关于三角形的内切圆课件

✓ 作圆的关键是什么？ 角圆平心分到线三上条的边点到角 确定圆心和半径． 的的两距边离的相距等离相等
✓ 怎样确定圆心的位置？ 作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
✓ 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长
就是圆的半径． 相切时圆心到三角形 三边的距离等于半径
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
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延伸 类别
A
O
B
C
三角形的内切圆
⊙O的名称 △ABC的名称
△ABC的内切圆 ⊙O的外切三角形
圆心O的名称
圆心O的确定 内心与外 心的性质
△ABC的内心
作两角的角平分线
内心O到三角形 三边的距离相等
B A
OC
三角形的外接圆
△ABC的外接圆 ⊙O的内接三角形 △ABC的外心 作两边的中垂线 外心O到三个顶 点的距离相等
∴ ∠BIC=180°–(∠IBC+ ∠ICB)=130°.
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随堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形
的内切圆半径.
B
解：如图，设△ABC的内切圆半径是r，
切点是D、E、F，连接OA、OB、OC、
OD、OE、OF，
【变式训练】 (1)若∠A=60°，则∠BIC= 120°. (2)若∠BIC =100°，则∠A= 20°.
I
B
C
∠BIC=90°+ 1∠A
2
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随堂练习 1.在△ABC中，AB=AC=4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径

NIM
2.过点I作ID⊥BC,垂足为D. B
D
C
3.以I为圆心,ID为半径作
⊙I,⊙I就是所求的圆.
想一想
三角形与圆的位置关系
这样的圆可以作出几个?为什么?
∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相
F
等(为什么?),
A
E I
●●
B
┓
C
∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个, 并且只能作一个.
∠BAC=50°，求∠BOC的度数。
O
2
4
变式2：在△ABC中，点O是内心， B 1
3 C
∠BOC=120°，求∠BAC的度数。
题2：
想想，做做
求边长为６ｃｍ的等边三角形的内切圆半径r与外
接圆半径R。
A
老师提示：
先画草图，由等腰三角形底边上的中
O
垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三
R
角形的内切圆与外接圆是两个同心圆。
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
图形
A
性质
三角形三边
1.OA=OB=OC
O
2.外心不一定
中垂线的交
点
B
在三角形的内 C 部．
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.到三边的距离
相等；
2.OA、OB、OC
O
分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内 C 部．
r
B
C
D
变式：
求边长为ａ的等边三角形的内切圆
半径r与外接圆半径R的比。

△ABC ⊙O的外 三角形三条 到三角形的
的内切 切三角 角平分线的 三条边的距 一定在三角形内部
圆
形
交点
离相等
知2－讲
导引：根据△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋
△AOC的面积即可求解．在Rt△ABC中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ BC2 AC2 82 62 ＝10(m)．∵输油
中心O到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，
2. 要点精析： (1)任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆； (2)一个圆有无数个外切三角形、内接三角形．
知1－讲
例1 下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ C ）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
知2－练
1 (202X·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学
名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容 圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长 为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆 形 (内切圆)直径是多少？”( ) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
知1－讲
导引：由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角 形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求 解即可求得答案． 解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的 定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理 可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形 的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离 相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正 确的说法为：①②④.

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
D N C （1）找出图中所有相等的线段 P O M DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
（2）填空：AB+CD = AD+BC
A L B （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：的关系
圆的外切四边形：边的关系
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一上午8时58分15秒08:58:1522.4.11
书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午8时58分22.4.1108:58April 11, 2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一8时58分15秒08:58:1511 April 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
F
E
C
o．
o．o A B
三角形内切圆
C
．o
A
B
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下

2
2
B
Oc
a I
A
bC
思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角
地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知 雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC， BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M 离道路三边的距离有多远？
A 镇 商 业 区D
.M F
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
例3 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如 图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在 △ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮 助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？
A
C
B
读句画图：①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O
B
C
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = （∠ABC+ ∠ACB）
= （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的 内切圆、圆的外切多边形的概念。
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心” 与 “外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运 用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
⊙ O是△ABC的 外接 圆，点O叫△ABC
的 外心 ，

解得 x=4.
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲

（ ×） （ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径——6—.5c—m，内切圆半径——2—cm—。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比——2:—1 —。
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC
的外接圆相交于点D. 求证：DE＝DB
A
12
O
3
4
B5
C
D
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否 都在三角形内．
2、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，
则内切圆的半径为（ ）
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
I
3
B
4 5
D
C
E
课堂练习： 1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（√ ） （2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（×）
（3）若O为△ABC的内心，
则OA＝OB＝OC。（ ×）
因此三角形的内心是三个内角的角平分线的交，点 它到 三边的距离相等 距离相等
C O就是所求的圆。
想一想：根据作法,和三角形各边都
相切的圆能作出几个？ 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
A
2、和多边形的各边都相
切的圆叫做多边形的内
切圆，这个多边形叫做
圆的外切多边形。
O
B
C
三角形的外接圆与内切圆

