中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型

辅助圆思想【例1】在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．⑴若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；⑵在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（2012年北京中考节选）【解析】⑴图略，30CDB ∠=︒．⑵如图，连接PC ，根据对称性可知，PC PA PQ ==，以P 为圆心、PA 长为半径作P ⊙，则12ACQ APQ α∠=∠=，∴90CDB α∠=︒-．【例2】已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1NMO PDCBA图2NM O PDCBA⑴如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是___________，此时ADBC=________；⑵如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；题型一：共顶点等线段（海淀一模）【解析】⑴等边三角形，1；⑵证明：连接BM 、CN ．由题意，得BM OA ⊥，CN OD ⊥，90AOB COD α∠=∠=︒-．∵A 、O 、C 三点在同一直线上，∴B 、O 、D 三点在同一直线上．∴90BMC CNB ==∠∠°．∵P 为BC 中点，∴在Rt BMC △中，12PM BC =．在Rt BNC △中，12PN BC =．∴PM PN =．∴B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，12BC 为半径的圆上．∴2MPN MBN =∠∠．又∵12MBN ABO α∠=∠=，∴MPN ABO =∠∠．∴PMN BAO △∽△．∴MN AOPM BA =．由题意，12MN AD =，又12PM BC =．∴AD MN BC PM =．∴AD AO BC BA=．在Rt BMA △中，sin AMABα=．∵2AO AM =，∴2sin AO BA α=．∴2sin ADBCα=．【例3】已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；RBP C AD OGSM 321G N SH ODA C M PBR 【解析】PC 与PD 的数量关系是相等．常规证法：过点P 作PH OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别为点H N 、．∵90AOB ∠=︒，易得90HPN ∠=︒，∴190CPN ∠+∠=︒，而290CPN ∠+∠=︒，∴12∠=∠．∵OM 是AOB ∠的平分线，∴PH PN =，又∵90PHC PND ∠=∠=︒，∴PCH PDN △≌△．∴PC PD =．题型二：共斜边的直角三角形PONM DCBA辅助圆证法：∵90COD CPD ∠=∠=︒，∴C O D P 、、、四点共圆，∵OP 平分COD ∠，∴COP POD ∠=∠，∴PC PD =．【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 上一点，ME AM ⊥交BCD ∠的外角平分线于E ，求证：AM EM =．【解析】连接AC AE、∵四边形ABCD 是正方形，∴45ACD ∠=︒，∵CE 是外角平分线，∴45DCE ∠=︒，∴90ACE ∠=︒，∵90AME ∠=︒，∴A M C E 、、、四点共圆，∴45AEM ACB ∠=∠=︒，∴45EAM ∠=︒，∴AM EM =．【例5】在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．⑴如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；⑵将三角板从⑴中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．备用图（朝阳一模）【解析】⑴在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，AP =1，CD =AB =2，∴PB=，90ABP APB ∠+∠=︒．∵90BPC ∠=︒，∴90APB DPC ∠+∠=︒．∴ABP DPC ∠=∠．∴△ABP ∽△DPC ．∴AP PB CD PC =，即12PC =．∴PC=．⑵①∠PEF 的大小不变．理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ．∴四边形ABFG 是矩形．∴90A AGF ∠=∠=︒．∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒．∵90EPF ∠=︒，∴90APE GPF ∠+∠=︒．∴AEP GPF ∠=∠．∴△APE ∽△GFP .∴221PF GF PE AP ===．∴在Rt △EPF 中，tan ∠PEF=2PFPE=．即tan ∠PEF 的值不变．∴∠PEF 的大小不变．②5.辅助圆证法：连接PB ，∵90EPF EBF ∠=∠=︒，∴P E B F 、、、四点共圆，∴PEF PBF ∠=∠，∴PEF ∠不会发生变化．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：BC CD =．【解析】∵180B D ∠+∠=︒，∴ABCD 是圆内接四边形，∵AC 平分BAD ∠，∴CAD BAC ∠=∠，∴BC CD =．【例7】已知：如图，正方形ABCD 中，BD 为对角线，45MAN ∠=︒，将MAN ∠绕顶点A 逆时针旋转α（045α<<），旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交BC CD ，于点E 、点F ，联结EF EQ ，．在MAN ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．【解析】∵BD 是对角线，∴45CBD ∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴A B E Q 、、、四点共圆，∴45AEQ ABD ∠=∠=︒，∴AEQ ∠的大小不发生改变．题型三：四点共圆的简单应用【例8】（海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为直径在△ABC 外作半圆1O 和半圆2O ，其中1O 和2O 分别为两个半圆的圆心.F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点.⑴连结1122,,,,,O F O D DF O F O E EF ，证明：12DO F FO E △≌△；⑵如图二，过点A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连结PQ ，若∠ACB =90°,DB =5，CE =3，求线段PQ 的长;⑶如图三，过点A 作半圆2O 的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线FA 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连结PA .证明：PA 是半圆1O 的切线.【解析】⑴如图一，∵1O ，2O ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，∴1O F ∥AC 且1O F =A 2O ，2O F ∥AB 且2O F =A 1O ，∴∠B 1O F=∠BAC ，∠C 2O F=∠BAC ，∴∠B 1O F=∠C 2O F ∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点，∴1O F =A 2O =2O E ，2O F =A 1O =1O D ，∠B 1O D =90°，∠C 2O E =90°，∴∠B 1O D=∠C 2O E .