中考三角形的内切圆专题

三角形内切圆一．选择题1．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°2．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O 作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．B．2C．D．4．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm5．如图，在平整的桌面上面一条直线l，将三边都不相等的三角形纸片ABC平放在桌面上，使AC与边l对齐，此时△ABC的内心是点P；将纸片绕点C顺时针旋转，使点B落在l上的点B'处，点A落在A'处，得到△A'B'C'的内心点P'．下列结论正确的是（）A．PP'与l平行，PC与P'B'平行B．PP'与l平行，PC与P'B'不平行C．PP'与l不平行，PC与P'B'平行D．PP'与l不平行，PC与P'B'不平行6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则点F为（）A．△ABC的外心B．△ABC的内心C．△BCE的外心D．△ABE的内心7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠EDF的度数是（）A．60°B．130°C．50°D．65°8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（）A．64°B．120°C．122°D．128°9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOBC．4∠AIB﹣∠AOB＝360°D．2∠AOB﹣∠AIB＝180°10．如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE ⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则OP＝．正确的个数有（）A．2B．3C．4D．0二．填空题11．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC ＝5，BC＝6，则DE的长是．12．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为．13．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝．14．如图，△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝50°，点P为AB边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为△BPC的内心则：（1）CP的最小值＝；（2）∠CIB的取值范围是．15．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝°．三．解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．（1）求⊙O半径的长．（2）求证：BC＝BI．17．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC 的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．18．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．2．解：∵点O为△ABC的内心，∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∴∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝∠CBA，∴∠AOB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），∵∠C＝58°，∴∠CAB+∠CBA＝122°，∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，故选：A．3．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴OE＝OH＝OF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴×3×4＝×3×OH+×3×OF+×3×OE，∴OE＝OF＝OH＝1，法一：∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴四边形OFBH是矩形，∴BF＝OH＝1，∴CF＝3，∵点O为Rt△ABC的内心，∴∠OCF＝∠OCE，又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，∴△COE≌△COF（AAS），∴CE＝CF＝3，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，∴OD＝DC，∵OD2＝DE2+OE2，∴CD2＝（3﹣CD）2+1，∴CD＝；法二：过D作DG⊥BC，垂足为G，如下图所示，∵AB⊥BC，DG⊥BC，OF⊥BC，OD∥BC，∴AB∥DG，DG＝OF＝1，∴△ABC∽△DGC，∴，∴，∴DC＝；故选：A．4．解：如图，连接AI，BI，∵点I为△ABC的内心，∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，∴DI∥AC，EI∥BC，∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，∴DA＝DI，EB＝EI，∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4．所以图中阴影部分的周长为4．故选：D．5．解：如图，连接CP、CP′、PP′、P′B′，∵三角形纸片ABC绕点C顺时针旋转，∴CP＝CP′，∴∠CPP′＝∠CP′P，∴2∠CPP′+∠PCP′＝180°，∵△ABC的内心是点P，∴∠ACP＝ACB，∵∠A′CB′＝∠ACB，∠B′CP′＝A′CB′，∴2∠ACP+∠PCP′＝180°，∴∠CPP′＝∠ACP，∴PP′∥l；∵∠BCA≠∠A′B′C，∴∠PCA≠∠P′B′C，∴PC与P′B′不平行．所以PP′与l平行，PC与P′B′不平行．故选：B．6．