重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三数学“一诊”模拟测试题 理(含解析)

数学参考答案·第1页（共8页） 巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 12345678答案 C A D A B C B D【解析】1．{|13}A x x =-≤≤， {|2}B x x =≥，所以[23]A B = ，，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）图1ln ()x f x ，则1()()ln ()0g x f x x f x x''=+< ，0，所以当01x <<时，()0g x >，当1x >时，g 时，ln 0x >，所以当)1(0x ∈，时，()0f x <. 0时，()0f x <；又()f x 为奇函数，所以当x 0>可化为09850x x <⎧⎨->⎩，或09850x x >⎧⎨-<⎩，，解得0，故选D ．（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABC【解析】A 选项错误；11()()()24P A P B P AB P ====，图2（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15128 30数学参考答案·第3页（共8页）数学参考答案·第4页（共8页） 【解析】17．（本小题满分10分）（1）证明：1211(1)140b a a =+=++=≠，……………………………………………（1分）1222121221(1)12222(1)2n n n n n n n b a a a a a b ++++=+=++=+=+=+=，…………………（3分） ∴12n nb b +=，∴{}n b 为以4为首项，2为公比的等比数列．……………………………（5分） （2）解：由（1）知：11122142221n n n n n n b a a -++=+===- ，，∴……………………（6分） 又112212112122n n n n n a a a ++--=+=-=-，，∴……………………………………………（7分） 所以2135212462()()n n n S a a a a a a a a -=+++++++++34(12)4(12)2238.1212n n n n n n +⎡⎤⎡⎤--=-+-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页） 18．（本小题满分12分）……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）证明：222111AC A C AA A C AC +=⊥，，∵∴又1111111ACC A ABC ACC A ABC AC A C ACC A ⊥=⊂ 平面平面，平面平面，平面，1.A C ABC ⊥平面∴又AB ABC ⊂平面，1.A C AB ⊥∴ ………………………………………………………（4分）（2）解：由111111121222332B ACC A B ACA A ABC ABC V V V S A C AC BC A C ---====⨯⨯⨯ △133BC == BC =∴………………………………………………………………………………（5分）以C 为坐标原点，1CA CB CA，，分别为x y z ，，的正向建立空间直角坐标系，则各点坐标如下：数学参考答案·第6页（共8页）1(000)00)(00)(00C A B A ，，，，，，，， ………………………………（7分）取平面1CA B 的法向量为(100)m = ，，，设平面11A BB 的法向量为000()n x y z =，，，取111(0(0BB AA A B ===，，则01100x n BB n A B ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，………………………………………………（10分） 设二面角11C A B B --的大小为θ，则|cos ||cos |m n θ=〈〉==，所以二面角11C A B B --的正弦值为sin θ== …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为： 197.5950.002(10095)0.5%.10095P -=⨯⨯-=- ………………………………………………（3分）（2）当[95100)c ∈，时， 95()5%0.002(10095)(15%)10095c f c -=⨯⨯⨯-+-⨯-41000.010(10095)0.002(105100)(949500)1010095c c --⎡⎤⨯⨯-+⨯-=-+⨯⎢⎥-⎣⎦，…………（6分）当[100105]c ∈，时，100105()5%0.002(10095)0.012(105100)(15%)105100105100c c f c --⎡⎤=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⎢⎥--⎣⎦40.002(105100)(131400)10c -⨯⨯-=-+⨯，……………………………………………（9分）∴44(949500)10[95100)()(131400)10[100105]c c f c c c --⎧-+⨯∈⎪=⎨-+⨯∈⎪⎩，，，，，，………………………………………（10分） ()f c ∵在[95105]c ∈，单调递减，所以105c =时()f c ，最小．……………………（12分）21．（本小题满分12分）数学参考答案·第7页（共8页）数学参考答案·第8页（共8页）。

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为( )．A. (1,2)B. (−1,2)C. (2,1)D. (2,−1)2. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={x|2≤x <5,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {3,4}B. {3,4，5}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4，5，6}3. 已知非零向量m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 满足|n ⃗ |=4|m ⃗⃗⃗ |，且，则m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为( ) A. π3B. π2C. 2π3D. 5π64. 已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，则P(ξ<2)( )A. 0.8B. 0.75C. 0.7D. 0.65. 设函数f(x)=sin(2x +3π4)+cos(2x −π4)，则( ) A. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π4对称 B. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π2对称 C. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π4对称 D. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π2对称6. 若平面α⊥平面β，点A ∈α，则过点A 且垂直于平面β的直线( )A. 只有一条，不一定在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C. 只有一条，一定在平面α内D. 有无数条，一定在平面α内7. 设a =log 3e ，b =e 1.5，c =log 1314，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b8. 已知sinα−cosα=13,则cos 2(π4−α)= ( )A. 1718B. 19C. √29D. 1189. 已知AB 是圆O ：x 2+y 2=1的任意一条直径，点P 在直线x +2y −a =0(a >0)上运动，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为4，则实数a 的值为( )A. 2B. 4C. 5D. 610.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 6911.已知双曲线x2a2−y2b2=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为()A. y2=4xB. y2=4√2xC. y2=8√2xD. y2=8x12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是()A. 线段CA1的三等分点，且靠近点A1B. 线段CA1的中点C. 线段CA1的三等分点，且靠近点CD. 线段CA1的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则a0+a1+⋯+a6=______ ．14.在△ABC中，若a=bcosC+csinB.则B=______ ．15.有3个本校老师和3个外校老师被安排到高三地理选考考试的3个考场，要求一个试场有一个本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考1号试场，外校老师乙不监考2号试场，则共有______种不同安排方案．16.若函数y=ln x2−x−a(x−1)有3个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)设b n=2n⋅√a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：(注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级)(Ⅰ)从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？(Ⅲ)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由．P(K2≥K)0.0500.0250.0100.001 K 3.841 5.024 6.63510.828 (K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π3，M为A1D的中点．(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其右顶点和上顶点分别为AB原点到直线的距离为2√55(1)求椭圆方程；(2)直线l：y=k(x+2)交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数f(x)=45x−ln(1+x2)，求函数f(x)在(0,+∞)上的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵i(i+2)=−1+2i，∴复数i(i+2)对应的点的坐标为(−1,2)，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考察了集合概念和集合交集运算，基础题。

巴蜀中学2020届“一诊”模拟测试卷理综一、选择题:本题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第14〜18题只有一项符合 题目要求，第19〜21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得 0分。

1.在气体放电管中，用大量能量为E 的电子轰击大量处于基态的氢原子，通过光栅分光计可观测到一定数目的光谱线。

调高电子的能量再次进行观测，发现光谱线的数目是原来的三倍。

用n ∆表示两次观测中最高激发态的量子数n 之差。

根据氢原子的能级图可以判断，n ∆和E 的可能值为（ ）A. n ∆ =1，E =10.30 eVB. n ∆=1，E =12.09 eVC. n ∆=2，E =12.09 eVD. n ∆=4，E =13.06 eV【答案】A【详解】由题意可知：()(1)(1)322n n n n n n +∆⨯+∆--=⨯化简后可得：22n 220n n n n --∆+∆=AB ．当1n ∆=时，解得1n =，所以：()()3.4eV 13.6eV 10.2eV E ∆=---=因此电子的动能应该大于此时的能级差，但小于基态与第3能级之间的能级差，否则将跃迁到更高能级，即：()()1.51eV 13.6eV 12.09eV E ∆=---=故A 正确，B 错误.C ．当2n ∆=时，解得n 是无理数，不符题意，故C 错误.D ．当4n ∆=时，解得n 是无理数，不符题意，故D 错误.2.如图所示，用两根不可伸长的细绳通过两个轻质、光滑的定滑轮M 、N 将A 、B 两个相同小球与C 球连接，两定滑轮处于同一水平线上已知C 球重力为G 。

