当前位置：文档之家 › 第二章_质点组力学解析

第二章_质点组力学解析

  • 格式：ppt
  • 大小：1.99 MB
  • 文档页数：69

下载文档原格式

  / 69

合集下载

第二章 质点组力学

第二章 质点组力学

22
质心运 动定理
（质点组动力学第一基本定理） 质点组动力学第一基本定理）
物理意义
质心的运动，犹如这样一个质点的运动， 质心的运动，犹如这样一个质点的运动，这个质点的质 量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在 量等于整个质点组的质量， 质点组上所有外力的矢量和。 质点组上所有外力的矢量和。
即
∑F
i =1
n
(e ) ix
=0
dp x =0 dt
或
p x = ∑ m i v ix = mv cx = 常量
i =1
n
25
例 一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身和炮车质量 一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m 和等于M 炮车可以自由地在铁轨上反冲。 和等于 M ， 炮车可以自由地在铁轨上反冲 。 如炮身与地面成一 角度α 炮弹相对炮身的速度为V 角度α，炮弹相对炮身的速度为V，试求炮弹离开炮身时对地面 的速度 v 及炮车反冲的速度 U 。 解： 本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用，因为火 本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用， 药爆炸力是内力，故沿x方向动量守恒，即 药爆炸力是内力，故沿x方向动量守恒，
23
质点组不受外力或合外力为0 质点组不受外力或合外力为0 时，由动量定理可得: 由动量定理可得:
n dp (e ) = ∑ Fi = 0 dt i =1
故
而
p = mvc
因此
质点组动 量守恒律
（质心作惯性运动） 质心作惯性运动） 24
动量守恒律还适于各外力在某一轴上投影之和为零的情形。 动量守恒律还适于各外力在某一轴上投影之和为零的情形。
y V U x
27
α
v = v +v

第二章质点组力学

第二章质点组力学

对此式左边可进一步改写为
d 2ri d n dri d n dp ∑ mi dt 2 = dt ∑ mi dt = dt ∑ mi vi = dt i =1 i =1 i =1
n
式中 p = ∑ m v 是质点组的动量.所以
i =1 i i
n
dp = dt
∑
n
i =1
F(i e )
总之,将质点组中每一质点的微分方程加 和,且考虑到内力总和为零,得质点组的 质点组的 n 动量定理: 动量定理 d mv
n n ( in ) i =1 j =1 j≠i
ij
=0
① 逐个对质点加以描述和研究的方法,原则 上可用,但得出的是方程数目庞大的二阶微 分方程组,难以解算; ② 况且内力一般是未知量从而问题更复杂. 2.质点组研究方法 2.质点组研究方法: 质点组研究方法: 从整体上去把握质点组,但不是利用统计方 法,而是以点代体,即寻找一个与"整体" 等当的特殊点(或说代表点)——质心来研 究.
动能.必须使外力所作的功和内力所作的功 之和大于零,系统的动能才会增加.仅仅是 内力作功也可以使系统动能增加.例如,汽 车从静止变为运动或炸弹的爆炸,正是由内 力作功所致;又如,大炮发射炮弹时,水平 方向动量虽然守恒,但相应的动能并不守恒, 因为两者原来都是静止的,当炮弹发射时, 炮身反冲,两者都有速度,也即两者都有动 能.
i (e ) (i) i i
ri × Fij + r j × Fji = (ri r j ) × Fij
而 ri rj 与 Fij 共线,其矢量积为零.得到 dJ = ∑ ri × Fi(e) (2) dt i (2)式表明:质点组对定点的动量矩的时 间变化率等于受到的外力矩,即 其中

