重庆市南开中学2020届高三数学一诊模拟考试试卷文(无答案)

重庆市南开中学2020 届高三数学一诊模拟考试试卷理（无答案）1．集合A 1,01，则满足B A的集合 B 的个数为 ( )A． 4 B． 6 C． 7 D． 8z2i1 i (其中i为虚数单位)，则 z 的共轭复数z的虚部为( )2．复数A． 1 B．1 C．iD．i3．设ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且A75， B 45 ，,b 6 ，则边 c = ( )A． 2 B． 3 C．6D．234．如题（ 4）图所示程序框图，若输入N 3，则输出的 S=( )5 4 3 4 A．4B．5C．4D．35．下列说法正确的是 ( )A．命题“若 x＞ y ，则x2＞y2 的否命题为“若x＞ y ，则x2 y2 ”；B．命题p：“x＞0，sin x＜x ”．则p：“x＜0 ， sin xx”；C．“ x＜0 ”是“ln x1 ＜0”的必要不充分条件；D．命题p：fxx sin x为奇函数，命题q ：f x cosx1为偶函数，则“pq”为假命题．x2 y 21 y2 12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到6．已知双曲线 4 b 2 的右焦点与抛物线其渐近线的距离等于( )A．5B．4 2C． 3 D． 57．如题 (7)图所示为某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )11 112 6A．B．253 1133 3C．2D．2x y 2 0x 2y 2 08．若实数x ， y满足约束条件2x y 2 0 ，则 z x2y2的取值范围为 ()A ． 2，4B ． 4，6C ． 2，6D ． 0，69．已知圆 C ：x 2 y 2 2 x 4 y 11，在区间 4，6上任取实数m，则直线l ：x y m与圆C相交所得ABC为钝角三角形 (其中A 、B 为交点，C为圆心 )的概率为 ()2489A ．5B ．5C ．11D ．1110．已知实数 a ，b ， c ， d 满足 ab c 2d 2 1，则ac 2b d 2 的最小值为 ()A ．21B ．3 22C ．23 3D ．222第Ⅱ卷 (非选择题，共 l00 分 )二．填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应位置上．x 111．不等式x1＞2 的解集为．12．已知幂函数f xm 2 m5 x m为定义域是 R 的偶函数，则实数 m ．a 1， 3 ，b 3，2a b37，．13．已知则向量 a与 b的夹角为14．已知正项等比数列an 满足：a2015a20142a2013 ，若存在两项am，an 使得1 4a m a n4a1 ，则mn的最小值为．15．若函数 fxx 22x2 a x 1恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围为．三．解答睡：本大题 6 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(13分)设 f x x2 a ln x ，其中 a R ．曲线y f x在点1，f 1处的切线 l 垂直于y轴．(Ⅰ )确定a的值并求切线l的方程；(Ⅱ )求函数f x的单调区间与极值．17． (13 分 )进入秋冬季节以来，热饮受到大众喜爱．某中学校门口一奶茶店为了了解某品牌热饮的日销售量y(杯 )与当日气温x(℃ )之间的关系，随机统计了某 5 天该品牌热饮的日销量和当日气温的数据如下表：利用最小二乘法估计出该组数据满足的回归直线方程为：(Ⅰ )试预测当气温为 4℃时，该品牌热饮的日销量?y 1.5x a a R ．(Ⅱ )在已有的五组数据中任取两组，求至少有一组数据其日销量y的预测值和实际值之差的绝对值不超过 2 的概率．18． (13 分)公差不为 0 的等差数列an满足：a16，a2， a6，a14 分别为等比数列b n的第三、四、五项．(Ⅰ )求数列an、bn 的通项公式；(Ⅱ )记数列an的前 n 项和为Sn，bnT K＞SK的前n项和为Tn，求使得2的最小k值．a sin x ，cosx ，b cos x4，cosx·19． (12 分)已知4，函数 f x a ba ，3 2f a10 ，求cos2a的值；(Ⅰ )若8 8 且(Ⅱ )将函数y f x的图像向左平移4个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为x0，原来的一半 (纵坐标不变 )，得到函数yg x的图像，求函数g x在4上的值域．20． (12 分 )如题 (20)图，在四棱锥PABCD 中，PA底面 ABCD ，AB AD ,ACCD, ABC 60 ，PA AB BC4 ,E 、A分别是PC 、PD的中点．(Ⅰ )证明：PD 平面 ABE ；(Ⅱ )求三棱锥PBEF 的体积．C x 2 y 2 1 a ＞ ：21． (12 分)已知A 、B分别为曲线a2与 x轴的左、右两个交点，直线 l 过点 B 且与 x 轴垂直， P 为 l 上异于点 B 的点，连结 AP 与曲线 C 交于点 M ．2 3BP(Ⅰ )若曲线C为圆，且3 ，求弦 AM 的长；(Ⅱ )设 N是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点，若 O 、 N 、 P 三点共线，求曲线C的方程．。

