重庆市数学高三理数一诊模拟试卷

重庆市高2025届高三第一次质量检测数学试题（答案在最后）2024.9一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.不等式()()2110x x +-≥的解集为（）A.1{|2x x ≤-或1}x ≥ B.1{|2x x ≤-或1}x >C.1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集.【详解】()()2110x x +-≥的解为12x ≤-或1x ≥，故解集为：1{|2x x ≤-或1}x ≥，故选：A.2.集合{}1,1A a =+，{}0,,5B a a =-+，若A B A ⋂=，则a 为（）A.1B.1-C.4- D.1-或4-【答案】B 【解析】【分析】根据A B A = 可得A B ⊆，故求a 的值.【详解】因为A B A = ，故A B ⊆，故10a +=或1a a +=-，若1a =-，此时{}{}0,1,0,1,4A B ==，满足A B ⊆，若1a a +=-即12a =-，此时1191,,0,,222A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，不满足A B ⊆，故选：B.3.命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为（）A.(),0,e 20xx ax ∃∈-∞-≥ B.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥C.()0,,e 20x x ax ∃∈+∞-> D.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-<【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥.故选：B4.随机变量()2,4N ξ ，13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()()D D ξη=B.()()E E ξη=C.()122P ξ≤=D.()112P η==【答案】C 【解析】【分析】根据二项分布和正态分布的期望和方差公式可判断AB 的正误，根据正态分布的对称性可判断C 的正误，根据二项分布的概率的公式可判断D 的正误.【详解】对于AB ，()()132,322E E ξη==⨯=，故()()E E ξη≠，()()1134,3224D D ξη==⨯⨯=，故()()D D ξη≠，故AB 错误；对于C ，根据正态分布的对称性可得()122P ξ≤=，故C 正确；对于D ，()131131C 248P η==⨯⨯=，故D 错误；故选：C.5.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.01；而把365(11%)-看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的约（）（参考数据：lg0.990.004,lg1.010.004,lg832 2.92≈-≈≈）A.99倍B.101倍C.292倍D.832倍【答案】D 【解析】【分析】直接计算36536521.010.99lg 2.9≈，根据所给数值求解.【详解】()365365365365l 91.01 1.010.99 1.010.90.99g lg lg 365lg lg =-=-().101365lg lg 29929=-≈，故936536252.108321.010.99=≈.故选：D6.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.48B.12C.18D.36【答案】D 【解析】【分析】对6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有()4133236⨯⨯+⨯=种.故选：D7.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（）A.()0,e 1- B.1e 1e ,56--⎛⎫⎪⎝⎭C.e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D.1e 1e ,46--⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意，推得函数()f x 图象关于直线1x =对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.【详解】由1+=1−可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且o2+p =o −p ，因()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，故有(2)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.又当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，故可作出函数()f x 的图象如图.由关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，可理解为()y f x =与(1)y m x =+恰有5个交点.而这些直线恒过定点(1,0)P -,考虑直线与()f x 相交的两个临界位置(3,1e),(5,1e)A B --,由图知，需使PA PB k m k <<，即1e 1e46m --<<.故选：D .【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.8.已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a -+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（）A.e ,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.1,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C.e ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解.【详解】()()()22222e e 21e -+-+-+''=+-++=-+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =-++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =，则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==-a x x x x ，而2e 0xax-+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =，于是()f x 的最大值()22222e -+==x ax m f x x ，最小值()21111e -+==x ax n f x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e--+++-++++===-a x x ax axx x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a-∈-+∞，2141e ,e -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭a ，则2141e,212e -⎛⎤∈-∞- ⎥⎝-⎦a ，所以mn 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.9.若2024220240122024(23)x a a x a x a x -=++++ ，则下列选项正确的有（）A.202402a =B.01220241a a a a +++= C.2024202432024122320241222222a a a a ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭D.1232023202423202320246072a a a a a +++++= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值判断AC ，去绝对值后，赋值判断B ，两边求导后，再赋值，判断D.【详解】A.令0x =，得202402a =，故A 正确；B.01220240122024......a a a a a a a a ++++=-+-+，令令展开式中的1x =-，得20240122024 (5)a a a a -+-+=，故B 错误；C.令展开式中的12x =，得2024320241202320241...22222a a a aa ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以2024202432024122320241...222222a a a a⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭，故C 正确；D.展开式的两边求导，得()20232202220231232023202432024232320232024x a a x a x a x a x -⨯-=++++，令1x =，得1232023202423...202320246072a a a a a +++++=，故D 正确.故选：ACD10.下列选项正确的有（）A.当()02x ∈，时，函数222y x x -=+的最小值为1B.()1x ∈-∞，，函数31y x x =+-的最大值为-C.函数2y =的最小值为2D.当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为32+【答案】AD 【解析】【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A ，根据基本不等式判断BC ，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D.【详解】A.()222211y x x x =-+=-+，()02x ∈，，当1x =时，函数去掉最小值1，故A 正确；B.33111111y x x x x =+=-++≤-=---，当311x x -=-，1x <，得1x =31y x x =+-的最大值为1-，故B 错误；C .22y ==2t =≥，则1y t t =+在区间[)2,+∞单调递增，当2t =时，1y t t =+取得最小值52，所以函数2y =的最小值为52，故C 错误；D.若2a b ab +=，则112a b+=，则()11131231322222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2b aa b=时，即12a +=，24b =时，等号成立，所以2+a b 的最小值为32+，故D 正确.故选：AD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，且满足()()60f x f x +-=，2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31f '=-，()()231g x f x =--，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x '的周期为4B.函数()g x '的图象关于点()1,1-对称C.()y f x x =-的图象关于直线=2对称D.数列(){}g n '的前2024项之和为4048-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件可得()()60f x f x ''--=、()()42f x f x ''+-=，故可求函数′的周期为4，故可判断A 的正误，利用反证法可判断B 的正误，根据()()42f x f x ''+-=可得()()424f x f x x --=-，故可判断C 的正误，计算出()()()()12348g g g g ''''+++=-后可判断D 的正误.【详解】因为()()60f x f x +-=，所以()()60f x f x ''--=，而2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()42f x f x ''+-=，故()()462f x f x ''-+-=即()()22f x f x '+'+=，故()()242f x f x ''+++=，故()()4f x f x +'='，故函数′的周期为4，故A 正确；又()()23g x f x ''=--，而()()122g f =-''，而()()222f f ''+=即()21f '=，故()12g '=-，若()g x '关于()1,1-对称，则()11g '=-，矛盾，故B 错误.因为()()42f x f x ''+-=，故()()42f x f x x c --=+，故()()224f f c ''-=+即4c =-，故()()4(4)f x x f x x -=---故()y f x x =-的图象关于直线=2对称，故C 正确.因为′的周期为4，故()g x '的周期也是4，而()()22f x f x '+'+=，故()()022f f ''+=，故()()()()1322204g g f f '''-'+=-=-，因为()31f '=-，故()()0232g f ''=-=，故()42g '=，又()()132f f ''+=，故()13f '=，故()()2216g f ''=-=-，故()()()()12348g g g g ''''+++=-，故数列(){}g n '的前2024项和为()2024840484⨯-=-，故D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：根据抽象函数的单调性我们可得到该函数的周期性及导函数的周期性、对称性等，性质讨论的方法是变换的思想.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____【答案】13【解析】【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可.【详解】2πππ1sin sin παsin 3333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：13.13.若221919C C mm -=，则33345C C C m +++ 的值为______【答案】69【解析】【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m ，再计算组合数即可.【详解】因为221919C C mm -=，所以22m m =-或2219m m +-=，解得2m =或7m =,因为33345C C C m +++ ，所以3m ≥,可得7m =,所以3333333454567C C C =C C C C 410203569m ++++++=+++= .故答案为：69.14.函数2e 12()e 21x x xh x -=++，不等式()22(2)2h ax h ax -+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是_____【答案】[]2,0-【解析】【分析】由解析式得出()()2h x h x +-=，令()()1f x h x =-，得()f x 为奇函数，再利用导数得出()f x 的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可．