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一、单选题二、多选题1. 已知数列满足：，，其中为的前项和．若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. 设函数f (x )＝则＝（ ）A ．－1B ．1C．－D．3. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的方式可供选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展程度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展）．A 市从当地小学生中随机抽取容量为100的样本，因近视佩戴眼镜的有24人，其中佩戴角膜塑形镜的有8人．若从样本中随机选取一名小学生，已知这名小学生佩戴眼镜，那么，他佩戴的是角膜塑形镜的概率是（ ）A．B．C．D．4.过点的直线经过圆的圆心，则直线的倾斜角大小为A ．150°B ．60°C ．30°D ．120°5. 已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数a =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-26. 某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量 的最小值为A ．6B ．12C ．18D ．247.已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设且，则（ ）A．B．C ．12D．9. 下列说法：①对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和；③已知随机变量，若，则的值为；④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．其中正确的选项是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④10. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在体积为的球上，动点在正方形内运动（包含边界），若直线与直线所成角的正弦值为，则（ ）A．B．点运动轨迹的长度为C．三棱锥体积的取值范围为吉林省长春市2024届高三质量监测（一）数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题D．线段长度的最小值为11. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O ，，其高为2，为圆O的内接三角形，且，P 为圆上的动点，则（ ）A ．若平面，则三棱锥外接球的表面积为B．若，则C．三棱锥体积的最大值为D ．点A 到平面距离的最大值为12.设函数________．13. 若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为__________．14. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为________.15. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则______；若的中点为，则______．16. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 化简或求值：（1）；（2）.19. 已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．八、解答题九、解答题十、解答题20. 如图，已知平面平面，平面平面，，，，.（1）求证：；（2）若是线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的取值范围.21.年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．(1)根据频率分布直方图，估计这人的第百分位数（中位数第百分位数）；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“党章党史”的宣传使者．①若有甲（年龄），乙（年龄）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的平均数和方差．22. 为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷共4页。
考试结束后。
将答题卡交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的娃名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出。
确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42≤∈=x Z x A ，{}24<<-=x x B ．则A∩B=A ．{}22<≤-=x xB B ．{}24≤<-=x x B C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}1,0,1,2--2．已知复数z 满足i z i -=+1)1(2，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足a =（2，1）．b =（1，y ）．且a ⊥b ．则|a +2b | = A ．5 B ．25 C ．5 D ．44．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计．如右图．甲乙两人的平均得分分别是乙甲、x x ．则下列说法正确的是A ．乙甲x x >，乙比甲稳定．应选乙参加校篮球队B ．乙甲x x >．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队C ．乙甲x x <．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队D ．乙甲x x <．乙比甲稳定，应选乙参加校篮球队5．等比数列{}n a 中．5a 与7a 是函数34)(2+-=x x x f 的两个零点．则93a a ⋅等于A ．3-B ．4-C ．3D ．46．大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”．某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道:（1）教语文的没有分配到一中，（2）教语文的不是小孟，（3）教英语的没有分配到三中，（4）小刘分配到一中．（5）小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁?分到哪所学校？A ．小刘三中B ．小李一中C ．小盂三中D ．小刘二中 7．设b a ,是两条直线βα，是两个平面．则b a ⊥的一个充分条件是A ．α⊥a ，β∥b ，βα⊥； C ．α⊥a ，β⊥b ，βα∥B ．α⊂a ，β⊥b ，βα∥ D ．α⊂a ，β∥b ，βα⊥8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数．在（0．+∞）上是增函数．且0)4(=-f ．则使得0)(>x xf 成立的x 的取值范围是A ．（4-，4）B ．（4-，0）Y （0，4）C ．（0，4）Y （4，∞+）D ．（∞-，4-）Y （4，∞+） 9．已知直线2-=y 与函数)3sin(2)(πω-=x x f ，（其中w>0）的相邻两交点间的距离为π．则函数)(x f 的单调递增区间为 A ．Z k k k ∈+-],65,6[ππππ B ．Z k k k ∈+-],65,12[ππππ C ．Z k k k ∈+-],611,65[ππππ D ．Z k k k ∈+-],1211,65[ππππ 10．若函数⎩⎨⎧≤-->=0,20,log )(2x a x x x f x有且只有一个零点．则a 的取值范围是A ．（∞-，1-）Y （0，∞+）B ．（∞-，1-）Y [0，∞+）C ．[1-，0）D ． [0，∞+）11．已知与椭圆121822=+y x 焦点相同的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，．离心率为34=e ．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点2F 的距离为12．N 为2MF 的中点，O 为坐标原点．则|NO|等于A ．4B ． 3C ．2D ．32 12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是21②当23-=a 时，直线a ax y 2+=与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x ，y ）．则x+y 的最大值为2； ④设点P （b ,2-），点Q 在此太极图上，使得∠OPQ=45°．b 的范围是[-2．2]．其中所有正确结论的序号是A ．①①B ．①③C ．②④D ．①②第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题考生根据要求作答。
长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. C4. C5. D6. A7. D8. A9. C 10. B 11. C 12. C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 112 14. 215. 20π16.221n n +，1(1)(1)nn n -++三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<sin()14A π<+<，即2010S <<+（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =； 平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；因此1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅ 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得 22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u =3t =±因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2. （10分）。
吉林省普通高中友好学校联合体2025届高三一诊考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．602．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤4．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．55．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2B ．3C ．4D ．57．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5C D8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <9．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．71710．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=< D ．{|12}AB x x =-<<11．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长春市普通高中届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．. 设为虚数单位，则（）. . . .【答案】【解析】由题意可得：.本题选择选项.. 集合的子集的个数为（）. . 7 . .【答案】【解析】集合含有个元素，则其子集的个数为.本题选择选项.. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）. . . .【答案】【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选.. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）. . . .【答案】【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选....................... 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）. ， . ，86 . ， . ，【答案】【解析】由茎叶图可知，中位数为，众数为. 故选.. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）. .. .【答案】【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选.. 已知，且，则的最小值为（）. . 9 . .【答案】【解析】由题意可得：，则：，当且仅当时等号成立，综上可得：则的最小值为.本题选择选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（）. 立方丈 . 立方丈 . 立方丈 . 立方丈【答案】【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则刍甍的体积为.故选.. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）. . . .【答案】【解析】由题意可知球心到平面的距离，矩形所在圆的半径为，从而球的半径 .故选.. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和【答案】【解析】由题意可知，为求首项为，公差为的等差数列的前项和.故选.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）. . . .【答案】【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选. 点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化. . 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）. . . .【答案】【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）. 已知角满足，，则的取值范围是．