三角形的内切圆(课堂PPT)

2 如图，点O是△ABC的内心，若∠ACB＝70°，则 ∠AOB＝( ) A．140° B．135° C．125° D．110°
（来自《典中点》）
知2－练
3 下列说法错误的是( ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
（来自《典中点》）
总结
知2－讲
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点，所以三角形的内心与任一顶点的连线平分三角 形的内角．
（来自《点拨》）
13 三角形内切圆的圆心是( ) A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
知2－练
（来自《典中点》）
知2－练
知1－讲
见切点，连半径，结合等腰三角形、等边三角形的 性质求出半径长.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D， E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= 1 l. 2
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF(根据什么？).
A
同理，BD=BF，CD=CE.
理解三角形内切圆的概念要注意以下三点： ①与各边相切； ②在三角形内部； ③圆心叫做三角形的内心．
知1－讲
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC
的内切圆⊙O的半径.
解：如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC，
（来自《典中点》）
1. 三角形的内切圆中“切”是指三角形的三边与圆的 位置关系．

解得 x=4.
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲

答：圆柱底面半径为 3 cm。 2
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求它 的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
r 3
R
r
B
D
C
谈谈你的收获……
再见！
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求 它的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
R
r
r 3
B
D
C
2、内心特点: 内心是三角形三个内角的角平分线的 交点，它到三角形三边的距离相等。
A
O
B
C
填一填:如图点O为△ABC的内心，
求 (1) 若∠BAC= 80º ,则∠BOC=__1__3_0_º.
(2) 若∠BAC= x 0
,则∠BOC=_9_0__0 __.x 0 2
A
O•
B
1
2C
探究一：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，设a+b+c=L，
内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：（1）AD=AF；（2） AF+BC= 1L；
（3）若内切圆半径为r,求△AB2C的面积S(用L,r表示）.
A
b
c
D
F
rr
O
r
B aE
证明：连接OD,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,F为切点，
∴∠ADO=∠AFO=Rt∠.
又∵OD=OF,OA=OA,
龙游县三中：张力
生活实例
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆
形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆

作法：
M
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
O
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.

3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
D
CC ☉O 就是所求的圆.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
知识要点
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与
点 A 重合的点为 B．
➢ OB 是☉O 的一条半径吗？
A
➢ PB 是☉O 的切线吗？
O
P
➢ PA、PB 有何关系？ B
➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
A
要点归纳
切线长定理：
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
典例精析
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
D
求证：AB + CD = AD + BC.
G C
解：连接 IB，IC.
A
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
I
在△IBC 中，
B
C
BIC 180° (IBC ICB)
180° 1 (ABC ACB) 180° 1 (43° 61°)
2

三角形的内切圆
1．(5 分)下列命题正确的是( C ) A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的内心不一定在三角形内部 C．等边三角形的内心与外心重合 D．一个圆有唯一一个外切三角形
2．(5 分)已知△ABC 的内切圆 O 与各边相切于点 D，E，F，那么 O 是△DEF 的( C )
S△ABC＝12BC·AD＝12×12×8＝48(cm2)，设△ABC 内切 圆半径为 r cm，12r(AB＋AC＋BC)＝48，12r(10＋10＋ 12)＝48，r＝3，∴△ABC 内切圆半径为 3 cm.
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)
8．在△ABC 中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝
1．__与三角形各边都相切的圆__叫做三角形的内 切圆，__内切圆的圆心__叫做三角形的内心，这个__ 三角形__叫做圆的外切三角形，三角形的内心是这个 三角形三条__角平分线__的交点．
2．设△ABC 的周长为 l，内切圆半径 r，则其面积 为__12lr__．
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b， BC＝a，则其内切圆半径是__a＋b2－c或a＋abb＋c__．
谢谢观赏
You made my day!
OE＝r，则 PE＝r，AE＝AD＝r＋2，OP＝ 2r，OB
＝6 2－ 2r；，OB2＝BD2＋OD2，∴(6 2－ 2r)2＝(8－r)2＋r2，
解得 r＝1，∴⊙O 的半径为 1
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三2022/4/132022/4/132022/4/13 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/132022/4/132022/4/134/13/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/132022/4/13April 13, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

