重庆市2018届高三上学期期末理科数学考试(一诊含答案)

2018届高三上学期理数期末考试试卷一、单选题1. 已知集合，集合，则（）A .B .C .D .2. 已知，其中i为虚数单位，则（）A .B . 1C . 2D .3. AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A . 这12天中有6天空气质量为“优良”B . 这12天中空气质量最好的是4月9日C . 这12天的AQI指数值的中位数是90D . 从4日到9日，空气质量越来越好4. 已知是等比数列的前项和，成等差数列，若，则为（）A . 3B . 6C . 8D . 95. 已知的展开式中，含项的系数为10，则实数的值为（）A . 1B . -1C . 2D . -26. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A . 再向左平行移动个单位长度B . 再向右平行移动个单位长度C . 再向右平行移动个单位长度D . 再向左平行移动个单位长度7. 函数的图象大致为（）A .B .C .D .8. 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是（）A .B .C . 0D .9. 已知一个球的表面上有A、B、C三点，且，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A .B .C .D .10. 已知向量，则向量在向量上的投影是（）A . 2B . 1C . -1D . -211. 已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，点P在双曲线上，且则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. 已知函数的定义域为，且，若方程有两个不同实根，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是________ ．14. 在中，则角C的大小为________ ．15. 设F是抛物线C1：的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为________．16. 已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.三、解答题17. 已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，求．18. 的内角A、B、C所对的边分别为，且（1）求角C；（2）求的最大值．19. 如图，四边形与均为菱形，，且 .（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为15.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过65公斤的学生人数，求的分布列及数学期望.21. 已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若，是椭圆上两个不同的动点，且使的角平分线垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．22. 已知函数．（1）若函数在区间上为增函数,求的取值范围；（2）当且时,不等式在上恒成立,求的最大值．。

2018届上学期期末联考高三理科 数学试卷【完卷时间：120分钟；满分150分】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填涂在答题卷相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1．若{}m A ,1,0=，02B x x {|}=<<，且{}m B A ,1=⋂，则m 的取值范围是( ) A ．01(,) B ．12(,) C ．0112(,)(,) D ．02(,)2. 复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知| ||1,||2,,a b c a b ===+且,c a ⊥ 则向量a 与b 的夹角θ等于( )A ．030B ．060C ．0120D ．01504.如图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示，（单位：cm ），则这个几何体的体积是（ ）A ．)3610(+πcm 3B ．)3511(+πcm 3C ．)3612(+πcm 3D ．)3413(+πcm 35.程序框图如图：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入 （ ）A ．K<10？B ．K ≤10？C ．K<11？D ．K ≤11？ 6. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k 的值为( )A.4B.11C.2D. 127．函数331x x y =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．8．在平面直角坐标系中，不等式组)(,,04,0为常数a a x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为（ ）A ．223+B ．—223+C ．—5D ．1 9．若函数()cos(2)6f x x π=-，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个长度单位 B.向右平移3π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移3π个长度单位10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与该双曲线相交于A 、B 两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e 是（ ） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在11. 若关于x 的方程x ax x =-23有不同的四解，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＞2D ．a ＜212.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意的实数,x y R ∈，都有()()()y x f y f x f +=若112a =，()n a f n =,n N *∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

秘密★启用前 【考试时间：10月27日15:00～17:00】2018年重庆一中高2018级高三上期半期考试数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页。

满分150分。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本题 12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集=U R ，集合{}{}23,1或=≤-≥=≥A x x x B x x ，则()=U C A B （ ）A.{}13≤<x xB.{}23≤<x xC.{}3>x x D.∅ 2.各项均为正数的等比数列{}n a 中，244=a a ，则153+a a a 的值为（ ） A.5 B.3 C.6 D.8 3.函数()3=+-x f x e x 在区间()0,1内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 4.已知1cos()63πα+=，则cos(2)3πα+的值为（ ）A. B.79C.79-D 5.已知11232755,,log 577-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a6.函数()1lnf x xx=+的图象大致是（）A B C D7.已知平面向量a，b夹角为3π，且1a=，12b=，则2a b+与b的夹角是（）A．6πB．56πC．4πD．34π8.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。

巴蜀中学2018届高考适应性月考卷（六）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则的共轭复数对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】本题首先可以对复数进行化简，得到，然后根据共轭复数的相关性质得出以及对应的点坐标，最后得出结果。