【详解】因为2e 122()e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以22222()()e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-==++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，可得()f x 为奇函数，又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫''=+-=+-=+ ⎪+⎝⎭+++，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222xx ≤=++，当且仅当122xx =，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-，故答案为：[]2,0-．【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出()()2h x h x +-=，构造()()1f x h x =-是解题关键．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知函数()eln f x x x=+（1）求=op 在()()1,1f 处的切线方程；（2）求=在1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【答案】（1）()1e 2e 1y x =-+-（2）2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再求函数的最小值.【小问1详解】()eln f x x x=+，()1e f ∴=，且()21ef x x x'=-，()11e f '∴=-，切线方程为：()()e 1e 1y x -=--，即()1e 2e 1y x =-+-；【小问2详解】()221e e x f x x x x-'=-=，当1,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0f x '<，()y f x =在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当()e,3x ∈，()0f x '>，()y f x =在()e,3上单调递增，()f x \在区间1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为()2f =e .16.我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p 和43p -，其中304p <≤，三组是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p 取何值时，第三组进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）49（2）分布列见解析，43【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可求当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.（2）根据二项分布可求X 的分布列和数学期望.【小问1详解】由题知：第三组通过初赛和复赛的概率2204424()3339p p p p p p ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，又因为3044013p p ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤-≤⎪⎩，所以1334p ≤≤所以，当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.【小问2详解】由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为224339⨯=.因为进入决赛的队伍数43,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()03341250C (19729P X ==⨯-=；()123443001001C (199729243P X ==⨯⨯-==；()22344240802C ()199729243P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭；()3334643C (9729P X ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为:X123P1257291002438024364729()1251008064401237292432437293E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时，求平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面法向量即可求得结果.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE .【小问2详解】PA ⊥ 平面ABCD ，A ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，A ，A ，AP 所在直线分别为x ，y ，z建立空间直角坐标系,如下图所示：则0,0,0，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，()()()2,0,0,1,1,1,2,2,0AB BE BD ==-=-，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =，则1111200n AB x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，解得10x =，令11y =，得11z =-，故平面ABE 的一个法向量为 =0,1,−1，设平面DBE 的法向量为()222,,m x y z =，则222222200m BD x y m BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ,解得20z =，令21x =，得21y =，故平面DBE 的一个法向量为()1,1,0m =，设平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角为θ，则1cos 2m nm nθ⋅=== ，所以平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小为π3.18.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23,22⎫-⎪⎝⎭且()0b c c =>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，1112AF BF ⋅= ，求1ABF 的面积.【答案】（1）2212x y +=（2）3.【解析】【分析】（1）代入点23,22⎛- ⎝⎭坐标并于b c =联立计算可得222,1a b ==，求出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出2m =±，再由弦长公式计算可得结果.【小问1详解】将,22⎛- ⎝⎭代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=，又因为b c =，所以222a b =，代入上式可得222,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；【小问2详解】由(1)可得()()12121,0,1,0,2F F F F -=，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，如下图所示：联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++，则()()1111221,,1,AF x y BF x y =---=---，所以()()1111221212121,1,1AF BF x y x y x x x x y y ⋅=------=++++()()()2221212122222221211142222m m m m y y my my y y m m m m =+++++++=----++++227122m m -==+，解得24m =，即2m =±，所以121221,36y y y y +=±=-，则1ABF 的面积()212121212110423S F F y y y y y y =-=+-=.19.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在=0处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x+++=+++ ，且满足：()()00f R =，()()00f R '='，()()()()()()0000m n m n f R f R ++'='''= .已知()()ln 1f x x =+在=0处的[]1,1阶帕德近似()1a bx R x cx+=+注：()()'''[]f x f x ='，()()'''[]f x f x ''='，()()()4'[]f x f x '''=，()()()()54'[]f x f x =，…（1）求a ，b ，c 的值；（2）比较()11x c f x ⎛⎫+⎪⎝⎭与的大小，并说明理由；（3）求不等式1211(1)e (1)x x x x++<<+的解集，其中e 2.71828=【答案】（1）102a b a c ===，，；（2）()11x c f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，理由见解析；（3）()0,∞+.【解析】【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可；（2）先化简换元令11t x+=，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明；（3）结合（2）结论应用单调性解不等式【小问1详解】因为()()()ln 11a bxf x x R x cx+=+=+，，()()()()()''''2232111(1)(1)(1)b ac c b ac f x R x f x R x x cx x cx ---==='-++'=++，，，()()00f R =，则()()000a f R '=='，，则1b ac =-，则1b =，()()()''''100122f R b ac c c =-=--=，，，所以1012a b c ===，，.【小问2详解】()111ln 12x c f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令11t x+=，则()()()()11ln 0,11,21t x c f t t x t ∞+⎛⎫+=∈⋃+⎪-⎝⎭，，令()()()()21ln 0,11,1t h t t t t ∞-=-∈⋃++，，ℎ'(p =1−4(r1)2=(K1)2or1)2>0，所以()h t 在()0,1单调递增，在()1,∞+单调递增，()()()0,1,10t h t h ∈<=，即()21ln 1t t t -<+，所以r12(K1)ln >1，∈(1,+∞),ℎ(p >ℎ(1)=0,ln >2(K1)r1，所以r12(K1)ln >1，综上，()11x c f x ⎛⎫+>⎪⎝⎭.【小问3详解】若要使12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则110x+>，即1x <-或>0，当121e 1xx +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，即ln 1+r 12>1,ln 1+>1，由（2）知上式成立，所以()(),10,x ∞∞∈--⋃+，当11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，当>0时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于11ln 111x x⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭，成立;当1x <-时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于ln 1>1+1−1，不成立，所以解集为()0,∞+.。

渝中区巴蜀中学2021届高三数学“一诊〞模拟测试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项满足题目要求的()131i i z i-=+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔 〕A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选：B.【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔 〕A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦， 应选：C.【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题.a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为〔 〕A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-， 应选：B.【点睛】本小题主要考察向量投影的概念和运算，考察单位向量，属于根底题.{}n a 满足3243a =a ，那么数列{}n a 中一定为零的项是〔 〕A. 6aB. 7aC. 8aD. 9a【答案】A 【解析】 【分析】将条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 应选：A.【点睛】本小题主要考察等差数列的根本量计算，属于根底题.5.新高考方案规定，普通高中学业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下图表：针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比拟，以下说法正确的选项是〔〕A. 获得A等级的人数减少了B.C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数一样【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项. 【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下图所示：年份 A B C D E2021 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x2021 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.6.执行如下图的程序框图，输出的结果为()A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C 【解析】 【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．