静止释放A 、B 、C 三个小球，当三个小球运动至如图所示的位置时，两绳与水平方向所成夹角θ=60°，C 球的速度达到最大值v C 。

此时A 球所受的拉力F A 、速度v A 的大小分别为（ ）A. F A =3G ，v A =3v C B. F A =3G ，v A =3v C C. F A =3G ，v A =3v C D. F A =32G ，v A =32v C 【答案】B【详解】以C 球为研究对象进行受力分析，C 球的速度最大时受力平衡，根据对称性可知两根绳子拉力大小相等，根据平衡条件可得：2sin A F G θ=解得：3A F G =又根据关联速度的关系，将C 球的速度分解为垂直绳子和沿着绳子的速度，有：3sin 2A C C v v v θ==故选B.3.如图所示，在光滑的水平面上，质量为m 1的小球A 以速率v 0向右运动，O 点处有一质量为m 2的小球B 处于静止状态。

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =-->,集合1|12xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =I ( )A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞-D ．()0,∞+【答案】C【解析】化简集合A 和B ,根据交集定义,即可求得A B I . 【详解】∴ {}2|20A x x x =-->∴ 化简可得()(),12,A =-∞-⋃+∞根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数∴ 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝,即01122x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故0x < ∴ (),0B =-∞故(),1A B =-∞-I 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2．已知复数12iz i -=+(i 为虚数单位),则z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】化简12iz i -=+,可得()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++-,即可求得z 对应的点. 【详解】Q ()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++- ∴ z 对应的点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,故在第四象限故选:D. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.3．已知实数x ,y 满足102022x y x y y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥-⎩则z x y =+的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得z x y =+的最小值. 【详解】作出可行域,由z x y =+,得y x z =-+,Q 当y x z =-+与边界直线20x y +-=重合时,z 取得最小值. ∴ 可取公共点13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,可知min 13222z =+= 故选:B. 【点睛】本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.4．命题p :2m =,命题q :直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直,则p 是q成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q 由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直 ∴ 可得(1)20m m --=,即220m m --=,解得1m =-或2m =.故:由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直不能推出:2m =∴命题p 是命题q 不必要条件Q 由2m =时直线分别是: 100x y --=,30x y +-=,此时两条直线垂直.故命题p 能推出命题q∴ 命题p 是命题q 充分条件综上所述,p 是q 充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 5．已知()tan 2πθ-=,则sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．25B ．25-C ．25±D ．45【答案】B【解析】由()tan 2πθ-=,可得tan 2θ=-,根据诱导公式化简sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】Q ()tan 2πθ-= ∴ tan 2θ=-Q sin sin cos sin 2πθθθθ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭222cos sin tan cos sin 1tan θθθθθθ==++ 22145-==-+ 故选:B. 【点睛】本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题. 6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:()046hV S S S '=++,式中h ,S ,S ',0S 依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线()20y x x =≥与直线2y =及y轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积V =( )A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】根据“辛卜生公式”:()046hV S S S '=++,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案. 【详解】Q 根据辛卜生公式:()046hV S S S '=++ Q 根据题意可知该几何体是由,曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到.∴ 0S '=,22S ππ==,201S ππ=⋅=,∴ 根据辛卜生公式()220426V πππ=⨯++= 故选:C. 【点睛】本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题. 7．已知()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()3f x f x +=-,当[)0,3x ∈时,()2xf x =,则12log 192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】利用偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-求出函数的周期,然后化简12log 192f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案. 【详解】Q 当0x ≥时,()()3f x f x +=-,∴ ()()6f x f x +=,故()f x 最小正周期:6T =.Q ()122log 192log 192f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又Q ()f x 为偶函数故()()()222log 192log 192log 643f f f -==⨯()()2log 3226log 3log 323f f =+===故选D. 【点睛】本题考查了函数的周期性,需要掌握(+)()f m x f x =的周期为m ,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键. 8．如图是一程序框图,则输出的S 值为( )A ．20222023B ．10112013C ．10102021D ．20202021【答案】C【解析】由程序框图可得111133520192021S =+++⨯⨯⨯L ,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】 由程序框图可知:111133520192021S =+++⨯⨯⨯L 1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11120201010122021220212021⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:C. 【点睛】本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9．已知向量()2,0a =r ,向量(b =r ,向量c r满足c a b --=r r r ,则c r 的最大值为( )A B ．C ． 3D ．【答案】D【解析】设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r ,则(3,c a b x y --=-r r r ,即可求得()(2233x y -+=,将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,,即可求得cr 的最大值.【详解】Q 设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r∴ (3,c a b x y --=-r r r故c a b --==r r r即()(2233x y -+=Q将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,.∴c r的最大值即:圆心到原点的距离+半径,=故选:D. 【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型. 10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等4位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( ) A ．736B ．16C ．29D ．772【答案】A【解析】根据题意,基本事件数234336n C A =⋅=,甲去（3）班,有222A =种,甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,即可求得答案.【详解】根据题意基本事件数234336n C A =⋅=Q ①甲去（3）班,有222A =种,②甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,∴ 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:736P =, 故选:A. 【点睛】本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.11．已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A ．无最小值B ．无最大值C ．有最小值,最小值为1D ．有最大值,【答案】D【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离. 