理论力学第二章质点组力学

理论力学第二章质点组力学

(质心的运动就等于所有外力和 质量都集中在质心时质点的运动).
*质点组中质点运动定律 d ri ( e ) (i ) mi 2 F i F i dt ( e) (i ) d 2 rci mi 2 Fi Fi (mi r c) dt
2
roi f i 0
i
roi
:质点i相对于参考点o的位矢
③在质点组中,内力所作元功之和一般不能互相抵消 (刚体例外).
*表明在计算质点组的运动、动量和动量矩时不必考虑内力 的作用. 但在计算质点组的动能时,还应考虑内力所作之元功.
证明: (1)质点组中所有内力之和(矢量和)等于零。
(在质心系)
例 自然长度为 l ,劲度系数为 k 的弹簧，两端连结质量为m的质点，静置在 光滑水平面上。在t=0时,质点2获一向右速度 v0 ,讨论其后运动。
解 这是两质点的质点组。选择静系为ox.
1 x 质心在静系的位置为 c 2 ( x1 x 2 ) 1 x ( 0 ) ( x10 x 20 ) 且设t=0时x10 =a,x20=b c 2
0
ri fi 0
i
(3)在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵 消的证明:
则
i i dw i f 12 dr d r2 1 f 21 i = f 21 d r2 r1 i = f 21 dr i =- f 12 dr
对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知:
fij f ji fij f ji 0
fij
n (i ) F i
f ij 0

第2章 质点组力学

第2章 质点组力学
则质点系总外势能：
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:

大学物理第2章-质点动力学基本定律

大学物理第2章-质点动力学基本定律
②保守力作功。
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b

应用物理 第二章 质点组力学.ppt

应用物理 第二章 质点组力学.ppt

2 (e
)12rmc vFc2(eT)
M
总结：质点组的动量、动量矩、动能分别等于质心的动 量、动量矩、动能与各质点对质心的动量、动量 矩、动能之和。
上页 下页 返回 结束
第二章 质点组力学
dp

dpc

F (e)
dt dt
三 大
dJ

M
dt
dJ

i 1
动量矩：
n n
J Ji ri pi
i 1
i 1
动 能：
T

n
Ti
i 1

n i 1
1 2
m
i
v
2 i
上页 下页 返回 结束
第二章 质点组力学
1、 内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。

n n
F (i)
fij 0
i1 j1
即
J

恒矢量
n
M x (yi Fiz zi Fiy ) 0
i 1
n
J x mi ( yi zi zi yi ) C (常量)
i 1
上页 下页 返回 结束
第二章 质点组力学
3、对质心的动量矩定理
C系：随着C相对于S系平动
ri

rc

ri
S系 y
第二章 质点组力学
第二章 质点组力学
上页 下页 返回 结束
第二章 质点组力学
§2.1 质点组
质点组：由许多（有限或无限）相互联系着的质点所 组成的系统。
内 力：质点组中质点间的相互作用力。
外 力：质点组以外的物体对质点组内质点的作用力。

理论力学课件 第二章质点组力学讲解

理论力学课件 第二章质点组力学讲解

心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
v
2 y
V
1 m(2M m) cos2
(M m)2
tan vy (1 m ) tan
vx
M
故由于炮车反冲 v V 而 。
例3 一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物
体到最,以高与时水，平将线物成体α以角相的对速于度他v自0向己前的跳速。度当他u跳
水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远 的距离增加了多少？
m m
4 V v 4
zc

h
s

(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点

力学讲义-2质点动力学

力学讲义-2质点动力学

K dr
≠
0
势能：保守力所作的功等于势能函数的减少（即势能增量的负值），即
重力势能为
A = −ΔEP
Ep = mgh （以 h = 0 处为势能零点）
弹性势能为
EP
=
1 2
kx2
万有引力势能为
（ k 为劲度系数，以弹簧原长处为势能零点）
EP
=
−G
m′m r
（以 r = ∞ 处为势能零点）
机械能守恒定律：若作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功或作功之和为
以摩擦力作功为变力作功，而从开始到链条离开
桌面，可由功能原理求得离开桌面的动能，从而求得速率。
解
（1） 建立坐标如图 2-3(b)所示，设任意时刻，链条下垂长度为 x，则摩擦力大小为
f = μ m (l − x)g l
摩擦力的方向与位移方向相反，故整个过程中摩擦力作功为
（1）
6
∫ ∫ Af
=
l f cos180o dx =
⋅
l 2
Ek
=
1 mυ 2 2
Ek0 = 0
将（3）、（4）、（5）、（6）、（7）代入（2）得
− μmg (l − a)2 = −mg l + 1 mυ 2 + mg a 2
2l
22
2l
解得
（4） （5） （6） （7）
υ = [l 2 − a 2 − μ (l − a)2 ]g L
（8）
【方法要略】 此题的关键是正确写出变力作功的表达式，求得摩擦力作的功；然后应
【知识扩展】 由上式结论知，当 t → ∞ ，υ → 0 ，其原因为，摩擦力与正压力 N 成正
比，而 N 与速度平方成正比，随着 t 增大，速度越来越小，但正压力也变小，随之摩擦力变

理论力学(周衍柏)第二章质点组力学.

