下载文档原格式
2019届重庆市高三高考模拟调研（六）（康德卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}e 1xA x =>，{}2log 1B x x =>，则A B =I （ ） A ．{}02x x << B ．{}0x x >C ．{}2x x >D ．∅答案：C解指数不等式和对数不等式确定集合,A B ，然后由交集定义求解． 解：由题意{}{}10xA x e x x =>=，{}{}2log 12B x x x x =>=， 所以{|2}A B x x ⋂=>． 故选：C ． 点评：本题考查集合的交集运算，掌握对数函数与指数函数的性质是解题关键． 2．已知复数23iz i-=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D由题意可得()()232713101010i i i z i i -+-===--，在复平面内对应的点为71,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，选D3．已知x y <，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11x y>B ．1133x y <C ．33xy --<D ．()()22ln 1ln 1x y +<+答案：B根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断． 解：当0x y <<时，11x y<，A 错； 由函数13y x =是增函数得1133x y <成立，B 正确；x y <时，x y ->-，从而33x y -->，C 错； x y <时，21x +与21y +的大小不确定，因此D 错；故选：B ． 点评：本题考查不等式的性质，考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，掌握函数的单调性是解题的关键．对错误的不等式可以举反例说明．4．己知命题p :“已知1a >，若log log a a m n <，则m n <”，则命题p 的否命题为（ ） A ．已知1a ≤，若log log a a m n <，则m n ≥ B ．已知1a ≤，若log log a a m n ≥，则m n ≥ C ．已知1a >，若log log a a m n ≥，则m n ≥ D ．己知1a >，若log log a a m n <，则m n ≥ 答案：C否定条件，也要否定命题的结论． 解：命题“已知1a >，若log log a a m n <，则m n <”的否命题是“已知1a >，若log log a a m n ≥，则m n ≥”．故选：C ． 点评：本题考查四种命题的关系，掌握四种命题是解题关键．否命题是既要否定条件又要否定结论，与命题的否定只否定结论不同．5．设点O 是坐标原点，过双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点2F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P .若2OPF ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±= B ．0x y ±= C ．02xy ±= D ．20x y ±=答案：B由点到直线距离求出2PF ，再由,,a b c 的关系求得OP ，由它们相等可得ba，从而得渐近线方程． 解：取渐近线方程为by x a =，即0bx ay -=，2(,0)F c ，∴222bc F P b b a==+， 22222222OP OF PF c b a =-=-=，OP a =，由题意b a =，1ba=， ∴渐近线方程为y x =±． 故选：B ． 点评：本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出,a b 的等量关系．本题中求出2PF 和OP 即可．6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21答案：C由三视图还原出原几何体后可得体积． 解：由三视图知原几何体是一个正四棱柱切去了一半所得，如图， 体积为1334182V =⨯⨯⨯=．故选：C ．点评：本题考查三视图，考查棱柱的体积，解题关键是由三视图作出原几何体，确定几何体的结构．7．为迎接学校将开展的文艺汇演，某班在编排一个小品节目中，需要甲、乙、丙、丁四个同学扮演小品中主角、配角、小生、快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色下面是他们选择角色的一些信息：①甲和丙均不扮演快递员，也不扮演配角；②乙不扮演配角；③如果甲不扮演小生，那么丁就不扮演配角.若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选择扮演的角色是（ ） A ．主角 B ．配角C ．小生D ．快递员答案：A根据所给信息进行推理． 解：首先由①②知丁演配角，由③甲演小生，再由①丙演主角． 故选：A ． 点评：本题考查演绎推理，掌握演绎推理的概念是解题关键．8．如图是为计算()y f x =的函数值所设计的一个程序框图.若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2,4B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,12,42⎛⎫⎪⎝⎭U D ．(]1,12,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦U答案：D模拟程序运行，确定程序功能，即确定函数()f x 的解析式，作出函数图象，由函数性质确定a 的范围． 解：由程序框图得21,1()2,12,2x x f x x x x x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩，其图象如图所示：由图象知()f x a =要有两个不同的实数解，则112a ≤≤或24a <≤， 故选：D ．点评：本题考查程序框图，考查方程根的个数问题．解题关键是读懂程序的功能，它实质表示一个分段函数，然后利用函数图象可得方程根的分布．9．如果正方形内部到每个顶点的距离都超过边长的一半的点构成的图形叫该正方形的“星形”，在正方形内随机取一点，则此点恰在其“星形"内的概率为（ ） A ．14π-B ．31π-C ．4π D ．3π 答案：A在正方形中以每个顶点为圆心，边长的一半为半径作圆，可以得到四个14的圆，“星形”即在这四个14的圆外部分． 解：解析：在正方形中以每个顶点为圆心，边长的一半为半径作圆，可以得到四个14的圆，“星形”面积即为正方形面积减去四个14的圆面积，不妨设边长为1，星形面积为14π-，所求概率为14114ππ-=-. 故选：A ． 点评：本题考查几何概型，解题关键是求出“星形”面积． 10．函数()cos cos 2f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C确定函数的奇偶性，确定特殊的函数值的正负及函数值，用排除法得出结论．解：()f x 为偶函数，排除A ，0x →时()0f x >，排除B ，且132f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除D ，只有C 可选． 故选：C ． 点评：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的性质，确定函数值的正负，函数值的大小，及变化趋势等利用排除法得出结论．11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时()()0f x xf x '+>，且()12f =，则不等式()20f x x->的解集是（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()1,0-C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-+∞U答案：A构造新函数()()g x xf x =，由已知确定此函数的奇偶性与单调性（单调性可通过导数说明），然后可解不等式． 解：设()()g x xf x =，(1)(1)2g f ==，由题当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，又()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数，在(),0-∞上单调递减.所求不等式等价于当0x >时，()20xf x ->，即()(1)g x g >，解得1x >；当0x <时，()(1)g x g <，解得10x -<<. 综上不等式的解集为()()1,01,-⋃+∞． 故选：A ． 点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查用导数研究函数的单调性．解题关键是构造新函数()()g x xf x =，然后奇偶性与单调性． 12．已知P 是函数()e xf x =（112x ≤≤）图象上的动点，点()2,1A ，()1,1B -，O 为坐标原点，若存在实数λ，μ使得OA OP OB λμ=+u u u ru u u ru u u r成立，则λμ-的最小值是（ ）A ．1 BC ．2e1e-+ D ．()22e 1e-+ 答案：D设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+u u u r u u u r u u u r把,λμ用x 表示出来，则得出λμ-关于x 的函数，再利用导数的知识求得其最小值． 解：解析：设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+u u u r u u u r u u u r 得21e x x λμλμ=+⎧⎨=-⎩，解得3e 3e 1e xxxx x λμ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ()31e 1e x xx λμ--=++，记()()31e 1e x xh x x -=++，则()()23e 30e x x x h x x --'=<+，所以()h x 单调递减， 所以()()()min22e 11eh λμ--==+. 故选：D ． 点评：本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值．解题关键是由向量线性运算把λμ-表示为x 的函数．二、填空题13．()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______. 答案：17求出61(1)x-中的常数项和2x -的系数，再由多项式乘法可得结论． 解：661661()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=-=-，由60r -=得6r =，常数项为666(1)1C -=，由62r -=-得4r =，2x -的系数为446(1)15C -=，∴所求常数项为2111517⨯+⨯=．故答案为：17． 点评：本题考查二项式定理，考查求二项展开式中某一项系数，掌握二项展开式通项公式是解题关键．14．已知向量a r ，b r 满足()3,0a =r ，a b ⊥r r，5a b +=r r ，则()()2a b a b +⋅-=r r r r ______.答案：2由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，然后由5a b +=r r 平方的可求得b r ，接着可计算()()2a b a b +⋅-r r r r ．解：∵a b ⊥r r，∴0a b ⋅=r r ，又3a =r ，2222()225a b a b a a b b +=+=+⋅+=r r r r r r r r ，∴225916b =-=r ，即4b =r ， ∴()()2a b a b +⋅-=r r r r 222222342a b -=⨯-=r r ．故答案为：2． 点评：本题考查向量的数量积的运算，考查数量积的性质，掌握数量积运算律是解题关键． 15．若圆()()22342x y -+-=上存在两点A ，B ，使得以AB 为直径的圆过点P ，O 为坐标原点，则OP 的最大值为______. 答案：7设AB 中点为M ，半径AM t =，利用OP OC CM MP ≤++，得5OP t ≤，然后由基本不等式求得最大值．解：解析：设AB 中点为M ，半径AM t =，()3,4C ，则557OP OC CM MP t ≤++=+≤+=等号成立时，O ，C ，M ，P 四点共线，且半径1AM =． 故答案为：7． 点评：本题考查平面上两点间距离，利用性质：平面上两点之间线段最短求解．考查的基本不等式的应用．对学生分析问题解决问题的能力要求较高．16．设数列{}n a 的前n 项之积为n A ，且()111n n n n A A nA n A +++=+，112a =，1n n nb a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1n nS A +=______. 