2018年秋人教B版数学选修1-1练习：3.1.1 函数的平均变化率含解析

3.1导数3.1.1函数的平均变化率课时过关·能力提升1.下列说法错误的是()A.函数的平均变化率可以大于零B.函数的平均变化率可以小于零C.函数的平均变化率可以等于零D.函数的平均变化率不能等于零答案:D2.在曲线y=x2+x上取点P(2,6)及邻近点Q(2+Δx,6+Δy),那A.2+ΔxB.2Δx+(Δx)2C.Δx+5D.5Δx+(Δx)2解析:因为Δy=(2+Δx)2+(2+Δx)- 6=(Δx)2+5Δx,所x+5,故选C.答案:C3.函数f(x)=2x在x=1附近(即从1到1+Δx之间)的平均变化率是()A.2+ΔxB.2-ΔxC.2D.(Δx)2+2答案:C4.一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为()A.3B.4C.4.1D.0.41解析:利用求平均变化率的方法和步骤来解决.因为Δs=(3+2.12)-(3+22)=0.41,Δt=2.1-2=0.1,所.1.答案:C5.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2答案:C6.已知曲线y Q是曲线上点P附近的一点,则点Q的坐标为.答案7.已知s t从3 s到3. 1 s的平均速度是m/s(g=10 m/s2).解析:因为Δs×3.1×32=3.05(m),Δt=3.1-3. 0=0.1(s),所.5(m/s).答案:30.58.已知函数y=x3,当x=1时.解析:因为Δy=(1+Δx)3-13=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,所Δx)2+3Δx+3.答案:(Δx)2+3Δx+39.求y=f(x x0到x0+Δx之间的平均变化率(x0≠0).分析:利用求平均变化率的方法和步骤直接计算即可.解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率★10.求函数y=f(x)=x3+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并计算当x0=1,Δx.分析:直接利用概念求平均变化率,先求出表达式,再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率.解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率x0Δx+(Δx)2.当x0=1,Δx,平均变化率的值为3×12+3×。

一、选择题1．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的平均变化率为( )A ．－2(Δx )2B ．－(Δx )2C ．2ΔxD ．－2Δx【解析】 Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )－f (0)＝－2(Δx )2＋1－1＝－2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－2(Δx )2Δx ＝－2Δx . 【答案】 D2．一物体的运动方程是s ＝5t 2，物体从1 s 到3 s 的平均速度是( )A ．30 m/sB ．20 m/sC ．40 m/sD ．45 m/s【解析】 由平均变化率的定义可知Δs ＝5×32－5×12＝5×8＝40(m)， ∴Δs Δt ＝403－1＝20(m/s)． 【答案】 B3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx ＝( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2【解析】 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)1＋Δx －1＝4＋2Δx . 【答案】 C4．若函数f (x )＝x 2－c 在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】(m2－c)－(12－c)m－1＝3，故m＝2(m＝1舍去)．【答案】 A5．函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则()A．k1<k2B．k1>k2C．k1＝k2D．不确定【解析】k1＝(x0＋Δx)2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝x20－(x0－Δx)2Δx＝2x0－Δx，∴k1－k2＝2Δx.∵Δx的正负不确定，∴k1与k2的大小关系不确定．【答案】 D二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从105.1 m上涨到107.5 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】水位涨幅的平均变化率为107.5－105.124＝0.1(m/h)．【答案】0.17．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝________.【解析】ΔyΔx＝(2＋Δx)3－2－(23－2)Δx＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12ΔxΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.【答案】(Δx)2＋6Δx＋128．某物体作自由落体运动，下落距离s (单位： m)与时间t (单位：s)满足s ＝12gt 2，则该物体在[4,5]内的平均速度为________ .【解析】 v ＝s (5)－s (4)5－4＝12×25g －12×16g ＝4.5g (m/s)．【答案】 4.5g m/s三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．【解】 (1)f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.(2)f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2，g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为－2.10．已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．【解】 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1) ＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝4Δt ＋(Δt )2Δt ＝4＋Δt .11．有一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥容器，若以n cm 3/s 的速率向容器里注水，求注水时前t s 内水面上升的平均速率．【解】 如图所示，设注水t s 时，水面高度为y cm ，此时水面半径为x cm ，则y h ＝x r ，x ＝r h y ，tn ＝π3x 2y ，∴tn ＝13π·(r h y )2·y＝π3·r 2h 2·y 3， ∴y ＝ 33tnh 2πr 2＝ 33nh 2πr 2·3t .∴在0 s 到t s 之间水面上升的平均速率为v ＝Δy Δt ＝33nh 2πr 2(3t －0)t －0＝ 33nh 2πr 23t 2 ＝ 33nh 2πr 2t 2(cm/s).。