应选：C ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的最小值是〔 〕 A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π，应选：A.【点睛】本小题主要考察诱导公式、辅助角公式，考察三角函数图像变换，考察根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112n n n n S a =-+，那么135S S S ++=〔 〕 A. 0 B.564 C.1764D.2164【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和.【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，假设n 为偶数，那么112n nS -=，∴112k k S +=〔k 为奇数〕. 那么135111214166464S S S ++=++=，应选：D.【点睛】本小题主要考察()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于根底题.C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB ∆的面积为S ，且满足3AB FB ==，那么p =〔 〕A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，那么211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知()222122y y AB AF BFa -=--=.依题意3232AB FB S ==， 那么3211322222a p a =⨯⨯⨯，∴2p =， 应选：D.【点睛】本小题主要考察抛物线的定义，考察与抛物线有关的三角形面积的计算，考察方程的思想，属于根底题.10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的体积为〔 〕287 287C.2127D.28219【答案】C 【解析】 【分析】将三视图复原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图复原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为1223π33sin 3==，所以其外接球的222237133R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.那么342821327V R ππ==球，应选：C.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察三棱锥外接球体积有关计算，属于根底题.()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，那么k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如以下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，那么ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，那么23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，那么1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是可以通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进展求解.ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D. 512B π<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比拟可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=>，可知512A π<，又54129ππ<，应选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 应选：A.【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察三角形内角和定理，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分 13.()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，那么2a =______.【答案】10 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为：10【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于根底题.C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P 〔P 在第一象限内〕，假设线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，那么C 的离心率e =______.【答案】2【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得3ba=，进而利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 603ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的渐近线，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.15.中国光谷〔〕某科技公司消费一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，假设元件1或者元件2正常工作，且元件3正常工作，那么该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作互相HY.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况〔各部件能否正常工作互相HY 〕，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375 【解析】 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，那么部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375【点睛】本小题主要考察互相HY 事件概率计算，考察二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②假设1BD ⊥平面PAC ，那么13λ=；③PAC ∆周长的最小值是假设PAC ∆为钝角三角形，那么λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC =利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考察正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考察间隔 和的最值的求法，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题.三、解答题：解容许写岀文字说明、证明过程或者演算步骤ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =.〔1〕求sin B 的值；〔2〕假设1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕5sin 5B =；〔2〕98ABC S ∆=【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的根本关系式求得sin B 的值.〔2〕首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积.【详解】〔1〕在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =. 〔2〕由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos 5B =， 所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒31010=， 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==， 所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考察正弦定理解三角形，考察三角形的面积公式，考察同角三角函数的根本关系式，考察两角和的正弦公式，属于根底题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置〔P ∉平面ABCE 〕.〔Ⅰ〕证明：AE PB ⊥；〔Ⅱ〕假设直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】〔I 〕见解析；〔II 〕5-. 【解析】【分析】〔I 〕先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；〔II 〕在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】〔I 〕证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；〔II 〕解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,(,0,0),(0,(,0,),(,2222222P E C PE EC ∴=-=,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，那么11130022,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =，那么y=-1,z=1， ∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-EP-C 为α，1212||15|cos |=5||||5n n n n α⋅==.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-5α.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，考察二面角的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和空间想象转化分析推理才能.233,33M ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的间隔 之和为22〔1〕求C 的方程；〔2〕设O 为坐标原点，假设C 的弦AB 的中点在线段OM 〔不含端点O ，M 〕上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的HY 方程.〔2〕设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围.【详解】〔1〕由条件知2241133a b +=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.〔2〕设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，那么AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m∆=->解得23m<，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考察椭圆的定义和HY 方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察点差法，考察向量数量积的坐标运算，考察运算求解才能，属于中档题.20.有“九通衢〞之称，也称为“江城〞，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.〔1〕为理解“五·一〞劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；〔2〕为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心方案在2021年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A X 〔单位：万人〕都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<35X ≤≤5X >频数〔年〕 244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量互相HY.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量〔单位：艘〕要受当日客流量X 〔单位：万人〕的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤5X >A 型游船最多使用量123假设某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，那么游船中心当日可获得利润3万元；假设某艘A Y 〔单位：万元〕表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2021年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？【答案】〔1〕()4353P ξ==；〔2〕投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】〔1〕首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.〔2〕分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】〔1〕年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；假设采用分层抽样的方法抽取10人，那么年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. 〔2〕①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，那么()3E Y =〔万元〕. ②当投入2艘A 型游船时，假设13X <<，那么30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 假设3X ≥，那么326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=〔万元〕. ③当投入3艘A 型游船时，假设13X <<，那么312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==； 假设35X ≤≤，那么320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；假设5X >，那么339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=〔万元〕. 