答案：1321n n +-+ 由()111n n n n A A nA n A +++=+得()111n n A n n a +++=+，再得(1)n n A na n =--，由11n n n A a A ++=可得n a 的递推关系，从而整理出数列1{}1na -是等差数列， 解：∵()111n n n n A A nA n A +++=+，∴()111n n A n n a +++=+，即()111n n A n a n ++=+-，()1n n A na n =--，两式相除得()()1111n n n n a n a na n +++-=--，整理得112n n a a +=-，即111111n n a a +=---， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，1121a =--，∴1(1)1n n a =-+-， ∴1n n a n =+，111211n n n b n n n n +=+=+-++， 1211n S n n =+-+，11n A n =+，11321n n S n A n +=+-+． 故答案为：1321n n +-+． 点评：本题考查数列的综合问题．考查求数列的通项公式，解题关键是由已知等式变形后得数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，由等差数列通项公式求得n a ，然后依次可得n b ，n S ，n A ，从而得出结论．三、解答题17．如图，在ABC ∆中，D 为BC 上的点，已知4C π∠=，5AD =，DC =，且AC AD >.（1）求AC 的长； （2）若6BAD π∠=，求ABBD的值. 答案：（1）7（2）25（1）用余弦定理列式，解方程可得；（2）先用正弦定理得sin ADC ∠，再由正弦定理得结论． 解：解：（1）在ADC ∆中由余弦定理，2222cos AD AC DC AC DC C =+-⋅， ∴225322424AC AC π=+-⨯，∵AC AD >，解得7AC =；（2）在ADC ∆中由正弦定理，72sin sin sin 10AC AD ADC ADC C =⇒∠=∠，在ABD ∆中由正弦定理，sin 2sin 5AB ADC BD BAD ∠==∠ 点评：本题考查余弦定理和正弦定理，直接应用正弦定理和余弦定理即可求解．18．某公司为调查产品销售情况，随机调查了100名销售人员的产品销售情况，得到如图所示的频率分布直方图，该公司关于奖金与销售量的规定如下表： 销售量（件/人） [)75,85[)85,105[)105,115[)115,+∞奖金（千元） 1235（1）从这100名销售人员中随机抽取两人，求这两人所得奖金之和至少有8千元的概率；（2）若该公司的销售量服从正态分布()2,N μσ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差2144s ≈，若全公司有2000名员工，试估计该公司单人销售量在112件以上的人数.（已知随机变量()2,X Nμσ:，则()0.826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.答案：（1）13330（2）174人 （1）求出销售量在[)105,115和[)115,+∞的人数，可得任选2人，两人奖金和至少是8千元的方法数，由古典概型概率公式可得概率；（2）由频率分布直方图，求出销售量的平均值即总体期望，由正态分布的概率性质得销售量在112件以上的人数的概率，从而得出人数． 解：解：（1）由题销售量为[)105,115的人数为1000.0151015⨯⨯=人，销售量为[)115,+∞的人数为()1000.0050.0051010⨯+⨯=人，即有15人奖金为3千元，10人奖金为5千元.设从这100名销售人员中随机抽取两人，两人所得奖金之和至少有8千元为事件A ，则()112151010210013330C C C P A C +==； （2）由频率分布直方图，销售量的平均值800.1900.21000.451100.151200.051300.05100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，以样本销售量平均值作为总体期望，估计该公司销售量在112件以上的人数为()120001742P X μσμσ--<<+⨯=人.点评：本题考查频率分布直方图，考查古典概型，考查正态分布，掌握频率分布直方图是解题关键．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA AD ⊥.（1）若PA PC ⊥，求证：PB PA ⊥且PB BC ⊥；（2）若2AB =，4PA =，5BC =P AD C --为120︒，求直线PC 与底面ABCD 所成角的大小. 答案：（1）见解析（2）30°（1）由AD PA ⊥，AD AB ⊥，证得线面垂直，得出AD PB ⊥，则有BC PB ⊥，再证一个线面垂直，即得PB PA ⊥；（2）确定出PAB ∠为二面角P AD C --的平面角，则以以AB u u u r ，AD u u u r分别为x ，y 轴正方向建立空间直角坐标系.，用向量法求线面角． 解：解：（1）由AD PA ⊥，AD AB ⊥，PA AB A =I ，∴ AD ⊥平面PAB ，∴AD PB ⊥，由//BC AD 得BC PB ⊥， 又PA PC ⊥，BC PA ⊥，BC PC P =I ， 所以PA ⊥平面PBC ，所以PA PB ⊥；（2）由（1）AD ⊥平面PAB ，∴PAB ∠为二面角P AD C --的平面角，∴120PAB ∠=︒，P 点到AB 的距离为4sin 6023h =︒=以A 为原点，以AB u u u r ，AD u u u r分别为x ，y 轴正方向建立空间直角坐标系.(2,0,23P -，()2,25,0C ，(4,25,23PC =-u u u r，设PC 与平面ABCD 所成角为θ，平面ABCD 的法向量()0,0,1n =r，1sin 2PC n PC n θ⋅==u u u r r u u ur r ，所以30θ=︒．点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查用空间向量法求线面角．解题时必须掌握线面垂直的判定定理和性质定理，线面垂直与线线垂直常常相互转化．立体几何中求空间角常常用空间向量法，此时解题关键是建立空间直角坐标系．20．已知椭圆C ：221x y t+=（0t >且1t ≠）的焦点为1F ，2F ，点P 为短轴顶点，且121cos 3F PF ∠=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的焦点在x 轴上，直线l ：y kx m =+（k ，m R ∈）与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA 与OB 的斜率之积为λ，是否存在实数λ使得OAB ∆的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 答案：（1）2231x y +=（2）存在，32AOB S ∆=（1）要分类讨论，即由焦点在,x y 轴上分类，由椭圆性质知12PF PF a ==，由余弦定理可求得t ，得椭圆方程； （2）)3,sin Aαα，()3,sin Bββ，可得sin sin 3cos cos αβλαβ=，又由点,A B 坐标表示出OAB ∆的面积为13sin 3sin 2AOB S αββα∆=，分析可得13λ=-时，面积取最大值．解：解：（1）由题若焦点在x 轴上，21PF PF t ==1221FF t =-，()222121212122411cos 223PF PF F F t t F PF PF PF t +---∠===-⋅，解得3t =，椭圆方程为2213x y +=；若焦点在y 轴上，211PF PF ==，1221FF t =-222121212121cos 2123PF PF F F F PF t PF PF +-∠==-=-⋅解得13t =，椭圆方程2231x y +=. （2）设()3cos ,sin Aαα，()3cos ,sin Bββ，则sin sin 3cos cos 3cos 3cos λαβλαβαβ=⇒=（）利用如图的方法，即过,A B 分别作坐标轴的垂线与坐标轴围成一个包含OAB ∆的矩形，由此图形可得，设1122(,),(,)A x y B x y ，122112OAB S x y x y ∆=-， 实质上，2122112112111()()222OAB S x y x y x y x x y y ∆=-----，化简后可得．点,A B 在其它象限也同样求得． ∴()133sin 3sin 22AOB S αββαβα∆==-， 所以当13λ=-时，由（）得()cos 0βα-=，此时3AOB S ∆=.点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，在椭圆焦点位置不确定时需分类讨论，否则易漏解．本题中用了一个性质：设1122(,),(,)A x y B x y ，122112OAB S x y x y ∆=-，对有些问题解决可提供方便． 21．已知函数()()3ln 1f x x ax =+-，a R ∈.（1）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求a 的取值范围；（2）当()0,1x ∈时，()()ln 13f x x ax >-+恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）16a ≥（2）2(,]3a ∈-∞ （1）求出导函数()f x '，题意说明()0f x '≤在[1,)+∞上恒成立，再由分离参数法转化为求函数的最值；（2）令()()()33ln 1ln 1g x ax ax x x =++--+，求出()g x 在(0,1)上的最大值，由最大值0<可得，由导函数，对a 按23a ≤和23a >分类讨论．解：解：（1）()2131f x ax x '=-+，所以21301ax x -≤+在[)1,+∞上恒成立，即()2131a x x ≥+在[)1,+∞上恒成立，由()2131y x x =+在[)1,+∞上单调递减，所以max 16y =，所以16a ≥；（2）由题()()33ln 1ln 10ax ax x x ++--+<，令()()()33ln 1ln 1g x ax ax x x =++--+，()0,1x ∈()2221123333111g x ax a ax a x x x '=+--=++-++， 若23a ≤，则()()22222222233222140111g x ax a x x x x x '=++≤++=-++≤--- 所以()g x 在()0,1上单调递减，()()00g x g <=成立； 若23a >，()()2223161g x a x a x '=-++-，令()211,0x t -=∈-， 223603620at a at at t++>⇔++<，令()2362u t at at =++，由()1230u a -=-<，()020u =>，所以存在()01,0t ∈-使得()00u t =，所以()01,t t ∈-时2360at a t++>，即当(x ∈时，()0g x '>，()g x 在(单调递增，所以当(x ∈时，()()00g x g >=，矛盾.综上，2(,]3a ∈-∞. 点评：本题考查与函数的单调性，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题可以转化为求函数的最值，然后利用导数研究函数的单调性得最值，使问题得到解决．22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))11x a y a θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，a R ∈）. （1）当a =A 在曲线C 上，当OA 最长时，求点A 的直角坐标；.（2）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是0θα=，其中0tan 2α=，若直线l 被曲线C截得的弦长为5，求曲线C 的普通方程.答案：（1）(A -（2）()()22228x y -++=或()()22228x y ++-= （1）消去参数得普通方程，转化为圆的标准方程，OA 为直径时，弦长最长，由此可得A 点坐标；（2）同（1）消去参数θ得圆C 的普通方程，确定圆心与半径，再求出直线的直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d ，利用勾股定理列式可求得a ，得曲线C 的普通方程． 解：解：（1）由22cos sin 1θθ+=得，曲线C：((224x y ++=，由题当OA 为直径时弦长最长，即圆心为OA 中点，此时(A -；（2）曲线C ：()()2222x a y a a -++=，直线l ：2y x =，圆心到直线的距离d ===2a =±曲线C 为()()22228x y -++=或()()22228x y ++-= 点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求圆中弦长的解题关键． 