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均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。
它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。
本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。
一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。
在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。
二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。
具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。
2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。
首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。
接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。
均值不等式定理求最值复习目标：熟练掌握均值不等式求最值的思想方法和实际应用 一、 基础知识1、 均值不等式定理(1)、ab b a b a 2R,22≥+∈、 (当且仅当b a =时取“=”)(2)、ab b a R b a 2,≥+∈+、 (当且仅当b a =时取“=”) (3)、22,,22b a b a ab R b a +≤+≤∈+(当且仅当b a =时取”=”) 此定理六个方面的应用要多体会掌握。
(4)、abc c b a R c b a 3,333≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取“=”)(5)、33,abc c b a R c b a ≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取”=”) 2、 均值不等式定理求最值的基本原则 （1）、“一正”：要求在正数条件下或能转化为正数条件的情况下才用均值不等式定理。
(2)、“二定”：即“和定积大与积定和小”原则，这一原则要求：求某些变量的和的最小值问题应使变量的乘积为定值；而求变量的乘积的最大值问题应转化到变量的和为定值。
反之，变量的和为定值必转化为求变量积的最大值问题，变量的积为定值必转化为求变量和的最小值问题。
总之，使用均值不等式定理后使变量消去成常数是均值不等式定理求最值的指导思想，也是产生各种技巧的力量源泉。
(3)、“三相等”：即“二”成立原则，这一原则要求验算“二”成立的充要条件，这是保证所求最值正确与否的关键。
完成这一步骤主要看两点：一看“二”成立的充要条件是否有解；二看“二”成立的充要条件有解时的解是否在函数定义域内。
如这两点均符合要求，所求函数最值就正确无疑了。
3、均值不等式定理及在求函数最值中的应用是高考热点之一。
均值定理的运用最为灵活，往往需灵活变形才能使用。
用均值不等式求最值应着重注意三原则：一正、二定、三相等，其中“三相等”就是等号成立的充要条件，这是求解变量取什么值可有最值的唯一途径，应该注意求得的变量是否在函数的定义域内或满足题中的限制条件下，这也是验证这种方法是否可行的唯一办法。
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
利用均值定理求最大(小)值的几个技巧白国军【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》【年(卷),期】2000(000)005【摘要】最大（小）值问题是一类很典型的题目,是高考的热点之一,有关这类题目的处理涉及很多教学方法,其中利用均值定理便是众多方法中常用的一种。
由于这种方法在应用中经常需要技巧,所以初学者不易掌握,本文拟介绍这一方法在解最大（小）值问题时的一些具体技巧。
所谓均值定理,就是"n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数",即若:a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,…,a<sub>n</sub>∈R<sup>+</sup>,则有（a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+…a<sub>n</sub>）/n≥（a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>…a<sub>n</sub>）<sup>1/n</sup>,当且仅当a<sub>1</sub>=a<sub>2</sub>=a<sub>3</sub>=…=a<sub>n</sub> 时,不等式取"="号。
新大纲对这一定理只要求掌握 n=2,3的情况。
这一定理在实际解题时,可用来求解"和"的最小值或"积"的最大值,当然必须有几个前提条件。
巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。
首先，我们先来了解一下均值定理。
均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。
那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。
因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。
比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。
实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。
当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。
但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。
均值不等式求最值的对策运用均值不等式求最值是一种常用方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何求最值问题试作分析一．注意均值定理应满足条件均值不等式具有将“和式〞转化为“积式〞与将“积式〞转化为“和式〞的功能，但一定注意应用的前提：“ 一正〞“二定〞“三相等〞。
所谓“一正〞是指“正数〞，“二定〞指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立.例1．10<<x ，求xy lg 4lg +=的最大值 分析：此题满足4lg 4lg =⋅xx 为定值，但因为0lg ,10<<<x x ，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式。