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则．【答案】【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为．【答案】【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的扇形，则圆锥体积的最大值为．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，由题意可得其体积为：当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为.三、解答题:共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第～题为必考题，每个试题考生都必须作答．第、题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共分．. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，，综上.（Ⅱ）由.. 得证.. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从节云课中采用分层抽样的方式选出节，求选出的点击量超过的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费分钟进行剪辑，点击量超过，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的节课中随机取出节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为节云课中采用分层抽样的方式选出节，所以节应选出节；（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的节课中有节点击量超过.（Ⅱ）的可能取值为，，，则的分布列为即 .. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，（Ⅱ），设菱形的边长为，则.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（）将空间位置关系转化为向量关系；（）根据定理结论求出相应的角和距离.. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：()由题意可得，，，则椭圆方程为.()联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是.试题解析：()由椭圆定义，有，，，从而.()设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由已知.. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得结果. 试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得.（Ⅱ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即不恒成立.因此整数的最大值为.（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，当时，，当时，，当时，，……当时，.综上：.即.（二）选考题：请考生在、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．. 选修：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为 .（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,. 选修：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明试题解析：（）由已知，令由得.（）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：()分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.()利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
课时规范练 A 组 基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是非奇非偶函数，B不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C3．(2019·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确； 对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C4．(2019·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x ＜0a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜13a ≥1，∴13≤a ＜1.答案：B5．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A6．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)B ．f (log 25)＜f (20.3)＜f (0.32)C ．f (log 25)＜f (0.32)＜f (20.3)D ．f (0.32)＜f (log 25)＜f (20.3)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数． 又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∵0＜0.32＜20.3＜log 25，∴f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)．故选A. 答案：AB 组 能力提升练7．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，2) B ．[0，2) C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2，2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C. 答案：C8．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，1]B ．[－4，2]C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析：因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，所以根据题意得|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选A. 答案：A9．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B10．(2018·西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1，2)D ．(－2，1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D.答案：D11．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，故3＝－a 2，解得a ＝－6.答案：－612．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R )，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－a ）x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝（x 1－x 2）（x 1x 2－a ）x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]。
长春市 2020 届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. B2. C3. C4. C5. D6. A7. D8. A9. C10. B 11. C 12. C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分， 16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分）13. 11214. 215. 20 16. 2 n ，( 1) n 1 2n n n1)1 ( 三、解答题17. (本小题满分 12 分 )【命题意图】 本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题.【试题解析】 解：（Ⅰ）由题可知 sin A sin Bsin A，即 sin Bcos A ，cos A由 ab ，可得 A B，即 △ ABC 是直角三角形 . （6 分）2（Ⅱ）ABC 的周长 L10 10sin A 10cos A ， L10 10 2 sin( A) ，4由 ab 可知，A，因此2 sin( A ) 1，即 20 S 1010 2 .2424（12 分）18. (本小题满分 12 分 )【命题意图】 本题考查立体几何相关知识 .【试题解析】 解：（Ⅰ）取 PA 中点 M ，连结 EM 、 DM ，EM // CD CE // DMEM CD（6 分）CE //平面PAD .DM 平面PAD（Ⅱ）以 A 为原点，以 AD 方面为 x 轴，以 AB 方向为 y 轴，以 AP 方向为 z 轴，建立坐标系 .可得 D (2,0,0) ， C (2,1,0) ， P(0,0,4) ， B(0,2,0)， E(0,1,2) ，CD (0, 1,0) ， CE( 2,0,2) ，平面 CDE 的法向量为 n 1 (1,0,1) ；平面 ABCD 的法向量为 n 2 (0,0,1) ；| n 1 n 2 |2因此cos.| n 1 | | n 2 |2即平面 CDE 与平面 ABCD 所成的锐二面角为.（12 分）4数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1页（共 4页）19.( 本小题满分 12 分) 【命题意图】 本题考查概率的相关知识 .【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50 分即为将其余 4 道题无法确定正确选项的题目全部答对，其概率为P( X50) 1 1 1 1 1 . （4 分）X ，2 23 336（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为则 X 的可能取值为30， 35， 40， 45， 50.P( X30) 1 1 2 242 23 336P( X35)1 12 2 1 1 2 21 1 12 1 1 2 1 122 23 32 23 32 23 32 23 3 36P(X40) 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 132 23 3 2 2 3 32 23 32 23 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P(X45)1 1 1 11 1 1 1 1 12 1 1 1 1 2 62 23 32 23 32 23 32 23 336P(X50)1 1 1 1 12 23 336X 的分布列为该考生本次测验选择题所得分数为X 30 35 4045 50P412 13613636363636选择题所得分数为X 的数学期望为 EX115. （ 12 分）320. (本小题满分 12 分 )【命题意图】 本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.【试题解析】 解：（ Ⅰ）由定义法可得， P 点的轨迹为椭圆且 2a 4 ， c 1 .因此椭圆的方程为x 2y 2（4 分）41 .322（ Ⅱ）设直线 l 的方程为 xty3 与椭圆xy1交于点 A( x 1, y 1) ，4 3B(x 2 , y 2 ) ，联立直线与椭圆的方程消去 x 可得226 3ty 3 0 ，即 y 1y 26 3t ，y 1y 2 3.(3t4) yt 2t 243 43AOB 面积可表示为 S △ AOB1| OQ | | y 1y 2 | 1 3 ( y 1 y 2 )24 y 1 y 22213 ( 6 3 24 33 2 39t 23t26 2122 t ) 2224 4 23t3t 4 3t 4 3t3t4令3t 2u ，则 u ≥ 1 ，上式可化为6u6≤，12 333u uu数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2页（共 4页）当且仅当 u3 ，即 t6时等号成立，3因此 AOB 面积的最大值为3 ，此时直线 l 的方程为 x6y3 . （ 12 分）321. (本小题满分 12 分 )【命题意图】 本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】 解：（Ⅰ）由题可知 f ( x)ln x1 1 ，f ( x) 单调递增，且f (1) 0 ，x当 0 x 1 时， f (x) 0 ，当 x ≥ 1时， f ( x) ≥ 0 ；因此 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减，在 [1, ) 上单调递增 .（4 分）（Ⅱ）由 h( x) m(x 1)ln xx ln x3有两个零点可知1) 11e由 h ( x) m(1 ln x且 m 0 可知，x x当 0 x 1 时， h ( x) 0 ，当 x ≥ 1时， h (x) ≥ 0 ；即 h( x) 的最小值为 h(1) 1 30 ，em ee因此当 x1时， h(1) m(11)( 1) 1( 1) 1)2 0 ，3(e eeee e可知 h( x) 在 ( 1,1) 上存在一个零点；e当 x e 时， h(e) m(e 1) e 13 0 ，e可知 h( x) 在 (1,e) 上也存在一个零点；因此 x 2 x 1 e1，即 x 1 e x 2 1 . （12 分）ee22.(本小题满分 10 分 )【命题意图】 本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 解：（Ⅰ）直线 l 的普通方程为 x y 3 0 ，圆 C 的直角坐标方程为 x 2y 2 4x 3 0 .（5 分）（Ⅱ）联立直线 l 的参数方程与圆 C 的直角坐标方程可得(12t)2(22t)24(12t ) 30 ，化简可得 t 2 3 2t 2 0 .22 2则| PA | | PB | |t 1t 2 | 2 .（10 分）数学（理科）试题参考答案及评分标准第 3页（共 4页）23. (本小题满分 10 分 )【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识 . 【试题解析】（ Ⅰ）由题意( x 3) (1 x),x 34, x 3 f (x)( x 3) (1 x),3 ≤ x ≤12x2,3 ≤ x ≤1(x 3) (x 1), x 14, x 1 当 x 3 时， 4 ≥ x 1，可得 x ≤ 5 ，即 x ≤ 5 . 当 3 ≤ x ≤ 1时， 2x 2 ≥ x 1，可得 x ≥ 1，即 1 ≤ x ≤ 1 . 当 x 1 时， 4 ≥ x 1 ，可得 x ≤ 3 ，即 1 x ≤ 3 . 综上，不等式 f (x) ≥ x 1的解集为 ( , 5] [ 1,3] .（5 分）（ Ⅱ）由（ Ⅰ）可得函数 f ( x) 的最大值 M 4 ，且 ab a b 1 4 ，即 3 (ab)ab ≤ (ab ) 2 ，当且仅当 a b 时“ =”成立，2) 22可得 ( a b ≥ 16 ，即 ab ≥ 2 ，因此 a b 的最小值为2. （10 分）数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 4页（共 4页）。