图6－19－5
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4．如图6－19－6，△ABC中，AB＝AC， ∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD 的内切圆圆心，则∠AOB＝___1_3_5_°__．
【解析】 如答图，连结CO，并延长AO交 BC于点F，
图6－19－6
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变式跟进4答图
切线长定理 1．经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的 长，叫这点到圆的切线长． 2．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆 心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三角形的内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的 内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条 内角平分线的交点． 三角形的内心到三角形三边的距离相等．
全效优等生
图6－19－4
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【思路生成】利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐 角三角函数关系得出△ABC的高，再利用圆以及三角形面积公 式求．
全效优等生大师导航 归类探源自 自主招生交流平台 思维训练【解析】 D 为 BC 与⊙O 相切的切点，连结 CO，DO，由 题意，可得 OD⊥BC，∠OCD＝30°，设 BC＝2x，则 CD＝x， 故DDOC＝tan 30°，
AO＝AO， ∴△AOB≌△AOC(SAS)，∴∠AOB＝∠AOC＝135°.
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三角形的内切圆 1．如下图所示，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E， F，△ABC的三边长为BC＝a，AC＝b，AB＝c，设⊙O的半径 为r，则有：
(1)∠BOC＝90°＋12∠A； (2)S△ABC＝12(a＋b＋c)r；

格价值的基础上建立了她的儿童教育理论。杜威也指出，儿童期生活有其内在的品质和意义，不可把它当作人生中一个未成熟阶段，只想让它快快地过去。 人生的各个阶段皆有其自身不可取代的价值，没有一个阶段仅仅是另一个阶段的准备。尤其儿童期，原是身心生长最重要的阶段，
也应是人生中最幸福的时光，教育所能成就的最大功德是给孩子一个幸福而又有意义的童年，以此为他们幸福而有意义的一生创造良好的基础。然而，今天的普遍情形是，整个成人世界纷纷把自己渺小的功利目标强加给孩子，驱赶他们到功利战场上拼搏。我担心，在他们未来的人生中，
艺。 “生长就是目的，在生长之外别无目的”，这是特别反对用狭隘的功利尺度衡量教育的。人们即使承认了“教育即生长”，也一定要给生长设定一个外部的目的，比如将来适应社会、谋求职业、做出成就之类，仿佛不朝着这类目的努力，生长就没有了任何价值似的。用功利目标规
范生长，结果必然是压制生长，实际上仍是否定了“教育即生长”。生长本身没有价值吗？一个天性得到健康发展的人难道不是既优秀又幸福的吗？就算用功利尺度——广阔的而非狭隘的——衡量，这样的人在社会上不是更有希望获得真正意义的成功吗？而从整个社会的状况来看，正如
在若干年后的社会上，童年价值被野蛮剥夺的恶果不知会以怎样可怕的方式显现出来。 第三条箴言：教育的目的是让学生摆脱现实的奴役，而非适应现实 这是西塞罗的名言。今天的情形恰好相反，教育正在全力做一件事，就是以适应现实为目标塑造学生。人在社会上生活，当然有适应
现实的必要，但这不该是教育的主要目的。蒙田说：学习不是为了适应外界，而是为了丰富自己。孔子也主张，学习是“为己”而非“为人”的事情。古往今来的哲人都强调，学习是为了发展个人内在的精神能力，从而在外部现实面前获得自由。当然，这只是一种内在自由，但是，正是

.
15
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
.
16
例3 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如 图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在 △ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮 助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？
A
C
B
.
17
读句画图：①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O ②作直线m与⊙O相切于点D，作直线n与⊙O相切于点E，
C
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 130 度。 （3）若∠BOC=100 °，则∠A= 20 度。
.
9
A （4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
O
答： ∠BOC =90 ° + ∠A
.
5
名称 确定
方法
外心
（三角 形外接 圆的圆 心）
三角形 三边中 垂线的 交点
B
内心
（三角 形内切 圆的圆 心）
三角形 三条角 平分线 的交点
B
图形
A O
A O
性质
1.OA=OB=OC ；2. 外心 不一定在三角形的内 部．
C
1. 到 三 边 的 距 离 相 等 ； 2.OA 、 OB 、 OC 分 别 平 分 ∠ BAC 、 ∠ABC、∠ACB； 3.内心在三角形内部．
C
.
6
判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（错） 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错） 3、等边三角形的内心和外心重合； （对）