【详解】由题意可得：，则，据此可得对应的点为，在第四象限，故选D。

【点睛】本题考查了复数的相关性质，主要考查复数的运算法则以及共轭复数的相关性质，考查运算能力，是简单题。

2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求解一元二次方程可得：，求解指数不等式可得：，结合交集的定义可得：.本题选择C选项.3.在双曲线中，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足=，则A. 108B. 112C. 116D. 120【答案】C【解析】由双曲线的定义可得：，结合题意有：，两式平方相加可得：116 .本题选择C选项.4.由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有（）个A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】千位数字为3时满足题意的数字个数为：，千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为，综上可得：2018大的有6+5=11个.本题选择B选项.5.已知正实数，满足（），则下列一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用排除法：由指数函数的单调性可得：，由反比例函数的单调性可得：，选项A错误；，选项B错误；当时，，选项C错误；本题选择D选项.6.执行如图所示的程序框图，若输入的为，为，输出的数为3，则有可能为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】结合流程图，若输出的数字为，则经过循环结构之后的，由于，结合循环结构的特点可得：输入的数字除以5的余数为2，结合选项可得：有可能为12.本题选择B选项.7.设实数，满足则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数边上坐标原点与可行域内点距离的平方，据此可得，目标函数在点处取得最小值：.本题选择C选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．8.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，，据此可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择C选项.9.若的内角满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合正弦定理有：，结合余弦定理可得：当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是.本题选择B选项.10.已知平面上有3个点，，，在处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在点的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于可知，所有可能的放置方法为：共有种可能的放置方法，其中满足题意的方法有种，由古典概型计算公式可得：小球仍在点的概率为.本题选择D选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.11.已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线，满足的斜率为，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】结合函数的解析式有：，当且仅当时等号成立，据此可得：恒成立，即：，整理可得：，求解分式不等式可得的取值范围为.本题选择A选项.12.已知抛物线：的焦点为，，两点在抛物线上，且，过点，分别引抛物线的切线，，，相交于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由焦点弦的性质有：，结合可得：，设两点的坐标为：，结合有直线方程：，联立直线方程可得交点坐标为，则，结合焦点弦的性质可知：直线的斜率：，即，结合射影定理有：，据此可得：.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.，，，则__________．【答案】【解析】由题意可得：.14.在的展开式中的系数为__________．【答案】【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式有：，满足题意时：，其系数为：.15.已知函数，则函数在时的最大值为__________．【答案】【解析】由题意结合三角函数的性质有：，，据此可得，当时，函数取得最大值：.16.已知数列中，，，则__________．【答案】【解析】由递推关系可得：，则：，即列的通项公式为：，则：.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是公差不为0的等差数列，，．（1）求的通项公式及的前项和的通项公式；（2），求数列的通项公式，并判断与的大小．【答案】(1)，．(2),.【解析】试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式可得关于公差的方程，解方程有，则数列的通项公式为，前n项和．(2)结合(1)的结论有，据此裂项求和可得，据此有．试题解析：（1）设，公差为，则，解得，所以，．（2），从而，故．18.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，若的面积为．（1）求证：，，成等比数列；（2）求的最大值，并给出取得最大值时的条件．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合面积公式有：，则，角化边可得，故，，成等比数列．(2)由题意结合余弦定理和(1)的结论有：，则，由均值不等式的结论可得当为等边三角形时等号成立．试题解析：（1）证明：，即，由正弦定理可得，故，，成等比数列．（2）解：依题意得，又为的一个内角，从而，当且仅当为等边三角形时等号成立．19.赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响．由罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队（以下简称“皇马”）将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队（以下简称“巴黎”），激烈对决，一触即发．比赛分上，下两个半场进行，现在有加泰罗尼亚每题测皇马，巴黎的每半场进球数及概率如表：（1）按照预测，求巴黎在比赛中至少进两球的概率；（2）按照预测，若设为皇马总进球数，为巴黎总进球数，求和的分布列，并判断和的大小．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1) 设为巴黎总进球数，由题意可得．(2)由题意首先求得A,H的分布列，然后结合分布列计算数学期望可得．试题解析：（1）设为巴黎总进球数，则．（2）和的分布列如下：则．20.已知椭圆：的右焦点为，设过的直线的斜率存在且不为0，直线交椭圆于，两点，若中点为，为原点，直线交于点．（1）求证：；（2）求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)设直线的斜率为（），联立直线方程与椭圆方程可得．结合韦达定理可得线段中点的坐标为．据此计算可得直线的斜率为，则.(2)考查．换元令，则．结合二次函数的性质可得时，取最大值3，此时取最大值．试题解析：（1）证明：设直线的斜率为（），则直线的方程为，联立方程组消去可得．设，，则于是有，所以线段中点的坐标为．又直线的斜率，因此直线的方程为，它与直线的交点，故直线的斜率为，于是．因此.（2）解：记．令，则．因为，所以．故当时，即时，取最大值3．从而当时，取最大值．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.设函数，其中，，为常数．（1）若，，试讨论函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，且，证明：，并求的最小值（用，的代数式表示）．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)函数的定义域为，求导可得．据此分类讨论：若，，在上单调递增；若，，在上单调递减；若，，在上单调递减，在上单调递增；若，，在上单调递增，在上单调递减；(2)函数在上单调递增，则对任意实数均成立，取实数，，有，据此讨论可得．证明问题来说明c的最小值为：构造函数，，可证明，则恒成立，据此可得成立．试题解析：（1）解：依题意得的定义域为，当时，．若，，则，从而在上单调递增；若，，则，从而在上单调递减；若，，令，得，列表如下：若，，令得，列表如下：（2）证明：函数在上单调递增，则对任意实数均成立，取实数，，则两式相加得：，令，则，从而．又由，当时，，若，则不恒成立，又，从而，从而．下证．记，，，由于，在点处的切线方程为：．接下来，我们证明，构造函数，．当时，，单调递减；当时，，单调递增；从而，故成立．考虑到直线与直线斜率相等，即它们平行，又由于恒成立，从而恒成立，即，即．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线：（为参数，其中为直线的倾斜角）与曲线：（为参数）相交于不同的两点，．（1）当时，求直线与曲线的普通方程；（2）若，其中，求直线的斜率．【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的普通方程为．(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合参数方程可得直线的普通方程为，曲线的普通方程为．(2) 联立直线的参数方程与椭圆方程可得，结合参数的几何意义可得，则直线的斜率．试题解析：（1）当时，直线的普通方程为，曲线的普通方程为．（2）把代入，得，，得，∴，∴斜率．23.已知函数，若的解集为．（1）求解集；（2）已知非零实数，，满足，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集；(2)由题意结合柯西不等式有，当且仅当时取等号．则题中的不等式得证.试题解析：（1）解：，即或或即或或，即解集．（2）证明：∵，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，即时取等号．。

重庆市铜梁一中高2018级2017年9月高三月考考试数学（理）试卷第I卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A. （0，+∞）B. （﹣∞，1）C. （﹣∞，2）D. （0，1）【答案】C【解析】∁U B=（-，1），A∪（∁U B）=A=（0，2） A∪（∁U B）=（﹣∞，2）故选C.2. 已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A. {1}B. {4}C. {1，3}D. {1，4}【答案】D【解析】B={1,4,7,10}A∩B={1,4}故选D.3. 在△ABC中，“＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】考点：数量积表示两个向量的夹角．分析：以A为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零．解答：解：∵以A为起点的两个向量数量积大于零，∴夹角A是锐角，但不能说明其他角的情况，∴在△ABC中，“”不能推出“△ABC为锐角三角形”，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴前者是后者的必要不充分条件，故选B点评：两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．4. 下列说法错误的是（）A. 命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B. “x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C. 若p且q为假命题，则p、q均为假命题D. 命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”【答案】C【解析】试题分析：A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”对，逆否命题知识将原命题条件与结论交换并加以否定；B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，对，由x＞1可得|x|＞1，但由|x|＞1得到的是x＞1或x<－1;C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题，不对，因为，p且q为假命题时，p,q有一为假命题，其即为假命题；D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”对，因为存在性命题的否定是全称命题。