3．1.1函数的平均变化率3．1.2瞬时速度与导数学习目标 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？梳理 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：____________的增量与____________的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的________．知识点二 瞬时变化率思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？梳理 (1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当________________时，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l ，则数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．知识点三 函数在某一点处的导数与导函数 思考 f ′(x 0)与f ′(x )表示的意义一样吗？梳理 (1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________，即f ′(x 0)＝________________. (2)导函数定义如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个________________，于是在区间(a ，b )内f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )(或y ′x 、y ′)．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.类型一 函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy ； ②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 引申探究1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数 例3 求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx. 跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关3．当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________． 4．函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数为________．5．已知函数f (x )＝ax在x ＝1处的导数为－2，则实数a 的值是________．利用导数定义求导数三步曲(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx. 简记为一差，二比，三极限．特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使当Δx →0时，分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关．答案精析问题导学 知识点一思考1 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 思考3 观察图象可看出，ΔyΔx表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率． 梳理 (2)函数值 自变量 (4)斜率 知识点二思考1 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2， v ＝ΔsΔt ＝10＋5Δt .思考2 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 梳理 (1)t 0到t 0＋Δt f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt (2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx知识点三思考 f ′(x 0)表示f (x )在x ＝x 0处的导数，是一个确定的值．f ′(x )是f (x )的导函数，它是一个函数．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值． 梳理 (1)瞬时变化率 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2)确定的导数f ′(x ) 题型探究例1 解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx＝2Δx ＋4x 1＋3.①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为 k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为 k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 跟踪训练1 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.例2 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ， ∴lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．解 ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ， ∴lim Δx →ΔsΔt ＝lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ， ∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝2t 0＋1＋Δt . ∴lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.跟踪训练2 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δx →ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 例3 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12.跟踪训练3 解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 3(x 0＋Δx )2－3x 20Δx＝lim Δx →(6x 0＋3Δx )＝6x 0， 又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1. 当堂训练1．B 2.B 3.28π34.165.2。

课时跟踪训练(十四) 函数的平均变化率1．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．若函数f (x )＝x 2－1，则当自变量x 由1变为1.1时函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．03．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定4．已知一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 到(3＋Δt )s 之间的平均速度是( )A ．5＋Δt (m /s)B ．5＋(Δt )2(m/s)C ．5(Δt )2＋Δt (m /s)D ．5(Δt )2(m/s)5．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝______________. 6．设自变量x 的增量为Δx ，则函数y ＝log 2x 的增量Δy 为________．7．在自行车比赛中，运动员的位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝20 s ，Δt ＝0.1 s 时的Δs 与Δs Δt.8．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．答 案1．D2．选A Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 3．选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ； k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . ∵Δx 可正也可负，∴k 1与k 2的大小关系不确定．4．选A 由定义有Δs Δt ＝(3＋Δt )2－(3＋Δt )＋1－32＋3－1Δt＝5＋Δt . 5．解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)＝(2＋Δx )2(2＋Δx )－8＝[4＋4·Δx ＋(Δx )2](2＋Δx )－8＝12·Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝12＋6·Δx ＋(Δx )2. 答案：(Δx )2＋6Δx ＋126．解析：Δy ＝log 2(x ＋Δx )－log 2x＝log 2x ＋Δx x＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋Δx x . 答案：log 2⎝⎛⎭⎫1＋Δx x 7．解：Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05.Δs Δt ＝21.050.1＝210.5. 8．解：自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12； 自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f (5)－f (3)5－3＝5＋15－(3＋13)2＝1415. 因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．。