2020届重庆市南开中学高三上学期第一次教学质量检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =（）A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3AB =，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足()()12z i i i -+=，则z =（） A ．12i + B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得. 【详解】 由已知得21i z i i-=+， 所以()()()211211i i z i i i i -=+=++-， 所以12.z i =- 故选B. 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念，属于基础题. 3．命题“若220x y +=，则0x =，0y =”的否命题为（） A ．若220x y +=，则0x ≠，0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若x y +≠220，则0x =，0y = D ．若x y +≠220，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得. 【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D. 【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4．关于函数()y f x =与()ln y f x =，下列说法一定正确的是（） A ．定义域相同 B ．值域相同C ．单调区间相同D ．奇偶性相同【答案】B【解析】根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得. 【详解】对于A 答案：()y f x =的定义域是R ，而()ln y f x =的定义域是()0,∞+，故A 错误；对于C 答案：()ln y f x =是复合函数，其单调需遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C 错误；对于D 答案：()ln y f x =的定义域是()0,∞+的子集，故()ln y f x =不具有奇偶性,故D 错误；因为ln y x =的值域是R ，故B 正确. 【点睛】本题考查函数的的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题. 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由函数的奇偶性的判定方法，知C 选项是奇函数，所以排除C 选项， 又因为在(),0-∞上单调递减，在,,A C D 选项中，只有D 选项符合， 故选D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.6．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．516B ．54C ．52D ．5【答案】A【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数()R x 定义在[]0,1上，且()()1,,,0,010,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当为正整数为既约真分数当或或内的无理数，则以下说法：①()R x 的值域为[]0,1；②方程()R x x =有无穷多个解；③()R x 的图像关于直线12x =对称；其中正确的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由函数的定义判断选项，可以选取特殊的值验证求解. 【详解】由黎曼函数的定义可知()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中p 是大于或等于2的自然数），故①错误；方程()R x x =的解有：11111,,,,,,234p，（其中p 是大于或等于2的自然数），故②正确；对于任何的自然数2p ≥，根据()()f f 1x x =-，所以()R x 的图像关于直线12x =对称，故③正确； 故选C. 【点睛】本题考查新定义函数，思考时牢牢抓住函数的定义，属于中档题. 8．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】运用中介值“1 ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=,0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>故选B. 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.9．若函数()()213log 28f x ax x =++的值域为[)2,-+∞，则()f x 的单调递增区间为（） A ．(),2-∞- B ．(]2,1- C ．[)1,4D ．()4,+∞【答案】C【解析】根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解. 【详解】由已知得令228t ax x =++的最大值是9，所以解得1a =-， 所以 ()()213log 28f x x x =-++，又因为228t ax x =++在()2,4-上0,t >且在(],1-∞上单调递增，在[)1,∞上单调递减，根据复合函数的单调性得C 选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题. 10．下图可能是下列哪个函数的图像（）A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=-C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C【解析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手. 【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C. 【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.11．已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f =，当0x ≠时，()()2'f x f x x>，则不等式()()10x f x -<的解集为（） A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞C ．()(),21,2-∞-D ．()()2,01,2-U【答案】D【解析】将已知的含导函数的不等式构造成某个函数的导函数，得这个函数的单调性，再根据奇偶性得这个函数的大致图像趋势，并且得出其函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负求解. 【详解】当0x >时，由()()2'f x f x x >得()()2'0f x f x x ->，即()()'20xf x f x x->，所以()()24'20x f x xf x x ->，即()'20f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以令()()2f x g x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递增，且()20g =， 又因为()f x 上奇函数，所以()g x 也是奇函数， 且在()()2,02,-+∞时()0g x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0g x <，又因为20x >， 所以在()()2,02,-+∞时()0f x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0f x <解不等式()()10x f x -<中，当1x >时，()0f x <，所以其解集为()1,2； 当1x <时，()0f x >，所以其解集为()2,0-. 故得解. 【点睛】本题的关键在于构造函数分析其单调性、奇偶性和函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负的取值范围，属于难度题.12．已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）A ．34B ．2C ．52D ．4【答案】A【解析】由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解. 【详解】因为()()()12f x f x f x +=⋅+，∴()()()213f x f x f x +=+⋅+，又()0f x > 故()()13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6， 由已知可得当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =⋅，又()0f x >，所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242f f f f ====， 所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=，故选A. 【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.二、填空题13．曲线()()2ln 1f x x x =-+在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】0x y +=【解析】先根据导函数求值得切线的斜率，再用点斜式方程得切线方程. 【详解】 由已知得()'121fx x x =-+，所以()'01f =-， 又因为()00f =，所以在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=-⨯-， 即0x y +=，故得解. 【点睛】本题考查根据导函数求切线方程，属于基础题.14．已知函数()y f x =与函数()lg 1y x =-的图像关于点()1,0对称，则()f x =______.【答案】()lg 1x --【解析】根据图像上的点关于点对称其坐标的关系得解. 【详解】设()y f x =上任意一点(),P x y ，点P 关于点()1,0对称的点(),Q m n 则2m xn y=-⎧⎨=-⎩ 且在函数()lg 1y x =-的图像上， 所以()lg 12y x -=--⎡⎤⎣⎦，即()lg 1y x =--， 故得解. 【点睛】本题考查根据图像的对称性求解析式的问题，属于中档题.15．若关于x 的方程14220x x a +-⋅+=有两个不等正实根，则实数a 的取值范围是______.32a <<【解析】令21x t =＞，即方程2t 2t 20a -+=有两个大于1的不等正实根. 【详解】令21x t =＞，即方程2t 2t 20a -+=有两个大于1的不等正实根，∴24a 80x=a 11-2a+20⎧-⎪⎨⎪⎩＞＞＞,3.2a <<【点睛】本题利用换元法转化为二次方程根的分布问题，属于中档题.16．若函数()2f x x ax =-，[]1,3x ∈的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是______.【答案】16a ≤≤【解析】分别讨论对称轴与给定的区间的关系，得出函数在给定的区间上的单调性，从而得出最值求解不等式组. 【详解】(1)当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞单调递增，当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()()1,3f f ⎡⎤⎣⎦，不满足题意； (2) 当01a <<时，()f x 在[),a +∞单调递增，当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()()1,3f f ⎡⎤⎣⎦，不满足题意； (3) 当12,a ≤≤时，()f x 在[]1,a 单调递减，在[),a +∞单调递增， 要使当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则需()()13f f ≤； 即193a a -≤-，解得12a ≤≤；(4) 当2a >时，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[),a +∞单调递增，要使当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则需()32a f f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；即229322a a a ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，解得26a ≤≤-+综上得知实数a 的取值范围是16a ≤≤. 