解：442)lg 4()lg (0lg ,0lg 10=≥-+-=-∴>-<∴<<xx y x x x 即4-≤y 。
当且仅当xx lg 4lg -=-即1001=x 时等号成立，故4max -=y二．连用均值定理要注意成立的条件一致有些题目要屡次用不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致。
例2．假设y x ,是正数，那么22)21()21(xy y x +++的最小值是〔 〕 A.3 B 27 C4 D 29 解析:由题意,4141(2)141()21)(21(2)21()21(22=+⋅≥++=++≥+++xyxy xy xy x y y x x y y x “＝〞成立的条件412121{=+=+xy xy y x 不矛盾，故“＝〞能成立，答案〔)c三．均值不等式“失效〞时的对策有些题目，直接用均值定理求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，别离常数，平方等手段使之能运用均值定理.例3．25≥x ，那么4254)(2-+-=x x x x f 有 〔 〕 A 最大值45 B 最小值45 C 最大值1 D 最小值1.分析：此题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行别离，便可创造出使用均值不等式的条件。
文章标题：深度剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在解决数学中的最值问题时，均值不等式是一种十分重要的工具。
通过合理运用均值不等式，我们可以更加简洁地解决各种最值问题。
在本文中，我们将深入探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并且通过具体的例子和理论分析，逐步揭示其中的奥妙。
1. 了解均值不等式的基本概念我们需要了解均值不等式的基本概念。
均值不等式是数学中的一个重要定理，它指出了若干个非负数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，而几何平均数又大于等于它们的调和平均数。
这一定理为我们解决最值问题提供了重要的数学基础。
2. 利用均值不等式求解具体问题接下来，我们将通过具体的例题来展示如何利用均值不等式来求解最值问题。
假设我们需要求解一个函数的最小值，而这个函数必须满足一定的条件。
这时，我们可以首先利用均值不等式对这个函数进行变形，使得我们可以更加方便地找到最小值点。
通过逐步展开和演算，我们可以将问题简化，最终得到最小值的具体解。
3. 回顾与总结在本文中，我们深入探讨了如何利用均值不等式来求解最值问题。
通过分析均值不等式的基本概念和具体应用，我们可以更好地理解这一数学工具的作用和价值。
通过丰富的例题和细致的论证，我们可以清晰地掌握利用均值不等式解题的思路和方法。
在我们的个人观点中，我们强调了均值不等式在解决最值问题中的重要性，并指出了在实际运用中需要注意的细节和技巧。
总结起来，通过本文的阅读，读者可以更加深入地理解利用均值不等式求解最值的思路，并且能够更加灵活地应用到具体的数学问题中。
希望本文能够为读者提供有益的启发和帮助，使他们在数学学习和解题过程中更加游刃有余。
深入剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在数学问题中，求最值是一个常见的问题。
而在解决最值问题时，均值不等式无疑是一个重要的工具。
它不仅可以帮助我们更加简洁地解决最值问题，还可以提高我们的解题效率。
在本文中，我们将进一步深入地探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并结合具体的例子和理论分析来展示其奥妙之处。
用均值不等式求最值的方法和技巧桃源县第九中学 朱梅芳均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540， ∴f x x x x x ()()=-+-=--+-+42145541543 ≤---+=-+=2541543231()x x ·当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()() 当x +>10，即x >-1时y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1）注意“正数”。
例1、求函数的值域。
误解：（仅当时取等号），所以值域为。
这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。
（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要，这样的不存在，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。
所以。
例3、误解：所以的最大值为。
这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：仅当时取等，所以。
如取（3）注意“定值”例4、已知。
误解：，。
以上过程只能说明当。
但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：，所以仅当。
二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。
解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。
（2）裂项例6、设，求函数的最小值。
解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。
（3）添项例7、求函数的最小值。
解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。
所以当。
例8、若.的最小值。
解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。
