2016年秋重庆高三一诊数学试题(理科)

数学试题卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合(){}ln 1x y x A ==-，{}1xy y e-B ==，则A B = （ ）A ．(),1-∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．∅ 2.在等比数列{}n a 中，127a =，435a a a =，则6a =（ ）A ．181 B ．127 C ．19 D ．133.复数31i z i=-（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数122i z =--C ．若复数1z z b =+（R b ∈）为纯虚数，则12b =-D ．复数z 的模12z = 4.设双曲线22219y x b -=（0b >）的渐近线方程为320x y ±=，则其离心率为（ ）A B CD 5.如果满足C 60∠AB = ，C 12A =，C k B =的锐角C ∆AB 有且只有一个，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．012k <≤B ．12k <≤C ．12k ≥D ．012k <≤或k =6.已知P 是C ∆AB 所在平面内一点，C 20PB +P +PA =，现将一粒黄豆随机撒在C∆AB 内，则黄豆落在C ∆PB 内的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．23 D ．127.一个四面体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示，则这个几何体四个表面中最小的一个表面面积是（ ）A ．BC ． D8. 右边程序框图的算法思路源于数学著名《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m D MO n ”表示m 除以n 的余数），若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m =（ ）A ．0B ．5C ．45D ．909.下面给出的命题中： ①已知函数()0cos af a xdx =⎰，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②“2m =-”是“直线()210m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③已知随机变量ξ服从正态分布()20,σN ，且()200.4ξP -≤≤=，则()20.2ξP >=； ④已知1C : 2220x y x ++=，2C : 22210x y y ++-=，则这两圆恰有2条公切线． 其中真命题的个数是（ ）A ．B ．2C ．3D ．410.已知抛物线C :28y x =的焦点为F ，点()2,2M -，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若90∠AMB = ，则k =（ ）A B C ．12D ．211.如图所示，在直三棱柱C C '''AB -A B 中，C C A ⊥B ，C 2'B =BB =，C 4A =，点M 是线段'AB 的中点，则三棱锥C M -AB 的外接球的体积是（ ）A ．36πBCD ．43π12.已知常数 2.71828e =⋅⋅⋅，定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：()()2f x f x '+=，12f ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()f x '表示()f x 的导函数．若对任意正数a ，b 都有222211432x ab f x a e b -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．[]2,4C ．()[),04,-∞+∞D ．[)4,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在(61x +的展开式中，含3x 项的系数是 ．（用数字作答） 14.已知实数x ，y 满足2002230x y y x x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，则1y x +的取值范围是 ．15.如图，对大于等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”，如32的“分裂”中最大的数是5，43的“分裂”中最大的数是29，那么32016的“分裂”中最大的数是 ．（写出算式即可）16.已知平面向量a ，b ，e 满足1e = ，2a e ⋅= ，3b e ⋅= ，a - ，则a b ⋅ 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点，且Q 2O =．（I ）求函数()y f x =的解析式；（II ）将函数()y f x =图象向右平移个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,2x ∈时，求函数()()()h x f x g x =⋅的最大值．18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数各为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为ξ，求ξ的数学期望．19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，111C C AB -A B 为三棱柱，且1AA ⊥平面C AB ，四边形CD AB 为平行四边形，D 2CD A =，DC 60∠A = ． （1）若1C AA =A ，求证：1C A ⊥平面11CD A B ；（2）若CD 2=，1C λAA =A ，二面角1C D C A --，求三棱锥11C CD -A 的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心为坐标原点，右焦点为()F 1,0，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在一定点()0,0x E（00x <<），使得过定点E 的直线与曲线C 相交于M 、N 两点，且2211+EMEN为定值？若存在，求出定点和定值，若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分） 已知函数()lnxf x a=，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为10x y --=． （1）求实数a 的值；（2）设()()h x f x ex =-（e 为自然对数的底数），()h x '表示()h x 的导函数，求证：对于()h x 的图象上不同两点()11,x y A ，()22,x y B ，12x x <，存在唯一的()012,x x x ∈，使直线AB 的斜率等于()0h x '．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是C ∆AB 的外接圆，C AB =B ，D A 是C B 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：C C D A ⋅B =A ⋅AE ；（2）若F 2A =，CF =AE 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x y O 中，设倾斜角为α的直线:l 2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（为参数）与曲线C :2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同两点A ，B ．（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA ⋅PB =OP，其中(P ，求直线的斜率．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()23f x x x =-+．（1）求不等式()7f x ≤的解集S ；（2）若存在实数x 满足不等式()230f x t +-≤，求实数的取值范围．2016年重庆一中高2016届高考适应性考试数学答案（理科）一、选择题 BCCABD CCBDAC 二、填空题13.15 14.(]1,4 15.220162015+ 16.5提示：12.解：()()()2222xx xef x e f x e e f x ''⎡⎤+==⎣⎦，令()()2x g x e f x =，则()()()22x g x g x f x e '-'==令()2u e g x =，则xu e '=，故 ()0.50u u ≤=，所以()f x 在()0,+∞减，原不等式即212x x -≥． 三、解答题17.解：（I）由余弦定理得222Q Q cos Q 2QOP +O -P ∠PO ==OP O，…………………2分∴sin Q ∠PO =，得P 点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴1A =，214262πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3πω=…………………4分21cos 21213sin 432364xx x ππππ-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭．…………………10分当[]0,2x ∈时，27,3666x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴当2362x πππ-=，即1x =时()max 34h x =．…………12分 18.解：（1）8x x ==甲乙，()()()()222221568789810842S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦甲 ()()()()2222219587810810842S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦乙，所以甲运动员的射击水平更稳定． （2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为111144P =⨯=．当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为2111428P =⨯=，所以甲的成绩大于乙的成绩的概率为1238P =P +P =，由已知，34,8ξ⎛⎫B ⎪⎝⎭，所以()33482ξE =⨯=．19.（I ）证明：连接1C A 交1C A 于E ，因为1C AA =A ，又1AA ⊥平面CD AB ，所以1C AA ⊥A ，所以11CC A A 为正方形，所以11C C A ⊥A ，…………………2分 在CD ∆A 中，D 2CD A =，DC 60∠A = ，由余弦定理得222C D CD 2C DCcos 60A =A +-A ⋅ ，所以C A =，所以222D C CD A =A +，所以CD C ⊥A ，又1CD AA ⊥．所以CD ⊥平面11CC A A ，所以1CD C ⊥A ，所以1C A ⊥平面11CD A B ．…………………6分（II ）如图建立直角坐标系，则()D 2,0,0，()0,A，()1C 0,0,，()10,A∴()1DC 2,0,=-，()1D 2,A =-对平面1C D A，因为()D 2,A =-，()1C 0,A =-所以法向量11n λ⎫=⎪⎭ ，平面1C CD 的法向量为()20,1,0n =，…………………8分由1212cos n n n n θ⋅===⋅ 1λ=，…………………10分 所以1C AA =A ，此时，CD 2=，1C AA =A =，所以1111C CD D CC 11V V 2432-A -A ⎛==⨯⨯⨯= ⎝…………………12分20.解：（1）设椭圆的方程为22221x y a b+=（0a b >>），由已知可得()D max 122S a b ab ∆A B =⋅⋅== 因为()F 1,0为椭圆右焦点，所以221a b =+，②由①②可得a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．…………………4分（2）过点E 取两条分别垂直于x 轴和y 轴的弦11M N 、22M N ，则2221122x -EM =EN =，20x EM =+0x ，由222211221111+=+EM EN EM EN 得0x =，所以若E存在，必为⎫⎪⎪⎭，定值为3，…………………6分下证⎫⎪⎪⎭满足题意．设过点⎫E ⎪⎪⎭的直线方程为x ty =+代入椭圆C 的方程中得()224203ty ++-=，设()11,x y M 、()22,x y N ， 则12y y +=()122432y y t =-+，…………………8分 ()22211t y EM =+，()22221t y EN =+，()()212122222121121111y y y y t y y +-+=⋅+EM EN ()()()()()2222222292481124831163216192t t t t t t t ⎡⎤++⎢⎥=⋅⋅+==⎢⎥++++⎣⎦综上定点为⎫E ⎪⎪⎭，定值为3．…………………12分21.解：（1）由题意得，11ln1a-+=-，所以1a =，…………………2分 （2）()ln h x x ex =-． ()0h x k AB '=，∴()2121021ln ln 1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x x x x --=，即()20211ln 0xx x x x --=，…………………6分 设()()2211lnx x x x x x ϕ=--，则()x ϕ是关于x 的一次函数， 故要在区间()12,x x 证明存在唯一性，只需证明()x ϕ在()12,x x 上满足()()120x x ϕϕ⋅<．下面证明之：()()211211lnx x x x x x ϕ=--，()()222211ln xx x x x x ϕ=--， 为了判断()1x ϕ，()2x ϕ的符号，可以分别将1x ，2x 看作自变量得到两个新函数()1x ϕ，()2x ϕ，讨论他们的最值：()()211211lnx x x x x x ϕ=--，将1x 看作自变量求导得()211ln 0xx x ϕ'=>， ∴()1x ϕ是1x 的增函数， 12x x <，∴()()()2122222ln0x x x x x x x ϕϕ<=--=； 同理：()()222211lnx x x x x x ϕ=--，将2x 看作自变量求导得()221ln 0xx x ϕ'=>， ∴()2x ϕ是2x 的增函数， 12x x <，∴()()()1211111ln 0x x x x x x x ϕϕ<=--=； ∴()()120x x ϕϕ⋅<，∴函数()()2211lnx x x x x x ϕ=--在()12,x x 内有零点0x …………………10分又211x x >，∴21ln 0x x >，函数()()2211ln xx x x x x ϕ=--在()12,x x 是增函数， ∴函数()()2211lnx x x x x x ϕ=--在()12,x x 内有唯一零点0x ，从而命题成立．…………………12分22.（1）证明：连接BE ，由题意知∆ABE 为直角三角形． 因为DC 90∠ABE =∠A = ，C ∠AEB =∠A B ，所以DC ∆ABE ∆A ∽，所以D CAB AE=A A ，即C D AB⋅A =A ⋅AE ． 又C AB =B ，所以C CD A ⋅B =A ⋅AE ．（2）解：因为FC 是圆O 的切线，所以2FC F F =A ⋅B ，又F 2A =，CF =F 4B =，F F 2AB =B -A =，因为CF F C ∠A =∠B ，CF FC ∠B =∠A ，所以FC CF ∆A ∆B ∽．所以F CFC CA A =B，得F CC FCA ⋅B A == 在C ∆AB中，由余项定理可得cos CD ∠A =sin sin CD ∠AEB =∠A =， 又在Rt ∆ABE 中，sin AB∠AEB =AE，所以AE =．23.解：设直线上的点A ，B 对应参数分别为1t ，2t ．将曲线C 的参数方程化为普通方程2214x y +=． （1）当3πα=时，设点M 对应参数为0t．直线方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）．代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=，则12028213t t t +==-，所以，点M的坐标为12,13⎛ ⎝．（2）将2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入2214x y +=，得()()222cos4sin 4cos 120t t αααα++++=，因为122212cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+．得25tan 16α=．由于()32cos cos 0ααα∆=->，故tan α=．． 24.解：()3,333,303,0x x f x x x x x -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩，（1）[]4,10S ∈-．（2）()f x 的最小值为3-，则不等式()230f x t +-≤有解必须且只需3230t -+-≤， 解得03t ≤≤，所以的取值范围是[]0,3．。