故得解. 【点睛】本题关键在于讨论出函数在给定的区间的图像趋势得到最值，属于中档题.三、解答题17．已知函数()231x af x =+-为奇函数. （1）求实数a 的值；（2）求不等式()3log 1f x x <+的解集. 【答案】（1）4a =（2）()3log 2,+∞ 【解析】(1)根据奇函数的定义可求得；(2)化简不等式转化为指数不等式求解. 【详解】（1）()23231x x a f x ⋅+-=-，()()2322323113xx x xa a f x ---⋅+⋅+--==--， 由题知()()f x f x -=-， 故22a -=即4a =；（2）3232232log 103131x x xx x ⋅+⋅+<+⇔>--①， 且1232331x x x +⋅+<-②，又30x>，故由①得31x>，此时12232333532031x x x x x +⋅+<⇔⋅-⋅->-()()323310x x ⇔-⋅+>，故32x >，∴3log 2x >，即不等式的解集为()3log 2,+∞. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和指数不等式，属于中档题. 18．已知命题p ：函数()3213f x x x ax =--不单调，命题q ：[]01,2x ∃∈，2210x ax --<.（1）若q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q ∧⌝为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≤（2）1a ≤-或1a >. 【解析】(1)由非命题的真假判断得不等式求解；(2)根据复合命题的真假判断条件，建立不等式组求解. 【详解】（1）[]01,2x ∃∈，[]202101,2x ax x --<⇔∃∈，12a x x>-，故min 12a x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，又12y x x=-在[]1,2上单增，∴min 12211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴1a >，由题知q 为假命题，故1a ≤；（2）()2'2f x x x a =--，故()f x 不单调440a ⇔+>即1a >-，即p 为真命题1a ⇔>-，由（1）知q ⌝为真命题1a ⇔≤，故()p q ∧⌝为真命题11a ⇔-<≤， 所以()p q ∧⌝为假命题1a ⇔≤-或1a >. 【点睛】本题考查复合命题的真假判断以及利用导函数研究函数的单调性，属于难度题. 19．某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取100人的成绩进行统计，发现这100名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为4:1，成绩一般的男、女生人数之比为8:7.已知从这100名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是0.6.（1）请将下表补充完整，并判断是否有95%的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取3人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++；临界值表供参考：【答案】（1）填表见解析,有95%的把握认为二者有关；（2）详见解析【解析】(1)由已知概率和比例完善列联表，进行独立性检验得解；(2)随机变量服从二项分布，根据二项分布的数据特征值求解.【详解】解析：（1）根据表中所给数据计算可得：()22100203540550 3.841604025759K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为二者有关；（2）由题知13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，故X 的分布列为：()13355E X =⨯=.【点睛】本题考查独立性检验和二项分布，属于中档题.20．已知点P 到直线3y =-的距离比点P 到点()0,1A 的距离多2. （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点()0,2Q 的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得MRQ NRQ ∠=∠？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x y =（2）存在满足条件的定点()0,2R -,详见解析【解析】(1)根据抛物线的定义可得解；(2)将角的相等关系转化到直线的斜率的关系，进而转化到交点的坐标的关系求解. 【详解】（1）由题知，PA =点P 到直线1y =-的距离， 故P 点的轨迹是以A 为焦点、1y =-为准线的抛物线， 所以其方程为24x y =；（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为()0,r .此时0MR NR MRQ NRQ k k ∠=∠⇔+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12120y r y rx x --+=， 由题知直线l 的斜率存在，设其方程为2y kx =+，与24x y =联立得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，1212121222y r y r kx r kx rx x x x --+-+-+=+()()()1212222202r x x k r k k x x -+-=+=-=，故2r =-，即存在满足条件的定点()0,2R -. 【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的关系，对于第二小问是常规题，转化成坐标的关系是关键，并且能最终转化成与韦达定理的关系，属于中档题. 21．已知a R ∈，函数()()2222ln 5f x x a x a x =-+++.（1）讨论()f x 的单调性； （2）设函数()212ln 2g x x x x m =-++，若()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，且当12x x x <<时，()()0f x g x <<，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）12m ≥-【解析】(1)对函数求导函数后，讨论参数的范围使之能判断导函数的符号，从而得原函数的单调性；(2)由(1)得两个零点的范围，从而得参数的范围，建立不等式求解. 【详解】解析：（1）()()()()212'222x x a a f x x a x x--=-++=，∵0x >，故 当0a ≤时，()f x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增；当01a <<时，()f x 在()0,a 和()1,+∞上单增，在(),1a 上单减； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上单增；当1a >时，()f x 在()0,1和(),a +∞上单增，在()1,a 上单减； （2）结合（1）知1a ≠；当0a ≤时，()1420f a =->，故()0f x >，不存在零点；又当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，当01a <<时，()1420f a =->，∴()f x 只有一个零点；故1a >，此时()f x 存在两个零点且当12x x x <<时()()010f x f <⇔=即2a =， 此时11x =，22x >，()()()212'1x x g x x x x-+=-+=，()g x 在[)1,2上单增，(]22,x 上单减，而()()222221112ln 22g x g x x x -=-+-①，又222264ln 50x x x -++=，代入①式得 ()()()()22222214313g x g x x x x -=-+-=--，又()34ln340f =->，故()22,3x ∈， ∴()()210g x g ->即()()21g x g >， ∴()10g ≥即可，∴12m ≥-. 【点睛】本题考查根据导函数的正负研究原函数的图像趋势，进而解决相关的零点、不等式恒成立或满足不等式求解参数的范围等问题，属于难度题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，点0,4A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，直线l 经过点02,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与直线OA 垂直.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）已知点P 在曲线C 上运动（异于O 点），射线OP 交直线l 于点Q ，求线段PQ 的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2）3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ 【解析】(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；(2)直接用极坐标表示P 、Q 两点，运用中点坐标公式求解. 【详解】解析：（1）由题知4A π⎫⎪⎭，4B π⎛⎫⎪⎝⎭， 故点B 的直角坐标为()2,2，由l OA ⊥知直线l 的倾斜角为34π，故直线l 的直角坐标方程为4x y +=，所以其极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）由题知可设()1,P ρθ，()2,Q ρθ，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则PQ 中点的极坐标为12,2ρρθ+⎛⎫⎪⎝⎭，由P 在曲线C 上得12sin ρθ=，由Q 在直线l 上得2sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故PQ中点的极坐标为sin ,sin 4θθπθ⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以PQ中点轨迹的极坐标方程为3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化，属于中档题. 23．已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x <+的解集；（2）设,,a b c ∈R ，若()()()22212a b c f x ++-+≤对任意x ∈R 成立，求a b c -+的最大值.【答案】（1）()0,1x ∈（2）32- 【解析】(1)根据对含两个绝对值符号的三段式讨论化简函数表达式求解不等式；(2)构造柯西不等式求最值. 【详解】解析：（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩，当12x ≥时，32x x <+即1x <，∴112x ≤<；当112x -<<时，22x x -<+即0x >，∴102x <<；当1x ≤-时，32x x -<+即12x >-，无解；综上，()0,1x ∈； （2）由（1）知，当12x =时，()f x 取到最小值32，故()()()22212a b c f x ++-+≤对任意x ∈R 成立， 即()()2223122a b c ++-+≤， 由柯西不等式知()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤++-+++≥++-+⎣⎦， 当且仅当12a b c +=-=时等号成立， ∴()2932a b c -++≤，即3322a b c --≤-+≤-，当12a =-，22b =-，2c =时，右边等号成立，∴a b c -+的最大值为32-. 【点睛】本题考查含两个绝对值符号的讨论方法和构造柯西不等式，属于中档题.。