由于6.2 5.33>>，那么该游船中心在2021年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考察分层抽样，考察超几何分布概率计算公式，考察随机变量分布列和期望的求法，考察分析与考虑问题的才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21()(1)2,2x f x x e ax ax a R =+++∈.(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)假设00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析【解析】 【分析】〔1〕求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；〔2〕由〔1〕的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】〔1〕()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点〔2〕由〔1〕知，假设()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，那么()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，那么t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞那么()()()2114422t t g t e t t t t e '=-+=-+ 当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；此题中证明不等式的关键是可以通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】〔1〕22193x y +=，10x y -+=；〔2〕2. 【解析】【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】〔1〕因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕， 所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=.所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.〔2〕由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()()210f x x a x a =++->.〔1〕当1a =时，求不等式()4f x >的解集；〔2〕假设不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；〔2〕()5,+∞【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集. 〔2〕化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或者2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】〔1〕当1a =时，()121f x x x =++-， 故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或者1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或者1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或者53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.〔2〕当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或者2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立.又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2021届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟考试数学（理）试题一、选择题1．复数满足，则复数在复平面上对应的点与点间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：的对应点坐标为，由两点间距离公式得，故选B【考点】复数的基本运算.2．已知集合为实数集，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由，得，即，又，故选D.【考点】集合的基本运算.3．将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的最小正周期为，故选B.【考点】三角函数的图象与性质.4．已知双曲线的离心率为，且点到其渐近线的距离为，则的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：渐近线的方程为，即，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，实轴长，故选D.【考点】双曲线的方程与性质.5．设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由指数函数性质知，由对数函数的性质得，，可化为；可化为，，故选A.【考点】指数函数与对数函数的性质.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：执行程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环，退出循环，输出，故选B.【考点】程序框图及循环结构.【点睛】本题主要考查程序框图及循环结构，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．若随机变量，则有如下结论（），一班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分，方差为，理论上说在分到分之间的人数约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，这名同学的数学成绩服从正态分布，分到分之间的人数为（人），故选C.【考点】正态分布的应用.8．定义在上的奇函数关于点对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：关于对称，，令，则①又是奇函数，相加，令，②由①②得，故选D.【考点】函数的解析式及函数的奇偶性.9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：个不同的球装入个不同的盒子共有（种）方法，至少一个盒子为空的方法共有，四个球分为两组有两种方法，若两组每组有两个球，不同分组的方法有种，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，若一组为，一组为个球，不同的分组方法有种，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，综合两种情况，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，所以恰有两个盒子为空的的概率为，故选A.【考点】排列组合及古典概型概率公式.10．的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B.【考点】二项式定理的应用.11．过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，若直线到圆相切，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，可得，化为，同理方程为，设，则有，说明都在在直线上，即方程，又与圆相切，，可化为点轨迹方程为，故选A.【考点】利用导数求切线方程、直线与抛物线的位置关系及轨迹方程的求法.【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程、直线与抛物线的位置关系及轨迹方程的求法，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示，在同一坐标系内画出的图象，由图象可知，在上，恒成立，即，当且仅当或时等号成立，，设，则等价于，即，，再设，原不等式可化为，即，而，，故选A.【考点】函数的图象与性质、三角函数的性质及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质、三角函数的性质及不等式恒成立问题.，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围的.二、填空题13．中，为边的中点，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，又因为为的中点，所以，故答案为.【考点】向量的几何运算.14．已知实数满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】画出约束条件表示的可行域，如图，就是可行域内的点与点连线的斜率，由得直线交点为，当在点时，有大值，的最大值为，故答案为.15．（原创）中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：由，得，，，故答案为.【考点】余弦定理、诱导公式及二倍角的正切公式.【方法点睛】本题主要考查余弦定理、诱导公式及二倍角的正切公式，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．【答案】【解析】试题分析：，，，…可归纳：当为奇数时，；当为偶数时，，故答案为.【考点】归纳推理、数列的递推公式及新定义问题.三、解答题17．已知的展开式中各项的二项式系数和为，第二项的系数为.（1）求，（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用二项式系数的定义可得根据二项式定理可得第二项为，从而可得系数为；（2）由（1）可知知根据错位相减法可得结果.试题解析：(1)；（2）由（1）知所以①，②②-①可得，可得.【考点】二项式定理的应用、等比数列求和公式的应用及错位相减法求和.【方法点睛】本题主要考查二项式定理的应用、等比数列求和公式的应用及错位相减法求和.，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18．（原创）在中，角所对的边分别为，且.（1）证明：成等比数列；（2）若的外接圆半径为，且，求的周长.【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得再根据两角和正弦公式、三角形内角和定理及诱导公式可得，从而，进而得结论；（2）由可求得角的值，结合外接圆半径为，利用正弦定理可得，在利用余弦定理可得的值，从而可得结果.试题解析：（1）证明，则，所以，所以成等比数列；（2），，所以的周长为.【考点】正弦定理、余弦定理及等比数列的定义.19．为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.节排器等级及利润如表格表示，其中，（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；②从长期来看，哪种型号的节排器平均利润较大？【答案】（1）；（2）①分布列见解析；期望为；②投资乙型号节排器的平均利润率较大. 【解析】试题分析：（1）根据排列组合知识及古典概型概率公可得结果；（2）①由频率分布直方图中可知乙型号节排器中的二级品的概率为，再根据独立重复试验次发生次的概率公式可得分布列，从而可求得其期望，②比较甲乙两种不同型号的节排器利润的平均值（期望值），即可得结论.试题解析：（1）；（2）（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为，且，所以,,所以的分布列为所以数学期望（或）.②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大.【考点】古典概型概率公式及离散型随机变量的分布列与期望.20．已知椭圆的左右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被和圆截得的弦长分别为和.（1）求和的方程；（2）直线过且与不相交，直线过且与平行，若交于,交交于，且在轴上方，求四边形的面积的取值范围.【答案】（1）和的方程分别为；（2）．【解析】试题分析：（1）根据已知，由椭圆的通径、勾股定理求得的圆的弦长列出关于的方程组，可解的的值，从而可得结果；（2）设，由，得根据韦达定理，结合椭圆的几何性质将面积表示为关于的函数，根据单调性求函数值域即可.试题解析：（1）由得，所以和的方程分别为.（2）由题意，的斜率不为，设，由，得，得，由，得，，与间的距离为，由椭圆的对称性，为平行四边形，,设，.【考点】椭圆、圆及抛物线的标准方程及椭圆与直线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查椭圆、圆及抛物线的标准方程、椭圆与直线的位置关系及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调性法求四边形范围的.21．设函数.（1）若函数的图象与直线相切，求的值；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求出，设切点为，则有，结合导数的知识可求得的值；（2）构造函数，所以，根据单调性可得，从而可证时，及，进而可得结论.试题解析：（1），设切点为，则切线为，即，又切线为，所以，消，得，设，易得为减函数，且，所以（2）令，所以，当时，，函数在为单调递增；当时，，函数在为单调递减；所以，当时，即时，，即，故时，在上单调递增，所以时，，即，所以，①因为，所以，所以，即，②①+②得：，故当时，.【考点】导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及证明不等式. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线为参数，与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线与圆的极坐标方程；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由直线的参数方程可得直角坐标方程，进而得极坐标方程，将圆的标准方程化为普通方程，利用即可得极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义.试题解析：（1）直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为；（2），代入，得，显然，所以的最大值为.【考点】参数方程化为普通方程及直角坐标方程化为极坐标方程.23．选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求的最小值；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用绝对值基本不等式得结果；（2）有解等价于有解，只需求出时的最小值与的最大值即可.试题解析：（1）当时，，当且仅当时，取等号.（2）时，，因为时的最小值为，的最大值为，所以，又因为，所以.【考点】基本不等式求最值及绝对值不等式的解法.。

