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湖南师大附中2015届高三月考试卷(三)数学（理科）命题：湖南师大附中高三数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{|0}P y y =≥，且P Q Q =，则集合Q 可能是 （ ）A ．2{|1}y y x =+ B ．{|2}xy y = C ．{|1}y y gx = D ．∅【答案】C2.函数()412x xf x +=的图象 （ ）A.关于原点对称B.关于直线y=x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【答案】D3．下列结论中错误．．的是 ( ) A ．设命题p ：x R ∃∈，使220x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，都有220x x ++≥ B ．若,x y R ∈，则“x y =”是“2()2x y xy +≤取到等号”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∧q 为假命题，则命题p 与q 都为假命题 D ．命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为真命题 【答案】C4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为 （ ） A. 4 B. 16 C. 256 D. 3log 16 【答案】C5．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A7．已知a r 、b r 、c r 均为单位向量，且满足a r ·b r =0，则（a r +b r +c r ）·（a r +c r）的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B8．某市政府调查市民收入与旅游愿望时，采用独立检验法抽取3000人，计算发现K 2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信)A. 99.5% B ．97.5% C ．95% D ．90% 【答案】B9.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 （ ）A .()0,+∞B . ()(),03,-∞+∞C .()(),00,-∞+∞ D .()3,+∞【解析】构造函数()e ()e ,xxg x f x =⋅-'''()e ()e ()e e ()()10,x x x x g x f x f x f x f x ⎡⎤=⋅+⋅-=+->⎣⎦因为所以()e ()e xxg x f x =⋅-是R 上的增函数，又因为(0)3g =，所以原不等式转化为()(0)g x g >，解得0x >.故选A.10．若存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列,周期为T .已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,关于下列命题：①当34m =时，52a =；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③若34a =,则m 可以取3个不同的值；④m Q ∃∈且[]4,5m ∈,使得数列{}n a 的周期为6.其中真命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】对于①，当34m =时，易求得234541,,3,23a a a a ====，故①为真；对于②，当m =23411,1,a a a a ===，∴数列{}n a 是周期为3的数列，故②为真；对于③，由题意得22332201111a a a a a a <≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或，3214,54a a =∴=或， 又11221101111a a a a a a<≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或且1a m =，51645m ∴=或或，故③为真；对于④，当=45m 或时，显然数列{}n a 不是周期数列，当()4,5m ∈时,要使得数列{}n a 的周期为6，必有711,14a a m m =-=-即,此时m Q ∉,故④为假命题.应选C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =________. 【答案】2 12．已知二项式3(ax 展开式中各项的系数和为64，则a =_________. 【答案】313．在四棱锥P －ABCD中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为_________．14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为 ____________. 【答案】-2第13题PABCD15．已知()||xf x x e =⋅，方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为______________.【解析】()||x f x x e =⋅=(0)(0)xxxe x xe x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩，0x ≥当时，'()0x xf x e xe =+≥恒成立， ()f x ∴在(0,)+∞递增，0x <当时，'()(1),x f x e x =-+此时()f x 在(,1)-∞-上递增，在 (1,0)-上递减，所以()f x 在(,0)-∞上有一个最大值为1(1)f e -=，要使方程()2()()10f x t f x t R++=∈有四个实根，令()m f x =，则方程210m tm ++=应有两个不等实根，且一个根在1(0,)e内，另一个根在1(,)e +∞内，再令2()1g x m tm =++，(0)10g =>，则只需1()0g e<，解得21e t e +<-. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校高一、高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．