解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AD是∠BAC的角平分线，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA＝36°，∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE是∠ABC的角平分线，∵BE、AD交于点F，∴点F是三角形内角平分线的交点，∴点F是△ABC的内心．故选：B．7．解：连接IF，IE，∵∠B＝60°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴IF⊥AB，IE⊥AC，∵∠A＝50°，∴∠FIE＝130°，∴∠EDF＝＝＝65°．故选：D．8．解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故选：C．9．解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+∠AOB，即4∠AIB﹣∠AOB＝360°．故选：C．10．解：不妨设∠BAD＝∠ABC，则＝，∵＝，∴＝＝，这个显然不符合题意，故①错误，连接OD，∵GD是⊙O的切线，∴OD⊥DG，∴∠ODG＝90°，∴∠GDP+∠ODA＝90°，∵GE⊥AB，∴∠AEP＝90°，∴∠P AE+∠APE＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠APE＝∠GPD，∴∠GDP＝∠GPD，∴GP＝GD，故②正确，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACP+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵＝，∴∠CAP＝∠ABC，∴∠P AC＝∠PCA，∴PC＝P A，∵∠AQC+∠CAP＝90°，∠ACP+∠PCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠PQC，∴PC＝PQ，∴P A＝PQ，∵∠ACQ＝90°，∴点P是△ACQ的外接圆的圆心，故③正确，∵与不一定相等，∴∠CAP与∠DAB不一定相等，∴点P不一定是△AOC的内心，故④错误，∵DG∥BC，OD⊥DG，∴OD⊥BC，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∠CAD＝∠DAB＝30°∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∵CE⊥OA，∴∠ACE＝∠OCE，∴点P是△AOC的外心，∴OP＝AP＝PC＝＝＝，故⑤错误，故选：A．二．填空题11．解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故答案为：．12．解：如图，点I即为△ABC的内心．所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．13．解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，故答案为：1．14．解：（1）根据垂线段最短可知：当CP⊥AB时，PC的值最小，∵此时∠APC＝90°，∠A＝30°，∴PC＝AC＝4，故答案为4．（2）∵I为△BPC的内心，∴∠IBC＝∠PBC，∠ICB＝∠PCB，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BPC）＝90°+∠BPC，∵30°＜∠BPC＜130°，∴105°＜∠BIC＜155°，故答案为105°＜∠BIC＜155°．15．解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠DBI，∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝70°，∴∠BID＝∠DBI＝＝55°故答案为：55．三．解答题16．解：（1）∵AC是⊙的直径，∴∠ADC＝90°＝∠ABC，又∠ADB＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴，∴AB＝BC∵AB＝2，∴∴⊙O的半径为；（2）连结AI，∵I是△ADC的内心．∴∠DAI＝∠CAI，∠AIB＝∠DAI+∠ADI，∠BAI＝∠BAC+∠CAI，∵∠BAC＝∠ADI，∴∠BAI＝∠AIB，∴AB＝BI，即BC＝BI．17．解：（1）证明：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠ACO+∠ECD＝90°，∵ED⊥AD，∴∠A+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝DE．（2）方法一：∵AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∵OC⊥CD，∴由勾股定理可得，CD2＝（1+BD）2﹣12，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（1+BD）2﹣12＝32﹣（2+BD）2，∴或（舍去）．方法二：由弦切角定理得∠DCB＝∠DAC，∵∠CDB＝∠ADC，∴△CDB∽△ADC，∴，即CD2＝AD•BD＝（2+BD）•BD，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（2+BD）•BD＝32﹣（2+BD）2，解得或（舍去）．（3）如图，连接BF，PB，AF，∵CF平分∠ACB，∴，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠CBP＝∠ABP，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴∠2+∠CBP＝∠3+∠ABP，∴∠FPB＝∠FBP，∴．方法二：如图，连接AF，BF，AP，∵CF平分∠ACB，∴，∴∠ACF＝∠ABF＝∠BAF，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴AP平分∠CAB，∴∠CAP＝∠BAP，∵∠P AF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF，∴∠P AF＝∠APF，∴．18．解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．。