九师联盟高三10月质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合3210{}A ＝，，，，01{}1B ＝－，，，则A B ⋂＝（ ） A ．{1}0， B ．{210}，， C ．{321}，， D ．{2}1，【答案】A【解析】根据交集的定义直接运算可得答案. 【详解】因为3210{}A ＝，，，，01{}1B ＝－，，， 所以A B ⋂＝{0,1}. 故选：A 【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2．命题“x ∀∈R ，3220x x －＞”的否定是（ ） A ．0x ∃∈R ，32002<0x x － B ．0x ∃∈R ，320020x x ≤－C ．x ∀∈R ，322<0x x －D ．x ∀∈R ，3220x x ≤－【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，否定方法是先改变量词，然后否定结论，可得结论. 【详解】命题“x ∀∈R ，3220x x －＞”的否定是“0x ∃∈R ，320020x x ≤－”．故选：B ． 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3．已知函数()f x 是偶函数，且当0x ＜时，()243f x x x ＝－，则()1f ＝（ ）A ．7B ．-7C ．1D ．-1【答案】B【详解】()()()()21141317f f =-=⨯--⨯-=-．故选：B ． 【点睛】本题考查了利用偶函数的性质求函数值，属于基础题.4．曲线()2xf x e x x -+＝在点()()00f ，处的切线方程是（ ）A ．210x y ++＝B ．210x y +-＝ C ．210x y -+＝ D ．210x y --＝ 【答案】C【解析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式可求得切线方程. 【详解】因为()21xf x e x '=-+，所以切线的斜率是()02f '=．又()01f =，所以()120y x -=-，即210x y -+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.5．已知1sin 33a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 23a π⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3±C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用三角函数诱导公式和二倍角的余弦公式逐步化简求值得解. 【详解】 因为2522cos 2cos 2cos 22sin 13333ππππααπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21213⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭79=-.故选C. 【点睛】解掌握水平和计算能力.6．已知在等差数列{}n a 中，5=5a ，3=3a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2019项和是（ ）A ．20202019B ．20192020C ．20182019 D ．20192018【答案】B【解析】设出公差，利用等差数列的通项公式列方程组解出1a 和d ，可得通项公式n a ，再利用裂项求和可得结果. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由5353a a =⎧⎨=⎩得114523a d a d +=⎧⎨+=⎩解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =．则()1111n n a a n n +==+111n n -+． 故前2019项和2019111111112232018201920192020S =-+-++-+-L 12019120202020=-=故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，考查了裂项求和，属于基础题.7．已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v的关系是（ ）A ．2AD AE =u u u v u u u vB ．12AD AE =u u u v u u u vC ．AD AE ⊥u u u v u u u vD ．AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角【答案】A【解析】先求出=6,8AD u u u r （），=3,4AE u u u r （），所以2AD AE =u u u r u u u r ，即得解.【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r (3,4)=，所以2AD AE =u u u r u u u r. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．函数sin sin 122xxy =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据偶函数的定义得函数为偶函数，其图像关于y 对称，由此排除A 选项，根据()2f π和(0)f 的值分别排除选项C 和B ，从而可得答案.【详解】 因为()()()1sin sin sin 1si ()n sin sin ()111222222x xx x xx f x -------=+=+=+()sin sin 122x xf x =+=，且函数sin sin 122x xy +=的定义域为R ，所以函数sin sin 122xxy +=是偶函数，排除A 选项；又sin 222f ππ⎛⎫+ ⎪=⎝⎭11sin 21152222π=+=，排除C 项． sin 00sin 011(0)2211222f =+=+=+=，排除B 项， 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性，考查了利用函数的性质判断函数的图像，属于基础题. 9．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量)cos (a B α=u r，，cos ()A b β-u r＝，，若αβ⊥u r u r ，则ABC V 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】根据向量垂直的坐标表示得cos cos b B a A =，再根据正弦定理边化角以及二倍角的正弦公式可得sin2sin2A B =，根据,A B 为三角形的内角可得22A B =，或22A B π+=，进一步可得答案.因αβ⊥u r u r，所以cos cos 0a A b B -=，所以cos cos b B a A =，由正弦定理可知sin cos sin cos B B A A =，所以sin2sin2A B =． 又(0)A B π∈，，，且()0A B π+∈，，所以22A B =，或22A B π+=， 所以A B =，或2A B π+=．则ABC V 是等腰三角形或直角三角形． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，属于基础题.10．已知奇函数()()()cos f x x x ωϕωϕ+-+(02πϕω<，＞)对任意x ∈R都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．12C D 【答案】C【解析】利用两角差的正弦公式的逆用公式可得()2sin()6f x x πωϕ=+-，根据奇函数的性质可得6π=ϕ，将()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭化为sin 2x ωπω⎛⎫⎪⎝⎭+=sin x ω-,可得42k ω=-(k ∈Z ),故ω的最小值为2，此时()2sin2f x x =，由此可得6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】因为()cos 2si (n ())()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，又()f x 为奇函数，所以()02sin 06f πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以6k πϕπ-=(k ∈Z )． 又2πϕ<，所以6π=ϕ．所以()2sin f x x ω=． 又因为对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ωπ⎫⎛ωπ⎛⎫所以()212k πωπ=-(k ∈Z )，所以42k ω=-(k ∈Z )．又0>ω，故ω的最小值为2，此时()2sin2f x x =，所以2sin 63f ππ=⎫ ⎪⎝⎭=⎛ 故选：C ． 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，考查了奇函数的性质，考查了诱导公式的应用，属于中档题.11．设函数()326f x x x a -+＝，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(1)-∞-，上单调递增 B ．函数()f x 在区间(11)-，上单调递减 C ．函数()f x 的极大值是()1f -，极小值是()1f D ．存在某一个实数a 的值，使得函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】利用导数可得函数的单调性和极值，可知A ，B ，C 项都是正确的，可以排除A ，B ，C 项，假设存在实数a 的值，使得数()f x 是偶函数，推出矛盾，故D 项错误. 【详解】因为()326f x x x a =-+，所以()266f x x '=-．令()0f x '=，得1x =-或1x =；令()0f x <′，得11x -<<；令()0f x >′，得1x <-或1x >，所以函数()f x 在区间(1)-∞-，和(1)+∞，上单调递增，在区间(11)-，上单调递减．故A ，B 项都是正确的，排除A 、B 项；根据单调性易知，函数()f x 在1x =-处取得极大值，在1x =处取得极小值，所以函数()f x 的极大值是()1f -，极小值是()1f ，故C 项都是正确的，排除C 项； 假设存在实数a 的值，使得数()f x 是偶函数，则由()()f x f x -=对任意x ∈R 恒成立，得()()332626x x a x x a ---+=-+对任意x ∈R 恒成立，这显然不可能，所以不存在实数a 的值，使得数()f x 是偶函数．故D 项错误．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于基础题.12．如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼（The London Eye ）是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮，已知其旋转半径60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）A ．95米B ．100米C ．105米D ．110米【答案】C【解析】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，根据已知条件求出()f t =60cos7515t π-+，再求(10)f 得解.【详解】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，由题意可知60A =，1356075B =-=，230T πω==，所以15πω=，即()60sin 7515f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 又因为(0)13512015f =-=， 解得sin 1ϕ=-，故32πϕ=， 所以()f t =360sin 7560cos 7515215t t πππ⎛⎫++=-+⎪⎝⎭， 所以2(10)60cos 751053f π=-⨯+=. 故选C.本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．已知向量a (2,1)k =v ，b (1,3)k =+-v ，若a b v P v，则实数k 的值为________.【答案】17-【解析】由题得2(3)(1)10k k ⨯--+⨯=，解方程即得解. 【详解】由题意，2(3)(1)10k k ⨯--+⨯=，解得17k =-. 故答案为：17- 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14．已知函数()()2213f x x f x =+'-，则()2f '=__________．【答案】0【解析】求导后代入1x =，解得()12f '=-，再代入2x =即可得到答案. 【详解】对()2213f x x f x =+'-（），求导得()()221f x x f '=+'， 令1x =，得()()12121f f '=⨯+'，解得()12f '=-． 所以()24f x x '=-．再代入2x =，即可求得()20f '=． 故答案为：0 【点睛】本题考查了求导公式，考查了求导函数值，属于基础题.15．已知函数()2log 1f x x m ++＝(m 为实数)是偶函数，记201612a f -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，()20172b f ＝，()1c f m +＝，则a b c ，，的大小关系为__________．(用“＜”连接)【答案】c a b <<()2log 1f x x =+，然后求出,,a b c 的值即可得到答案.