∴∠D 1O F=∠F 2O E .∴12DO F FO E △≌△.⑵如图二，延长CA 至G ，使AG =AQ ,连接BG 、AE .∵点E 是半圆2O 圆弧的中点，∴AE=CE=3∵AC 为直径，∴∠AEC =90°，∴∠ACE =∠EAC =45°，AC =，∵AQ 是半圆2O 的切线，∴，∴∠ACE =∠AQE =45°，∠GAQ =90°∴AQ =AC =AG =同理：∠BAP =90°，AB =AP =∴CG =∠GAB =∠QAP ∴AQP AGB △≌△，∴PQ =BG∵∠ACB =90°，∴BC =∴BG =，∴PQ=.⑶证法一：如图三，设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CS ⊥MF 于S ，过B 作BR ⊥MF 于R ，连接DR 、AD 、DM.∵F 是BC 边的中点，∴ABF ACF S S =△△.∴BR=CS ，由⑵已证∠CAQ =90°,AC =AQ ，∴∠2+∠3=90°∵FM ⊥PQ ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,图一图二Q图三图二∴AMQ CSA△≌△，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM∴DBR DAM△≌△，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，O直径，∴PA⊥AB,又AB是半圆1O的切线.∴PA是半圆1OPCBA 训练1.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B 、两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．【解析】∵PA PB 、都是O ⊙的切线，∴PA PB =∵AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，∴()()0AB AC PB PC +-=∴PB PC =，∴A B C 、、三点都在以P 为圆心，PA 为半径的圆上．设ACB α∠=，则2APB α∠=，∴902BPC α∠=︒-∵2PAB BPC ∠=∠，∴()29021804PAB PBA αα∠=∠=︒-=︒-在PAB △中，180APB PAB PBA ∠+∠+∠=︒，即()218042180αα︒-+=︒∴6180α=︒，∴30α=︒，即30ACB ∠=︒．训练2.如图，E F 、分别是正方形ABCD 的边CD AD 、的中点，BE CF 、相交于H ，求证：AH AB =．【解析】连接BF∵E F 、是CD AD 、的中点，∴BCE CDF △≌△，∴CBE DCF ∠=∠，∴90DCH BEC CBE BEC ∠+∠=∠+∠=︒，即90BHF ∠=︒，∴A B H F 、、、四点共圆，∴AHB AFB ∠=∠，CFD CFD ∠=∠，很明显AFB CFD ∠=∠，∴ABH AHB ∠=∠，∴AH AB =．训练3.如图，已知在五边形ABCDE 中，3BAE α∠=，BC CD DE ==，且1802BCD CDE α∠=∠=︒-．求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．【解析】连接BD CE 、，∵BC CD =，1802BCD α∠=︒-，∴CBD CDB α∠=∠=，∴1803BDE α∠=︒-，∴180BAE BDE ∠+∠=︒，∴A B D E 、、、四点共圆．同理A B C E 、、、四点共圆，∴A B C D E 、、、、五点共圆，∵BC CD DE ==，∴BAC CAD DAE ∠=∠=∠．题型一共顶点等线段【练习1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为()30，，连结BC ．⑴求证：ABC △是等边三角形；⑵点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点D ，分别连结EA 、EP ．①若6CP =，直接写出AEP ∠的度数；②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），AEP ∠的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP ∠的度数；【解析】⑴证明：如图，∵一次函数333+=x y 的图象与x 轴交于点A （－3，0），B （0，33）．∵C （3，0）．∴OA ＝OC ．又y 轴⊥AC ，∴AB ＝BC ．在Rt △AOB 中，3tan ==∠AOBOBAO ．∴∠BAC =60°.∴△ABC 是等边三角形.⑵①答：∠AEP =120°．②解：如图，作EH ⊥CP 于点H ，∵y 轴垂直平分AC ，△ABC 是等边三角形，∴EA =EC ，∠BEA ＝∠BEC ＝AEC ∠21，∠DEP =30°．∴∠BEH=60°．∵ED 垂直平分AP ，∴EA=EP ．∴EA ＝EC ＝EP ，∴EH 垂直平分CP ，在△CEP 中，∠CEH =∠PEH ＝PEC ∠21，∵∠BEH=∠BEC ＋∠CEH ＝AEC ∠21＋PEC ∠21=60°．∴∠AEP=∠AEC ＋∠PEC ＝120°．辅助圆的证法：∵点E 在y 轴上，∴EA EC =，∵EC EP =，∴以E 为圆心、EA 长为半径作圆，C P 、在该圆上，∴()2180120AEP ACP ∠=︒-∠=︒．题型二共斜边的直角三角形【练习2】如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为22013cm ，P 为正方形内一点，且45OPB ∠=︒，:5:6PA PB =，求PB 的长．OP DCB AxOABC1PEy 111yOCBA【解析】连接OA OB 、，∵ABCD 是正方形，∴90AOB ∠=︒，45OAB ∠=︒，∵45OPB ∠=︒，∴A B O P 、、、四点共圆，∴90APB ∠=︒．在Rt ABP △中，90APB ∠=︒，∴222PA PB AB +=，设56PA k PB k ==，，则2225362013k k +=，解得233k =，∴k =∴PB =．题型三四点共圆的简单应用【练习3】设D 是等腰Rt ABC △底边BC 的中点，过C D 、两点（但不过点A ）任作一圆交直线AC 于点E ，连接BE 交此圆于点F ．求证：AF BE ⊥．【解析】连接EF ，FD由题意可知C D F E 、、、四点共圆，⑴若E 在线段AC 上，则45BFD ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A B D F 、、、四点共圆，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．⑵若E 在AC 的延长线上，则45DFE ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A B F D 、、、四点共圆，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．⑶若E 在CA 的延长线上，则45BFD ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A D B F 、、、四点共圆，∴180AFB ADB ∠+∠=︒，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．综上所述，命题成立．。

