牛顿定律
解牛顿定律的问题可分为两类： 第一类是已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类是已知作用于质点的力，求质点的运动.
2.基本定理 动量定理
动能定理

I
t2 t1
F (t )dt

mv

mv0
A12

2
F
(r)

dr

1
1 2
mv
2 2

1 2
解：根据牛顿第二定律
f

k x2
m dv dt
m dv d x dx dt
mv
dv dx

k x2
mv
dv dx
v
dv

k
dx mx2

v
v
0
dv

A/4

A
k mx2
d
x
1v2 k (4 1) 3 k 2 m A A mA
另解：根据动能定理
v 6k /(mA)
(2)写出初末态系统的动量
t 时刻水平方向动量
dm m
t+dt时刻水平方向动量
O
x
(3)求出系统水平方向动量的增量

高一物理章节内容课件 第二章质点动力学

高一物理章节内容课件 第二章质点动力学

地面的加速度是多少？（以竖直向上为
正）
解：以绳为参照系，设绳对地 的加速度为 a绳对地
T '
T a绳对地
人 T mg (ma绳对地) ma0 物 Mg T (Ma绳对地) M 0
Mg ♕ mg
▲ 注意：ห้องสมุดไป่ตู้于滑轮这种左右两边的情形， 左右两边的正方向应相反
3 a绳对地 g a0 方向：右向上，左向下
★ 作用于桌面的压力
N1 N m已落下部分g , 3gm已落下的部分
4. 质点系的动量定理 任意一段时间间隔内质点系所受合外力 的冲量等于在同一时间间隔内质点系内 所有质点的动量矢量和的增量。
5．动量守恒定律(Law of Conservation of Momentum) （1）※
度，是Vx
N mg CyVx2

N
CxVx2

m
dVx dt
(mg CyVx2 ) CxVx2

m dVx dx
dx dt
dx dt
(mg CyVx ) CxVx m
2
2 dVx dx
条件：Vx V0 90km/ h时，
Vx
N

0
mg

C yV02
解：★ 注意 摩此擦M力分r布F在整个圆盘上，因
第一步：在距轴为 r 处取质量元 dm ，它受到
的摩擦力为 df
df kdm g
方向：
df

r
第二步：求 df 产生的摩擦力矩 dM 大小、方向
dM rdf sin rkdm g 方向：沿轴
dm

m
R2

应用物理 第二章 质点组力学.ppt

应用物理 第二章 质点组力学.ppt

2 (e
)12rmc vFc2(eT)
M
总结：质点组的动量、动量矩、动能分别等于质心的动 量、动量矩、动能与各质点对质心的动量、动量 矩、动能之和。
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第二章 质点组力学
dp

dpc

F (e)
dt dt
三 大
dJ

M
dt
dJ

i 1
动量矩：
n n
J Ji ri pi
i 1
i 1
动 能：
T

n
Ti
i 1

n i 1
1 2
m
i
v
2 i
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第二章 质点组力学
1、 内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。

n n
F (i)
fij 0
i1 j1
即
J

恒矢量
n
M x (yi Fiz zi Fiy ) 0
i 1
n
J x mi ( yi zi zi yi ) C (常量)
i 1
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第二章 质点组力学
3、对质心的动量矩定理
C系：随着C相对于S系平动
ri

rc

ri
S系 y
第二章 质点组力学
第二章 质点组力学
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第二章 质点组力学
§2.1 质点组
质点组：由许多（有限或无限）相互联系着的质点所 组成的系统。
内 力：质点组中质点间的相互作用力。
外 力：质点组以外的物体对质点组内质点的作用力。