2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。

重庆市南开中学2018—2018学年度第一学期高三年级月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=-==-==B A x y y B x y x A 则},1|{},1|{（ ）A ．RB ．（1，+∞）C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．091022=+++x y xB ．091022=+-+x y xC ．091022=--+x y xD ．091022=-++x y x4．若第一象限内的A （x ，y ）在直线2x+3y=6上，则x y 3223log log -有（ ）A ．最大值23B ．最大值1C ．最小值23 D ．最小值15．已知命题p ，q ，r 满足“p 或q ”真，“┐p 或r ”真，则（ ） A ．“q 或r ”假 B ．“q 或r ”真 C ．“q 或r ”假 D ．“q 且r ”真 6．)7625tan(ππ+的值是（ ）A ．76tanπ B ．－76tanπ C ．76cotπ D ．76cotπ-7．在==∆ABC 则若中,21,（ ）A ．2+B ．+2C ．AC AB 3132+ D ．AC AB 3231+ 8．如果数列}{n a 满足：首项⎩⎨⎧+==+,,2,,2,111为偶数为奇数n a n a a a nn n 那么下列说法中正确的是（ ）A ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 成等比数列，偶数项 ,,,642a a a 成等差数列B ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 成等差数列，偶数项 ,,,642a a a 成等比数列C ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 分别加4后构成一个公比为2的等比数列D ．该数列的偶数项 ,,,642a a a 分别加4后构成一个公比为2的等比数列9．已知椭圆12422=+y x 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，对以下结论：①2ABF ∆的周长为8；②38||=AB ；③椭圆上不存在相异两点关于直线l 对称；其中正确的结论有（ ）个A ．3B ．2C ．1D ．010．定义在[0，1]上的函数)(x f 满足)(21)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=，且当=≤≤<≤)20081(),()(,102121f x f x f x x 则时 （ ）A ．21B ．161 C ．321D ．641第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．︒⋅︒15cos 165sin12．函数)32lg(2+-=x x y 的单调递增区间为 13．不等式11log 2≥-xx 的解集为 14．设函数)(),1()1()(,)0(,1)0(,0)0(,1)(2x g y x f x x g x x x x f =--=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=且若的反函数为=-==--)4(),(11g y x g y 则 .15．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥--10201x y x ay x ，目标函数⎩⎨⎧==+=01,3y x y x z 当时z 取最大值，则a 的取值范围是16．已知数列=-++-+-+-+-==∞→-n n n n n S aa a a a a a a a a S a lim ,11111,2121216884422则 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（13分）平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==（1）求|223|-+（2）若)2//()(k -+，求实数k 的值18．（13分）已知函数]2,6[,cos 2)62sin()62sin()(2ππππ-∈--++=x x x x x f （1）化简函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的最大值及相应的自变量x 的取值.19．（13分）如图，为学校现有的一三角形空地，∠A=60°，|AB|=2，|AC|=p ，（单位：米）.现要在空地上种植吊兰，为了美观，其间用一条形石料DE 将空地隔成面积相等的两部分（D 在AB 上，E 在AC 上）（1）设|AD|=x ，|AE|=y ，求用x 表示y 的函数关系式； （2）指出如何选取D 、E 的位置可以使所用石料最省.20．（13分）已知)(,,x f R b R a ∈∈为奇函数，且.424)2(ba a x f xx +-+⋅= （1）求)(x f 的反函数)(1x f -及其定义域；（2）设)()(],32,21[,1log )(12x g x f x k x x g ≤∈+=-若恒成立，求实数k 的取值范围.21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点Q （－1，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x =－4于点E ，点Q 分所成比为λ，点E 分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.22．（12分）已知c c x x f ()(2+=为实常数），且)1()]([2+=x f x f f ，其图象和y 轴交于A 点；数列}{n a 为公差为)0(>d d 的等差数列，且d a =1；点列),,2,1))((,(n i a f a B i i i =（1）求函数)(x f 的表达式；（2）设i p 为直线i AB 的斜率，1+i i i B B q 为直线的斜率，求证数n n n p q b -=仍为等差数列；（3）已知m 为一给定自然数，常数a 满足dd m m a m m 2121)21()1(++<<+，求证数列n b n n a b c 2=有唯一的最大项.重庆市南开中学2018—2018学年度第一学期高三年级月考数学试题（理科）参考答案一、选择题： DCBBB DCDAC 二、填空题 11．4112．),1(+∞ 13．)0,1[- 14．－1 15．),0(+∞ 16．1 三、解答题：17．解（1）)8,1()2,8()4,2()6,9(223-=--+=-+ 65|223|=-+∴c b a（2）)2,34(),4()2,3(++=+=+k k k k k )2,7(2=- 且)2//()(k -+ 80)2(7)34(2=⇒=+-+∴k k k 18．解（1）12cos 2cos 212sin 232cos 212sin 23)(---++=x x x x x x f 1)62sin(212cos 2sin 3--=--πx x x（2）]1,1[)62sin(]65,2[62]2,6[-∈-∴-∈-∴-∈ππππππx x x则当)(3262x f x x 时即πππ==-有最大值119．解（1）由题意xpy p y x =⇒︒⨯⨯⨯=︒⨯⨯⨯60sin 2212160sin 21由)21(,,1≤≤=≤⇒≤x xpy x p y 所以（2）p xp x x p x x p x DE -+=︒-+=222222260cos 2||令2222221)(,||],4,1[,xp t p t p t p t DE t t x -='+-+=∈=由知， tp t 2+在（0，p ）单减，),(+∞p 单增当2,24,44||,42p y x t p p DE p ===+-≥≤即此时时 故D 点与B 点重合，E 为AC 中点； 当p y p x p t p DE p ===≥<≤,,,||,412即此时时，故D ，E 两点均在距离A 点p 米处当10<<p 时，p y x t p p DE ===+-≥,1,11||22即此时 故D 点为AB 中点，E 点与C 点重合20．解：（1）由.222)(,424)2(ba a x fb a a x f xx x x +-+⋅=+-+⋅=得 )(x f 是R 上的奇函数，.1,0122)0(==+-=∴a ba f 得 又)1()1(f f =- 1=∴b .11log )(,1212)(21x xx f x f xx -+=+-=∴-得 由此得.11,0112<<-∴>-+=y yyx故反函数)(1x f - 揎义域为（－1，1）（2）当)()(,]32,21[1x g x fx ≤∈-时恒成立，222)1(11,1log 11log k x x x k x x x +≤-++≤-+∴即由2221)(,1,0,01,01],32,21[,01x x h x k k x x x k x -=-≤∴>>->+∴∈>+令且 则.350,95,95)32()(2min ≤<≤∴==k k h x h 故 21．解（1）由条件得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==122122b a ab a b ，所以方程1422=+y x （2）易知直线l 斜率存在，令),4(),,(),,(),1(:02211y E y x B y x A x k y l -+=由016480448)41(14)1(2222222>+=∆=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k k x k x k y x x k y222122214144,418kk x x k k x x +-=+-=+ 由⎩⎨⎧-=+=+-+=---⇒=21212211)1)(1()1(),1(),1(y y x x y x y x λλλλ即由⎩⎨⎧-=-+=+--+=---⇒=)()2)(4()4(),4(),4(021011022101y y y y x x y y x y y x EB AE μμμμ即由（1）44)2(,112121++-=++-=x x x x μλ由 )4)(1(8)(52)4)(1()1)(4()4)(1(222121222121+++++-=+++++++-=+∴x x x x x x x x x x x x μλ 将222122214144,418kk x x k k x x +-=+-=+代入有 0)4)(1(413284088)4)(1(841404188222222222222=+++++---=++++-+--=+∴x x k k k k x x k k k k μλ22．解：（1）c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([1)(1)()1()1(222222+=∴=∴++=++=+x x f c cc x c x x f（2）易得A 点为（0，1）d i d a a a a a f a f q id a a a a a f p i i i i i i i i i i i i i )12()()(,1)(221112+=-=--====-=∴+++d b b d n p q b n n n n n =-+=-=∴-1,)1( }{n b ∴也为等差数列（3）当)(,N k k m n m n ∈+=≥设时121122112************=++⋅++≤++⋅++++=++⋅++<++==+++m m m m m m k m k m m m n n a n n ab a bc cd b n b n n n nnn c ∴从第m 项开始递减当m n <时，设)1,(≥∈-=k N k k m n==+++nn b n b n n n ab a bc c 2211111)1(1)1(2112112122=+⋅-++--++-≥+⋅+-+-=+⋅++>++m mk k m k k m m m k m k m m m n n a n n d n c ∴从1到m 项递增， n c ∴有唯一最大项m c。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