【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =Q 以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=-,即112x y x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :222x y x y =- ——② 设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y∴ ()00,P x y 代入①②得10012002,2,2x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002xy x y =-,即002x y x y =-, 又Q 002y x =-,即0122x y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭Q AB 过定点()2,2P ,∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为=当AB 过点F 时,距离的最小值为0故选:D . 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12．已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭U D ．11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】D【解析】因为()0f x =,故()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=,化简为:()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,即2e x x a +=,221e x x a +-=,构造函数()2ex x g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 由()0f x =,()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=∴ 得()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,可得:2e x x a +=,221e xx a +-=, 设()2e x x g x +=,则()()1e xx g x -+'=, Q 当()0g x '>时,1x <-当()<0g x '时,1x >-∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.Q x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,则0e021e 21a a a a<<⎧⎪<-<⎨⎪-≠⎩,可得11e 22a +<<,1a ≠, 故选:D. 【点睛】本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.二、填空题13．二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______. 【答案】－32【解析】写出二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式:()()462142rr r r r T C x x --+=-,即可求得答案. 【详解】Q 二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式: ()()()46224814422rrrr r r rr T C x x C x ---+=-=-∴ 当3r =时,()()32483442232rr rC x C -=--=-∴二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为:32-. 故答案为:32-. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.14．已知函数()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭,将()f x 的图像向右平移12π个单位后得到的函数图像关于y 轴对称,则ϕ的值为______. 【答案】512π【解析】将()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭化简可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,根据()g x 图像关于y 轴对称,即可求得答案. 【详解】Q ()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭∴ 由辅助角公式可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ ()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像关于y 轴对称 ∴()122k k ππϕπ+=+∈Z ,512k ϕππ=+,又02πϕ<<,∴0k =,512ϕπ=. 故答案为:512π. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15．已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______.1【解析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,,x a y b =⎧⎨=⎩,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭,将其代入22221x ya b-=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】Q 以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,∴ 222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得:,,x a y b =⎧⎨=⎩ 故(),P a b , 又Q ()2,0F c ,∴,22a c b M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入双曲线方程22221x y a b-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=∴1e =-±,又1e >,∴1e =.故答案为1. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.16．已知数列{}n a ,满足()()*112n n na n a n +--=∈N ,{}na 的前n 项和为nS,对任意的*n ∈N ,当5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______. 【答案】()5,6【解析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()1121212n n n n na n a n a na +++⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ 可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围. 【详解】Q 由()112n n na n a +--=, ∴ 当1n =,得12a =.Q ()112n n na n a +--=——①可得()1212n n n a na +++-=——②∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.又Q 120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <,即240,250d d +>⎧⎨+<⎩1225d ⇒-<<-, 又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6. 【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ⋅==,23118b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】（1）Q {}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩∴11,1,a d =⎧⎨=⎩∴()11n a a n d n =+-=.Q {}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >, ∴2243164b b b ⋅==,23118b b q ==, ∴12q =,1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+,∴ ()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——①可得:()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——②∴由①-②得:23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=--⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y (单位:十亿元).绘制如下表1: 表1根据以上数据绘制散点图,如图所示.(1)根据散点图判断,y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)(3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数ξ的分布列与期望. 参考数据:2i i t x =.参考公式:对于一组数据()11,u v ,()22,u v ,…,(),n n u v ,其回归直线$µva u β=+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为µ1221111ni ni u v nuvu nuβ==-=-∑∑,µµv u αβ=-$. 【答案】（1）2y cx d =+更适宜（2）$22.7 2.0y x =-，预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元（3）答案见解析【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案.（2）根据101102211010i ii i t y t ybtt =-=-=-∑∑$,a y bt =-$$,即可求得y 关于x 的回归方程,即可预测2020年天猫双十一销售额;（3）因为畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出()0P ξ=,()1P ξ=,()2P ξ=,()3P ξ=,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）根据其图像的形状可知,2y cx d =+更适宜.（2）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i t y t ybtt =-=--⨯⨯====≈--∑∑$,$102 2.738.5 2.0ay bt =-=-⨯≈-$, ∴ $22.7 2.0y x =-,当1x =时,$324.7y =（十亿元）, ∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元.（3）畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3()34384105614C P C ξ====,()2144382431567C C P C ξ⋅====, ()2144382432567C C P C ξ⋅====,()34384135614C P C ξ====,∴()1331301231477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.19．已知,在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin cos ,sin p A C A =+u r,()cos sin ,sin q C A C =--r ,若1cos 22B p q +⋅=u r r .