数学（一）参考答案一、选择题1～8BABADCCB8题提示：设1122()()A x y B x y ，，，，由22112222222211x y a b x y a b 有，2121221212()()b x x y y a y y x x ，由题意知FN 的中点即为AB 的中点，可得2214b a ，又224a b ，解得2241633b a ，，所以选B二、多选题9．ABD10．BC11．BC12．ACD12题提示：由12||||=2PF PF a ，2221212||||4cos 2||||PF PF c PF PF ，得2122||||cos 2b PF PF ，所以2121||||sin tan 22S PF PF b，A 正确，设点00()P x y ，，则三角形重心为G 00()()33x y x y ，，，则其轨迹方程为22221(0)9x y y a b ，所以B 错误，外接圆半径为R ，则由22sin c R ，所以sin c R，C 正确，设内切圆半径为r ，由121(||||2)()2S PF PF c r a c r ，所以()tan 2r a c，D 正确三、填空题13．3214．2315．416．1615题提示：点A 在圆C 上，则PAQ △的外接圆半径为3，则PQ||||4S PA AQ，又222||||cos 60||||272||||27PA AQ PA AQ PA AQ ，则||||27PA AQ，所以max 4S16题提示：由题意，a b ，是方程20ax bx c 的解，则有b a b a cab a，则21(1)211a b a a a，由题意，,,a b c 为非零整数，则11a ，即2a ，4b ，则16c 四、解答题17．（10分）解：（1）设 n a 的公差为d ，则 11(51)5(1)4a n d a n d ，且23a ，即110a d ，13a d ，解得11,2a d ，所以 n a 的通项公式为21n a n ，*n N ；……………………………5分（2）由条件，32S S ，且34S S ，即30a ，且40a 。

重庆市数学高三理数模拟第一次测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数z满足(1-2i)z=2+i，则z的虚部为（）A . iB . -iC . 1D . -12. （2分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则为（）A . {2，4，5}B . {1，3，4}C . {1，2，4}D . {2，3，4，5}3. （2分）为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A . 60%，60B . 60%，80C . 80%，80D . 80%，604. （2分） (2019高一上·盐城月考) 函数（且）的图象恒过点（）A .B .C .D .5. （2分）①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，则①、②两个推理依次是（）A . 类比推理、归纳推理B . 类比推理、演绎推理C . 归纳推理、类比推理D . 归纳推理、演绎推理6. （2分）设双曲线的离心率为2,是右焦点.若A,B为双曲线上关于原点对称的两点，且,则直线AB的斜率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·黄山期中) 在中，若，则是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形8. （2分） (2017高一下·宜春期末) 函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分） (2018高一上·滁州月考) 函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·青岛期中) 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·湖南期中) 在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，则a=（）A .B .C .D .12. （2分）定义在R上的偶函数f（x）的一个单调递增区间为（3，5），则y=f（x-1）（）A . 图象的对称轴为x=-1，且在（2，4）内递增B . 图象的对称轴为x=-1，且在（2，4）内递减C . 图象的对称轴为x=1，且在（4，6）内递增D . 图象的对称轴为x=1，且在（4，6）内递减二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·田东期中) 曲线在处的切线方程为________．14. （1分）正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF 折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S﹣AEF的外接球的体积为________．15. （1分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上，则p的值等于________．16. （1分） (2020高二下·诸暨期中) 已知实数a，b，c，满足a2+b2+2c2＝1，则2ab+c的最小值是________．三、解答题 (共7题；共57分)17. （10分）如图，正方形ABCD和直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，四边形ADEG是平行四边形，O为正方形ABCD的中心，AB= ，EF∥BD，DE=EF=1，DE⊥BD．（1）求证：CF∥平面OGE；（2）求证：DF⊥平面ACE．18. （2分） (2015高二上·太和期末) 在△ABC中，，求b，c．19. （10分） (2020高一下·奉化期中) 已知数列的前项和为，已知，， .（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；（2）若对任意都成立，求实数a的取值范围.20. （10分）(2020·内江模拟) 已知函数满足： .（1）求的解析式；（2）若，且当时，，求整数k的最大值.21. （5分） (2019高二上·余姚期中) 已知椭圆的短轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设、是椭圆上的不同两点，点，且满足，若，求直线的斜率的取值范围.22. （10分）(2020·呼和浩特模拟) 已知椭圆的普通方程为：，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，正方形的顶点都在上，且逆时针依次排列，点的极坐标为（1）写出曲线的参数方程，及点的直角坐标；（2）设为椭圆上的任意一点，求：的最大值.23. （10分） (2016高二上·洛阳期中) 已知f（x）= （m∈R，x＞m）．（1）若f（x）+m≥0恒成立，求m的取值范围；（2）若f（x）的最小值为6，求m的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共57分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

重庆高2024级高三（上）一诊适应性考试数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0,1- D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭解出不等式，得到集合B ，再由交集的定义即可得到结果.【详解】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭得{}21B x x =-<≤，又因为{}2,1,0,1,2A =--，所以A B = {}1,0,1-故选：C.2.设()()3464i z z z z ++-=-，则复数z 的模为（）A.2B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】可设i z a b =+，根据复数相等的概念列方程求出复数z ，再求它的模.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，所以2z z a +=，2i z z b -=.由()()3464i z z z z ++-=-⇒6684a b =⎧⎨=-⎩⇒112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以2z ==.故选：D3.已知6a = ，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角等于120 时，向量a 在向量e上的投影向量为（）A .3B.3-C.3e-D.3e【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解【详解】||6a = ，e 为单位向量，当向量a ，e的夹角等于120︒时，则a 在e上的投影向量为||cos1203a e e ︒⨯=- ．故选：C ．4.若一个圆锥的母线长为l ，且其侧面积与其轴截面面积的比为2π:1，则该圆锥的高为（）A.2l B.3l C.4l D.5l 【答案】A 【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.【详解】设圆锥底面圆半径为r ，圆锥高为h ，依题意，π2122rl r hπ=⨯⨯，解得2l h =，所以该圆锥的高为2l .故选：A5.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用计数方法结合古典概型求解.【详解】4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为432124⨯⨯⨯=种，恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共1142C C 8=种，所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为81243=.故选：B6.将函数()sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在[]2,(0)m m m ->上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.110,48π⎛⎤⎥⎝⎦B.0,24π⎛⎤ ⎥⎝⎦C.11,2448ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,2448ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数平移变换原则可得()g x ，采用整体代换的方式，结合正弦函数单调性可构造不等式组求得m 的范围，结合0m >和Z k ∈进行讨论即可求得结果．【详解】由题意知：5()(sin[2()]sin(2)661212g x f x x x ππππ=+=++=+，当[2x m ∈-，]m 时，5552[4,2]121212x m m πππ+∈-++，()g x 在[2m -，]m 上单调递增，∴542122(Z)522122m k k m k ππππππ⎧-+≥-+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，∴11482(Z)24k m k m k ππππ⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩；若11(Z)24824k k k ππππ->+∈，则93482k ππ>，∴243k <，此时24m k ππ≤+，又0m >，0k ∴=，∴024m π<≤；若11(Z)24824k k k ππππ-≤+∈，则93482k ππ≤，∴3,124k k ≥≥，此时110482k m ππ≤-<，与0m >矛盾，不合题意；综上所述：实数m 的取值范围为(0,]24π．故选：B ．7.已知134e 3a =，2e e b =，则（）A.2a b <<B.2a b<< C.2a b << D.2b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定的信息构造函数()(1)e x f x x =-确定a 与2的大小关系，构造函数ln ()xg x x=确定b 与2的大小即得.【详解】由134e 3a =，得113321(e 231e )3a =-=，令函数()(1)e ,01x f x x x =-<<，求导得()e 0x f x x '=-<，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，1((0)132f f a <==，因此2a <，由2ee b =，得2ln e b =，有ln 1ln e 2e e b ==，令函数ln (),1e xg x x x =<≤，求导得21ln ()0xg x x-'=≥，当且仅当e x =时取等号，即函数()g x 在(1,e]单调递增，ln ln e ln 22e 2b =>，即ln ln 2b >，因此2b >，所以2a b <<.故选：A【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11A B =，12AA =，则正三棱台111ABC A B C -的外接球体积为（）A.1253π B.25πC.1256πD.100π【答案】C 【解析】【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径.【详解】分别取ABC 、111A B C △的中心,E F ，连结EF ，过A 作1AM A F ⊥,因为2AB =，由正弦定理得2sin 60AB AE = ，得32AE =，同理可得12A F =，所以112A M =，7,2AM =所以7,2EF AM ==设正三棱台的外接球球心O ，O 在EF 上，设外接球O 的半径为R ，所以1,OA OA R ==222OA AE OE =+，22211,OA A F OF =+即22232R OE ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2222,R OF =+又因为7,2OF OE +=解得52,2OE R ==所以正三棱台111ABC A B C -的外接球体积34125ππ36V R ==.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AB AA λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λμ==时，1BP =B.当12λμ==时，1AP C D ⊥C.当1λμ+=，且λ、μ均非零时，1//BP CD D.当12λμ+=时，四棱锥11P A BCD -的体积恒为定值【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ,根据条件可知点P 与点1B 重合，即可判定；对于B ，根据条件可知1,,A P B 三点共线，继而可判定；对于C ，根据条件可知1,,B P A 三点共线，继而可判定；对于D ,根据条件可知P 为AH 的中点，1,,B H A 三点共线，则111112P A BCD A A BCD V V --=，则可判定.