质点组的力学量和内力的性质

质点组的力学量和内力的性质

质点组的合力：质点组中各质点所受力的矢量和。
n
F Fi i 1
n
n
F
F (e) i
F (i) i
i 1
i 1
质点组的力学量和内力的性质
6. 合力矩
质点组的合力矩：质点组中
z
F
B
各质点所受力对固定点的力 矩的矢量和，称为质点组的
A(x,y,z)
O
r
y
合力矩。
x
n
n
n
n
M
Mi
ri F i M
质点组的力学量和内力的性质
3 . 角动量
z
质点的角动量(动量矩)：质点的位矢与质点动 量的矢积
质点的角动量是矢量，它的单位是 kg m m/s 。
质点组的角动量（质点组动量矩）:质点系
O
中各质点角动量的矢量和。
x
B
mv
A(x,y,z)
r
y
质点组的力学量和内力的性质 4 . 动能
质点组的动能：质点组中各质点动能的和，称为质点组的动能。
动能的单位是焦耳（J）。
质点组的力学量和内力的性质
5.合 力
质点组的内力：质点组中各质点之间的相互作用力，称为内力，
用 Fi(i)表示。
质点组的外力：质点组以外的物体对质点组内质点的作用
力，称为外力，用
F(e) i
表示。
(i)
(e)
F i Fi Fi
(i 1, 2, , n)
质点组的力学量和内力的性质
nn
F (i) i1 j1 fij fij0表示第 i 个质点对第 j 个质点的作用力
j i
由牛顿第三定律可知，对任何一对质点间的相互作用力:

大学物理A 练习题 第2章《质点力学的运动定律 守恒定律》

大学物理A 练习题 第2章《质点力学的运动定律 守恒定律》

《第2章 质点力学的运动定律 守恒定律》一 选择题1. 水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F 如图所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F 与水平方向夹角θ 应满足(A) sin θ ＝μ． (B) cos θ ＝μ． (C) tg θ ＝μ． (D) ctg θ ＝μ．[ ]2. 一质点在力F = 5m (5 - 2t ) (SI)的作用下，t =0时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为(A) 50 m ·s -1． (B) 25 m ·s -1．(C) 0． (D) -50 m ·s -1．[ ]3. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是(A) 甲先到达． (B) 乙先到达．(C) 同时到达． (D) 谁先到达不能确定．[ ]4．一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F+=作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ）位置过程中，力F 对它所作的功为(A) 20R F ． (B) 202R F ． (C) 203R F ． (D) 204R F ．[ ]5. 对质点组有以下几种说法：(1) 质点组总动量的改变与内力无关． (2) 质点组总动能的改变与内力无关． (3) 质点组机械能的改变与保守内力无关．在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的． (B) (1)、(3)是正确的．(C) (1)、(2)是正确的． (D) (2)、(3)是正确的．[ ] 6. 一火箭初质量为M 0，每秒喷出的质量(-d M /d t )恒定，喷气相对火箭的速率恒定为u．设火箭竖直向上发射，不计空气阻力，重力加速度g 恒定，则t = 0时火箭加速度a在竖直方向（向上为正）的投影式为 (A) g t M M u a --=)d d (0． (B) g tM M u a +=)d d (0．(C) d d (0t M M u a -=． (D) g tM M u a -=d d (0 [ ]7. 一竖直向上发射之火箭，原来静止时的初质量为m 0经时间t 燃料耗尽时的末质量为m ，喷气相对火箭的速率恒定为u ，不计空气阻力，重力加速度g 恒定．则燃料耗尽时火箭速率为(A) 2/ln0gt m m u -=v ． (B) gt m m u -=0ln v ． (C) gt m m u +=0ln v ． (D) gt mmu -=0ln v ．[ ]二 填空题 1. 某质点在力F ＝(4＋5x )i(SI)的作用下沿x 轴作直线运动，在从x ＝0移动到x ＝10 m的过程中，力F所做的功为__________．2．质量为m ＝0.5kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x ＝5t ，y =0.5t 2（SI），从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点作的功为_____________.3. 