（1）求角B ;（2）若3b =,求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）23B π=（2）4【解析】（1）因为()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r 可得:222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,根据正弦定理可得222a c ac b ++=,即可求得答案.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,2293a c ac ac =++≥,则3ac ≤,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）Q ()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r ∴ 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,可得:2221sin sin sin sin 1sin C A A C B ---=-,∴ 222sin sin sin sin sin A C A C B ++=.由正弦定理:222a c ac b ++=故:2222cos a c b ac ac B +-=-=∴ 1cos 2B =-, Q 0B π<<, ∴23B π=.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,∴2293a c ac ac =++≥,∴3ac ≤,当且仅当a c =时,()max 3ac =,∴1sin 244ABC S ac B ac ==≤V .∴ABC V 面积的最大值为:4.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c A B C==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l :1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程;（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=u u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=（2）113m <<或113m -<<-【解析】（1）因为31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22221x ya b+=利用点差法,即可求得答案.（2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r , 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ=,将直线l和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）Q焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y ,Q 31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-, 又Q 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22221x ya b+=∴ 2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩ ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()22121222121231ABb x x y y b k x x a y y a+-==-==-+, ∴223a b =——①. Q 222a c b -=——②由①②得: 2231a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2213x y +=. （2）Q M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r∴ 根据三点共线性质可得: 1133λ+=,则2λ=设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得:()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>——①,根据韦达定理:122613km x x k +=-+,21223313m x x k-=+, 代入122x x =-,可得:22613km x k =+,222233213m x k--=+, ∴ ()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-. Q 2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910m m m --<,∴2119m <<满足②式, ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决. 21．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）若不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】（1）单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1ef x =-极小值,无极大值.（2）127ln32λ≤【解析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;（2）223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围.【详解】（1）Q ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10e x <<.∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e e e f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值.（2）Q 223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>∴将223eln 0322xxx x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2xf x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. Q 2322x x +≥,0e e 1x λ>=,∴由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增, ∴23e 2x x x λ+≥,∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤. 令()23ln 2x x h x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴= 令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 则()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln 52min 1,3,1ln ,3ln 23h x h h h h ===∴=∴()()13h h > ∴127ln32λ≤. 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N 两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2【解析】（1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得257016t +=,根据韦达定理: 12t t +=125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:12PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.23．已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U （2）证明见解析 【解析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . （2）Q ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。

2020届重庆市巴蜀中学高三上学期 第六次月考（一模）数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若z=25i3+4i ，则z 的共轭复数z 对应的点在A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 2．设集合M ={x|x 2−32x +12=0}，N ={x|3x >√3}，则M ∩N =A ． {1,12}B ． ∅C ． {1}D ． {34} 3．在双曲线C:x 29−y 216=1中，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点且满足|PF 1|+|PF 2|=14，则|PF 1|2+|PF 2|2=A ． 108B ． 112C ． 116D ． 1204．由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有个 A ． 10 B ． 11 C ． 12 D ． 135．已知正实数x ，y 满足a x <a y （0<a <1），则下列一定成立的是 A ． 1x−1y >0 B ． x 5y 2<x 4y 3C ． |x −1|>|y −1|D ． log (x 2+1)e <log (y 2+1)e6．执行如图所示的程序框图，若输入的a 为24，c 为5，输出的数为3，则b 有可能为A ． 11B ． 12C ． 13D ． 147．设实数x ，y 满足{2x −y ≥0,x ≤0,x +y +2≤0, 则x 2+y 2的最小值为 A ． 4 B ． 2 C ．209D ． 1038．已知α∈(0,π2)，sin(α+116π)=13，则sinα=A ．2√3+√26B ．1+2√66C ． √3+2√26D ．1+3√269．若ΔABC 的内角满足3sinA =sinB +sinC ，则cosA 的最小值是 A ． 23B ． 79C ． 13D ． 5910．已知平面上有3个点A ，B ，C ，在A 处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A 点的概率为A ．1116B ． 58C ． 13D ． 3811．已知f(x)=x 2+lnx ，在f(x)的图象上存在一点P ，使得在P 处作f(x)图象的切线l ，满足l 的斜率为a 2+√2a−8a−√2，则a 的取值范围为A ． [−√2,√2)∪[2√2,+∞)B ． (−∞,−√2]∪(√2,2√2]C ． [−√2,√2)∪(√2,2√2]D ． (√2,2√2]12．已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，且AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，过点A ，B 分别引抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1，l 2相交于点P ，则|PF⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ． 3√22B ．4√33C ． 2√2D ． 2√3二、填空题13．|a |=1，|b ⃑ |=2，a ⊥b ⃑ ，则|a +2b ⃑ | =__________． 14．在(x −2x )5的展开式中1x 的系数为__________．15．已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)(√3sinx +cosx)，则函数f(x)在x ∈[−π2,π2]时的最大值为__________．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号16．