(1)如果从所有的运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，则应抽取“合格”的人数是多少？(2)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员来自高一队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．解：(1)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是101303=，所以应抽取“合格”的人数为12×143=人． ……………4分 (2)依题意，X 的取值为0,1,2. 则 P (X ＝0)＝C 28C 212＝2866＝1433，P (X ＝1)＝C 14C 18C 212＝3266＝1633，高二高一P (X ＝2)＝C 24C 212＝666＝111.因此，X 的分布列如下：10分 ∴E (X )＝0×1433＋1×1633＋2×111＝2233＝23. ………………………………12分17.（本题满分12分）在ABC ∆中，三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,设函数()2cos 2f x x x =+， 且()22Af =．（1）若cos cos sin a B b A c C +=，求角B 的大小；（2）记()||g AB AC λλ=+，若||||3AB AC ==，试求()g λ的最小值．解：(1)由题设条件知f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由正弦定理，知 cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=故2sin()sin A B C +=, 即2sin sin C C =因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又因为0C π<<,所以2C π=, …………3分因为()22A f =，得3A π=, 所以()6B AC ππ=-+=. ………………………6分(2) 2222||()||2||||cos ||AB AC AB AC AB AB AC A AC λλλλ+=+=++又||||3AB AC ==，3A π=. ………………………………9分所以22||(1)||(1AB AC AB λλλ+=++==故12λ=-时，()||g AB AC λλ=+.………………………………12分另解：记AB AC AP λ+=,则P 是过B 与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，所以()g λ的最小值即点A 到直线l .18.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，对角线AC 与BD 交于点O ，3OA =，1OD =，CD =SO ⊥面.ABCD（1）求证：SA BD ⊥；（2）若四棱锥S ABCD -的体积8V =， 求二面角A SB C --的平面角的正弦值. 解：（1）因为1OD =，底面ABCD 为等腰梯形， 所以，1OC =，又CD =OC OD ⊥，即AC BD ⊥，又SO ⊥面ABCD ，则BD SO ⊥， 而SA SO A =，故BD ⊥面SOA ，故SA BD ⊥. ………………………5分 （2）因为底面ABCD 为等腰梯形，且AC BD ⊥，则面积182S AC BD =⋅=， 则四棱锥S ABCD -的体积18 3.3V S SO SO ==⋅⇒= …………………7分 法一（向量法）、建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)O ，(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(1,0,0)C -，(0,0,3)S ，于是(3,0,3),(0,3,3)SA SB =-=-，(1,0,3).SC =--令面SAB 的法向量1(,,1)n x y =，由1103303300n SA x y n SB ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，则1(1,1,1)n =再令面SBC 的法向量2(,,1)n x y =，由110330300n SB y x n SC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩，则2(3,1,1)n =-，设二面角A SB C --的平面角为θ，则121233cos n n nn θ⋅==⋅， 故sin 33θ=. ………………………………12分ABCDSOyABC DSOH法二（几何法）、作OH SB ⊥于点H ，连接AH 、CH由题设条件（或用三垂线定理）可证,AH SB CH SB ⊥⊥，则A H C ∠为二面角A SB C --的平面角。
湖南省长沙市师大附中2015届高三高考模拟试卷（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为 A ．iB ．－iC ．1D ．－1【知识点】复数运算 【答案解析】A()111111z i i z i z z i z i +-=⇒+=-⇒==-+故选A 【思路点拨】转化，分母实数化2．设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】正态分布 【答案解析】C 显然c=2 【思路点拨】正确理解图像 3．二项式6(x 的展开式中常数项为 A ．－15B ．15C ．－20D ．