重庆市万州区2018届高三第一次诊断性考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷上.2．第I 卷每小题选出答案后，用笔填写在答题卷上“第I 卷答题栏”对应题目的答案栏内.不能答在试题纸上.3．第II 卷各题一定要做在答题卷限定的区域内.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置上.1. 将函数2y x =的图象按向量a 平移后，得到()212y x =+-的图象，则A.()1,2a =B. ()1,2a =-C. ()1,2a =-D. ()1,2a =--2. 若{}n a 为各项均为正数的等比数列，且259a a =，则313236log log log a a a +++的值为A. 3B. 6C. 9D. 123. 条件p ：|x |>1，条件q ：x <-2，则⌝p 是⌝q 的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题①若m //n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α,m ⊥β，则α//β；③若m ⊥α，m //n ，n ⊂ β，则α⊥β； ④若m //α，α⋂β=n ，则m //n .其中正确命题的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 已知直线x +y ＝a 与圆x 2+y 2＝4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足|OA →+OB →|=|OA →-OB →|，则实数a 的值是A. 2B. -2C. 6或- 6D. 2或-26. 5名奥运火炬手分别到香港，澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火炬手，则不同的分派方法共有A. 150种B. 180种C. 200种D. 280种7. 已知函数3()1ax f x x +=-的反函数为1()f x -，若函数()y g x =的图象与函数1(1)y f x -=+的图象关于直线y x =对称，且7(3)2g =，则实数a 的值为 A. 12 B. 1 C. 2 D. －1 8. 椭圆x 24 + y 23 = 1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，F 是右焦点，|P 1F|，|P 2F|，…，|P n F|组成公差d >1100的等差数列，则n 的最大值是A. 199B. 200C. 99D. 1009. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[)2+，∞B ．10,2⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦C ．)+D ． (]02，10. 设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m ).已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b ≡a (mod 10),则b 的值可以是A.2015B.2018C.2018D.2018第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案填在答题卷的相应位置上.11. cos sin cos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝______________.12. 如果(n x 的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是_____________.13. 已知变量x 、y 满足条件6200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax y =+ (其中a >0)，仅在(4，2)处取得最大值，则a 的取值范围是___________．14. 从0、1、2、3、4、5这6个数字中任取两个数，可以组成二位数，则其中不含0的二位数的概率是______________.15.抛物线x 2＝4y 的准线l 与y 轴交于P 点，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转，则经过_______秒，l 恰好与抛物线第一次相切.16.给出下列四个命题：①当x >0且x ≠1时，有ln x ＋1ln x ≥2； ②函数f (x )＝lg(ax +1)的定义域为{x |x > -1a }；③函数f (x )＝e -x x 2在x ＝2上取得极大值；④x 2+y 2-10x +4y -5＝0上的任意点M 关于直线ax -y -5a -2＝0对称点M /也在该圆上.所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共76分）把解答题答在答题卷限定的区域内.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分13分）已知集合A ＝{x ||x -1|≥m }，B ＝{x |10x +6≥1}． （Ⅰ）若m ＝3，求A ⋂B ；（Ⅱ）若A ⋃B ＝R ，求实数m 的取值范围．18. (本题满分13分)已知函数f (x )=sin2x -cos2x +12sin x . （Ⅰ）求f (x )的定义域、值域；（Ⅱ）设α为锐角，且tan α2 = 12，求f (α)的值.19. (本题满分13分) 已知f (x )=1x 2-4(x <-2)，f (x )的反函数为g (x )，点A(a n ,-1a n +1)在曲线y =g (x ) (n ∈N*)上，且a 1＝1.（Ⅰ）求y ＝g (x )的表达式；（Ⅱ）证明数列{1a n 2}为等差数列；20.(本题满分13分)一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q ，若第k 次出现“○”，则记a k = 1；出现“×”，则记a k ＝-1，令S n ＝a 1+a 2+…+a n（Ⅰ）当p =q =12时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）当p = 13，q = 23时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.21. (本题满分12分)已知f (x )=x 3+bx 2+cx +d 是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点，若B 点坐标为 (2,0)，且f (x )在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；并探讨在函数f (x )的图象上是否存在一点M(x 0,y 0)，使得f (x )在点M 的切线的斜率为3b ？若存在，求出M 点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求|AC|的取值范围.22. (本题满分12分)F 1、F 2分别是双曲线x 2-y 2＝1的两个焦点，O 为坐标原点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx +b(b >0)与圆O 相切，并与双曲线相交于A 、B 两点.（Ⅰ）根据条件求出b 和k 满足的关系式； （Ⅱ）向量||AB AB 在向量12F F 方向的投影是p ，当(OA →⋅OB →)p 2＝1时，求直线l 的方程； （Ⅲ）当(OA →⋅OB →)p 2=m 且满足2≤m ≤4时，求∆AOB 面积的取值范围.重庆市万州区2018届高三第一次诊断性考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1～5 D B A D D 6～10 A C B C B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. ； 12.510C x 13. 1>a ； 14. 45； 15. 3秒； 16. ③④ 三、解答题（本大题共6小题，共76分）17.（本题满分13分）解：（Ⅰ）m ＝3时，A ＝{x |x ≤−2或x ≥4}， …………………………2分B ＝{x |10x +6≥1}＝{x |x -4x +6≤0}＝{x |-6<x ≤4} …………………………4分 ∴A ⋂B ＝{x |x ≤−2或x ≥4}⋂{x |−6<x ≤4}＝{x |−6<x ≤-2或x ＝4}． ……6分（Ⅱ）∵A ＝{x ||x -1|≥m }，①m ≤0时，A ＝R ，A ⋃B ＝R ，满足条件．…………………………8分②m >0时，A ＝{x |x ≤1−m 或x ≥1+m }， 由A ⋃B ＝R ，B ＝{x |−6<x ≤4}，∴⎩⎨⎧1-m ≥-61+m ≤4m >0解得0<m ≤3． ………12分 ∴综上，实数m 的取值范围为m ≤3． ………………………13分18. (本题满分13分)解：（Ⅰ）由2sin x ≠0，得x ≠k π (k ∈Z)，所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π,k ∈Z} …………………………………3分f (x )= sin2x -cos2x +12sin x = 2sin x cos x -(1-2sin 2x )+12sin x= 2sin x cos x +2sin 2x 2sin x =sin x +cos x =2sin(x +π4) …………………………………6分 ∵x ≠k π,k ∈Z ，∴x +π4≠k π+π4∴函数的值域是[-2,2] …………………………………8分（Ⅱ）解：因为α是锐角，且tan α2 = 12， 所以tan α= 2tan α21-tan 2α2= 43从而sin α= 45，cos α= 35 ，故f (α)=sin α+cos α= 75. …………………………………13分19. (本题满分13分)解：（Ⅰ）由y = 1x 2-4得x 2-4= 1y 2，∴x 2=4+1y 2 = 1+4y 2y 2 ∵x <-2，∴x = - 1+4y 2|y |，∴g(x )= - 1+4x 2x (x >0) …………………………………6分（Ⅱ）∵点A(a n , -1a n +1)在曲线y =g (x )上(n ∈N *)， ∴-1a n +1 = g (a n )= -1+4a n 2a n，并且a n >0 ∴1a n +12 - 1a n 2= 4 (n ≥1，n ∈N) ∴数列{1a n2}为等差数列 …………………………………13分20.(本题满分13分)解：（Ⅰ）∵ξ=|S 3|的取值为1，3，又p =q = 12∴P(ξ=1)= C 13 (12)⋅(12)2⋅2=34， P(ξ=3)= (12)3+(12)3= 14 ……………5分∴ξ的分布列为∴E ξ=1×34+3×14 = 32 …………………………7分（Ⅱ）当S 8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i ≥0 (i =1,2,3,4)若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.故此时的概率为P=(C 36+C 35)⋅(13)5⋅(23)3= 30⨯838 = 802187……………………13分21. (本题满分12分)解：（Ⅰ）因为f (x )在[-1,0] 和[0,2]上有相反的单调性，所以x =0是f (x )的一个极值点，故f /(0)=0， 即3x 2+2bx +c =0有一个解为x =0，∴c =0 …………………………2分……………………6分因为f (x )交x 轴于B(2,0) ，∴8+4b +d =0，即d = -4(b +2)令f /(x )=0得3x 2+2bx =0，∴x 1=0，x 2= 23b -因为f (x )在[-1,0]和[4,5]上有相反的单调性 243223b b ⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪-≥⎪⎩ ∴-6≤ b ≤-3 …………………………………………5分 假设存在点M(x 0,y 0)使得f (x )在点M 的切线的斜率为3b ，则f /(x 0)=3b ，即3x 18+2bx 0-3b =0，∵∆=(2b )2-4⨯3⨯(-3b )=4ab (b a+9) ，-6≤ b ≤-3 ∴∆<0 故不存在点M(x 0,y 0)满足(2)中的条件 ……………………………………8分（Ⅱ）设f (x )＝(x -α)(x -2)(x -β)＝[x 3-(2+α+β)x 2+(2α+2β+αβ)x -2αβ]则b = -(2+α+β)，∴α+β= -b -2d = -2αβ，αβ= 2d - |AC|=|α-β|(α+β)2-4αβ==…………10分 ∵-6≤b ≤-3，∴当b = -6时，|AC|max =43，当b = -3时，|AC|min =3∴3≤|AC|≤43………………………………………12分22. (本题满分12分)解：（Ⅰ）b 和k 满足的关系式为b 2=2(k 2+1) (k ≠±1,b >0)…………………………………3分（Ⅱ）设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)，则由221y kx b x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得(k 2-1)x 2+2kbx +b 2+1=0，其中k 2≠1 …………………………………4分∴OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2= (1+k 2)(2k 2+3)k 2-1 + 4k 2(k 2+1)1-k 2 + 2(k 2+1) 由于向量12||AB F F AB 在方向上的投影是p ∴p 2=cos 2<AB →,12F F >= 11+k 2 …………………………………6分∴(OA →⋅OB →)⋅p 2= 2k 2+3k 2-1 + 4k 21-k 2+2=1⇒k =± 2∵b 2= 2(k 2+1) (k ≠±1,b >0)， 故b = 6 ，经检验适合∆＞0 ∴直线l 的方程为y =±2x + 6 …………………………………8分（Ⅲ）类似于（Ⅱ）可得2k 2+3k 2-1 + 4k 21-k 2+2=m ∴k 2=1+ 1m ， b 2=4+ 2m根据弦长公式得||AB ==………………10分 则S ∆AOB = 12|AB|⋅2=16(m +38)2 - 14 而m ∈[2,4]，∴∆AOB 的面积的取值范围是[310 ,334] ………………………12分。