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1+na n=2(n+1)(n∈N+)，则|a2017|−|2016a2016|=__________．三、解答题17．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=3，a1⋅a4=a22．（1）求{a n}的通项公式及a n的前n项和S n的通项公式；（2）b n=1S1+1S2+⋯+1S n，求数列{b n}的通项公式，并判断b n与1927的大小．18．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ΔABC的面积为acsinAsinC2sinB．（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）求sinB的最大值，并给出取得最大值时的条件．19．2017~2018赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响．由C罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队（以下简称“皇马”）将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队（以下简称“巴黎”），激烈对决，一触即发．比赛分上，下两个半场进行，现在有加泰罗尼亚每题测皇马，巴黎的每半场进球数及概率如表：（1）按照预测，求巴黎在比赛中至少进两球的概率；（2）按照预测，若设H为皇马总进球数，A为巴黎总进球数，求A和H的分布列，并判断E(A)和E(H)的大小．20．已知椭圆E：x26+y22=1的右焦点为F2，设过F2的直线l的斜率存在且不为0，直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为C，O为原点，直线OC交x=3于点D．（1）求证：AB⊥DF2；（2）求|AB||DF2|的最大值．21．设函数f(x)=ae x+bx2+cx−1，其中a，b，c为常数．（1）若b=0，ac≠0，试讨论函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在R上单调递增，且abc≠0，证明：a>0>b，并求c的最小值（用a，b的代数式表示）．22．在直角坐标系xOy中，直线l：{x=√3+tcosα,y=tsinα（t为参数，其中α为直线的倾斜角）与曲线C：{x=2cosθ,y=sinθ（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）当α=π4时，求直线l与曲线C的普通方程；（2）若|MA|⋅|MB|=|OM|2−52，其中M(√3,0)，求直线l的斜率．23．已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|，若f(x)≤3的解集为C．（1）求解集C；（2）已知非零实数a，b，c满足1a2+14b2+1c2=2，求证：a2+4b2+9c2≥252第3页（共4页）第4页（共4页）第9页（共10页） 第10页（共10页）2020届重庆市巴蜀中学高三上学期 第六次月考（一模）数学（理）试题数学 答 案参考答案 1．D 【解析】由题意可得：z =25i3+4i =25i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=5(3i +4)=20+15i ，则z̅=20−15i ，据此可得：z 对应的点在第四象限. 本题选择D 选项. 2．C 【解析】求解一元二次方程可得：M ={1,12}，求解指数不等式可得：N ={x|x >12}，结合交集的定义可得：M ∩N ={1}. 本题选择C 选项. 3．C 【解析】由双曲线的定义可得：||PF 1|−|PF 2||=2a =6， 结合题意有：|PF 1|+|PF 2|=14，两式平方相加可得：|PF 1|2+|PF 2|2=116 . 本题选择C 选项. 4．B 【解析】千位数字为3时满足题意的数字个数为：3!=6，千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3!−1=5， 综上可得：2018大的有6+5=11个. 本题选择B 选项. 5．D 【解析】 利用排除法：由指数函数的单调性可得：x >y >0，由反比例函数的单调性可得：1x <1y ,∴1x −1y <0，选项A 错误； x 5y 2−x 4y 3=x 4y 2(x −y )>0,∴x 5y 2>x 4y 3，选项B 错误； 当x =12,y =13时，|x −1|<|y −1|，选项C 错误； 本题选择D 选项. 6．B 【解析】结合流程图，若输出的数字为3，则经过循环结构之后的b =a +3=27， 由于27MOD5=2，结合循环结构的特点可得：输入的数字除以5的余数为2， 结合选项可得：b 有可能为12. 本题选择B 选项. 7．C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数边上坐标原点与可行域内点距离的平方， 据此可得，目标函数在点A (−23,−43)处取得最小值：49+169=209.本题选择C 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 8．C 【解析】由题意可得：sin(α+116π)=sin(α−π6)=13，∵α∈(0,π2),∴α−π6∈(−π6,π3)，据此可得：cos(α+116π)=√1−sin2(α+116π)=2√23，结合两角和差正余弦公式有：sinα=sin[(α−π6)+π6]=sin(α−π6)cosπ6+cos(α−π6)sinπ6=√3+2√26.本题选择C选项.9．B【解析】由题意结合正弦定理有：3a=b+c，结合余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−(b+c3)22bc=89b2+89c2−29bc2bc=89b2+89c22bc−19≥2×√89b×√89c2bc−19=79.当且仅当b=c时等号成立.综上可得：cosA的最小值是79.本题选择B选项.10．D【解析】由于可知，所有可能的放置方法为：ABABA,ABABC,ABACA,ABACB,ABCAB,ABCAC,ABCBA,ABCBC,ACABA,ACABC,ACACA,ACACB,ACBAB,ACBAC,ACBCA,ACBCB,共有16种可能的放置方法，其中满足题意的方法有6种，由古典概型计算公式可得：小球仍在A点的概率为p=nN =616=38.本题选择D选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.11．A【解析】结合函数的解析式有：f′(x)=2x+1x≥2√2x×1x=2√2，当且仅当x=√22时等号成立，据此可得：2√2a−8a−√2≥2√2恒成立，即：2√2a−8a−√22√2≥0，整理可得：√2)(a+√2)a−√2≥0，求解分式不等式可得a的取值范围为[−√2,√2)∪[2√2,+∞).本题选择A选项.12．A【解析】由焦点弦的性质有：1|AF|+1|BF|=2p=1，结合AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2BF⃑⃑⃑⃑⃑ 可得：|AF|=3,|BF|=32，设A,B两点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2)，结合y′=12x有直线方程：l1:y−y1=x12(x−x1),l2:y−y2=x22(x−x2)，联立直线方程可得交点坐标为P(x1+x22,−1)，则AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ =(x2−x1,y2−y1)⋅(−x1+x22,2)=0,∴AB⊥PF，结合焦点弦的性质可知：直线l1l2的斜率：x12×x22=−p24=−1，即l1⊥l2，结合射影定理有：|PF|2=|AF|×|BF|=92，据此可得：|PF⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√22.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．13．√17【解析】由题意可得：|a+2b⃑|=√(a+2b⃑)2=√a2+4a⋅b⃑+4b⃑2=√1+4×0+4×22=√17.14．−80【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式有：T r+1=C5r x5−r(−2x)r=(−2)r C5r x5−2r，满足题意时：5−2r=−1,∴r=3，其系数为：(−2)3C53=−80.第7页（共10页）第8页（共10页）第9页（共10页） 第10页（共10页）15．√3+2 【解析】由题意结合三角函数的性质有：f (x )=√3sin 2x +sinxcosx +3sinxcosx +√3cos 2x =√3+2sin2x ， ∵x ∈[−π2,π2],∴2x ∈[−π,π]，据此可得，当2x =π2,x =π4时，函数取得最大值：√3+2.16．−4034 【解析】由递推关系可得：a n+1−2=−n (a n −2)，则：a n+1−2=(−n )×(−n +1)×⋯×[(−1)×(a 1−2)]=(−1)n+1×n!， 即列的通项公式为：a n+1=(−1)n+1×n!+2，则：|a 2017|−|2016a 2016|=2016!−2−(2016!+4032)=−4034.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．17．(1)a n =3n ，S n =3n(n+1)2．(2)b n =23(1−1n+1),1b n<1927.【解析】 试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式可得关于公差的方程，解方程有d =3，则数列的通项公式为a n =3n ，前n 项和S n =3n(n+1)2．(2)结合(1)的结论有1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，据此裂项求和可得b n =23(1−1n+1)，据此有1b n<23<1927．试题解析：（1）设a 1=a ，公差为d ，则a(a +3d)=(a +d)2，解得d =a =3， 所以a n =3n ，S n =3n(n+1)2．（2）1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，从而b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n=23(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =23(1−1n+1)，故1b n<23<1927．18．(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】 试题分析：(1)由题意结合面积公式有：12acsinB =acsinAsinC 2sinB，则sin 2B =sinAsinC ，角化边可得a b =bc ，故a ，b ，c 成等比数列．(2)由题意结合余弦定理和(1)的结论有：cosB =a 2+c 2−b 22ac≥12，则sinB =√1−cos 2B ≤√32，由均值不等式的结论可得当ΔABC 为等边三角形时等号成立．试题解析：（1）证明：S ΔABC =12acsinB =acsinAsinC 2sinB，即sin 2B =sinAsinC ，由正弦定理可得ab =bc ，故a ，b ，c 成等比数列． （2）解：依题意得cosB =a 2+c 2−b 22ac=12(c a +a c −1)≥12，又B 为ΔABC 的一个内角，从而sinB =2B ≤√32， 当且仅当ΔABC 为等边三角形时等号成立．19．(1)79144；(2)答案见解析. 【解析】 试题分析：(1) 设A 为巴黎总进球数，由题意可得P (A ≥2)=P (A =2)+P (A =3)+P (A =4)=79144． (2)由题意首先求得A ,H 的分布列，然后结合分布列计算数学期望可得E(A)=E(H)=53．试题解析：（1）设A 为巴黎总进球数，则P(A ≥2)=P(A =2)+P(A =3)+P(A =4)=(512×14+13×13+14×512)+(13×14+14×13)+14×14=2372+16+116=79144．（2）A 和H 的分布列如下：第7页（共10页） 第8页（共10页）则E(A)=E(H)=53． 20．(1)证明见解析；(2)√3. 【解析】 试题分析：(1)设直线l 的斜率为k （k ≠0），联立直线方程与椭圆方程可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．