20【知识点】二项式定理 【答案解析】B()6336216631,3=022rr rr r r r T x xr r CC ---+⎛==--⇒= ⎝令故常数项为()622361=15T C -=-，选B【思路点拨】记住通项公式是关键4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q⌝是p ⌝的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件【知识点】并集，交集，补集，命题，充要条件【答案解析】B 显然:;:.p x AB q x A B p q ∈∈∴⇒则由逆否命题与原命题等价，所以q p ⌝⇒⌝故选B 充分非必要条件【思路点拨】逆否命题与原命题等价最好回答5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞ C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【知识点】椭圆，直线系，直线与椭圆关系 【答案解析】B显然(),0b 在椭圆外，即3b <-或3b >符合题意，故选B 【思路点拨】直线显然过点(),0b ，只有该点在椭圆外时才合题意6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ,B 是图象与x轴的交点，若cos APB ∠=ω的值为 A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【知识点】由图像得到解析式 【答案解析】CP PC x cos 2APB APB ⊥∠=∠=-过点作轴，则由tan ()3tan tan 44tan 2431tan tan 144T T APC CPB APB APC CPB T T TAPC CPB +∠+∠∠=∠+∠===-⇒=-∠∠-⨯tan 所以22T ππω== 故选C 【思路点拨】本题是个创新题，通过图像蕴含方程式，求出周期，再求ω的值7．设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为A ．4-B ．4C ．3D ．3-【知识点】线性规划 【答案解析】B画出可行域，针对目标函数，研究最大值，知道2,2x y =-=-时，有最大值。
湖南师大附中2012届高考模拟卷(三)数学(理科)命题：湖南师大附中高三数学备课组 (考试范围：高中理科数学全部内容)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i z -=1的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若集合}4,3{},,1{2==B m A ，则“2=m ”是“}4{=⋂B A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点),(y x N 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y x 确定的平面区域内，则),(y x N 所在平面区域的面积是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．84．运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是( ) A ．2)(x x f = B ．x x f 2cos )(= C ．x x f e )(= D ．x x f πsin )(=5．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( ) A ．2B ．2C ．3D ．56．有下列四个命题：①函数)6π2sin(2)(+=x x f 图象的一条对称轴是直线6π=x ； ②已知随机变量ξ服从正态分布;3.0)20(,2.0)4(),,2(2=≤≤=≥ξξσP P N 则 ③若命题:p “012,R 2>--∈∃x x x ”则命题¬:p “012,R 2<--∈∀x x x ”； ④),1()1,0(+∞⋃∈∀a ，函数1)(21+=-x a x f 都恒过定点)2,21(． 其中假命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．128．已知函数1)(2++=x ax x f ，若存在均属于]5,1[的,2,,≥-m n n m 且使得)()(n f m f =，则实数a 的取值范围是( ) A ．)101,21(--B ．]101,21[--C ．)81,41(--D ．]81,41[--选择题答题卡答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题：从下列三题中任意选做两题，若三题全做，则只按前两题记分． 9．若不等式a x x <++-|3||2|的解集为ф，则a 的取值范围为______________．10．极坐标系中，圆03cos 2:2=-+θρρM ，则圆心M 到直线07sin cos =-+θρθρ的距离是________． 11．如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C两点，1,3==PB PA ，则∠P AB ＝________________． (二)必做题(12～16题) 12．若nxx )1(-的展开式中的所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项是__________(用数字作答)．13．等差数列}{n a 中，8113=+a a ，数列}{n b 是等比数列，且22a b =，则86b b ⋅的值为____________________．14．△ABC 的外接圆的圆心为,7,3,2,===BC AC AB O 则⋅等于__________．15．在区间]1,1[-上任取两数s 和t ，则关于x 的方程022=++t sx x 的两根都是非负数的概率为________________．16．记数列n a a a ,,,21 为A ，其中.,,2,1),1,0(n i a i =∈定义变换f ，f 将A 中的1变为1，0；0变为0，1，设*11N ),(),(∈==+k A f A A f A k k ；例如：0,1,1,0:)(,1,0:1A f A A =则．(1)若n ＝3，则k A 中的项数为________________；(2)设A 为1，0，1．记k A 中相邻两项都是0的数对个数为k b 则k b 关于k 的表达式为________________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知22cos4sin 32)(2-+=xx x f ． (1)求)(x f 的最大值，及当)(x f 取最大值时x 的取值集合；(2)在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，对任意x ，恒有)()(A f x f ≤，若3=a ，求AC AB ⋅的最大值．18．