2016届重庆市一中高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}23|1,|1213nM x N n n Z x ⎧⎫=<=≤≤∈⎨⎬⎩⎭且，则N M = （ ）A ．{}2,3B ．{}3C ．⎡⎣D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】试题分析：由{}|1213={1,2,3}nN n n Z =≤≤∈且知N M = {}2,3，故选A ．【考点】集合的交集．2．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(21)(5)P c P X c X <+=>+，则c =（ ） A ．43-B ．-1C ．0D ．4 【答案】C【解析】试题分析：因为(21)(5)P X c P X c <+=>+，由正态分布的对称性知，=21X c +与=5X c +关于对称轴3X =对称，从而21+5=23c c ++⨯，所以0c =，故选C ．【考点】正态分布．3．已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z =（ ）A ．5B ．3 D 【答案】B【解析】试题分析：因为(1)112x x i yi i +==+-，所以(1)2(1)x i yi +=+，从而2,1x y ==，z =，故选B ．【考点】复数的运算．4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900 【答案】A试卷第2页，总16页【解析】试题分析：由频率分布直方图知，支出在[)50,60的频率为10.10.240.360.3---=，所以301000.3n ==，故选A ． 【考点】频率分布直方图．5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A．2x y =± B．2y x =± C．4x y =± D．4y x =± 【答案】D【解析】试题分析：由题意知椭圆焦距和双曲线焦距相等，所以22223523m n m n -=+，即228m n =，所以双曲线的渐近线方程是y ===，故选D ． 【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的几何性质．6．在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（ ） A ．34 B ．14 C ．12 D ．23【答案】B【解析】试题分析：由题意，01,01x y <<<<，所以基本事件空间是边长为1的正方形面积，满足2y x ≥的事件区域是三角形区域，所以1u Ω=，1111224A u =⨯⨯=，根据几何概型得：14A u P u Ω==，故选B ． 【考点】几何概型．7．如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）A ．362π+B ．365π+C ．368π+D ．3620π+ 【答案】A【解析】试题分析：该几何体是由一个长宽高分别为3,3,4的长方体，高是1，底面直径为2的两个圆柱构成的组合体，其体积为2334211362V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A ．【考点】三视图．8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】试题分析：设每个人由少到多的顺序得到面包数分别为12345,,,,a a a a a ，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d ，则有1120510a d =+ ①；又最大的三份之和是较小的两份之和的7倍，得到：1111208a a d ++=⨯②，联立①②解得12a =，故选C ．【考点】1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式．9．若实数,x y 满足条件120y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-1B ．-2C ．52-D ．72- 【答案】D【解析】试题分析：作出可行域，如图所示.作直线0:l 20x y -=，再作一组平行于0l 的直线:l 2z x y =-，当直线l 经过点A 时，2z x y =-取得最小值，由21y x y x =+⎧⎨=-+⎩得：1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以min 17322z =--=-，故选D ． 【考点】线性规划．试卷第4页，总16页10．执行下图所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（ ）A ．120B ．240C ．360D ．720 【答案】C【解析】试题分析：初始条件6,4n m ==；运行第一次，133p =⨯=，2k =；运行第二次，13412p =⨯⨯=，3k =；运行第三次，134560p =⨯⨯⨯=，4k =；运行第四次，13456360p =⨯⨯⨯⨯=，不满足条件，停止运行，所以输出的360p =，故选C ．【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“4k <”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 【考点】程序框图．11．已知函数())cos()sin()cos()2f x x x x x πππ=--++-图像上的一个最低点为A ，离A最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB AC ⋅=（ ）A ．299π+B ．299π-C ．244π+D ．244π-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2(3s i n ()o s ()s i n (22f x x x xx x x πππ=--++-=-1cos 212sin(2)262x x x π-=-=+-，所以T π=，由正弦型函数图象的对称性知：AB AC = ，所以2cos AB AC AB BAC ⋅=⋅∠ ，设AB 、AC 分别交对称轴:l 12y =-于M 、N 点，过A 做AE l ⊥于E ，由周期知4ME π=，由()f x 知1AE =，在直角三角形AME 中，AM =，1cos MAE AM ∠=，又222c o s c o s 22c o s 11B A CM A E M A E AM ∠=∠=∠-=-， 所以2222222cos 4(1)8484(1)4164AB AC AB BAC AM AM AM ππ⋅=⋅∠=-=-=-+=-，故选D ．【考点】1、诱导公式；2、二倍角的正弦、余弦公式；3、两角和正弦公式；4、正弦型函数图象与性质；5、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是向量的数量积、诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式、两角和正弦公式及正弦型函数的图象与性质，属于难题．解题时一定要注意三角函数化简要准确，得到正弦型函数之后，充分考虑周期，对称性等性质．在求向量的数量积时，注意平面几何的运用，通过直角三角形的处理，求得AM 及1cos MAE AM∠=，再利用2AB AM =，cos cos 2BAC MAE ∠=∠进行处理．12．已知函数42421()()1x kx f x k R x x ++=∈++，若对任意三个实数a 、b 、c ，均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．24k -<<B ．142k -<< C ．21k -<≤ D ．112k -<≤【答案】B 【解析】试题分析：当x ≠时，4224242221(k 1)1()()11111x kx x k f x k R x x x x x x++--=∈=+=+++++++，令2211t x x =++，则3t ≥，所以①10k -=时， 即1k = ，()()()1f a f b f c ===，满足题意； ②10k ->时，当0x ≠时，111113k k y t --<=+≤+，又0x =时，(0)1f =，所以11()13k f x -≤≤+，所以2(1)2()()23k f a f b -≤+≤+，11()13k f c -≤≤+，由()()f(c)f a f b +>恒成立，所以11+23k -<，所以14k <<；③10k -<时，111113k k y t --+≤=+<，所以11()13k f x -+≤≤，2(1)2()()23k f a f b -+≤+≤，11()13k f c -+≤≤，由题意，2(1)213k -+>，所以112k >>-，综上故142k -<<，试卷第6页，总16页故选B ．【考点】1、函数的值域；2、基本不等式；3三角形的性质；4、分类讨论． 【方法点晴】本题主要考查的是利用基本不等式研究函数的值域及根据值域研究构成三角形的问题，属于难题．本题需要将均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，转化为任意两边之和大于第三边，即()()f(c)f a f b +>，然后利用()()f a f b +的最小值大于f(c)的最大值，所以这类问题重点转化为函数最值及恒成立问题，难度较大．二、填空题13．已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-，则a =________． 【答案】-1【解析】试题分析：由题意()21a f x x x '=++，所以(0)f a '=，又切线方程为y x =-，所以1a =-，所以答案应填：1-．【考点】导数的几何意义． 14．已知51(1)(1)x x-+ 的展开式中(15)r x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________．【答案】2【解析】试题分析：由二项式展开式的通项知：51(1)(1)x x-+ 的通项为1551(1)()r r r r r C x C x x x--=-，所以51(1)(1)x x-+ 的展开式为0011102233244355555C ()C ()C ()C ()C ()x x x x x x x x x x --+-+-+-+-5545C ()x x +-，因为2355C C =，所以展开式中不含有2x 的项，所以答案应填：2．【考点】二项式定理．15．设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若ABC ∆的面积为2，AB 边上的中且cos sin b a C c A =+，则ABC ∆中最长边的长为________．【答案】4【解析】试题分析：因为c o s s i n b a C c A =+，根据正弦定理得：sin sin cos sin sin B A C C A =+，所以sin(A C)sin cos sin sin A C C A +=+，展开整理得：tan 1A =，因为A 是三角形内角，所以4A π=，因为1sin 224s bc π==，解得bc =，设中点为M ，在A M C ∆中，由余弦定理得：2264c b +=，所以22cb +=+bc =2,b c ==4b c ==，所以最大的边是4，所以答案应填：4．【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式；4、余弦定理． 【方法点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，两角和正弦公式和三角形面积公式，属于难题题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．当确定角A 后，充分使用这一条件，得出bc =22c b +=43A ππ=<，必定不是最大角，从而a 不是最大边．16．如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：[]22,0,10x y y =∈．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】试题分析：设小球截面球心)b （0，，抛物线上任意点)x y （，，则点到圆心距离的平方是222()r x y b =+-2222222(1)y y by b y b y b =+-+=+-+，当2r 的最小值在(0,0)处取得时，小球触及杯底，即y 0=时二次函数取最小值，所以对称轴y 10b =-≤，解得：01b <≤，所以球的半径最大值为1，所以答案应填：1． 【考点】1、圆的性质；2、抛物线的的性质．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数单调性的应用、抛物线的性质及圆与圆锥曲线的的综合，属于难题．解题时要把球与酒杯底部相切，转化为抛物线上动点到球心距离的最小值在抛物线顶点取得，进而转化为二次函数的最小值在0y =处取得，从而二次函数对称轴在0y =左侧，求出圆的圆心范围，从而得出半径的最大值，注意转化的数学思想在解题中的应用． 17．（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该试卷第8页，总16页（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量，独立性检验临界值表为：【答案】（1）15%；（2）有关，理由见解析；（3）分层抽样较好，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）由22⨯列联表知需要帮助的有75人，共500人，占比7515%500=；（2）根据独立性检验的公式计算2K ，根据检验临界值表得出结论；（3）由题意男性女性需要帮助的比例有显著差异，所以应采取分层抽样． 试题解析：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%．（2）22500(5022525200)5006.6352502507542551K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【考点】1、22⨯列联表；2、独立性检验；3、分层抽样．三、解答题18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13(1),n n S a n Z +-=-∈． （1）求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足13()2n na b n a -= ，若n b t ≤对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）13()2n n a -=；（2）43t ≥． 【解析】试题分析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=，知数列是等比数列，写出通项公式；（2）已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=- ，当4n ≥时，10n n b b -->，所以数列是递减数列，此时3n b b >，当3n =时，23b b =，又12b b <，所以数列中最大的项是23b b =，从而2t b ≥即可．试题解析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=， 所以数列{}n a 是以1为首项，32为公比的等比数列，所以13()2n n a -=． （2）有已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=-，所以max 234()3n b b b ===，则43t ≥． 【考点】1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题． 19．我国政府对PM2.5采用如下标准：某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）146天． 【解析】试题分析：（1）由茎叶图及中位数概念知，中位数为41；（2）由二项分布知，(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，441.610E ξ⨯==；（3）试卷第10页，总16页一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η ，得到23651465E η=⨯=（天）．试题解析：（1）10天的中位数为(3844)/241+=（微克/立方米）（2）由于(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，即得分布列如下：所以441.610E ξ⨯== （3）一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η，得到23651465E η=⨯=（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天． 【考点】1、茎叶图；2、样本的数字特征（中位数）；3、二项分布；4、分布列、期望．20．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C的离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在一个定点(0,1)T ． 【解析】试题分析：（1）因为直线截圆的弦长为1，所以1b =，又离心率e =，可求a =（2）假设存在(,)T u v ，斜率存在时设直线方程13y kx =-，联立直线与椭圆，根据直线与圆锥曲线的位置关系得12212189kx x k +=+，12216189x x k -=+，因为以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以0TA TB ⋅= ，将TA TB ⋅ 表示为12x x +，12x x ，然后代入整理得：222222(666)4(3325)062u v k ku u v v k +--+++-=+恒成立，即不论k 取何值，22222(666)4(3325)0u v k ku u v v +--+++-=，因此系数及常数项恒为0，解得0,1u v ==，当斜率不存在时，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ．试题解析：（1）则由题设可求的1b =，又e =，则a =C 的方程是2212x y +=．（2）解法一：假设存在点(,)T u v ，若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理得22(189)12160k x k +--=．设点A B 、的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189kx x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为111222(),()TA x u y v TB x u y v =--=-- 及112211,33y kx y kx =-=-，所以2121()3v T A⋅=222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-+．当且仅当0TA TB ⋅= 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266604033250u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩，解得0,1u v ==，此时以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)T ．当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件．解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为试卷第12页，总16页22116()39x y ++=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由22221116()39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． ．．．．．7分 事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点(0,1)T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-， 代入椭圆方程并整理得22(189)12160k x kx +--=，设点A B 、的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=- ，所以有2222121212121224161616163216()1(1)()039189k k k TA TA x x y y y y k x x k x x k ---++⋅=+-++=+-+==+ ，所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点(0,1)T ，综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T 满足条件．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、圆的几何性质；4、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系及定点的存在型问题，属于难题．解题时的突破点在于以AB 为直径的圆恒过定点T ，利用圆的几何性质知TA TB ⊥ ，从而只需计算0TA TA ⋅= 恒成立，进入常规直线与圆锥曲线位置关系的计算即可，同时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．21．已知存在实数,,a b c和,,αβγ使得32()f x x ax bx c =+++()(x x x αβγ=---． （1）若1a b c ===-，求222αβγ++的值；（2）当11()32αβγαβ-=>+且时，若存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n ++-=对任意x R ∈恒成立，求()f m 的最值．【答案】（1）3；（2）最大值486，无最小值． 【解析】试题分析：（1）当1a b c ===-时，32()1()()()f x x x x x x x αβγ=---=---，展开，对应项系数相等，所以1αβγ++=，1αββγγα++=-，从而2222()2()3αβγαβγαβ++=++-++；（2）由存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n++-=对任意x R ∈恒成立，可以证明(,)m n 是函数对称中心，又2()320f x x ax b '=++=的解12,x x 是()f x 的极值点，(,)m n 是对称中心，所以1223x x a m +==-，计算()()()()()3333a a a a f m f αβγ=-=------，又a αβγ++=-，13αβ-=，代入整理得： [][][]21()3()23()116()27f m γβγβγβ=---+-- ，换元得：21()(32)(31)(16)27f m t t t =-+-，利用导数求其最值． 试题解析：（1）由题意1,1a b αβγαββγγα++=-=++==-2222()2()3αβγαβγαββγγα⇒++=++-++=（2）由题意知()y f x =关于(,)m n 中心对称，所以m 取两个极值点的平均值，即3a m =-，则有 [][][]22()()()()()33331(2)(2)(2)2713()23()116()271(32)(31)(16)27a a a a f m f t t t αβγβγααγβαβγγβγβγβ=-=------=+-+-+-=---+--=-+- 其中11()26t γβαβ=->-=，令()(32)(g t t t t=-+-，则2()9(1861g t t t '=---，所以()g t在1(6上递增，在)+∞上递减．试卷第14页，总16页由此可求出max 21()27f m g ==，()f m 无最小值． 【考点】1、利用导数研究函数的最值；2多项式的性质；3、函数图像的中心对称性；4换元法．【方法点晴】本题主要考查的是多项式恒等、函数图象的中心对称性质、利用导数研究函数的最值，属于难题．本题最大特点在于运算，利用多项式恒等得,,a b c 与,,αβγ关系，222αβγ++变形为2()αβγ++与αββγγα++的形式，求解，而第二问根据中心对称的性质处理m ，对()()3a f m f =-进行大量变形，换元后利用导数求最值，对思维能力，运算能力要求较高．22．如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径．（1）求AC AB的值； （2）若BC =，求2O 到弦AB 的距离．【答案】（1）23；（2）１． 【解析】试题分析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，由圆直径性质得：2ABD ACE π∠=∠=，所以//BD CE ，利用平行线分线段成比例求解；（2）RT ABD ∆中，解出030A ∠=，再利用直角三角形求解．试题解析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，∵圆1O 与圆2O 内切于点A ，∴点2O 在AD 上．∴AD ，AE 分别是，圆1O 与圆2O 的直径．∴2ABD ACE π∠=∠=．∴//BD CE ． ∴23AC AD AB AE ==． （2）若BC =，由（1）问结果可知AB =6AD =，所以在RT ABD ∆中，030A ∠=，又由22AO =，推得2O 到弦AB 的距离为1【考点】1、圆的直径的性质；2、平行线判定与性质；3、直角三角形中角的三角函数．23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值．【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标互化公式；（2）写出过点M 的直线l 的标准参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆的方程，得：210t -=，利用参数的几何意义表示MA MB +，从而求解．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=，（2）直线l 的普通方程为3y x =+，点M 在直线上l 的标准参数方程为221x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．代入圆方程得：210t -=．设A B 、对应的参数分别为12t t 、，则12t t +=121t t =．于是1212MA MB t t t t +=+=+=【考点】1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．24．已知函数()21,f x x x R =-∈．（1）解不等式()1f x x <+；（2）若对于,x y R ∈，有111,2136x y y --≤+≤．求证：()1f x <． 【答案】（1）02x <<；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）利用绝对值的性质()()f x a a f x a <⇔-<<求解即可；（2）试卷第16页，总16页 将21x -用1x y --和21y +表示出来，得：()212(1)(21)f x x x y y =-=--++，再利用绝对值的性质a b a b +≤+证明．试题解析：（1）()1121102f x x x x x <+⇔-<-<+⇔<<．（2）()212(1)(21)f x x x y y =-=--++115212121366x y y ≤--++≤⨯+=<． 【考点】1、绝对值不等式； 2、绝对值不等式的性质．。