[判断题]化学热处理不仅改变了钢的组织，而且表层的化学成分也发生了变化。（）A.正确B.错误 [单选]根据系统论的理论，物流系统可分为四个层次，错误的是（）A．上级系统B．下级系统C．本级系统D．外级系统 [单选]串励直流电动机若空载运行则会发生（）现象。A.飞车B.停车C.因电流极大冒烟D.因转矩极小而拖不动负载 [单选,A2型题,A1/A2型题]结核性胸膜炎胸腔内是否用药的原则是（）A.最好每个患者都注射结核药物B.一般情况下，抽胸水后没有必要胸腔内注入抗结核药物C.最好注射糖皮质激素D.可以注射胸膜粘连剂E.绝对不能胸腔内用药，以免产生胸膜反应 [单选]船舶在近海、沿岸航行时通常都采用恒向线航法，这是因为（）。A．恒向线在墨卡托海图上是直线，即两点间最短航程航线B．船舶按恒向线航行，操纵方便，且航程增加不多C．恒向线能满足海图的纬度渐长特性D．墨卡托海图是等角投影海图，只能使用等角航线 [单选]施工合同规定，由甲方承担的保险义务是()。A.机器设备损坏险B.建筑工程一切险C.人身意外险D.勘察设计一切险 [单选]不属于二次环境污染物的是A．光化学烟雾B．可吸入颗粒物C．酸雨D．甲基汞E．有机汞 [单选,A2型题,A1/A2型题]据《素问·四气调神大论》，“发陈”描述的是哪一季节的物候规律（）A.春B.夏C.秋D.冬E.长夏 [单选]体的压力、密度<ρ>、温度<T>三者之间的变化关系是（）.A、&rho;=PRTB、T=PR&rho;C、P=R&rho;/TD、P=R&rho;T [单选,A1型题]不属于采用注射法接种的疫苗是（）A.麻疹活疫苗B.乙肝疫苗C.脊髓灰质炎三型混合疫苗D.卡介苗E.百白破混合制剂 [单选]下列资产中，属于不可确指的资产的是（）。A.商标B.专利C.商誉D.土地使用权 [单选]下列各项中，除哪一项外，均由风热夹痰或湿热蕴阻所致（）A.颈痈B.脐痈C.乳痈D.臀痈E.背痈 [单选]下列选项中，按配送区域划分配送中心的是（）。A.城市配送中心B.流通加工配送中心C.家电商品配送中心D.第三方配送中心 [问答题,简答题]营销信息系统内抄表段管理包括哪些功能？ [单选]正气不足，精气轻度损伤，脏腑功能减弱者，属A.得神B.少神C.失神D.假神E.神乱 [单选]决定分娩过程的要素是（）。A.母畜年龄B.产力C.怀孕期D.胎位 [单选]数字微波通信中波道切换一般不在（）上进行.A.射频B.中频C.基带 [单选]以下关于斑点状掌跖角化病临床表现的描述，错误的是()A．常染色体显性遗传病B．可发生于任何年龄C．典型皮损为掌跖部直径2～1Omm角化性丘疹D．多伴手足多汗表现 [单选]在放射免疫分析中常用到RIA标准曲线（Standardcurve），其作用是（）A.用来校正计数器（counter）B.用得到的计数率去推算试样中所含样品的浓度或含量C.做质控D.用来追踪试样的变化E.鉴定核素的放射化学纯度 [单选]了解某市国有工业企业生产设备情况，则统计总体是（）。A.该市国有的全部工业企业B.该市国有的每一个工业企业C.该市国有的某一台设备D.该市国有工业企业的全部生产设备 [单选]根据《行政复议法》的规定，下列各项中不属于行政复议中一并申请审查范围的有（）。A.国务院各部门的规定B.省政府所在地的市的人民政府制定的规章C.县级以上地方人民政府及其工作部门的规定D.乡、镇人民政府的规定 [单选,A型题]下列哪种片剂可避免肝脏的首过作用()A、泡腾片B、分散片C、舌下片D、普通片E、溶液片 [不定项选择]属于从传播途径上降低噪声的方法的是（）。A.在工程设计中改进生产工艺和加工操作方法，降低工艺噪声B.在生产管理和工程质量控制中保持设备良好运转状态，不增加不正常运行噪声C.合理安排建筑物功能和建筑物平面布局，使敏感建筑物远离噪声源， [单选]双方目标的达成是一种正向关联的协商是（）。A.关联型协商B.双赢型协商C.竞争型协商D.合作型协商 [填空题]量臀围时应在臀围（）部位量一周。 [单选,A1型题]下列哪项是正常产褥的表现()A.产后第l天，宫底平脐B.产后12小时体温可超过38℃C.产后10天为血性恶露D.产后脉搏一般偏快E.产褥早期白细胞即恢复正常 [单选]证据审查的主体是（）。A、行政主体B、行政相对人C、行政程序参加人D、行政主体或行政程序参加人 [问答题,简答题]化石形成的原因和条件？ [单选]一般认为，延迟显像是指显像剂注入体内几小时以后所进行的显像（）A.8小时B.6小时C.4小时D.2小时E.1小时 [单选]《部标》中规定：列车员在列车进出站时，面向站台（）。A、行举手礼B、致注目礼C、站立D、敬礼 [单选,A2型题,A1/A2型题]DSA的中文全称叫做（）A.数字减影成像B.数字血管成像C.数字减影血管造影D.数字造影血管减影E.数字血管断层成像 [单选]下列关于会计凭证，表述错误的是（）。A.会计凭证是记录经济业务、明确经济责任的书面证明B.会计凭证是登记账簿的依据C.填制原始凭证是会计处理程序的第一个关键步骤D.会计凭证根据填制的程序和用途不同分为原始凭证和记账凭证 [单选]铁路旅客运输合同是明确承运人与（）之间权利义务关系的协议。A.托运人B.收货人C.旅客D.押运人 [填空题]发现牵引供电设备断线及其部件损坏，或发现牵引供电设备上挂有线头、绳索、塑料布或脱落搭接等异物，均不得与之（），应立即通知附近车站，在牵引供电设备检修人员到达未采取措施以前，任何人员均应距已断线索或异物处所（）以外。 [填空题]在冶炼、浇铸和钢水凝固过程中产生或混入的非金属相，一般称为（）。 [单选]记账凭证账务处理程序的适用范围是（）。A.规模较小、经济业务量较少的单位B.采用单式记账的单位C.规模较大、经济业务量较多的单位D.会计基础工作薄弱的单位 [单选,A1型题]患者女，50岁。下蹲或腹部用力时，出现不由自主的排尿，其正确的护理诊断是（）A.功能性尿失禁：与膀胱过度充盈有关B.功能性尿失禁：与腹压升高有关C.反射性尿失禁：与膀胱收缩有关D.完全性尿失禁：与神经传导功能减退有关E.压迫性尿失禁：与膀 [单选]右侧小脑幕切迹疝时，其瞳孔和肢体的改变是（）A.右侧瞳孔散大，右侧肢体瘫痪B.右侧瞳孔缩小，左侧肢体瘫痪C.左侧瞳孔散大，右侧肢体瘫痪D.左侧瞳孔散大，右侧肢体瘫痪E.右侧瞳孔散大，右侧肢体瘫痪 [单选]外燃锅壳式锅炉，烟管构成了锅炉的主要（）受热面，水冷壁和大锅筒下腹壁面则为锅炉的辐射受热面。A、辐射B、对流C、间壁D、上锅筒 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者女，38岁，工人。一周前无明显诱因开始出现少食，睡眠差，与人讲话小声，把家里的电话线、电脑线均拔掉，说有人监听。近2天，突然站在阳台上叫骂，自言自语说不害怕。对医生的问话以唱代说。不时捂住耳朵、跺脚、哭泣。经住院治