39第7章圆之三角形的内切圆一、单项选择题1．假设Rt ABC 的外接圆半径为R,内切圆半径为r ,那么其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为〔 〕 A ．22rr R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR r π+【答案】B【分析】画好符合题意的图形,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++,从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比． 【详解】解：如图,由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+,2,m n R += ()2mn m n r r ∴=++,22,mn Rr r ∴=+ 而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++()221=222Rr r Rr r +++ 2=2Rr r +122.22O ABC Sr r S Rr r R r ππ∴==++应选B ．【点评】此题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆,切线长定理,勾股定理的应用,掌握以上知识是解题的关键．2．如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切AB ,BC ,AC 于点E ,F ,D ,P 是DF 上一点,那么∠EPF 的度数是〔 〕A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B【分析】连接OE,OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【详解】解：如图,连接OE,OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆,E,F 是切点,∴OE ⊥AB,OF ⊥BC,∴∠OEB=∠OFB=90°,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∴∠EPF=12∠EOF=60°, 应选：B ．【点评】此题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型．3．如图,矩形ABCD 的周长为16,E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,连接AE ,CE ,AF ,CF ,EF ,假设37AECFABCD S S =四边形矩形,那么EF 的长为〔 〕A ．32．23．27．43【答案】B【分析】设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形,结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式,再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系,从而分别求出r,xy 、22x y +的值,最后由勾股定理求得EF 值.【详解】 如图,设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,那么∵矩形ABCD 的周长为16,∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,∴11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形, ∵37AECFABCD S S =四边形矩形, ∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形, ∴112()4227xr yr xy +=, 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组,解得：r=1,xy=14,2236x y +=,作EH ⊥FH 于H,由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12,∴EF=23,应选：B.【点评】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识,熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.4．如图,ABC ∆中,8AB =,6AC =,90A ∠=︒,点D 在ABC ∆内,且DB 平分ABC ∠,DC 平分ACB ∠,过点D 作直线PQ ,分别交AB 、AC 于点P 、Q ,假设APQ ∆与ABC ∆相似,那么线段PQ 的长为〔 〕A ．5B ．356C ．5或356D ．6 【答案】B【分析】分△APQ ∽△ABC,△APQ ∽△ACB 两种情况,结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：假设△APQ ∽△ABC,∴∠APQ=∠ABC,∴PQ ∥BC,AP AQ PQ AB AC BC==, ∴∠PDB=∠DBC,∵BD 平分∠ABC,∴∠PBD=∠CBD,∴∠PBD =∠PDB,∴PB=PD,同理,DQ=CQ,∵8AB =,6AC =,90A ∠=︒,∴,设AP=x,根据AP AQ AB AC=得43AP AB AQ AC ==, ∴AQ=34x , ∴PB=PD=8-x,CQ=DQ=6-34x , ∴PQ=PD+QD=7144x -, ∴AP PQ AB BC ,即7144810x x -=,解得：x=14 3,∴PQ=356；假设△APQ∽△ACB,那么AP AQ PQ AC AB BC==,由题意知：D为△ABC的内心,设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N, 可知四边形AMDN为正方形,∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°,∴AM∥DN,AN∥DM,∴∠MPD=∠NDQ,∠MDP=∠NQD,∴△MPD∽△NDQ,∴MP MD ND NQ=,∵AB=8,AC=6,BC=10,∴DM=DN=68102+-=2,∴AM=AN=2,设PM=x,那么22xNQ =,∴NQ=4 x ,∵AP AQAC AB=,即42268x x++=,解得：x=32或-2〔舍〕,∴AP=32+2=72,∴PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ的值为35 6.应选B.【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质,三角形内切圆,角平分线的定义,有一定难度,解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.532,那么这个多边形的内角和为〔〕A．720︒B．360︒C．240︒D．180︒【答案】A【分析】设AB是正多边形的一边,OC⊥AB,在直角△AOC中,利用三角函数求得∠AOC的度数,从而求得中央角的度数,然后利用360度除以中央角的度数,求出边数,根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：∵32,∴32,设AB 是正多边形的一边,OC ⊥AB, 32OC OA OB k ===k ，,在直角△AOC 中,32OC cos AOC AO ∠==, ∴∠AOC=30°,∴∠AOB=60°, 那么正多边形边数是：360660︒︒=, ∴多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒,应选：A ．【点评】此题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的水平,正多边形的计算一般是转化成半径,边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．二、填空题6．如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =,6BC =,⊙O 为ABC ∆的内切圆,OA ,OB 与⊙O 分别交于点D ,E ．