a+b-c=?
CD+CE
如：直角三角形的两 直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的 半径为______ 2cm 。
c D C r O E B
八、牛刀小试
如图，设△ABC的边BC=a，
1 CA=b,AB=c,s= (a+b+c),内切圆I和各 2
边分别相切于D,E,F 求证：AE=AF=s-a BF=BD=s-b CD=CE=s-c
课内练习
设△ＡＢＣ的面积为Ｓ，周长为Ｌ， △ＡＢＣ内切圆 A 的半径为ｒ，你能 1 E 得到Ｓ＝ 2 Ｌｒ吗？ C O 想想： O 要求出三角形的面积 需要哪些量? F D 根据三角形内心的性质, 可以如何添加辅助线?
B
变式 也可用面积得出结论
ab r abc
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为 a+b-c c 则其内切圆的半径ｒ为: r = 2 （以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ） A
B E
小
结
学以致用
已知：如图，A 是圆O 外一点，AB，AC 分别 与圆O 相切于点B，C. P是弧BC上任意一点， 过点P 作圆O 的切线，交AB 于点M，交AC 于 点N. 设AO＝d，BO＝r.求证：三角形AMN 的周 长是一个定值，并求出这个定值.
A
N P M B C
O
十、布置作业：
1、必做题：作业本2.3节 2、选做题：教材 P504-5
M
C
记一记
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；内 心与顶点连线平分内角。
A
O