绝密★启用前2017届某某市高三上学期第一次诊断模拟〔期末〕理数试卷〔带解析〕考试X围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分须知事项：1．答题前填写好自己的某某、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷〔选择题〕请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．〔是实数〕，其中是虚数单位，如此〔〕A. -2B. -1C. 1D. 32．某品种的幼苗每株成活率为，如此栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为〔〕A. B. C. D.3．集合如此〔〕A. B. C. D.4．命题甲的数学成绩不低于100分，命题乙的数学成绩低于100分，如此表示〔〕A. 甲、乙两人数学成绩都低于100分B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分100分5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为〔〕A. 4B. 8C. 12D. 166．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，如此北乡遣〔〕A. 104人B. 108人C. 112人D. 120人7．执行如下列图的程序框图，假如分别输入1，2，3，如此输出的值的集合为〔〕A. B. C. D.8．设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，如此的值为〔〕A. B. C. D. 29．函数的图象大致是〔〕C. D.10．的外接圆半径为2，为该圆上的一点，且，如此的面积的最大值为〔〕A. 3B. 4C.D.11．设定义在上的函数的导函数，且满足，假如，如此〔〕A. B. C. D. 与的大小不能确定12．设且，3 5 6 7 8 9 14 27假如上表中的对数值恰有两个是错误的，如此的值为〔〕A. B. C. D.第II卷〔非选择题〕请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．二项式的展开式中常数项为__________．〔用数字做答〕14．，如此__________．15．数列的前项和为，且满足：，假如不等式恒成立，如此实数的取值X围是__________．16．双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，如此双曲线的离心率为__________．评卷人得分三、解答题17．向量，，函数．〔1〕求的单调递增区间；〔2〕假如且，求．18．心理学家分析发现“喜欢空间想象〞与“性别〞有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学〔男生30人、女生20人〕，给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进展解答，选题情况统计如下表：〔单位：人〕立体几何题代数题总计男同学22 8 30女同学8 12 20总计30 20 50〔1〕能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象〞与“性别〞有关？〔2〕经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进展研究，记抽取的两人中答对的人数为，求的分布列与数学期望．附表与公式：19．数列满足：，假如．〔1〕求证：数列是等比数列；〔2〕假如数列的前项和为，求．20．过椭圆的右焦点作轴的垂线，与椭圆在第一象限内交于点，过作直线的垂线，垂足为，．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设为圆上任意一点，过点作椭圆的两条切线，设分别交圆于点，证明：为圆的直径．21．函数有两个不同的零点．〔1〕求的最值；〔2〕证明：22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线〔为参数〕，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．〔1〕写出曲线的直角坐标方程；〔2〕点，直线与曲线相交于点，求的值．23．选修4-5：不等式选讲〔1〕假如，解不等式；〔2〕假如的最小值为3，求的最小值．参考答案1．A【解析】解析：由题设可得，如此，故，应选答案A。