23．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()3f x ≤的解集；. （2）如果关于x 的不等式()()22f x x a ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）71,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）94a ≥（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式即可； （2）不等式()()22f x x a ≤+化为2()22f x x a -≤，令()()22g x f x x =-，同样按绝对值定义去绝对值符号后确定函数的单调性得最大值，由这个最大值2a ≤可求得a 的取值范围． 解：解：（1）当1x ≥-时，()124312f x x x =+≤⇒-≤≤-当31x -≤≤-时，()23f x =≤；当3x ≤-时，()724332f x x x =--≤⇒-≤≤- 综上，所求解集为71,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （2）不等式()()22f x x a ≤+化为2()22f x x a -≤，令()()22g x f x x =-，由题()222224,1,22,31,224, 3.x x x g x x x x x x ⎧-++≥-⎪=--≤≤-⎨⎪---≤-⎩，当1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，故()max 1922g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以99224a a ≥⇒≥. 点评：本题考查解含绝对值的不等式，以及不等式恒成立问题，解题方法是按绝对值定义分类讨论去绝对值符号，然后求解．。
2019年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内表示复数z（l-2z）的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限［核心考点］考查复数的运算，复数的几何意义。
［解析］z（l-2z）=2+z,其在复平面上对应的点为Z（2,l）,位于第一象限。
［答案］A2.对任意等比数列{%},下列说法一定正确的是（）A.%、。
3、。
9成等比数列B.%、。
3、。
6成等比数列C.％、。
4、小成等比数列D.%、。
6、。
9成等比数列［核心考点］考查等比数列的性质应用。
［解析］根据等比数列的性质，就=%%，故向、％、％成等比数列。
［答案］D3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数1=3,亍=3.5,则由观测的数据得线性回归方程可能为（）A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2AC.y=-2x+9.5D.y=-O.3x+4A［核心考点］考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。
［解析］由变量X与y正相关可排除选项C、D,由样本中心点（2.5,3.5）在回归直线方程上可得回归直线方程可能为y=0.4"2.3。
［答案］A题5图［解析］由题知，2a-3b=（2k-3,-6）,因为（2一万少c,所以（2a—3》）c=0,所以(2i—》c)=2(2+W)=伙-6)=4,解得k=3。
［答案］C5.执行如题5所示的程序框图，若输出R的值为6,则判断框内可填入的条件是（）1 A.s〉一23 s>—57 C.s>—10B.4 D.s>—5［核心考点］考查程序框图的相关知识。
9X777［解析］由s=l------=—,故当判断框内填入$〉一时，输入如勺值为6。
10 9810106.［答案］C已知命题p:对任意xeR，总有2’>0:q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是（）L p/\q B.—p/\^qC.—p/\qD.p/\—^q［核心考点］考查复合命题的真值表的应用，全称命题真假的判定以及充件的判定。
重庆市巴蜀2019届高三上学期一诊模拟考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A.-2 B.1 C.2 D.1或-2 【答案】A考点：复数的相关概念．2.已知集合{})4(log 22x y x A -==，{}12+==xy y B ，则=B A （ ）A.φB.(1,3)C. ),1(+∞D.(1,2) 【答案】D 【解析】试题分析：由240x ->，得22x -<<，所以(2,2)A =-，又(1,)B =+∞，所以)2,1(=B A ，故选D ．考点：1、函数的定义域与值域；2、集合的交集运算．3.直线l 过点(0,2)，被圆0964:22=+--+y x y x C 截得的弦长为32，则直线l 的方程是（ ） A.234+=x y B.231+-=x y C.2y = D. 234+=x y 或2y = 【答案】D 【解析】试题分析：将圆C 的方程化为标准方程为：4)3()2(22=-+-y x ，所以圆心为(2,3)，半径为2．由弦长公式L =，得=解得1d =．显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为2y kx -=，即2y kx =+，则由点到直线的距离公式，得1d ==，解得0k =或34=k ，所以直线l 的方程为2y =或234+=x y ，故选D ． 考点：1、点到直线的距离；2、弦长公式；3、直线的方程．【知识点睛】求直线与圆相交所得弦的长主要是有两种方法，一是直接利用弦长公式L =中R 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，其次运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为（ ）A.87 B.109 C.98 D.1110 【答案】C考点：程序框图．5.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足0328274=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则1083b b b =（ ）A.1B.8C.4D.2 【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，则由题意，得0)(3237277=++--d a a d a ，解得27=a 或07=a （舍去），所以33738107774()()8b b b b b q b q b q==，故选B ． 考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式．6.已知函数()f x 是定义在),(+∞-∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2016()2015()2014(f f f +-+的值为（ ）A.-1B.-2C.2D.1 【答案】A 【解析】试题分析：因为对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，所以当0≥x ，()f x 是以2为周期的函数，又()f x 是定义在),(+∞-∞上的奇函数，所以(2014)(2015)(2016)f f f +-+＝(2014)(2015)f f -＋(2016)f ＝2(0)(1)(0)(1)log 21f f f f -+=-=-=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、周期函数．【知识点睛】(1)若函数()f x 为偶函数，则函数在y 轴两侧单调性相反；若函数()f x 为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同；(2)利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．7.对于函数()cos f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 的最小正周期是π2；③点)0,2(π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间]4,0[π上单调递增，其中是真命题的为（ ）A.②④B.①④C.②③D.①③ 【答案】B考点：1、命题真假的判定；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性；4、函数的图象与性质．8.设x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则b a 32+的最小值为（ ） A.625B.38C.311D.4【答案】A【解析】试题分析：作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 经过点()4,6A 取得最大值12，即4612a b +=，亦即236a b +=，所以232323()6a b a b a b ++=+＝131325()666b a a b a b ++≥+=，当且仅当b a a b =，即65a b ==时等号成立，故选A ．考点：1、简单的线性规划问题；2、基本不等式．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知ax by m +=﹙0,0,0a b m >>>﹚求(c 0,0)c d d x y +>>的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c d m x y+（ax by +)，展开后利用基本不等式求解．9.在ABC ∆中，内角A B C ,,的对边长分别为a b c ,,，已知b c a =-22，且sin()A C -＝2cos sin A C ，则b =（ ）A.6B.4C.2D.1 【答案】C考点：1、两角和与差的正弦；2、正余弦定理．10.已知正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（ ）A.39B.36C.38D.6 【答案】D考点：1、棱锥的三视图；2、棱锥的侧面积．11.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，已知点A B ,为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最大值为（ ）A.2B.33C.1D.332 【答案】B 【解析】试题分析：过A B ，分别作抛物线准线的垂线AQ BP ，，垂足分别为Q P ，，连接AF BF ，，设a AF =，b BF =，则由抛物线定义，得AQ a =，BP b =，所以2ba MN +=．在ABF ∆中由余弦定理得：222222cos120AB a b ab a b ab =+-︒=++，所以ABMNa b+≤=，当且仅当a b =时等号成立，故选B ． 考点：1、抛物线的定义；2、余弦定理；3、基本不等式．12.若函数()f x 在[,]a b 上的值域为]2,2[ba ，则称函数()f x 为“和谐函数”.下列函数中：①411)(+-=x x g ；②)81)21((log )(21+=x x h ；③x x p 1)(=；④x x q ln )(=，“和谐函数”的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C考点：1、新定义；2、函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数⎩⎨⎧≤>=,0,2,0,log )(3x x x x f x则=)))31(((f f f _____________． 【答案】21log 3 【解析】试题分析：1331111((()))((log ))((1))(2)()log 3322f f f f f f f f f -==-===． 考点：分段函数求值．【方法点睛】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值．另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用． 14.二项式)()212(*∈-N n xx n的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20【解析】试题分析：由题意知，展开式中有7项，6n =．因为r r r r rrrr x C xx C T 262666612)1()21()2(---+-=-=，令620r -=，得3r =，所以常数项为336(1)20C -=-．考点：二项式定理．15.ABC ∆中，120A ∠=︒，A ∠的平分线AD 交边BC 于D ，且2AB =，2CD DB =，则AD 的长为___________． 