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[单选]当船底部或甲板分段分为左、中、右三段时，代表右段的符号是（）。A.LB.SC.P [单选]下列属于软件著作权中的财产权有（）。A.修改权B.署名权C.转让权D.许可权 [单选,A2型题,A1/A2型题]脑性瘫痪最常见的临床分型（）A.不随意运动型B.强直型C.混合型D.痉挛型E.肌张力低下型 [单选,A1型题]松子仁除润肠通便之功外，还具有的功效是（）A.利水消肿B.生津止渴C.润肺止咳D.养血安神E.益气健脾 [单选,A1型题]肺功能检查时，阻塞性通气功能障碍最主要的表现是（）A.肺活量降低B.残气量增加C.气流指数>1.0D.第一秒用力呼气容积降低E.肺总量降低 [单选]下列现象对早期妊娠的诊断最准确的是（）.A.停经伴恶心、呕吐B.阴道充血变软，呈紫蓝色C.子宫增大D.黄体酮试验阳性E.超声多普勒检查证明有宫内胎心搏动 [不定项选择]建设项目一般都应编制绿化方案，作为一个比较完善的绿化方案，一般应包括编制（）。A.指导思想B.方案目标C.方案监理D.方案实施计划 [单选]ANSI是（）国家的标准。A.美国B.德国C.日本D.俄罗斯 [问答题,简答题]稀土元素是如何分组的？ [填空题]首届橄榄球世界杯于（）年由澳大利亚和新西兰举办。2011年得世界杯赛于（）举行。 [单选,A1型题]关于煎药的说法错误的是（）A.煎药前应先用冷水浸泡药物半小时左右B.应掌握好火候与时间，以防煎干或煎焦C.汤剂应做到煎透榨干D.对毒性、烈性中药的煎药用具应有明显标记E.煎药过程中，质重坚硬的药物宜后下 [单选]齿状突顶端超过腭枕线多少，可诊断为颅底凹陷症（）A.2mmB.2.5mmC.3mmD.4mmE.5mm [单选]涂尔干提出社会学研究七个准则的著作是（）A.《论法的精神》B.《社会学研究方法论》C.《社会体系》D.《社会过程》 [单选,A3型题]婴儿胎龄40周，生后5小时，择期剖宫产娩出，生后不久出现呻吟，呼吸急促，口中少许泡沫伴口周发绀。查体：呼吸70次/分，双肺呼吸音粗，可闻及粗湿啰音，心率140次/分，胸骨左缘2.3肋间闻及Ⅰ～Ⅱ级收缩期杂音。血气分析结果：pH7.32，PaO26.4kPa，PaCO26.7kPa，BE-6 [填空题]液体的粘度随温度的下降而（）。 [单选]医疗机构发现了疑似甲类传染病病人在明确诊断前，应（）A.转回社区卫生服务中心观察B.留急诊室观察C.在指定场所单独隔离治疗D.收住院进行医学观察E.转到其他医院 [单选]心境障碍的临床类型不包括（）。A.抑郁发作B.躁狂发作C.环性心境障碍D.木僵E.双相情感障碍 [单选]闭经的不孕患者进行内分泌检查时，下列哪项是不必要的？（）A.FSHB.LHC.TSHD.E2E.P [填空题]每一位员工要求树立诚心诚意为客户服务的意识，要做到将（）和（）结合起来，为客户创造更高的服务价值。 [名词解释]俄狄浦斯情结（05年十月已考） [单选]下列哪项不是风湿性心脏瓣膜病主动脉瓣狭窄的血流动力学变化（）.A.左心室收缩压高于主动脉收缩压B.主动脉收缩压正常或低于正常C.冠状动脉血流量减少D.左心室和主动脉有舒张期压力阶差E.左心室和主动脉无收缩期压力阶差 [单选,A1型题]既能消食和胃又能发散风寒的药物是（）A.紫苏B.藿香C.山楂D.陈皮E.神曲 [单选]产后子宫重量逐渐减少，不恰当的是（）.A.产后2周约为200gB.分娩结束时约有1000gC.产后2周约为300gD.产后1周约为500gE.产后6周约为50g [单选]强调情绪的发生是由外界环境刺激、机体的生理变化和对外界环境刺激的认识过程三者相互作用的结果的情绪理论被称为（）A．坎农—巴德学说B．伊扎德的情绪理论C．詹姆斯-兰格理论D．沙赫特-辛格的情绪理论 [单选]检查堤防滑坡，首先要注意查看有无在堤顶或堤坡上出现的（）。A.龟纹裂缝B.横向裂缝C.滑坡裂缝D.干缩裂缝 [单选]影响反应过程的基本因素有（）。A、温度、压力、原料配比、浓度；B、温度、原料配比、浓度；C、温度、压力、原料配比及停留时间；D、温度、压力、停留时间。 [单选]对于正常产褥，下列哪项是不恰当的（）A.一般在产后24小时内体温轻度升高，不超过38℃B.出汗量多，睡眠和初醒时更为明显C.子宫复旧主要是肌细胞数目减少及体积缩小D.浆液恶露内含细菌E.产后约2周经腹部检查不易触及宫底 [单选,B1型题]先天性喉喘鸣常表现为（）A.吸气性呼吸困难B.呼气性呼吸困难C.混合性呼吸困难D.呼吸节律不规则E.端坐呼吸 [单选]某钢筋混凝土工程的施工合同中规定，工程所需用的所有商品混凝土由建设单位负责供应，其余材料由施工单位负责采购，则()。A.商品混凝土由建设单位负责检验，其他材料由施工单位负责检验B.商品混凝土由监理单位负责检验，其他材料由施工单位负责检验C.商品混凝土和其他材料均 [单选]可形成不完全吞噬的吞噬细胞是（）A.树突状细胞B.中性粒细胞C.单核巨噬细胞D.γδT细胞E.NK细胞 [单选,案例分析题]某新建电厂装有2×300MW机组，选用一组200V动力用铅酸蓄电池容量2000Ah，二组控制用铅酸蓄电池容量600Ah，蓄电池布置在汽机房层，直流屏布置在汽机房，电缆长28m。请判断并说明下列关于正常情况下直流母线电压和事故情况下蓄电池组出口端的电压的要求哪条是不正 [单选,A2型题,A1/A2型题]单相全波整流X线机，高压整流器的个数是（）A.6B.4C.2D.8E.12 [单选]串联通风必不得超过0.5%。A.便携仪B.甲烷断电仪C.风速传感器 [单选]胃间质瘤起源于胃壁的（）。A.浆膜层B.黏膜层C.黏膜下层D.黏膜肌层E.固有肌层 [单选]在信用立法上，我国的原则与征信国家的基本原则相同的是（）原则。A.保护消费者权益B.维护市场公平竞争C.强制开放征信数据D.政府推动与社会参与相结合的原则 [单选]余师愚的代表著作是：（）.A.《广温疫论》B.《疫疹一得》C.《温疫论》D.《伤寒温疫条辨》 [问答题,案例分析题]背景材料： [判断题]从日本进口非动物源性的化妆品原料时，出口国官方不需出具证书，可凭生产厂商提供“非动物源性产品声明”报检。（）A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下组合错误的是（）A.听眶线--ABLB.听眦线--OMBLC.听眉线--SNLD.眶下线--IOLE.人类生物学基线--ABL [多选]哪些选项属于烟花爆竹（）A、烟花爆竹制品B、用于生产烟花爆竹的民用黑火药C、烟火药D、引火线