专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。

当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。

（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

隐圆常与线段最值结合考查。

类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC∠=︒，则ACB∠=AOB==，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若7035︒．如图，Rt ABCAB=．∠=︒，2BCA∆中，90∠=︒，30ABC（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA∠的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足45∠=︒且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，BQA若不存在，说明理由．【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB ∠=︒ ，35ACB ∴∠=︒，故答案为35︒．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，2AB =．4AC ∴=，60BAC ∠=︒，BC =．P 为Rt ABC ∆斜边AC 中点，122BP AC ∴==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，∴四边形ABPE 为菱形，60BAC ∠=︒ ，30BEA ∴∠=︒，//CF BD ，且90ABC ∠=︒，∴四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC ∴=+⨯=⨯⨯=（3）如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足45BQA ∠=︒且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH AD ⊥于H ，则90AHO OHG DQG ∠=∠=∠=︒，45OAH ∠=︒，30GDQ ∠=︒，90ABC ∠=︒ ，30BCA ∠=︒，2AB =，BC ∴=OA OB OQ ===1AH OH ∴==，33HG =，233OG =，3GQ ∴=，23DG GQ ==-，11AD AH HG GD ∴=++=++，1a ∴=+，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：11()112222S BF AD AB =⨯+⨯=⨯++-++⨯=+．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），AE 为ABD ∆的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM AC =；②180MDA DAB ∠+∠=︒；【类比探究】（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：12AE CF =，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动()AD AB >，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若4AB =，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS 证明ABE MDE ∆≅∆，可得AB DM =，再结合AB AC =，即可证得DM AC =；由全等三角形性质可得BAE DME ∠=∠，再运用平行线的判定和性质即可证得180MDA DAB ∠+∠=︒；（2）延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．利用SAS 证得ACF DMA ∆≅∆，可得CF AM =，再由12AE AM =，可证得12AE CF =；（3）延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得()ACF ABM SAS ∆≅∆，利用三角形中位线定理可得//AE BM ，即//AG BM ，利用直角三角形性质可得11222GP AC AB ===，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，可得BG '的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①AE 为ABD ∆的中线，BE DE ∴=，在ABE ∆和MDE ∆中，BE DE AEB MED AE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE MDE SAS ∴∆≅∆，AB DM ∴=，AB AC = ，DM AC ∴=；②由①知ABE MDE ∆≅∆，BAE DME ∴∠=∠，//AB DM ∴，180MDA DAB ∴∠+∠=︒；（2）证明：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM．由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，360DAF BAC BAD CAF ∠+∠+∠+∠=︒，180BAD CAF ∴∠+∠=︒，由（1）②得：180MDA DAB ∠+∠=︒，DM AB AC ==，CAF MDA ∴∠=∠，在ACF ∆和DMA ∆中，AF AD CAF MDA AC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF DMA SAS ∴∆≅∆，CF AM ∴=，12AE AM = ，12AE CF ∴=；（3）如图3，延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，AF AM ∴=，1809090MAF ∠=︒-︒=︒，90BAC ∠=︒ ，MAF CAM BAC CAM ∴∠+∠=∠+∠，即CAF BAM ∠=∠，在ACF ∆和ABM ∆中，AC AB CAF BAM AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ABM SAS ∴∆≅∆，AFC AMB ∴∠=∠，即AFN KMN ∠=∠，ANF KNM ∠=∠ ，90FAN MKN ∴∠=∠=︒，BM CF ∴⊥，E 、A 分别是DB 、DM 的中点，AE ∴是BDM ∆的中位线，//AE BM ∴，即//AG BM ，AG CF ∴⊥，90AGC ∴∠=︒，点P 是AC 的中点，11222GP AC AB ∴===，∴点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，BG ∴'的长为BG 的最大值，在Rt ABP ∆中，BP ==2BG BP PG ∴'=+'=+，BG ∴的最大值为2+．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线23(0)2y ax bx a =+->与x 轴交于点A ，B 两点，OA OB <，4AB =．其顶点C 的横坐标为1-．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D 在抛物线第一象限的图象上，DE AC ⊥垂足为E ，//DF y 轴交直线AC 于点F ，当DEF ∆面积等于4时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B 运动到达点C ，FM FN ⊥交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为N ，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P 经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A 和B 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明CGA ∆和DEF ∆都为等腰直角三角形，利用等面积法求得4DF =，再求得直线AC 的解析式为1y x =-，设点D 的坐标，得到点F 的坐标，然后求解即可；（3）先求得45BDF ∠=︒，推出点P 的运动路径时11H N 的中点绕点F 逆时针旋转90︒得到2N H 的中点之间的弧长，证明四边形2DN FE 为正方形，即可求解．【解答】解：（1） 点A ，点B 两点关于直线1x =-对称，4AB =，(1,0)A ∴，(3,0)B -，代入232y ax bx =+-得，30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．（2）如图1所示：//DF y 轴//GC ，GCA DFE ∴∠=∠，抛物线的解析式为22131(1)2222y x x x =+-=+-，∴顶点(1,2)C --，(1,0)A ，2AG ∴=，2CG =，CGA ∴∆为等腰直角三角形，45GCA DFE ∴∠=∠=︒，DE AC ⊥ ，DEF ∴∆为等腰直角三角形，DE EF ∴=，DF =，142DEF S DE EF ∆=⋅= ，DE ∴=，4DF ∴==，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =-，设点213(,22D x x x +-，则(,1)F x x -，221311(1)42222DF x x x x ∴=+---=-=，解得：3x =或3x =-（舍)，(3,6)D ∴，(3,2)F ．（3）如图2所示，NFH ∆ 是直角三角形，NFH ∴∆的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△11N FH ，其外心是斜边11H N 的中点，当点M 位于点C 时，得△2N FE ，其外心是斜边22N H 的中点，即2N E 的中点，(3,6)D ，(3,0)B -，33tan 16BDF +∴∠==，45BDF ∴∠=︒，由（2）得，45FDE ∠=︒，45DBA BAC ∴∠=∠=︒，//BD AC ∴，FN BD ∴⊥，DF ∴平分BDE ∠，90BDE ∠=︒，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在2N E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．