【详解】对于A ,当1λμ==时，11AP AB AA AB =+=,即点P 与点1B 重合，则11BP BB ==,A 正确；对于B ，12λμ==时，11111222AP AB AA AB =+= ，1//AP AB，即1,,A P B 三点共线，,易知11//AB C D ,所以1//AP C D ,故B 错误；对于C ，当1λμ+=，且λ、μ均非零时，则1,,B P A 三点共线，易得11//BA CD ,所以1BP CD ∥，故C 正确；对于D ,当12λμ+=时，由C 知结合下图可知，P 为AH 的中点，1,,B H A三点共线，易知11111113323A A BCD A BCD V S h -=⨯⨯==为定值，则11111126P A BCD A A BCD V V --==也为定值，故D 正确，故选：ACD .10.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且2431n n S nT n =+，则（）A.当21n a n =-时，452T = B.当2n S n =时，31n b n =-C.()47345a a b +=D.41142a a b +>【答案】AC 【解析】【分析】由()()1212122n n n a a n n S n ++-===和12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++两个式子，结合下标和性质进行推导判断.【详解】对于A ：因为21n a n =-所以()()1212122n n n a a n n S n ++-===，224n S n=代入2431n n S nT n =+得(31)n T n n =+，所以452T =，故A 正确.对于B ：由A 知(31)n T n n =+，由11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩得62n b n =-，故B 不正确.对于C ：由12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++，所以101104751532()2()45535142S a a a a T b b b ++⨯====⨯++，所以()47345a a b +=，故C 正确.对于D ：由C 知12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++，所以11414114411411171744727()2()2()4714227()3712112a a S a a a a a ab b T b b b b ⨯++++⨯======<+⨯++，故D 不正确.故选：AC11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，MN l ⊥于N ，直线NF 与C 交于A ，B 两点，若2NA AF =，则（）A.60MNF ∠=B.43NF p =C.MB =D.37sin 14NAM ∠=【答案】AC【解析】【分析】不妨设点M 在x 轴上方，设出点()00,M x y根据已知推导出2p N ⎛⎫-⎪⎝⎭，32M p ⎛⎫⎪⎝⎭，1,63A p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，然后根据斜率公式和图形的几何性质判断A ，用两点间距离公式求NF 判断B 和C ，用平面向量求夹角余弦再转化为正弦判断D.【详解】不妨设点M 在x 轴上方，设点()00,M x y ，则点0,,,022p p N y F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若2NA AF = 则点011,63A p y ⎛⎫⎪⎝⎭.将点011,63A p y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2:2(0)C y px p =>可得0y =，将()0M x 代入2:2(0)C y px p =>可得032x p =，所以2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32M p ⎛⎫⎪⎝⎭，1,63A p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以0322NF k p p -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线NF 的倾斜角为120︒，所以60MNF NFO ∠=∠= ，故A 正确.2NF p ==，故B 不正确.易得直线AB的方程为2y p =+，由2322y p y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得1213,62x p x p==所以3,2B p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以,2MB MN p ==，所以MB =，故C正确；因为2,33AN p p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，4,33AM p p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以·cos ,14AN AM AN AM AN AM〈〉==且两个向量夹角为锐角，根据同角三角函数基本关系得sin ,14AN AM 〈〉=，故D 不正确.故选：AC12.已知()e e 2x x a f x +=，()()()22e 2xg x a x x =--+，0a ≠则（）A.当1a =-时，()f x 为奇函数B.当1a =时，存在直线y t =与()y f x =有6个交点C.当21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 在()0,∞+上单调递减D.当1a <-时，()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】AB 两个选项比较好判断；对C ，可以利用函数在给定区间上的单调性，分离参数，转化为恒成立问题求参数的取值范围；对D ，分析函数的单调性和一些特殊点的函数值符号，判断零点个数.【详解】当1a =-时，()0f x =，可以说是奇函数，故A 正确；当1a =时，()e xf x =在R 上单调递增，与y t =最多一个交点，故B 错误；因为()()()22e2xg x a x x =--+，所以()()22e 22e 1x x g x a x ⎡⎤=+--⎣⎦'()2e 231xa x =--.对C ：()g x 在()0,+∞上递减，需有()2e 2310xa x --≤（0x >）恒成立.当32x >时，()21e 23xa x ≤-，又()210e 23x x >-，且当x →+∞时，()210e 23x x →-，所以0a <.当302x <<时，()21e 23x a x ≥-.设()()2e23xh x x =-，则()()2e 44x h x x '=-，由()0h x '>⇒1x >，所以()h x 在()0,1上递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以()h x 的最小值为()21e h =-，所以21e a ≥-.所以0a <且21e a ≥-，即21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故C 正确；对D ：设()()2e231xm x a x =--，则()()24e 1x m x a x '=-.因为1a <-，所以当01x <<时，()0m x '>；当1x >时，()0m x '<.所以()m x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()m x 的最大值为()21e 10m a =-->，又()0m =310a -->，所以()0m x =只在()1,+∞有一解，设为0x 即()020e 2310x a x --=，所以()g x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减.且()()0210g a =-+>，且当x →+∞时，()()()22e 2xg x a x x =--+→-∞，所以()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点.故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：已知函数的单调区间，求参数的取值范围问题，常常要分离参数，转化为恒成立或存在性问题，进而求函数的最大或最小值来解决.三、填空题：本题共4小题．13.设一组样本数据12,,,n x x x ⋯的方差为0.01，则数据1106x +，2106x +，⋯，106n x +的方差为_________．【答案】1【解析】【分析】根据新数据和原数据的关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据()1,2,,i ax b i n +=⋅⋅⋅的方差是数据()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅的方差的2a 倍，所以所求数据的方差为2100.011⨯=，故答案为：1.14.过点(P 的直线l 将圆22:420C x y x +--=分割成弧长比值为1:3的两段圆弧，则l 的斜率为_________．【答案】2【解析】【分析】由已知得到劣弧所对的圆心角为90︒，然后推导出弦心距，然后设出过点P 的点斜式方程，根据点到直线距离公式列方程求出斜率.【详解】由已知得到劣弧所对的圆心角为90︒，圆的圆心为()2,0，半径为r==d =由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 为：()1yk x -=-，即0kx y k --+=，所以圆心到直线的距离d ===整理得2210k -+=，解得2k =.故答案为：2.15.若直线y kx =是曲线ln y a x =的切线，也是曲线e x y =的切线，则=a _________．【答案】2e 【解析】【分析】先根据y kx =与e x y =相切，确定k 的值，再根据直线与ln y a x =相切，确定a 的值.【详解】因为y kx =与e x y =相切.()'e e x x y '==，设切点坐标为()11,e x x ，则切线方程为()111e e x xy x x -=-.因为切线过原点，所以：()1110e e 0xxx -=-⇒11x =，故切点为()1,e ，所以e k =.对函数ln y a x =，()'ln a y a x x ='=，由e a x =⇒ea x =，根据e y x =得切点纵坐标为：e·ea a =，根据ln y a x =得切点纵坐标为：()·lnln 1eaa a a =-，由()ln 1a a a =-，又由题可知0a ≠⇒2e a =.故答案为：2e 【点睛】关键点点睛：先根据e x y =的切线过原点，求出k 的值；求a 时，要注意切点即在曲线上，也在切线上，根据纵坐标相等列方程求解.16.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的左顶点，P ，Q 为双曲线一条渐近线上的两点，四边形12PFQF 为矩形，且25sin 5PAQ ∠=，则双曲线的离心率为_________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，求出点,P Q 的坐标，再借助诱导公式、同角公式求出,a b 的关系即可得解.【详解】令双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的半焦距为c ，显然(,0)A a -，由双曲线的对称性，不妨令点,P Q 在双曲线C 的渐近线by x a=上，且点P 在第一象限，由四边形12PFQF 为矩形，得2||||OP OF c ==，令00(,)bx aP x ，则0x a =，(,)P a b ，(,)Q a b --，于是2AQ AF ⊥，则22π25sin sin()cos 25PAQ PAF PAF ∠=+∠=∠=，25sin 5PAF ∠=，21tan 2PAF ∠=，即直线AP 的斜率12k =，因此122b k a ==，即1b a =，所以双曲线C 的离心率为2212c b e a a==+=.故答案为：2【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11a =，n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使得79nT <成立的n 的最大值．【答案】（1）10a d -=或0d =（2）n 的最大值为3.【解析】【分析】（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列可得3212132S S S a a a =+，即可得到1a 与d 的关系；（2）由裂项相消法得到n T ，再解不等式即可求得n 的最大值.【小问1详解】因为n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a =+，即()121232321a a a a aa a +++=+从而得到()1111223312a d a da da d++=+++，化简得()10a d d -=所以10a d -=或0d =【小问2详解】当0d =，11a =时，1n a =，111n n a a +=，所以79n T n =<，又因为N n *∈，所以n 不存在；当10a d -=，11a =时，n a n =，()1111111n n a a n n n n +==-++，所以111111711223119n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得72n <，又因为N n *∈，所以n 的最大值3.18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin 0b C C a c +--=．（1）求B ；（2）若2ABC S =△，点D 在边AC 上，BCD BAD S a S c =△△，且5BD =，求b ．【答案】（1）π3B =；（2）b =.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B 的大小.（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出,ABD CBD ∠∠，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在ABC中，由正弦定理及cos sin 0b C C a c +--=，得sin cos sin sin sin 0B C B C A C +--=，即sin cos sin sin sin B C B C A C +=+sin()sin sin cos cos sin sin B C C B C B C C =++=++，sin sin cos sin B C C B C =+，而sin 0C ≠cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，又0πB <<，即有5666B πππ-<-<，则66B ππ-=，所以π3B =.【小问2详解】依题意，1sin 21sin 2BCD BADa BD CBDS a S c c BD ABD ⋅∠==⋅∠ ，则sin sin ABD CBD ∠=∠，而π3ABD CBD ∠+∠=，于是π6ABD CBD ∠=∠=，11112522522ABC CBD ABD S S S a c =+=⋅⋅+⋅⋅= ，解得5a c +=，又1πsin 2342ABC S ac ===，解得6ac =，由余弦定理得22222cos ()37b a c ac B a c ac =+-=+-=，解得b =，所以b =.19.