那么劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==,接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒,然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒,8AC =,6BC =,226810AB ∴=+=,O 为ABC 的内切圆,681022OD +-∴==,OA 平分BAC ∠,OB 平分ABC ∠, 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒, ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==． 故答案为32π． 【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．7．如图,ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ,且5,13AB BC ==,12CA =,那么阴影局部的面积为_______ (结果保存π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形,再设O 的半径为r,根据三角形的面积公式得出r 的值,然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【详解】5,2,113AB BC CA ===222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形,且90A ∠=︒设O 的半径为r,那么OD OE OF r ===内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB ∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OAB S S S S =++11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅ 即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 解得2r又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形,90EOF ∠=︒OE OF =∴矩形AEOF 是正方形那么ABC O AEOF EOF EOF S S S S S S =-+-+阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+ 22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+ 262π=-故答案为：262π-．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点,掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键．8．假设△ABC 的三边长为3、4、5,那么△ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 的差为___．【答案】32【分析】先证实△ABC 为直角三角形,然后可知外接圆的半径为斜边的一半,然后求出内切圆的半径,即可得到答案．【详解】解：如下图：连接DF,EF ．∵32+42=52,∴△ABC 为直角三角形．∴它的外接圆的半径为：15522R =⨯=． ∵AB 是圆的切线,DF 是圆的半径,∴DF ⊥AB ．同理EF ⊥BC ．∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°．∴四边形DBEF 是矩形．∵DF=EF,∴四边形DBEF 是正方形．∴DB=BE ．设圆F 的半径为r,那么4-r+3-r=5．解得：r=1．∴它的内切圆的半径为1． ∴53122-=． 故答案为：32． 【点评】此题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆,利用切线长定理列出方程是解题的关键．9．如图,O 是四边形ABCD 的内切圆,连接OA 、OB 、OC 、OD ．假设108AOB ∠=︒,那么COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图,设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,可以得到4对全等三角形,进而得到12∠=∠,34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠,根据这8个角和为360°,∠1+∠8=108AOB ∠=︒,即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,那么OE AB ⊥,OF CB ⊥,OG CD ⊥,OH AD ⊥且OE OF OG OH ===,在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌,∴12∠=∠,同理可得：34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠, 1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点评】此题考查了切线的性质,添加辅助线构造全等等知识点,一般情况下,直线为圆的切线,构造过切点的半径是常见辅助线做法．10．如图,将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处.点D 落在点D 处,MD '与AD 交于点G ,那么AMG 的内切圆半径的长为___________．【答案】43【分析】由勾股定理可求ME ＝5,BE ＝3,通过证实△AMG ∽△BEM,可得AG ＝163,GM ＝203,即可求解． 【详解】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处,∴ME ＝CE ,MB ＝12AB ＝4＝AM ,E C D M ＝90°, 在Rt △MBE 中,ME 2＝MB 2 ＋BE 2,∴ME 2＝16＋〔8－ME 〕2,∴ME ＝5,∴BE ＝3,∵DA D ME B ＝90°＝∠B,∴∠EMB ＋∠BEM ＝90°,D EMB AM ＋＝90°,∴A B M M D E ,且GAM B ＝90°, ∴△AMG ∽△BEM, ∴AM AG GM BE MB ME==, ∴4345AG GM ==, ∴AG ＝163,GM ＝203, ∴△AMG 的内切圆半径的长＝+423AM GM AG =－故答案为：43【点评】此题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG 、GM 的长度．三、解做题11．：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺〔无刻度〕直接在ABC ∆内作内切圆,〔要求清楚地保存尺规作图的痕迹,不要求写画法〕问题二：假设ABC ∆的周长是24,ABC ∆的面积是24,,求ABC ∆的内切圆半径．【答案】〔1〕见解析；〔2〕r=2【分析】〔1〕先作∠B 和∠C 的平分线交于点O,再过点O 作OH ⊥AB 于H,然后以点O 为圆心,OH 为半径作圆即可； 〔2〕连结OA 、OB 、OC,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥BC 于E,OF ⊥AC 于F,根据切线的性质得OD=OE=OF=r,那么利用S△ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12r AB+12r BC+12r AC=24,变形得到12r 〔AB+BC+AC 〕=24,然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【详解】解：〔1〕如图,O 为所求作的ABC ∆的内切圆；〔2〕解：如下列图,连结OA、OB、OC,作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F, 设它的内切圆的半径为r,那么OD=OE=OF=r,∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,∴12r AB+12r BC+12r AC=24,∴12r〔AB+BC+AC〕=24,∴12r24=24,∴r=2．即ABC的内切圆的半径为2．