2290DN F N DH DHF ∠=∠=∠=︒ ，2FN FE =，∴四边形2DN FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且2EP =；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为2P ，且222FP EP ==，由题意，224BN BD DN =-=，BF =2N F =，21//FN DH ，2BFN ∴∆∽△1BH D ，∴21BN BF BD BH =，解得1FH =，1FP ∴=，由勾股定理可得：121P P =，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC=，求BDC∆外一点，且AD AC∠的度数．若∆中，AB AC=，80BAC∠=︒，D是ABC以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=40︒．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）问题拓展：抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ，点P 在抛物线上，直线//PQ BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．①若含45︒角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，求Q 的坐标；②若含30︒角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，点D 与点B ，点Q 不重合，求点P 的坐标．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D 、C 、Q 、E 共圆，得出45CQB OED ∠=∠=︒，求出CQ ，再求点Q 的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，Ⅱ、当60︒的角的顶点与点C 重合时，运用点D 、C 、Q 、E 共圆，求出CQ 即点P 的横坐标，再代入抛物线求出点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1402BDC BAC ∴∠=∠=︒，（2）如图2，90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）①如图3点B 为抛物线21(1)34y x =--+的顶点，∴点B 的坐标为(1,3)，45︒ 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，45CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==，4OQ ∴=，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板30︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，60CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==1OQ ∴=+，∴把1+代入21(1)34y x =--+得94y =，∴点P 的坐标是(1+94Ⅱ、如图5，当60︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板60︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，30CQB CED ∴∠=∠=︒，CQ ∴==，1OQ ∴=+∴把1+21(1)34y x =--+得154y =-，∴点P 的坐标是(1+，154-综上所述，点P 的坐标是(1+94或(1+15)4-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积为问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，BC =，求ABC ∆的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作ABC ∆的外接圆O ，可知点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，求出A H '的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而O 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD BC ⊥于D ，ABC ∆ 是边长为2的等边三角形，1BD ∴=，AD ∴==ABC ∴∆的面积为122⨯=；（2）作ABC ∆的外接圆O ，120BAC ∠=︒ ，BC =，∴点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，60BOA '∴∠=︒，33BH CH ==，3OH ∴=，6OB =，633A H OA OH ''∴=-=-=，ABC ∴∆的最大面积为133932⨯=（3）存在，以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，20AB = 米，10AH OH ∴==米，2OA =米，24BC = 米，14OG ∴=米，10214> ，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，O ∴ 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，10EF OH ∴==米，1102OM =114EM ∴=米，22112OE OM M E ∴-=米，18CM BF ∴==米，同理210212CM BH OE =+=+=（米)，MC ∴的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC ∆为等腰三角形，120C ∠=︒，8AC BC ==，D 是AB 上一点，且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为4．问题探究：（2）如图②，ABC ∆中，120C ∠=︒，10AB =，试分析和判断ABC ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足600BC =米，300CD =米，60C ∠=︒，60A ∠=︒，主办方打算过BC 的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME （宽度忽略不计）其中点E （出口）为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，CD 是ABC ∆的中线，利用等腰三角形的性质推出CD AB ⊥，利用三角函数求解即可解决问题；（2）当ABC ∆的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；（3）连接DM ，BD ．首先证明90BDC ∠=︒，求出BD ，推出BDC ∆的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ABD ∆的面积最大即可，因为BD 为定值，A ∠为定角60=︒，推出当ABD ∆是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出90MDE ∠=︒，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图①，CD 平分ABC ∆的面积，AD DB ∴=，8AC BC == ，CD AB ∴⊥，1602ACD BCD ACB ∠=∠=∠=︒，cos 8cos 604CD AC ACD ∴=∠=︒=，CD ∴的长度为4，故答案为：4；（2）存在．如图②，10AB = ，120ACB ∠=︒都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在 AB 的中点时，ABC ∆的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD AB ⊥，152AD BD AB ===，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴tan AD ACD CD ∠=，53tan 603AD CD ==︒，∴125323ABC S AB CD ∆=⋅=，答：ABC ∆（3）存在．如图③，连接DM ，BD ，M 是BC 的中点，13002CM BC ∴==，CM CD ∴=，又60C ∠=︒ ，CMD ∴∆是等边三角形，60MDC CMD ∴∠=∠=︒，CM DM BM ==，30CBD MDB ∴∠=∠=︒，90BDC ∴∠=︒，tan 60BD CD ∴=⋅︒=米，在ABD ∆中，BD =60A ∠=︒为定值，由（2）可知当AB AD =时，即ABD ∆为等边三角形时ABD ∆的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(BDC ∆的面积不变），21330024max BDC BDA S S S ∆∆=+=⨯⨯=；ABD ∆ 是等边三角形，60ADB ∴∠=︒，90ADM ADB BDM ∴∠=∠+∠=︒，由12EMD CDM max S S S ∆∆+=，得：21130030022DE ⨯+=⨯解得：DE =，AE AD DE ∴=-==)，答：点A 距出口的距离AE 的长为米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使30APB ∠=︒的点P 有无数个；（2）若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】（1）已知点A 、点B 是定点，要使30APB ∠=︒，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60︒即可，显然符合条件的点P 有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是（1）中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要APB ∠最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得APB ∠最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作C ，交y 轴于点1P 、2P ．在优弧1APB 上任取一点P ，如图1，则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒．∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图1．