【答案】34 考点：余弦定理．【一题多解】由题意B C D ，，三点共线，且12=BD CD ，则1233AD AC AB =+，根据角平分线的性质21==CD BD AC AB ，所以4AC =，222221214416()339999AD AD AC AB AC AB AC AB ==+=++⋅=，所以34=AD . 16.A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==， 41AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________． 【答案】20 【解析】试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．考点：1、棱锥的体积；2、长方体的性质．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11=a ，且满足)(0)1(11*++∈=+-N n a a a n n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nnn a c 3=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）n a n 1=；（2）4334)12(1+⨯-=+n n n S ．考点：1、等差数列的定义；2、数列的通项；3、错位相减法．【易错点睛】用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．18.（本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）分数在的有18603.0=⨯人，并且ξ的可能取值为0,1,2,3,4. ......................7分则1187)0(260215===C C P ξ；11827)1(260127115===C C C P ξ，590207)2(260227118115=+==C C C C P ξ； 29581)3(260118127===C C C P ξ；59051)4(260218===C C P ξ. ..........................9分 所以ξ的分布列为...................................11分1.2590514295813590207211827111870)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ........................12分 考点：1、频率分布直方图；2、平均分；3、分布列；4、数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点.（1）求证：平面E AD 1⊥平面E D A 11； （2）求二面角B AC E --1的正切值． 【答案】（1）见解析；（2）36．试题解析：（1）证明：如图，在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，1AB =，（2）解：方法一：因为AB ⊥平面11BCC B ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B ，所以只需在平面11BCC B 内过点E 作1EF BC ⊥于F ，而EF ⊥平面1ABC .如图，过F 作1FG AC ⊥于G ，连接EG ，则EGF ∠就是二面角B AC E --1的平面角. .....................8分在1EBC ∆中，55211111=⋅==BC B CEBBC S EF EBC △， 所以5532211=-=EF E C F C .在1ABC ∆中，1030sin 1111=⋅=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG . (10)分设平面1AEC 的一个法向量为),,(z y x n =，则)1,1,1(00-=⇒⎩⎨⎧=-=+n z x z y ，同理可得，平面1ABC 的一个法向量为)1,0,2(=， ..................10分 代入公式有：515353,cos =⋅>=<n m ， 所以二面角B AC E --1的平面角的正切值大小为36. .................12分 考点：1、空间垂直关系的判定；2、二面角．20.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，作直线l 交椭圆于P Q ，两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k ，3221-=k k . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点)0,3(-D ，且满足QD DP 2=，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．【答案】（1）3e =（2）1101522=+y x ． 【解析】（2）由（1）知33==a c e ，得22222,3c b c a ==， 可设椭圆C 的方程为：222632c y x =+，设直线l 的方程为：3-=my x ，代入椭圆C 的方程有06634)32(222=-+-+c my y m ，.......6分 因为直线l 与椭圆C 相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ， 由韦达定理：3234221+=+m m y y ，32662221+-=m c y y ． 又QD DP 2=，所以212y y -=，代入上述两式有：329666222+-=-m m c ，..........8分 所以32)66)(32(448232*********+-+-=∆=-=∆m c m m a y y OD S OPQ ..................9分2633211832182≤+=+=m m m m， .......................10分 当且仅当232=m 时，等号成立，此时52=c ，代入∆，有0>∆成立，所以所求椭圆C 的方程为：1101522=+y x . .........................12分 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式．【方法点睛】直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程．当0∆>时，直线与圆锥曲线相交，设交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线被圆锥曲线截得的弦长12||()AB x x =+21.（本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=kx x x f .（1）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （2）证明：)2,(410)11(1ln 154ln 83ln 32ln 22≥∈++<++-+⋅⋅⋅+++*n N n n n n n n n ． 【答案】（1）1≥k ；（2）见解析．考点：1、导数与最值的关系；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数()f x '的符号能够确定为正或为负．请从下面所给的22 , 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的参数方程为：θθθ(,sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数），直线l 的参数方程为：t t y t x (,1,32⎩⎨⎧+=+=为参数），点()2,1P ，直线l 与曲线C 交于A B ，两点.（1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求PB PA ⋅的值．【答案】（1）曲线C 的标准方程为：1222=+y x ；直线l 的标准方程为：0323=+--y x ．（2）165．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系．23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）设函数a x x x f --++=21)(的定义域为R ，试求a 的取值范围；（2）已知实数x y z ，，满足231x y z ++=，求222z y x ++的最小值．【答案】（1）3 a ；（2）141．考点：1、绝对值不等式的解法；2、柯西不等式．。
2019普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）-数学（理）解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学理一.填空题：本大题共10小题，每题5分，共计50分。
在每题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 那么}{n a 的前5项和5S =A.7B.15C.20D.25【答案】B【解析】422514d a a d=-=-,523167a a d =+=+=,故155()5651522a a S +⨯⨯===. 【考点定位】此题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答. 2.不等式0121≤+-x x 的解集为A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,【答案】A【解析】(1)(21)01101212210x x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨++≠⎪⎩【考点定位】此题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是 A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 【答案】C【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为11d r=<<=,且圆心(0,0)C 不在该直线上.法二:直线10kx y -+=恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,应选C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小为判断.当0d r ≤<时,直线与圆相交,当d r =时,直线与圆相切,当d r >时,直线与圆相离.4.321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635B.835C.435D.105【答案】B【解析】841881()2r rrr r r r T C C x--+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】此题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 〔5〕设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，那么tan()αβ+的值为 （A ）-3〔B 〕-1〔C 〕1〔D 〕3 【答案】A 【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+- 考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. 〔6〕设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥，那么a b +=〔ABC〕D 〕10 【答案】B【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】此题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.〔7〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，那么“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的〔A 〕既不充分也不必要的条件〔B 〕充分而不必要的条件 〔C 〕必要而不充分的条件〔D 〕充要条件 【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数【考点定位】此题主要通过常用逻辑用语来考察函数的奇偶性，进而来考察函数的周期性，根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答此题的关键。