党卫军是什么意思？最早的党卫队隶属于冲锋队，是冲锋队下属的一个小小的分支机构。

由于纳粹党的党首也日渐失去了对冲锋队的绝对掌控，1934年6月30日的长刀之夜行动，纳粹党对冲锋队来了一次大清洗，自此，冲锋队日渐衰微，党卫队日渐成为了一个分工明确，组织严密的庞大的恐怖团体。

党卫军队徽以两道闪电作为SS象征，在北欧神话中一道闪电（其意义代表太阳）象征胜利。

其闪电标志由瓦尔特·赫克（Walter Heck）在1932年设计。

党卫队在经由德国国防军认可下筹组训练的准军事部门称为党卫队特别机动部队（SS-Verfügungstrupp e，缩写：SSVT）后改编为武装党卫队（Die Waffen Schutzstaffel，缩写：Waffen-SS）。

党卫军（Schutzstaffel），为德文Schutz（护卫、防护、亲卫）与德文Staffel（团队、编群、队伍）的组合词。

党卫队源自纳粹党的民兵武装冲锋队，最早是为保护希特勒的安全而设立的保镖卫队，所以第一支党卫军被命名为元首警卫旗队。

＂警卫旗队＂师几乎参加了东西两线所有的重要战役，是纳粹发动侵略战争的中坚力量。

党卫队第二＂帝国＂装甲师这只被灌输了纳粹种族意识与高强度军事训练的部队，成为纳粹德军的顶尖王牌，最终，他在战火中成为了纳粹可悲的殉葬品。

战争暴行：1941年，在明斯克屠杀了820明波兰犹太人。

1944年，在法国蒂勒吊死100名法国平民。

1944年，在法国奥尔杜尔村屠杀641名村民。

党卫队第三＂骷髅＂装甲师的名声是靠无情和残忍杀戮战俘或平民建立起来的。

战争罪行：1939年9月，在波兰屠杀1万余名平民。

1940年5月，法国拉帕拉迪斯村屠杀100名英国战俘。

在德米扬斯克战役中，包围圈内的骷髅师被划分为两个团级作战单位，在东西两处战略要地死死扼住苏军的进攻。

在不到40天的战斗中。

西部战斗群从4500名士兵减员到1200人，其中军官只剩下40 人左右。

2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 是虚数单位，则复数i 3+1i =( )A. −iB. iC. −2iD. 2i2. “函数f(x)=log a x 在(0,+∞)上是增函数”是“函数g(x)=x 2+2ax +1在(1,+∞)上是增函数”的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，且PA =12，则点P 到BD 的距离为( )A. 6√6B. 6√3C. √2D. 6√54. 已知α∈(0,π4)，cos2α=45，则sin 2(α+π4)=( )A. 15B. 25C. 35D. 455. 已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则边b =( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 36. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3，则z =yx 的最大值为( )A. 12B. 54C. 2D. 47. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 12B. 15C. 18D. 218. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 9. 某一算法框图如图，输出的S 值为( )A. √32B. −√32C. √3D. 010. 设偶函数f(x)在R 上存在导数f′(x)，且在(−∞,0)上f′(x)<x ，若f(1−2m)−f(m)≥12[(1−2m)2−m 2]，则实数m 的取值范围为( )A. [1,+∞)∪(−∞,13] B. [13,1]C. [13,+∞)D. (−∞,−12]∪[12,+∞)11. 在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AB =AD =√22AC ，cos∠BAD =13，则sinC =( )A. √23B. √33C. √63D. √3212. 正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合A ={x |0<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =______．14. 若数列{a n }中a n =−n 2+6n +7，则其前n 项和S n 取最大值时，n = ______ ． 15. 已知椭圆x 216+y 29=1，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|F 1F 2|= ______ ．16. 先将函数f(x)=sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[20,25)之间的工人有6位．(Ⅰ)求m；(Ⅱ)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？18.如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB=π，3点D是线段BC的中点．(Ⅰ)求证：A1C//平面AB1D；(Ⅱ)当三棱柱ABC−A1B1C1的体积最大时，求三棱锥A1−AB1D的体积．19.已知数列{a n}满足a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，设b n=a n，n∈N∗．n(Ⅰ)证明：{b n}是等差数列；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{b n2n20.如图，已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|=16．(1)求抛物线C的方程．(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax −lnx −1(a ∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a =0，令g(x)=f(tx +1)+3x+2x+2，若x 1，x 2是g(x)的两个极值点，且g (x 1)+g (x 2)>0，求正实数t 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+cosαy =3+sinα，(α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(3,π2)． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线C 的切线，切点为N ，求|ON||AM|．23.已知函数f(x)=|ax−2|．(1)当a=4时，求不等式f(x)+|4x+2|≥8的解集；(2)若x∈[2,4]时，不等式f(x)+|x−3|≤x+3成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．用复数的运算即可求解．=−i−i=−2i，解：由i 3+1i故选C．2.答案：A解析：根据函数单调性的性质求出对应的a的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质求出a的取值范围是解决本题的关键．解：若函数f(x)=log a x在(0,+∞)上是增函数，则a>1．若函数g(x)=x2+2ax+1在(1,+∞)上是增函数，则对称轴x=−a≤1，即a≥−1，∴“函数f(x)=log a x在(0,+∞)上是增函数”是“函数g(x)=x2+2ax+1在(1,+∞)上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．3.答案：A解析：本题经过正方形ABCD的顶点A作正方形所在平面的垂线，求垂线上一点P到正方形对角线BD的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和空间距离的求法等知识，属于中档题．连结AC交BD于O，由线面垂直的判定与性质证出BD⊥平面PAC，从而得到PO⊥BD，可得PO长就是点P到BD的距离．在Rt△PAO中，利用勾股定理算出PO，即可得到点P到BD的距离．解：如图，连结AC交BD于O，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴结合AC 、PA 是平面PAC 内的相交直线，得BD ⊥平面PAC ， ∵PO ⊂平面PAC ，∴PO ⊥BD ，可得PO 长就是点P 到BD 的距离， ∵Rt △PAO 中，PA =12，AO =√22AB =6√2，∴PO =√PA 2+AO 2=√122+(6√2)2=6√6． 故选：A ．4.答案：D解析：解：∵α∈(0,π4)， ∴2α∈(0,π2)，又∵cos2α=45，∴sin2α=√1−cos 22α=√1−(45)2=35． ∴sin 2(α+π4)=1−cos(2α+π2)2=1+sin2α2=1+352=45． 故选：D ．由已知条件可求出sin2α，再由三角函数的诱导公式化简计算即可得答案． 本题考查了三角函数的诱导公式，考查了三角函数基本关系式的应用，是基础题．5.答案：B解析：解：已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则a ：b =√33，∴b =2√3，故选B ．△ABC 中，根据a =2，sinA ：sinB =√3：3，利用正弦定理可得a ：b =√33，从而求得b 的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6.答案：C解析：解：作出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3对应的平面区域如图：则z =yx 的几何意义为动点P 到原点的斜率， 由图象可知当P 位于A 时，直线AO 的斜率最大，由{x +y =3x −y =−1解得A(1,2) 此时z =21=2， 故选：C ．作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．7.答案：C解析：本题主要考查由三视图还原几何体，求几何体的体积． 解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的， 如图所示：其体积为：12×4×3×3=18， 故选C ．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的线性运算，属基础题．由平面向量的加减法得：：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解．解：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选A ．9.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =sin π3+sin 2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y =sinnπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336， 故S =sin π3+sin 2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．10.答案：A解析：解：令g(x)=f(x)−12x 2， 则g′(x)=f′(x)−x ，由在(−∞,0)上，f′(x)<x ，f(x)是偶函数， 则g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增， 若f(1−2m)−f(m)≥12[(1−2m)2−m 2]， 则g(1−2m)≥g(m)， 则|1−2m|≥|m|， 解得：x ≥1或x ≤13， 故选：A ．令g(x)=f(x)−12x 2，根据函数的单调性问题转化为|1−2m|≥|m|，解出即可．本题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．11.答案：B解析：【试题解析】解：如图所示，不妨设AC=2，∵AB=AD=√22AC，∴AB=AD=√2．∵cos∠BAD=13，∴13=cos(π−2B)=−cos2B，∴13=2sin2B−1，解得sinB=√63．∵bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =√2×√632=√33．故选：B．如图所示，不妨设AC=2，由AB=AD=√22AC，可得AB=AD=√2.由cos∠BAD=13，可得13=cos(π−2B)=−cos2B，解得sinB.再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用、三角形内角和定理、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．连接AC、BD，交于点O，连接PO，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与PC所成的角．