【点评】此题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径,在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心,即三角形三个内角角平分线的交点,以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径,掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质,是解答第〔2〕小题,建立等式的关键．12．：如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案】S=12(a+b+c)r【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即可求解【详解】如图,设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．那么OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC．∵S△AOB=12AB•OD=12cr,同理,S△OBC=12ar,S△OAC=12br．∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即S=12cr+12ar+12br=12(a+b+c)r【点评】此题考查了三角形的内切圆的计算,正确作出辅助线,把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.13．：如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°．(1)假设AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r；(2)假设AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r．【答案】〔1〕r=3cm. (2) r=12〔a+b-c〕．【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕,由此可求出r的长．【详解】〔1〕如图,连接OD,OF；在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=9cm；根据勾股定理AB=22AC BC=15cm；四边形OFCD中,OD=OF,∠ODC=∠OFC=∠C=90°；那么四边形OFCD是正方形；由切线长定理,得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；那么CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔12+9-15〕=3cm．〔2〕当AC=b,BC=a,AB=c,由以上可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔a+b-c〕．那么⊙O的半径r为：12〔a+b-c〕．【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．14．〔特例感知〕〔1〕如图〔1〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为直径,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,3CD =,4BD =,求点D到直线AB 的距离． 〔类比迁移〕〔2〕如图〔2〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为O 的弦,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,过点D 作DE BC ⊥,垂足为点E ,探索线段AB ,BE ,BC 之间的数量关系,并说明理由．〔问题解决〕〔3〕如图〔3〕,四边形ABCD 为O 的内接四边形,90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠,72BD =,6AB =,求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】〔1〕125；〔2〕2AB BC BE +=,理由见解析；〔35 【分析】〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ,再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．只要证实()DFA DEC ASA ∆≅∆,推出AF CE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆,推出AF BE =即可解决问题；〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==,推出541ON =-=,由面积法可知内切圆半径为2,在Rt OMN ∆中,理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠,DF AB ⊥,DE BC ⊥,DF DE ∴=, BC 是直径,90BDC ∴∠=︒, 2222435BC BD CD ∴=+=+=,1122BC DE BD DC =, 125DE ∴=, 125DF DE =∴=． 故答案为125 〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ,连接AD ,DC ． BD 平分ABC ∠,DE BC ⊥,DF BA ⊥,DF DE ∴=,90DFB DEB ∠=∠=︒,180ABC ADC ∠+∠=︒,180ABC EDF ∠+∠=︒,ADC EDF ∴∠=∠,FDA CDE ∴∠=∠,90DFA DEC ∠=∠=︒,()DFA DEC ASA ∴∆≅∆,AF CE ∴=,BD BD =,DF DE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆,BF BE ∴=,2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．图③ 72BD =,∴正方形BEDF 的边长为7,由〔2〕可知：28BC BE AB =-=,10AC ∴=, 由切线长定理可知：610842AN +-==, 541ON ∴=-=,设内切圆的半径为r , 那么11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ,即2MN =,在Rt OMN ∆中,OM ===【点评】此题属于圆综合题,考查了角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解直角三角形,正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．15．如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转,旋转角为θ〔045θ︒≤≤︒〕〔1〕当点A 落到y 轴正半轴上时,求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕假设线段AB 与y 轴的交点为M 〔如图2〕,线段BC 与直线y x =的交点为N ,当22.5θ=︒时,求此时BMN △内切圆的半径；〔3〕设MNB 的周长为l ,试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化,并说明理由．【答案】〔1〕8π；〔2〕322-〔3〕不发生变化,理由见详解. 【分析】〔1〕由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,首先证实AEM ∆是等腰直角三角形,推出AM AE =,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==,可得21x x +=,解得21x =,推出1(21)22BM AB AM =-=-=同理可得22BN =,推出2222MN BM ==,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=,由此求出r 即可解决问题． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．