点(1,0)A ，点(5,0)B ，1OA ∴=，5OB =．4AB ∴=．点C 为圆心，CG AB ⊥，122AG BG AB ∴===．3OG OA AG ∴=+=．ABC ∆ 是等边三角形，4AC BC AB ∴===．CG ∴===∴点C 的坐标为(3，．过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接2CP ，如图1，点C 的坐标为(3，，3CD ∴=，OD =1P 、2P 是C 与y 轴的交点，1230APB AP B ∴∠=∠=︒．24CP CA == ，3CD =，2DP ∴== 点C 为圆心，12CD PP ⊥，12PD P D ∴==2(0P ∴，-．1(0P ，+．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：3(0,P -．4(0,P -．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：(0，-、(0，、(0,--、(0,-+．（3）当过点A 、B 的E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大．理由：可证：APB AEH ∠=∠，当APB ∠最大时，AEH ∠最大．由2sin AEH AE∠=得：当AE 最小即PE 最小时，AEH ∠最大．所以当圆与y 轴相切时，APB ∠最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图2．E 与y 轴相切于点P ，PE OP ∴⊥．EH AB ⊥ ，OP OH ⊥，90EPO POH EHO ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形OPEH 是矩形．OP EH ∴=，3PE OH ==．3EA ∴=．90EHA ∠=︒ ，2AH =，3EA =，EH ∴===OP ∴P ∴．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：(0,P ．理由：①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M （不与点P 重合），连接MA ，MB ，交E 于点N ，连接NA ，如图2所示．ANB ∠ 是AMN ∆的外角，ANB AMB ∴∠>∠．APB ANB ∠=∠ ，APB AMB ∴∠>∠．②若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB ∠>∠．综上所述：当点P 在y 轴上移动时，APB ∠有最大值，此时点P 的坐标为和(0,．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知ABC∆内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）:如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ====，（依据1)点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒．（依据2)又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠．同上可得点B，D，P，E四点共圆，⋯⋯任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点P是 BC的中点时，BD CF=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明180FEP DEP∠+∠=︒，可证明结论；（3）连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt PBD Rt PCF∆≅∆，从而得出结论．【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；（2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ ====，∴点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒，又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠，同上可得点B，D，P，E四点共圆，DBP DEP∴∠=∠，180ABP DBP∠+∠=︒，180FEP DEP∴∠+∠=︒，∴点D，E，F在同一直线上；（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，点P 是 BC的中点，∴ BPPC =，BP PC ∴=，PAD PAC ∠=∠，又PD AD ⊥ ，PF AC ⊥，PD PF ∴=，Rt PBD Rt PCF(HL)∴∆≅∆，BD CF ∴=．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt PBD Rt PCF ∆≅∆是解题的关键．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=45︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）根据正方形的性质可得AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得12∠=∠，利用“SAS ”证明ADG ∆和CDG ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得23∠=∠，从而得到13∠=∠，然后求出90AHB ∠=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得112OH AB ==，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒ ，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD ===，根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-=．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆 AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B 在直线l 上，过点B 构建等腰直角三角形ABC ，使90BAC ∠=︒，且AB AC =，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，连接AD ．（1）小亮在研究这个图形时发现，90BAC BDC ∠=∠=︒，点A ，D 应该在以BC 为直径的圆上，则ADB ∠的度数为45︒，将射线AD 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ，可求出线段AD ，BD ，CD 的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC 绕点B 在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD ，BD ，CD 的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD 长为1，当ABD ∆面积取得最大值时，请直接写AD 的长．【分析】（1）由90BAC ∠=︒，且AB AC =，可得45ACB ABC ∠=∠=︒，由90BAC BDC ∠=∠=︒，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，所以45ADB ACB ∠=∠=︒；由题意知EAB DAC ∆≅∆，所以BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，可知ADE ∆是等腰直角三角形，推出2CD DB EB BD DE +=+==；（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ．易证()EAB DAC SAS ∆≅∆，则BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，所以ADE ∆是等腰直角三角形，则2DE =，由BD CD BD BE DE -=-=，推出BD CD-=；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ABD∆的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．=，，且AB AC∠=︒90BACACB ABC∴∠=∠=︒，45，∠=∠=︒90BAC BDC∴、B、C、D四点共圆，A∴∠=∠=︒；45ADB ACB②由题意可知，90∠=∠=︒，EAD BAC∴∠=∠，EAB DAC又AE AD=，AB AC=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DE，+=+=CD DB EB BD DE∴+=；CD DB故答案为45︒，CD DB+=；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD CD-=．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90︒交直线l于点E．则90∠=∠=︒，DAE CAB∴∠=∠，DAC EAB又AD AE=，AC AB=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，2DE，-=-=BD CD BD BE DE∴-=；2BD CD（3）由（2）知，CDA BEA∆≅∆，∴∠=∠，CDA AEB，∠=︒DEA45∴∠=︒-︒=︒，AEB18045135∴∠=∠=︒，135CDA AEB∴∠+∠=︒+︒=︒，13545180CDA ABC∴、B、C、D四点共圆，A于是作A、B、C、D外接圆O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ABD∆的面积最大．作DG AB ⊥，则DG 平分ADB ∠，DB DA =，在DA 上截取一点H ，使得1CD DH ==，45ADB ACB ∠=∠=︒ ，22.5GDB ∴∠=︒，67.5DBG ∠=︒，67.54522.5DBC ∴∠=︒-︒=︒，4522.522.5HCB DHC HBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，HCB HBC ∴∠=∠，HB CH ∴==，1AD BD DH BH ∴==+=．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。