解：连接AC、BD，交于点O，连接PO，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点， ∴OA =OB =√3+32=√62， OP =√2−64=√22， ∴A(√62,0，0)，P(0,0，√22)，E(√64,0，√24)，B(0,√62,0)，C(−√62,0，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√64,−√62,√24)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,0，−√22)， 设异面直线BE 与PC 所成的角为θ， 则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=12，∴θ=π3，∴异面直线BE 与PC 所成的角为π3． 故选：C ．13.答案：(0,+∞)解析：本题考查并集的运算，属基础题． 根据并集定义求解即可．解：集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x >1}， 根据并集定义得A ∪B =(0,+∞)， 故答案为(0,+∞)．14.答案：6或7解析：解：数列{a n}中，∵a n=−n2+6n+7=−(n−3)2+16，∴由a n≥0，得n−3≤4．∴a6=7，a7=0，a8=−9，∴前n项和S n取最大值时，n=6，或n=7．故答案为：6或7．数列{a n}中，由a n=−n2+6n+7=−(n−3)2+16，知a6=7，a7=0，a8=−9，由此能求出前n项和S n取最大值时，n的值．本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．15.答案：2√7解析：解：椭圆x216+y29=1的a=4，b=3，c=√a2−b2=√7，即有|F1F2|=2√7．故答案为：2√7．求出椭圆的a，b，再由c=√a2−b2，即可得到所求焦距2c．本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：g(x)=sin (x−π6)解析：本题考查三角函数的变换，属于基础题．由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得答案．解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，故答案为．17.答案：解：(Ⅰ)根据直方图可知产品件数在[20,25)内的人数为m×5×0.06=6，则m=20(位).(6分)(Ⅱ)根据直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)，[20,25)组内的人数分别为2，4．设这2位工人不在同一组为A事件，低于20件产品的工人选取2位有C62=15种，这2位工人不在同一组的有2×4=8，．则P(A)=815.(12分)答：选取这2人不在同组的概率为815，由此计算产品件数在[20,25)内的人数；解析：(1)由频率的意义可知，每小组的频率=频数总人数(2)根据概率公式计算，事件“低于20件产品的工人选取2位”有15种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“这2位工人不在同一组”可能种数是8，那么即可求得事件A的概率．此题考查了对频数分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且．这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn18.答案：(Ⅰ)证明：设A1B∩AB1=O，连接OD，则OD为三角形A1BC的中位线，∴A1C//OD，OD在平面AB1D内，A1C不在平面AB1D内，∴A1C//平面AB1D.(Ⅱ)解：当三棱柱ABC−A1B1C1的底面积最大时，体积最大，≥2AC⋅BC−AC⋅BC=AC⋅BC，4=AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosπ3当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值，∵A1C//平面AB1D，∴点A1和C到平面AB1D的距离相等，∴V A1−AB1D =V C−AB1D=V B1−ACD=13S△ACD⋅BB1=√33．解析：(Ⅰ)设A1B∩AB1=O，连接OD，利用三角形的中位线定理可得：A1C//OD，利用线面平行的判定定理即可证明；(Ⅱ)当三棱柱ABC−A1B1C1的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值．由于A1C//平面AB1D，可得点A1和C到平面AB1D 的距离相等，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．19.答案：解：(I)∵a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，∴a n+1n+1−a nn=2，∴b n+1−b n=2，又b1=a11=1．∴{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(Ⅱ)由(I)可得：b n=1+2(n−1)=2n−1．∴b n2n =2n−12n．∴数列{b n2n }的前n项和T n=12+322+523+⋯…+2n−12n．1 2T n=122+323+⋯…+2n−32n+2n−12n+1，∴12T n=12+2(122+123+⋯…+12n)−2n−12n+1=12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1，∴T n=3−2n+32n．解析：(I)由a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，化为a n+1n+1−a nn=2，即b n+1−b n=2，又b1=a11=1.即可证明．(Ⅱ)由(I)可得：b n=2n−1.可得b n2n =2n−12n.利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)当l的斜率为1时，∵F(p2,0)，∴l的方程为y=x−p2．由{y =x −p2,y 2=2px,得x 2−3px +p 24=0． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p ， ∴|MN|=x 1+x 2+p =4p =16，p =4， ∴抛物线C 的方程为y 2=8x ．(2)假设满足条件的点P 存在，设P(a,0)，由(1)知F(2,0)， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)， 由{y =k(x −2),y 2=8x,得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0， △=(4k 2+8)2−4⋅k 2⋅4k 2=64k 2+64>0，x 1+x 2=4k 2+8k 2，x 1x 2=4．∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴k PM +k PN =0，k PM =k(x 1−2)x 1−a，k PN =k(x 2−2)x 2−a．∴k(x 1−2)(x 2−a)+k(x 2−2)(x 1−a)=k[2x 1x 2−(a +2)(x 1+x 2)+4a]=−8(a+2)k=0，∴a =−2时，此时P(−2,0)．②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可． 综上，存在唯一的点P(−2,0)，使直线PM ，PN 关于x 轴对称．解析：考查抛物线的性质及直线与抛物线综合应用，属于中档题．(1)由直线l 的斜率及过的点写出直线方程与抛物线联立求出两根之和，根据抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，再由相交弦长的值求出p 值，进而求出抛物线的方程；(2)分直线MN 的斜率存在和不存在两种情况，假设存在这样的P 点，设P 的坐标，设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出PM ，PN 的斜率，由直线PM ，PN 关于x 轴对称，可得斜率之和为0，求出P 的坐标．21.答案：解：(1)x∈(0,+∞)，f′(x)=a−1x =ax−1x，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上为减函数，当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，综上所述，当a≤0时，f(x)减区间为(0,+∞)，当a>0时，f(x)减区间为(0,1a )，f(x)增区间为(1a,+∞)．(2)g(x)=f(tx+1)+3x+2x+2=2xx+2−ln(tx+1)，g′(x)=4(x+2)2−ttx+1=−tx2+4(t−1)(tx+1)(x+2)2，当t≥1时，g′(x)<0恒成立，故g(x)在x∈(0,+∞)上为减函数，不成立．∴0<t<1，令g′(x)=0，得x1=−2√1−tt ，x2=2√1−tt，∵g(x)有两个极值点，∴g′(x)=0有2个根，故必有−2√1−tt >−1t且−2√1−tt≠−2，得0<t<12或12<t<1，且x1为极小值点，x2为极大值点，g(x1)+g(x2)=2x1x1+2−ln(tx1+1)+2x2x2+2−ln(tx2+1)=4x1x2+4(x1+x2)x1x2+2(x1+x2)+4−ln[t2x1x2+t(x1+x2)+1]=4(t−1)2t−1−ln(2t−1)2=2−22t−1−ln(2t−1)2，令u=2t−1，0<t<1且t≠12，当0<t<12时，−1<u<0，12<t<1时，0<u<1，令ℎ(u)=2−2u −lnu2(0<t<1且t≠12)，当−1<u<0时，ℎ(u)=2−2u −2ln(−u)，ℎ′(u)=2−2uu2>0，∴ℎ(u)在u∈(−1,0)上为增函数，∴ℎ(u)>ℎ(−1)=4>0，故当0<t<12时，g(x1)+g(x2)>0成立，当0<u <1时，ℎ(u)=2−2u −2lnu ，ℎ′(u)=2−2u u 2>0，ℎ(u)在u ∈(0,1)上单调递增，∴ℎ(u)<ℎ(1)=0， 故当12<t <1时，g(x 1)+g(x 2)<0， 综上所述，t ∈(0,12)．解析：本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出0<t <12或12<t <1，得到x 1为极小值点，x 2为极大值点，求出g(x 1)+g(x 2)=2−22t−1−ln(2t −1)2，令u =2t −1，0<t <1且t ≠12，根据函数的单调性求出t 的具体范围即可．22.答案：解：(1)由{x =2+cosαy =3+sinα消去α得曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=1，即x 2+y 2−4x −6y +12=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+12=0 (2)点A 的极坐标为(3,π2).所以点A 的极坐标为A(0,3)， |AC|=2，|OC|=√22+32=√13，∴|AM =√|AC|2−1=√4−1√3，|ON|=√|OC|2−1=√13−1=2√3， ∴|ON||AM|=√3√3=2．解析：(1)由{x =2+cosαy =3+sinα消去α得曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=1，即x 2+y 2−4x −6y +12=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+12=0(2)利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(1)当a =4时，原不等式即|4x −2|+|4x +2|≥8，即|2x −1|+|2x +1|≥4，当x ≥12时，原不等式等价于(2x −1)+(2x +1)≥4，解得x ≥1， 当−12<x <12时，原不等式等价于(1−2x)+(2x +1)≥4，不等式无解；当x≤−12时，原不等式等价于(1−2x)−(2x+1)≥4，解得x≤−1．综上，原不等式的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞)(2)由f(x)+|x−3|≤x+3得|ax−2|+|x−3|≤x+3(∗)，当x∈[2,3]时，(∗)等价于|ax−2|+3−x≤x+3，即|ax−2|≤2x，即|a−2x |≤2，所以−2+2x≤a≤2+2x，因为13≤1x≤12，所以2+2x的最小值为83，−2+2x最大值为−1．所以−1≤a≤83，当x∈(3,4]时，原不等式等价于|ax−2|+(x−3)≤x+3，所以|ax−2|≤6，所以−6≤ax−2≤6，即−4≤ax≤8．所以−4x ≤a≤8x，因为14≤1x≤13，所以8x的最小值为2，−4x的最大值为−1，所以−1≤a≤2，综上，a的取值范围是[−1,2]．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，考查推理论证能力，运算求解能力，化归与转化能力，分类与整合思想，属中档题．(1)分3段去绝对值解不等式，再相并；(2)按照2种情况分类讨论去绝对值可得．。