课程背景与知识点概述
三角形的内切圆是与三角形三边都相切的圆，其圆 心是三角形三条角平分线的交点，半径等于交点到 三角形一边的距离。
本节课将介绍三角形内切圆的基本性质，包括切线 长定理、角平分线定理和欧拉定理等。
通过学习三角形内切圆，可以解决一些实际问题， 如土地分割、面积计算等。
02
三角形的内切圆基本概念
基础练习题
2、题目：若一个三角形的内心到这个三角形的三个顶点的距离相等，则 这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.任意三角形
基础练习题
01
02
03
3、题目：若一个三角形 的内心到这个三角形的 三个边的距离相等，则
这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三 角形
提高练习题
01
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5
02
3、题目：若一个三角形的内心到这个三角形的三个边的距离之积等于这个三角 形的一边的长的平方，则这个三角形的面积是 ( )
03
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5
综合练习题
1、题目
已知△ABC的内切圆半径为 r，三角形的周长为 p，则三角形的面积 S=()
在求解三角形面积中的应用
01
利用三角形的内切圆半径与三角 形面积的关系，求解三角形的面 积。例如，利用内切圆半径的公 式计算三角形的面积。
02
利用内切圆的性质，通过将三角 形分成几个小三角形，然后求和 得到三角形的面积。这种方法称 为分割法。
在解决实际问题中的应用
在几何图形中，经常需要用到三角形 的内切圆来求解实际问题。例如，在 平面几何中，可以利用内切圆来计算 多边形的面积和周长。

点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等
F
的线段？理由是什么？
E O
B
C
D
3、 直角三角形的两直角边分 别是5cm，12cm .则其内切 圆的半径为___2___.
变式：已知：如图，在Rt△ABC中， A ∠C=90°，边BC、AC、AB的长分别为a、
⊙I就是所求的圆. 注：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
▪ 三角形的内切圆的概念
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心是 三角形三个内角的角平分线的交点
A
1、如图1，△ABC是⊙O的
三角形。
⊙ O是△ABC的
三角形的三条 角平分线的 交点
内切圆
的圆心
B
A
1.到三边的距离
相等；
O
2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数.
（2）试探索： ∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系？请说明理由. B
回顾 & 思考☞
确定圆的条件是什么? 角平分线的定义、性质都是什么？ 左图中，△ABC与⊙0有什么关系？
A
O
B
C
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
猜想：要使圆的面积最大， 这个圆应与三角形的三边都 相切！