理论力学(周衍柏)第二章质点组力学.

⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能 ' 1 T= mi rc ri 2 i 1
n n 2 n 2
n ' 1 1 mi rc mi ri rc mi ri 2 i 1 2 i 1 i 1 n ' 1 1 m rc mi ri rc mi ri 2 2 i 1 i 1 n 2 2 '
(i ) (e) 1 2 d ( mi ri ) dTi Fi dri Fi dri 2 其中, ri 是质点的速度, dri 则是它的位移。
对i求和
n
n n 1 2 ( i ) (e) d ( mi ri ) Fi dri Fi dri i 1 2 i 1 i 1

t2
t1 t2
M ox dt M oy dt M oz dt

t1 t2
t1
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果 ，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上 的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
M ox 0 yi Fiz e zi Fiy e 0,
(e) xi Fiz (e) yi Fix
(e) iy

dJ y dJ x dJ 即 M ox , M oy , z M oz dt dt dt
质点组的动量矩的积分形式 t2
t1
J 2 J1 Mdt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

第二章 质点组力学讲解

第二章 质点组力学讲解

的位矢为 Pi
作用在点

Pi 上各力的合力为
Fi

F (i) i

F (e) i
则质点
Pi 的运动微分方程为
mi
d
2
ri
dt 2


F (i) i

F (e) i
mi
d
2
ri
dt 2


F (i) i


F (e) i
应用于整个质点组，得
n
i 1
mi
d
2
ri
dt 2
第二章 质点组力学
§2.1 质点组 一、质点组的内力和外力 1 质点组
由许多（有限或无限）相互联系着或者说相互 作用着的质点所组成的系统
2 质点组的内力和外力
内力：质点组中质点间的相互作用的力。 特征：任何一对质点（例如第i个质点和
第j个质点）间的相互作用力，满足牛顿第三 定律，相等而相反，且在一条直线上。
4 xdm
3

dm
4 x ( 1x2 )dy 3 2
( 1x2 )dy 2
据相似三角形 y h
xa
y hx a
dy h dx a
XC
Xdm
dm
4 xdm
3

dm
4 x ( 1x2 )dy 3 2
( 1x2 )dy 2
dy h dx a
x
h
a y
解:如图建立坐标系，在距离顶点为 y 的地方，选取一半径为 x 的半圆薄片,作
微元，圆锥体的密度设为 ，则
O
x
dm (1 x2 )dy

大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题

大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题

第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。

二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。

难点：微积分方法求解变力做功。

（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。

2.保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。

(四)主要内容： 1．动量、冲量动量：p mv =u r r冲量：⎰⋅=21t t dt F I ϖϖ2．动量定理：质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I ϖϖϖϖϖ 质点系动量定理：dtPd F ϖϖ=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F ϖ时，或in ex F F u r u r ? 系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 1ϖϖ4．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos ϖϖ（θ为)之间夹角与r d F ϖϖ直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=（质点所受合外力做功等于质点动能增量。

）（2）质点系动能定理:∑∑==-=+ni ni E E W W1kio1ki inex（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。