设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝__________．4. 质量m ＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝_________；且x ＝3 m 时，其速率v ＝_________．5. 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则拉力所做的功为____________________．6. 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍，开始时粒子A 的速度j i43+=0A v ,粒子B 的速度j i72-=0B v ；在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A 的速度变为j i 47-=A v ，则此时粒子B 的速度B v＝____________________．7. 一维保守力的势能曲线如图所示，有一粒子自右向左运动，通过此保守力场区域时，在 _________________ 区间粒子所受的力F x > 0； 在 _________________ 区间粒子所受的力F x < 0； 在x = _______________ 时粒子所受的力F x = 0．三 计算题1. 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a ＝2＋6 x 2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．2. 质点沿曲线 j t i t r22+= (SI) 运动，其所受摩擦力为 v 2-=f (SI)．求摩擦力在t = 1 s 到t = 2 s 时间内对质点所做的功．3. 一辆水平运动的装煤车，以速率v 0从煤斗下面通过，每单位时间内有质量为m 0的煤卸入煤车．如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求： (1) 牵引煤车的力的大小； (2) 牵引煤车所需功率的大小；(3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分用于何处？4. 一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 ．令链条由静止开始运动，则(1)到链条刚离开桌面的过程中，(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？a5. 如图所示，在中间有一小孔O 的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg 的小块物体．绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住．开始时物体以半径R 0 = 0.5 m 在桌面上转动，其线速度是4 m/s ．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．而绳最多只能承受 600 N 的拉力．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R 等于多少？6. 小球A ，自地球的北极点以速度0v 在质量为M 、半径为R 的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系中轴OO ＇与0v 平行，小球A 的运动轨道与轴OO ＇相交于距O 为3R 的C 点．不考虑空气阻力，求小球A 在C点的速度v 与0v 之间的夹角θ．7. 一个具有单位质量的质点在随时间 t 变化的力j t i t t F)612()43(2-+-= (SI) 作用下运动．设该质点在t = 0时位于原点，且速度为零．求t = 2秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量．四研讨题1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？2. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明．3. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？4. 为了避免门与墙壁的撞击，常常在门和墙上安装制动器，目前不少制动器安装在靠近地面的位置上（如图），在开关门的过程中，门与制动器发生碰撞，从而门受到撞击力的作用。