二、典例精析类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140．4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC＝_____度．【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．故答案为：12.5，37.5．法二：∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D 在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D 在以AB为直径的圆上．7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ 的范围．【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.类型3 四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC 为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。

模型介绍【点睛1】触发隐圆模型的条件（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P 运动轨迹为过A 、B 、C 三点的圆备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补则A 、B 、C 、D 四点共圆备注：点A 与点C 在线段AB 异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等则A 、B 、C 、P 四点共圆备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点（1）求CM 最小值与最大值（2）求线段AB 扫过的面积（3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高例题精讲考点一：定点定长构造隐圆【例1】．如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为．解：∵AB ＝AC ＝AD ，∴B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴∠CAD ＝2∠CBD ，∠BAC ＝2∠BDC ，∵∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°．故答案为：88°变式训练【变式1-1】．如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2．则BD 的长为（）A ．B ．C ．D ．解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ．∵DC ∥AB ，∴＝，∴DF ＝CB ＝1，BF ＝2+2＝4，∵FB 是⊙A 的直径，∴∠FDB ＝90°，∴BD ＝＝．故选：B ．【变式1-2】．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，如图，取OD＝OA＝4，连接OD，∵点M为线段AC的中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝，∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案为：1+2．考点二：定弦定角构造隐圆【例2】．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不变，∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：+1，∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．变式训练【变式2-1】．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP最短，则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，∵AD＝2，∠BAD＝90°，∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，过P′作P′E⊥CD于点E，则P′E＝DE＝DP′＝2﹣，∴CE＝CD﹣DE＝+2，∴CP′＝．故答案为：2．【变式2-2】．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为．解：如图，以AB为直径作圆H，∵∠AEB＝90°，∴点E在这个⊙H上，延长DC至P，使CD＝PC，连接BE，EH，PH，过H作HM⊥CD于M，∵EF＝DF，CD＝PC，∴CF＝PE，Rt△AEB中，∵H是AB的中点，∴EH＝AB＝2，Rt△PHM中，由勾股定理得：PH＝＝＝2，∵PE≤EH+PH＝2+2，当P，E，H三点共线时，PE最大，CF最大，∴CF的最大值是+1考点三：对角互补构造隐圆【例3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF ⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴四边形EFCB对角互补，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝变式训练【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，则DF＝，∵EF是△AOC的中位线，∴EF＝OC＝1，在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为．∴DE的最小值为．【变式3-2】．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为．解：如图∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，∵DF＝CE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADO＝90°，∴∠DAF+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴四边形ABEO对角互补，∴A、B、E、O四点共圆，取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．则KB＝AK＝KE＝OK，∵BA＝BO，∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝EC＝1，∴DF＝EC＝FC＝1，∴DE＝＝，∵△DFO∽△DEC，∴＝＝，∴＝＝，∴OD＝，OF＝，∵•DO•OF＝•DF•OM，∴OM＝，∴MF＝＝，∴CM＝1+＝，在Rt△OMC中，OC＝＝，故答案为．实战演练1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（）A．（5，0）B．（2，0）C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴AC′＝5，AC＝5，∴C′点坐标为（2，0）；C点坐标为（﹣8，0）．故选：D．2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C 重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．4．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（）A．12B．14C．16D．14解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝，在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，∴点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，∵∠AQB+∠ACB＝180°，∴点A、C、B、Q共圆，∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，∴BH＝CH＝3，在Rt△BQH中，由勾股定理得QH＝4，∴CQ＝7，当点C、Q、O共线时，OC最大，∴OC的最大值为OQ+CQ＝5+7＝12，故选：A．5．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为．解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案为：88°．6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为．解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．∵∠ACB＝∠AFB＝45°，∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（，），FA＝FB＝FC＝，设C（0．m），则（）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝6或﹣1（舍弃）∴C（0，6），根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．故答案为（0，6）或（0，﹣6）．7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为2．解：∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴P在以AB为直径的圆周上（P在△ACB内部），连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB＝6，∴OB＝3，∵BC＝4，∴由勾股定理得：OC＝5，∴CP＝5﹣3＝2，故答案为：2．8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为．解：过点B作BD⊥AC于点D，∵∠C＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝CD，设BD＝CD＝a，延长AC至点F，使得CF＝a，∵tan∠AFB＝＝，作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝AB＝2，∠AOE＝∠AFB，∴tan∠AOE＝，∴OE＝4，OA＝＝，∴+BC＝（AC+BC）＝（AC+CF）＝≤（OA+OF），∴+BC的最大值为×＝4．故答案为：．9．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为2．10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D 出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为．解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即线段DP的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．11．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC 长为．解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．