第2章 质点系力学

第2章 质点系力学

现在来补充说明
∑F
i =1
n
(i ) i
= 0 这一条件。
①. 首先，我们这里不能根据牛顿第三定律来提供这一条件。因为如果承认牛顿第三定律， 则当然可以由（A）式得到（B）式，但是这就违背了我们在这里进行注解的初衷：我 们原本就是想撇开牛顿定律去得出（B） ；其次，第一章中已指出，牛顿第三定律实际 是一个关于力的性质的很强的假设，不是一个物理上普遍的定律,物理学中有些力并不 符合这个定律 （例如洛仑兹力） ； 另外， 第一章中我们还指出， 就现今物理学的观点看， 牛顿第三定律所说的“相互作用是同时的”值得怀疑，它隐含着力的超距作用机制在内， 这是第三定律用到近代物理中遇到的又一个困难。实际上力并不能即时跨越空间发生 作用，而是以不大于光速的有限速率传递的。 ②. 迄今为止， 人们发现对于一个孤立的系统 （即没有受到外力作用的系统） ， 动量都守恒。 也就是说，一系统即使不服从牛顿定律，但只要是孤立的，动量守恒定律仍成立。所 以，动量守恒定律可以不依赖于牛顿第三定律而独立存在，而且是比牛顿定律更为基 本的（或说更为普遍的）物理规律。质点系的动量守恒律可以被表为：如果作用于质 点系的总外力为零， 则质点系的总动量不变， 而不论内力是多么复杂地相互作用着 （注 意这里动量守恒是针对整个质点系来说的，至于组内各个质点的动量则因各自所受到 的内力和外力之和未必也是零而不守恒） 。 这样就可以由动量守恒律得出上述内力之和 为0即 恒律
∑F
i =1
n
(i ) i
= 0 条件并由（A）推出（B）时已
看到，除了动量守恒律外还应用了单个质点的动量定理。实际上不论是正文还是刚才 所注的推导都不是由一般到特殊的推理，推导过程中都临时插入了除前提以外的条件 （如牛顿第三定律或动量守恒律等） ， 因此严格意义上只是“引出”而不是“推出” 。 反过来， 牛顿第二定律及单个质点的动量定理却确实能作为质点系动量定理的特例。可见，相 比起来，质点系动量定理最弱、最基本。引出式的“推出”只是出于教学上的考虑，动 量定理作为更普遍的公理其实也不需要去推出。

大学物理B层次--第二章 质点动力学

大学物理B层次--第二章 质点动力学
24
例题2-8 质量为m的质点，经时间t、以不变的速 率越过一水平光滑轨道60º 的弯角，求轨道作用于质 点的平均冲力的大小。 解 平均冲力可视为恒力，由动量定理有 m: I=F.t=m2-m 1
m
m 平均冲力 F= (2- 1 ) t （1） 这里|1 | = |2 | =。
求解(2- 1 )的方法有两个：
m
a

N
m

a
ma mg
22
§2-3 质点动量定理
1.冲量 冲量 I

t2
t1
Fdt , 对恒力F, I F (t2 t1 )
牛顿表述的第二定律是：F dp d (m )
2.质点动量定理
dt
dt
两边同乘dt, 再对上式积分,则可得到
I F dt p2 p1
m1
m2
m1g
m2g
(m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2 (m1 m2 ) g m1a0 a2 m1 m2 (2 g a0 )m1m2 T m1 m2
12
例题2-3 一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速 地前进,木箱与地面的摩擦系数µ =0.6,肩上绳的支持点 距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力? 解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µ N 解得： mg F cos sin L F有极小值的充要条件是： h N
19
2.加速平动参考系中的惯性力 在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和分析 物体的运动。然而在非惯性系中牛顿定律是不成立。
如果在相对于惯性系S以加速度a作直线运动的非 惯性系S中,假定每个质量为m的物体除了受到真实的 外力F作用外,还受到一个附加的、假想的力Fi=-ma的 作用,那么我们就可以在非惯性系中形式地利用牛顿 定律来解决力学问题了。 这一假想的力: Fi=-ma 惯性力 请注意：这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性 系S相对于惯性系S的加速度。

理论力学第二章 质点组力学-2)

理论力学第二章 质点组力学-2)

m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)

第二章 质点组力学

第二章 质点组力学

第二章 质点组力学2.1 均匀扇形薄片的半径为，所对的圆心角为，求其质心，并证半圆片的质心离圆心的距离为解：略 取对称轴为轴，则2.2 如自半径为的球上，用一与球心相距为的平面切出一球形帽，求此球形帽的质心。

解：略 质心离球心的距离为2.3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。

此人用与地平线成 角的速度向前跳去。

当他达到最高点时，将物体以相对速度水平向后抛出。

问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？解：在水平方向上动量守恒，由于向后抛出物体，人的速度变为，则所以从最高点落下经历的时间为故多跳的距离为2.4 质量为的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的质量为，又可在光滑水平面上自由滑动。