大学物理第二章-质点动力学

大学物理第二章-质点动力学

3）忽略绳或线质量时，绳内部各处的张力都相等
4）弹（性）力：由胡克定律 f ，kkx为决定于弹簧本身结构的常数；负
号表示弹力的方向总是指向要恢复它原长的方向
3、摩擦力 相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触
面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力（滑动摩擦力、 滚动摩擦力等））
m m
车 u上
mv1
mv2
v1 v2
t2
Fdt
t1
mv2
mv1
地上
t
2
Fdt
t1
m(v1
m(v2
u)
u)
m (v2
m(v1
u) u) mv2
mv1
[例2]一质点受合外力作用，外力为
F 10ti 2(2 t ) j 3t 2k (SI)
求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在
I z P2z P1z mv2z mv1z
说明：
1）一维问题、力作用时间很短时，
F
常引入平均冲力
F
F
t2 Fdt
t1
p2 p1
t2 t1 t2 t1
t1 t2 t
2）I的方向一般不是
F的(t方) 向，而
I
是微分冲量 的矢F量d和t 的方向。
Fdt
3）物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不 变。
物体在竖直方向运动，建立坐标系oy
y
T
ar
ar
a1 m1 a2
m2
m1
o
m1g
T
m2
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：

第二章 质点动力学

第二章 质点动力学

.3.
§2-1 牛顿运动定律
(Newton’s Law of Motion)
惯性定律) 一、牛顿第一定律(惯性定律 牛顿第一定律 惯性定律
如果物体没有受到力的作用， 如果物体没有受到力的作用，都将保持原有的静止 或匀速直线运动状态. 或匀速直线运动状态. 1. 定义了惯性参考系 2. 定性了物体的惯性和力 力可改变物体运动状态，而保持运动状态不需力. 力可改变物体运动状态，而保持运动状态不需力.
xm
v v
v F
v v ∫ F ⋅ dx = E末 − E初
0
1 即 ∫ − kx dx = 0 − mv 2 2 0 2 k 4 1 2mv 1 4 2 − x m = − mv ) ∴ xm = ( 4 2 k
3
x o x
m
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
.12.
§2-3 保守力的功 势能
(The Work of Conservative Force, Potential Energy)
选参考点(势能零点 ， 选参考点 势能零点)，设 EP末 = 0 则 EP初 = A保守力 势能零点 1.重力势能 EP = mgh (常选地面为零势能 常选地面为零势能) 重力势能 常选地面为零势能 1 2 弹簧原长度为零势能) 弹簧原长度为零势能 2.弹性势能 E p = kx (弹簧原长度为零势能 弹性势能 2 mM 3.万有引力势能 E p = −G (无限远为零势能 无限远为零势能) 万有引力势能 无限远为零势能 r
.2.
第二章 质点动力学
(The Particle Dynamics)
§2-1 牛顿运动定律 §2-2 功 动能 动能定理 §2-3 保守力的功 势能 §2-4 质点系的机械能守恒定律 §2-5 冲量 动量 动量定理 §2-6 质点系动量守恒定律 §2-7 质点的角动量 §2-8 质点系对定轴的角动量

第2章 质点系力学

第2章 质点系力学

现在来补充说明
∑F
i =1
n
(i ) i
= 0 这一条件。
①. 首先，我们这里不能根据牛顿第三定律来提供这一条件。因为如果承认牛顿第三定律， 则当然可以由（A）式得到（B）式，但是这就违背了我们在这里进行注解的初衷：我 们原本就是想撇开牛顿定律去得出（B） ；其次，第一章中已指出，牛顿第三定律实际 是一个关于力的性质的很强的假设，不是一个物理上普遍的定律,物理学中有些力并不 符合这个定律 （例如洛仑兹力） ； 另外， 第一章中我们还指出， 就现今物理学的观点看， 牛顿第三定律所说的“相互作用是同时的”值得怀疑，它隐含着力的超距作用机制在内， 这是第三定律用到近代物理中遇到的又一个困难。实际上力并不能即时跨越空间发生 作用，而是以不大于光速的有限速率传递的。 ②. 迄今为止， 人们发现对于一个孤立的系统 （即没有受到外力作用的系统） ， 动量都守恒。 也就是说，一系统即使不服从牛顿定律，但只要是孤立的，动量守恒定律仍成立。所 以，动量守恒定律可以不依赖于牛顿第三定律而独立存在，而且是比牛顿定律更为基 本的（或说更为普遍的）物理规律。质点系的动量守恒律可以被表为：如果作用于质 点系的总外力为零， 则质点系的总动量不变， 而不论内力是多么复杂地相互作用着 （注 意这里动量守恒是针对整个质点系来说的，至于组内各个质点的动量则因各自所受到 的内力和外力之和未必也是零而不守恒） 。 这样就可以由动量守恒律得出上述内力之和 为0即 恒律
∑F
i =1
n
(i ) i
= 0 条件并由（A）推出（B）时已
看到，除了动量守恒律外还应用了单个质点的动量定理。实际上不论是正文还是刚才 所注的推导都不是由一般到特殊的推理，推导过程中都临时插入了除前提以外的条件 （如牛顿第三定律或动量守恒律等） ， 因此严格意义上只是“引出”而不是“推出” 。 反过来， 牛顿第二定律及单个质点的动量定理却确实能作为质点系动量定理的特例。可见，相 比起来，质点系动量定理最弱、最基本。引出式的“推出”只是出于教学上的考虑，动 量定理作为更普遍的公理其实也不需要去推出。

