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运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧
著名的平均值不等式,,,,"212121n
n n n a a a n
a a a R a a a
则
若
仅当n a a a 21),2(N n n 时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。 一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。 （1） 注意“正数”。
例1、求函数x
x y 4
的值域 。 误解：44
24
x
x x x （仅当2 x 时取等号），所以值域为 ,4。 这里错误在于使用均值定理ab b a 2 时忽略了条件：
R b a ,
正确解法：)2(44
24,0)(时取等号当时当
x x
x x x x a ； 4
4
)2(4)4)((2)4()(0,0)( x
x x x x x x x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是
44 y y y 或。 （2） 注意“取等”
例2、设
R x ，求函数2
1
3x x y
的最小值。 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有
3min 3322232312312,
y x
x x x x x y R x 。 这里的错误是没有考虑等号成立的条件。显然要2
1
2x x x
，这样的不存在x ，故导致错误。此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，
正确解法：时取等号）23322123(182312323312323x
x x x x x x x y
。 所以2
183,3183min 3
y x 。 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a ,6,3,,,,2
2
2
2
误解：)1(2
9
)(212,222222222
y x b a by ax y x bx b a ax 所以by ax 的最大值为
2
9
。 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ,；由条件知这是不可能的，所以不可能
取到上述的最大值。
正确解法：2
2
2
2
2
2
2
2
2
)())((,2by ax y x b a aybx x b y a 仅当
bx ay 时取等，所以时取等仅当
6323632222y x b a bx ay by ax 。
如取23)(,3,2
6
max
by ax y x b a （3）注意“定值”
例4、已知的最大值求y x R y x y x 2
,,,12
。
误解：12),(27
)2()3(
3
32
y x y x y x y x x y x 又时取等当， 27
1
,312
y x y x 时。 以上过程只能说明当271312
y x y x 时。但没有任何理由说明,27
12
y x 这种似是
而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：
27
2
)322(41)34(41441,,332
y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当27
2,61,32,12,42
最大值为时取等号所以而y x y x y x y x 。
二、常用处理方法和技巧
（1） 拆项
例5、求函数)0(3
22
x x
x y 的最小值。
解：
x
x x y 23
2322
时取等号）x x x x x 232(36232323232332 ， （目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆
x
3
为相同两项，同时使得含变量的因子x
的次数和为零）
所以仅当3min 3
362
3
26 y ，。 （2） 裂项
例6、设1 x ，求函数1
)
2)(5( x x x y 的最小值。
解
取等）
1
4
1(9514)1(251411]1)1][(4)1[(
x x x x x x x x x y [先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因
子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子1 x 的次数和为零，同时取到等号] ]
所以仅当9,1min y x 时。 （3） 添项
例7、求函数2
2
216
3x x y
的最小值。
解
]216)2(3[638)216)(2(326216)2(32
2
2222取等x x x x x x y
（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子2
2x 的次数和为零，同时取到等号）。 所以当638,233
4
min
y x 。 例8、若y x y
x y x 则且
,19
1,0,0.的最小值。 解： 时取等）
y
x
x y y x x y y x x y y x y x y x 9(169210991)91)((
[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘
y
x 9
1 ），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子x
y
的次数和为零，同时取到等号] 。