试求（1）质点水平方向的加速度；（2）劈的加速度；（3）劈对质点的反作用力；（4）水平面对劈的反作用力。

解：如图取惯性系，由水平方向的动量守恒及机械能守恒得又联立解之得由水平方向的动力学方程 得由垂直方向的动力学方程 得2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直与圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。

解：略2.6 一炮弹的质量为，射出时的水平和竖直分速度为及。

当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量E，使此炸弹分为及两部分。

在开始时，两者仍沿原方向飞行，试求它们落地时相隔的距离，不计空气阻力。

解：炮弹在竖直方向上升、下降时间为；炮弹在最高点爆炸时，质心水平方向作惯性运动，故可用质心系处理水平方向的运动。

有相对质心的动量及能量守恒得所以 ，故落地时相距2.7 质量为，半径为的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。

有一质量为的质点沿此半球面滑下，设质点的初速度与球心的联线和竖直向上的直线间所成之角为，并起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心地联线和竖值向上直线间所成之角为时之值。

解：以质点组为研究对象：水平方向不受力动量守恒；重力有势，内力不做功机械能守恒。

质点相对半球的速度为，沿切线方向，半球的速度沿水平方向，质点相对地面的速度为。

力学 第二章 质点运动学

力学 第二章 质点运动学
方向： 90， arccos vy 3342 '
v
arccos vz 5618'
v
二、平均加速度与瞬时加速度
1、平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率。
a v v(t t) v(t)
t
t
v(t )

v

速度矢端曲线
v( t t )
§2.3 质点的直线运动(x vx ax )
一、运动学方程
x xt
二、速度和加速度
1、速度（瞬时速度）
vx

dx dt
大小表示质点在t时刻运动的快慢；
正负分别对应于质点沿Ox正向和负向运动。
2、加速度
ax

dvx dt

d2x dt 2
ax与vx同号，则加速；ax与vx反号，则减速。
4、质点的运动学轨迹方程
质点运动时描出的轨迹称为质点的轨迹。 也就是位置矢量的矢端曲线。
质点在平面Oxy上运动，
轨迹方程： y y(x) 或者：f (x, y, z) 0
例题：r R cos tiˆ R sin tˆj, 求:轨迹方程。
y R
解： x2 y2 R2.
x
二、位移
v
v
v
4、注意：
（1）平均速度的大小不等于平均速率。 （2）瞬时速度的大小等于瞬时速率。 （3）即使位置矢量的大小不变，也可以有速度。
ΔS
r(t )
r
S
r(
t

t
)
o
dr / dt
r(t )
ΔS

S
r

r( t t )

理论力学第二章质点组力学

理论力学第二章质点组力学
i 1 i 1
n
n
e
dri Fi dri
i i 1
n
注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点； 2）内力的功一般不为零。
1 f i
12
dWi f12 dr1 f 21 dr2
i i i f 21 d r2 r1 f 21 dr f12 dr
km1m2 1 km1m2 1 2 2 m1v1 m2 v2 a 2 2 a/2
解得
v1 m2
2k 2k , v2 m1 a m1 m2 a m1 m2
用动能定理
km1m2 1 1 2 2 d m1v1 m2v2 2 dr 2 r 2
i
i
m
i 1
i
不均匀的连续体
xc
V
xdm
V
dm
yc
V
ydm
V
dm
zc
V
zdm
V
dm
3. 质点组的动量守恒定律 若
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p mvc 恒矢量
px mvcx 恒矢量
p y mvcy 恒矢量
F ix
J mvr mvr 力矩为 M mgr mgr
由动量矩定理，得
d mv mv r dt m m gr
即
ma ma m m g 2 2 a 2 s / t , a 2 s / t 若t为共同到达时间，则
i
i
r1
r
f 21
i
2
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