结合韦达定理可得线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k3k 2+1)．据此计算可得直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k ，则AB ⊥DF 2.(2)考查t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k2=k 2(x 1−x 2)2=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．换元令u =3k 2+1，则t =−163[(1u −14)2−916]．结合二次函数的性质可得k =±1时，t 取最大值3，此时|AB||DF 2|取最大值√3． 试题解析：（1）证明：设直线l 的斜率为k （k ≠0），则直线l 的方程为y =k(x −2)， 联立方程组{x 26+y 22=1,y =k(x −2),消去y 可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=12k 23k 2+1,x 1x 2=12k 2−63k 2+1, 于是有y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4k =−4k 3k 2+1， 所以线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k3k 2+1)．又直线OC 的斜率k OC =−13k，因此直线OC 的方程为y =−13kx ，它与直线x =3的交点D(3,−1k)，故直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k，于是k DF 2⋅k =−1．因此AB ⊥DF 2. （2）解：记t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k 2=(x 1−x 2)+k 2(x 1−x 2)21+1k 2=k 2(x 1−x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =k 2[(12k 23k 2+1)2−4(12k 2−63k 2+1)]=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．令u =3k 2+1，则t =8⋅(u−1)(u+2)3u 2=−163(1u 2−12u −12)=−163[(1u −14)2−916]．因为u =3k 2+1>1，所以0<1u <1． 故当u =4时，即k =±1时，t 取最大值3． 从而当k =±1时，|AB||DF 2|取最大值√3．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)函数f(x)的定义域为R ，求导可得f′(x)=ae x +c ．据此分类讨论： 若a >0，c >0，f(x)在R 上单调递增； 若a <0，c <0，f(x)在R 上单调递减；若a >0，c <0，f (x )在(−∞,ln (−c a ))上单调递减，在(ln (−ca ),+∞)上单调递增； 若a <0，c >0，f (x )在(−∞,ln (−ca ))上单调递增，在(ln (−ca ),+∞)上单调递减；(2)函数f(x)在R 上单调递增，则f′(x)=ae x +2bx +c ≥0对任意实数x 均成立， 取实数x 1>0，−x 1<0，有a(e x 1+e −x 1)+2c ≥0，据此讨论可得a >0>b ． 证明问题c ≥−2b(ln(−2b a)−1)来说明c 的最小值为−2b(ln(−2b a)−1)：构造函数g(x)=ae x ，ℎ(x)=−2bx −c ，可证明g(x)=ae x ≥−2bx +2bln(−2b a)−2b ，则g(x)≥ℎ(x)恒成立，据此可得c ≥−2b(ln(−2b a)−1)成立．试题解析：（1）解：依题意得f(x)的定义域为R ，当b =0时，f′(x)=ae x +c ．若a >0，c >0，则f′(x)>c >0，从而f(x)在R 上单调递增； 若a <0，c <0，则f′(x)<0，从而f(x)在R 上单调递减； 若a >0，c <0，令f′(x)=0，得x =ln(−ca )，列表如下：若a <0，c >0，令f′(x)=0得x =ln(−ca )，列表如下：（2）证明：函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)=ae x+2bx+c≥0对任意实数x均成立，取实数x1>0，−x1<0，则{ae x1+2bx1+c≥0,ae−x1−2bx1+c≥0,两式相加得：a(ex1+e−x1)+2c≥0，令x1→+∞，则e x1+e−x1→+∞，从而a>0．又由ae−x1−2bx1+c≥0，当x1→+∞时，ae−x1→0，若b>0，则ae−x1−2bx1+c≥0不恒成立，又b≠0，从而b<0，从而a>0>b．下证c≥−2b(ln(−2ba)−1)．记g(x)=ae x，ℎ(x)=−2bx−c，x2=ln(−2ba)，由于g′(x)=ae x，g(x)在点(x2,g(x2))处的切线方程为：y=−2b(x−x2)+g(x2)=−2bx+2bln(−2ba)−2b．接下来，我们证明g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b，构造函数H(x)=ae x+2bx−2bln(−2ba)+2b，H′(x)=ae x+2b．当x∈(−∞,x2)时，H′(x)<0，H(x)单调递减；当x∈(x2,+∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增；从而H(x)≥H(x)min=H(x2)=0，故g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b成立．考虑到直线y=−2bx+2bln(−2ba)−2b与直线y=ℎ(x)斜率相等，即它们平行，又由于g(x)≥ℎ(x)恒成立，从而−2bx+2bln(−2ba)−2b≥ℎ(x)恒成立，即−c≤2b(ln(−2ba )−1)，即c≥−2b(ln(−2ba)−1)．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．(1)直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2)±√22.【解析】试题分析：(1)由题意结合参数方程可得直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2) 联立直线的参数方程与椭圆方程可得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，结合参数的几何意义可得sin2α=13，则直线的斜率k=±√22．试题解析：（1）当α=π4时，直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．（2）把{x=√3+tcosα,y=tsinα代入x24+y2=1，得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，|MA|⋅|MB|=|t1t2|=14sin2α+cos2α=|OM|2−52=12，得sin2α=13，∴tan2α=12，∴斜率k=±√22．23．(1)[0,3]；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集C=[0,3]；(2)由题意结合柯西不等式有a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a2=4b2=3c2=52时取等号．则题中的不等式得证.试题解析：（1）解：f(x)=|x−1|+|x−2|≤3，即{x<1,−x+1−x+2≤3或{1≤x≤2,x−1−x+2≤3或{x>2,x−1+x−2≤3,即0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，即解集C=[0,3]．（2）证明：∵1a2+14b2+1c2=2，由柯西不等式得a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a1a=2b12b=3c1c时取等号，即a2=4b2=3c2=52时取等号．第9页（共10页）第10页（共10页）。

绝密★启用前重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班下学期3月阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)2020年3月（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则z i=（ ）A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i - 【答案】C【解析】【分析】 先求出复数z,再求z i得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=,(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅,则实数m =（ ）A. 2-B. 12- C. 12 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据集合,A B 元素所表示的意义,以及集合,A B 关系,即可求解.【详解】因为A B =∅,所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行,所以12m =. 故选:C .【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识,属于基础题.3. 已知两个单位向量12,e e ,若()1212-⊥e e e ,则12,e e 的夹角为（ ） A. 23π B. 3π C. 4π D. 6π【答案】B【解析】【分析】由已知可求出12e e ⋅,再由向量夹角公式,即可求解.【详解】因为()1212-⊥e e e ,所以()12102=-⋅e e e ,所以11222=⋅e e e , 所以12,cos e e <>=12,又因为[]12,0,e e π<∈>,所以12,e e π3<>=. 故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角,意在考查逻辑推理,数学运算,属于基础题.4. 随机变量()2~,N ξμσ,若(1)0.3P ξ≤=,(15)0.4P ξ<<=,则μ=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】 根据正态分布的对称性列方程,解方程求得μ的值.。