][)4,+∞；，得106x x --+(6,EF =-E F =∅，则有][1,m ++∞64m m ≤-≥，解得()f x 是偶函数，0x ∴<时，=-=f fy f x()=(1)(1)1）()f x x =2)36x x =-()ln f x =()f x '∴=重庆市2016届高三上学期第一次月考数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2+x≤0}={x|﹣1≤x≤0}，∴M∩N={﹣1，0}．2．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx＞13．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出[0，+∞]内的范围，再根据对称性写出解集．【解答】解：当x∈[0，+∞]时f（x）＞0则x＞1．又∵偶函数关于y轴对称，∴f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．4．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，t=x2﹣ax+2a）在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立，得到关于a 的不等式组求解．【解答】解：∵函数y=log（x2﹣ax+2a）在[1，+∞）上为减函数，则t=x2﹣ax+2a）在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立．则，解得﹣1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣1，2]．5．【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b．6．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】先解不等式x2+2x+1﹣a2＜0得，﹣1﹣a＜x＜a﹣1，得到关于a的不等式组，这个不等式组的解便是a的取值范围．【解答】解：设A={x|x2+2x+1﹣a2＜0}={x|﹣1﹣a＜x＜a﹣1}，B={x|0＜x＜4}依题意知B⊆A，因此，解得a≥5．7．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的周期性和奇偶性，可得=﹣，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=f（x+2），∴==，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴=﹣，∵当x∈（0，1]时，f（x）=，∴=，故=﹣．8．【考点】二分法的定义．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．【解答】解：∵f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）9．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数为奇函数，它的图象关于原点对称，且还关于直线x=1对称，可得函数为周期函数，且周期为4，故f．再由当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，可得f（﹣1）的值．【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），故函数为奇函数，它的图象关于原点对称．再由f（1+x）=f（1﹣x），可得f（2+x）=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），故有f（4+x）=f（x），故函数为周期函数，且周期为4．故f，再由当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，可得f（﹣1）=﹣1．10．【考点】函数的图象．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加．11．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：不妨设a＜b＜c，作出f（x）的图象，如图所示：由图象可知0＜a＜1＜b＜10＜c＜11，由f（a）=f（b）得|lga|=|lgb|，即﹣lga=lgb，∴lgab=0，则ab=1，∴abc=c，∴abc的取值范围是（10，11），故选C．12．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，得出2g （a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．【解答】解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，∵y=2a2﹣4a，a∈R，∴当a=1时，y最小值=﹣2，∵函数f（x）=，f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，∴值域为[﹣2，6]∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选；C二、填空题13．【考点】其他不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】把变为2﹣1，然后利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：=2﹣1，依题意得：x2+2x﹣4≤﹣1，因式分解得（x+3）（x﹣1）≤0，可化为：或，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集为[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]14．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先利用绝对值不等式化简求出命题p：中k的范围；再把q进行转化，得出k的取值范围，函数y=log2（x2﹣2kx+k）的值域为R，即对应真数能取到所有的正数，即对应的方程的判别式△≥0．最后根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：命题p：，∴k＞1或k＜0，命题q：函数y=log2（x2﹣2kx+k）的值域为R，说明（x2﹣2kx+k）取遍正实数，即△≥0，4k2﹣4k≥0，∴k≥1或k≤0，所以命题P⇒命题q，反之不成立．故答案为：充分不必要．15．【考点】幂函数的性质．【专题】数形结合．【分析】函数y=2﹣x+1+m是由指数函数y=（）x平移而来的，根据条件作出其图象，由图象来解．【解答】解：∵y=2﹣x+1+m=（）x﹣1+m，分析可得函数y=（）x﹣1+m过点（0，2+m），如图所示图象不过第一象限则，2+m≤0∴m≤﹣2故答案为：m≤﹣2．16．【考点】对数的运算性质；函数的最值及其几何意义；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】函数f（x）=log a（x2﹣2x+3）有最小值，可得a的范围，然后利用对数性质解不等式即可．【解答】解：由a＞0，a≠1，函数f（x）=log a（x2﹣2x+3）有最小值可知a＞1，所以不等式log a（x﹣1）＞0可化为x﹣1＞1，即x＞2．故答案为：（2，+∞）三、解答题17．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】（1）m=3时求出集合E，化简集合F，计算E∩F即可；（2）由E∩F=∅，得出关于m的不等式组，从而求出m的取值范围．18．【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）x＜0时，﹣x＞0，代入已知x≥0时，f（x）=﹣4x2+8x﹣3，可得f（﹣x）=﹣4x2﹣8x﹣3，根据偶函数的性质可求得f（x）=﹣4x2﹣8x﹣3；（Ⅱ）根据解析式可作出y=f（x）的图象，根据二次函数的单调性分别求解两段函数的单调区间即可．19．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】令t=2x，可得y=t2﹣2t+2，t∈（0，2]，进而得到D=[1，2]，则f（x）≤g（x）可化为：x2+（k﹣4）x+5≤0，x∈[1，2]恒成立．法一：令g（x）=x2+（k﹣4）x+5，则，解得答案；法二：则k≤（x+）+4在x∈[1，2]时恒成立，故k≤[（x+）+4]min，解得答案．20．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式；（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．21．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间；（Ⅱ）由2e x﹣ax=0，令F（x）==，根据函数的单调性求出a的范围即可．22．【考点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；转化法．【分析】（I）由已知中曲线C1的极坐标方程ρ=2sinθ，曲线C2的参数方程，可得曲线C1，C2的方程为普通方程；（Ⅱ）在曲线C1上取一点A，在曲线C2上取一点B，则线段AB的最小值等于圆心到直线的距离减半径．。