r

a
2S b
c
；r

a

b 2

c
只适合于直角三角形
A 方案一
√A
方案二
B
C
B
C
A
A
方案三
方案四
B
C
B
C
一 三角形的内切圆
合作探究
猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都 相___切_____.
A 方案二
O
∟
B
C
画一个圆关键是定圆心和半 径，如何画一个圆与三角形
的三条边都相切？
如果这个圆与△ABC的三条边都相 切，那么圆心O到三条边的距离都 等于__半__径__，从而这些距离相等.
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三 条角平分 线的交点
B
A
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
O ∠ACB
C 3.内心在三角形内部．
典例精析
例1 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。 A
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8cm＝2(cm)．
4
4
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，
∴△BDF∽△ADB，∴ BD DF ,
AD BD
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4cm，
又∵BD＝DE，
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点. A

三角形三 边中垂线 的交点
B
O
C
A
内心（三 三角形三 角形内切 条角平分 圆 的 圆 心 ） 线的交点
B
O C
（ 1 ）到三边的 距离相等； （ 2 ） OA 、 OB 、 OC 分别平分 ∠ BAC 、 ∠ ABC 、 ∠ACB； （ 3 ）内心在三 角形内部．
3. 什么是三角形的内切圆？ 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边 形叫做圆的外切多边形．
（四）小结
1.学内切圆、圆的外切多边形的概念．
2.利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点 就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
3.在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接” 与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助 线的添加和应用． 能力训练 1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ） （A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形
(1)求证：ID=BD； (2)设△ABC外接圆半径R=3，ID=2，AD=x，DE=y，当点 A在优弧 上运动时，求函数y与自变量x间的函数关系式 A ，并指出自变量的取值范围． 参考答案与提示：BDBDC 提示：（1）与典型例题2一样； （2）由 ID 2 AD DE ，∴ y 4 ， x ∵BD<AD 2R， ∴自变量x的取值范围是2<x 2．
I B D E C
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衣侍,打开房门,望着夜轻语,嘿嘿一笑,伸手拉着他の不咋大的手关心の问道："轻语,那么早就起来了?你呀脸色有些差啊,是不是昨夜没休息好啊?" "嗯?那么迟还睡,会给人笑の."夜轻语脸上闪过一丝红霞,低垂着头,有些羞涩暗道,昨夜你呀们这这么大の动静,别人能睡好才怪,随即又想起什么, 连忙说道："哥,你呀还不下去,下面の有几位世家の不咋大的城家主,他们等你呀很久了?俺先…俺回房了." "管他の,让他们等着,你呀吃点东西在睡吧,俺让人给你呀送点吃の！"白重炙一听见,不是世家长老什么の,也懒得理会.他知道他现在地位不同了,身为白家の少族长,肯定会有人前来巴结 贿赂什么の.没有急着下去,而是直接传音给站在楼梯下の翠花,吩咐她送些糕点上来,这才慢吞吞の走了下去. "参见少族长！" 走进大厅,里面正坐着五六个人,这些人一件白重炙进来,连忙站了起来,很是热情の拱手行礼. "都坐下,都坐下,别那么多规矩！"白重炙呵呵一笑,直接走到主位,坐了下 来,朝几人望去.这几人只有一人他倒是有点印象,正是蛮城那个大胖子夜棍,其他の几人倒是一些也不认识. "夜棍,几年没见,越发有福相了啊,这几位是?"白重炙端起茶水喝了一口,望着夜棍,这个大胖子可是越来越胖了,估计在蛮城这么多年,收刮の很厉害啊.对于夜棍他还是有些好感の,毕竟以 前要不是夜棍派了辆超快の马车送他回雾霭城,估计他肯定没这么及时赶回来,夜轻语则很有可能香消玉殒了. "少族长,谬赞了,托你呀老人家の福气…,蛮城一别,眨眼六年过去了,没想到少族长还记得夜棍,你呀可是不知道啊,听说当年你呀坠入了落神山,俺可是担心几天几夜没睡觉…现在你呀终 于平安归来,算是老天有眼,这不,俺和几位家主利马,带了点土特产过来看望一下您！" 当年在蛮城只是匆匆见了一面,夜棍没想到白重炙居然还记得他,并且对他很是客气,夜棍心情那个激动啊,浑身肥肉都在抖动.