2019年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内表示复数i（1 2i）的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限［核心考点］考查复数的运算，复数的几何意义。
［解析］i（1 2i） 2 i，其在复平面上对应的点为Z（2,1），位于第一象限。
［答案］A2.对任意等比数列a n ,下列说法一定正确的是（）A. 31、玄3、89成等比数列B. a?、83、*6成等比数列C. *2、*4、38成等比数列D. *3、*6、*9成等比数列［核心考点］考查等比数列的性质应用。
［解析］根据等比数列的性质，a：a3*9，故a3、a6、a9成等比数列。
［答案］D3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数x 3，y 3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为（）A. $ 0.4x 2.3B. $ 2x 2.4C. $ 2x 9.5D. $ 0.3x 4.4［核心考点］考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。
［解析］由变量x与y正相关可排除选项C、D,由样本中心点2.5,3.5在回归直线方程上可得回归直线方程可能为$ 0.4x 2.3［解析］由题知，2a 3b （2k 3, 6）,因为（2a 3b） c ,所以（2a 3b）gp 0，所以C. p qD. p q［核心考点］考查复合命题的真值表的应用，全称命题真假的判定以及充件的判定。
［解析］由题知，命题p为真命题，命题q为假命题，q为真命题，p q为真命题。
［答案］D7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72［核心考点］根据几何体的三视图求该几何体的表面积。
［解析］根据三视图可得该几何体如右图所示，1 13 4 3 5 2 212(2 5) 42(25) 5 3 5 60。
理科数学试题 第 1 页（共6页）高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学试题卷理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={1，2，m }，B ={3，4}，若A ∪B ={1，2，3，4}，则实数m 为 A.1或2 B.2或3 C.1或3 D.3或42.命题p : (2)(1)0x x -+>；命题q ：01x ≤≤．则命题p 成立是命题q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.cos(2)θπθ=-，则θ2tan =A ．715-B ．715C ．815-D ．815 4.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了. ” 丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是A.甲B.乙C.丙D.丁5.下表是我国某城市在2018年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据表．理科数学试题 第 2 页（共6页）第6题图已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，则下列结论错误的是A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7至10月，波动性更大 6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的a 的值为A ．13B ．34C ．47D ．7117.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的 题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的17是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为A .2B .11C .13D . 46 8.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的4个格子涂色，每个 格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有 A ．360种 B ．510种 C ．630种 D ．750种9.将函数()2sin 22cos 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到()y g x =的图象， 则下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 的最小值为1-C ．函数()g x 的图象关于6x π=对称 D ．函数()g x 在2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 10.已知函数32()2log 2x f x x x +=+-，若不等式1(3f m>成立，则实数m 的取值范围是 A ．()1,+∞ B ．(),1-∞ C ．1(0,)2 D ．1(,1)211.已知抛物线C ：px y 22=的焦点F 与双曲线143422=-y x 的右焦点相同，过点F 分别 第8题图理科数学试题 第 3 页（共6页）作两条直线1l ，2l ，直线1l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D ，E 两 点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．20 C ．24 D ．3212. 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形， 3=OD ，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设),(R OD OC OP ∈+=βαβα，则45βα+的最大值是A ．41B ．209C ．43D ．6017二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上． 13.已知复数112i z =+，122i z z +=+，则12z z ⋅=__________．14. 在92)1x x -（的展开式中，常数项是 （用数字作答）． 15. 若直线l：y kx =+C ：25232322=-+-）（）（y x 交于A ,B 两点，则AB的最小值为 ．16. 已知函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于y 轴对称，当函数)(x f y =和)(x g y =在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数)(x f y =的“不动区间”.若区间[1，2]为函数t x f x+=2)(的“不动区间”，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：共70分. 解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.第12题图。
高考重庆理科数学试题及答案(word 解析版) 2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求． （1）【2019年重庆, 理1】已知集合{}1,2,3A =, {}2,3B =, 则（ ）（A ）A B = （B ）A B =∅I （C ）A B Ü （D ）B A Ü 【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠Q ，且, 故选D ．（2）【2019年重庆, 理2】在等差数列{}n a 中, 若24a =, 42a =, 则6a =（ ） （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =, 故选B ． （3）【2019年重庆, 理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右,则这组数据的中位数是（ ） （A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是20+20202=, 故选B ．（4）【2019年重庆, 理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-, 故选B ．（5）【2019年重庆, 理5】某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的, 其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭, 故选A ． （6）【2019年重庆, 理6】若非零向量,a b r r满足22||||a b =r r , 且()()32a b a b -⊥+r r r r , 则a r 与b r 的夹角为（ ）（A ）4π （B ）2π （C ）34π（D ）π【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=r r r r r r r r g , 结合22||||a b =r r , 可得2||3a b b =r r rg ,2cos ,,,[0,],4||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=r rr r r r r r g r r , 故选A ．（7）【2019年重庆, 理7】执行如图所示的程序框图, 若输入k 的值为8, 则判断框图可填入的条件是（ ）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤ 【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==Q 是，是, 114+24k s ⇒==，是, 1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否, 判断框内应该填11111++=24612s ≤, 故选C ．（8）【2019年重庆, 理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴,过点()4,A a -作圆C 的一条切线, 切点为B , 则||AB =（ ）（A ）2 （B） （C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=, 其圆心坐标为2,1C （）, 半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线, 它过圆心2,1C（）, 所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=由几何图形可知,6AB ===,故选C ．（9）【2019年重庆, 理9】若tan 2tan 5πα=, 则3cos()10sin()5παπα--＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tan sin cos 5cos 5ππαααπ=⇒=⊗Q , 3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-, 故选C ． （10）【2019年重庆, 理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F , 右顶点为A , 过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点, 过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）（A ）()()1,00,1-U （B ）()(),11,-∞-+∞U （C）()(U （D）(),-∞+∞U【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中, 由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-, 由题意得：22()()c a c a a +-<01b a a c a=+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a=±∴∈-U , 故选A ．二、填空题：本大题共6小题, 考生作答5小题, 每小题5分, 共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2019年重庆, 理11】设复数()i ,a b a b R +∈的模为3, 则()()i i a b a b +-= ． 