【详解】因为函数()2log 1f x x m =++为偶函数，且由0x m +>，得x m ≠-，故函数()2log 1f x x m =++的定义域是()()m m -∞-⋃-+∞，，． 而偶函数的定义域需关于坐标原点对称，所以0m -=，解得0m =． 即()2log 1f x x =+．所以20162016211log 122a f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭=+=20162log 212017+=，()2017201722log 212018b f ==+=， ()()211log 11c f m f =+==+=011+=．所以c a b <<． 故答案为：c a b << 【点睛】本题考查了偶函数的定义域特征，考查了对数的运算性质，属于基础题. 16．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[3,1]3=，[2,9]3-=-，若函数2()[][]()f x x x x =-∈R ，则方程2()()2f x f x -=的解集是________.【答案】[1,0)[2,3)-U【解析】由2()()2f x f x -=，得()2f x =或()1f x =-.当()2f x =时，求出方程2()()2f x f x -=的解集，当()1f x =-时，无解.即得方程2()()2f x f x -=的解集.【详解】由2()()2f x f x -=，得[()2][()1]0f x f x -+=， 解得()2f x =或()1f x =-.当()2f x =时，2[][]2x x -=，解得[]2x =或[]1x =-， 当[]2x =时，解得[2,3)x ∈；当()1f x =-时，2[][]1x x -=-，无解.综上，方程2()()2f x f x -=的解集是[1,0)[2,3)-U .故答案为：[1,0)[2,3)-U【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知函数2()4cos sin cos ()f x x m x x m =+∈R ，且满足44f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求m 的值及()f x 的最小正周期；（2）若30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调区间. 【答案】（1）4m =.最小正周期T π=.（2）单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据44f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出m 的值，再利用三角恒等变换求出()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭即得()f x 的最小正周期；（2）利用复合函数的单调性原理求出()f x 的单调区间.【详解】（1）由44f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得244m ⨯+=⎝⎭， 解得4m =. 2()4cos 4sin cos f x x x x =+1cos 242sin 22x x +=⨯+ 22cos22sin 2x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期T π=.（2）由222()242k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ， 得3()88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z . 又30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，所以0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，或53,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 即()f x 的单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由3222()242k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ， 得5()88k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，又30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的单调递减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的最小正周期的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积．【答案】（1）3C π=（2 【解析】试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得a =，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC V 的面积．试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221222a b ab ab ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=． （2）由()22sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-，得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=，得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，再由正弦定理得2224cos b c a ac A +-=，所以222cos 4b c a A ac +-=．① 又由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，② 由①②，得22222242b c a b c a bc bc+-+-=，得42ac bc =，得2a b =， 联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得3a =，3b =． 所以222b a c =+．所以2B π=． 所以ABC V的面积1122233S ac ==⨯=． 19．已知函数()321f x x ax bx +-+＝(a b ∈，R )在23x -＝和2x ＝处取得极值． （1）求a b ，的值．（2）求()17f x ≤的解集． 【答案】（1）24a b =-⎧⎨=⎩，．（2）(]4-∞， 【解析】（1）求导后，利用可导函数在极值点处的导数值为0可解得24a b =-⎧⎨=⎩，．，然后验证函数在23x -＝和2x ＝处取得极值即可； （2）因式分解即可求得高次不等式的解集.【详解】解：（1）()232f x x ax b '=+-，由题意，得()20320f f⎧⎛⎫'-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪'=⎩，则22223203332220a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪⨯+⨯-=⎩，， 解得24a b =-⎧⎨=⎩，． 经检验，此时()32241f x x x x =--+满足在23x =-和2x =处取得极值，符合题意． （2）由（1）得()32241f x x x x =--+， 所以()17f x ≤可化为3224160x x x ---≤，可得2(4)(24)0x x x -++≤，因为2224(1)30x x x ++=++>，所以40x -≤，即4x ≤，所以()17f x ≤的解集是(]4-∞，． 【点睛】本题考查了由可导函数的极值点求参数，考查了利用因式分解法解高次不等式，属于基础题.20．如图，在ABC ∆中，,484C CA CB π=⋅=u u uv u u u v ，点D 在BC 边上，且352,cos 5AD ADB =∠=. （Ⅰ）求,AC CD 的长；（Ⅱ）求cos BAD ∠的值.【答案】(1) 8,2AC CD ==5cos BAD ∠=【解析】试题分析：（1）由34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∠=得，进而得2sin 10CAD ∠=，然后利用正弦定理求边长；（2）由48CA CB ⋅=u u u v u u u v ，得62CB =. 52BD =余弦定理得210AB =，从而5cos BAD ∠=试题解析：（Ⅰ）在ABD ∆中，∵34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∴∠=.∴()sin CAD sin ADB ACD ∠=∠-∠ sin cos cos sin 44ADB ADB ππ=∠-∠43525210=⨯-⨯=. 在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin sin AC CD AD ADC CAD ACD==∠∠∠，即45AC ==，解得8,AC CD ==（Ⅱ）∵48CA CB ⋅=u u u v u u u v ，∴848CB ⋅=，解得CB =∴BD CB CD =-=ABC ∆中，AB ==ABD ∆中，222cos BAD +-∠==.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.21．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和【答案】（1）1232;2,212n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{12n n b a +}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭． 所以数列{b n }的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122n n B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 【点睛】 这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.22．已知函数()()21f x x x a x=-+． （1）证明：对任意a ∈R ，函数()f x 的导函数()f x '是偶函数；（2）若0a ＜，()()11ln 9g x f x x x =--，讨论函数()g x 的零点个数 【答案】（1）见解析（2）零点个数为0．【解析】（1）求导后，利用偶函数的定义可证结论；（2）对()g x 求导，再通分并对分子构造函数求导，利用导数求得函数()g x 的单调性，利用单调性求得函数()g x 的最小值，根据最小值大于0可得函数的零点个数.【详解】（1）证明：函数()()21f x x x a x=-+的定义域是(0)(0)-∞+∞，，U ． 则()2213f x x a x'=--，函数()f x '的定义域是(0)(0)-∞+∞，，U ， 因为对任意a ∈R ，都有()()22221133x a x a x x ---=---， 即()()f x f x '-='． 因此，对任意a ∈R ，导函数()f x '是偶函数．（2）解：()()31ln 09g x x ax x x =-->，()3212791399x ax g x x a x x --'=--=， 令()()327910h x x ax x =--≥，则()2819h x x a '=-． 因为0a <，所以()0h x '>．所以()h x 在[0)+∞，上单调递增． 因为3111279130333h a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010h =-<， 所以一定存在0103x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()300027910h x x ax =--=． 所以在0(0)x ，上，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减；在0()x +∞ ，上，()0h x >，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以()()0min g x g x =． 又()300001ln 9g x x ax x =--中，300x >，00ax ->，01ln 09x ->， 所以()00g x >，即()0min g x >，所以函数()g x 的零点个数为0．【点睛】本题考查了利用导数公式求函数的导函数，考查了用定义证明函数为偶函数，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了求函数零点的个数，属于中档题.。