神情也变得无比骄傲起来,似乎在向其他の几位家主示威一样,一阵马屁之后,他才 一脸媚笑介绍起旁边の几人来："恩,少族长,这位是春城の家主夜春春,这位是羊城家主夜羊羊,这位是星城家主夜星星…" "少族长能平安归来,真乃白家の大幸,雾霭城の大幸,破仙府之大幸啊…少族长如此年纪,就拥有如此境界,可谓是炽火大陆历史上第一绝世天才,白家因为少族长而…少族长, 你呀是天上の星辰,必将照亮世人,你呀是炽火大陆最璀璨の明珠…" 几人在夜棍为他们介绍之后,连忙笑容可掬の献媚起来,一时候马屁声滔滔不尽,绵绵不绝…最后很统一の和夜棍一样,每人奉上一些玉盒："这是不咋大的城の一点土特产,当然不会入少族长の法眼,只是俺们一点心意,如果少族 长有时候去不咋大的城の话…" 白重炙一开始还很是享受这些拍须溜马,阿谀奉承.只是听到后面却是越来越觉得没意思,不咋大的爷还没死,就成了星辰了,这马屁拍の,太夸张了吧……看着几人口水四溢,神情越说越激动,似乎越说越来劲了.他终于不耐烦了,轻咳一声直接打断了几人の继续演讲. "得,东西留下,你呀们の心意俺懂了,回去好好干,但是也别太出格,你呀们懂の,夜棍留下,其他人散了吧！" "恩,好.少族长日理万机,俺等当然不敢耽误你呀宝贵の时候,如果少族长有空去不咋大的城游玩の话,俺等一定好好招待,俺们那の不咋大的姑娘可是吹拉弹唱样样精通…"几人一听见见白 重炙居然收了东西,并且语气还算很不错,连忙又是一阵感恩、寒暄、马屁.只是最后见白重炙の脸色微微有些黑了下来,这来连忙行礼告退而去. "嘿嘿,少族长,别听他们乱吹.不是俺乱说,他们城の不咋大的姑娘算个屁.蛮城の不咋大的姑娘,那个才叫那个开放,十八般武艺,一百零八招式样样精通, 你呀上次可是说了有时候一定要去玩の,要不约个时候,俺好准备准备…"夜棍见白重炙单独留下他,神情更是激动了,连忙推销起蛮城の美女来. 原本,他们夜枪の人,只是夜枪自从白重炙大闹醉心园之后,就摆明一心向着武道,不在窥窃族长の宝座,也不再结党营私了.也就将夜棍等一班人冷落了下 来.夜棍实力不高,这些年更是忙于享乐,修为没见增长.所以这几年他时刻都在担心,自己の位置突然之间就被人取代了. 而白重炙前几日却是在荣耀亭,被直接被任命为少族长,还是永不更改の那种.夜棍当时就开始琢磨了,想凭借当年和白重炙の一点不咋大的关系,试试看能不能和白重炙套套近 乎,抱一抱大腿,继续稳固他の位置. "得了,别再搞这些虚の,俺不喜欢,在继续搞这一套,俺可是要下逐客令了."白重炙一听见,无奈の叹了口气,面色一冷,直接摆了摆手,封住了夜棍の嘴巴. 白重炙一冷面倒是夜棍吓了一跳,还以为自己说错了什么话,连忙站了起来,神情很是慌张,很委屈,想说些 什么,只是却不知说什么好,只有有些尴尬の搓了搓手,望着白重炙. "夜棍,当年…俺欠你呀一些人情,所以你呀不必如此.只要俺白重炙一天没死,俺保你呀一生荣华,当然！还是那个句话,你呀也别太过了,出了大事,俺也不会容你呀！"白重炙摆了摆手,示意他坐下,不必太紧张拘束. "噗通！" 不 料白重炙の一句话,却直接把夜棍感动の差点哭了,他自己都不怎么清楚,白重炙为什么就欠他一些人情了?还突然许下如此有力の承诺.连忙一把跪下地上,不断朝白重炙拱手,神情激动说道："少族长,您,您如此厚待俺,你呀就是俺の再生父母…俺,俺都不知道该说什么好,俺给你呀老磕头了,回头 给就你呀摆长生位…" 本书来自 品&书#网 当前 第叁0壹章 等俺 文章阅读 "摆你呀妹,老子还没死哪…俺说了,俺不喜欢这套,再这样,俺可要收回俺刚才の话了！"白重炙好笑又好气の骂道,接着他突然想起什么,面色一紧,郑重の问道："夜棍,问你呀个事,正事！" "正事?"夜棍见白重炙一下冷 一下热,摸不透他の脾气,当下也不敢多废话,连忙神情郑重起来,回道.看书 "你呀可知道,你呀们蛮城有个暗月旅馆?她们の老板娘叫暗月の,很妩媚,很迷人！"白重炙嘿嘿一笑,凑了过去,低声说道. "暗月?" 夜棍还以为白重炙说什么正经事,却见白重炙问起了一些女子,心里一琢磨暗道机会来了, 连忙欣喜起来,原来白重炙喜欢这一口啊? 只是他一琢磨却有些为难起来,抓了抓脑袋,有些迟疑道："少族长,这暗月の确是个发saの绝世尤物,她是蛮城之花…只是少族长想玩玩她,恐怕有些困难,她背后可是有一些强大の靠山,蛮城无数人想上她の床,都没成功.嗯…当然少族长若是有这个意思, 俺一定想办法促成此事！" "促你呀大爷！"白重炙笑骂道,当年自己还是白家老七の时候就是已经上了她の床了,还用夜棍促什么促.同时一听见他也暗自傲娇起来,没想到自己还是有两把刷子嘛,居然将蛮城之花给上了,随即他很是敢兴趣の问道："她背后有靠山?你呀在蛮城那么多年调查出什么 没?" "嘿嘿,属下虽然没用,蛮城の一点事情都是一清二楚！"夜棍见白重炙心情似乎很不错,连忙说道："据俺估计,暗月是龙城の人,龙城在破仙府,各城设立の暗使,而蛮城の暗使应该就是暗月！" "额…原来是龙城の人,俺还以为是什么炽火大陆地下势力,大陆第一杀手组织什么！龙城の人…恩, 这就好办了！"白重炙一听见,有些惊异了.原本他就知道暗月背后有人,否则她一些女子在蛮城这个龙蛇混杂の地方,怎么能混の风生水起? 只是没想到她竟然是龙城の人,他还一直幻想着,她背后那个势力是什么地下组织啊,杀手堂什么の,到时候如果和暗月接触,会有什么麻烦什么の.现在居然是 龙城の人,这就简单了,他可以直接和龙水流,龙赛男直接要人就是了. "地下势力?杀手组织?少族长,您开玩笑了,破仙府北方,俺们白家就是最大の地下势力,怎么会允许别の势力存在?好办?额…少族长,这事你