重庆市九校联考2018年高三上期数学试题（理科）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题只有一项符合要求．） 1．设复数z 满足(1)62z i i ⋅+=-,则复数z 的共轭复数是（ ）. A ．24i - B. 24i + C ．44i + D.44i - 2.已知0tan cos <⋅θθ，那么角θ是（ ）A ．第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D.第一或第四象限角3.已知： b 为单位向量，63a =，且9a b =-，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．030 B. 060 C ．0120 D. 0150 4.0,a b <<下列不等式中正确的是（ ） A ．22b a < B.11a b < C ．1ba>D.<5.下列命题中，真命题是（ ）A ．00,0x x R e∃∈≤B. 1,1a b >>是1ab >的充要条件 C ．{}{}24010(2,1)x x x x ->-<=-D. 命题2,2xx R x ∀∈> 的否定是真命题。

6.已知变量,x y 满足约束条件22220,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则5z x y =+的最小值为（ ）A ．1 B. 2 C ．4 D. 107.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A. ①13y x =②2y x =③12y x =④1y x -=B. ①3y x =②2y x =③12y x =④1y x -=C. ①2y x =②3y x =③12y x =④1y x -=D. ①13y x =②12y x =③2y x =④1y x -=8.已知直线01)2(:,02)2(:21=-+-=--+ay x a l y a x l ，则“1-=a ”是“21l l ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件9.设双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>> 的右焦点为F ，右准线 l 与两条渐近线交于,P Q两点，如果PQF ∆是等边三角形，则双曲线的离心率e 的值为（ ）A ．12 B. 32C ．2 D. 3 10.规定记号“”表示一种运算，即：222a b a ab b =+-，设函数()2f x x =。