只要证实OAE OCN ∆≅∆,推出OE ON =,AOE CON ∠=∠,再证实MOE MON ∆≅∆,推出EM MN =,推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【详解】解：〔1〕如图1中,由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形 OBB OCC S S ''=-扇形扇形 2245(2)451360360ππ=- 8π=．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,22.5AOM ∠=︒,22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒,45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒,AEM ∴∆是等腰直角三角形,AM AE ∴=,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==, 21x x ∴+=,21x ∴=-,1(21)22BM AB AM ∴=-=--=-,同理可得22BN =-,2222MN BM ∴==-,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=, 2(22)3222222222BM BN r MN BM BN -∴===-++-+-+-． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN =,90OAE OCN ∠=∠=︒,OA OC =,OAE OCN ∴∆≅∆,OE ON ∴=,AOE CON ∠=∠,45MON ∠=︒,45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒,MOE MON ∴∠=∠,OM OM =,MOE MON ∴∆≅∆,EM MN ∴=,BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN =++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==,BNM ∴∆的周长为定值．【点评】此题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．16．如下图,等腰ABC △,5AB AC ==,6BC =,求三角形的内切圆O 的半径R .【答案】32R = 【解析】作AD ⊥BC,根据等腰三角形的性质可得BD 的长,利用勾股定理可求出AD 的长,即可求出△ABC 的面积,设△ABC 的内切圆与△ABC 各边的切点为E 、F 、G,根据S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 列方程即可求出R 的值,可得答案.【详解】在图〔1〕中,作AD BC ⊥,垂足为D∵5AB AC ==,6BC =,∴BD=CD=3,∴AD=22AB BD -=4,∴1122ABC S BC AD ∆=⋅= 在图〔2〕中,设ABC △的内切圆O 切点分别为E 、F 、G,连接 OA 、OE 、OB 、OG 、OC 、OF, ∴OE ⊥AB,OG ⊥BC,OF ⊥AC,∵()12ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC R ∆∆∆=++=++⋅ ∴()1125562R =++⨯ ∴32R =【点评】此题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质,熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是解题的关键..17．阅读材料：,如图〔1〕,在面积为S 的△ABC 中, BC=a ,AC=b , AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ,△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．〔1〕类比推理：假设面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆〔与各边都相切的圆〕,如图〔2〕,各边长分别为AB=a ,BC=b ,CD=c ,AD=d ,求四边形的内切圆半径r ；〔2〕理解应用：如图(3),在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =21,CD =11,AD =13,⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆,设它们的半径分别为r 1和r 2,求12r r 的值. 【答案】〔1〕2S r a b c d=+++〔2〕12149r r =. 【分析】〔1〕如图,连接OA 、OB 、OC 、OD,那么△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形,根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.〔2〕过点D 作DE ⊥AB 于点E,分别求得AE 的长,进而BE 的长,然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++,21(111320)2BCD S r ∆=++,两式相除,即可得到的值.【详解】解：〔1〕如图〔2〕,连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++ ∴2S r a b c d=+++〔2〕如图〔3〕,过点D 作DE ⊥AB 于点E, ∵梯形ABCD 为等腰梯形, ∴11()(2111)522AE AB DC =-=-= ∴21516BE AB AE =-=-= 在Rt △AED 中,∵AD=13,AE=5,∴DE=12, ∴2222121620BD DE BE +=+=∵AB ∥DC,∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==. 又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABDBCD r S r r S r r r ∆∆++===++, ∴1227212211r r =.即12149r r =.18．如下图,在Rt ABC △中,90,3,4C AC BC ∠=︒==〔1〕求BOA ∠.〔2〕求ABC △内切圆半径.【答案】〔1〕135BOA ∠=︒；〔2〕内切圆半径为1.【解析】〔1〕由三角形内角和可得∠CBA+∠CAB=90°,由O 为内切圆圆心可得OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,即可得出∠OAB+∠OBA=45°,根据三角形内角和求出∠BOA 的度数即可；〔2〕连接OD,OE 、OF,由切线性质可得OD ⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB,由∠C=90°,OD=OE 可证实四边形DCEO 是正方形,可得OD=CD,利用勾股定理可求出AB 的长,根据切线长定理可得CD=CE,AE=AF,BD=BF,设内切圆半径OD=r,根据AB=BF+AF 列方程即可求出r 的值,即可得答案.【详解】〔1〕∵∠C=90°, ∴∠CBA+∠CAB=90°,∵O 为内切圆圆心,∴OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,∴∠OAB+∠OBA=12∠CBA+12∠CAB=45°,∴∠BOA=180°-45°=135°.〔2〕连接OD,OE、OF,∵AB、AC、BC是切线,切点为D、E、F,∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,CD=CE,AE=AF,BD=BF,∵∠C=90°,OD=OE,∴四边形DCEO是正方形,∴CD=OD,设OD=r,∴AF=AE=3-r,BF=BD=4-r,∵AC=3,BC=4,∴AB=22=5,AC BC∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5,△内切圆半径为1.解得r=1,即ABC【点评】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．。