运用均值定理求最值的常用方法与技巧作者：何立新作者单位：达州市第一中学,四川达州,635000刊名：四川文理学院学报英文刊名：SICHUAN UNIVERSITY OF ARTS AND SCIENCE JOURNAL年，卷(期)：2008，18(z1)被引用次数：0次1.期刊论文薛成梅均值不等式在求最值中的运用-科技信息2009,""(36)数学中关于求最值问题是一大难点但同时也是教学中的一个重点,其中利用均值不等式求最值是一种很重要的方法,均值不等式可以帮助学生提高有关求最值问题的得分率.2.期刊论文龙克宁利用均值不等式求函数最值时不容忽视的几个条件-黔东南民族师范高等专科学校学报2002,20(3)在利用均值不等式求函数最值时,经常出现的错误,往往是忽视不等式中的条件所致,本文提出了解决这类错误的方法.3.期刊论文梁薇均值不等式求最值的转化技巧-柳州师专学报2000,15(1)介绍用均值不等式求最大值,最小值的使用条件、使用方法以及转化技巧.4.期刊论文申大海运用均值不等式求最值的"三注意"-商情·科学教育家2008,""(4)]运用二元均值不等武a+b/2≥√ab(或a+b≥2ab可以求出以下两种情况下的最值;若a=为定值p.则当a=b时a+b有最小值2√p;若a+b为定值s,则当a=b时,a·b有最大值1/4s2.初学这部分内容时,不少高二同学出现这样或那样的错误,牢记本文所述的"三注意",有助于提高解题的正确率.5.期刊论文刘遂用均值不等式巧解高考题-邵阳师范高等专科学校学报2001,23(5)用三种不同方法(直接套用,拆凑活用,升幂处理)剖析均值不等式在解答部分高考试题中的妙用.6.期刊论文孙翠华均值不等式求最值错例剖析-高中数理化（高二）2008,""(4)均值不等式a+b/2≥√ab(a,b∈R+,当且仅当阿a=b时取"=")是求函数最值的重要工具,是新教材教学的重点,也是难点,更是历年高考的热点内容,但在平时的学习过程中发现,常有同学因审题不清,或思维定势,导致误用此不等式,为了大家能更好的理解、掌握应用均值不等式解题的本质,下面剖析均值不等式求最值中的常见错解,以提高同学们的防错意识.7.期刊论文冀红梅应用均值不等式求函数最值-中学生数理化（高三版）2007,""(2)均值不等式除用于比较实数大小及证明不等式外,主要用于求函数最值.均值不等式使用的条件是"一正二定三相等",三个条件缺一不可.为了达到使用均值不等式的三个条件,往往需要利用配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段.8.期刊论文李海港.张传法利用均值不等式求最值的方法-中学生数理化（高二版）2006,""(7)均值不等式a+b/2≥√ab(a＞0,b＞0,当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题.对于有些题目,可以直接利用公式求解.但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解.下面是一些常用的变形方法.9.期刊论文韩可明用"均值不等式"求最值忽视条件致错举例-安庆师范学院学报（自然科学版）2007,13(2)用"均值不等式"求最值是求最值问题中的一个重要方法,也是高考考查的一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3)相等.10.期刊论文乔建华运用均值不等式解题误区例析-中学生数理化（高考版）2009,""(11)均值不等式在解题中应用十分广泛,但部分同学对利用均值不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)认识不足,导致解题失误.本文举例说明应用均值不等式求最值应注意的问题.本文链接：/Periodical_dxsfgdzkxxxb2008z1066.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：4565cdbb-6906-402e-af65-9dc8011cc1cd下载时间：2010年8月4日。
均值不等式求最值的对策运用均值不等式求最值是一种常用方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何求最值问题试作分析一．注意均值定理应满足条件均值不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定注意应用的前提：“ 一正”“二定”“三相等”。
所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立.例1．已知10<<x ，求xy lg 4lg +=的最大值 分析：本题满足4lg 4lg =⋅xx 为定值，但因为0lg ,10<<<x x ，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式。
解：442)lg 4()lg (0lg ,0lg 10=≥-+-=-∴>-<∴<<xx y x x x Θ即4-≤y 。
当且仅当x x lg 4lg -=-即1001=x 时等号成立，故4max -=y 二．连用均值定理要注意成立的条件一致有些题目要多次用不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致。
例2．若y x ,是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（ ） A.3 B27 C4 D 29 解析:由题意 ,4141(2)141()21)(21(2)21()21(22=+⋅≥++=++≥+++xyxy xy xy x y y x x y y x“＝”成立的条件412121{=+=+xy xy y x 不矛盾，故“＝”能成立，答案（)c三．均值不等式“失效”时的对策有些题目，直接用均值定理求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，分离常数，平方等手段使之能运用均值定理.例3．已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 有 （ ） A 最大值45 B 最小值45 C 最大值1 D 最小值1.分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。
平均值定理求最值问题和为定值求最值的问题和为定值求最值的问题最值问题在数学运算的各个专题中显得与众不同。
因为它没公式没概念，不像行程问题之类需要记公式和概念。
但它却是数学运算中较难的一个专题。
很多考生对于最值问题不知道如何下手。
既然最值问题没有公式概念，因此解题思路就显得格外重要了。
好在最值问题的解题思路还是较为模式化的。
下面我们来通过例题具体谈谈最值问题的解题思路。
在今年的国考中有这样一个题型【例一】某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。
如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？A.2B.3C.4D.5【答案】C 解析：和定最值问题，问排名最后的最多，则让其他城市的最少。
因为其他的最少，并且每个城市的数量各不相同，所以气死个人城市的数量依次为13.14.15.16按照由小到大的顺序排列设个城市一二三四五六七八九十16 15 14 13 12 x+2 x+1 x x-1 x-2 所以16+15+14+13+12+x+2+x+1+x+x-1+x-2=100，解得x=6.所以最少的城市最多有x-2=4家店。
我们可以思考一下，对于一个数求它的最大值（最小值），就是让其他的数尽可能的小（大）。
当题干中有各不相同时，要满足上面的问题，就代表这他们之间一定是差一的一个等差数列是最为吻合的情况。
【例2】5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重量最轻的人，最重可能重（）A.80斤B.82斤C.84斤D.86斤解析：5个人的体重之和是423斤，为一个定值。
要求第5名的体重最重，即要其他4个人的体重尽量的轻。