(本题满分12分)在三独比赛中，甲校参加乐器比赛与舞蹈比赛的各为3人；乙校参加乐器比赛的为n 人，参加舞蹈比赛的为2人，现从甲乙两校各任选2人参加文娱晚会的表演，已知选出的4人均为参加舞蹈比赛的概率为.751 (1)求n 的值；(2)设ξ为选出的4人中参加舞蹈比赛与参加乐器比赛人数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC＝90°，.22,3=====BC AD PD PA CD 平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点． (1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)是否存在这样的点M ，使得二面角M －BQ －C 为60°，若存在，请求出DM 与平面BMQ 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．20．(本题满分13分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数)(x f 与时刻x (时)的关系为]24,0[,322|1|)(2∈++-+=x a a x x x f ，其中a 是与气象有关的参数，且]21,0[∈a ，若用每天)(x f 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作).(a M (1)令]24,0[,12∈+=x x xt ，求t 的取值范围； (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？21．(本题满分13分)已知椭圆P b a by a x C ),0(1:22221>>=+是1C 上任意一点，过P 作1:222=+y x C 的切线，设切点为||,PQ Q 的最大值和最小值分别为23、．(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点M 恰在圆2C 上，试探究是否存在直线l 使得以AB 为直径的圆恰过坐标原点O ，请说明理由．22．(本题满分13分)已知函数a x xax x f ,ln )(--=为实常数． (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)设e 22)(,0-≤>x f a 若，求a 的取值范围．湖南师大附中2012届高考模拟卷(三)数学(理科)答案命题：湖南师大附中高三数学备课组 (考试范围：高中理科数学全部内容)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【解析】i z +=1，故选A ．2．【解析】当2=m 时，}4,1{=A ，此时}4{=⋂B A ；反之，若}4{=⋂B A ，则2,42±==m m ，故选A ．3．【解析】易知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y x 确定的平面区域是一个等腰直角三角形，且直角边长为22，所以面积为4，故选C ．4．【解析】由)2()(+=x f x f 知周期为2，故选D ．5．【解析】设左焦点为'F ，则P F '∥OM ，且P F '＝2OM ＝2a ，所以PF F '∆为等腰直角三角形，所以222)(2)2()2(c a a =+，解得2=e ，故选B ．6．【解析】易知①②④都是真命题，③是假命题，故选B ． 7．【解析】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，梯形的上底、下底长分别为2、4，高为2，四棱锥的高为2，所以体积422)42(2131=⨯⨯+⨯=V ，故选A ． 8．【解析】若0≥a ，易知)(x f 在]5,1[上单调递增，不合题意，故,0<a 由)()(n f m f =知，)(x f 在],[n m 上的最小值为]5,1[,,2),(∈≥-n m m n m f 又，故.531≤≤≤≤n m 故⎩⎨⎧≥≥≥≥)5()()3()1()()3(f n f f f m f f ，解得]81,41[--∈a ，故选D ． 选择题答题卡二、填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题：从下列三题中任意选做两题，若三题全做，则只按前两题记分． 9．]5,(-∞．【解析】不等式a x x <++-|3||2|的解集为max |)3||2(|++-≤⇔x x a φ，所以5≤a ．10．24【解析】将圆及直线方程都化为普通方程，即为：⊙,4)1(:22=++y x M 直线：07=-+y x ，所以圆心M 到直线的距离.242|701|=-+-=d 11．30°【解析】由切割线定理知,2PC PB PA ⋅=所以2,3==BC PC ，连接OA ，在PAO ∆Rt 中求得∠POA ＝60°，所以∠P AB ＝∠PCA ＝21∠POA ＝30°． (二)必做题(12～16题) 12．15【解析】由所有二项式系数和为64得,6,642==n n所以从而展开式中的常数项为.15)1(4246=-xx C 13．16【解析】.16,42278611322==⋅=+==b b b a a a b 14．21-【解析】易知△ABC 是直角三角形，所以O 为斜边BC 的中点，所以),(21AB AC AO +=.21)(21)()(21,-=-=-⋅+=⋅-= 15．121【解析】关于x 的方程022=++t sx x 的两根都是非负数⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥-=+≥-=∆⇔0,0002044221212t s s t t x x s x x t s所以所求概率.12122d 012=⨯=⎰-ss P 16．(1)k23⨯(2)*1N ,2∈=-k b k k 【解析】(1)3=n ，即A 中有3个数，故1A 的项数为3×2，k A 中的项数为3×2k ； (2)1+k A 中“0，0”只能由k A 中相邻两项1，0产生；记k A 中数对1，0的个数为k c ，则k k c b =+1，而1+k A 中的数对1，0有两种来源，其一为k A 中1产生，其二为k A 中0，0产生，而k A 中1和0的个数相同，故k k k b c +⨯=-+1123，所以k k k k b c b +⨯==-++11223，即1223-+⨯=-k k k b b ，易知2,121==b b ，故当k 为奇数时，12-=k k b ，当k 为偶数时，12-=k k b ，故*1N ,2∈=-k b k k ．