大学物理B层次--第二章 质点动力学

大学物理B层次--第二章 质点动力学
24
例题2-8 质量为m的质点，经时间t、以不变的速 率越过一水平光滑轨道60º 的弯角，求轨道作用于质 点的平均冲力的大小。 解 平均冲力可视为恒力，由动量定理有 m: I=F.t=m2-m 1
m
m 平均冲力 F= (2- 1 ) t （1） 这里|1 | = |2 | =。
求解(2- 1 )的方法有两个：
m
a

N
m

a
ma mg
22
§2-3 质点动量定理
1.冲量 冲量 I

t2
t1
Fdt , 对恒力F, I F (t2 t1 )
牛顿表述的第二定律是：F dp d (m )
2.质点动量定理
dt
dt
两边同乘dt, 再对上式积分,则可得到
I F dt p2 p1
m1
m2
m1g
m2g
(m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2 (m1 m2 ) g m1a0 a2 m1 m2 (2 g a0 )m1m2 T m1 m2
12
例题2-3 一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速 地前进,木箱与地面的摩擦系数µ =0.6,肩上绳的支持点 距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力? 解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µ N 解得： mg F cos sin L F有极小值的充要条件是： h N
19
2.加速平动参考系中的惯性力 在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和分析 物体的运动。然而在非惯性系中牛顿定律是不成立。
如果在相对于惯性系S以加速度a作直线运动的非 惯性系S中,假定每个质量为m的物体除了受到真实的 外力F作用外,还受到一个附加的、假想的力Fi=-ma的 作用,那么我们就可以在非惯性系中形式地利用牛顿 定律来解决力学问题了。 这一假想的力: Fi=-ma 惯性力 请注意：这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性 系S相对于惯性系S的加速度。

理论力学第二章 质点组力学-2)

理论力学第二章 质点组力学-2)

m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)

理论力学第二章 质点组力学习题(带答案解析)

理论力学第二章 质点组力学习题(带答案解析)

《理论力学》第二章质点组力学一、单选题（共14题）1、对功的概念有以下儿种说法:()①保守力作正功时,系统内相应的势能增加②质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零.③作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作功的代数和必为零.A、①、②是正确的B、②、③是正确的C、只有②是正确的D、只有③是正确的正确答案：C解析：①错(保守力作正功时,系统相应的势能减少)。

③错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方向相反,但两者所作功的代数和不一定为零;而等于力与两者相对位移的乘积。

)2、一小球在竖直平面内作匀速圆周运动,则小球在运动过程中:()A、机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒;B、机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒;C、机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒;D、机械能守恒、动量守恒、角动量守恒。

正确答案：A解析：小球在竖直平面内作匀速圆周运动,其动能不变,势能改变,所以机械能不守恒。

小球在运动过程中,速度方向在改变,所以动量不守恒。

由于小球作匀速圆周运动,它所受的合力指向圆心,力矩为零,所以角动量守恒。

3、甲、乙、丙三物体的质量之比是1:2:3,若它们的动能相等,并且作用于每一物体上的制动力都相同,则它们制动距离之比是:()A、1:2:3B、1:4:9C、1:1:1D、3:2:1正确答案：C解析：由动能定理可知三个制动力对物体所作的功相等;在这三个相同的制动力作用下,物体的制动距离是相同的.4、如图的系统,物体A,B置于光滑的桌面上,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧压缩,后拆除外力,则A和B弹开过程中,对A、B、C、D和弹簧组成的系统()A、动量守恒,机械能守恒;B、动量不守恒,机械能守恒;C、动量不守恒,机械能不守恒;D、动量守恒,机械能不一定守恒.正确答案：D解析：桌面光滑,A、B、C、D和弹簧组成的系统不受外力,动量守恒;在A和B弹开过程中,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,一定存在摩擦力,如果A、C或B、D之间没发生相对位移,摩擦力不做功,则机械能守恒,若发生了相对位移,摩擦力做负功,机械能不守恒。

2023大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载

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2023理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解__3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。