假设第5名得体重为x；第4名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第5名，因此第4名最少为x+1；第3名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第4名，因此第3名最少为x+2；第2名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第3名，因此第2名最少为x+3,；第1名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第2名，因此第1名最少为x+4。
均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。
因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。
我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。
下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。
1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。
解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。
又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。
点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。
例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。
因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。
因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。
因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧是一种常用的数学技巧，它可以帮助我们在解决数学问题时给出一个最优解。
均值不等式是一个基本的数学定理，它表明任何一个序列的平均值大于或等于它的最小值。
因此，可以利用这个定理来求解最大值或最小值。
首先，要使用均值不等式求最值，我们需要确定问题中的变量。
通常情况下，均值不等式求最大值或最小值时，有两个变量：最大值x和最小值y。
确定变量之后，我们需要根据题目给出的信息确定均值不等式的右侧。
对于求最大值的情况，右侧的值将是最小值y；而求最小值的情况下，右侧的值将是最大值x。
接下来，需要计算左侧的值，也就是均值。
计算均值的方法是：将所有数字相加，然后除以总数。
有时，问题中会给出一些数字，我们也可以将它们相加再除以总数算出均值。
有时，问题中会给出一些表达式，我们可以将它们计算出来，再把结果相加得出均值。
接下来，我们可以将左右两边的值代入均值不等式，解出最大值x或最小值y。
如果题目中有多个变量，我们可以分别解出每个变量，然后将它们带入原来的数学表达式，求出最终的最大值和最小值。
最后，要注意的是，均值不等式只能求出最大值或最小值，而不能求出其他值。
因此，在使用均值不等式求最值的时候，要确保问题中的变量正确，并且计算出来的均值也是正确的。
总之，利用均值不等式求最值的技巧是一种有效的数学技巧，能够帮助我们解决许多有关最大值和最小值的问题，提高我们解决问题的效率。
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式,,,,"212121nn n n a a a na a a R a a a则若仅当n a a a 21),2(N n n 时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1） 注意“正数”。
例1、求函数xx y 4的值域 。
误解：4424xx x x （仅当2 x 时取等号），所以值域为 ,4。
这里错误在于使用均值定理ab b a 2 时忽略了条件：R b a ,正确解法：)2(4424,0)(时取等号当时当x xx x x x a ； 44)2(4)4)((2)4()(0,0)( xx x x x x x x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是44 y y y 或。
（2） 注意“取等”例2、设R x ，求函数213x x y的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,y xx x x x x y R x 。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要212x x x，这样的不存在x ，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y。
所以2183,3183min 3y x 。
例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a ,6,3,,,,2222误解：)1(29)(212,222222222y x b a by ax y x bx b a ax 所以by ax 的最大值为29。
这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：222222222)())((,2by ax y x b a aybx x b y a 仅当bx ay 时取等，所以时取等仅当6323632222y x b a bx ay by ax 。
如取23)(,3,26maxby ax y x b a （3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12。
误解：12),(27)2()3(332y x y x y x y x x y x 又时取等当， 271,312y x y x 时。
以上过程只能说明当271312y x y x 时。
但没有任何理由说明,2712y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：272)322(41)34(41441,,332y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当272,61,32,12,42最大值为时取等号所以而y x y x y x y x 。
二、常用处理方法和技巧（1） 拆项例5、求函数)0(322x xx y 的最小值。
解：xx x y 232322时取等号）x x x x x 232(36232323232332 ， （目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆x3为相同两项，同时使得含变量的因子x的次数和为零）所以仅当3min 3362326 y ，。
（2） 裂项例6、设1 x ，求函数1)2)(5( x x x y 的最小值。
