三角形的内切圆知识点总结

圆形里三角形的知识点总结在数学中，我们经常会遇到关于圆形和三角形的问题。

圆形和三角形是基础的几何图形，它们有许多有趣的性质和重要的知识点。

在本文中，我们将总结一些关于圆形里三角形的知识点，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1.圆的定义和性质圆是由平面上距离一个给定点（圆心）固定距离的所有点组成的集合。

圆心到圆上任意一点的距离称为半径。

圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。

2.圆的周长和面积圆的周长是圆周上一圈的长度，它等于圆的直径乘以π（pi），即周长= 2πr。

圆的面积是圆内部的空间大小，它等于π乘以半径的平方，即面积= πr^2。

3.三角形的定义和性质三角形是由三条线段组成的图形，每个线段都是另外两个线段的端点。

三角形的三个内角的和总是180度。

根据三角形的边长和角度的关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形等不同类型。

4.圆内切三角形的性质当一个三角形的三个顶点都在圆上，并且三角形的一个边与圆相切时，我们称这个三角形为圆内切三角形。

圆内切三角形有一些重要的性质：三角形内接于同一个圆的三条角的外接圆半径相等；三角形的内心（内切圆的圆心）与三个顶点的连线相交于一个点，这个点称为三角形的内心。

5.圆外接三角形的性质当一个三角形的三个顶点都在圆上，并且这个圆的直径与三角形的一条边重合时，我们称这个三角形为圆外接三角形。

圆外接三角形也有一些重要的性质：三角形的外接圆半径等于三角形的三条边的中线的乘积除以4；三角形的外心（外接圆的圆心）与三个顶点的连线相交于一个点，这个点称为三角形的外心。

总结起来，圆形里的三角形涉及了圆的定义和性质以及三角形的定义和性质。

圆内切三角形和圆外接三角形是圆形里的两种特殊情况，它们有着特定的性质和关系，对于解决几何问题和推导定理都有着重要的意义。

对于理解和应用这些知识点，我们需要熟悉圆和三角形的基本概念，并能够运用几何推导的方法进行分析和证明。

三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

它在三角形中起到了重要的几何作用，不仅在数学中有重要的应用，也在实际生活中有许多实际意义。

本文将从三角形的内切圆的定义、性质、构造方法、应用等方面进行探讨。

一、内切圆的定义三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

换句话说，内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上。

内切圆的半径被称为三角形的内切圆半径，通常用r表示。

二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上，这条直线被称为内切圆的欧拉线。

2. 内切圆的半径与三角形的三边的长度有一定的关系。

根据欧拉定理，内切圆的半径r等于三角形的周长p与面积S的比值的一半，即r = S/p。

3. 内切圆的半径r与三角形的三个内角的正弦值的倒数之和有关，即1/r = (sinA + sinB + sinC)/p，其中A、B、C分别为三角形的三个内角。

4. 内切圆的圆心与三角形的三个内角的平分线相交。

三、内切圆的构造方法1. 根据内切圆的定义，可以通过直接计算三角形的内切圆半径和圆心的坐标来构造内切圆。

2. 另一种构造内切圆的方法是利用三角形的角平分线和垂直平分线的性质。

首先，通过角平分线找到三个内角的平分线交点，然后通过垂直平分线找到三个内边的中点，最后通过这些点来确定内切圆的圆心和半径。

四、内切圆的应用1. 在数学中，内切圆广泛应用于三角形的面积、周长、角度、长度等问题的计算中。

通过内切圆的性质，可以简化计算过程，提高计算的准确性。

2. 在几何建模中，内切圆可以用来确定三角形的外接圆和外接圆的圆心。

通过内切圆和外接圆的关系，可以更好地理解和描述三角形的形状和结构。

3. 在工程和建筑中，内切圆的应用十分广泛。

例如，在建筑物的设计和施工中，内切圆可以用来确定柱子和墙壁的形状和位置，从而提高建筑物的稳定性和美观性。

三角形的内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，具有一系列重要的性质和应用。

内切圆公式大全全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：内切圆是指一个圆完全嵌入在一个多边形内部，并且切正多边形的每一边。

内切圆在几何问题和工程设计中有着广泛的应用，因此了解内切圆的相关知识和公式是非常重要的。

在本文中，我们将分享一些关于内切圆的公式大全，希望能够帮助大家更好地理解和应用。

一、内切圆的半径计算公式1. 内切圆的半径公式：对于一个正五边形，其内切圆的半径r可以通过下面的公式来计算：r = a * sqrt(10 + 2 * sqrt(5))/10a代表正五边形的边长。

二、内切圆和外接圆的关系公式1. 内切圆和外接圆的半径关系：对于任意多边形，其内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：R = 2r三、内切圆和多边形边长的关系2. 内切圆和多边形内角的关系：对于一个正n边形，其内切圆和内角之间存在以下关系：角A = 180 - (n-2)*180/nA表示正n边形的内角。

四、常见多边形的内切圆公式总结第二篇示例：内切圆，俗称内切圆，是指一个圆与一个给定的多边形（三角形、四边形、正多边形）相切。

内切圆在数学中有着重要的应用，特别是在几何学和工程学中。

在实际生活和工程中，我们常常需要计算内切圆的半径、圆心和切点等信息。

内切圆的相关公式是很有必要了解和掌握的。

在几何中，内切圆与多边形的关系是一个经典问题，经常出现在数学竞赛和学习中。

内切圆的半径、圆心和切点等可以通过一些简单的公式来求解，下面我们就来介绍一下关于内切圆的一些常用公式。

我们来看一下内切圆的半径计算公式。

对于一个三角形ABC，假设其三边分别为a、b、c，内切圆的半径r可以用以下公式来表示：\[r = \frac{2S}{a+b+c}\]其中S表示三角形ABC的面积，可以通过海伦公式来计算。