本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。

本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。

质点组力学

质点组力学

T Ti
2016/8/31 长春大学应用物理系 2
根据质点系的划分，作用于质点的力可分为内力和外力 内力：质点组内质点之间相互作用的力 该力在质点组内始终是成对出现的，且满足牛顿第三定律，对 于整个质点系而言，其内力的矢量和为零。即：
(i ) n n F f ij 0
n
2016/8/31 长春大学应用物理系
内力矩为 17 零？？
为什么内力矩为零？？
r1 f12 r2 f 21 (r2 r1 ) f 21 r12 f 21 r12 f12 0
n
r1
1
f12
o
r12
r2
dpy
d n n e mi viy Fiy dt dt i 1 i 1
dpz d n n e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
对微分式积分,得动量定理的积分表达式为
质点组的动量变化，只 与外力有关，（即外力 才能改变质点组的动 量），而与内力无关， 内力只能改变质点系内 各质点的动量。
t2 p2 p1 t1 Fdt
冲量定理
2016/8/31
Fdt
冲量元
质点组动量的改变等于合外力对质点组的冲量
长春大学应用物理系 11
二、质心运动定理
2 n n e d ri mi Fi 2 dt i 1 i 1
d mi ri
2 i 1
d mi v i
i 1
n
动量定理 微分形式
dt
F
i 1
n
(e) i
说明：质点组动量对时间的微分等于作用于此质点组外力的矢 量和。

大学物理第二章质点动力学习题解答

大学物理第二章质点动力学习题解答

2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为 m 1,m 2的物体(m 1M m 2),天平右端的托盘上放有砝码.问天平托盘和 砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴 承摩擦，绳不伸长。

解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用 牛顿第二定律：第二章习题解答2-17质量为2kg 的质点的运动学方程为r (6t 2 1)? (3t 2 3t 1)?(单位：米，秒)，求证质点受恒力而运动，并求力的方 向大小。

解：T a d 2r/dt 2 12? 6?, F ma 24? 12?为一与时间无关的恒矢量， 质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=12 ■ 5N ，力与x 轴之间夹角为：arctgF y / F xarctg 0.526 34'2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为:r acos t ? bsin t ?, a,b,3为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点证明：•.• a d 2r /dt 22(acos t? bsin tp) 2rF ma m 2r , •••作用于质点的合力总指向原点2-19在图示的装置中两物体的质量各为 m 1,m 2，物体之间及物 体与桌面间的摩擦系数都为卩，求在力F 的作用下两物体的加速度 及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离 m 1,m 2,受力及运动情况 如图示，其中：f 1=卩N 1=卩m 1g ， f 2=卩N 2=卩(N 1+m 2g)=卩(m 1+m 2)g.在水平方向对 两个质点应用牛二定律：①+②可求得：a F 2 m 1ggm 1 m 2JlN 1 T ---------------- * f 11Fm1ga 亠T m g m 1a ① F m 1g (m 1 m 2)g T m 2a ②将a 代入①中，可求得：Tm 1(F 2 mg) m 1 m 2仃N 1 ‘‘ m2ga -N 1a 1一 1 • f 1 I'm 1gT' m 1 g m 1a ① m 2g T' m ?a ②T 2T' 由①②可求得：T' 2m 1m 2g T m 1 m 2 '2mim 2g m 1 m 22-21 一个机械装置如图所示，人的质量为m 仁60kg ，人所站的底 板的质量为m 2=30kg 。