n
求式（2.2.7）两侧对时间 t 的微商，则得
P mi vi mvc （2.2.8）
i 1
式中 vc 是质点组质心的速度，于是，由（2.2.4）式，得
n dvc m Fi ( e ) dt i 1
n d 2 rc (e) 或 m 2 Fi （2.2.9） dt i 1
n d n (e) (e) m ( y z z y ) ( y F z F ) i i i i i i iz i iy dt i 1 i 1 n d n (e) (e) m ( z x x z ) ( z F x F ) i i i i i i ix i iz dt i 1 i 1 n d n (e) (e) m ( x y y x ) ( x F y F ) i i i i i i iy i ix dt i 1 i 1
n n d 2 ri (e) (i ) m F F i i i 2 dt i 1 i 1 i 1 n
（2.2.2）
而由牛顿运动第三定律，知内力的总和为零，于是式（2.2.2）变为
n d 2 ri (e) m F i i 2 dt i 1 i 1 n
（2.2.3）
ix
dpx 0 0 dt
或 px
m v
i 1
i ix
mvcx 常数
因而，在这一情形下，虽然质点组的动量并不是一个恒矢量，但它在 这一轴（现在 x 轴）上的投影却保持为常数，或者说，质点组质心的 速度，在这一轴上的投影为一常数，亦即我们得到了一个第一积分， 在解算具体问题时，常常要用到这运动第二定律，得质
d 2 ri mi 2 Fi ( e ) Fi ( i ) dt
（i=1,2,3…，n） （ Fi
(i )
f ij ） (2.2.1)
j 1 j i
n
我们可以对质点组中每一质点写出这样的微分方程， 一共得到 n 个微 分方程。但如果把这 n 个方程加起来，则得
n dp Fi ( e ) （2.2.4） dt i 1 n
或 dp (
(e) F i )dt （2.2.5） i 1
写成分量形式，则为
n dpx d n ( mi vix ) Fix ( e ) dt dt i 1 i 1 n dp y d n ( mi viy ) Fiy ( e ) （2.2.6） dt dt i 1 i 1 n dpz d n ( mi viz ) Fiz ( e ) dt dt i 1 i 1
1 m(2M m) 2 2 = V [1 cos ] (m M ) 2
（4）
如 v 与水平线间夹角为 ,则
V sin m tg (1 )tg M vx M V cos M m vy
故由于炮车反冲 v<V 而 >
(5)
方法二：炮弹与炮身沿相反方向运动，这时： mvx MU 0
[例]一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为 m，炮身及炮车质量和等于 M， 炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度α ，炮弹对炮 身的相对速度为 V，试求炮弹离炮身时对地面的速度 v 及炮车反冲的 速度 U。
[解]方法一：认为炮弹与炮身沿同一方向运动。 本题沿水平方向 （设为 x 方向） 无外力作用， 因为火药爆炸力是内力， 故沿 x 方向动量守恒，即 （1） mvx MU 0 （用绝对速度，不能用相对速度） 又由相对运动关系，知
rc OC
m r
i 1 n
n
i i
m
i 1
（2.1.3）
i
从式（2.1.3）可以看出：将各质点的质量乘其位矢并求知，然后除以总质 量，显然仍然代表一个位矢。这个位矢末端（始端仍在 O）所确定的一点， 定义为质点组的质心。 在直角坐标系中，质心的坐标为
xc
m x
i 1 n
n
i i
dJ M dt
（2.3.4）
这就是质点组动力学的第二个基本定理，叫做质点组的动量矩定量，它跟 质点的动量矩定量（1.8.14）亦类似，可用文字表述于下： 质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于诸外力对同一点的 力矩的矢量和。
式（2.3.4）也可改写
dJ Mdt
（2.3.5）
这是动量矩定理的另一数学表达式，即质点组动量矩的微分等于诸外力的 元冲量矩的矢量和。 将方程（2.3.4）投影在原点为 O 的三直角坐标轴上，就得到
因为
dri vi dt
是质点 pi 的速度，故对整个质点组而言，有
d 2 ri d n dri d n dp m ( m ) m v i i i i 2 dt dt dt dt dt i 1 i 1 i 1
n
式中
p mi vi
i 1
n
是质点组的动量， 等于质点组中诸质点动量的矢量和， 因此式 （2.2.3） 可改写为