吉林省长春市名校调研系列卷（市命题）2024届中考三模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（）A．和B．谐C．凉D．山3．下列运算不正确的是A．B．C．D．4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，﹣2）C ．（2，5）D ．（﹣2，5）7．下列运算中，正确的是 （ ）A ．x 2+5x 2=6x 4B ．x 326·x x =C ．236()x x =D ．33()xy xy =8．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）A ．π或2πB ．2π或3π C ．3π或π D ．4π或3πA ．()2y x 12=-+B ．()2y x 12=++C ．2y x 1=+D ．2y x 3=+ 10．实数﹣5.22的绝对值是（ ）A ．5.22B ．﹣5.22C ．±5.22D ． 5.22 11．如下图所示，该几何体的俯视图是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．若一元二次方程x 2﹣2kx+k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或0二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，数轴上不同三点、、A B C 对应的数分别为a b c 、、，其中4, 3,||||a =AB =b =c -，则点C 表示的数是__________．14．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（12，﹣2）；⑤当x ＜12时，y 随x 的增大而减小；⑥a+b+c ＞0中，正确的有______．（只填序号）15．如图，平行线AB 、CD 被直线EF 所截，若∠2=130°，则∠1=_____．16．一组数：2，1，3，x ，7，y ，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a b -”，例如这组数中的第三个数“3”是由“221⨯-”得到的，那么这组数中y 表示的数为______.位，得到点A 2 ，则点A 2 的坐标是_________．18．如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，若∠A ＝30°，∠APD ＝70°，则∠B 等于_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图所示是一幢住房的主视图，已知：120BAC ∠=︒，房子前后坡度相等，4AB =米，6AC =米，设后房檐B 到地面的高度为a 米，前房檐C 到地面的高度b 米，求-a b 的值.20．（6分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=30︒，∠CBD=60︒．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：3 1.732 1.41≈≈，)；已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．21．（6分）如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．22．（8分）如图，在等腰直角△ABC 中，∠C 是直角，点A 在直线MN 上，过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．（1）如图1，当C ，B 两点均在直线MN 的上方时，①直接写出线段AE ，BF 与CE 的数量关系．②猜测线段AF ，BF 与CE 的数量关系，不必写出证明过程．（2）将等腰直角△ABC 绕着点A 顺时针旋转至图2位置时，线段AF ，BF 与CE 又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程．（3）将等腰直角△ABC 绕着点A 继续旋转至图3位置时，BF 与AC 交于点G ，若AF=3，BF=7，直接写出FG 的长度．23．（8分）计算﹣14﹣23116()|3|2÷-+-24．（10分）已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：25．（10分）解不等式组11232x x --≤，并将它的解集在数轴上表示出来．26．（12分）如图，在ABC △中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且BDE A ∠=∠．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若16AC =，3tan 4A =，求⊙O 的半径．27．（12分）已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、A【解题分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．【题目详解】该几何体的俯视图是：．故选A．【题目点拨】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．2、D【解题分析】分析：本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．详解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“建”字相对的字是“山”．故选：D．点睛：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．3、B【解题分析】,B是错的，A、C、D运算是正确的，故选B4、B【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误．故选B．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5、D【解题分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．【题目详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A 和B 错误，又因为蜗牛从p 点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P 处，那么如果将选项C 、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM 上的点P 应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C 还原后两个点不能够重合． 故选D ．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6、A【解题分析】分析：依据四边形ABCD 是平行四边形，即可得到BD 经过点O ，依据B 的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D 的坐标为（2，2）．详解：∵点A ，C 的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），∴点O 是AC 的中点，∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴BD 经过点O ，∵B 的坐标为（﹣2，﹣2），∴D 的坐标为（2，2），故选A ．点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．7、C【解题分析】分析：直接利用积的乘方运算法则及合并同类项和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出结果.详解：A. x 2+5x 2=2466x x ≠ ，本项错误;B.3256x x x x ⋅=≠ ,本项错误;C.236()x x = ,正确；D.3333()xy x y xy =≠,本项错误.故选C.点睛：本题主要考查了积的乘方运算及合并同类项和同底数幂的乘除运算，解答本题的关键是正确掌握运算法则. 8、A【解题分析】根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．【题目详解】当点D 与B 重合时，M 与F 重合，当点D 与A 重合时，M 与E 重合，连接BD ，FM ，AD ，EM ， ∵2,33CF CM CE EF AB BC CD CA AB ===== ∴//,//,2FM BD EM AD EF =,FMC BDC CME CDA ∴∠=∠∠=∠∵AB 是直径90BDA ∴∠=︒即90BDC CDA ∠+∠=︒∴90FMC CME ∠+∠=︒∴点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆，∵2EF =∴以EF 为直径的圆的半径为1∴点M 运动的路径长为1801=180ππ 当1'3CM CD = 时，同理可得点M 运动的路径长为12π 故选：A ．【题目点拨】本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键．9、C【解题分析】【题目详解】∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．故选C．10、A【解题分析】根据绝对值的性质进行解答即可．【题目详解】实数﹣5.1的绝对值是5.1．故选A．【题目点拨】本题考查的是实数的性质，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．11、B【解题分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.【题目详解】从上面看是三个长方形，故B是该几何体的俯视图.故选B.【题目点拨】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.12、A【解题分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【题目详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【题目点拨】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解题分析】根据两点间的距离公式可求B点坐标，再根据绝对值的性质即可求解．【题目详解】∵数轴上不同三点A、B、C对应的数分别为a、b、c，a=-4，AB=3，∴b=3+（-4）=-1，∵|b|=|c|，∴c=1．故答案为1．【题目点拨】考查了实数与数轴，绝对值，关键是根据两点间的距离公式求得B点坐标．14、①②③⑤【解题分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x=1时，y＜0，可判断⑥【题目详解】由图象可得，a＞0，c＜0，b＜0，△=b2﹣4ac＞0，对称轴为x=1 , 2∴abc＞0，4ac＜b2，当12x<时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确,∵11,22bxa=-=<∴2a+b＞0,故③正确,由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误,当x=1时，y=a+b+c＜0,故⑥错误故答案为:①②③⑤【题目点拨】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．15、50°【解题分析】利用平行线的性质推出∠EFC=∠2=130°，再根据邻补角的性质即可解决问题.∵AB ∥CD ，∴∠EFC=∠2=130°，∴∠1=180°-∠EFC=50°，故答案为50°【题目点拨】本题考查平行线的性质、邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．16、－9.【解题分析】根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可.【题目详解】解：根据题意，得：2131x，2(1)79y .故答案为：－9.【题目点拨】本题考查了有理数的运算，理解题意、弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键.17、（-1, -6）【解题分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出点A 1坐标，再利用平移的性质得出答案．【题目详解】∵点A 的坐标是（-1，2），作点A 关于x 轴的对称点，得到点A 1，∴A 1（-1，-2），∵将点A 1向下平移4个单位，得到点A 2，∴点A 2的坐标是：（-1，-6）．故答案为：（-1, -6）．【题目点拨】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．18、40°【解题分析】由∠A ＝30°，∠APD ＝70°，利用三角形外角的性质，即可求得∠C 的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B 的度数．解：∵∠A ＝30°，∠APD ＝70°，∴∠C ＝∠APD ﹣∠A ＝40°，∵∠B 与∠C 是AD 对的圆周角，∴∠B ＝∠C ＝40°．故答案为40°．【题目点拨】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、1a b -=【解题分析】过A 作一条水平线，分别过B ，C 两点作这条水平线的垂线，垂足分别为D ，E ，由后坡度AB 与前坡度AC 相等知∠BAD=∠CAE=30°，从而得出BD=2、CE=3，据此可得．【题目详解】解：过A 作一条水平线，分别过B ，C 两点作这条水平线的垂线，垂足分别为D ，E ，∵房子后坡度AB 与前坡度AC 相等，∴∠BAD=∠CAE ，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAE=30°，在直角△ABD 中，AB=4米，∴BD=2米，在直角△ACE 中，AC=6米，∴CE=3米，∴a-b=1米．【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握坡度坡角的概念．20、（1）24.2米(2) 超速，理由见解析【解题分析】（1）分别在Rt △ADC 与Rt △BDC 中，利用正切函数，即可求得AD 与BD 的长，从而求得AB 的长．（2）由从A 到B 用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【题目详解】解：（1）由題意得，在Rt △ADC 中，CD AD tan30︒==， 在Rt △BDC中，CD BD tan60===︒， ∴AB=AD －BD=14 1.73=24.2224.2-≈⨯≈（米）． （2）∵汽车从A 到B 用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB 路段超速．21、（1）ab ﹣4x 1（1【解题分析】（1）边长为x 的正方形面积为x 1，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（1）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x 的值即可．【题目详解】解：（1）ab ﹣4x 1．（1）依题意有：22ab 4x 4x -=，将a=6，b=4，代入上式，得x 1=2．解得x 1，x 1=．22、（1）①AE+BF =EC ；②AF+BF=2CE ；（2）AF ﹣BF=2CE ，证明见解析；（3）FG=65．【解题分析】（1）①只要证明△ACE ≌△BCD （AAS ），推出AE=BD ，CE=CD ，推出四边形CEFD 为正方形，即可解决问题； ②利用①中结论即可解决问题；（2）首先证明BF-AF=2CE ．由AF=3，BF=7，推出CE=EF=2，AE=AF+EF=5，由FG ∥EC ，可知FG AF EC AE=，由此即可解决问题；【题目详解】解：（1）证明：①如图1，过点C 做CD ⊥BF ，交FB 的延长线于点D ，∵CE ⊥MN ，CD ⊥BF ，∴∠CEA=∠D=90°，∵CE ⊥MN ，CD ⊥BF ，BF ⊥MN ，∴四边形CEFD 为矩形，∴∠ECD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB ，即∠ACE=∠BCD ，又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC=BC ，在△ACE 和△BCD 中，90ACE BCD AEC BDC AC BC ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ACE ≌△BCD （AAS ），∴AE=BD ，CE=CD ，又∵四边形CEFD 为矩形，∴四边形CEFD 为正方形，∴CE=EF=DF=CD ，∴AE+BF=DB+BF=DF=EC ．