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)解：(1))6πsin(4cos 2sin 32)(+=+=x x x x f ……(2分) 由题意，当)Z (2ππ26π∈+=+k k x 时，)(x f 取得最大值4 )(x f ∴的最大值为4，x 的取值集合为}Z ,3ππ2|{∈+=k k x x ．……(4分)(2))(x f 对任意x 有),()(A f x f ≤A k k A ).Z (3ππ2∈+=∴为三角形内角，.3π=∴A ……(6分) 由.sin sin ,sin sin A C a c C c A a ==得同理可得ABa b sin sin = )3π2sin(sin 2cos sin sin sin cos 22B B A A C B a A cb AC AB -===⋅)6π2sin(21)2cos 1(212sin 23sin cos sin 32-+=-+=+=B B B B B B AC AB B ⋅=∴,3π时当取得最大值为23．……(12分)18．(本题满分12分)解：(1)选出的四人均为参加舞蹈比赛的概率;4,7,75122222422=-==⋅=+n n C C C C P n （舍）得……(5分)(2)ξ的可能取值为0，2，4;757)4(;7531)0(26252223242326251214131224232423=+===++==C C C C C C P C C C C C C C C C C P ξξ 7537)2(2625252414131423231213122423=+++==C C C C C C C C C C C C C C P ξ(或者)7537)4()0(1)2(==-=-==ξξξP P P 所以ξ的分布列为：所以，.2575275475310=⨯+⨯+⨯=ξE ……(12分) 19．(本题满分12分)解：(1)证明：∵AD ∥BC ，BC Q AD ,21=为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即OB ⊥AD ． 又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， 且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BQ ⊥平面P AD ， ∵BQ ⊂平面PQB .∴平面PQB ⊥平面P AD ． 另证：AD ∥BC ，BC ＝21AD ，Q 为AD 的中点 ∴BC ∥DQ 且BC ＝DQ ，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD . ∵P A ＝PD ，∴PQ ⊥AD . ∵PQ ∩BQ ＝Q ， ∴AD ⊥平面PBQ ，∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD ．……(6分)(2)∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为)0,0,1();1,0,0(-=D n ，).0,3,1(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q设),,(z y x M ， 则),,3,1(),3,,(z y x MC z y x PM ----=-= 设⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=>=)(3),3()1(),0(z t z y t y x t x t t 则 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+-=t z t t y t t x 13131 在平面MBQ 中，),13,13,1(),0,3,0(t t t t t QM QB +++-== ∴平面MBQ 的法向量为),0,3(t m =．∵二面角C BQ M --为60°，2103||||||60cos 2=++=⋅⋅=∴t t m n m n ． ).23,23,21(),1,0,3(,1===∴m t 设DM 与平面BMQ 所成的角为721||||sin ,=⋅=DM m θθ则．……(12分) (或者设),3,3,(λλλλ--==PC PM 则),33,3,(λλλ--=+=求得平面MBQ 的法向量为).,0,33(λλ-=m由二面角C BQ M --为60°，求得.21=λ) 20．(本题满分13分)解：(1)当x ＝0时，t ＝0； 当，时取等号当时)1(21,240=≥+≤<x xx x ],21,0(112∈+1=+=∴xx x x t 即t 的取值范围是]21,0[．……(5分) (2)当322||)(,]21,0[++-=∈a a t t g a 记时 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++≤≤++-=21,320,323)(t a a t a t a t t g 则],0[)(a t g 在上单调递减，在]21,(a 上单调递增， 且).41(2)21()0(,67)21(,323)0(-=-+=+=a g g a g a g 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=2141,323410,672141),0(410),21()(a a a a a g a g a M ∴当且仅当.2)(,94≤≤a M a 时 故当940≤≤a 时不超标，当2194≤<a 时超标．……(13分) 21．(本题满分13分)解：(1)因为-=，所以.2222⋅-+= 因为PQ 是圆2C 的切线， 所以cos ||||,1||OP OQ OP OQ OQ ⋅=⋅=∠1||2==OQ POQ 故,122-=OP PQ因为P 是椭圆1C 上的点，故a b ≤≤||， 所以||PQ 的最大值和最小值分别为1,122--b a ．……(2分) 故3,2==b a ．所以椭圆1C 的标准方程为：.13422=+y x ……(4分) (2)若直线l 垂直于x 轴，依题意直线l 的方程为11-==x x 或， 分别代入椭圆方程求得3=AB ，而此时1=OM ，故O 点在以AB 为直径的圆的内部，不合题意．