重庆市高2023届高三第一次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知数列a n 为等差数列，a 2+a 8=6，则a 3+a 5+a 7=()A.9B.12C.15D.162.设集合A ={x |x +2 ≤2|，B ={x x 2+2x ≤3 }，C ={x x ∈A 且x ∈B }，则集合C =()A.∅B.[-4,-3)C.(-4,-3]D.(0,1]3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是()A.y =x12B.y =e x +e -xC.y =x 2D.y =-xln 4.已知a =(57)-57，b =(75)25，c =275log ，则()A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.c <a <b5.用1，2，3，⋯，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有()A.600个B.540个C.480个D.420个6.使得“函数f (x )=7+2ax -x 2在区间[-1，1]上单调递减”成立的一个充分不必要条件是()A.a ≤-1B.0<a ≤3C.-3<a <-1D.-3≤a <07.已知a >1，b >1，且a lg =1-2b lg ，则a 2log +b 4log 的最小值为()A.10B.9C.92lg D.82lg 8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=2f (x )+x 2-x ，则函数g (x )=xf 2(x )-1x的零点个数为()A.3B.4C.5D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9.已知实数m ，n 满足m >n >0，则下列结论正确的是()A.m >nB.m +1m >n +1n C.m +1n log <n +1mlog D.n m 2<m n22022.9公众号：一枚试卷君10.设函数f 1(x )=f (x )，f n +1(x )=f [f n (x )]，n ∈N *，则下列函数中满足f 3(x )与f (x )值城相同的是A.f (x )=e xB.f (x )=xln C.f (x )=x 2-1D.f (x )=x +1x11.已知函数f (x )=a x +b ⋅a -xx 2+c，a >0且a ≠1，则f (x )的大致图象可以是()12.设定义在R 上的函数f (x )与g (x )的导函数分别为f '(x )和g '(x )，若f (x +2)-g (1-x )=2，f '(x )=g '(x +1)，且g (x +1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()A.g (1)=0B.函数g '(x )的图像关于x =2对称C.2022k =1g (k ) =0D.2021k =1f (k )g (k ) =0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.设函数f (x )的导函数为f '(x )，且f (x )=x ln +f '(1)x 2+3，则f '(1)=．14.已知函数f (x )=1-3x ,x ≤09x log ,x >0 ，则f (f (14))=．15.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若F 1F 3 =2OP ，PF 2 =2PF 1 ，则此双曲线的渐近线方程为．16.已知l 1，l 2是曲线f (x )=x x ln -ax 的两条倾斜角互补的切线，且l 1，l 2分别交y 轴于点A 和点B ，O 为坐标原点，若OA +OB >4，则实数a 的最小值是．四、解答题：本题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=3a n -2，n ∈N *．(1)设b n =a n -1，求数列a n 的通项公式；(2)设T n =3a 1log +3a 2log +⋯+3a n log ，(n ∈N *)，求证：T n >n (n -1)2．某大型企业组织全体员工参加体检，为了解员工的健康状况，企业相关工作人员从中随机抽取了40人的体检报告进行相关指标的分析，按体重"超标"和"不超标"制2×218.(本小题满分12分)列联表如下：附：Κ2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，n =a +b +c +d ．(1)完成题中的2×2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为该企业员工“体重是否超标与性别有关”？(2)若以样本估计总体，用频率作为相应事件的概率，现从该大型企业的男、女员工中各随机抽取一名员工的体检报告，求抽到的两人中恰有一人体重超标的概率.19.(本小题满分12分)如图，EA ⊥平面ABCD ，EA //FC ，AC =EA =2FC =2，四边形ABCD 为菱形．(1)证明：FA ⊥平面EBD ；(2)若直线AB 与平面EBD 所成角的正弦值为25，求三棱锥E -BDF 的体积．ABCDEF超标不超标合计男1620女15合计P (Κ2≥k )0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828公众号：一枚试卷君20.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行围棋比赛，规则如下：甲、乙进行第一局比赛，丙旁观；每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比賽，负者下一局旁观；直至有人累计胜两局，则比赛结束，且先累计胜两局者为本次比赛获胜者．巳知甲乙对弈，每局双方获胜的概率均为0.5，甲丙对弈乙丙对弈，每局丙获胜的概率均为0.4，对方获胜的概率均为0.6，各局比赛结果相互独立.(1)设本次比赛共进行了X局，求X的分布列与数学期望；(2)若比赛结束时共进行了4局对弈，求丙是本次比赛获胜者的概率．21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，AF=10．(1)求p的值；(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且∠BAD=90°，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由．22.(本小题满分12分)ln-1，a>0．已知函数f(x)=x-a x(1)若f(x)在区间[1，+∞)上不单调，求a的取值范围；(2)若不等式a(x-1)e x≥f(x)对∀x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围.。

2020年重庆南开中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，把的图象按平移后得到的函数图象，则函数的对称中心坐标为（）A. B.C. D.参考答案：答案:B2. （5分）（2015?钦州模拟）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：先求出第一次取得号码为奇数的概率，再求出第二次取得号码为偶数球的概率，根据概率公式计算即可．解：1、2、3、4、5大小相同的5个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数的概率为，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故选：D．【点评】：本题考查了条件概率的求法，属于基础题．3. 已知集合，，则=（）A．{0,1,2} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{2,3}参考答案：B4. 如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是( )A．i≤7B．i>7 C．i≤9D．i>9参考答案：B解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S＝720，则应是10×9×8＝720，所以i＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体．5. 设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 已知集合，.则（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 下列各对向量中，共线的是（）A.a=（2,3），b=（3，-2）B.a=（2,3）,b=（4，-6）C.a=（，-1），b=（1，)D.a=(1,),b=(,2)参考答案：D略8. 位同学每人从甲、乙、丙门课程中选修门，则恰有人选修课程甲的概率是A. B. C.D.参考答案：A9. 在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值等于参考答案：答案：10. 设集合，，若，则（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 己知是虚数单位,若，则__________.参考答案：2+i12. 函数f（x）=的定义域是．参考答案：（1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，解得﹣＜x＜2；∴函数f（x）的定义域是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题的关键是列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，是容易题．13. 若，则的最大值▲。