【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈的模为2222333a b a b ⇒+=⇒+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=．（12）【2019年重庆, 理12】532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）． 【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r r r r r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=Q ．故35()2x x+的展开式中8x 的系数为2521522C =． （13）【2019年重庆, 理13】在ABC ∆中, 0120B =, 2AB =, P ABC -的角平分线3AD =, 则AC = ．【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠o o o , 30C ∴∠=o , 再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题, 请从中任选两题作答, 若三题全做, 则按前两题给分． （14）【2019年重庆, 理14】如图, 圆O 的弦,AB CD 相交于点E , 过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P , 若6PA =, 9AE =, 3PC =, :2:1CE ED =, 则BE = ． 【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2019年重庆, 理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 ．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=Q 由222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及． 故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）．（16）【2019年重庆, 理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5, 则实数a = __． 【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时, 利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5, 所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时, 利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5, |1|54a a +=⇒=, 综上, 可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题, 共75分．解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程． （17）【2019年重庆, 理17】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问5分, （Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗, 设一盘中装有10个粽子, 其中豆沙粽2个, 肉粽3个, 白粽5个, 这三种粽子的外观完全相同, 从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数, 求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”, 则()11123531014C C C P A C ==． （Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2, 且()383107015C P X C ===, ()12283107115C C P X C ===,()21283101215C C P X C ===．故分布列见表： 且()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）． （18）【2019年重庆, 理18】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问7分, （Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 故()f x 的最小正周期T π=, 最大值为23-． （Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤, 从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时, ()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时, ()f x 单调递减．因此, ()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增, 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减． （19）【2019年重庆, 理19】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问4分, （Ⅱ）小问9分）如图, 三棱锥P ABC -中, PC ⊥平面ABC , 3PC =, 2ACB π∠=, ,D E 分别为线段,AB BC上的点, 且2CD DE ==, 22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值． 解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC , DE ⊂平面ABC , 故PC DE ⊥．又2CD DE ==, 2CE =, 故CDE ∆X 0 1 2 P 715 715 115为等腰直角三角形, 且CD DE ⊥．因PC CD C =I , PC ⊂平面PCD , CD ⊂平面PCD ,所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图, 取CE 的中点F , 连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形, 故DF CE ⊥,1DF CF FE ===．又2ACB π∠=, 故//DF AC , 因此23DF FB AC CB ==, 从而32AC =．以C 为原点, ,,CA CB CP u u u r u u u r u u u r的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 C xyz -．则()0,0,0C , 3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭, ()0,2,0E , ()1,1,0D , ()0,0,3P , 故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ,()1,1,3DP =--u u u r , ()1,1,0DE =-u u u r ．设()1111,,n x y z =u u r 为平面APD 的法向量, 则1100n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩, 取11y =得()12,1,1n =u u r ．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD , 故DE u u u r 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅u u r u u u ru u r u u u r u u r u u u r , 故所求二面角A PD C --的余弦值为3． （20）【2019年重庆, 理20】（本小题满分12分, （Ⅰ）小问7分, （Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e+=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值, 确定a 的值, 并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数, 求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+'==, 因()f x 在0x =处取得极值, 故()00f '=, 得0a =．因此()23x f x x e -=, ()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e=, ()31f e'=, 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e -=-即30x ey -=．（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立, 故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减, 故()()max 932g x g ==-, 所以92a ≥-, 即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（21）【2019年重庆, 理21】（本题满分12分, （Ⅰ）小问5分, （Ⅱ）小问7分）如图, 椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F , 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点, 且1PQ PF ⊥．（Ⅰ）若1||22PF =+, 2||22PF =-, 求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若1||||PF PQ =, 求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=, 故2a =．又222124||||12c PF PF =+=, 故23c =, 因此zyxF PEDCBA2221b a c =-=, 从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ,由题(1114||||||2||a F P PQ QF F P =++=,故(1||22F P a =, 从而21||2||F P a F P =-)21a =, 因此(2222124||||49c PF PF a =+=-, 所以229e =-,得e（22）【2019年重庆, 理22】（本题满分12分, （Ⅰ）小问4分, （Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中, 13a =,()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=, 2μ=-, 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥, 1μ=-, 证明：010011223121k a k k ++<<+++． 解：（Ⅰ）由0λ=, 2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>, 故0n a >, 得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列, 从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因130a =>, 故1230n a a a =>>>>>L L ．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, 故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑,因此001212k k a a a a +>>>>>L , 从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+ ⎪++⎝⎭∑． 综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。