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．22．（5分）已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．3．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a125．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．22019﹣1B．22019﹣2C．22020﹣2D．22020﹣17．（5分）设函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A．0B．C．D．9．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|＝，则p＝（）A．B．1C．D．210．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣1，f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，则k的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（，1）12．（5分）在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A．A＞B．B＞C．A＜D．B＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝．14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q 在C的另一条渐近线上，则C的离心率为．15．（5分）中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为台16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画P AC，则λ＝③△P AC周长的最小值是2+2④若△P AC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD＝2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD＝1，求△ABC的面积18．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．19．（12分）已知点M（，）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，且点M到C 的左、右焦点的距离之和为2．（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围．20．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ＝3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数（2）若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，且f（﹣2）＞e﹣2，证明：f（x0）≤1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）＞4﹣2x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，求a的取值范围．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用复数的运算法则求出z＝2﹣i，从而＝1+i．由此能求出共轭复数的虚部．【解答】解：复数＝＝＝＝2﹣i．∴＝2+i．∴共轭复数的虚部为1．故选：B．【点评】本题考查复数的共轭复数的虚部的求法，考查复数的运算法则、共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{0＜x≤1}，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}＝{x|x＞}，∴A∩B＝{x|}＝（]．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】在方向上的投影为，代入数值计算即可．【解答】解：因为，均为单位向量，且，的夹角为，所以在方向上的投影为：＝，故选：B．【点评】本题考查了平面向量投影的计算，属基础题．4．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a12【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3＝3a2，∴4（a1+2d）＝3（a1+d），可得：a1+5d＝0，∴a6＝0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同【分析】根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．【解答】解：由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；则：2018年参加选择考的总人数为：2a人；2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.28a、B：0.32a、C：0.30a、D：0.08a、E：0.02a；2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.48a、B：0.80a、C：0.56a、D：0.12a、E：0.04a；对各个选项进行比较可得B正确．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．22019﹣1B．22019﹣2C．22020﹣2D．22020﹣1【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+23+…+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+23+…+22019的值，由于S＝2+22+23+…+22019＝＝22020﹣2．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），＝sin（2x+），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+）的图象，由于g（x）为偶函数，故：2x+2φ+（k∈Z），解得：φ＝（k∈Z），当k＝0时，φ的最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A．0B．C．D．【分析】直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则：当n为偶数时，，所以：．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，偶函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|＝，则p＝（）A．B．1C．D．2【分析】联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式列式可得．【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+，将其代入抛物线C的方程得：y2﹣2pty﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2pt①，y1y2＝﹣p2②，又|AB|＝3|BF|，∴|AF|＝2|BF|，∴y1＝﹣2y2，③∴s＝|OF|×|y1﹣y2|＝××＝×＝，联立①②③可得t2＝，由弦长公式得|AB|＝x1+x2+p＝ty1++ty2++p＝t（y1+y2）+2p＝2pt2+2p＝，∴＝×，解得：p＝2．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以：d＝，故：，所以：．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣1，f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，则k的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．【解答】解：因为函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，而函数g（x）＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，所以函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1有且只有四个不同的交点，作出函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），则y′＝lnx﹣1，故lnx﹣1＝，解得x＝1，故k AC＝﹣1，设直线AB与y＝x2+x相切于点B（x，x2+x），y′＝2x+，故2x+＝，解得x＝﹣1，故k AB＝﹣2+＝﹣，所以﹣1＜﹣k＜﹣，解得＜k＜1，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．12．（5分）在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A．A＞B．B＞C．A＜D．B＜【分析】由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求tan A ＝＞0，可得A也为锐角，由tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得（tan A﹣1）（tan B﹣1）≤2，结合tan A﹣1≥2，tan B﹣1≥1，比较可知只可能tan A＝3，tan B＝2，tan C＝1，逐项分析即可得解．【解答】解：△ABC中，由于A＞B＞C，所以B，C都是锐角，由于tan B，tan C都是整数，由A+B+C＝π，得tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣＝＞0，可得A也为锐角，这时，tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得：＝tan C≥1，可得：tan A+tan B≥tan A tan B﹣1，可得：tan A﹣1+tan B（1﹣tan A）≥﹣2，可得：（tan A﹣1）（1﹣tan B）≥﹣2，可得：（tan A﹣1）（tan B﹣1）≤2，由于：tan A﹣1≥2，tan B﹣1≥1，比较可知只可能tan A＝3，tan B＝2，tan C＝1，由于：tan B，可知B＞，故B正确；由于：tan＝2+＞tan A，可知A＜，又＜，故选项C正确；又由于＞A＞B，可得选项D正确；故选：A．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝10．【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，得解．【解答】解：（2+x）5＝[1+（1+x）]5，则[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题．14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q 在C的另一条渐近线上，则C的离心率为2．【分析】如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，再根据直线PF1的方程与y＝﹣x联立得Q的坐标，根据中点公式得P的坐标，将其代入y＝x可得c2＝4a2，可得离心率．【解答】解：如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，直线PF1的方程为：y＝（x+c）与y＝﹣x联立解得Q（﹣，），根据中点公式得P（，），将其代入y＝x得：c2＝4a2，∴e2＝＝4，∴e＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题．15．（5分）中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为375台【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（10000，102），得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为P＝，设A＝{超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B＝{超过10000小时时，元件3正常}，C＝{该部件的使用寿命超过10000小时}．则P（A）＝1﹣（1﹣）2＝，P（B）＝，∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A、B同时发生的事件，∴P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝．∴这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为1000×＝375．故答案为：375．【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，是中档题．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画P AC，则λ＝③△P AC周长的最小值是2+2④若△P AC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为①②④．【分析】①根据空间中的垂直关系，即可判断A1D⊥C1P的正误；②利用正方体的特征，判断BD1⊥平面P AC时对应λ的值即可；③建立空间直角坐标系，即可求得△P AC周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出△P AC为钝角三角形时λ的取值范围．