专题27三角形的内切圆（提优）一．选择题1．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（）A．33B．35C．63D．652．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°3．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（）A．43B．23C．2D．44．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是D 上一点，则∠EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°5．下列说法正确的是（）A．三角形的外心一定在三角形的外部B．三角形的内心到三个顶点的距离相等C．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形D．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A．5B．2C．3D．37．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（）A．4B．32C．22D．3228．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，I为△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，若OI ⊥AD，则sin∠CAD的值为（）A．12B．22C．52D．559．将线段OB绕点O逆时针旋转60°形成扇形COB，过C作CD⊥OB，垂足为D，⊙E是△COD的内切圆，OB＝6，则OE的长为（）A．33B．33−3C．33+3D．2(3+3)310．如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（）A．13−1B．13+1C．3.2D．3211．如图，△ABC内切圆是⊙O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC 上，连接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半径为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF＝4B．CD﹣DF＝23−3C．BC+AB＝23+4D．BC﹣AB＝212．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为3，则△BIC的外接圆半径为（）A．7B．73C．722D．733二．填空题13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是°．14．如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝8∠OAC＝48°，则∠AOI﹣∠CIO＝°．15．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为（结果保留π）．16．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI ＝°．17．如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，DE∥BC．若△ABC的周长为8，则DE的最大值为．18．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝．19．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE 过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为．20．如图，⊙O是△ABC内切圆，切点为D、E、F，∠A＝90°，∠C＝30°，则∠DFE度数是度．三．解答题21．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．22．如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O中，且点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P．（1）试判断△BDE的形状，并给予证明；（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的长．23．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．24．如图，P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为△ABE的内心．（1）求证：∠PEB＝60°；（2）求∠PAC的度数；25．已知I为Rt△ABC的内心，∠A＝90°，BI，CI的延长线分别交AC，AB于点D，E，S△BIC＝12，求S ．四边形EDCB26．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．27．如图，AB是⊙O的直径，点C，P为半圆上任意两点，过点P作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为点M，连接OM，PM，CM，CP．（1）求∠OMP的度数；（2）试判断△CMP的形状．28．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝62，求阴影部分的面积．29．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．30．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D 点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．（1）求证：DB＝DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线；（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积．。