重庆南开中学高2020级高考模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|||1,},{1,2,3}A x x x Z B =∈=，则A B ⋂为（） A ．{}1-B ．{}1C ．{1,0,1}- D ．∅2．设i 是虚数单位，若复数1iz i =+，则z 的共轭复数为（） A ．1122i +B ．1122i -C ．112i -D ．112i +3．下列函数中，值域是R 且是奇函数的是（）A ．31y x =+B ．sin y x = C ．3y x x =- D ．2xy = 4．向量(3,),(1,2)a m b ==，若()a b b +⊥，则m =（） A ．4-B ．32-C ．0D ．6 5．已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（） A ．0B ．2C ．3D ．46．2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（）A ．相关活动是5G 信息走势的关键性节点B ．月均信息量超过600万条C ．第四季度信息量呈直线增长态势D ．月信息量未出现持续下降态势7．椭圆22217x y b +=，过原点O C ，D ，若||4CD =，则椭圆的标准方程为（） A ．22174x y +=B ．22173x y += C ．22176x y += D ．222177x y += 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A ．43 B ．83C ．4D ．8 9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则()2log 8f =（）A ．1-B ．1C ．7D ．12-10．点P 在函数ln y x =的图象上，若满足到直线y x a =+P 有且仅有3个，则实数a 的值为（）A ．1B ．3-C ．2D ．-11．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m ，两端引桥各有190m ，主桁最高处距离桥面89.5m ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）A ．20.45cos3y x = B ．24.5cos 3y x = C ．30.9cos 2y x = D ．39cos 2y x =12．若P 是双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>在第一象限上一点，12,F F 为双曲线C 的左右焦点，22PF b =，,02a Q ⎛⎫⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等，则双曲线C 的离心率为（） A ．53B ．32C ．43 D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分．13．若变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则23z x y =+的最大值为__________．14．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2,1,a b c ===则BC 边上的高为________．15．《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边AB 为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．16．已知()4sin 3cos f x x x =+，()f x 向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=________，若方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，则m 的取值范围是________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 18．（12分）在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．（1）计算a ，b ，c ；（2）在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人． （ⅰ）写出各组中抽取人数；（ⅱ）访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率． 19．（12分）正三棱柱111ABC A B C -中，D 为1CC 中点，2AB =．（1）求证：平面1ADB ⊥平面11ABB A ； （2）若AD 与平面11ABB A 所成角为4π，求四棱锥1A BCDB -的体积． 20．（12分）已知圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点． （1）若直线AB 过原点，求a ；（2）若直线AB 交x 轴于Q ，当PQC 面积最小时，求||AB ． 21．（12分） 已知21()cos 2f x x x x k =-+--． （1）若()f x 的一条切线为y x =，求此时的k ；（2）求使得()0f x >有解的最大整数k ．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2([0,]ρθπ=∈，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； （2）求MN 中点P 轨迹的参数方程． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知对于任意1x -，不等式3(1)13x x ++成立．（1）求证：对于任意1x -，4(1)14x x ++； （2）若0a >，0b >，求证：443()4a b a a b ++．重庆南开中学高2020级高考模拟考试·文科数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分． 13．3 14．2 15．21π 16．3424,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）若公比1111,2166q a a a =+=，不成立； 1分 则()()()2461111,1411111a a a q q q q q q q≠-+-=---- 由于正项等比数列，210q -≠，所以()2241411q q q ++=++， 3分422340,4,2q q q q --=== 5分所以12n n a -=； 6分（2）()1122(12)n n T n -=+++++++(1)212n n n +=-+12分（每个3分） 18．解：（1）274463044918434a b a c b c +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得：966a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩； 4分（2）记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为A 组：“同时观看了《机长》和《攀登者》”为B 组；“同时观看《祖国》和《攀登者》“为C 组，∴按分层抽样，A ，B ，C 组人数分别为3，2，2 8分 在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，设这七个人分别为1231212A A A B B C C ，则还会继续观看第三部的2人可能是：1213231212111221233132A A A A A A B B C C A B A B A B A B A B A B 11213112223211122122AC A C A C AC A C A C B C B C B C B C共21种， 10分 则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有12B B 一种，概率是12112分 19．解：（1）取1AB 中点E ，连接DE ，取11A B 中点F ，连接1,EF FC ， 由于是正棱柱，1CC ⊥面111A B C ，从而11CC FC ⊥ 由于D 为1CC 中点，1111,CC AC CC B C ⊥⊥，所以1AD B D ==1AD B D =，则由三线合一性1DE AB ⊥① 3分因为E ，F 分别为111,AB A B 中点，所以1112EF AA DC ==∥∥，则四边形1EFC D 为平行四边形从而1//DE FC ，由于是正棱柱，1CC ⊥面111A B C ，从而11CC FC ⊥，则1CC DE ⊥ 5分 综合①②可知，DE ⊥面11ABB A ，而DE ⊂面1ADB ，所以平面1ADB ⊥平面11ABB A 6分（2）由DE ⊥面11AA B B 知AD 与平面11ABB A 所成角即为4EAD π∠=，而1DE FC == 7分则AD ==1CD CC ==所以1122BCDB S =⋅⋅=，1122BCB S =⋅=，则1132A BCDB A BCB V V --= 9分而11111112332A BCB C ABB ABB V V S CF --==⋅=⋅⋅= 11分所以132A BCDB V -== 12分 20．解：（1）由于两圆有两个公共点，则圆心距小于半径之和，229a +<，得(a ∈． 1分（也可求出a 后检验是否两圆相交）两圆相减得公共弦直线2:692AB y ax a -+=-+， 3分 过原点得，29,3a a ==±，检验成立 5分 （2）直线2:692AB y ax a -+=-+交x 轴，得192Q x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7分 1919||22PQ a a a a a⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，139||3922PQCS PQ a a=⋅=+≥在3a =±时取得最小值，满足(a ∈，成立 10分此时直线:AB y x == 12分21．解：（1）设切点横坐标为t ，()1sin 1,sin 0f t t t t t '=-++=-= 1分()sin ,()cos 10g x x x g x x '=-=-≤，所以()g x 恒单减，而()00g = 3分所以0t =，从而()00f =得1k =- 4分 （2）由题意，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值 ()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤， 5分从而()h x '单减，而22220,12022333h h πππππ⎛⎫⎛⎫''=->=+-<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，所以()h x 在()0,x -∞单增，()0,x +∞单减 7分 则()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，而()0001sin 0h x x x '=-++= 所以()()2000011sin 1sin cos 2h x x x x =-+++-()2220000001111sin 1cos 2cos 1cos cos cos 222x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-++-=--+-=-⎣⎦⎣⎦ 10分 由于0021,,cos ,0232x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()200113cos 10,224h x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以整数k 最大值为0． 12分22．解：（1）直线l的普通方程为：sin cos x y αα⎛⋅=-⎝⎭； 曲线C 的直角坐标方程为：224(0)x y y +=≥ 3分 直线l为过⎛ ⎝，倾斜角α的直线，与曲线C 有两个公共点，作图可知在直线过左右顶点时为临界情况，倾斜角50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭5分 （2）直线l 代入曲线C ：21240,32P t t t t t αα++⋅+=== 8分 代入得到中点P 轨迹的参数方程：2cos 3sin 33x y ααα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，50,,66a πππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭） 10分 23．解：（1）因为1x ≥-，所以10x +≥ 1分从而32(1)(1)(13)(1)14314x x x x x x x ++≥++=++≥+，得证 5分 （2）欲证443()4a b a a b +≥+只需43414a b a b a a +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭4114b b a a ⎛⎫⇐+≥+⋅ ⎪⎝⎭（*） 7分由于,0a b >，所以01ba>>-， 8分 由（1）知取bx a=时（*）式成立，从而原不等式得证． 10分。