重庆一中2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，2）3．设有算法如图所示，如果输入A=144，B=39，则输出的结果是( )A．144 B．3 C．0 D．124．下列错误的是( )A．若P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B．若p∨q为真，则p∧q为真C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=15．在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，则的值为( ) A．B．C．D．6．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣7．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）8．数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，10），则满足该条件的不同数列的个数为( )A．100 B．120 C．140 D．1609．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，若2x1x2=﹣1，则2m的值是( )A．3 B．4 C．5 D．610．sin410°+sin450°+sin470°=( )A．1 B．C．D．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分）11．已知随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜1）=，P（ξ＞2）=0.4，则P（0＜ξ＜1）=__________．12．设F1，F2为双曲线﹣=1的左右焦点，以F1F2为直径作圆与双曲线左支交于A，B两点，且∠AF1B=120°．则双曲线的离心率为__________．13．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为__________．三、考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积S=AD•AE，则∠BAC=__________15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线（t为参数）与曲线ρ=2asinθ（θ为参数且a＞0）相切，则a=__________．16．若不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集不为∅，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=处取得最大值，且最大值为a3．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若f（）=1，α∈（，π），求sin（a+）的值．18．现有3所重点高校A，B，C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的．现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请A高校的概率；（2）4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．19．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．20．已知函数f（x）=ln（x+1）++ax﹣2（其中a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在y轴上，过点M（，﹣1），离心率为．（1）求椭圆C的方程．（2）若A，B为椭圆C上的动点，且⊥（其中O为坐标原点）．求证：直线AB与定圆相切．并求该圆的方程与△OAB面积的最小值．22．已知数列{a n}的前n项之积T n满足条件：①{}为首项为2的等差数列；②T2﹣T5=．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=﹣a n，其前n项和为S n．求证：对任意正整数n，有0＜S n ＜．重庆一中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，即可得到复数在复平面内对应的点所在象限．解答：解：复数z===3﹣i，复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点（3，﹣1）．在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查．2．已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解．解答：解：∵A={0，1，m}，∴m≠0且m≠1，∵A∩B={1，m}，∴0＜m＜2，综上0＜m＜2且m≠1，故m的取值范围是（0，1）∪（1，2），故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，根据集合元素的互易进行检验是解决本题的关键．3．设有算法如图所示，如果输入A=144，B=39，则输出的结果是( )A．144 B．3 C．0 D．12考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图，是一个利用循环，求最大公约数的程序，模拟程序的运行结果，即可得到．解答：解：（1）A=144，B=39，C=27，继续循环；（2）A=39，B=27，C=12，继续循环；（3）A=27，B=12，C=3，继续循环；（4）A=12，B=3，C=0，退出循环．此时A=3．故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．下列错误的是( )A．若P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B．若p∨q为真，则p∧q为真C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=1考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据存在性的否定方法，可判断A；根据复合真假判断的真值表，可判断B；计算出数据的平均数、众数、中位数，可判断C；根据回归直线必要样本数据中心点，可判断D．解答：解：若P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0，故A正确；若p∨q为真，则p，q中存在真，但可能一真一假，此时p∧q为假，故B错误；数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数均为3，故C正确；回归直线必要样本数据中心点，当=2，=1，=3，则=1，故D正确；故选：B点评：本题以的真假判断与应用为载体考查了存在性的否定方法，复合真假判断的真值表，平均数、众数、中位数的计算，回归直线的性质等知识点，难度不大，属于基础题．5．在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，则的值为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，解答：解：∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，∴=（）•（）=||2﹣||2•=×4﹣×4×2×2×（﹣）=﹣．故选：A点评：本题考查了向量运算，数量积的运算，属于计算题．6．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log220∈（4，5），可得4﹣log220∈（﹣1，0），结合定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），可得：f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），再由x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，可得答案．解答：解：∵log220∈（4，5），∴log220﹣4∈（0，1），∴4﹣log220∈（﹣1，0），又∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（4﹣log220）=+=+=16÷20+=1，故f（log220）=﹣1，故选：C点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：欲使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，则只要方程有3个不同的实数解，，结合函数g（x）=的图象可求．解答：解：要使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，所以只要方程有3个不同的实数解，变形得=，设函数g（x）=，如图所以只要0＜＜4即可，所以k＞；故选C．点评：本题考查了函数的图象的交点与方程根的关系，考查了数形结合解决方程根的个数问题，关键是准确构造函数，准确画出图象，经常考查，属于中档题．8．数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，10），则满足该条件的不同数列的个数为( )A．100 B．120 C．140 D．160考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：根据题意，先确定数列中1的个数，再利用组合知识，即可得到结论．解答：解：∵|a k+1﹣a k|=1，∴a k+1﹣a k=1或a k+1﹣a k=﹣1设有x个1，则有10﹣x个﹣1∴a11﹣a1=（a11﹣a10）+（a10﹣a9）+…+（a2﹣a1）∴4=x+（10﹣x）•（﹣1）∴x=7∴这样的数列个数有=120．故选：B．点评：本题考查数列知识，考查组合知识的运用，确定数列中1的个数是关键．9．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，若2x1x2=﹣1，则2m的值是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得，y1=2x12，y2=2x22，变形得到x1+x2 =﹣，代入2m=（y1+y2）﹣（x1+x2）进行运算．解答：解：由，以及y1=2x12，y2=2x22可得，=，故选：A．点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，两点关于某直线对称的性质，式子的变形是解题的难点，属于中档题．10．sin410°+sin450°+sin470°=( )A．1 B．C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：原式各项利用诱导公式化简将正弦变形为余弦，利用二倍角的余弦函数公式化简，利用完全平方公式整理后，利用和差化积公式及诱导公式化简，计算即可得到结果．解答：解：sin410°+sin450°+sin470°=cos480°+cos440°+cos420°=cos420+cos440°+cos480°=（）2+（）2+（）2=+（cos40°+cos80°+cos160°）+（cos240°+cos280°+cos2160°）=+（2cos60°cos20°﹣cos20°）+（++）=+0+（3+cos80°﹣cos20°+cos40°）=+（3﹣2sin50°sin30°+sin50°）=+=．故选：B．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及和差化积公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分）11．已知随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜1）=，P（ξ＞2）=0.4，则P（0＜ξ＜1）=0.1．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：确定曲线关于x=1对称，利用P（ξ＞2）=0.4，可求P（0＜ξ＜1）．解答：解：∵随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜1）=，∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＞2）=0.4，∴P（0＜ξ＜1）=0.1．故答案为：0.1．点评：本题考查正态分布曲线的特点，解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征．12．设F1，F2为双曲线﹣=1的左右焦点，以F1F2为直径作圆与双曲线左支交于A，B两点，且∠AF1B=120°．则双曲线的离心率为+1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，可得△OF1A 是等边三角形，再利用双曲线的定义，即可求得离心率．解答：解：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，∴△OF1A是等边三角形∴|AF1|=c，|AF2|==c，∴2a=|AF2|﹣|AF1|=（﹣1）c，∴e===+1．故答案为：+1．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．13．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为y=sin2x．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；简单线性规划．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的图象变换问题，求出结果．解答：解：设x、y的线性约束条件解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2即：a+b=2所以：则：则y=sin（2x+）的图象向右平移后的表达式为：y=sin2x故答案为：y=sin2x点评：本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的图象变换问题，属于基础题型．三、考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积S=AD•AE，则∠BAC=90°考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由题设条件推导出△ABE∽△ADC，从而得到AB•AC=AD•AE，再由S=，且S=，能求出sin∠BAC=1，由此能求出∠BAC．解答：解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，∴∠BAE=∠CAD，∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，∴∠AEB=∠ACD，∴△ABE∽△ADC，∴，即AB•AC=AD•AE，∵S=，且S=，∴AB•AC•sin∠BAC=AD•AE，∴sin∠BAC=1，又∵∠BAC是三角形内角，∴∠BAC=90°．故答案为：90°．点评：本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和三角形面积公式的合理运用．15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线（t为参数）与曲线ρ=2asinθ（θ为参数且a＞0）相切，则a=1．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：解：直线（t为参数），化为=0，曲线ρ=2asinθ（θ为参数且a＞0）即ρ2=2aρsinθ，化为x2+y2﹣2ay=0，配方为x2+（y﹣a）2=a2，可得圆心C（0，a），半径r=a．∵直线与圆相切，∴=a，化为=±2a，a＞0，解得a=1．故答案为：1．点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．16．若不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集不为∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式．分析：令f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|可求得f（x）min，依题意，a2+a+1≥f（x）min，解之即可．解答：解：令f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，由绝对值的几何意义：数轴上的点到1，3的结论之和，可知函数f（x）的最小值为：1，即f（x）min=1．∵不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集不为∅，∴a2+a+1≥f（x）min=1，∴a2+a≥0．解得：a≥0或a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式，考查构造函数思想与方程思想，考查理解题意与推理运算的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=处取得最大值，且最大值为a3．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若f（）=1，α∈（，π），求sin（a+）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；等比数列的通项公式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据等比数列，结合三角函数的最值性质求出A 和φ的值，即可求函数f（x）的解析式．（2）若f（）=1，α∈（，π），根据两角和差的正弦公式即可求sin（a+）的值．解答：解：（1）由得，∴由已知有A=3，，∴．∴∴（2），∴．∵∴α+∴∴．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及两角和差的正弦公式的应用，考查学生的计算能力．18．现有3所重点高校A，B，C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的．现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请A高校的概率；（2）4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有种，根据等可能事件的概率公式能求出恰有2人申请A高校的概率．（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．解答：解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有种，∴根据等可能事件的概率公式得到恰有2人申请A高校的概率P==．（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列是：ξ 1 2 3P∴Eξ==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=．由，可得单调递增区间．（2）由得．又，则可求得，由AB=AD 可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由，可得．故可得周长最大值．解答：解：（1）===．由，得（k∈Z）．∴单调递增区间为，k∈Z（2）由得．又，则，从而，∴．由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，∴AD+DC=BD+DC=BC，在△ABC中，由正弦定理，得，即BC=8sin∠BAC．∵D是BC边上一点，∴，∴，知．当时，AD+CD取得最大值8，周长最大值为．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题．20．已知函数f（x）=ln（x+1）++ax﹣2（其中a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先由函数的解析式求出定义域，再利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值．（2）分a=1、a＞1、0＜a＜1三种情况，分别检验条件是否成立，从而得出a的范围．解答：解：（1）由函数f（x）=ln（x+1）++ax﹣2（其中a＞0），可得x+1＞0，即x ＞﹣1，故f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a=1时，，令=0，求得x=0，且f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴此时f（x）的最小值为f （0）=0．（2）由（1）知当a=1时，f（x）≥0恒成立，即恒成立；所以当a＞1，x∈[0，2]时，，满足条件，故a≥1符合要求．当0＜a＜1时，，由于方程ax2+（2a+1）x+a﹣1=0的△=8a+1＞0，所以该方程有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2．由知，x1＜0＜x2 ，∴f（x）在（0，x2）上单调递减．若0＜x2＜2，则f（x2）＜f（0）=0，矛盾；若x2≥2，则f（2）＜f（0）=0，也与条件矛盾．综上可知，a的取值范围为[1，+∞）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的极值，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．21．已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在y轴上，过点M（，﹣1），离心率为．（1）求椭圆C的方程．（2）若A，B为椭圆C上的动点，且⊥（其中O为坐标原点）．求证：直线AB与定圆相切．并求该圆的方程与△OAB面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出方程，利用椭圆过点M（，﹣1），离心率为，求出a，b，即可求椭圆C的方程．（2）设出A，B的坐标，代入椭圆方程，两式相加，可得AB边上的高，即可证明直线AB 与定圆相切．利用基本不等式求出△OAB面积的最小值．解答：解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆过点M（，﹣1），离心率为，∴，=，∴a=2，b=1，∴椭圆方程：（2）可由⊥，设A（|OA|cosα，|OA|sinα），，即B（﹣|OB|sinα，|OB|cosα）．将A，B代入椭圆方程后可得：两式相加可得：=，∴AB边上的高为=，∴AB与定圆相切同时：，∴，∴，当且仅当|OA|=|OB|时取等，即△OAB面积的最小值为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定椭圆的方程是关键．22．已知数列{a n}的前n项之积T n满足条件：①{}为首项为2的等差数列；②T2﹣T5=．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=﹣a n，其前n项和为S n．求证：对任意正整数n，有0＜S n ＜．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列的通项公式和题意求出数列公差d，再由等差数列的通项公式求出，即可求出T n，由题意可得当n≥2时，，代入化简并验证n=1时是否成立即可；（2）把a n代入b n=﹣a n利用分子有理化进行化简，判断出b n＞0再得S n＞0，再利用对b n放大：，利用裂项相消法可得到S n＜．解答：解：（1）设数列公差为d，因为数列首项为2，所以，由方程可得=，解得d=1，所以，即，因为数列{a n}的前n项之积T n，所以当n≥2时，，当n=1时，符合，所以，证明：（2）由（1）得，，所以数列{b n}前n项和S n＞0，同由上面可知：，，所以，综上可得，0＜S n＜．点评：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，利用放缩法证明数列与不等式的问题，考查灵活变形、化简能力，属于难题．。