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[例] 在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两 端距通过该轴水平面的距离为 s 与 s′. 两个质量分别 为 m 和 m′的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加 速度向上爬并同时到达滑轮轴所在平面. 假定滑轮的质 量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多长时 间，两人可以同时到达？ [解] 令滑轮的半径为 r ， 爬绳的 A 速度为 v ，B 为 v′ ，则他们对通过 滑轮中心的水平轴的动量矩为
假定某质点组由 n 个质点组成，则质点组中诸内力的总 和亦必等于零，即 n n
F (i ) = ∑∑ fij = 0
i =1 j =1
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2
孤立系：如果一个质点组不受任何外力作用，则叫做孤 立系或闭合系 .
二 质心
质心的定义 设 n 个质点组成质点组，它们的质量为 m1 , m2 , …, mn， 位于 P , P2 , …, Pn 诸点，这些点对某一指定的参照点 O 1 的位矢是 r1 , r2 , …, rn ，则质心 C 对此同一点的位矢 rC 满足如下关系： n n rC = OC = ∑ mi ri ∑ mi
i =1
则
J x = ∑ mi ( yi zi − zi yi ) = 常数
i =1
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n
三 对质心的动量矩定理
固定坐标系： O − xyz 随动坐标系： C − x′y′z ′ 对此随动的坐标系来讲，Pi 的动 力学方程为 d 2 ri′ mi 2 = Fi (i ) + Fi ( e ) + (− mi rC ) dt
n 2
其中， p =
∑mv
i =1
n
i i
是质点组动量，等于质点组中各质点动量的矢量和，故
dp n ( e ) = ∑ Fi dt i =1
或写成
⎛ n (e) ⎞ dp = ⎜ ∑ Fi ⎟ dt ⎝ i =1 ⎠
此即质点组的动量定理 .
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质点组的动量定理 分量形式：
dp n ( e ) = ∑ Fi dt i =1
ri × Fi ( e ) ) = ∑ M i = M ∑(
n n i =1 i =1
动量矩定理 分量形式
dJ =M dt
或
dJ = Mdt
n d n mi ( yi zi − zi yi ) = ∑ ( yi Fiz( e ) − zi Fiy( e ) ) ∑ dt i =1 i =1 n d n mi ( zi xi − xi zi ) = ∑ ( zi Fix( e ) − xi Fiz( e ) ) ∑ dt i =1 i =1 n d n mi ( xi yi − yi xi ) = ∑ ( xi Fiy( e ) − yi Fix( e ) ) ∑ dt i =1 i =1
此即质心运动定理 .
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三 动量守恒律
若质点组不受外力或外力矢量和为零，即
∑F
i =1
n
(e)
i
=0
则 故
dp n ( e ) = ∑ Fi = 0 dt i =1
p = 恒矢量
p = mvC
vC = 恒矢量
在此情形下，质点组的动量是一个恒矢量，而其质心 作惯性运动，此即质点组的动量守恒律 . 如果作用在质点组上的诸外力在某一轴上的投影之和 为零，则动量在此轴上的投影为常数 .
⎡⎛ M ⎞ 2 ⎤ 2 = V 1 + ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ cos α ⎢⎝ M + m ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
⎡ m(2 M + m) ⎤ 2 = V ⎢1 − cos α ⎥ 2 ( M + m) ⎣ ⎦
1 2
若 v 与水平线间夹角为 θ ，则
V sin α m ⎛ = ⎜1 + tgθ = = M vx ⎝ M V cos α M +m vy
xC
设均匀扇形薄片密度为 ρ ，任意取一小面元 dS，则
∫ xdm = ∫ dm
dm = ρ dS = ρ rdθ dr
x = r cos θ
θ
0 a
所以
xC =
∫ xdm ∫ dm
=
∫∫ xρ rdθ dr ∫ ρ rdθ dr
=
ρ ∫ cos θ dθ ∫ r 2 dr
−θ
θ
a
ρ ∫ dθ ∫ rdr
mvx + MU = 0 (用绝对速度)
由相对运动关系可知
V cos α + U = vx , V sin α = v y
M m vx = V cos α , v y = V sin α , U = − V cos α M +m M +m
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v = v +v =