【解答】解：对于①，A1D⊥面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，∴A1D⊥C1P，①正确；对于②，若BD1⊥平面P AC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ＝，②正确；对于③，建立空间直角坐标系，如图所示，设P（x，x，2﹣x），x∈[0，2]，A（2，0，0），C（0，2，0）；|P A|＝|PB|＝＝＝≥＝，∴△P AC的周长最小值为2+2×＝2+，∴③错误；对于④，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），∴＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣λ，﹣λ，λ），＝+＝（λ，λ﹣1，﹣λ），＝+＝（λ﹣1，λ，﹣λ），显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＝cos＜，＞＝＜0，等价于•＜0，即λ（λ﹣1）+（λ﹣1）λ+（﹣λ）（﹣λ）＝λ（3λ﹣2）＜0，故0＜λ＜，④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD＝2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD＝1，求△ABC的面积【分析】（1）在△ABD中，由正弦定理可得，在△ACD中，由正弦定理可得，两式相除可得sin B＝cos B，结合范围0＜B＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求cos B，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BDA，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，可求AC＝AB tan B的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：，即：，在△ACD中，由正弦定理可得：，即，两式子相除可得：＝，即sin B＝cos B，可得：sin2B＝cos2B＝（1﹣sin2B），即sin2B＝，又0＜B＜π，可得：sin B＝．（2）由∠BAC＝90°，可得B是锐角，于是cos B＝，所以sin∠BDA＝sin（B+45°）＝sin B cos45°+cos B sin45°＝，在△ABD中，由正弦定理可得：AB＝AD•＝，于是AC＝AB tan B＝，所以S△ABC＝AB•AC＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【分析】（1）连接BD，设AE的中点为O，可证AE⊥PO，AE⊥BO，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（II）证明PO⊥OB，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（I）证明：连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB＝CE＝CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（II）解：在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO＝，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴＝（，0，﹣），＝（，，0），设平面PCE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝得＝（，﹣1，1），又OB⊥平面P AE，∴＝（0，1，0）为平面P AE的一个法向量，设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos＜＞|＝＝＝，易知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα＝﹣．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．19．（12分）已知点M（，）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，且点M到C 的左、右焦点的距离之和为2．（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围．【分析】（1）由题意可得：+＝1，2a＝2，解得a，b．即可得出椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y＝x．弦AB的中点在线段OM （不含端点O，M）上，可得＝×．由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣1＝k AB．设直线AB的方程为：y＝﹣x+m，代入椭圆方程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．△＞0．解得m2＜3．把根与系数的关系代入・＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）化简即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：+＝1，2a＝2，解得a＝，b＝1．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y＝x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴＝×，化为：x1+x2＝2（y1+y2）．由+＝1，+＝1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0．∵x1﹣x2≠0，∴+（y1+y2）＝0．∴＝﹣1＝k AB．设直线AB的方程为：y＝﹣x+m，代入椭圆方程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．△＝16m2﹣24（m2﹣1）＝8（3﹣m2）＞0．解得m2＜3．又＝∈（0，），∴．由根与系数的关系可得：x1+x2＝，x1x2＝．∴・＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＝2x1x2﹣﹣m（x1+x2）+m2＝2×﹣+m2＝m2﹣．而．∴・＝m2﹣∈．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ＝3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．【分析】（1）采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，由此能求出年龄在[47，52）内的人数为4人，P（ξ＝3）的值．（2）当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）＝3（万元），当投入2艘A 型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）＝（万元）．当投入3艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）＝2×＝6.2（万元），由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．【解答】解：（1）年龄在[42，47）内的游客人数为150，年龄在[47，52]内的游客人数为100，若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，年龄在[47，52）内的人数为4人，∴P（ξ＝3）＝＝．（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）＝3（万元），②当投入2艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3﹣0.5＝2.5，此时P（Y＝）＝P（1＜X＜3）＝，若X≥3，则Y＝3×2＝6，此时P（Y＝6）＝P（3≤X≤5）+P（X＞5）＝，此时，Y的分布列为：Y 2.56P此时E（Y）＝（万元）．③当投入3艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3﹣1＝2，此时P（Y＝2）＝P（1＜K＜3）＝，若3≤X≤5，则Y＝3×2﹣0.5＝5.5，此时P（Y＝5.5）＝P（3≤X≤5）＝，若X＞5，则Y＝3×3＝9，此时P（Y＝9）＝P（X＞5）＝，此时，Y的分布列如下表：Y2 5.59P此时，E（Y）＝2×＝6.2（万元）．由于6.2＞5.3＞3，则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数（2）若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，且f（﹣2）＞e﹣2，证明：f（x0）≤1．【分析】（1）对f（x）求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出f（x）的增减性与极值点的个数；（2）根据题目条件和第（1）问，确定a的范围，得到f（x0）的表达式，再利用换元法令t＝ln（﹣a），求出函数g（t）的最大值，从而得证f（x0）≤1．【解答】（1）解：f（x）的定义域为R，f′（x）＝（x+2）（e x+a）；若a≥0，则e x+a＞0；∴当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴x＝﹣2是f（x）唯一的极小值点，无极大值点，故此时f（x）有1个极值点；若a＜0，令f′（x）＝（x+2）（e x+a）＝0，则x1＝﹣2，x2＝ln（﹣a）；当a＜﹣e﹣2时，x1＜x2，可知当x∈（﹣∞，x1）∪（x2．+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0；∴x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，故此时f（x）有2个极值点；当a＝﹣e﹣2时，x1＝x2，f′（x）≥0，此时f（x）在R上单调递增，无极值点；当﹣e﹣2＜a＜0时，x1＞x2，同理可知，f（x）有2个极值点；综上，当a＝﹣e﹣2时，f（x）无极值点；当a≥0时，f（x）有1个极值点；当a＜﹣e﹣2或﹣e﹣2＜a＜0时，f（x）有2个极值点．（2）证明：若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，由（1）知a∈（﹣∞，﹣e﹣2）∪（﹣e﹣2，0）；又f（﹣2）＝﹣e﹣2﹣2a＞e﹣2；∴a∈（﹣∞，﹣e﹣2）；则x0＝ln（﹣a）；∴；令t＝ln（﹣a）∈（﹣2，+∞），则a＝﹣e t；∴；∴；又∵t∈（﹣2，+∞）；∴t+4＞0；令g′（t）＝0，得t＝0；当t∈（﹣2，0）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t∈（0，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；∴t＝0是g（t）唯一得极大值点，也是最大值点，即g（t）≤g（0）＝1；∴f[ln（﹣a）]≤1，即f（x0）≤1．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【分析】（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据参数t的几何意义可得．【解答】解：（1）由消去参数α，得+＝1，即曲线C的普通方程为：+＝1，由ρsin（θ﹣）＝，得ρsinθ﹣ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（2）由（1）知，点P（﹣1，0）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入+＝1并化简得2t2﹣﹣8＝0，△＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，得t1+t2＝，t1t2＝﹣1，所以|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝，所以|P A|+|PB|＝．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．。