②由①可知：AF+BF=AE+EF+BF=BD+EF+BF=DF+EF=2CE ，（2）AF-BF=2CE图2中，过点C 作CG ⊥BF ，交BF 延长线于点G ，∵AC=BC可得∠AEC=∠CGB ，∠ACE=∠BCG ，在△CBG 和△CAE 中，AEC CGB ACE BCG AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CBG ≌△CAE （AAS ），∴AE=BG ，∵AF=AE+EF ，∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF ，∴AF-BF=2CE ；（3）如图3，过点C 做CD ⊥BF ，交FB 的于点D ，∵AC=BC可得∠AEC=∠CDB ，∠ACE=∠BCD ，在△CBD 和△CAE 中，AEC CDB ACE BCD AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CBD ≌△CAE （AAS ），∴AE=BD ，∵AF=AE-EF ，∴AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE ，∴BF-AF=2CE ．∵AF=3，BF=7，∴CE=EF=2，AE=AF+EF=5，∵FG ∥EC ， ∴FG AF EC AE=， ∴325FG =， ∴FG=65． 【题目点拨】本题考查几何变换综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.23、1【解题分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【题目详解】原式=﹣1﹣4÷14+27=﹣1﹣16+27=1．【题目点拨】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序．24、（1）1502AOD α∠=︒-；（2）AD =；（3）1122or 【解题分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB、OC，可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB等于30°，因为点D为BC的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、AD的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD的长，再过O点作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.【题目详解】(1)如图1：连接OB、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D是BC的中点∴∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OA=OC∴OAC OCA∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α(2)如图2：连接OB、OC、OD.由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OB=2，∴OD=OB∙cos30︒3∵B为AC的中点，∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOD=90°根据勾股定理得：AD=227AO OD +=（3）①如图3.圆O 与圆D 相内切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点由（2）可得：3D 的半径为1 ∴31+设AF=x在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即)2222331x x -=-- 解得：331x +=∴AE=3312AF +=②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点由（2）可得：3D 的半径为1 ∴31在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=- 即()2222331x x -=- 解得：331x 4= ∴AE=3312AF -=【题目点拨】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.25、x≤1，解集表示在数轴上见解析【解题分析】首先根据不等式的解法求解不等式，然后在数轴上表示出解集．【题目详解】去分母，得：3x﹣2（x﹣1）≤3，去括号，得：3x﹣2x+2≤3，移项，得：3x﹣2x≤3﹣2，合并同类项，得：x≤1，将解集表示在数轴上如下：【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．26、（1）DE与⊙O相切，详见解析；（2）5【解题分析】(1) 根据直径所对的圆心角是直角，再结合所给条件∠BDE＝∠A，可以推导出∠ODE＝90°，说明相切的位置关系。
2020届百师联盟高三练习题四（全国Ⅰ卷）数学（文）试题一、单选题 1．已知复数53iz i=+，则z =（ ） A ．1322i -+ B ．1322i -- C ．1322i + D ．1322i - 【答案】D【解析】根据复数运算法则求出1322z i =+，即可得到其共轭复数. 【详解】 因为55(3)133(3)(3)22i i i z i i i i -===+++-，所以1322z i =-. 故选：D 【点睛】此题考查复数的基本运算和复数概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则准确计算.2．保险公司新推出A ，B ，C 三款不同的储蓄型保险，已知购买这三款保险的人数分别为600、400、300，公司为增加投保人数，现采用分层抽样的方法抽取26人进行红包奖励，则从购买C 款保险的人中抽取的人数为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12【答案】A【解析】根据分层抽样方式计算抽样比即可得到从购买C 款保险的人中抽取的人数. 【详解】由分层抽样得购买C 款保险的人中抽取的人数为300266600400300⨯=++.故选：A 【点睛】此题考查分层抽样，关键在于根据题意准确识别抽样比，计算样本中抽出的样本个数. 3．若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}【答案】B【解析】解方程组得3x y =⎧⎨=⎩，即可得到集合.【详解】由263x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩所以{(3,0)}A =.故选：B 【点睛】此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式.4．新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A 级，则该校学生物理成绩达到A 级的人数是（ ）A ．600B ．300C ．60D ．30【答案】B【解析】根据频率分布直方图计算出获得A 级的频率，根据总人数即可得到获得A 级的人数. 【详解】根据频率分布直方图得，该校学生获得A 级的频率是0.015(10090)0.15⨯-=，所以该校学生物理成绩达到A 级的人数是20000.15300⨯=. 故选：B 【点睛】此题考查频率分布直方图，根据直方图求解指定组的频率，结合总人数计算频数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法. 5．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为3π的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）A ．πB ．2πC ．6πD ．12π【答案】D【解析】根据圆锥侧面展开图求得底面圆半径和母线长，根据侧面积公式即可求得侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则圆锥的侧面展开图的弧长为2r π， 则由23l r ππ⋅=，所以6l r =，圆锥的表面积是14π，即2614r r r πππ+⋅=， 解得22r =，所以侧面积2612S r ππ==. 故选：D 【点睛】此题考查圆锥表面积相关计算，根据表面积求解底面圆半径和圆锥母线长，关键在于熟练掌握扇形相关计算.6．已知凸四边形ABCD 的面积为S ，点P 是四边形内部任意一点，若点P 到四条边AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，且满足1234AB BC CD DA k ====，利用分割法可得12342234Sd d d d k+++=；类比以上性质，体积为V 的三棱锥P ABC -，点Q 是三棱锥内部任意一点，Q 到平面PAB ，PBC ，PAC ，ABC 的距离分别为1D ，2D ，3D ，4D ，若1234PAB PBC PAC ABCS S S S K ====△△△△，则1234234D D D D +++=（ ） A ．VKB ．2V KC ．3V KD ．4V K【答案】C【解析】对三棱锥进行切割，根据三棱锥的体积公式，利用等体积法即可得解. 【详解】根据三棱锥的体积公式13V sh =， 得123411113333PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△，即12343PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△， 所以12343234V D D D D K+++=. 故选：C 【点睛】此题考查类比推理，根据平面四边形面积关系类比空间几何体体积关系，关键在于熟练掌握体积公式，准确推导.7．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，C 的上顶点A 在圆22(2)(1)4x y -+-=上，若1223F AF π∠=，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．2212x y +=B ．22143x y +=C ．2214x y +=D ．2213x y +=【答案】C【解析】求出A 点坐标，结合1223F AF π∠=求解椭圆的基本量即可得到标准方程. 【详解】圆的方程中令0x =得1y =，所以1b =，所以1223F AF π∠=，13F AO π∠=， 在直角1AFO △中解得2a =，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 故选：C 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据题意准确进行基本量的运算，关键在于熟练掌握椭圆的几何特征.8．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．612π+B ．1036π+C ．536π+D ．618π+【答案】B【解析】根据三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用柱体表面积公式求解.【详解】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，353334461036S πππ=⨯+⨯+⨯++=+.故选：B 【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图的特征，还原几何体，利用表面积公式求解.9．执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．32-B ．13-C ．2D ．2-【答案】A【解析】根据循环程序框图，一次循环后，可知本题循环程序是求一个以3为周期的数列：2，13-，32-，2，13-，32-…，所以当2019i =时，输出结果，根据周期性，即可得出结果. 【详解】解：根据程序框图，执行程序得：2,1a i ==，否，11,2213a i =-=-=+，否， 13,31213a i =-=-=-+，否， 12,4312a i =-==-+，否， 11,5213a i =-=-=+，否，13,61213a i =-=-=-+，否， L可知本题循环程序是一个以3为周期的数列：2，13-，32-，2，13-，32-…， 当2019i =时，输出结果，则20193673÷=，即循环673个周期， 所以输出结果为32-． 故选：A. 【点睛】本题考查由循环程序框图计算输出结果，理解循环结构框图是关键. 10．已知函数2*3()sincos3sin ,[1,],666xxxf x x a a πππ=-+∈-∈N ，若函数()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，则a 的最小值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．12【答案】A【解析】化简函数()sin 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数性质，结合图象求解.【详解】 函数2313()sincos3sin sin cos sin 6632232333xxxx x f x x πππππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为263T ππ==，又()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，即函数()f x 在[1,]a -上至少存在两个最大值，如图(1)7.54Ta T --+=…， 6.5a …， 所以正整数a 的最小值为7.故选：A 【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解.11．函数2()(1)2(0,0)f x a x bx a b =++->>在点(1,(1))P f 处的切线斜率为4，则8a bab+的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．32【答案】B【解析】根据切线斜率为4，利用导函数求得22a b +=，利用基本不等式即可求解最值. 【详解】()2(1)f x a x b '=++，(1)224f a b '=++=，所以22a b +=.则881181116116(2)102109222a b a b a ba b ab b a b a b a b a ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++=++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….当且仅当13a =，43b =时，等号成立.故选：B 【点睛】此题考查基本不等式求最值，根据导数的几何意义结合切线斜率为4得到22a b +=，关键在于熟练掌握基本不等式求最值的基本方法，需要注意考虑等号成立的条件. 12．