V cos U vx ,V sin vy 。
补充例题：压路碾子在直线道路上运动，设滚子中心的速度为 v0 ，把手一 端被认为靠在地面上，若已知滚子与把手的质量分别是 M1 和 M 2 ，均视 为均质，试求此系统的动量。
解：∵ 滚子与把手均视为均质，故滚子中心即为滚子的质心，故 滚子的动量 P 1
（2.3.6）
（2）动量矩守恒律
1、全部守恒 如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点 O 的合力矩为零，即
dJ M 0 0 dt
因而得到矢量积分
J =恒矢量
这个关系叫做质点组动量矩守恒律。即质点组不受外力作用时，或虽 受外力作用，但这些力对某定点的力矩的矢量和为零，则对此定点而 言，质点组的动量矩为一恒矢量，亦即得到了运动方程的第一积分。
式（2.2.4） 、 （2.2.5） 、或式（2.2.6）是质点组动力学第一个基本定理， 叫做质点组的动量定理，即质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点 组上诸外力之矢量和，或质点组动量的微分等于作用在质点组上诸外力的 元冲量的矢量和。
（2）质心运动定理
因为
m r mr （2.2.7）
i 1 i i c n
dp 0 dt
p =恒矢量 p =m vc
vc =恒矢量
在此情形下， 质点组的动量是一个恒矢量， 而它的质心则作惯性运动， 这个关系，叫做质点组的动量守恒律。即质点组不受外力作用或 所受外力的矢量和为零而运动时，质点组的动量亦即质心的动量都是 一个恒矢量。
2、 部分守恒 条件
F
i 1 n
n
(e)
2、 部分守恒 如果作用在质点组上的诸外力对某定点 O 的力矩虽然不等于零，但对 通过原点 O 的某一坐标轴（设为 x 轴）的力矩为零，也就是说，如果
(e) (e) ( y F z F i iz i iy ) 0 i 1 n
则
J x mi ( yi zi zi yi ) 常数
2、 在动系上质点 Pi 的动力学方程
第二章
质点组力学
§2.1
质点组
（1）质点组的内力和外力
1． 质点组 我们把由许多 （有限或无限） 相互连系着的质点所组成的系统叫做质点组。 2． 内力和外力 质点组中质点间相互作用的力， 叫做内力； 质点组以外的物体对质点组 内任一质点的作用力，叫做外力。故任何一对质点（例如第 i 个质点和第 j 个质点）间相互作用的力，恒相等而相反并且作用在同一条直线，即 （2.1.1） fij f ji 0 ， 式中 fij 表示第 j 个质点对第 i 个质点的作用力。
V cos U vx ,V sin vy
由（1）及（2） ，得：
（2）
m U V cos M m M vx V cos M m v y V sin
2 x 2 y
（3）
M 2 2 v v v ( ) V cos2 V 2 sin 2 M m M 2 = V 1 [( ) 1]cos 2 M m
故（2.3.1）式可写成下列形式：
n dri d n (e) ( r m ) ( r F i i i i ) dt i 1 dt i 1 n
（2.3.3）
微商符号内的表示式可以简写为
(r p ) ，它和（1.8.10）式右边的形
i 1 i i
式类似，只是多一下标 i 和一求和号，它等于诸质点的动量对定点 O 动量 矩的矢量和，可以 J 表之，代表质点组对定点 O 的动量矩，也叫角动量。 又式 （2.3.3） 的右方也是诸外力对同一定点 O 的力矩的矢量和， 可以 M 表 之。这样式（2.3.3）就可简写为
m
i 1
， yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
， zc
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
（2.1.4）
i
如要求出连续性物体的质心，则一般要用重积分来解算。
§2.2 动量定理与动量守恒律
（1）动量定理
假定有一个由 n 个质点所组成的质点组，其中某一个质点 pi 的质 量为 mi ，对某惯性参考系坐标原点 O 的位矢为 ri ，作用在质点 pi 上 诸力的合力为 Fi ，则根据上节的讨论，知 Fi 可分为两类；一为内力， 以 Fi 表之；另一为外力，以 Fi 点 pi 的运动微分方程为
n n d 2 ri (i ) (e) ( r m ) ( r F ) ( r F ) （2.3.1） i i i i i i 2 dt i 1 i 1 i 1 n
(i ) ( r F i i )0 i 1
n
（2.3.2）
又
d 2 ri d dri ri 2 (ri ) dt dt dt