重庆巴蜀中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A． B． C． D．参考答案：C做出约束条件对应的可行域如图，，由得。

做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.2. 函数，，，且在(0,π)上单调，则下列说法正确的是( )A．B．C.函数在上单调递增D．函数的图象关于点对称参考答案：C3. 设向量，，若与垂直，则m的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量垂直的条件，能求出m的值．【解答】解：∵向量，，∴=（﹣1，3+m），∵与垂直，∴?（）=﹣1+3（3+m）=0，解得m=﹣．故选：B．4. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x－7x+2b（b为常数），则f(－2)=（）A．6 B．－6 C. 4 D．－4参考答案：A∵，∴．∴，∴．选A．5. 已知函数满足，若在(－2,0)∪(0,2)上为偶函数，且其解析式为，则的值为（）A．－1 B．0 C. D．参考答案：B∵，∴，∴函数的周期为4.当时，，∴,由函数在上为偶函数,∴．∴．选B．6. 若集合则（）A. B. C. D.参考答案：B7. 等差数列的前项和为，若,那么值的是（）A. B. C.D.参考答案：C8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )A. 3B.C.D. 2参考答案：A由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：面ABC，△ABC中，，边上的高为2，所以.该三棱锥最长的棱的棱长为.故选A.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 已知递增的等比数列{a n}中，，、、成等差数列，则该数列的前项和（）A．B． C. D．参考答案：B设数列的公比为q，由题意可知：，且：，即：，整理可得：，则，(舍去).则：，该数列的前项和.本题选择B选项.10. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8 B．10 C．12 D．14参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数恒过定点(3,2)，其中且，m，n均为正数，则的最小值是.参考答案：－20012. 设全集某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）4销售额（万元）根据上表可得回归方程中的为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（万元）.参考答案：73.5易知：，因为=7，把点代入回。

2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

2018届重庆市高三上学期期末考试数学理卷理科数学文科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。

1． 已知等差数列{}n a 中，163,13a a ==，则{}n a 的公差为A 、53B、2 C 、10 D 、13 2．已知集合{|25},{1,2,3,4,5,6}A x R x B =∈〈〈=，则()A B ⋂=R ?A 、{1，2}B 、{5，6}C 、{1，2，5，6}D 、{3，4，5，6}3、命题:P “若1x 〉，则21x 〉”，则命题:P 以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为A 、1B 、2C 、3D 、4 4、已知两非零复数12,z z ，若12z z R ∈，则一定成立的是A 、21z z R ∈B 、12z R z ∈ C 、12z z R +∈ D 、12z R z ∈ 5、根据如下样本数据：x3 57 9 y6a32得到回归方程$1.412.4y x =-+，则 A 、5a =B 、变量x 与y 线性正相关C 、当x ＝11时，可以确定y ＝3D 、变量x 与y 之间是函数产关系6、执行如图所示的程序框图，若输入的k 值为9，则输出的结果是A 、22-B 、0C 、22D 、1 7、函数2cos ()1x xf x x =-的图象大致为8、甲、乙、丙、丁五位同学相约去学校图书室借阅四大名著（每种名著均有若干本），已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为 A 、72 B 、60 C 、54 D 、489、我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所税金之和，恰好重1斤。

重庆市第一中学2018届高三上学期考试数学（理）试题满分150分。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本题 12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集=U R ，集合{}{}23,1或=≤-≥=≥A x x x B x x ，则（ ）A. B. C. D.2.各项均为正数的等比数列中，，则的值为（ ）A.5B.3C.6D.83.函数在区间内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.34.已知，则的值为（ ）A. B . C. D ．5.已知11232755,,log 577-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则、、的大小关系是（ ） A. B. C.D. 6.函数的图象大致是（ ）A B C D7.已知平面向量，夹角为，且，，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．8.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。

”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。

”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是（ ）A. B.1 C. D.9.定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是（ ）A. B. C. D.10.已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（ ）A. B. C. D.11.已知定义在R 上的函数满足，当时，(1),[1,1]()(1,3]⎧-∈-=∈t x x f x x ，则当时，方程的不等实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612.已知为的内心，，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分。