海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其表达式如下：\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]其中p是三角形ABC的半周长，即\(p = \frac{a+b+c}{2}\)。

基础知识点（一）知识点一：切线长定理1.切线长的概念： 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2. 切线和切线长是两个不同的概念切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

3. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法4. 方法总结解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点5. 切线，常有六性质1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6.示例讲解例1如图，四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD DA 和圆O O 分别相切于点 L 、M 、N 、P ,求证： AD+BC=AB+CD 例2如图，卩是00外一点t PA.PB 分别和00切于点=4 c 叫是箱上任意•点，过点作O"的切线分 别交PA.PB 于点D&求；（I ） A PDE 的周长；例3（2014，云歯曲靖中考・23题* 10分）如图是GO 的切线胡/为切点是OO 的直径,GPR 的延长线相 交丁点“<1）若Z.1-20%求LAPB 的度数.（2）当"为多少度时请说明理由.（二）知识点二：三角形的内切圆1.问题：怎样做三角形内切圆2.方法：作角平分线1.作/ ABC 、 / ACB 的平分线 BM 和CN ，交点为I. ID 为半径作O I. O I 就是所求的圆.3. 定义和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。

解三角形知识点归纳总结归纳解三角形是解决三角形相关问题的一门重要数学知识。

在解三角形的过程中，需要了解和运用各种三角形的性质、定理和公式。

下面将对解三角形中常用的知识点进行归纳总结。

一、三角形的基本概念和性质1.三角形的定义：三条线段能够组成一个封闭图形且不共线，则称其为三角形。

2.三角形的角度和角平分线：三角形的三个内角和等于180°，三角形的角平分线相交于内心。

3.三角形的边：三角形的三边是指连接三个顶点所得的线段。

4.三角形的高：从一个顶点向所对的边引垂线，垂足到另一边的距离称为三角形的高。

5.三角形的中线：连接一个顶点和所对边中点的线段称为三角形的中线。

6.三角形的中位线：连接两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线。

7.三角形的外角和外接圆：三角形的外角等于不相邻内角之和，外接圆是能够完全包围三角形的圆。

8.三角形的内切圆：能够与三角形的三条边相切于一点的圆称为三角形的内切圆。

二、三角形的重要定理和公式1. 正弦定理：对于任意三角形ABC，有a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为三角形的内角。

2. 余弦定理：对于任意三角形ABC，有c² = a² + b² - 2abcosC，其中c为三角形的边长，A、B、C为三角形的内角。

3. 钝角余弦定理：当三角形ABC中的C为钝角时，有c² = a² + b² + 2abcosC，其中c为三角形的边长，A、B、C为三角形的内角。

4. 正切定理：对于任意三角形ABC，有tanA = (2S)/(b²-c²)，tanB = (2S)/(c²-a²)，tanC = (2S)/(a²-b²)，其中S为三角形的面积。

5.海伦公式：对于已知三角形的三边长a、b、c，其面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2为三角形的半周长。

等边三角形内切圆半径计算公式是一个重要的几何学知识点，它在数学和工程领域都有着重要的应用。

在本文中，我们将介绍等边三角形内切圆半径的计算公式，并探讨其推导过程和几何意义。

一、等边三角形内切圆的定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切。

等边三角形内切圆的半径记为r。

二、等边三角形内切圆半径计算公式等边三角形内切圆半径的计算公式是：r = a * √3 / 6其中，a为等边三角形的边长。

三、推导过程我们来看一下等边三角形内切圆半径计算公式的推导过程。

1. 我们知道等边三角形的高等于√3/2乘边长，而内切圆的半径正好是等边三角形的高。

2. 我们可以得出等边三角形内切圆半径r等于边长a乘以√3/6。

四、几何意义等边三角形内切圆半径的计算公式给出了等边三角形内切圆半径与边长之间的关系，这有助于我们在实际问题中快速计算内切圆的半径。

五、应用举例假设一个等边三角形的边长为6cm，根据等边三角形内切圆半径的计算公式，我们可以直接求得内切圆的半径：r = 6 * √3 / 6 = √3 ≈ 1.73cm六、结论等边三角形内切圆半径的计算公式为r = a * √3 / 6，其中a为等边三角形的边长。

这个公式的推导过程清晰简单，关系直观明了，有着重要的几何意义和实际应用价值。

等边三角形内切圆半径计算公式是一个重要的数学公式，它有着广泛的应用领域，对于提高数学和工程问题的解决效率有着重要的意义。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助。

等边三角形内切圆是一个非常有趣的几何形状，它具有许多有趣的性质和应用。

在本文的下半部分，我们将进一步探讨等边三角形内切圆的性质、相关定理以及一些实际应用。

七、等边三角形内切圆的性质1. 等边三角形内切圆的半径和等边三角形边的关系通过上文的讨论，我们已经知道等边三角形内切圆的半径r与等边三角形的边长a之间满足以下关系：r = a * √3 / 6这个关系式可以帮助我们在已知等边三角形边长的情况下快速计算出内切圆的半径，为诸如工程设计、数学建模等实际问题的解决提供了便利。

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。

2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

等于这条弧所对的圆周角。

即∠PCA=∠PBC 。

3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。

5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。