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。

2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

等于这条弧所对的圆周角。

即∠PCA=∠PBC 。

3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。

5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。

中考数学直角三角形内切圆答题技巧 中考数学直角三角形内切圆答题技巧我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现假设有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。

：在Rt⊿ABC中，⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB 于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点，假设AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O2的半径。

解：连接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CIAB交AB于I,交O1 O2于J设⊙O1与⊙O2的半径为r∵⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点O1 DAC , O1 EAB, O2 GAB, O2 FBCS⊿AO1C=ACO1D=2r S⊿BO2C=BCO2F=1.5rS⊿AO1G+S⊿O2GB =AGO1E+GBO2G=r(AG+ GB)=2.5r又∵CIAB交AB于I,交O1 O2于JCJ+ O2G = CJ+JI=CI CI==2.4S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G =O1 O2CJ+O1 O2O2G=O1 O2CI=2.4r即S⊿ABC=S⊿AO1C+S⊿BO2C+S⊿AO1G+S⊿O2GB+S⊿CO1O2+ S⊿O1 O2G==68.4r=6 , r=现推广到一般情况在Rt⊿ABC中C=90，⊙O1,⊙O2⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1切AC、AB,⊙On切BC、AB, 假设AC=b,BC=a,求⊙O1，⊙O2,⊙On的半径。

解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1，⊙O2,⊙On的半径为r S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)=br+ar+r+2(n-1)r又∵S⊿ABC =abr=。

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。

则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为 ，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ， ，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是 ．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4， 则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ， 由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

中考重点三角形的内切与外切圆性质三角形是中学数学中的基础概念之一，而对于三角形的性质的理解和掌握是中考数学的重点内容之一。

本文将着重介绍三角形的内切与外切圆性质，并分析它们在中考考点中的应用。

一、内切圆的性质内切圆，顾名思义，是能够切合三角形内部的一个圆。

我们先来看一下内切圆的性质：1. 内切圆与三角形的接点内切圆与三角形的三边相切于三个点，分别为三角形的三个顶点。

这个性质可以帮助我们解决一些关于内切圆的问题。

例如，在已知三角形三个顶点的情况下，画出其内切圆时，只需计算三角形的边长，再以三角形的顶点为圆心，三角形的边长为半径，画一个等边三角形，其内切圆的半径就是所求。

2. 内切圆的半径与三角形的性质内切圆的半径具有一定的性质与三角形的边长和面积有关。

根据切线定理，内切圆半径与三角形的三边之和成正比，即 r = S / p，其中 r为内切圆的半径，S 为三角形的面积，p 为三角形的半周长。

3. 内切圆的面积与三角形的性质内切圆的面积与三角形的面积有一定的关系。

根据面积之间的关系，内切圆的面积是三角形面积的一半，即 S1 = S / 2，其中 S1 为内切圆的面积，S 为三角形的面积。

二、外切圆的性质外切圆与三角形的三个顶点都在圆上，且三角形的三边分别与圆相切。

下面我们来了解一下外切圆的性质：1. 外切圆的半径与三角形的性质外切圆的半径与三角形的边长和面积也有一定的关系。

同样根据切线定理，外切圆的半径与三角形的半周长成正比，即 R = a / sinA = b / sinB = c / sinC，其中 R 为外切圆的半径，a、b、c 分别为三角形的三边长，A、B、C 分别为对应的角度。

2. 外切圆的面积与三角形的性质外切圆的面积与三角形的面积也有一定的关系。

根据面积之间的关系，外切圆的面积是三角形面积的两倍，即 S2 = 2S，其中 S2 为外切圆的面积，S 为三角形的面积。

三、内切与外切圆性质的应用了解了内切与外切圆的性质，我们可以通过利用这些性质解决一些与三角形相关的问题。