2 x 2 y
M 2 2 2 2 V cos α + V sin α M +m
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二 动量矩守恒律
如果作用在质点组上的外力对某一定点 O 的合力矩为 零，则
dJ =0 dt
J = 恒矢量
如果作用在质点组上的诸外力对某定点 O 的力矩虽 不等于零，但对通过原点 O 的某一坐标轴(设为 x 轴), 的力矩为零，则质点组的动量矩在 x 轴上的投影为常 数，即 n yi Fiz( e ) − zi Fiy( e ) ) = 0 若 ∑(
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二 质心运动定理
rC = ∑ mi ri
i =1 n
∑m
i =1
n
i
mrC = ∑ mi ri
i =1
n
其中， m = ∑ mi
i =1
n
为质点组的总质量 .
n
mvC = ∑ mi vi
i =1
dvC m = ∑ Fi ( e ) dt i =1
n
或写成
n d 2 rC m 2 = ∑ Fi ( e ) dt i =1
−θ 0
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xC
∫ xdm = ∫∫ xρ rdθ dr = = ∫ dm ∫ ρ rdθ dr
2 sin θ = a 3 θ
ρ ∫ cos θ dθ ∫ r 2 dr
−θ
θ
a
ρ ∫ dθ ∫ rdr
−θ 0
θ
0
a
对于半圆片的质心，即 θ =
π
2
，有
2 sin θ 4 a xC = a = θ 3 3π
⎛ d 2 ri ∑ ⎜ r × mi dt 2 i =1 ⎝
n n ⎞ n (i ) = ∑ ( r × Fi ) + ∑ ( r × Fi ( e ) ) ⎟ i =1 ⎠ i =1
2
内力总是成对出现，它们大小相等而方向相反，并在同 一直线上，所以内力对 O 点的力矩之和为零 .
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z
Pi
ri′ ri rC
O
C
y
x
其中， − mi rC )是惯性力 . ( 用 ri′ 叉乘上式的两边，并对 i 求和，得
n n d n ′× mi r ′ ) = ∑ ( ri′× Fi ( e ) ) + rC × ∑ mi ri′ ∑ ( ri dt i =1 i =1 i =1
青岛科技大学数理学 n ⎛ n (i ) ⎞ d 2 ri (i ) (e) (e) ∑ mi dt 2 = ∑ Fi + ∑ Fi = ∑ Fi ⎜ ∑ Fi = 0 ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 i =1 i =1 n
d ri d n ⎛ dri ⎞ d n dp ∑ mi dt 2 = dt ∑ ⎜ mi dt ⎟ = dt ∑ mi vi = dt ⎠ i =1 i =1 ⎝ i =1
J = mvr − m′v′r
外力 m′g 和 mg 对同轴的力矩为
B
v′ ′ s
sv
A
M = m′gr − mgr
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m′g
mg
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由动量矩定理可得
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n n d n ri′× mi r ′ ) = ∑ ( ri′× Fi ( e ) ) + rC × ∑ mi ri′ ∑( dt i =1 i =1 i =1
因 C 为质心，故
∑ m r′ = 0
i =1 i i
n
n d n ri′× mi r ′ ) = ∑ ( ri′× Fi ( e ) ) ∑( 所以 dt i =1 i =1 dJ ′ = M′ 质点组对质心的动量矩定理： dt [例] 在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两 端距通过该轴水平面的距离为 s 与 s′. 两个质量分别 为 m 和 m′的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加 速度向上爬并同时到达滑轮轴所在平面. 假定滑轮的质 量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多长时 间，两人可以同时到达？
dpx d ⎛ n ⎞ n (e) = ⎜ ∑ mi vix ⎟ = ∑ Fix dt dt ⎝ i =1 ⎠ i =1 dp y d ⎛ n ⎞ n (e) = ⎜ ∑ mi viy ⎟ = ∑ Fiy dt dt ⎝ i =1 ⎠ i =1 dpz d ⎛ n ⎞ n (e) = ⎜ ∑ mi viz ⎟ = ∑ Fiz dt dt ⎝ i =1 ⎠ i =1
i =1 i =1
质心坐标（直角坐标系）
xC = ∑ mi xi
i =1 n
∑m , y
i =1 i
n
C
= ∑ mi yi
i =1
n
∑m ,z
i =1 i
n