已知数列{}n a 满足1*43,N n n a n -=⨯∈，现将该数列按如图规律排成一个数阵（如图所示第i 行有i 个数），设n S 为该数阵的前n 项和，则满足2020n S >时，n 的最小值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．27【答案】B【解析】根据等比数列求和公式可得第n 行的和232nn T =⨯-，分析前六行所有项之和及第六行第6个数即可得解. 【详解】由题可知第n 行的和4(13)23213nn n T -==⨯--，前5行共1234515++++=个数， 前5行所有项的和为()()2515(232)232232S =⨯-+⨯-++⨯-L ()252333102020=⨯+++-<L ，不满足题意，前6行共12345621+++++=个数， 前6行所有项的和为()()2621(232)232232S =⨯-+⨯-++⨯-L ()2623331221722020=⨯+++-=>L ，满足题意，而第6行第6个数为543972⨯=，21729722020-<， 所以满足2020n S >时，n 的最小值为21. 故选：B 【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于熟练掌握等比数列求和公式的应用，根据题意分析临界情况求解.二、填空题13．已知向量(3,2)a m =-r ，(1,1)b =-r ，若//a b r r，则|2|a b -=r r _________.【答案】32【解析】根据向量平行求得1m =，求出2(3,3)a b -=-r r，即可得到模长.【详解】由向量//a b r r可得32m -=-，所以1m =，则22(2,2)(1,1)(3,3)a b -=⨯---=-r r ，即|2|32a b -=r r故答案为：32【点睛】此题考查向量平行的坐标表示，根据向量平行求参数的取值，根据向量的坐标表示求解模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算.14．哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出了著名的哥德巴赫猜想，其内容是“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和”，如1037=+.在大于10且小于30的所有质数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率为__________. 【答案】215【解析】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29，列举出所有满足题意的情况，根据古典概型求解. 【详解】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29， 通过列举可知任选两个数{}{}{}{}{}{}{}11,13,11,17,11,19,11,23,11,29,13,17,13,19,{}{}{}{}{}{}{}{}13,23,13,29,17,19,17,23,17,29,19,23,19,29,23,29有15种选法，其中112940+=，172340+=，所以和等于40的概率为215. 故答案为：215【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确找出大于10小于30的所有质数，利用列举法得出基本事件总数，利用古典概型求解.15．已知点P 是双曲线222:1(1)x C y a a-=>上的动点，点M 为圆22:1O x y +=上的动点，且0OM PM ⋅=u u u u r u u u u r，若||PM 3C 的离心率为________. 5 【解析】根据垂直关系可得222||||||OM PM OP +=，结合双曲线的几何意义可得||OP 取最小值a ，根据几何关系求解离心率. 【详解】由题，222||||||OM PM OP +=，且||1OM =，若||PM 取最小值，则||OP 取最小值，由双曲线的性质可知，当点P 为双曲线实轴的端点时，||OP 取最小值a ， 此时22213)a +=，得2a =，可得5c =所以双曲线C 5. 5【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质，利用垂直关系转化求解.16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()2x f x x =⋅.则方程()|lg |0f x x -=的根的个数为_________.【答案】100【解析】根据已知条件判断函数的周期，结合函数解析式作出函数图象，数形结合求解. 【详解】因为()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为()f x 是偶函数，所以()()(2)f x f x f x =-=-，即函数()f x 的周期为2， 方程()|lg |0f x x -=的根的个数即为函数()y f x =和|lg |y x =图象交点的个数， 如图所示为函数()y f x =和|lg |y x =图象，令lg 2x =，得100x =，两函数图象在每个区间[1,]n n -上都有一个交点，1,2,,100n =L .所以方程()|lg |0f x x -=共有100个根.故答案为：100 【点睛】此题考查求解方程的根的个数，关键在于准确识别函数的周期，结合基本初等函数的基本性质作出函数图象，涉及数形结合思想.三、解答题17．在四边形ABCD 中，3BC =，1CD =，2C A =，3cos A =.（1）求BCD V 的面积； （2）若1cos 3ABD ∠=，求AB 的长. 【答案】（12（2）23AB =【解析】（1）根据2C A =，求得22sin sin 23C A ==（2）结合（1）利用余弦定理求得23BD =计算6sin sin()ADB ABD A ∠=∠+∠=可得：ADB A ∠=∠即可得解. 【详解】 （1）因为3cos A =，所以6sin A = 所以22sin sin 22sin cos 3C A A A ===， 所以1122sin 312223BCD S BC CD C =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=△（2）21cos cos22cos 13C A A ==-=-， 由余弦定理2222cos 12BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅=，所以23BD =因为1cos 3ABD ∠=，所以2sin 3ABD ∠=， 所以6sin sin()sin cos cos sin ADB ABD A ABD A ABD A ∠=∠+∠=∠⋅+∠⋅= 则可知ADB A ∠=∠， 所以23AB BD ==【点睛】此题考查利用余弦定理求解三角形，根据面积公式求解面积，关键在于熟练掌握相关定理公式，根据图形关系求解.18．如图在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2ADC π∠=，4PA AD CD ===，2AB =，E 为侧棱PD 中点.（1）设F 为棱CD 上的动点，试确定点F 的位置，使得平面//AEF 平面PBC ，并写出证明过程；（2）求点B 到平面PCD 的距离.【答案】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ；证明见解析（2）22 【解析】（1）当F 为CD 中点时，通过证明//AF CB ，//EF CP 得证平面//AEF 平面PBC ；（2）由等体积法可得P BCD B PCD V V --=，即可求得点到平面距离. 【详解】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ，证明如下：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，122CF CD ==，2AB =，所以CF AB =，//CF AB ，即四边形ABCF 为平行四边形，所以//AF CB ，即//AF 平面PCB ，在DCP V 中，因为E 、F 分别为PD 、CD 中点，所以//EF CP ，即//EF 平面PCB . 又因为EF AF F =I ，EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为2ADC π∠=，所以CD AD ⊥因为AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，AD PA A ⋂=. 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥ 所以PCD V 为直角三角形.因为PA AD ⊥，所以42PD =，1822PCD S CD PD =⨯⨯=△在梯形ABCD 中，14482BCD S =⨯⨯=△. 由等体积法可得P BCD B PCD V V --=，所以1133BCD PCD S PA S d ⨯⨯=⨯⨯△△，解得22d =所以点B 到平面PCD 的距离为22【点睛】此题考查面面平行的证明和计算点到平面距离，关键在于熟练掌握面面平行的证明方法和利用等体积法求点到平面距离的基本方法. 19．已知函数()ln 1()f x a x x a =-+∈R （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，对任意的()1212,(0,1],x x x x ∈<，都有()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a …时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）[3,0)-【解析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论即可得函数的单调区间； （2）将问题转化为()()121244f x f x x x -<-，令4()()g x f x x=-，函数()g x 在(0,1]上单调递增，求参数的取值范围. 【详解】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x'-=-=， 当0a …时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<， 即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.综上所述，当0a …时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即()()121244f x f x x x -<-， 令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增， 所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+…在(0,1]上恒成立， 即4a x x-…在(0,1]上恒成立，只需max 4a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增，所以max4143a x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭…， 综上所述，实数a 的取值范围为[3,0)-. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，根据函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论以及转化与化归思想.20．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y （单位：千本）和利润x （单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据. 序号 12 345678910x2.43.14.65.36.47.1 7.88.89.5 10y18.1 14.1 9.1 7.1 4.8 3.8 3.2 2.3 2.1 1.4根据上述数据画出如图所示的散点图：（1）根据图中所示的散点图判断y ax b =+和ln y c x d =+哪个更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由） （2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y 关于x 的回归方程； （3）根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量. 参考公式及参考数据：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii n i i u u v v u u u νβαβ==--==--∑∑. ②参考数据：xyu()1021ii xx =-∑()1021ii uu =-∑ ()()101iii x x yy =--∑ ()()101iii u u yy =--∑6.50 6.601.7582.50 2.70143.25- 27.54-表中1011ln ,10i i i i u x u u ===∑.另：ln10.5 2.35≈.计算时，所有的小数都精确到0.01. 【答案】（1）ln y c x d =+更适宜（2）ˆ24.4510.20ln yx =-（3）0.48千本 【解析】（1）根据散点图可得）ln y c x d =+更适宜；（2）令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，根据参考数据计算ˆd，ˆc ，即可得到y 关于x 的回归方程；（3）由（2）将10.5x =代入回归方程即可得解.【详解】（1）ln y c x d =+更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型； （2）令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.54ˆ10.202.70iii ii u u yy du u ==---===--∑∑， ˆˆ 6.610.20 1.7524.45cy d u =-⋅=+⨯=， 所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ24.4510.20yu =-， 即y 关于x 的回归方程为ˆ24.4510.20ln yx =-. （3）由（2）将10.5x =代入回归方程得ˆ24.4510.20ln10.524.4510.20 2.350.48y=-=-⨯≈. 所以根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量为0.48千本. 【点睛】此题考查求非线性回归方程，将模型进行转化通过线性回归模型求解，根据回归方程进行预测，关键在于熟练掌握基本计算方法.21．在平面直角坐标系xOy 中，不恒在坐标轴上的点(,)(0)P x y x …到y 轴的距离比它到点(1,0)F 的距离小1，直线l 与曲线C 相切于点M ，与直线1x =-交于点N . （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）证明：以MN 为直径的圆恒过定点. 