第一次月考数 学理试题【重庆版】数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一. 选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1)i i z +=, 则z =( )A. 1122i +B. 1122i -C. 1122i -+D. 1122i --2. 设0.53a =, 3log 2b =, 0.5log 3c =, 则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a <<3. 函数22x xy e -+=(03x ?) 的值域是（ ）A. 3(,1)e -B. 3[,1)e - C. 3(,]e e - D. (1,]e4. 把ln(1)y x =+的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（ ）A. ln3y x =B. ln 3x y =C. 2ln 3x y += D. ln(32)y x =-5. 函数()2ln 25f x x x =+-的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 3 6．若定义在实数集R 上的偶函数)(x f 满足0)(>x f , )(1)2(x f x f =+, 对任意R x ∈恒成立, 则(2015)f =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 17. 若某程序框图如右图所示, 当输入50时, 则该程序运算后输出的结果是( )A. 8B. 6C. 4D. 28. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后x分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h厘米, 已知当0x=时, 13h=. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完. 则函数()h f x=的图像为（）A. B.C. D.9. 函数|1|,1()21,1xa xf xx-ì=ïï=íï+?ïî,若关于x的方程22()(25)()50f x a f x a-++=有五个不同的实数解, 则a的取值范围是（）A.55(2,)(,)22+∞B.(2,)+? C.[2,)+? D.55[2,)(,)22+?U10. 若定义域在[0,1]的函数()f x满足：①对于任意12,[0,1]x xÎ，当12x x<时，都有12()()f x f x³;②(0)0f=;③1()()32xf f x=;④(1)()1f x f x-+=-,则19()()32014f f+=（）A.916- B．1732- C．174343- D．5121007-二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

1．下列关于线粒体的叙述，错误的是2. 下列运输过程无囊泡参与的是 2016 年全国普通高考重庆适应性测试（第一次）理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H —1C —12 N —14O —16Na —23 Al —27S —32Cl —35.5 K —39 Br —80第Ⅰ卷一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

．． A ．可独立合成部分蛋白质B ．蓝藻的有氧呼吸过程无线粒体参与C ．内膜折叠成嵴有利于 ATP 的合成D ．在人心肌细胞中的数量少于腹肌细胞．A ．DNA 聚合酶进入细胞核B ．病菌被吞噬后运输到溶酶体C ．神经递质运输至突触前膜D ．分泌蛋白由内质网运输到高尔基体3．下列叙述正确的是A ．DNA 中鸟嘌呤的数量总是等于胸腺嘧啶的数量B ．细胞中不同的氨基酸可以由同一种 tRNA 携带C ．遗传信息的传递和表达都涉及碱基配对的过程D ．真核生物基因的碱基数是肽链氨基酸数的 3 倍理科综合试题第 1 页（共 16 页）选项①中试剂 ②中溶液 实验目的A 二氧化锰（s ），浓盐酸 饱和食盐水 制取氯气B Na 2SO 3（s ），70%H 2SO 4酸性高锰酸钾验证 SO 2 的还原性 C Na 2CO 3（s ）或 NaHCO 3（s ） 澄清石灰水 鉴别 Na 2CO 3 和 NaHCO 3 D乙醇，乙酸，浓硫酸饱和碳酸钠制取乙酸乙酯5．下列对艾滋病患者的相关叙述，错误的是4．下列选项中，为光合作用暗反应阶段所必需的是A ．光能、H 2O 、叶绿素、类胡萝卜素 C ．光能、酶、H 2O 、[H]B ．叶绿素、类胡萝卜素、ATP 、CO 2 D ．酶、CO 2、[H]、ATP．． A ．体内具有相应的记忆细胞和抗体 B ．机体三道防线的防御能力均显著降低 C ．正常人与其握手或者拥抱不会感染艾滋病 D ．与先天无胸腺的人一样，体内 T 细胞数目异常 6．下列与实验试剂相关的叙述，正确的是A ．苏丹Ⅲ染液能将脂肪组织样液染成红色B ．健那绿染液能使细胞核中的核酸呈现绿色C ．酸性重铬酸钾溶液可用于酵母菌发酵产物的检测D ．双缩脲试剂由甲液和乙液组成，临用前等量混匀7．化学与生活密切相关，下列日常生活小窍门中涉及化学反应的是A ．用醋除去水壶内壁上的水垢 C ．用活性炭去除冰箱中的异味B ．用肥皂润滑皮包上的拉链 D ．用汽油清除衣服上的油漆 8．分子式为C 10H 14 并能在 FeBr 3 催化作用下与 Br 2 发生取代反应且环上有两个烷基的有机物有 A ．6 种B ．7 种C ．8 种D ．9 种9．用如图所示装置进行下列实验，装置正确并能达到实验目的的是理科综合试题第 2 页（共 16 页）数比 d 小 8，a 、b 和 c 的最外层电子数分别为 7、1 和 4。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A.-2 B.1 C.2 D.1或-2 【答案】A考点：复数的相关概念．2.已知集合{})4(log 22x y x A -==，{}12+==xy y B ，则=B A （ ）A.φB.(1,3)C. ),1(+∞D.(1,2) 【答案】D 【解析】试题分析：由240x ->，得22x -<<，所以(2,2)A =-，又(1,)B =+∞，所以)2,1(=B A ，故选D ．考点：1、函数的定义域与值域；2、集合的交集运算．3.直线l 过点(0,2)，被圆0964:22=+--+y x y x C 截得的弦长为32，则直线l 的方程是（ ） A.234+=x y B.231+-=x y C.2y = D. 234+=x y 或2y =【答案】D 【解析】试题分析：将圆C 的方程化为标准方程为：4)3()2(22=-+-y x ，所以圆心为(2,3)，半径为2．由弦长公式L ==1d =．显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为2y kx -=，即2y kx =+，则由点到直线的距离公式，得1d ==，解得0k =或34=k ，所以直线l 的方程为2y =或234+=x y ，故选D ． 考点：1、点到直线的距离；2、弦长公式；3、直线的方程．【知识点睛】求直线与圆相交所得弦的长主要是有两种方法，一是直接利用弦长公式L =R 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，其次运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为（ ）A.87 B.109 C.98 D.1110 【答案】C考点：程序框图．5.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足0328274=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则1083b b b =（ ）A.1B.8C.4D.2 【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，则由题意，得0)(3237277=++--d a a d a ，解得27=a 或07=a （舍去），所以33738107774()()8b b b b b q b q b q==，故选B ． 考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式．6.已知函数()f x 是定义在),(+∞-∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2016()2015()2014(f f f +-+的值为（ ）A.-1B.-2C.2D.1 【答案】A 【解析】试题分析：因为对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，所以当0≥x ，()f x 是以2为周期的函数，又()f x 是定义在),(+∞-∞上的奇函数，所以(2014)(2015)(2016)f f f +-+＝(2014)(2015)f f -＋(2016)f ＝2(0)(1)(0)(1)log 21f f f f -+=-=-=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、周期函数．【知识点睛】(1)若函数()f x 为偶函数，则函数在y 轴两侧单调性相反；若函数()f x 为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同；(2)利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．7.对于函数()cos f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 的最小正周期是π2；③点)0,2(π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间]4,0[π上单调递增，其中是真命题的为（ ） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 【答案】B考点：1、命题真假的判定；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性；4、函数的图象与性质．8.设x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则ba 32+的最小值为（ ） A.625B.38C.311D.4【答案】A 【解析】试题分析：作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 经过点()4,6A 取得最大值12，即4612a b +=，亦即236a b +=，所以232323()6a b a b a b ++=+＝131325()666b a a b a b ++≥+=，当且仅当b a a b =，即65a b ==时等号成立，故选A ．考点：1、简单的线性规划问题；2、基本不等式．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知ax by m +=﹙0,0,0a b m >>>﹚求(c 0,0)c dd x y+>>的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c dm x y+（ax by +)，展开后利用基本不等式求解． 9.在ABC ∆中，内角A B C ,,的对边长分别为a b c ,,，已知b c a =-22，且sin()A C -＝2cos sin A C ，则b =（ ）A.6B.4C.2D.1 【答案】C考点：1、两角和与差的正弦；2、正余弦定理．10.已知正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（ ）A.39B.36C.38D.6 【答案】D考点：1、棱锥的三视图；2、棱锥的侧面积．11.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，已知点A B ,为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最大值为（ ）A.2B.33C.1D.332 【答案】B 【解析】试题分析：过A B ，分别作抛物线准线的垂线AQ BP ，，垂足分别为Q P ，，连接AF BF ，，设a AF =，b BF =，则由抛物线定义，得AQ a =，BP b =，所以2ba MN +=．在ABF ∆中由余弦定理得：222222cos120AB a b ab a b ab =+-︒=++，所以ABMN＝a b+=，当且仅当a b =时等号成立，故选B ．考点：1、抛物线的定义；2、余弦定理；3、基本不等式．12.若函数()f x 在[,]a b 上的值域为]2,2[ba ，则称函数()f x 为“和谐函数”.下列函数中：①411)(+-=x x g ；②)81)21((log )(21+=x x h ；③x x p 1)(=；④x x q ln )(=，“和谐函数”的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】C考点：1、新定义；2、函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数⎩⎨⎧≤>=,0,2,0,log )(3x x x x f x 则=)))31(((f f f _____________．【答案】21log 3 【解析】试题分析：1331111((()))((log ))((1))(2)()log 3322f f f f f f f f f -==-===． 考点：分段函数求值．【方法点睛】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值．另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用． 14.二项式)()212(*∈-N n xx n的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20 【解析】试题分析：由题意知，展开式中有7项，6n =．因为r r r r rr r r x C xx C T 262666612)1()21()2(---+-=-=，令620r -=，得3r =，所以常数项为336(1)20C -=-．考点：二项式定理．15.ABC ∆中，120A ∠=︒，A ∠的平分线AD 交边BC 于D ，且2AB =，2CD DB =，则AD 的长为___________．【答案】34考点：余弦定理．【一题多解】由题意B C D ，，三点共线，且12=BD CD ，则1233AD AC AB =+，根据角平分线的性质21==CD BD AC AB ，所以4AC =，222221214416()339999AD AD AC AB AC AB AC AB ==+=++⋅=，所以34=AD .16.A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==， AD BC =，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．【答案】20 【解析】试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．考点：1、棱锥的体积；2、长方体的性质．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11=a ，且满足)(0)1(11*++∈=+-N n a a a n n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nn n a c 3=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）n a n 1=；（2）4334)12(1+⨯-=+n n n S ．考点：1、等差数列的定义；2、数列的通项；3、错位相减法．【易错点睛】用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．18.（本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）分数在的有18603.0=⨯人，并且ξ的可能取值为0,1,2,3,4. ......................7分则1187)0(260215===C C P ξ；11827)1(260127115===C C C P ξ，590207)2(260227118115=+==C C C C P ξ； 29581)3(260118127===C C C P ξ；59051)4(260218===C C P ξ. ..........................9分 所以ξ的分布列为...................................11分1.2590514295813590207211827111870)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ........................12分考点：1、频率分布直方图；2、平均分；3、分布列；4、数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点.（1）求证：平面E AD 1⊥平面E D A 11； （2）求二面角B AC E --1的正切值． 【答案】（1）见解析；（2）36．试题解析：（1）证明：如图，在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，1AB =，（2）解：方法一：因为AB ⊥平面11BCC B ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B ，所以只需在平面11BCC B 内过点E 作1EF BC ⊥于F ，而EF ⊥平面1ABC . 如图，过F 作1FG AC ⊥于G ，连接EG ，则EGF ∠就是二面角B AC E --1的平面角. .....................8分在1EBC ∆中，55211111=⋅==BC B C EB BC S EF EBC △， 所以5532211=-=EF E C F C . 在1ABC ∆中，1030sin 1111=⋅=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG . ..................10分设平面1AEC 的一个法向量为),,(z y x =，则)1,1,1(00-=⇒⎩⎨⎧=-=+z x z y ，同理可得，平面1ABC 的一个法向量为)1,0,2(=， ..................10分 代入公式有：515353,cos =⋅>=<n m ，所以二面角B AC E --1的平面角的正切值大小为36. .................12分 考点：1、空间垂直关系的判定；2、二面角．20.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，作直线l 交椭圆于P Q ，两点，M为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k ，3221-=k k .（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点)0,3(-D ，且满足QD DP 2=，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）1101522=+y x ． 【解析】（2）由（1）知33==a c e ，得22222,3c b c a ==， 可设椭圆C 的方程为：222632c y x =+，设直线l 的方程为：3-=my x ，代入椭圆C 的方程有06634)32(222=-+-+c my y m ，.......6分因为直线l 与椭圆C 相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ，由韦达定理：3234221+=+m my y ，32662221+-=m c y y ． 又2=，所以212y y -=，代入上述两式有：329666222+-=-m m c ，..........8分 所以32)66)(32(448232321222221+-+-=∆=-=∆m c m m a y y OD S OPQ..................9分2633211832182≤+=+=mm m m ， .......................10分 当且仅当232=m 时，等号成立，此时52=c ，代入∆，有0>∆成立， 所以所求椭圆C 的方程为：1101522=+y x . .........................12分 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式．【方法点睛】直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程．当0∆>时，直线与圆锥曲线相交，设交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长12||()AB x x =+21.（本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=kx x x f . （1）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：)2,(410)11(1ln 154ln 83ln 32ln 22≥∈++<++-+⋅⋅⋅+++*n N n n n n n n n ． 【答案】（1）1≥k ；（2）见解析．考点：1、导数与最值的关系；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数()f x '的符号能够确定为正或为负． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，在ABC ∆中，DC AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 交DC 于点F ，若3BF FC ==，2DF FE ==．（1）求证：AC AE AB AD ⋅=⋅； （2）求线段BC 的长度．【答案】（1）见解析；（2）30=BC ．即3053532=⨯+⨯=⋅+⋅=BE BF CD CF BC ， ........................8分 所以30=BC . . ..................10分 考点：1、四点共圆；2、割线定理．23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知曲线C 的参数方程为：θθθ(,sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数），直线l 的参数方程为：t t y t x (,1,32⎩⎨⎧+=+=为参数），点()2,1P ，直线l 与曲线C 交于A B ，两点. （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程； （2）求PB PA ⋅的值．【答案】（1）曲线C 的标准方程为：1222=+y x ；直线l 的标准方程为：0323=+--y x ．（2）165．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系． 24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 （1）设函数a x x x f --++=21)(的定义域为R ，试求a 的取值范围；（2）已知实数x y z ，，满足231x y z ++=，求222z y x ++的最小值． 【答案】（1）3≤a ；（2）141．考点：1、绝对值不等式的解法；2、柯西不等式．。