∵DH⊥BH，∴∠DHC＝90°，∴四边形DACH对角互补，∴A，C，H，D四点共圆，∵∠DAC＝90°，CO＝OD，∴OA＝OD＝OC＝OH，∴A，C，H，D四点在以O为圆心的圆上，∵AC＝AD，∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A作AM⊥DH于M，过点A作AN⊥BH于N，证明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）∵∠ABC＝45°，∴∠BAH＝90°，∴BA＝AH，∵∠BAH＝∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠HAD，∵AC＝AD，AB＝AH，∴△BAC≌△HAD（SAS），∴BC＝DH，＝×BC×DH＝×BC2＝16，∴S△BCD∴BC＝4或﹣4（舍弃），故答案为4．12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．利用勾股定理可得BH＝3，根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．∴CE＝BC＝2．∴HE＝CH﹣CE＝．在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，所以∠AEB＝60°＝∠ADC，∴四边形AECD对角互补，∴点A、D、C、E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE＝30°，所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．过点A作AM⊥DE于M点，则AM＝AE＝．在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，∴AD＝2AM＝．故答案为2．13．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM．连接DM．交EF于点N．若AF＝2．则△EMN的面积是．解：如图，取DF的中点K，连接AK，EK．连接GM交EF于H．∵四边形ACD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAB＝90°，AB∥CD，∠DAC＝∠CAB＝45°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠DAF＝90°，∴四边形AFED对角互补，∴A，F，E，D四点共圆，∵DK＝KF，∴KA＝KD＝KF＝KE，∴∠DFE＝∠DAE＝45°，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∴DE＝EF，∵AF＝2，AD＝6，∴DF＝＝2，∴DE＝DF＝2，∵AF∥CD，∴＝＝，∴FG＝FM＝，∴GM＝FM＝，∴FH＝GH＝HM＝，∵EF⊥GM，∴GH＝HM＝，∴EH＝EF﹣FH＝2﹣＝，∵MH∥DE，∴＝＝＝，∴EN＝EH＝，＝•EN•MH＝••＝．∴S△ENM故答案为．14．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝，＝．解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵点F是AB的中点，∴AF＝CD，∴，∵AD＝8，∴AF＝4，∴DF＝＝4，∴FM＝FG＝；∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD＝45°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°＝∠BAD，∴∠BAD+∠DEF＝180°，∴点A，D，E，F四点共圆，∴∠DFE＝∠DAC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴DE＝EF＝DF＝2，连接GM，交EF于P，由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，∵DE⊥EF，∴GM∥DE，∴△FPG∽△FED，∴，∴PF＝EF＝，∴PE＝EF﹣PF＝，∵GM∥DE，∴△MPN∽△DEN，∴，∴，∴EN＝PE＝，在Rt△DEN中，，故答案为：；．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴当DE＝时，∠AED的值最大．16．如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，4）．将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，连接AC，BD，直线AC与BD相交于点P．（1）求证：AP⊥BP；（2）若点Q为OA的中点，求PQ的最小值．（1）证明：∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OAC+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠OBD+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BP；（2）解：如图，∵AP⊥BP，∴点P在以AB为直径的圆E上运动，由点圆最值可得，当P，Q，E三点共线，且点P在EQ的延长线上时，PQ最小，∵△OAB是等腰直角三角形，A（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝4，∵E是AB的中点，Q是OA的中点，∴QE＝OB＝2，∵PE是圆E的半径，∴PE＝AB＝2，∴PQ＝PE﹣QE＝2﹣2，∴PQ的最小值为2﹣2．17．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一动点，若△PBC的面积为12，求点P的坐标；（3）如图②，已知⊙B的半径为2，点Q是⊙B上一个动点，连接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝6，C（0，6），∵A（﹣2，0），B（6，0），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），当x＝0时，y＝﹣12a＝6，解得a＝﹣，抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6，∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴顶点D的坐标为（2，8）；（2）由（1）知，C（0，6），设直线BC的表达式为y＝kx+t，将点B、C的坐标代入得6k+t＝0，，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6；如图，过点P作PH∥y轴交BC于点H，连接PB，PC，设P（x，﹣x2+2x+6），则H（x，﹣x+6）（0＜x＜6），∴PH＝﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+3x，∵△PBC的面积为12，∴OB•PH＝×6×（﹣x2+3x）＝12，即﹣x2+3x＝4，解得x＝2或x＝4，∴点P的坐标为（2，8）或（4，6）；（3）如图，取点E（5.5，0），∴BE＝0.5，∵AB＝8，BQ＝2，∴AB：BQ＝4：1，∵BE＝0.5，BQ＝2，∴BQ：BE＝4：1，∵∠ABQ＝∠QBE，∴△ABQ∽△QBE，∴AQ：QE＝BQ：BE＝4：1，即QE＝AQ，∴DQ+AQ＝DQ+QE，由两点间线段最短可知，当点D，Q，E三点共线时，DQ+QE最小，最小值为DE，∴DE＝＝．即DQ+AQ的最小值为：．19．模型分析如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC为定角，AD为定值，我们称该模型为定角定高模型．问题：随着点A的运动，探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）．（1）当∠BAC＝90°时（如图①）：第一步：作△ABC的外接圈⊙O；第二步：连接OA；第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．（2）当∠BAC＜90°时（如图②）：第一步：作△ABC的外接圆⊙O；第二步：连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E：第三步：由图知AO+OE≥AD，当AO+OE＝AD时，BC取得最小值．那么∠BAC＞90°呢？结论：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小当∠BAC＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整．求证：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC 的面积最小．证明：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，设⊙O的半径为r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，∴BC＝2BE＝2OB•sinα＝2r•sinα，∵sinα为定值，∴要使BC最小，只需…自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，△ABC的面积取得最小值，那么要使△ABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？模型分析：证明：如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，作OE⊥BC于E，设⊙O的半径为r，AD＝h，∴BC＝2BE＝2CE，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵OB＝OC，∴∠BOE＝∠BOC＝α，∴OE＝OB•cosα＝r•cosα，∵OA+OE≥AD，∴r+r•cosα≥h，∴r≥，∵BE＝OB•sinα＝r•sinα，∴BC＝2BE＝2r•sinα，∴当r最小时，BC最小，＝；∴当r＝时，BC最小自主探究：解：如图2，延长CB知E，使BE＝AB，延长BC至F，使CF＝AC，∴AB+BC+AC＝BE+BC+CF＝EF，∠AEB＝∠EAB，∠CAF＝∠AFC，∴∠ABC＝2∠EAB，∠ACB＝2∠CAF，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴2∠EAB+2∠CAF＝180°﹣α，∴∠EAF+∠CAF＝90°﹣，∴∠EAF＝∠EAF+∠CAF+∠BAC＝90°+，作△AEF的外接圆O，作OH⊥EF于H，连接OA，OE，OF，在优弧EF上任取一点G （不在E和点F处），连接EG，FG，∴∠G＝180°﹣∠EFA＝90﹣，同理上可得：∠EOH＝∠G＝90°﹣，∴∠OEH＝90°﹣∠EOH＝，∴OH＝r•sin，EF＝2EH＝2r•cos，∵OH+AD≤OA，∴r•sin+h≤r，∴（1﹣sin）r≥h，∴r≥，∴r＝，最小＝，∴EF最小∴△ABC的周长最小值为：．20．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．解：（1）∵OA＝2OC＝4，∴A（4，0），C（0，2），将A（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设E（t，﹣t2+t+2），则F（t，﹣t+2），∴EF＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，当t＝2时，EF的最大值为2；（3）∵t＝2，∴E（2，3），F（2，1），设G（x，0），作△CFG的外接圆M，设圆M的半径为r，当圆M与x轴相切时，∠CGF最大，此时M（x，r），∵MC＝MF＝r，∴x2+（r﹣2）2＝r2，（2﹣x）2+（1﹣r）2＝r2，解得x＝4﹣，∴G（4﹣，0）．。