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ABD ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，其中1AB BC ==，E 为DC 中点．（1）证明：平面DBC ⊥平面DAB ；（2）已知120DAB ∠= ，二面角E AB D --的大小为45 ，求三棱锥D ABC -的体积．【答案】（1）证明见详解（2）16【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得CB ⊥平面ABD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求得点D 的坐标，进一步计算即可.【小问1详解】由题知，平面ABD ⊥平面ABC ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =,又ABC 为等腰直角三角形，其中1AB BC ==，所以CB AB ⊥,又CB ⊂平面ABC ,则CB ⊥平面ABD ，又CB ⊂平面DBC ，则平面DBC ⊥平面DAB .【小问2详解】作DF AB ⊥,交AB 于点F ,由平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =,知DF ⊥平面ABC ,因为120DAB ∠= ，所以60DAF ∠= ，设FA a =，则2,DA a DF ==，以点B 为坐标原点，建立,CB AB 所在直线为,x y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,B A F a D a -----()1,0,0C -，因为E 为DC 中点，所以113,,222a E ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，则()110,1,0,,,222a BA BE ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭,设平面EAB 的法向量为(),,n x y z =，则00100222y n BA x a y z n BE -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+--+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令1z =，则0,y x ==，则),0,1n =，又由()1得，平面ABD 的一个法向量()1,0,0m =，所以cos ,2m n n m m n ⋅===，解得3a =或3a =（舍），故1DF ==，则三棱锥D ABC -的体积1111113326ABC V S DF ⨯=⨯⨯=⨯⨯= .20.2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校T 的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校T 的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校T 的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A +，A ，B 三个等级，两科中至少有一科得到A +，且两科均不低于A ，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A +，A ，B 的概率分别为12，38，18；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得A +，A ，B 的概率分别为13，35，115；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A +，则免面试，并被高校T 提前录取；若两科笔试成绩只有一个A +，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为23，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为59，面试“通过”的同学也将被高校T 提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校T 的“强基计划”．（1）分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校T 提前录取的概率；（2）从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取的概率．【答案】（1）总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率为58；该生被高校T 提前录取的概率为12（2）2372.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式即可求得结果；（2）分别求出总分不高于690分和总分高于690分的学生被高校T 提前录取的概率，再分别求出甲班和乙班各随机抽取2名学生被高校T 提前录取的概率，从而利用互斥事件概率公式即可求得结果.【小问1详解】总分高于690分的某位学生进入第二轮,记为事件A ，所以()()()11135222288P A P A AP A A +++=+=+⨯=，总分高于690分的某位学生被高校T 提前录取，记为事件B ，所以()()()211213123223282P B P A AP A A +++=+=⨯+⨯⨯=.【小问2详解】总分不高于690分的某位学生被高校T 提前录取，记为事件C ，所以()()()511513129339353P C P A AP A A +++=+=+⨯⨯=，从甲班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取，记为事件E ，()1121222233C C C 1111114C 23C 3392727P E =⨯⨯+⨯⨯=+=，从乙班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取，记为事件F ，()22112222222444C C C C 11111111137C 22C 33C 2324549216P F =⨯⨯+⨯+=+=，故所求概率()()437232721672P P E P F =+=+=.21.已知斜率为1的直线l 与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，线段AB 的中点为21,33D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求C 的离心率；（2）设C 的左焦点为F ，若103AF BF ⋅=，求过A ，B ，F 三点的圆的方程．【答案】21.222.221140333x y x y +---=【解析】【分析】（1）中点弦的问题可以考虑“点差法”解决.（2）联立直线与椭圆方程，利用一元二次方程根与系数的关系列出12x x +，12x x 的值，再利用10·3AF BF =求出a ，b ，c 的值.确定点A ，B ，F 的坐标，再利用待定系数法求三角形的外接圆.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒22221212220x x y y a b --+=⇒()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=又1243x x +=，1223y y +=-，所以2122122y y b x x a -=-，又2221b a =⇒()222222a b a c ==-⇒e=2c a =.【小问2详解】直线l 方程为1y x =-，椭圆C 的方程可写为：22222x y b +=.联立方程，消去y 得：()2234210x x b-+-=则：1243x x +=，()212213b x x -=，()()22221212124132·9bx x x x x x ++=+-=.又(),0F b -所以：()()2222221122··AF BFx b y x b y ⎡⎤⎡⎤=++++⎣⎦⎣⎦()()()()222211221·1x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()()()2222212121212124412141x x b x x x x b x x b x x =+-+++++-+()()()()222122111b b x x b -++++()()()22241214441··933b b b --=⨯+-()()()()22224132121·41·93b b b b +-+++-()()()2224100211·139b b b +-+++=解得：21b =故可令12x x >得143x =，20x =.所以41,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1B -，()1,0F -.设过这三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=由：1010161409933E F D F ED F ⎧⎪-+=⎪-+=⎨⎪⎪++++=⎩解得：1343D E F ⎧==-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.故所求圆的方程为：221140333x y x y +---=.【点睛】关键点点睛：解析几何的题目，关于字母的有关运算非常的麻烦，一定要认真、仔细的计算.22.已知函数()e 1x f x x-=．（1）证明：当0x <时，()1f x <；当0x >时，()1f x >．（2）正项数列{}n x 满足：()1e n x nf x +=，11x =，证明：（i ）数列{}n x 递减；（ii ）11122nin i x-=≥-∑．【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）先证明e 10x x -->，继而可得结论.（2）（i ）要证数列{}n x 递减，只证1e en nx x +<，即证e 1e nnx x nx -<，换元后，利用导数证明即可；（ii ）先证()()2e 1e ,0xx f x x x-=>>，继而得12n n x x +>，则11122n n n x x -->>，根据条件，求和即可.【小问1详解】设()()e 10xg x x x =--≠，则()e 1x g x '=-，令()e 10x g x '=->得0x >，令()e 10x g x '=-<得0x <，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)0g x g >=，即e 10x x -->，则当0x <时，e 11x x-<即()1f x <；0x >时，e 11x x->即()1f x >.【小问2详解】（i ）因为数列{}n x 各项为正，要证数列{}n x 递减，只需证明10n n x x +<<，即证1e e n n x x +<，又()1e 1en n x x n nf x x +-==，所以即证e 1e n nx x nx -<，令0n t x =>，不等式化为()e 110tt ⋅-+>，设()()e 11,0tg t t t =⋅-+>，则()e 0t g t t ='⋅>，恒成立，故()()e 11tg t t =⋅-+在()0,∞+上单调递增，则()(0)0g t g >=恒成立，即()e 110tt ⋅-+>在()0,∞+上恒成立，则原命题得证.（ii ）先证明：()()2e 1e ,0x x f x x x-=>>，即证2e 10xx xe -->，设2()=e e 1,0x x h x x x -->，则22()=e e e 2x x xx h x ⎛⎫-+ ⎝'⎪⎭222=e e 1e (e 1)022x x x x x x ⎛⎫-+=⋅--> ⎪⎝⎭，()e 10x x -->所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()(0)0h x h >=，则所证不等式()()2e 1e ,0x x f x x x-=>>成立.又0n x >，()12e e nn x x n f x +=>，所以12n n x x +>，11x =，所以12122x x >>，2321,22x x >>⋅⋅⋅11122n n n x x -->>，则当2n ≥时，11111112222n i n n i x --=>++⋅⋅⋅+=-∑，又当1n =时，1111212x -=-=，故11122n i n i x -=≥-∑成立.【点睛】本题第一问的关键点是：先证明e 10x x -->，继而分0x >和0x <，变化不等式，可得到结论；本题第二问的关键是（i ）：构造不等式1e e n n x x +<，不等式化为e 1e n n x x n x -<，利用换元法，设n t x =，构造函数()()e 11t g t t =⋅-+，利用导数证明；（ii ）先证明()()2e 1e ,0x x f x x x -=>>，继而得到()12e e n n x x n f x +=>，12n n x x +>，再结合等比数列的前n 和求解.。

1． 已知集合{1 2 3 4 5}A 2024年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