2016年重庆一中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1}D．∅2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a ⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若f（x）为偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣2＜x＜2}5．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面周长约为（）A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺6．设点O是边长为1的正△ABC的中心（如图所示），则（+）•（+）=（）A．B．﹣C．﹣D．7．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．8．设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．19．如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0，1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数t=f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y=x 是双曲线C 的一条渐近线，以线段OF 为边作正三角形AOF ，若点A 在双曲线C 上，则m 的值为（ ）A ．3+2B ．3﹣2C ．3+D ．3﹣12．设函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 有两个极值点x 1，x 2，若点P （x 1，f （x 1））为坐标原点，点Q （x 2，f （x 2））在圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1上运动时，则函数f （x ）图象的切线斜率的最大值为（ ）A ．3+B ．2+C ．2+D ．3+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数y=f （x +1）﹣1（x ∈R ）是奇函数，则f （1）= ．14．在二项式（+2x）n的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中x4的系数为．15．已知直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1分别与圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=16相交于A，B和C，D，则四边形ABCD的内切圆的面积为．16．在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，其前n项和为S n，且当n≥2时，a n+1S n﹣a n S n=0．﹣1（1）求证：数列{S n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18．某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．（1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；2X X X的数学期望．工人将如图所示的长方体ABCD ﹣EFGH材料切割成三棱锥H﹣ACF．（Ⅰ）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；（Ⅱ）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．（i）甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求出三棱锥H﹣ACF的高．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？（请直接写出t的值，不要求写出演算或推证的过程）．20．已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．（1）求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=aln（x+b），g（x）=ae x﹣1（其中a≠0，b＞0），且函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线与函数g（x）的图象在点B（0，g（0））处的切线重合．（1）求实数a，b的值；（2）记函数φ（x）=xf（x﹣1），是否存在最小的正常数m，使得当t＞m时，对于任意正实数x，不等式φ（t+x）＜φ（t）•e x恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B 作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F 在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（l）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．2016年重庆一中高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1}D．∅【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】分别求出M、N的范围，在求交集．【解答】解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}={y|y＞0}，∴M∩N={x|0＜x＜1}，故选C．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a ⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分析题可知：在题目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性质定理可由“α⊥β”推出“a⊥b”，从而可得答案．【解答】解：由题意可得α∩β=l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．故选B4．若f（x）为偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣2＜x＜2}【考点】其他不等式的解法．【分析】由条件利用函数的单调性以及图象的对称性可得﹣1＜x﹣1＜1，由此求得x的范围．【解答】解：∵f（x）为偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减．则由不等式f（x﹣1）＜1，结合函数的单调性可得|x﹣1|＜1，即﹣1＜x﹣1＜1，求得0＜x ＜2，故选：A．5．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面周长约为（）A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，由题意和圆柱的体积公式列出方程，求出r，由圆的周长公式求出圆柱底面周长．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，由题意得，πr2×13=2000×1.62，解得r≈9（尺），所以圆柱底面周长c=2πr≈54（尺）=5丈4尺，故选：B．6．设点O是边长为1的正△ABC的中心（如图所示），则（+）•（+）=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据三角形的重心的性质及向量加法平行四边形法则、向量数乘的几何意义便可得出，，从而根据条件进行向量数量积的运算即可求出的值．【解答】解：根据重心的性质，，=；又；∴====．故选C．7．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别计算奖票的所有排列情况和第四次活动结束的抽取方法即可．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A=120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A A=36种取法，∴P==．故选：C．8．设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a值．【解答】解：先作出对应的平面区域如图，∵z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，∴作出2x+y=7和2x+y=﹣26的图象，由图象知2x+y=7与x+y﹣4=0相交于C，2x+y=﹣26与3x﹣2y+4=0相交于B，由得，即C（3，1），由得，即B（﹣8，﹣10），∵B，C同时在直线x﹣ay﹣2=0上，∴得，得a=1，故选：D．9．如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论．【解答】解：当x 由0→时，t 从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t 从0→+∞，且单调递增，∴排除A ，B ，C ，故选：D ．10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是四棱锥，且是棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质、分割法、柱体和椎体的体积公式求出该几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是四棱锥M ﹣PSQN ，且四棱锥是棱长为2的正方体的一部分，直观图如图所示：由正方体的性质得，所以该四棱锥的体积为：V=V 三棱柱﹣V 三棱锥=×22×2﹣××22×2=，故选A ．11．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=x是双曲线C的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形AOF，若点A在双曲线C 上，则m的值为（）A．3+2B．3﹣2C．3+D．3﹣【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据正三角形的性质，结合双曲线的性质求出，m=，A（c，c），将A 点的坐标代入双曲线方程可得到关于m的方程，进行求解即可．【解答】解：∵F（c，0）是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线y=是双曲线C的一条渐近线，又双曲线C的一条渐近线为y=x，∴m=，又点A在双曲线C上，△AOF为正三角形，∴A（c，c），∴﹣=1，又c2=a2+b2，∴﹣=1，即+m﹣﹣=1，∴m2﹣6m﹣3=0，又m＞0，∴m=3+2．故选：A．12．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有两个极值点x1，x2，若点P（x1，f（x1））为坐标原点，点Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上运动时，则函数f（x）图象的切线斜率的最大值为（）A．3+B．2+C．2+D．3+【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判断出a＜0，b＞0，得到k max=，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出k的最大值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若点P（x1，f（x1））为坐标原点，则f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣，∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上，∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0，∴k max=﹣=，而表示⊙C上的点Q与原点连线的斜率，由，得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0，得：△=0，解得：k=，∴的最大值是2+，∴k max=3+，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数y=f（x+1）﹣1（x∈R）是奇函数，则f（1）=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】直接利用函数的奇偶性的性质求解即可．【解答】解：函数y=f（x+1）﹣1（x∈R）是奇函数，可知x=0时，y=0，可得0=f（1）﹣1，则f（1）=1．故答案为：1．14．在二项式（+2x）n的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中x4的系数为．【考点】二项式系数的性质．【分析】由=79，化简解出n=12．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：∵=79，化为n2+n﹣156=0，n∈N*．解得n=12．∴的展开式中的通项公式T r+1==22r﹣12x r，令r=4，则展开式中x4的系数==．故答案为：．15．已知直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1分别与圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=16相交于A，B和C，D，则四边形ABCD的内切圆的面积为8π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线方程判断出两条直线垂直，联立后求出交点坐标后可得：交点是圆心，求出四边形ABCD的边长和形状，再求出内切圆的半径和面积．【解答】解：由题意得直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，则互相垂直，由得，，∴直线l1和直线l2交于点（a，1），∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=16的圆心是（a，1），∴四边形ABCD是正方形，且边长是，则四边形ABCD的内切圆半径是2，∴内切圆的面积S==8π，故答案为：8π．16．在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为8．【考点】正弦定理．【分析】由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）．可得：当BD经过AC的中点O时取最大值，利用余弦定理可得：OB，可得BD的最大值=OB+AC．【解答】解：由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．∴点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）．∴当BD经过AC的中点O时取最大值，OB2=32+72﹣2×3×7cos∠BAC=25，解得OB=5，∴BD的最大值=5+AC=8．故答案为：8．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，其前n项和为S n，且当n≥2时，a n+1S n﹣a n S n=0．﹣1（1）求证：数列{S n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可证明．（2）当n≥2时，b n==，又．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）证明：当n≥2时，a n+1S n﹣a n S n=0．﹣1∴，∴，又由S1=1≠0，S2=4≠0，可推知对一切正整数n均有S n≠0，则数列{S n}是等比数列，公比q==4，首项为1．∴．=3×4n﹣2，又a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1∴a n=．（2）解：当n≥2时，b n===，又．∴，则，当n≥2时，b n=，则，n=1时也成立．综上：．18．某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．（1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；X的数学期望．离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布表的性质和频率=能求出结果．（2）（1）先求出p=0.4，由此能求出该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率．（2）该同学答题个数为2，3，4，即X=2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由频率分布表的性质得：d==50，a==0.44，b=50﹣8﹣22﹣14=6，c==0.12．…（2）由（1）得p=0.4…（1）…（2）该同学答题个数为2，3，4，即X=2，3，4，，…X+4×0.648=3.488…19．某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD ﹣EFGH材料切割成三棱锥H﹣ACF．（Ⅰ）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；（Ⅱ）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．（i）甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求出三棱锥H﹣ACF的高．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？（请直接写出t的值，不要求写出演算或推证的过程）．【考点】点、线、面间的距离计算；程序框图；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证法一：利用线面平行的判定证明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，从而可得平面MNK∥平面ACF，利用面面平行的性质可得MG∥平面ACF；证法二：利用线面平行的判定证明MG∥平面ACF；（Ⅱ）（i）建立空间直角坐标系，求出平面ACF的一个法向量，求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求出三棱锥H﹣ACF的高（ii）t=2．【解答】（Ⅰ）证法一：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴MK∥平面ACF，同理可证MN∥平面ACF，…∵MN，MK⊂平面MNK，且MK∩MN=M，∴平面MNK∥平面ACF，…又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF．…证法二：连HG并延长交FC于T，连接AT．∵HN=NC，HK=KF，∴KN∥FC，则HG=GT，又∵HM=MA，∴MG∥AT，…∵MG⊄平面ACF，AT⊂平面ACF，∴MG∥平面ACF．…（Ⅱ）解：（i）如图，分别以DA，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．则有A（3，0，0），C（0，2，0），F（3，2，1），H（0，0，1）．…，．设平面ACF的一个法向量，则有，解得，令y=3，则，…∴，…∴三棱锥H﹣ACF的高为．…（ii）t=2．…20．已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．（1）求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的轨迹问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）用坐标表示，，从而可得+，可求|+|，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足|+|=•（+）+2，可得曲线C的方程；（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时，，，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．【解答】解：（1）由=（﹣2﹣x，1﹣y），=（2﹣x，1﹣y）可得+=（﹣2x，2﹣2y），∴|+|=，•（+）+2=（x，y）•（0，2）+2=2y+2．由题意可得=2y+2，化简可得x2=4y．（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=∵﹣2＜x0＜2，∴①当﹣1＜t＜0时，，存在x0∈（﹣2，2），使得∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；②当t ≤﹣1时，，，∴l 与直线PA ，PB 一定相交，分别联立方程组，，解得D ，E 的横坐标分别是，∴∵|FP |=﹣∴=∵∴=×∵x 0∈（﹣2，2），△QAB 与△PDE 的面积之比是常数∴，解得t=﹣1，∴△QAB 与△PDE 的面积之比是2．21．已知函数f （x ）=aln （x +b ），g （x ）=ae x ﹣1（其中a ≠0，b ＞0），且函数f （x ）的图象在点A （0，f （0））处的切线与函数g （x ）的图象在点B （0，g （0））处的切线重合． （1）求实数a ，b 的值；（2）记函数φ（x ）=xf （x ﹣1），是否存在最小的正常数m ，使得当t ＞m 时，对于任意正实数x ，不等式φ（t +x ）＜φ（t ）•e x 恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出f （x ）的导数，求得切线的斜率和方程；求得g （x ）的导数，求得切线的斜率和方程，由切线重合，可得方程，解得a ，b ；（2）等价变形可构造函数，则问题就是求m （t +x ）＜m （t ）恒成立．求出m（x ）的导数，令h （x ）=lnx +1﹣xlnx ，求出导数，单调区间，运用零点存在定理可得h （x ）的零点以及m （x ）的单调性和最值，结合单调性，即可判断存在．【解答】解：（1）∵f（x）=aln（x+b），导数，则f（x）在点A（0，alnb）处切线的斜率，切点A（0，alnb），则f（x）在点A（0，alnb）处切线方程为，又g（x）=ae x﹣1，∴g'（x）=ae x，则g（x）在点B（0，a﹣1）处切线的斜率k=g'（0）=a，切点B（0，a﹣1），则g（x）在点B（0，a﹣1）处切线方程为y=ax+a﹣1，由，解得a=1，b=1；（2），构造函数，则问题就是求m（t+x）＜m（t）恒成立．，令h（x）=lnx+1﹣xlnx，则，显然h'（x）是减函数，又h'（1）=0，所以h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，而，h（1）=ln1+1﹣ln1=1＞0，h（e）=lne+1﹣elne=1+1﹣e=2﹣e＜0，所以函数h（x）=lnx+1﹣xlnx在区间（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，令为x1和x2（x1＜x2），并且有在区间（0，x1）和（x2，+∞）上，h（x）＜0，即m'（x）＜0；在区间（x1，x2）上，h（x）＞0，即m'（x）＞0，从而可知函数m（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在区间（x1，x2）上单调递增．m（1）=0，当0＜x＜1时，m（x）＜0；当x＞1时，m（x）＞0，还有m（x2）是函数的极大值，也是最大值，题目要找的m=x2，理由：当t＞x2时，对于任意非零正数x，t+x＞t＞x2，而m（x）在（x2，+∞）上单调递减，所以m（t+x）＜m（t）一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；当0＜t＜x2时，取x=x2﹣t，显然m（t+x）=m（x2）＞m（t），题目要求的不等式不恒成立，说明m不能比x2小；综合可知，题目所要求的最小的正常数m就是x2，即存在最小正常数m=x2，当t＞m时，对于任意正实数x，不等式m（t+x）＜m（t）•e x恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B 作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F 在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（l）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．【解答】解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，∴x≥；②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，∴﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，∴x＜﹣1．综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，∴，解得，故a的取值范围是[﹣]．2016年9月4日。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--，2.已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =（A ）{}1（B ）{12}，（C ）{}0123，，， （D ）{10123}-，，，， 3.已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）84.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）25. 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π7. 若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （ D ）349.若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15-（D ）725-10. 从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n11. 已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2 12. 已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