2020届重庆市南开中学高三上学期第一次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|sin 0A x x ==，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =（）A ．{}0B ．{}πC ．{}0,πD ．2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ＝k π，k ∈Z}，B ＝{x |0＜x ＜4}， ∴A ∩B ＝{π}．故选B ． 【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用． 2．命题“若0x >，则21x >”的否命题是（） A ．若0x >，则21x ≤ B ．若0x ≤，则21x > C ．若0x ≤，则21x ≤ D ．若21x >，则0x >【答案】C【解析】根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可． 【详解】命题“若x ＞0，则2x ＞1的否命题是：若x ≤0，则2x ≤1，故选C ． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系应用。

3．已知复数z ，若z 的实部为1，且zi的模长为2，则z =（）A ．1i -B ．1i ±C ．1D ．1【答案】D【解析】由已知设z ＝1+mi （m ∈R ），代入zi，再由模长为2列式求得m 值，则z 可求．【详解】设z ＝1+mi （m ∈R ），则|z i |＝|1mii+|2112mi m i +==+=， 解得m 3=±．∴z ＝13i ±．故选D ． 【点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用。

4．今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁.在下图中统计了上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A ．今年每天气温都比去年气温高B ．今年的气温的平均值比去年低C ．去年8-11号气温持续上升D ．今年8号气温最低【答案】A【解析】观察图象，即可判断结果。

绝密★启用前重庆市南开中学2020届高三毕业班上学期第五次教学质量检测数学(文)试题(解析版)2020年1月一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},B x y y x ==，则A B 的元素个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 4 【答案】C【解析】【分析】 先由2y x y x ⎧=⎨=⎩求解，确定2y x 与y x =交点个数，即可得出结果.【详解】由2y x y x ⎧=⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩， 即2y x 与y x =有两个交点，所以A B 的元素个数为2个.故选：C.【点睛】本题主要考查交集中元素的个数,熟记交集的概念即可,属于基础题型.2.已知复数z 满足()22z i i -=-,则在复平面内,复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算,得到33z i =-,进而可确定其对应点的位置.【详解】因为()2224434z i i i i i -=-=-+=-,所以33z i =-,所以其对应的点为(3,3)-,位于第四象限.故选：D.【点睛】本题主要考查复数对应点的位置,以及复数的乘法运算,熟记复数乘法运算法则,以及复数的几何意义即可,属于基础题型.3.已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】C【解析】【分析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】 根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=< 又 0.21b π=>,根据0.2x y =图像,由0.2c π=∴ 01c << 综上所述,a c b <<.故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.4.已知向量()1,1a =,向量()2,1b =,若()(2//2)a b a b λ+-,则实数λ=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 4- 【答案】D【解析】。

1．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+-=Z x x x x A ，211的子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知，复数的实部和虚部相等，则的值为( )A ．B ．0C ．1D ．3．下列命题的否定为假命题的是( )A ．0222≤+-∈∃x x R x ，B ．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C ．样本的中位数一定在样本中D ．线性回归直线一定经过样本中心点4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015 件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率( )A ．均不相等B ．都相等，且为C ．不全相等D ．都相等，且为5．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，若输，则输出的( )A ．B ．C ．D ．7．已知圆014222=++-+y x y x C ：，在区间上任取整数，则直线 与圆相交所得为钝角三角形(其中为交点，为圆心)的概率为( )A ．B ．C ．D ． [来源: ]8．已知满足是所在平面内一点，满足，且R AC OB OA ∈=+λλ，，则= ( )A ．B ．8C ．D ．49．已知实数y x ，满足可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+09301033y x y x y x D ：，曲线，恰好平分可行域的面积，则的值为( )A ．B ．C ．D ．10．已知实数d ，6，c ，d 满足，则的最小值为( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

11．二项式展开式中的第四项的系数为 ．12．已知，且，则的最小值为 ．13．设点P 是椭圆()012222＞＞b a b y a x =+上一点，，分别是椭圆的左右焦点，为的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率为 ．考生注意：14、15、16为选做题。

一、单选题二、多选题1.在等差数列中，，，则（ ）A．B．C．D．2. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要少移动的次数，数列满足且则解下5个环所需要最少移动的次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．313.已知函数，过坐标原点O 作曲线的切线l ，切点为A ，过A 且与l 垂直的直线交x 轴于点B，则面积的取值范围是（ ）A．B．C．D．4.已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 若，则等于（ ）A ．-5B ．10C ．-10D ．56.已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 已知是上的奇函数，且在区间上是单调函数，则的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68. 已知是1,3,3,5,7,8,10,11的分位数，在1,3,3,5,7,8,10,11中随机取两个数，这两个数都小于的概率为（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（ ）A ．为偶函数B ．的图象关于点中心对称C．是奇函数D．10. 已知直线与平面有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A ．平面内存在直线与直线平行B ．平面内存在直线与直线垂直C ．存在平面与直线和平面都平行D ．存在过直线的平面与平面垂直11. 在新冠疫情防控常态化的背景下，为提高疫情防控意识，某学校举办了一次疫情防控知识竞赛（满分100分），并规定成绩不低于90分为优秀．现该校从高一、高二两个年级分别随机抽取了10名参赛学生的成绩（单位：分），如下表所示：重庆市南开中学校2023届高三上学期一诊模拟数学试题 (2)重庆市南开中学校2023届高三上学期一诊模拟数学试题 (2)三、填空题四、解答题参赛学生分数高一747884898993959799100高二77788487889194949596则下列说法正确的是（ ）A ．高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为91分B ．高二年级所抽取参赛学生成绩的众数为94分C ．两个年级所抽取参赛学生的优秀率相同D ．两个年级所抽取参赛学生的平均成绩相同12. 已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．713. △ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为________．14. 平面向量，满足，，且，则的值为______．15. 函数的定义域是_________.16. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣合计男女75合计600(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，求选出的2人中至少有一个是女生的概率．附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817. 羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望．18. 已知三棱锥中，，为等边三角形，平面平面.(1)求证：；(2)若三棱维的体积为，求a的值.19. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且侧面底面，侧面底面，点是的中点，动点在边上移动，且．（1）证明：底面；（2）当点在边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值．20. 若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列.(1)若为调和数列，证明数列是等差数列；(2)调和数列中，，，前项和为，求证：.21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，分别为，的中点.(1)若，证明：；(2)当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的正弦值.。