2019年一般高等学校招生全国一致考试数学(重庆理卷)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.（1）若等差数列{a n}的前三项和S39且a11，则a2等于（）A．3 C.5 D.6（2）命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A．若x21，则x1或x1B.若1x1，则x21C.若x1或x1，则x21D.若x1或x1，则x21（3）若三个平面两两订交，且三条交线相互平行，则这三个平面把空间分红（）A．5部分部分部分部分（4）若(x1)n睁开式的二项式系数之和为64，则睁开式的常数项为（）xA10（5）在ABC中，AB3,A450,C750,则BC=（）A.33B.2 D.33（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运初赛门票中任取3张，则所取3张中至罕有2张价钱同样的概率为（）A．179C．323 4B．4D．12024（7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则2ab的最大值为（）|a|2|b|252C.52A. B. D.15452（8）设正数a,b知足limx22a n1ab n1(x ax b)4则lim n a n12b n（）A．0B．11D．1 4C．2（9）已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)第1页共11页（10）如图，在四边形ABCD中，|AB||BD||DC|4,ABBD BDDC=0,|AB||BD||BD||DC|4则(ABDC)AC的值为（C ）DB.22 D.42二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应地点上B 2i A（11）复数2i3的虚部为________.x y1（12）已知x,y知足2x y4，则函数z=x+3y的最大值是________.x 1（13）若函数f(x)=2x22axa1的定义域为R，则a的取值范围为_______.（14）设{a n}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则a2006a2007__________.（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，此中甲乙两门课程不可以都选，则不一样的选课方案有___________种。
理科数学试题 第 1 页（共6页）高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学试题卷理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={1，2，m }，B ={3，4}，若A ∪B ={1，2，3，4}，则实数m 为 A.1或2 B.2或3 C.1或3 D.3或42.命题p : (2)(1)0x x -+>；命题q ：01x ≤≤．则命题p 成立是命题q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.cos(2)θπθ=-，则θ2tan =A ．715-B ．715C ．815-D ．815 4.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了. ” 丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是A.甲B.乙C.丙D.丁5.下表是我国某城市在2018年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据表．理科数学试题 第 2 页（共6页）第6题图已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，则下列结论错误的是A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7至10月，波动性更大 6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的a 的值为A ．13B ．34C ．47D ．7117.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的 题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的17是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为A .2B .11C .13D . 46 8.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的4个格子涂色，每个 格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有 A ．360种 B ．510种 C ．630种 D ．750种9.将函数()2sin 22cos 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到()y g x =的图象， 则下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 的最小值为1-C ．函数()g x 的图象关于6x π=对称 D ．函数()g x 在2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 10.已知函数32()2log 2x f x x x +=+-，若不等式1(3f m>成立，则实数m 的取值范围是 A ．()1,+∞ B ．(),1-∞ C ．1(0,)2 D ．1(,1)211.已知抛物线C ：px y 22=的焦点F 与双曲线143422=-y x 的右焦点相同，过点F 分别 第8题图理科数学试题 第 3 页（共6页）作两条直线1l ，2l ，直线1l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D ，E 两 点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．20 C ．24 D ．3212. 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形， 3=OD ，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设),(R OD OC OP ∈+=βαβα，则45βα+的最大值是A ．41B ．209C ．43D ．6017二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上． 13.已知复数112i z =+，122i z z +=+，则12z z ⋅=__________．14. 在92)1x x -（的展开式中，常数项是 （用数字作答）． 15. 若直线l：y kx =+C ：25232322=-+-）（）（y x 交于A ,B 两点，则AB的最小值为 ．16. 已知函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于y 轴对称，当函数)(x f y =和)(x g y =在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数)(x f y =的“不动区间”.若区间[1，2]为函数t x f x+=2)(的“不动区间”，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：共70分. 解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.第12题图理科数学试题 第 4 页（共6页）17．(本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，221-=+n n S ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令(31)n n b n a =-，设数列}{n b 的前n 项和为n T ，求n T . 18．(本小题满分12分）自来水公司对某镇居民用水情况进行调查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得 到他们10月份的用水量（单位：吨），用水量分组区间为[5，15]，（15，25]， （25，35]，（35，45]，由此得到样本的用水量频率分布直方图（如图）． （Ⅰ）求a 的值，并根据样本数据，试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值； （Ⅱ）以样本的频率作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，其中10月份用水量在[5，15]内的用户数为X ，求X 的分布列和数学期望．用水量（吨）频率 组距第18题图理科数学试题 第 5 页（共6页）第19题图M NBOθ19．(本小题满分12分）如图所示，一公园有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km =,OB = 90AOB?o ．公园管理方拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 在边AB 上（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间）， 且30MON ?o ．（Ⅰ）若M 在距离A 点1km 处，求OM 的长；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．设AOM ?q ，试确定q 的大小，使OMN V 的面积最小．20． (本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：12222=+by a x ，其左右焦点为)0,2(1-F 及)0,2(2F ，过点1F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且|1AF |、|21F F |、|2AF |构成等差数列． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记△D GF 1的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得21S S =？请说明理由．21．(本小题满分12分）已知a R ∈，函数2)1ln()(2++-+=ax x x x f ．（Ⅰ）若函数)(x f 在),2[+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；理科数学试题 第 6 页（共6页）（Ⅱ）设正实数1m 、2m 满足121=+m m ，求证：对),1(+∞-上的任意两个实数1x 、2x ，总有)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≥+成立．(二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1(4x tt y at=+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ--=.（I ）若点P 的极坐标为()1π，，且点P 在直线l 上，求直线l 的直角坐标方程； （II ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当AB 最小时，求直线l 的极坐标方程.23. 【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知函数1()212f x x x =+--． （I ）求函数()f x 的图象与x 轴所围成的三角形的面积；（II ）设函数()f x 的最小值为M ，若关于x 的不等式22x x m M +-≤有实数解，求实数m 的取值范围．理科数学试题 第 7 页（共6页）高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学参考答案及评分意见一、选择题：1-5 DABDB 6-10 CADCD 11-12 CD二、填空题： 13．3i +， 14.-84 ， 15． 16．]21,2[--． 三、解答题：17．解：(I) 当2≥n 时，利用公式1--=n n n S S a ，可得nn a 2=，.................4分验证当1=n 时是适合的，即）（*2N n a n n ∈=；..........................5分 （II)n n b b b b T ++++=...321 23225282...(31)2n n =⨯+⨯+⨯++-, ①2n T = 234+1225282...(31)2n n ⨯+⨯+⨯++-, ②......................7分①-②得：23143232...32(31)2nn n T n +-=+⨯+⨯++⨯-- ...........9分114(12)43(31)212n n n -+-=+⨯---18(34)2n n +=---，18(34)2n n T n +∴=+-............................................12分18. 