解取等）141(9514)1(251411]1)1][(4)1[(x x x x x x x x x y [先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子1 x 的次数和为零，同时取到等号] ]所以仅当9,1min y x 时。
（3） 添项例7、求函数222163x x y的最小值。
解]216)2(3[638)216)(2(326216)2(3222222取等x x x x x x y（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x 的次数和为零，同时取到等号）。
所以当638,2334miny x 。
例8、若y x yx y x 则且,191,0,0.的最小值。
解： 时取等）yxx y y x x y y x x y y x y x y x 9(169210991)91)(([所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘yx 91 ），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子xy的次数和为零，同时取到等号] 。
所以仅当1241919y x yx y x x y 时y x 的最小值为16。
4、放入根号内例9、求函数)10(122 x x x y 的最大值。
解932)3122(4)1(224)1(132222222422x x x x x x x x x x y （仅当2212x x 时取等号） （把变量都放在同一条件下既根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相同且系数和为零，且取到等号）因此仅当932,36maxy x 。
例10、已知,20 x 求函数)4(62x x y 的最大值。
解：)4)(4(218)4(360,20222222x x x x x y y x,R x 取等）22322242(3332]3)4()4(2[18x x x x x （求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）因此仅当.3332,332maxy x 5、分之变量常数化例、11设求函数4332x x y 的最大值。
解：由题223242234343x x x xx x x y而,R x 取等号）232242(34223422xx x x x x x x（分子变量因子次数比分母的大且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解），所以仅当1,2max y x 。
6、取倒数例12、已知134,,yx R y x ，求y x 2的最小值。
解：时取等）y x y x x y x x y x 32(3241)3322(121322121132（已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，故取倒数再如前面一样求解）因此仅当324)(,9613432max 2y x y x yx y x练习：做学生用书的怎样最值的相应的例题和练习题，简略答案为：例1、（1）用椭圆的参数方程可把面积表示为角的函数即2,1)4sin(2cos sin )],cos (sin 2cos sin 4[15t S 令，,302302135)2,1(245)2(2152S t t S （2）、打开绝对值要对变量的取值分类：)21(43)21(1)(43)21()(,)(2min2a a a a x f a x x f a x a ，)21(1)21(43)(43)21()(,)(2min2a a a a x f a x x f a x b 综上：.43)(,21,1)(,2121;43)(,21min 2min min a x f a a x f a a x f a例2、（1）用图形或添加辅助角或用万能公式进而可解得.254y y 。
（3） 由题682442 a a a S ，然后两边平方再用判别式可得解为623 。
例3、（1） 0,17 。
（2）),0)(2(302r rr y 这里均值定理取不到，故而用单调性求解得465,83,2min y h r 。
测式（1）1、 B 用二次函数性质可解得415)sin(。
2、C 最大利润 60])401(10401[100000)8050()40()50(10000022x x x x x 。
3、 元后平方即可得解22,21 。
4、用二次函数性质求解5511miny 。
5、 面积最大仅当半径最大，.642max r S6、（1）2)]11([,01max 22x xa x ax ，（2）]414([22x x a用单调性得25a 。
7、22)2(22),22(244)(2 at t y t t a x f x x x x xx则令2,24log ,,22)(2min 2222a y a a x a t a a a t y 即；a y x t a 42,0,2,2min 即例4、（1）因为511001221001t x t y y x t z y x t z y x ， 仅当100.10,1 t z y x 时取等号。
因为1422,142,222 xy xy xy y x xy y x 所以，所以2818)(,221,242max xy y x 。
（2）设直线方程然后用弦长公式及点到直线的距离公式可得2525)1(42)5)(1(2)5(122b b b b b b b S01:281(28]325251[4max 3y x S b b b b 直线为时仅当 例5、（1）找A 的对称点即可得交点（2，2），（2）用椭圆的第二定义得PM PA PB PA 2，过A 作AN 垂直L 于N ，即可得最小值为5。
例6、由题x x x a 41342，令)0(cos 22 x 所以5)43cos(31035 a arctg a 。
例7、利用椭圆的参数方程，并利用平面几何知识知只需求MA 的最值， 而,333212331,32121,328)32(sin 32 AB MA MA测式（2）1、（1）由已知242242,0322 y x y x y x ；（2）10)lg 1lg 1(5lg 1lg 12lg 1lg 12 b a b a b a y 。
2、设)1(1]11[)1,(),1,(122t t t s BC AB s s C t t B 选择D3、（1）638min y ，（2）31max y ，（3）2432222232x ctg tgx tgx y 4、（1）令 11,45)2(sin 41,23,2)2,0(2,sec 22u u tg y x（2）由题知222,2,1222 a bc c b a bc5、i M y y y y x M 3,20),22(41244)(222，6、用参数方程可解)9781,97272(),9714(2113)sin(97141321P S 7、 参数方程),30(454)54(cos 5222a a a PA当时,1530 a 无最小值，当2,131cos ,59531min a a PA a ，时 。