重庆市石柱子中学2016-2017学年高考一模试卷试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A． {（0，1）} B． {x|x≥﹣1} C． {x|x≥0} D． {x|x≥1}2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 43．命题“若x＞1，则x2＞2”的否定是（）A．任意x＞1，x2≤2 B．存在x＞1，x2＞2C．存在x＞1，x2≤2 D．存在x≤1，x2＞24．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A． 180 B． 120 C． 90 D． 455．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A． B．+ C．+ D．+26．若抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（） A． y2=2x B． y2=（﹣4）xC． y2=2x或y2=18x D． y2=3x或y2=（﹣4）x7．如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A． B． C． D．8．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A． B． C． D．9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣1）=a的实根个数最多为（）A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2：3：4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n= ．12．若x＞0，y＞0，且ln3x+ln27y=ln3，则+的最小值为．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，则q= ．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是2，那么AC•AP+BD•BP 的值等于．15．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．16．设函数g（x）=|x﹣3m|+|x﹣1|，m∈R．若存在x0∈R，使得g（x0）﹣4＜0成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．18．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，若函数f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC，设AB=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D1的余弦值；（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，请说明理由．21．如图，焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为．（1）求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，与两椭圆T1，T2分别交于点A，C与点B，D（均不重合）．若2•=3•，求l1与l2的方程．22．设函数f n（x）=x n（1﹣x）2在[，1]上的最大值为a n（n=1，2，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）若数列{a n}的前n之和为S n，证明：对任意正整数n都有S n＜成立．重庆市石柱子中学2016-2017学年高考一模试卷试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A． {（0，1）} B． {x|x≥﹣1} C． {x|x≥0} D． {x|x≥1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，则M∩N={x|x≥0}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长．解答：解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i，∴z+i====﹣i，∴z=﹣2i∴|z|=2故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属基础题．3．命题“若x＞1，则x2＞2”的否定是（）A．任意x＞1，x2≤2 B．存在x＞1，x2＞2C．存在x＞1，x2≤2 D．存在x≤1，x2＞2考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解答：解：全称命题的否定是特称命题，∴命题若x＞1，则x2＞2”的否定是：∃x＞1，x2≤2．故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．比较基础．4．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A． 180 B． 120 C． 90 D． 45考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：由题意可得只有第六项的二项式系数最大，∴n=10．故展开式的通项公式为T r+1=••2r•x﹣2r=2r••，令=0，求得r=2，故展开式中的常数项是 22=180，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A． B．+ C．+ D．+2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，圆锥母线l==2，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r==2，截去的底面弧的圆心角为120°，截去的面积是底面圆面积的，底面剩余部分为S=πr2+sin120°=π+，故几何体的体积为：V=Sh=×（π+）×2=+，故选：B点评：本题考查几何体体积计算．本题关键是弄清几何体的结构特征，是易错之处．6．若抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（） A． y2=2x B． y2=（﹣4）xC． y2=2x或y2=18x D． y2=3x或y2=（﹣4）x考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线上点P到x轴的距离3，设P的坐标为（x0，±3）．根据点P坐标适合抛物线方程及点P 到焦点的距离为5，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到x轴的距离3，∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±3）∵P到抛物线的焦点F（，0）的距离为5，∴由抛物线的定义，得x0+=5 (1)∵点P是抛物线上的点，∴2px0=9 (2)由（1）（2）联立，解得p=1，x0=或p=9，x0=则抛物线方程为y2=2x或y2=18x．故选：C．点评：本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A． B． C． D．考点：选择结构；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：程序框图的功能是求a，b，c的最大值，根据输出的结果是sinθ，建立不等式，然后在给定范围内解三角不等式即可．解答：解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值∵输出的结果是sinθ，∴sinθ最大即解得故选D．点评：本题主要考查了选择结构，以及解三角不等式，弄清算法功能是解题的关键，属于基础题．8．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均不小于1．因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．解答：解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域∵S菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×=8，∴S阴影=S菱形ABCD﹣S空白=8﹣π×12=8﹣π．因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P===1﹣．故选：D点评：本题给出菱形ABCD，求在菱形内部取点，使该点到各个顶点的距离均不小于1的概率．着重考查了菱形的面积公式、圆的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=（）A． B． C． D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：根据已知等式表示出b与c，利用余弦定理得到cosC与cosA，将表示出的b与c代入表示出cosC 与cosA，根据C=2A，得到cosC=cos2A=2cos2A﹣1，将表示出的cosC与cosA代入求出a的值，即可确定出cosC的值．解答：解：由b﹣a=c﹣b=1，得到b=a+1，c=a+2，∴cosC===，cosA===，∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1，即=2（）2﹣1，解得：a=4，∴cosC==，故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣1）=a的实根个数最多为（）A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：将x+﹣1视为一个整体，利用换元的思想方法和已知中函数f（x）=，结合二次函数，指数函数的图象和性质，及函数图象的对折变换，分类讨论，可得答案．解答：解：令t=x+﹣1，则t∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），画出函数f（x）=，x∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）时的图象如下图所示：，由图可知：当a∈[，1）时，关于x的方程f（x）=a的实根个数最多为3个，故关于x的方程f（x+﹣1）=a的实根个数最多为6个，故选：B．点评：本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2：3：4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n= 54 ．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据在分层抽样中，各部分抽取的比例相等，列出比例关系式求得n值．解答：解：∵在分层抽样中，各部分抽取的比例相等，∴=⇒n=54．故答案为：54．点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握方程抽样的特征是解题的关键．12．若x＞0，y＞0，且ln3x+ln27y=ln3，则+的最小值为12 ．考点：对数的运算性质；基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由对数等式得到x+3y=1，把+化为（+）（x+3y），展开后利用基本不等式求最值．解答：解：由ln3x+ln27y=ln3，得ln（3x•27y）=ln3，即3x+3y=3，x+3y=1．又x＞0，y＞0，∴+=（+）（x+3y）=6+．当且仅当，即时上式等号成立．∴+的最小值为12．故答案为：12．点评：本题考查了对数的运算性质，训练了利用基本不等式求最值，关键在于对“1”的灵活运用，是中低档题．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，则q= 3或．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，可得a1=﹣2d或a1=d，根据q=，可得结论．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则∵S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，∴2（2a1+d）2=a1•3（3a1+3d），∴a1=﹣2d或a1=d，∴q==3或．故答案为：3或．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项公式是关键．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是2，那么AC•AP+BD•BP 的值等于16 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，可得点D、M在以AP为直径的圆上；M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理，即可得出结论．解答：解：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，∴AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB2=16．故答案为：16．点评：本题考查了割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用割线定理是关键．15．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是[4，16] ．考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可．解答：解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．点评：本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．16．设函数g（x）=|x﹣3m|+|x﹣1|，m∈R．若存在x0∈R，使得g（x0）﹣4＜0成立，则m的取值范围为（﹣1，）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为|3m﹣1|，结合题意可得|3m﹣1|＜4，即﹣4＜3m﹣1＜4，由此求得m的范围．解答：解：∵函数g（x）=|x﹣3m|+|x﹣1|≥|（x﹣3m）﹣（x﹣1）|=|3m﹣1|，∴g（x）的最小值为|3m ﹣1|．根据存在x0∈R，使得g（x0）﹣4＜0成立，可得|3m﹣1|＜4，故有﹣4＜3m﹣1＜4，求得﹣1＜m＜，故答案为：．点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）首先，化简函数解析式，利用辅助角公式，化简给定的函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解；（2）根据向量共线的条件，同时结合余弦定理进行求解．解答：解：（1）f（x）=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴当sin（2x﹣）=1时，即2x﹣=，得x=，f（x）取得最大值；当sin（2x﹣）=﹣时，即2x﹣=﹣，得x=﹣，f（x）取得最小值；（2）∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，所以sinB=2sinA，根据正弦定理的推论，得b=2a，∴a=1，b=2，由余弦定理c2=1+4﹣2×1×2cosC=5﹣4cos，∵0＜C＜，∴0＜cosC＜1，∴1＜c2＜5，∴1＜c＜，∵c∈N*，∴c=2，经检验符合三角形要求，∴c的值2．点评：本题重点考查三角公式及其灵活运用，正弦定理的推论，余弦定理及其应用等知识，属于中档题．18．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103，奖金的可能取值是0，30，60，240，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，写出分布列和期望值．（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率，和四次抽奖是相互独立的，得到中奖的次数符合二项分布，根据二项分布的方差公式写出结果．解答：解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，∴一等奖的概率P（ξ=240）=，P（ξ=60）=P（ξ=30）=，P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξξ 0 30 60 240P∴E ξ==20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互独立的∴中奖次数η～B（4，）∴Dη=4×点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，若函数f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过f（x）=e x﹣ax﹣1，可得f′（x）=e x﹣a，结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；（2）一方面，由题意及（1）知当a＞0时，f min（x）=f（lna）=a﹣alna﹣1≥0，另一方面通过研究g（a）=a﹣alna﹣1 （a＞0）的单调性得g（a）≤g（1）=0，所以g（a）=0，解得a=1．解答：解：（1）∵函数f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）由题意及（1）知当a＞0时，f min（x）=f（lna），∴f（lna）≥0，即a﹣alna﹣1≥0，记g（a）=a﹣alna﹣1 （a＞0），则g（a）≥0，令g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna=0，解得a=1，∴g（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（a）≤g（1）=0，故g（a）=0，解得a=1．点评：本题考查函数的单调性，最值，构造新函数并研究其单调性是解决本题的关键，属于中档题．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC，设AB=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D1的余弦值；（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，请说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D1的余弦值．（2）设，由A1P∥面EAC，解得，由此推导出存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=3：2．解答：解：（1）设AC∩BD=O，如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，2），设E（0，1，2+h），则=（0，2，h），，=（），∵D1E⊥平面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，∴2﹣2h=0，解得h=1，即E（0，1，3）．∴，．设平面EAC的法向量为，则由．令z=﹣1，得平面EAC的一个法向量为．又平面D1AC的法向量为=（0，2，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣AC﹣D1的余弦值为．（2）设，得，∴=（﹣，，）∵A1P∥面EAC，∴，∴﹣，解得，∴存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=3：2．点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．如图，焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为．（1）求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，与两椭圆T1，T2分别交于点A，C与点B，D（均不重合）．若2•=3•，求l1与l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用待定系数法设方程，根据焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）设出直线l1的方程，分别和椭圆T1的方程及椭圆T2方程联立，求出A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，利用2•=3•，求出k的值，则l1与l2的方程的方程可求．解答：解：（1）设椭圆T1：+=1﹙a＞b＞0﹚，椭圆T2：（n＞m＞0），则，解得，∴椭圆T1：，椭圆T2：4x2+y2=1；（2）设l1的方程为y=kx+1，与椭圆T1联立，得：（4k2+1）x2+8kx=0，由x A≠0，∴x A=﹣，代入y=kx+1得：y A=．∴A（﹣，）．同理C（﹣，）．把A，C中的k置换成﹣，可得B（，），D（，），由2•=3•，可得2[x A x C+y A y C﹣（y A+y C）+1]=3[（x B x D+y B y D﹣（y B+y D）+1]，代入计算可得k=±．∴k=，l1的方程为y=x+1；l2的方程为y=﹣x+1；k=﹣，l1的方程为y=﹣x+1，l2的方程为y=x+1．点评：本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题．22．设函数f n（x）=x n（1﹣x）2在[，1]上的最大值为a n（n=1，2，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）若数列{a n}的前n之和为S n，证明：对任意正整数n都有S n＜成立．考点：数列的求和．专题：证明题；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）易求f′n（x）=x n﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x]，经分析可得n=1时，；当时f′n（x）＞0，当时f′n（x）＜0，函数f n（x）在处取得最大值，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，利用分析法：要证，即证，再利用二项式定理即可证得该式成立，从而使结论得证；（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，结合（2）的证明及放缩法的应用，即可证得对任意正整数n都有S n＜成立．解答：解：（1）由，当时，由f′（x）=0得x=1或；当n=1时，，f′1（x）=0，则；当n=2时，，则；当n≥3时，，而当时f′n（x）＞0，当时f′n（x）＜0，故函数f n（x）在处取得最大值，即：，综上：…（6分）（2）当n≥2时，要证，即证，而，故不等式成立…（10分）（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，由（2）的证明可知：，从而…点评：本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，突出考查导数的应用，考查分析法、放缩法的综合应用及推理论证能力，属于难题．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，,则（）A． B． C． D．【答案】B考点：集合运算与指、对数函数的性质.2.在等比数列中，，，则（ )A． B． C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，又因为，所以,,故选C。