，，，，，2{|211120}B x x x ，则A BA ．{1 2}，B ．{2 3}，C ．{3 4}，D ．{4 5}，2． 已知复数i z a b ，若i z z ，则 A ．0a bB ．0a bC ．0abD ．1ab3． 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 a b ，可以分别大致反映这组数据的 A ．平均数，中位数 B ．平均数，众数C ．中位数，平均数D ．中位数，众数4． 若24cos sin(2)2 ，则tan 2A ．2B ．12C ．1D ．25． 在经济学中，常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic 模型：0.970.1270.970.127e ()1exxP x ，其中x 是客户年收入（单位：万元），()P x 是按时还款概率的预测值．如果某人年 收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3 ）A ．0.35B ．0.46C ．0.57D ．0.686． 已知()ln(1)ln()f x x a bx 是奇函数，则()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为A ．2y xB ．y xC ．0yD ．2y x7． 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD （如图），1BC ，将其沿BD 折起，使得面ABD 面BCD ，若三棱锥A BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．2B ．73C ．83D ．38． 已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y ，(1)4f 且当0x 时，()2f x ，若存在[1 2]x ，，使得2(4)(2)1f ax x f x ，则a 的取值范围是BCDA6045A ．1(0 ]2，B ．15[ ]28，C ．52[ ]83，D ．12[ ]23，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023CEE-01 数学重 庆 缙 云 教 育 联 盟2023年高考第一次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,5D ．{}1,2,3,4,52．已知复数z 满足32i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．52C ．1i 2D ．52i3．正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=（ ） A ．1B ．3C 3D 54．函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点恰是抛物线()220y px p =>的焦点F ，双曲线与抛物线在第一象限交于点()2,A m ，若5AF =，则双曲线的方程为（ ） A ．22163x y -=B ．2218x y -=C ．22136x y -=D ．2218y x -=6．设,x y ∈R ，且01x y <<<，则（ ） A ．22x y >B ．tan tan x y >C ．42x y >D ．1(2)x y y x+>- 7．英国数学家布鲁克⋅泰勒(Brook Taylor ，1685.81731.11)-以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数()f x 在包含0x 的某个开区间(,)a b 上具有()1n +阶导数，那么对于(),x a b ∀∈，有()20000000()()()()()()()()()0!1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+⋯+-+，其中，(1)(1)0()()()(1)!n n n f R x x x n ε++=-+（此处ε介于0x 和x 之间）.若取00x =，则()2(0)(0)(0)(0)()()()()()0!1!2!!n nn f f f f f x x x x R x n '''=+++⋯++，其中，(1)(1)()()()(1)!n n nf R x x n ε++=+（此处ε介于0和x 之间）称作拉格朗日余项.此时称该式为函数()f x 在0x =处的n 阶泰勒公式，也称作()f x 的n 阶麦克劳林公式.于是，我们可得111e e 11!2!!(1)!n n ε=+++⋯+++（此处ε介于0和1之间）.若用3(1)!n +近似的表示e 的泰勒公式的拉格朗日余项e ()(1)!n R x n ε=+，当()n R x 不超过12500时，正整数n 的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -是奇函数，当02x ≤≤时，()241f x x x =-；当2x >时，()421x f x -=+．当k 变化时，方程()10f x kx --=的所有根从小到大记为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，则()()()12n f x f x f x ++⋅⋅⋅+取值的集合为（ ）A ．{}1,3B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,3,5,7,9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市南开中学高三数学理科第一次模拟考试卷人教版第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．已知会合 M{ y | yx 2 2x 2, x R} ，会合 N{ x | y log 2 (x 4)} ，则（）A ．MNB ．N MC ．M ND ．MNN2．求以抛物线 y 2 = 8 x 的焦点为焦点，且离心率为1的椭圆的标准方程为（）2A ． x 2y 21 B ． x 2y 21C ． x 2y 21 161212 161643．已知等差数列 { n } 知足：a 1 a 38, S 5 30 ，若等比数列ab 5 为A ． 16B ． 32C ． 644． y3 cos 2xsin 2x 的图象相邻两对称轴之间的距离为55A ．2B ．5C ．5D ． x2y 2 1 416na 1 ,b 3 a 4 , 则{ b } 知足 b 1（）D ． 27（）D ． 55525．抛物线 y = x 2 + bx + c 在点（ 1， 2）处的切线与其平行直线bx + y + c = 0 间的距离是（）A ．2 B ． 2 C ．3 2D ． 24226．在△ OAB （ O 为原点）中， OA (2cos,2sin ), OB (5cos ,5sin ) ，若 OA OB5 ，则 S △ AOB 的值为（）A ． 3B ．3 C ．5 3D ．5 3227．若函数 f (x) ka x a x (a0且 a1)在( , ) 上既是奇函数，又是增函数，则g( x) log a ( x k) 的图像是（ ）8．设双曲线 M ： x2y 21，过点 C （ 0，1）且斜率为 1 的直线，交双曲线的两渐近线于a 2， 两点，若 2| | = | | ，则双曲线的离心率为 （）A BACCBA ． 10B ． 5C ．10D ．5329．函数 y f ( x)( xR) 知足：对全部 x R, f (x) 0, f (x 1)7 f 2 ( x) ; 当x0,1时， f ( x)x2(0 x5 2), 则 f ( 2007 3) （）5 (5 2x 1)A ．2233B ． 23C ． 2D ． 2 310．正实数 x 12及函数， f ( x ) 知足 4 x1 f ( x), 且 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 1 ，则 f (x 1x 2 )，x1f ( x)的最小值为（）A ． 4B ．4C ． 2D ．154第Ⅱ卷（非选择题，共100 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分 . 把答案填写在答题卡相应地点上 . 11．以坐标原点为圆心且与直线 3 － 4 y +5=0 相切的圆方程为x12．若 limx 2Ax B 3 ，则直线 Ax + By + C = 0 的倾斜角为x1x 2113．已知函数 yf ( x) 的反函数为 y 1 log a (1 x)(a0且 a 1) ，则函数 yf ( x 2)必过定点x y 014．已知x 2y 4 , 则 x 2y 2 2x2 y2 的最小值为x2115．如右图，它知足22 ①第 n 行首尾两数均为 n3 43②表中的递推关系如杨辉三角， 4 774则第 n 行 ( n ≥ 2) 的第二个数是5 1114 11 516．已知双曲线： x2y 21 (a b0, a,b 为已知常数 ) ，C a 2b 2过第一象限内双曲线上随意一点P 作切线 l ， 又过原点作 l 的平行线交 PF 1 于 M ，则 | MP | =三、解答题：本大题共 6 小题，共76 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（13 分）已知向量a(1tan x,1), b (1sin 2x cos2x, 3), 记 f ( x) a b （ 1）求 f ( x)的周期；（ 2）若f ( ) f (2) 6 ，此中(0, )，求 .24218．（ 13 分）解不等式| 3log a2 x 2 | log a x 2 (a 0且 a0)19．（ 13 分）已知偶函数f ( x) ，对随意 x1, x2 R ，恒有f (x1x2) f (x1) f (x2) 2x1x21，求（1）f (0) 的值；（2）f ( x) 的表达式；（ 3）令( )[ f ( x)]2 2 f ( x)(a且a1)，求 F (x)在(0,) 上的最值.F x a20．（ 13 分）一列火车从重庆驶往北京，沿途有n 个车站（包含起点重庆和终点站北京）.车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸掉火车已经过的各站发往该站的邮袋各 1 个，同时又要装上该站发往此后各站的邮袋各 1 个 . 设从第 k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋a k个（ k = 1,2,3,, n） .（1）求数列 { a k} 的通项公式；（2）当k为什么值时，a k的值最大，求出a k的最大值 .21．（ 12 分）已知椭圆 C：x2y 21( a b 0) ，经过点 M (4,9) ，过点M向x轴作垂a2b25线恰经过椭圆C的焦点，（1）求椭圆方程；（2）设直线l与椭圆C订交于A，B两点，且知足 | AF| ，| MF| ， | BF| 成等差数列 . 若AB的垂直均分线交 x 轴于点 T，求直线 MT的斜率.22．（12 分）抛物线y 24(p0)的准线与x轴的交点为M Mpx，过点作直线交抛物线于、两点 .A B（ 1）求线段AB中点的轨迹方程；（ 2）若线段AB的垂直均分线交对称轴于点N（ x0，0），求证： x0> 3 p；（ 3）若直线l的斜率挨次取p, p2 ,, p n时，线段AB的垂直均分线与抛物线对称轴的交点挨次是 N1, N 2,, N n , 当 0p1时，求111.S| N1N2 | |N2N3 || N n N n 1 |4[ 参照答案 ]一、选择题：BABCD DCCCB二、填空题：11． x2y21 12． arctan413 ．（－ 1， 0）514． 215． n2n 216 ． a2三、解答题：17．（ 1） f (x)(1 tan x)(1 sin 2x cos 2x) 3cos x sin x (2 cos 2 x2sin x cos ) 3 2(cos 2x sin 2 x ) 3cos x x2 cos2x 3因此周期为π（ 2） f () f ( 4 )2 cos2 cos(2 )222(cossin ) 22 sin() 6 ，4sin() 3 ，(0, ) ， 4 ( 4, 3)4224或2或54 34 3121218．令 log a x t ，则原不等式等价于| 3t 2 2 | t2t2 3t 22 t23t 2 t 4 01 t 430 t4 或 1t1 ，3t 2t13 3t 或 t 03故 0log a x4或 1 log a x 1334x1xa 1①当 0< a <1 时，可得： a 31或 a31x4x 1②当 a > 1 时，可得： a 3 或 a 1a 319．（ 1）令 x 1x 2 0 ，则有 f ( 0) f ( 0) f (0) 1 ，故 f (0) 1（ 2）令 x x, x x ，则有 f ( x x) f (x) f (x)2x 211又 f ( x) 为偶函数，故 f ( x) f ( x) ，代入上式可得： f ( x)x 21（ 3）f ( x) x 2 1, F (x)a ( x 21) 2 2 (x 21)a x 44x 23 a (x 22)21，(x22)211 ，∴当 a > 1时，F ( x ) 的最小值为1，最大值不存在1，最小值不存在 a当 0 < a < 1 时，F ( x ) 的最大值为a20．（ 1）由题意可得：a k a k 1 ( k 1) (n k ) a k n 2k 1 ，a k ak 1n ( 2k 1), (k 2) ，a ka 1 (a k a k 1 ) (a k 1a k 2 )( a 2 a 1 )(k 1) n [( 2k 1) ( 2k3)3]nkn (k1)( 2k 13) nk n k 2 1，2 又 a 1 n 1, 故 a k nkk（ 2） a kk 2nk(kn ) 2 n 22 4当 n 为偶数时， a n 最大，最大值为n 242当 n 为奇数时，a n 1 或 an 1最大，最大值为n 2 1422c 421．（ 1）由题意可得：b 2 9, 解得： a = 5, b = 3,c = 4 ，故所求椭圆方程为a5c 2 a 2b 2x 2y 2 1259（ 2）设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 又 | AF |, | MF |,| BF |成等差数列，故2|MF |=| AF | + | BF | ，即： 2 ( a + e · 4) = a + ex 1 + a + ex 2，故 x 1 + x 2= 8又 x 12y 121, x 22y 22 1，两式作差可得：25925 9( x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) ( y 1y 1 )( y 1y 2 )259y 1 y 2 9x 1 x 2 72即： k ABx 225 y 1 y 2 25( y 1 y 2 )x 1故 AB 的中垂线方程为：yy 1 y 2 25( y 1y 2 )(x 4) ，令 y = 0 可得：2729645xkMT 5,64425)4 (2522．（Ⅰ）抛物线的准线方程为x = － p ，M ( p,0) ，设 l 方程为 yk( x p)(k0)代入 y 24 px 得 k 2 x 22 p(k 2 2) x k 2 p 20.由4 p 2 ( k 22) 2 4k 4 p 20 ，得 0 k 2 1.xx 1 x 2(2 k 2 ) p2k2设线段AB 中点为 （ x， y ），则，消去参数k，Q2 pykx kpk0 k 21,x (221) p p ，k∴线段 AB 中点的轨迹方程 y 22 p( x p)( xp) p（Ⅱ）证明：线段AB 的垂直均分线方程为y 2 p1 2 1) p] ，令 y = 0 ，k[ x (2 2kk 2N ( x 0,0) 的横标 x 0( 1) p, 0 k 2 1, 1) p 3 p, x 03 p. k 2( 2k（Ⅲ）当直线 l 的斜率 k np n时， N n (( 21) p,0), | N n N n 1 | | x n1x n|p 2n21) p ( 21) p | 2(1 p 2)p1),1p 2n1 | (2 n 22 np 2n 1(0 | N n N n 1|2(1 2)pppp 32 )n 1 ,1是以p 322(1 p2( p| N n N n 1 |2(1 2为首项，以 p 为公比的等比数列，)p )且 0 p 2 1, S1 1 1p 3 p 3| N 1N 2 || N n N n 1 |1 p2 2(1 p 2 )2(1 p 2 )2。

重庆市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D2．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减4．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 5．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个6．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．998． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383B ．57171C ．59189D ．612429．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝10．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．32-B ．0C ．0或32-D ．32-11．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。