通过三角形的三条高作内切圆
总结词
利用三角形三条高的垂足连线作内切 圆
详细描述
在三角形ABC中，分别作高AD、BE 、CF，垂足分别为D、E、F，然后分 别连接DE、EF、FD，则三角形DEF就 是三角形ABC的内切圆。
04
三角形内切圆的应用
在几何作图中的应用
确定三角形内切圆的圆心
绘制三角形内切圆
内切圆半径
从三角形内切圆的圆心到三角形 任意一边的距离就是内切圆的半 径。
三角形内切圆的重要性
面积计算
通过三角形内切圆的半径可以快速计 算三角形的面积，公式为：面积 = (p × r) / 2，其中p为半周长，r为内 切圆半径。
几何性质研究
三角形内切圆是研究三角形几何性质 的重要工具，如重心、垂心等性质都 与内切圆有关。
详细描述
切线定理说明了三角形内切圆的切线与对应的底边平行，这 是由于内切圆的半径垂直于切线，并且与底边平行。同时， 切点到三角形三个顶点的距离相等，即内切圆的半径等于三 角形周长与面积之比的一半。
切线和半径的定理
总结词
切线和半径的定理表明三角形内切圆的半径等于该三角形的高与底边长度之比。
详细描述
这个定理说明了三角形内切圆的半径与三角形的高和底边长度之间的关系。具体 来说，内切圆的半径等于三角形面积与高和底边长度乘积之比。这个定理在解决 几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到三角形内切圆的半径。
通过三角形三边的垂直平分线的交点 确定内切圆的圆心。
根据圆心和半径，使用几何作图方法 绘制出三角形的内切圆。
计算内切圆的半径
利用三角形面积和半径公式，可以求 出内切圆的半径。
在三角形面积计算中的应用
要点一