考点：等比数列的通项公式.3。

复数(其中为虚数单位),则下列说法中正确的是（ )A．在复平面内复数对应的点在第一象限 B．复数的共轭复数C．若复数（）为纯虚数,则 D．复数的模【答案】C【解析】试题分析：复数，所以在复平面内对应的点为在第四象限内，所以A错误；其共轭复数为，所以B错误；当为纯虚数时，，所以C正确;，所以D错误,故选C。

考点:复数的运算与复数的有关概念。

4。

设双曲线(）的渐近线方程为,则其离心率为（ )A． B． C．D．【答案】A考点：双曲线的简单几何性质.5。

如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是（）A． B． C．D．或【答案】B【解析】试题分析：当，即时，三角形为直角三角形，不合题意；当即时，三角形只有一解，其中要使为锐角三角形，应有，所以实数的取值范围是，故选B.考点：正弦定理解三角形。

6。

已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内,则黄豆落在内的概率是( )A． B． C．D．【答案】D考点：向量的线性运算与几何概型.7.一个四面体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示，则这个几何体四个表面中最小的一个表面面积是（ )A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为正方体中如下图所示的三棱锥，其中点为棱的中点，其侧面中面积最小的是与，其面积为，故选C.考点：简单几何体的三视图。

8.右边程序框图的算法思路源于数学著名《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的，分别为，，则输出的（ )A． B． C．D．【答案】C考点：程序框图9.下面给出的命题中：①已知函数,则；②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；③已知随机变量服从正态分布，且,则;④已知，，则这两圆恰有条公切线．其中真命题的个数是( ）A． B． C．D．【答案】B考点:微积分基本定理、平面内两直线垂直的条件、圆与圆的位置关系及正态分布.10。