专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一遇弦作弦心距或半径】 (1)【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】 (5)【类型三遇切线连接圆心和切点】 (15)【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】【答案】45cm/45厘米【分析】连接BO，延长OC即可求解．【详解】解：如图，连接【变式训练】【答案】5【分析】设光盘的圆心为的值即可．【详解】解：设光盘的圆心为过点O 作OA 垂直直尺于点∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是∴()11022AB =⨯-=【答案】16【分析】过点O 作OD AB ⊥Rt AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点∵水的最深处到水面AB 的距离为∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD 中，AD AO =∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面拱门所在圆的半径为【答案】2.6【分析】如图所示，连接勾股定理建立方程221r =【详解】解：如图所示，连接【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，AB 为O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC CD =，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．(1)求证A D ∠=∠；(2)若»AE 的度数为108︒，求E ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)27︒【分析】（1）连接BC ，首先证明AB BD =，即可求解；（2）根据»AE 的度数为108︒，可得到EBA ∠，根据EBA A D ∠=∠+∠，且A D ∠=∠，即可求解．【详解】（1）如图：连接BCAB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，即AD BC⊥【变式训练】【答案】4【分析】连接BO 并延长交根据含30︒角直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接BO 则90BCD ∠=︒，∵30BAC ∠=︒，∴30D BAC ∠=∠=︒【答案】50︒/50度【分析】连接AC ，利用三角形外角的性质即可求出【详解】解：连接AC ，如图所示，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵100AED ∠=︒，ABD ∠∴40D ∠=︒，(1)求证：OE AC ∥；(2)若1AC =，4AB =，求【答案】(1)见解(2)10∴在Rt ABC △中，BC =∵OD BC ⊥，OE 是O(1)求证：CD DE=；(2)若12AB=，4=AD，求【答案】(1)证明见解析(2)8 3∴180DEB A ∠+∠=︒，又180DEB DEC ∠+∠=︒∴DEC A ∠=∠，∵∥OD BC ，∴C ADO ∠=∠，∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠，∴C DEC ∠=∠，∴CD DE =；（2）解：如图所示，连接AE ，∵AB 为直径，∴90AEB ∠=︒，∴90CAE C ∠+∠=︒，90AED DEC ∠+∠=︒，由（1）CD DE =，C DEC ∠=∠，∴CAE AED ∠=∠，∴AD DE =，∴AD DC =，∴28AC AD ==，由（1）可得BAC ADO ∠=∠，C ADO ∠=∠，则C BAC ∠=∠，∴12AB BC ==，设CE x =，则12BE x =-，∵2222AC CE AB BE -=-，(1)求证：点C是弧AB的三等分点．(2)求AE的长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）如图所示，连接OD（2）∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵BOC 是等边三角形，∴6BC OA ==，∴2263AC AB BC =-=，∵1452ACD AOD ∠=∠=︒，是等腰三角形．(1)求证：ABC的直径，∵BC是O中，在Rt BCE【类型三遇切线连接圆心和切点】(1)求证：=；EC BC(2)若43AC=，CE=【答案】(1)见解析(2)1235的切线，为OCD∴⊥，OC CD，⊥AD CD∴∥，AD OC∴∠=∠，DAC ACO由（1）得：DAC CAB ∠=∠33CE BC ∴==，CD AE ⊥ ，CD CF ∴=，AB 是O 的直径，【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，若AC PC =，则P ∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．30︒D ．45︒【答案】C 【分析】连结OC ，根据切线的性质得到90PCO ∠=︒，根据OC OA =，得到A OCA ∠=∠，根据AC PC =，得到P A ∠=∠，在APC △中，根据三角形内角和定理可求得30P ∠=︒．【详解】解：如图，连结OC ，PC 是O 的切线，90PCO ∴∠=︒，OC OA = ，A OCA ∴∠=∠，AC PC = ，P A ∴∠=∠，设A OCA P x ∠=∠=∠=︒，在APC △中，180A P PCA ∠+∠+∠=︒，90180x x x ∴+++=，30x ∴=，30P ∴∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在APC △中，根据三角形内角和定理求P ∠是解题的关键．2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在O 上，过点B 作O 的切线交OA 的A．1B．【答案】D【分析】连接OB，根据菱形的性质得到即可得到结论．四边形OABC是菱形，∴=，OA ABOA OB，=∴==，OA AB OB【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，【答案】36【分析】连接OD ，根据直角三角形的性质求出【详解】解：连接OD ，弦AB CD ⊥，90CPB ∴∠=︒．63ABC ∠=︒ ，906327PCB ∴∠=︒-︒=︒，由圆周角定理得，254EOD PCB ∠=∠=︒，DE 是O 的切线，90ODE ∴∠=︒，905436E ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：36．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 为O 上两点，且点D 为 BC的中点，连接AC CD BD 、、．过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点D 作O 的切线DE ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE AE ⊥；(2)若108BD DF ==，，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接OD AD 、，由点D 为 BC的中点可得BAD CAD BD CD ∠∠==，，再根据同圆的半径相等得BAD ODA ∠∠=，进而得到OD AE ，然后再根据切线的性质得到结论；∵点D 为BC 弧的中点，∴ BDCD =，∴BAD CAD BD ∠∠=，∵OA OD =，∴()AAS DCE DBF ≌，∴6CE BF ==【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，AB 为O 的直径，半径OD AB ⊥，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，O 的弦CD 与AB 相交于点F ．(1)求证：EF EC =；(2)若10OE =，且B 为EF 的中点，求O 的半径长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC CE ⊥，求得90OCF ECF ∠+∠=︒，根据等腰三角形的性质得到OCF ODF ∠=∠，求得90ODF OFD ∠+∠=︒，得到ECF OFD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）设O 的半径为r ，则OB OC r ==，求得10BE BF r ==-，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，OC CE ∴⊥，90∴∠=︒OCE ，即90OCF ECF ∠+∠=︒，∠(1)求证：BC平分ABD∠(2)连接OD，若ABD 【答案】(1)证明见解析(2)7∵直线l 与O 相切于点C ∴OC l ⊥于点C ．∴90OCD ∠=︒．∵BD l ⊥于点D ，∴=90BDC ∠︒．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出 AB的中点．法）的切线，分别交(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作O∠=∠；①求证：F CBA（2）①证明：连接∠，CD平分ACB ∴∠=∠，ACD BCD∴=，AD BD∴⊥，OD AB。

全班玩魔方日记结尾作文
魔方，这小小的玩意儿，可把咱们全班给迷住了！每个人都玩
得不亦乐乎，你瞧！
小红拿着魔方，眼睛亮得跟什么似的，嘴里嘀咕着，“这次我
一定要把它给拼好！”小手翻飞，好像在跟魔方跳舞似的。

小刚就厉害了，魔方在他手里就像变魔术一样，一会儿工夫就
搞定了！同学们纷纷围过去，好奇地问，“你咋这么快啊？是不是
有啥秘诀？”小刚得意地笑了，“哈哈，熟能生巧嘛！”。

角落里的小明，倒是挺沉得住气。

他默默地拧着魔方，虽然速
度不如小刚，但那股认真劲儿，看着就让人佩服。

有时候拧错了，
他也不气馁，重新开始。

这种精神，值得我们学习！
啊！终于放学了！大家收拾书包，准备回家。

但手里还紧紧握
着魔方，好像怕它跑了似的。

魔方，真是个让人着迷的小东西啊！
回想起今天玩魔方的时光，真是又开心又有趣。

这小小的魔方，
不仅让我们玩得开心，还让我们学会了坚持和耐心。

嘿，下次还要一起玩魔方！。