……(5分) 所以可设直线l 方程为t kx y +=， 由,01248)34(:13422222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=t ktx x k y x t kx y 得 设),,(),,(2211y x B y x A 故34124,3482221221+-=+-=+k t x x k kt x x ,3462)(22121+=++=+k t t x x k y y ,34123)(22222121221+-=+++=k k t t x x kt x x k y y 故中点M 的坐标为)343,344(22++-k t k kt ．……(7分) 因为M 在圆2C 上， 所以1)343()344(222=+++k t k kt ， 化简得916)34(2222++=k k t ①……(9分) 若以AB 为直径的圆过O 点，则,0=⋅OB OA即,03412334124222222121=+-++-=+k k t k t y y x x 故),1(12722+=k t ……(11分) 与①式联立得：,916)34(7)1(122222++=+k k k 设,1,12≥=+s s k 则故,07281652=--⨯s s易知),1[7281652+∞--⨯在s s 上单调递增，而,0728165,12>--⨯=s s s 时故方程),1[07281652+∞=--⨯在s s 上无实数根．所以不存在直线l 使得以AB 为直径的圆恰过坐标原点O ．……(13分)22．(本题满分13分)解：(1)),0()('22>++-=x xa x x x f ……(1分) 设a a x x x g 41,)(2+=∆++-=判别式，……(2分) ①若,41,0时即-≤≤∆a ),0()(,0)(',0)(+∞≤≤在故x f x f x g 上单调递减；……(3分) ②若2121,0)(,0,041x x x x x g a <=>∆<<-且、的两根为设则 则有：⎩⎨⎧-==+a x x x x 21211，因为,10,021<<<<x x a 所以 故)(,0)(',0)(,),0(1x f x f x g x x <<∈时单调递减；)(,0)(',0)(,),(21x f x f x g x x x >>∈时单调递增；)(,0)(',0)(,),(2x f x f x g x x <<+∞∈时单调递减；……(5分) ③若4343,,0)(,0,0x x x x x g a <=>∆≥且的两根为设则 则有：所以因为,0,14321≥⎩⎨⎧-==+a a x x x x ,1,043≥≤x x 故)(,0)(',0)(,),0(4x f x f x g x x >>∈时单调递增； )(,0)(',0)(,),(4x f x f x g x x <<+∞∈时单调递减，……(7分)(2)由(1)知，),0()(,04x x f a 在时>上单调递增，在),(4+∞x 上单调递减， 故e 22)(e 22)(),()(44-≤-≤≤x f x f x f x f 只需所以．……(8分)因为,,0)(4244244x x a a x x x g -==++-=所以 故,12ln ln )(444444+-=--=x x x x a x x f ……(9分) 令21)(',12ln )(-=+-=x x x x x ϕϕ． 当)(,021)(',),1[x xx x ϕϕ<-=+∞∈时单调递减……(10分) 又)e ()(e 22)(,e 22)e (44ϕϕϕ≤-≤-=x x f 即故， 所以e 4≥x ．……(11分)易知，x x -2在),e [+∞上单调递增，……(12分) 故),e e [2+∞-∈a ……(13分)。
湖南省长沙市师大附中2015届高三高考模拟试卷（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为 A ．iB ．－iC ．1D ．－1【知识点】复数运算 【答案解析】A()111111z i i z i z z i z i +-=⇒+=-⇒==-+故选A 【思路点拨】转化，分母实数化2．设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】正态分布 【答案解析】C 显然c=2 【思路点拨】正确理解图像 3．二项式6(x 的展开式中常数项为 A ．－15B ．15C ．－20D ．20【知识点】二项式定理 【答案解析】B()6336216631,3=022rr rr r r r T x xr r CC ---+⎛==--⇒= ⎝令故常数项为()622361=15T C -=-，选B【思路点拨】记住通项公式是关键4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q⌝是p ⌝的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件【知识点】并集，交集，补集，命题，充要条件【答案解析】B 显然:;:.p x AB q x A B p q ∈∈∴⇒则由逆否命题与原命题等价，所以q p ⌝⇒⌝故选B 充分非必要条件【思路点拨】逆否命题与原命题等价最好回答5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞ C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【知识点】椭圆，直线系，直线与椭圆关系 【答案解析】B显然(),0b 在椭圆外，即3b <-或3b >符合题意，故选B 【思路点拨】直线显然过点(),0b ，只有该点在椭圆外时才合题意6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ,B 是图象与x轴的交点，若cos APB ∠=ω的值为 A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【知识点】由图像得到解析式 【答案解析】CP PC x cos 2APB APB ⊥∠=∠=-过点作轴，则由tan ()3tan tan 44tan 2431tan tan 144T T APC CPB APB APC CPB T T TAPC CPB +∠+∠∠=∠+∠===-⇒=-∠∠-⨯tan 所以22T ππω== 故选C 【思路点拨】本题是个创新题，通过图像蕴含方程式，求出周期，再求ω的值7．设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为A ．4-B ．4C ．3D ．3-【知识点】线性规划 【答案解析】B画出可行域，针对目标函数，研究最大值，知道2,2x y =-=-时，有最大值。