2016重庆高考理科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3 （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =k π2–π6(k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12(k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α=（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，学科&网1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A（B ）32（C（D ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. 学科.网（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2016年重庆市大足一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣2x﹣3≥0}，Q={x|1＜x＜4}，则P∩Q=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|3≤x＜4}C．{x|x≥4或x＜﹣3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}2．设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）A．B． C．D．3．已知角α的终边经过点（﹣3，4），则的值（）A．B．﹣C．D．﹣4．如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.75．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（ ） A ．120 B ．240 C ．360 D ．4807．若函数f （x ）=2x 2﹣lnx 在其定义域内的一个子区间（k ﹣1，k +1）内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1，3）B ．C ．D ．8．已知（1﹣x ）（1+2x ）5，x ∈R ，则x 2的系数为（ ） A ．50 B ．20 C ．30 D ．409．某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．6πB ．8πC ．7πD ．11π10．已知函数的部分图象如图所示，其中N ，P的坐标分别为，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．11．若实数x ，y 满足，则的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．12．已知定义域为R 的奇函数f （x ）满足f （x ）+f （2﹣x ）=0，且当x ∈[﹣1，0）时，f（x ）=﹣，函数g （x ）为偶函数，且当x ≥0时，g （x ）=，则方程g （x ）﹣f（x ）=1区间[﹣3，3]上的解的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．已知平面向量与的夹角为，则=．14．执行如图所示的程序框图，则输出的数S=15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的体积为．16．已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且成等比数列，，则的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知公差不为0的等差数列{a n}满足，且a3，a5，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和S n．18．某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，，．（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为ɛ，试求ɛ的期望．19．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，CF⊥DB1，且A1F=1．（1）求证：CF⊥平面B1DF；（2）求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）【选修4-1几何证明选讲】22．如图，半径为的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1．（1）求证：△ABC相似于△ACD；（2）求AC的长．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，已知直线与圆O：ρ=4．（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长．【选修4-5不等式选讲】24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围．2016年重庆市大足一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣2x﹣3≥0}，Q={x|1＜x＜4}，则P∩Q=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|3≤x＜4}C．{x|x≥4或x＜﹣3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}【考点】交集及其运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q并集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，即P={x|x＜﹣1或x＞3}，∵Q={x|1＜x＜4}，∴P∪Q={x|3≤x＜4}，故选：B2．设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）A．B． C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z的共轭复数，则答案可求．【解答】解：∵==，∴复数的共轭复数为．则复数的共轭复数的虚部为：．故选：B．3．已知角α的终边经过点（﹣3，4），则的值（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；直线与圆的位置关系．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则sinα=，cosα=，∴=sinαcos+cosαsin=﹣×=，故选：C．4．如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.7【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用频率和为1求出a的值，再利用平均数的定义求出体重的平均数．【解答】解：根据频率分布直方图，得；（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1，解得a=0.02，所以这50名儿童的体重的平均数为=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6．故选：C．5．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得=，即，解得e2=，e=．故选：A．6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．480【考点】计数原理的应用．【分析】先从5个个部门任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案【解答】解：先从5个个部门任选三个，有C53=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有C53•C42•A33=360，故答案为：360．7．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，3）B． C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得1≤k＜，故选：B．8．已知（1﹣x）（1+2x）5，x∈R，则x2的系数为（）A．50 B．20 C．30 D．40【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，（1﹣x）（1+2x）5展开式中x2的系数为（1+2x）5的展开式中x2的系数与x的系数之差，求出即可．【解答】解：因为（1﹣x）（1+2x）5=（1+2x）5﹣x（1+2x）5，（1+2x）5的通项公式为T r+1=•2r•x r，所以x2的系数为：•22﹣•2=40﹣10=30．故选：C．9．某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6πB．8πC．7πD．11π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．【解答】解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S==7π，故选：C．10．已知函数的部分图象如图所示，其中N，P的坐标分别为，则函数f（x）的单调递减区间不可能为（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】解法一：根据题意，求出函数f（x）的解析式，得出f（x）的递减区间，再判定4个选项中是否为f（x）的单调减区间．解法二：求出函数f（x）的周期T=π，判定选项D区间长度是3T，f（x）不是单调减函数，由此得出结论．【解答】解：（法一）根据题意，设函数f（x）=Acos（ωx+φ）的周期为T，则T=﹣=，解得T=π，∴ω=2；又x=，∴2×+φ=π+kπ，k∈Z；解得φ=﹣+kπ，k∈Z；，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=Acos（2x﹣）；令2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，当k=0时，x∈[，]，f（x）是单调减函数，A满足题意；当k=﹣1时，x∈[﹣，﹣]，f（x）是单调减函数，B满足题意；当k=2时，x∈[，]，f（x）是单调减函数，又[，]⊂[，]，∴C满足题意；当k=1时，x∈[，]，f（x）是单调减函数，又[，]⊂[，]，∴D不满足题意．（法二）根据题意，设函数f（x）=Acos（ωx+φ）的周期为T，则T=﹣=，解得T=π；又选项D中，区间长度为﹣=3π，∴f（x）在区间[，]上不是单调减函数．故选：D．11．若实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z的最小值．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：A（3，0），C（2，1），z==1+∈[，2]，故选：A．12．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=0，且当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣，函数g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=，则方程g（x）﹣f（x）=1区间[﹣3，3]上的解的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】确定f（x）的周期为2，作出y=f（x）与y=g（x）﹣1（0，3]的图象，即可得出结论．【解答】解：∵定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（﹣x+2）=f（﹣x），∴f（x）的周期为2，作出y=f（x）与y=g（x）﹣1（0，3]的图象，如图所示，有两个交点，根据对称性，方程g（x）﹣f（x）=1区间[﹣3，3]上的解的个数为4．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．已知平面向量与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积以及向量的模的求法运算法则化简求解即可．【解答】解：向量与的夹角为，可得=||||cos=2×1×=，则==．故答案为：．14．执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=1，i=3，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，S=4，i=5，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，S=9，i=7，不满足退出循环的条件；…第n次执行循环体后，S=n2，i=2n+1，不满足退出循环的条件；…第49次执行循环体后，S=492，i=99，不满足退出循环的条件；第50次执行循环体后，S=502，i=101，满足退出循环的条件；故输出的S值为：2500，故答案为：250015．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的体积为．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由于三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为直角三角形，把三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线就是球O的直径，求出球O的直径，进而求出球O的半径，代入球的体积公式求解即可．【解答】解：由于三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为直角三角形，把三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线就是球O的直径，所以球O的半径=，则球O的体积是：=．故答案为：．16．已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且成等比数列，，则的最小值为．【考点】等比数列的通项公式；余弦定理．【分析】由成等比数列，可得sinB=2sinCcosA，利用正弦定理余弦定理可得：b=2c×，化为：c=a．可得sinB=2sinCcosA，S==．由，可得S=．由18，可得1≤a≤3．代入，再利用导数研究其单调性最值即可得出．【解答】解：∵成等比数列，∴sinB=2sinCcosA，∴b=2c×，化为：c=a．∴sinB=2sinCcosA=2××=，S==．∵，∴S=．∵18，∴2≤2a2≤18，∴1≤a≤3．则===1﹣．令f（a）=，则f′（a）=，∵1≤a≤3．可知：当a=2时，f（a）取得最大值，f（2）=．∴的最小值为1﹣=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知公差不为0的等差数列{a n}满足，且a3，a5，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）通过设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），并用第二项及公差表示出第三、五、九项，然后利用a3，a5，a9成等比数列，计算可知公差，进而可得通项公式；（2）通过（1）可知b n=n•3n，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由可知a3=+d，a5=+3d，a9=+7d，∵a3，a5，a9成等比数列，∴=（+d）（+7d），整理得：d2=d，解得：d=或d=0（舍），∴a n =+（n ﹣2）=；（2）由（1）可知=n •3n ，∴S n = [1•3+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，3S n = [1•32+2•33+…+（n ﹣1）•3n +n •3n+1]，两式相减得：﹣2S n =（3+32+33+…+3n ﹣n •3n+1），∴S n =﹣ [﹣n •3n+1]=•3n+1+．18．某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，，．（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为ɛ，试求ɛ的期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P （A ）=，P（B ）=，P （C ）=（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，②乙未被选中，甲、丙被选中，③丙未被选中，甲、乙被选中，3个方案被选中，概率为××=从而求概率；（2）由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3．求其概率从而求数学期望．【解答】解：记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=．（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P 1=××=．②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P 2=××=．③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P 3=××=．以上三种情况是互斥的．因此只有两个方案被选中的概率为P=．3个方案被选中，概率为××=，∴三个方案至少有两个被选中的概率为+=；（2）由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3．P（ɛ=0）=××=；P（ɛ=1）=××+××+××=；由（1）知P（ɛ=2）=；P（ɛ=3）=××=．故Eɛ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，CF⊥DB1，且A1F=1．（1）求证：CF⊥平面B1DF；（2）求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明CF⊥B1F即即可证明CF⊥平面B1DF；（2）根据二面角的定义先找出二面角的平面角即可求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，D为A1C1的中点，∴DB1⊥AA1，∵CF⊥DB1，CF∩⊥AA1=F．∴DB1⊥平面AA1CC1．∴DB1⊥A1B1，则△A1B1C1为等腰直角三角形，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中高为3，AC=2，A1F=1∴AB=BC=，AF=2，FB1=，B1C=，CF=2，满足B1F2+CF2=B1C2，即CF⊥B1F，∵CF⊥DB1，DB1∩B1F=B1，∴CF⊥平面B1DF；（2）∵CF⊥平面B1DF，B1F⊂平面B1DF，DF⊂平面B1DF，∴CF⊥B1F，CF⊥DF，∵DB1⊥平面AA1CC1．∴∠B1FD是平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的平面角，则B1D=1，DF=，则cos∠B1FD===，即平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x﹣2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．【解答】解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*，∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，则b=c，，代入*式得b=c=1即a=b=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0∴，设S（x1，y1），T（x2，y2）则，当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意．当t≠0时得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，∴，，将上式代入椭圆方程得：，整理得：由知0＜t2＜4，所以t∈（﹣2，2）．21．已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）把方程化为=x2﹣2ex+a，求得h（x）=的最大值为h（e）=，再求得m（x）=x2﹣2ex+a 的最小值m（e）=a﹣e2，根据a﹣e2=求出a的值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，①△=1+4a≤0即a≤﹣时，x2+x﹣a≥0，则f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）递增，②①△=1+4a＞0即a＞﹣时，令f′（x）=0，解得：x1=＜0，x2=，若﹣＜a≤0，则x2≤0，∴f（x）在（0，+∞）递增，若a＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）关于x的方程g（x）=﹣f（x）+lnx+2e，可化为=x2﹣2ex+a，令h（x）=，令h′（x）=0，得x=e，故h（x）的最大值为h（e）=．令m（x）=x2﹣2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值m（e）=a﹣e2，由a﹣e2=可得a=e2+．【选修4-1几何证明选讲】22．如图，半径为的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1．（1）求证：△ABC相似于△ACD；（2）求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）利用已知可得△ABC，△ACD为直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC=∠ACD，从而可证△ABC∽△ACD．（2）由（1）可得△ABC∽△ACD，利用相似三角形的性质可得=，进而即可解得AC的值．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∴△ABC直角三角形，∴△ACD为直角三角形，∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，得证．（2）∵由（1）可得△ABC∽△ACD．∴=，∴AC2=AB•AD，∵AB=9，AD=1，∴AC2=9，解得AC=3．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，已知直线与圆O：ρ=4．（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，（2）利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．【解答】解：（1）∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，（2）圆心到直线的距离为：d==2，∴截得的弦长为：2=4．【选修4-5不等式选讲】24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由基本不等式可得；（2）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab=，当且仅当a=b=时“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（2）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，∴+=（+）（a+b）=2++≥4，当且仅当a=b=时“=”成立，若恒成立，则只需|2x﹣1|﹣|x+1|≤4即可，只需或或，解得：﹣2≤x≤6．2016年8月15日。