解：（I ）由题意得，（0.02+0.032+a +0.018）×10=1，解得a =0.03；........2分由最高矩形中点的横坐标为20，可估计该镇居民10月份用水量的众数约为20吨；.......................................................4分 50户居民10月份用水量的平均值为：x =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（吨），故估计该镇居民10月份每户用水量的平均值约为24.6吨．..............6分（Ⅱ）利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2,则X ～B （3，51），X =0，1，2，3； )0=X P （=30354）（C =12564；)1=X P （=5154213）（C =12548；理科数学试题 第 8 页（共6页）)2=X P （=2235154）（C =12512；)3=X P （=33351）（C =1251．.............10分 ∴X 的分布列为：51253125212511250=⨯+⨯+⨯+⨯=∴）（X E ． .................12分19. 解：（Ⅰ）在ABO V 中， 390OA OB AOB ==?o，，∴60OAB?o ，.................................................2分在OAM V 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-?，∴OM = ..................................................5分（Ⅱ）,060AOMq q ?<<o o ，在OAM V 中，由sin sin OM OAOAB OMA =行，得2sin(60)OM q =+o，在OAN V 中，由sin sin ON OA OAB ONA =行，得ON==，..................................................................8分∴11sin 22OMN S OM ON MON =仔=V 12＝2716sin(60)cos θθ+6060)4θ<<+．......................11分当26090θ+=，即15θ=60)4+理科数学试题 第 9 页（共6页）∴应设计15AOM?o ，可使OMN V 的面积最小．..................12分20．解：（I ） |1AF |、|21F F |、|2AF |构成等差数列，∴2a =|1AF |+|2AF |=2|21F F |=8，∴a =4．....2分又因为c =2，所以2b =12，.....................3分∴椭圆C 的方程为1121622=+yx ．...............4分 （II ）假设存在直线AB ，使得21S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．设AB 方程为)2(+=x k y ,..................................................5分将其代入1121622=+y x ，整理得 0481616342222=-+++k x k x k ）（,....6分 设A ),11y x （，B ),22y x （，∴22214316k k x x +-=+,∴点G 的横坐标为22214382k k x x +-=+，∴G )436438222kkk k ++-，（．....... 8分 DG ⊥AB ，∴1438436222-=⨯-+-+k x kk k kD，解得22D 432k k x +-=，即D （22432k k +-，0）,∵Rt △1GDF 和Rt △ODE 相似，∴若21S S =，则|GD |=|OD |,..........10分∴ 222222222432)436()432438kk k k k k k k +-=+++--+-（，整理得 8k 2+9=0． 方程8k 2+9=0无解，∴不存在直线AB ，使得 21S S =．..............12分21．解：（I ） a x x x f +-+=211)('，..................................1分理科数学试题 第 10 页（共6页）∴函数)(x f 在),2[+∞上为减函数，即0211)('≤+-+=a x x x f 在),2[+∞上恒成立，也即112+-≤x x a 在),2[+∞上恒成立，.................................3分 令112)(+-=x x x h ，则)(x h 在),2[+∞上为增函数，min )(x h =)2(h =113，∴113a ≤；........................................................5分（II ）设211x x ≤<-，令)()()()221221x f m x f m x m x m f x F --+=（，],12x x -∈（，则0)2=x F （，)(')(')'12211x f m x m x m f m x F -+=（）（)(')('2211x f x m x m f m -+=， 0)()1(22222221221≥-=+-=+-=-+x x m x m x m x m m x x x m x m ， x x m x m ≥+∴221，..................................................7分又a x x x f +-+=211)(' ，02)1(1)(''2<-+-=x x f ， )('x f ∴在),1(+∞-上是减函数，)(')('221x f x m x m f ≤+∴，0)(')('2211≤-+∴）（x f x m x m f m ，即0)'≤x F （，......................9分 )x F （∴在],12x -（上是减函数，0)()2=≥∴x F x F （，0)≥∴x F （，0)()()(221221≥--+∴x f m x f m x m x m f ，...........................11分 ],12x x -∈∴（，有)()()(221221x f m x f m x m x m f +≥+，又211x x ≤<- ，)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≥+∴.................................12分22．解：（I ）由1(4x tt y at =+⎧⎨=+⎩为参数）得，直线l 的直角坐标方程为：4(1)y a x -=-,..2分由P 的极坐标为()1π，得：P 的直角坐标为()1-，0,............................3分理科数学试题 第 11 页（共6页）又点P 在直线上，代入得2a =，...............................................4分 ∴直线l 的直角坐标方程为：22y x =+ .......................................5分 （II ）由24sin 50ρρθ--=得曲线C 的直角坐标方程为：22450x y y +--=,即：22(2)9x y +-=...........................................................6分 ∴曲线C 的圆心为(0,2)M ，半径3r =..............................................7分 ∵直线l ：4(1)y a x -=-过定点N (1,4)，且该点在圆C 内,..........................8分 ∴直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB 最小时,有l MN ⊥,1l MN k k ∴⋅=-,...............9分 101422l k -∴=-=--,直线l 的直角坐标方程14(1)2y x -=--,化为极坐标方程为：cos 2sin 90ρθρθ+-=.....................................10分23. 解：（I ）原函数可化为：13(23()1(22)213(22)2)x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩<-⎪ ,..................................................3分函数()f x 的图象与x 轴所围成的三角形三顶点坐标分别为：2(6,0),(2,2),(,0)3----,∴此三角形面积1216(6)2233S =⨯-+⨯=...................................5分 （II ）由（I ）知函数()f x 的最小值M =(2)2f -=-,.................................6分⸫关于x 的不等式22x x m M +-≤有实数解即222x x m +-≤-有实数解，即222m x x ≥++有实数解, .................................................8分理科数学试题 第 12 页（共6页） 令2()2h x x x =++,当12x =-时，2min 117()()2224h x =--+=, 72,4m ∴≥ 即7.8m ≥........................................................10分。
2019年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的=2．（5分）不等式的解集为（）．B D．由不等式可得，解得﹣＜的解集为224．（5分）的展开式中常数项为（）．．的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=，=0=，2==6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）．．，以及|===）且⊥，∥，则有||=，7．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增8．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）9．（5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的））），AD=＜＜．10．（5分）设平面点集．．∵⇔或均关于故阴影部分面积为圆的面积的一半，即二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．12．（5分）=．把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法解：===，．本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为，是解题13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．，cosB=，sinA==sinB==，=sinAcosB+cosAsinB=×+×==得：=．故答案为：14．（5分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．，+x|BF|=+x，所以）x+，|AF|=+x故答案为：15．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．节艺术课，则排法种数为=216文化课中相邻排列，则排法种数为，而所有的排法共有节艺术课，则排法种数为若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，则排法种数为而所有的排法共有=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．（，确定函数的单调性，即可求得函求导函数可得，∴（（舍去）17．（13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．=，（（==（（（×+=（（=（=1 2×+2××=18．（13分）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．sin2）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的﹣）cos sincos x+sin2][所以，解不等式得≤[）在区间上为增函数⊆[，于是有，故．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．CD===2D=．所以，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h），=，=2 =，的法向量为=，则有⊥，⊥•=0且•，即，取，则=，的法向量为⊥，⊥，即=0，得＜，==余弦值。