【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】（1）抛物线定义可知，点P 的轨迹为以点F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，联立直线与抛物线方程，根据位置关系，表示出点的坐标，利用圆上点Q 满足0QM QN ⋅=u u u u r u u u r建立等量关系即可得证.【详解】（1）由题可知，点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1x =-的距离，由抛物线定义可知，点P 的轨迹为以点F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线， 即轨迹C 的方程为24y x =.（2）当直线l 斜率不存在时，若直线l 与曲线C 相切，则:0l x =，与直线1x =-无交点，舍去；当直线l 斜率存在时，设:(0)l y kx b k =+≠，联立24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=，因为直线l 与抛物线相切，所以16160kb ∆=-=，得1b k=， 所以直线l 的方程为1y kx k=+， 令1x =-，得1y k k =-+，即11,N k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.设切点()00,M x y ，则200440ky y k -+=，解得212,M k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(,)Q m n 为MN 为直径的圆上异于M 、N 的任一点，则有0QM QN ⋅=u u u u r u u u r.即2121(1)QM QN m m n k n k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=---+--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r()()32221320m n k k m m n k-+-=++-+=，若当2220,10,0m m n m n ⎧++-=⎪-=⎨⎪=⎩时，即1m =，0n =，圆恒过点(1,0)Q .综上所述，以MN 为直径的圆恒过定点(1,0)Q . 【点睛】此题考查求曲线轨迹方程和证明轨迹过定点，涉及直线与抛物线的位置关系，利用圆上的点的几何特征建立等量关系解决问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线13sin 3,:133,x C y θθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为32sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （2）(3,0)M ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值.【答案】（1）30x y +-=；2216x y +=（2）467【解析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系即可得到直线的直角坐标方程，将曲线C 两式平方相加得到C 的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将参数方程代入圆的方程利用12121212121111||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+==，结合韦达定理求解. 【详解】（1）将曲线C 两式平方22222213sin 3cos 239cos ,13cos 3sin 239cos ,x y θθθθθθθθ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 相加得22:16C x y +=，:cos sin 30l ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.（2）由题可知点M 在直线l 上，则直线l 的参数坐标方程为232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线的参数方程带入22:16C x y +=得23270t t --=，1232t t +=127t t =-，()212121212121212124111146||||t t t t t t t t MA MB t t t t t t t t +-+-+=+====【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用直线的参数方程的几何意义解决与线段有关的问题. 23．已知函数()|21||25|f x x x =++-. （1）求不等式()10f x …的解集； （2）a ，b 均为正实数，若41a b+为函数()f x 的最小值，求实数2+a b 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）221⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）根据绝对值三角不等式求出()f x 的最小值为6，即416a b+=，结合基本不等式求解最值得到取值范围. 【详解】（1）()|21||25|f x x x =++-1,24410x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩......或15,22610x ⎧-<<⎪⎨⎪⎩ (5)24410x x ⎧⎪⎨⎪-⎩…… 解得3722x -≤≤.所以解集为37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()|21||25||21(25)|6f x x x x x =++-+--=….所以416a b+=，141181222(2)6(628)16663b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… 当且仅当22a b =时等号成立.所以2+a b 的范围为2213⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最小值，利用基本不等式求取值范围，需要注意考虑最值等号成立的条件.。
吉林省长春市九台市师范高级中学2024届高三高考测试（一）数学试题理试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线2．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --3．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i5．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD 826．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．227．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2828．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=10．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．11．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．1339-B ．1339C ．155-D ．155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省长春市2020届高三文数一模试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）复数z=−2+i，则它的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2分）已知集合A={x| x≥2,或x≤−2}，B={x|x2−3x>0}，则A∩B=() A．∅B．{x| x>3,或x≤ −2}C．{x| x>3,或x<0}D．{x| x>3,或x≤2}3．（2分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=15，a4=5，则S9=() A．45B．63C．54D．814．（2分）已知条件p:x>1，条件q:x≥2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2分）2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013 年编号为1，2014 年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1 到6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ŷ=13.743x+3095.7，其相关指数R2=0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是()①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019 年公共图书馆业机构数约为3192个A．0B．1C．2D．36．（2分）已知直线x+y=0与圆(x−1)2+(y−b)2=2相切，则b=()A ．−3B ．1C ．−3 或 1D ．527．（2分）已知 a =(13)3 ， b =313 ， c =log 133 ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a8．（2分）已知 a,b,c 为直线， α,β,γ 平面，则下列说法正确的是( )①a ⊥α,b ⊥α ，则 a//b ②α⊥γ,β⊥γ ，则 α⊥β③a//α,b//α ，则 a//b ④α∥γ,β∥γ ，则 α//β A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①④9．（2分）函数 y =2sin(ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2) 的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( )A ．f(x)=2sin(2x +π6)B ．f(x)=2sin(x +π6) C ．f(x)=2sin(4x +π6)D ．f(x)=2sin(x −π6)10．（2分）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 S 1 ，圆面中剩余部分的面积为 S 2 ，当 S 1 与 S 2 的比值为 √5−12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3−√5)πB ．(√5−1)πC ．(√5+1)πD ．(√5−2)π11．（2分）已知 F 是抛物线 y 2=4x 的焦点，则过 F 作倾斜角为 60° 的直线分别交抛物线于 A,B （ A 在 x 轴上方）两点，则 |AF||BF| 的值为( )A ．√3B ．2C ．3D ．412．（2分）已知函数 f(x)={e −x −1(x ≤0)√x (x >0) ，若存在 x 0∈R 使得 f(x 0)≤m(x 0−1)−1 成立，则实数 m 的取值范围为( )A．(0,+∞)B．[−1,0)∪(0,+∞) C．(−∞,−1]∪[1,+∞)D．(−∞,−1]∪(0,+∞)二、填空题 (共4题；共5分)13．（1分）已知sinα2−cosα2=15，则sinα=.14．（1分）设变量x,y满足约束条件{x−y≤0x+3y≤4x+2≥0，则z=x−3y的最小值等于.15．（1分）三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC, PA=√10, AB=2,AC=√2，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为.16．（2分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若m⇀=(b−c,a−b), n⇀= (sinC,sinA+sinB)，且m⇀⊥n⇀，则A=;若△ABC的面积为√3，则△ABC的周长的最小值为.三、解答题 (共7题；共35分)17．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n+2n+1，设b n=a n 2n.（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{1b n b n+1}的前n项和S n.18．（5分）环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果.（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.19．（5分）在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC、平面ACC1A、平面BCC1B1两两垂直.（Ⅰ）求证：CA,CB,CC1两两垂直；（Ⅱ）若CA=CB=CC1=a，求三棱锥B1−A1BC的体积.20．（5分）已知点M(−1,0),N(1,0)，若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q(−√3,0)的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l的方程.21．（5分）设函数f(x)=lnx+x+1x.（Ⅰ）求函数f(x)的极值；（Ⅱ）若x∈(0,1)时，不等式1+xa(1−x)lnx<−2恒成立，求实数a的取值范围.22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1−√22ty=2+√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ=3.（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A,B两点，点P(1,2)，求|PA|⋅|PB|的值.23．（5分）已知函数f(x)=|x+3|−|x−1|.（Ⅰ）解关于x的不等式f(x)≥x+1；（Ⅱ）若函数f(x)的最大值为M，设a>0,b>0，且(a+1)(b+1)=M，求a+b的最小值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】复数z=−2+i的共轭复数为z̅=−2−i，在复平面内对应点的坐标为（-2，-1），所以位于第三象限．故答案为：C【分析】利用复数z与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，进而利用复数的几何意义求出共轭复数在复平面内对应的点的坐标，从而求出共轭复数在复平面内对应的点所在的象限。
